初中数学总复习基础巩固60题(含答案)

人教版2022-2023学年八年级下学期数学期末复习巩固练姓名得分一、单选题1．如下图，平面直角坐标系xOy中，阴影部分（射线y＝x，x＞0与y正半轴之间，不含边界）的点的坐标（x，y）满足（）A．x=y B．x＞y＞0C．y＞x＞0D．y=x＞02．一次函数和的图像如下图所示，其交点为，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．3．如右图，在平行四边形中，对角线与相交于点，是边的中点，连接，若，，则的度数为（）A．B．C．D．4．如右图，在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，，，则长为（）A．8B．10C．12D．145．如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（）绕过两地间的一片湖，在A，B间建好桥后，就可直接从A村到B村．已知，，那么，建好桥后从A村到B村比原来减少的路程为（）A．2km B．4km C．10 km D．14 km6．为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为米的市民正对门缓慢走到离门米的地方时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离等于（）A．米B．米C．米D．米7．实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简后为（）A．7B．-7C．D．8．已知一次函数（k、b为常数）的图象如图所示，那么关于x的不等式的解集是（ ）A．B．C．D．9．已知实数满足条件，那么的值为（）A．B．C．D．二、填空题．若是最简二次根式，则________；________．已知正比例函数（是常数，），随的增大而减小，写出一个符合条件的的值为．一次函数与一元一次不等式的关系：一元一次不等式（或）的解集，就是一次函数的图象在轴________（或相应的自变量的取值范围某中学七年级一班名学生在语文老师的倡导下，进行背诗词活动，下表是调查的一周中学生已背诵诗词篇目数的情况：已背诵篇目数首__________首．已知平面直角坐标系内有三点，，，请确定一个，使四边形为矩形，则点D的坐标是．．已知一组数据2，，，，平行四边形纸片的面积为，．今沿两对角线将四边形剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙拼成一个轴对称图形(，重合18．如右图，在中，若将沿折叠，使得点C与上的点D重合，则的面积为_________三、解答题19．计算：(1)；(2)．20．已知，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点．（1）求的值；（2）不解关于的方程组，请你直接写出它的解．21．质检员从某商店抽样调查了只鸡蛋，数据如下图所示．(1)被抽取的样本的极差和平均数分别是多少？(2)被抽取的这组数据的中位数，众数分别是多少？(3)被抽取的这组数据的方差，标准差分别是多少？22．定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割．(1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长．23．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线经过点，，与直线交于点E．(1)求直线的函数关系式；(2)连接，求的面积；(3)设点Q的坐标为，求m的值使得值最小．24．如图，四边形中，，，，，．(1)判断是否是直角，并说明理由．(2)求四边形的面积．25．如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C出发，以3cm/s的速度向点B同时运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设P，Q运动的时间为t s．(1)若点P和点Q同时运动了6秒，与有什么数量关系？并说明理由；(2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由；(3)在整个运动过程中，是否存在一个时间，使得四边形是菱形？如果存在，求出时间t的值，如果不存在，请说明理由．答案1．C 2．C 3．D 4．B 5．B 6．A 7．D 8．C 9．D10．0 11．12．上方下方13．14．15．4 2 16．17．2618．15 19．(1)-2 (2)20．（1）b=2；（2）21．(1)3，(2)70，70 (3)，22．(1)是(2)BN＝12或1323．(1)；(2)；(3)时，的值最小．24．(1)是直角．(2)23425．(1)(2)存在，当时，四边形是矩形(3)不存在。

一、选择题1. 下列数中，有理数是（）A. $\sqrt{2}$B. $\pi$C. $\frac{1}{3}$D. $-3$答案：C解析：有理数是可以表示为两个整数比的数，其中分母不为0。

$\frac{1}{3}$可以表示为两个整数的比，因此是有理数。

2. 下列式子中，正确的是（）A. $(-2)^3 = -2 \times -2 \times -2 = -8$B. $(-2)^2 = -2 \times -2 = -4$C. $(-2)^3 = -2 \times -2 \times -2 = 8$D. $(-2)^2 = -2 \times -2 = 4$答案：A解析：$(-2)^3$表示-2乘以自己三次，结果为-8，所以A选项正确。

3. 下列图形中，是轴对称图形的是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 长方形D. 正方形答案：D解析：轴对称图形是指存在一个轴，使得图形关于该轴对称。

正方形有四个轴对称，所以D选项正确。

4. 下列方程中，无解的是（）A. $2x + 3 = 7$B. $3x - 4 = 5$C. $5x + 2 = 0$D. $2x - 1 = 0$答案：C解析：方程$5x + 2 = 0$可以化简为$5x = -2$，由于5不能整除-2，所以该方程无解。

5. 下列函数中，是二次函数的是（）A. $y = 2x + 3$B. $y = 3x^2 + 2$C. $y = x^2 - 2x + 1$D. $y = 2x^3 + 3$答案：C解析：二次函数的一般形式为$y = ax^2 + bx + c$，其中$a \neq 0$。

C选项符合二次函数的一般形式，所以C选项正确。

二、填空题1. 已知$2x - 5 = 3$，求$x$的值。

答案：$x = 4$解析：将方程$2x - 5 = 3$两边同时加5，得到$2x = 8$，然后将方程两边同时除以2，得到$x = 4$。

2. 已知$y = 2x + 1$，当$x = 3$时，求$y$的值。

初二数学基础知识巩固练习题1. 下面是一道整数的加法题，请计算出结果：345 + 187 =2. 某购物网站正举行限时打折促销活动，下面是某物品的原价和折扣，请计算出打折后的价格：原价：￥399折扣：80%3. 某手机厂商声称他们的手机电池续航时间很长，下面是一台手机的续航时间，请将小时转换为分钟：续航时间：18小时4. 下面是一个长度的换算题，请将150厘米转换为米：长度：150厘米5. 某公司的年利率为6%，下面是某人存款的本金，请计算一年后的利息：本金：￥50006. 下面是一个比例题，请计算出现有人数与计划人数之间的比例：现有人数：150人计划人数：250人7. 某公交车每5分钟发一次车，下面是乘客等候的时间，请计算共有多少辆公交车经过：等候时间：30分钟8. 下面是一个面积的计算题，请计算出矩形的面积：长：8cm宽：6cm9. 某商品原价为60元，现在在打折，下面是某人的购买数量，请计算出购买该商品需要支付的金额：购买数量：4个折扣：8折10. 下面是一个容积的计算题，请计算出一个长方体的体积：长：5cm宽：3cm高：4cm11. 某纸张的尺寸为A4，长度比宽度多6cm，下面是纸张的宽度，请计算出纸张的长度：纸张宽度：21cm12. 下面是一个比例的计算题，请计算出现有人数与初中生人数之间的比例：现有人数：240人初中生人数：80人13. 某校运动会上，男生参赛人数占全体参赛人数的40%，下面是全体参赛人数，请计算出男生参赛人数：全体参赛人数：200人14. 下面是一个时间的计算题，请计算一天有多少秒：时间：24小时15. 某书店进行促销活动，购买3本书可以享受打折，下面是某人买了多少本书，请计算出需要支付的金额：购买数量：5本单价：￥25这些是初二数学基础知识的巩固练习题，希望你能认真思考并在计算后给出准确答案。

如果需要参考答案，请回复该消息，我会尽快为你提供。

祝你顺利完成练习！。

期末真题必刷基础60题（33个考点专练）一．正数和负数（共3小题）1．（2022秋•昌图县期末）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+12，﹣8，+9，﹣3，+7，﹣6，+10，﹣5．（1）B地位于A地的什么方向？距离A地多少千米？（2）若冲锋舟每千米耗油0.6升，油箱容量为30升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？【分析】（1）根据正数和负数的实际意义，将所有数据相加计算后根据所得结果进行判断即可；（2）由题意求得所有数据的绝对值，然后结合已知条件计算即可．【解答】解：（1）∵12﹣8+9﹣3+7﹣6+10﹣5＝16（千米），∴B地在A地的东边16千米；（2）由题意可得这一天走的总路程为：|+12|+|﹣8|+|+9|+|﹣3|+|+7|+|﹣6|+|+10|+|﹣5|＝60千米，那么应耗油60×0.6＝36（升），故还需补充的油量为：36﹣30＝6（升），即冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充6升油．【点评】本题考查正数和负数的实际意义及绝对值，结合已知条件进行正确的计算是解题的关键．2．（2022秋•山亭区期末）某果农把自家果园的柑橘包装后放到了网上销售．原计划每天卖10箱，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某个星期的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：箱）．星期一二三四五六日+4﹣3﹣5+7﹣8+21﹣6与计划量的差值（1）根据记录的数据可知前五天共卖出多少箱？（2）本周实际销售总量达到了计划数量没有？（3）若每箱柑橘售价为80元，同时需要支出运费7元/箱，那么该果农本周总共收入多少元？【分析】（1）将前五天的销售量相加即得结论；（2）将表格中记录的数据相加得出结果，结果的符号表示达到或不足，结果的绝对值表示达到或不足的数量；（3）利用本周的总收入减去总运费即得结论．【解答】解：（1）10×5+4﹣3﹣5+7﹣8＝45 （箱），答：根据记录的数据可知前五天共卖出45箱；（2）4﹣3﹣5+7﹣8+21﹣6＝10＞0，答：本周实际销售总量达到了计划数量；（3）（10×7+10）×80﹣（10×7+10）×7＝5840（元），答：该果农本周总共收入5840元．【点评】此题考查正数和负数的问题，此题的关键是读懂题意，列式计算．3．（2022秋•千山区期末）某厂一周计划生产700个玩具，平均每天生产100个，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，如表是某周每天的生产情况（增产为正，减产为负，单位：个）星期一二三四五六日产量+10﹣6﹣8+15﹣12+18﹣9（1）根据记录，求出前三天共生产多少个？（2）请问产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个？（3）该厂实行计件工资制，每生产一个玩具10元，若按周计算，超额完成任务，超出部分每个12元；若未完成任务，生产出的玩具每个只能按8元发工资，那么该厂员工这一周的工资总额是多少？【分析】（1）三天的计划总数加上三天多生产的个数的和即可；（2）求出超产的最多数与最少数的差即可；（3）求得这一周生产的总个数，然后按照工资标准求解．【解答】解：（1）100×3+10﹣6﹣8＝296（个），∴前三天共生产296个；（2）18﹣（﹣12）＝18+12＝30（个），∴产量最多的一天比产量最少的一天多生产30个；（3）这一周多生产的总个数是10﹣6﹣8+15﹣12+18﹣9＝8（个），10×700+12×8＝7096（元）．答：该厂工人这一周的工资是7096元．【点评】本题考查有理数的运算，理解正负数的意义，求得这一周生产的总数是关键．二．相反数（共3小题）4．（2022秋•二七区校级期末）﹣3的相反数是（ ）A．﹣B．3C．﹣3D．【分析】根据相反数的概念解答求解．【解答】解：﹣3的相反数是﹣（﹣3）＝3．故选：B．【点评】本题考查了相反数的意义，理解相反数的意义是解题的关键．5．（2022秋•宁阳县期末）2023的相反数是（ ）A．B．C．2023D．﹣2023【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．【解答】解：2023的相反数是﹣2023．故选：D．【点评】本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．6．（2022秋•德州期末）﹣2023的相反数是　2023　．【分析】由相反数的概念即可解答．【解答】解：﹣2023的相反数是﹣（﹣2023）＝2023．故答案为：2023．【点评】本题考查相反数的概念，关键是掌握：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．三．绝对值（共1小题）7．（2022秋•福田区校级期末）的相反数（ ）A．2022B．﹣2022C．D．【分析】根据绝对值、相反数的意义即可得出答案．【解答】解：∵，又∵的相反数是，∴的相反数是，故选：D．【点评】本题考查绝对值、相反数的意义，掌握绝对值、相反数的意义是解题的关键．四．倒数（共1小题）8．（2022秋•新兴县期末）的倒数是　﹣2　．【分析】直接根据倒数的概念解答即可．【解答】解：的倒数是：，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了倒数的概念，即当a≠0时，a与互为倒数．特别要注意的是：负数的倒数还是负数，此题难度较小．五．有理数大小比较（共2小题）9．（2022秋•海门市期末）比较大小：﹣　＞　﹣．（用“＞”“＝”或“＜”连接）【分析】先通分，再比较其绝对值的大小，进而可得出结论．【解答】解：﹣＝﹣，﹣＝﹣，∵＜，∴﹣＞﹣，∴﹣＞﹣．故答案为：＞．【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知负数比较大小的法则是解题的关键．10．（2022秋•建邺区校级期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图．（1）用“＞”或“＜”填空：c﹣b　＜　0，a+b　＜　0，a﹣c　＞　0．（2）化简：|c﹣b|+|a+b|﹣|a﹣c|．【分析】观察数轴可知：c＜a＜0＜b＜﹣a＜﹣c．（1）由c＜a＜0＜b＜﹣a＜﹣c，可得出c﹣b＜0、a+b＜0、a﹣c＞0，此题得解；（2）由c﹣b＜0、a+b＜0、a﹣c＞0，可得出|c﹣b|+|a+b|﹣|a﹣c|＝b﹣c+（﹣a﹣b）﹣（a﹣c），去掉括号合并同类项即可得出结论．【解答】解：观察数轴可知：c＜a＜0＜b＜﹣a＜﹣c．（1）∵c＜a＜0＜b＜﹣a＜﹣c，∴c﹣b＜0，a+b＜0，a﹣c＞0．故答案为：＜；＜；＞．（2）∵c﹣b＜0，a+b＜0，a﹣c＞0，∴|c﹣b|+|a+b|﹣|a﹣c|＝b﹣c+（﹣a﹣b）﹣（a﹣c）＝b﹣c﹣a﹣b﹣a+c＝﹣2a．【点评】本题考查了有理数的大小比较、数轴以及绝对值，观察数轴找出c＜a＜0＜b＜﹣a＜﹣c是解题的关键．六．有理数的除法（共1小题）11．（2022秋•垫江县期末）计算（﹣6）÷（﹣）×6的结果是（ ）A．6B．36C．﹣1D．1【分析】将除法变为乘法，再约分计算即可求解．【解答】解：（﹣6）÷（﹣）×6＝（﹣6）×（﹣6）×6＝36．故选：B．【点评】本题考查了有理数的乘除法，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．七．有理数的乘方（共1小题）12．（2022秋•秀山县期末）把下列各数填在相应的大括号里．0.245，+7，0，﹣1.07，﹣|﹣3|，，﹣（﹣6），，（﹣2）2正数集合：{ 0.245，+7，，﹣（﹣6），（﹣2）2　…}正分数集合：{ 0.245，　…}负整数集合：{ ﹣|﹣3|　…}负数集合：{ ﹣1.07，﹣|﹣3|，　…}非正整数集合：{ 0，﹣|﹣3|　…}【分析】根据有理数的分类进行解答即可．【解答】解：﹣|﹣3|＝﹣3，﹣（﹣6）＝6，（﹣2）2＝4；正数集合：{0.245，+7，，﹣（﹣6），（﹣2）2…}，正分数集合：{0.245，…}，负整数集合：{﹣|﹣3|…}，负数集合：{﹣1.07，﹣|﹣3|，…}，非正整数集合：{ 0，﹣|﹣3|…}，故答案为：0.245，+7，，﹣（﹣6），（﹣2）2；0.245，；﹣|﹣3|；﹣1.07，﹣|﹣3|，；0，﹣|﹣3|．【点评】本题主要考查了有理数的分类，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握有理数的定义．八．非负数的性质：偶次方（共1小题）13．（2022秋•泉港区期末）已知|m﹣3|+（n+2）2＝0，则m+2n的值为（ ）A．﹣7B．7C．﹣1D．1【分析】直接利用非负数的性质得出m，n的值，进而代入得出答案．【解答】解：∵|m﹣3|+（n+2）2＝0，∴m﹣3＝0，n+2＝0，解得：m＝3，n＝﹣2，∴m+2n＝3﹣4＝﹣1．故选：C．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出m，n的值是解题关键．九．有理数的混合运算（共1小题）14．（2022秋•市中区期末）对于有理数a、b，定义一种新运算，规定a☆b＝a2﹣|b|，则3☆（﹣2）＝　7　．【分析】根据新定义把新运算转化为常规运算进行解答便可．【解答】解：3☆（﹣2）＝32﹣|﹣2|＝9﹣2＝7，故答案为：7．【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，读懂新定义运算是解题的关键．一十．近似数和有效数字（共2小题）15．（2022秋•平谷区期末）用四舍五入法把3.1415926精确到0.01，所得到的近似数为　3.14　．【分析】把千分位上的数字1进行四舍五入即可．【解答】解：3.1415926精确到0.01，所得到的近似数为3.14．故答案为：3.14．【点评】本题考查了近似数：“精确度”是近似数的常用表现形式．16．（2022秋•叙州区期末）用四舍五入法将0.05068精确到千分位的近似值为　0.051　．【分析】把万分位上的数字6进行四舍五入即可．【解答】解：0.05068≈0.051（精确到千分位）．故答案为：0.051．【点评】本题考查了近似数：“精确度”是近似数的常用表现形式．一十一．科学记数法—表示较大的数（共2小题）17．（2022秋•西岗区校级期末）中国航母辽宁舰（如图）是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为67500吨，数据67500用科学记数法表示为（ ）A．6.75×103B．6.75×104C．67.5×105D．67.5×104【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：67500＝6.75×104．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．18．（2022秋•罗湖区期末）从提出北斗建设工程开始，北斗导航卫星研制团队攻坚克难，突破重重关键技术，建成独立自主，开放兼容的全球卫星导航系统，成为世界上第三个独立拥有全球卫星导航系统的国家，现在每分钟200多个国家和地区的用户访问使用北斗卫星导航系统超70000000次．其中70000000用科学记数法表示为（ ）A．7×103B．7×105C．7×106D．7×107【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．【解答】解：70000000＝7×107．故选：D．【点评】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．一十二．代数式（共1小题）19．（2022秋•罗湖区期末）下列结论中正确的是（ ）A．对乘坐高铁的乘客进行安检，适宜采用普查的方式B．单项式的系数是C．a2+b2的意义是表示a，b两数的和的平方D．将弯曲的道路改直的数学道理是“过两点有且只有一条直线”【分析】根据抽样调查，单项式的定义，代数式的意义，线段的性质判断即可．【解答】解：A、对乘坐高铁的乘客进行安检，适宜采用普查方式，故符合题意；B、单项式的系数是π，故不符合题意；C、a2+b2的意义是表示a，b两数平方的和，故不符合题意；D、将弯曲的道路改直的数学道理是“两点之间，线段最短”，故不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了抽样调查，单项式的定义，代数式的意义，线段的性质，熟练掌握抽样调查，单项式的定义，代数式的意义，线段的性质是解题的关键．一十三．代数式求值（共3小题）20．（2022秋•伊川县期末）若a+2b＝3，则7+4b+2a＝　13　．【分析】根据a+2b＝3，可知2a+4b的值，进一步求解即可．【解答】解：∵a+2b＝3，∴2a+4b＝2（a+2b）＝2×3＝6，∴7+4b+2a＝7+6＝13，故答案为：13．【点评】本题考查了代数式求值，熟练掌握整体代入法是解题的关键．21．（2022秋•平江县期末）如图是一个简单的数值运算程序框图，如果输入x的值为﹣1，那么输出的数值是　27　．【分析】根据程序框图计算即可求出答案．【解答】解：﹣1+（﹣2）＝﹣3，（﹣3）3＝﹣27，﹣27×（﹣1）＝27，故答案为：27．【点评】本题考查有理数的运算，解题的关键是熟练运用有理数的运算法则，本题属于基础题型．22．（2022秋•连云港期末）根据如图所示的计算程序，若输入的值x＝﹣2，则输出的值y＝　5　．【分析】根据程序图即可求出y的值．【解答】解：∵x＝﹣2＜0，∴把x＝﹣2代入y＝x2+1，得y＝（﹣2）2+1＝5．故答案为：5．【点评】本题考查代数式求值，解题的关键是正确理解程序图，本题属于基础题型．一十四．同类项（共2小题）23．（2022秋•紫金县期末）下列各组中两项属于同类项的是（ ）A．﹣x2y和xy2B．x2y和x2zC．﹣m2n3和﹣3n3m2D．﹣ab和abc【分析】根据同类项的定义逐个判断即可．【解答】解：A．﹣x2y和xy2，相同字母的指数分别不相等，不是同类项，故本选项不符合题意；B．x2y和x2z的字母不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；C．﹣m2n3和﹣3n3m2的字母相同，相同字母的指数也分别相等，是同类项，故本选项符合题意；D．﹣ab和abc的字母不完全相同，不是同类项，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了同类项的定义，能熟记同类项的定义是解此题的关键，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫同类项，常数项是同类项．24．（2022秋•南海区校级期末）单项式x m﹣1y3与﹣4xy n是同类项，则m n的值是（ ）A．1B．3C．6D．8【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．【解答】解：根据题意得：m﹣1＝1，n＝3，解得：m＝2，所以m n＝23＝8．故选：D．【点评】本题主要考查了同类项的定义，根据相同字母的指数相同列出方程是解题的关键．一十五．合并同类项（共1小题）25．（2022秋•建昌县期末）若多项式a3b m﹣2a n b4+3可以进一步合并同类项，则m，n的值分别是（ ）A．m＝4，n＝3B．m＝3，n＝4C．m＝3，n＝3D．m＝4，n＝4【分析】据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同），即可求得m、n的值．【解答】解：∵多项式a3b m﹣2a n b4+3可以进一步合并同类项，∴a3b m和﹣2a n b4是同类项，∴m＝4，n＝3．故选：A．【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项定义中相同字母的指数相同是关键．一十六．去括号与添括号（共1小题）26．（2022秋•海丰县期末）去括号：﹣（2a﹣3b）＝　﹣2a+3b　．【分析】根据去括号法则求解即可．【解答】解：﹣（2a﹣3b）＝﹣2a+3b．故答案为：﹣2a+3b．【点评】本题主要考查了去括号，熟知去括号法则是解题的关键，如果括号前面是“+”号，去括号时不变号，如果括号前是“﹣”，去括号时要变号．一十七．单项式（共2小题）27．（2022秋•息县期末）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（ ）A．﹣2xy2B．3x2C．2xy3D．2x3【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．【解答】解：此题规定了单项式的系数和次数，但没规定单项式中含几个字母．A、﹣2xy2系数是﹣2，故本选项错误；B、3x2系数是3，故本选项错误；C、2xy3次数是4，故本选项错误；D、2x3符合系数是2，次数是3，故本选项正确；故选：D．【点评】此题考查单项式问题，解答此题需灵活掌握单项式的系数和次数的定义．28．（2022秋•万柏林区期末）单项式的系数是 ．【分析】直接利用单项式的系数的确定方法分析得出答案．【解答】解：单项式的系数是：．故答案为：．【点评】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的系数确定方法是解题关键．一十八．多项式（共1小题）29．（2022秋•铁锋区期末）多项式x2﹣3kxy﹣3y2+6xy﹣8不含xy项，则k＝　2　．【分析】先将原多项式合并同类项，再令xy项的系数为0，然后解关于k的方程即可求出k．【解答】解：原式＝x2+（﹣3k+6）xy﹣3y2﹣8，因为不含xy项，故﹣3k+6＝0，解得：k＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，题目设计巧妙，有利于培养学生灵活运用知识的能力．一十九．整式的加减（共1小题）30．（2022秋•甘肃期末）教材中“整式的加减”一章的知识结构如图所示，则A和B分别代表的是（ ）A．整式，合并同类项B．单项式，合并同类项C．系数，次数D．多项式，合并同类项【分析】根据整式的定义，整式的加减，可得答案．【解答】解：单项式和多项式统称作整式，整式的加减就是去括号，合并同类项，故选：D．【点评】本题考查了整式的相关概念，解题的关键是掌握单项式和多项式统称作整式，整式的加减就是去括号，合并同类项．二十．整式的加减—化简求值（共3小题）31．（2022秋•罗湖区期末）先化简，再求值：2（a2﹣2a）﹣（2a2﹣3a）+1，其中a＝﹣3．【分析】直接去括号，进而合并同类项，再把已知数据代入求出答案．【解答】解：原式＝2a2﹣4a﹣2a2+3a+1＝﹣a+1，当a＝﹣3时，原式＝﹣a+1＝﹣（﹣3）+1＝4．【点评】此题主要考查了整式的加减——化简求值，注意括号前是“﹣”时，去括号后括号内各项要变号是解题关键．32．（2022秋•东丽区期末）先化简，再求值：，其中a＝﹣3，．【分析】原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：＝＝﹣3a+b2，当时，原式＝．【点评】此题考查了整式的加减——化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．33．（2022秋•永定区期末）计算：已知A＝b2﹣a2+5ab，B＝3ab+2b2﹣a2．（1）化简：2A﹣B；（2）当a＝1，b＝2时，求2A﹣B的值．【分析】（1）根据整式的加减运算进行化简即可求出答案．（2）将a与b的值代入原式即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝2（b2﹣a2+5ab）﹣（3ab+2b2﹣a2）＝2b2﹣2a2+10ab﹣3ab﹣2b2+a2＝﹣a2+7ab，（2）当a＝1，b＝2时，原式＝﹣1+7×1×2＝﹣1+14＝13．【点评】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，属于基础题型．二十一．方程的解（共2小题）34．（2022秋•罗湖区期末）定义一种新的运算“⊗”，它的运算法则为：当a、b为有理数时，a⊗，比如：6⊗4＝＝1，则方程x⊗2＝1⊗x的解为x＝ ．【分析】根据定义直接求解即可．【解答】解：∵x⊗2＝1⊗x，∴x﹣，解得x＝，故答案为：．【点评】本题考查一元一次方程的解，理解定义，结合新定义，能将所求问题转化为一元一次方程的解是解题的关键．35．（2022秋•思明区校级期末）如果关于m的方程2m+b＝m﹣1的解是﹣4，求b的值　3　．【分析】把m＝﹣4代入方程，求出b的值即可．【解答】解：∵关于m的方程2m+b＝m﹣1的解是﹣4，∴2×（﹣4）+b＝﹣4﹣1，∴b＝3．故答案为：3．【点评】本题考查方程的解，关键是掌握方程解的定义．二十二．等式的性质（共1小题）36．（2022秋•陵城区期末）下列运用等式的性质，变形不正确的是（ ）A．若x＝y，则x+5＝y+5B．若x＝y，则＝C．若x＝y，则1﹣3x＝1﹣3y D．若a＝b，则ac＝bc【分析】直接利用等式的基本性质进而判断得出即可．【解答】解：A、若x＝y，则x+5＝y+5，正确，不合题意；B、若x＝y，则＝，a≠0，故此选项错误，符合题意；C、若x＝y，则1﹣3x＝1﹣3y，正确，不合题意；D、若a＝b，则ac＝bc，正确，不合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了等式的性质，正确把握相关性质是解题关键．二十三．一元一次方程的定义（共1小题）37．（2022秋•新泰市期末）如果（4﹣m）x|m|﹣3﹣16＝0是关于x的一元一次方程，那么m 的值为（ ）A．±4B．4C．2D．﹣4【分析】依据一元一次方程的定义可知|m|﹣3＝1且m﹣4≠0，从而可求得m的值．【解答】解：∵（4﹣m）x|m|﹣3﹣16＝0是关于x的一元一次方程，∴|m|﹣3＝1且m﹣4≠0，解得m＝﹣4．故选：D．【点评】本题主要考查的是一元一次方程的定义，由一元一次方程的定义得到|m|﹣3＝1且m﹣4≠0是解题的关键．二十四．一元一次方程的解（共6小题）38．（2022秋•黄埔区校级期末）若x＝1是关于x的方程2x+a＝0的解，则a的值为（ ）A．﹣1B．﹣2C．1D．2【分析】根据一元一次方程的解的定义解决此题．【解答】解：由题意得：当x＝1时，2+a＝0．∴a＝﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解决本题的关键．39．（2022秋•兴隆县期末）方程mx+2x﹣12＝0是关于x的一元一次方程，若此方程的解为正整数，则正整数m的值有几个（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据方程的解是正整数，可得（m+2）是12的约数，根据12的约数，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：由mx+2x﹣12＝0，得，∵方程mx+2x﹣12＝0是关于x的一元一次方程，此方程的解为正整数，m是正整数，∴m+2＝3或4或6或12，解得m＝1或2或4或10，∴正整数m的值有4个．故选：C．【点评】本题考查了一元一次方程的解，正确理解m+2＝3或4或6或12是关键．40．（2022秋•沙依巴克区校级期末）如果x＝3是关于x的方程3m﹣2x＝6的解，则m的值是（ ）A．0B．C．﹣4D．4【分析】把x的值代入方程计算即可求出m的值．【解答】解：把x＝3代入方程得：3m﹣6＝6，解得：m＝4，故选：D．【点评】本题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．41．（2022秋•孝南区期末）关于x的一元一次方程mx+1＝2的解为x＝﹣1，则m＝　﹣1　．【分析】将x＝﹣1代入方程mx+1＝2，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m 的值．【解答】解：∵关于x的一元一次方程mx+1＝2的解为x＝﹣1，∴﹣m+1＝2，解得m＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．42．（2022秋•兴化市校级期末）小王同学在解方程3x﹣2＝☆x﹣5时，发现“☆”处的数字模糊不清，但察看答案可知该方程的解为x＝3，则“☆”处的数字为　4　．【分析】根据方程的解满足方程，设☆＝a，可得关于a的方程，根据解方程，可得a的值．【解答】解：设☆＝a，由x＝3是3x﹣2＝ax﹣5的解，得3×3﹣2＝3a﹣5，解得a＝4．故答案为：4．【点评】本题考查解一元一次方程的解和解方程，解题的关键是掌握解一元一次方程．43．（2022秋•沅江市期末）若x＝3是关于x的方程ax+4＝1的解，则a＝　﹣1　．【分析】根据方程解的定义，把x＝3代入方程即可得出a的值．【解答】解：∵x＝3是关于x的方程ax+4＝1的解，∴3a+4＝1，∴a＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了一元一次方程的解，掌握方程解的定义，以及一元一次方程的解法是解题的关键．二十五．解一元一次方程（共5小题）44．（2022秋•交口县期末）下列方程的变形中，正确的是（ ）A．由﹣2x＝9，得x＝﹣B．由x＝0，得x＝3C．由7＝﹣2x﹣5，得2x＝5﹣7D．由3＝x﹣2，得x＝3+2【分析】应用等式的性质进行计算即可得出答案．【解答】解：A．由﹣2x＝9，得x＝﹣，所以A变形不正确，故A选项不符合题意；B．由x＝0，得x＝0，所以A变形不正确，故A选项不符合题意；C．由7＝﹣2x﹣5，得2x＝﹣5﹣7，所以C变形不正确，故C选项不符合题意；D．由3＝x﹣2，得x＝3+2所以D变形正确，故D选项不符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解决本题的关键．45．（2022秋•南开区校级期末）定义运算法则：a⊕b＝a2+ab，例如3⊕2＝32+3×2＝15．若2⊕x＝10，则x的值为　3　．【分析】根据题意列出关于x的一元一次方程，求出x的值即可．【解答】解：∵2⊕x＝10，∴22+2x＝10，即4+2x＝10，解得x＝3．故答案为：3．【点评】本题考查的是解一元一次方程，根据题意得出关于x的一元一次方程是解题的关键．46．（2022秋•平桥区期末）解方程：．【分析】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项、合并同类项，系数化为1，从而得到方程的解．【解答】解：去分母得：2（x+3）＝12﹣3（3﹣2x）去括号得：2x+6＝12﹣9+6x移项得：2x﹣6x＝12﹣9﹣6合并同类项得：﹣4x＝﹣3系数化为1得：x＝．【点评】注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．47．（2022秋•新泰市期末）解方程（1）4x﹣6＝2（3x﹣1）；（2）y﹣＝3﹣【分析】（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；（2）方程去分母，去括号，移项合并，把y系数化为1，即可求出解．【解答】解：（1）去括号得：4x﹣6＝6x﹣2，移项合并得：﹣2x＝4，解得：x＝﹣2；（2）去分母得：10y﹣5（y﹣1）＝30﹣2（y+2），去括号得：10y﹣5y+5＝30﹣2y﹣4，移项合并得：7y＝21，解得：y＝3．【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．48．（2022秋•望城区期末）解下列方程：（1）4x﹣3＝2﹣5x；（2）．【分析】（1）先移项，再合并同类项，把x的系数化为1即可；（2）先去分母，再去括号、移项、合并同类项，把x的系数化为1即可．【解答】解：（1）移项得，4x+5x＝2+3，合并同类项得，9x＝5，x的系数化为1得，x＝；（2）去分母得，2（2x﹣1）﹣（10x+1）＝12，去括号得，4x﹣2﹣10x﹣1＝12，移项得，4x﹣10x＝12+2+1，合并同类项得，﹣6x＝15，x的系数化为1得，x＝﹣．【点评】本题考查的是解一元一次方程，熟知去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．二十六．由实际问题抽象出一元一次方程（共1小题）49．（2022秋•罗湖区期末）某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天的产品刚好配套，设分配x名工人生产螺母，由题意可知下面所列的方程正确的是（ ）A．2×1200x＝2000（22﹣x）B．2×1200（22﹣x）＝2000xC．2×2000x＝1200（22﹣x）D．2×2000（22﹣x）＝1200x【分析】题目已经设出分配x名工人生产螺母，则（22﹣x）人生产螺钉，由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程．【解答】解：设分配x名工人生产螺母，则（22﹣x）人生产螺钉，由题意得2000x＝2×1200（22﹣x），故B答案正确，故选：B．【点评】本题是一道列一元一次方程解的应用题，考查了列方程解应用题的步骤及掌握解应用题的关键是建立等量关系．二十七．认识立体图形（共1小题）50．（2022秋•泗阳县期末）在一个六棱柱中，共　18　有条棱．【分析】根据六棱柱的特点可得答案．【解答】解：在一个六棱柱中，共有3×6＝18条棱，故答案为：18．【点评】此题主要考查了认识立体图形，关键是认识常见的立体图形，掌握棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的特点．二十八．点、线、面、体（共1小题）51．（2022秋•市南区期末）下面现象说明“线动成面”的是（ ）A．旋转一扇门，门在空中运动的痕迹B．扔一块小石子，石子在空中飞行的路线C．天空划过一道流星D．汽车雨刷在挡风玻璃上面画出的痕迹【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、旋转一扇门，门在空中运动的痕迹是“面动成体”，故本选项错误；B、扔一块小石子，石子在空中飞行的路线是“点动成线”，故本选项错误；C、天空划过一道流星是“点动成线”，故本选项错误；D、汽车雨刷在挡风玻璃上面画出的痕迹是“线动成面”，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了点、线、面、体的知识，主要是考查学生立体图形的空间想象能力及分析问题，解决问题的能力．二十九．专题：正方体相对两个面上的文字（共1小题）52．（2022秋•新都区期末）一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后“时”字对面的字是　分　．【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．【解答】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，∴在此正方体上与“时”字相对的面上的字是“分”．故答案为：分．。

七年级数学巩固练习题含答案同学们在学习的过程中是用什么样的方法来巩固自己所学的知识点呢?应届毕业生店铺建议大家多做一些与之相关的题，接下来店铺就为大家整理了七年级数学巩固练习题含答案，希望大家学习愉快!一、耐心填一填，一锤定音(每小题3分，共30分)1、若太平洋最深处低于海平面11034米，记作-11034米，则珠穆朗玛峰高出海平面8848米，记作______。

2、+10千米表示王玲同学向南走了10千米，那么-9千米表示_______;0千米表示_____。

3、在月球表面上，白天阳光垂直照射的地方温度高达127℃，夜晚温度可降到-183℃，那么-183℃表示的意义为_______。

4、七(8)班数学兴趣小组在一次数学智力大比拼的竞赛中的平均分数为90分，张红得了85分，记作-5分，则小明同学行92分，可记为____，李聪得90分可记为____，程佳+8分，表示______。

5、有理数中，最小的正整数是____，最大的负整数是____。

6、数轴上表示正数的点在原点的___，原点左边的数表示___，____点表示零。

7、数轴上示-5的点离开原点的距离是___个单位长度，数轴上离开原点6个单位长度的点有____个，它们表示的数是____8、数轴上表示的点到原点的距离是_____9、在1.5-7.5之间的整数有_____，在-7.5与-1.5之间的整数有_____10、已知下列各数：-23、-3.14、，其中正整数有__________，整数有______，负分数有______，分数有_________。

二、精心选一选，慧眼识金!(每小题3分，共30分)1、把向东运动记作“+”，向西运动记作“_”，下列说法正确的是( )A、-3米表示向东运动了3米B、+3米表示向西运动了3米C、向西运动3米表示向东运动-3米D、向西运动3米，也可记作向西运动-3米。

2、下列用正数和负数表示相反意义的量，其中正确的是( )A、一天凌晨的气温是-5℃，中午比凌晨上升4℃，所以中午的气温是+4℃B、如果+3.2米表示比海平面高3.2米，那么-9米表示比海平面低5.8米C、如果生产成本增加5%，记作+5%，那么-5表示生产成本降低5%D、如果收入增加8元，记作+8元，那么-5表示支出减少5元。

初中数学复习题目及答案初中数学是学生们学习过程中不可或缺的一门学科，它涵盖了诸多知识点和技巧。

在备考阶段，复习题目及答案的总结整理对于学生们来说是非常重要的。

本文将通过一些典型的数学题目，来帮助初中生们巩固知识点，提高解题能力。

一、整数运算1. 计算：(-5) + (-7) + 3 + (-2) + 8 - (-4)。

解：首先，计算括号内的运算，得到：(-5) + (-7) + 3 + (-2) + 8 + 4 = -9。

2. 计算：(-6) × (-3) × 2。

解：两个负数相乘得正数，所以：(-6) × (-3) × 2 = 36。

3. 计算：13 ÷ (-5)。

解：正数除以负数得负数，所以：13 ÷ (-5) = -2。

二、代数式的简化4. 简化代数式：2x + 3y - x + 4y。

解：合并同类项，得到：2x - x + 3y + 4y = x + 7y。

5. 简化代数式：4(2x + 3y) - 2x。

解：先计算括号内的乘法，得到：4(2x + 3y) = 8x + 12y。

再减去2x，得到：8x + 12y - 2x = 6x + 12y。

三、平方根与立方根6. 计算：√64。

解：√64 = 8。

7. 计算：∛27。

解：∛27 = 3。

8. 计算：√(16 + 9)。

解：先计算括号内的加法，得到：√25 = 5。

四、比例与百分数9. 某商品原价为80元，现在打8折，求现价。

解：打8折相当于原价的80%，所以现价为80 × 0.8 = 64元。

10. 某水果店有苹果和橙子，苹果的价格是橙子的2倍，如果一共花了36元买了3个苹果和4个橙子，求每个橙子的价格。

解：设橙子的价格为x元，则苹果的价格为2x元。

根据题意，有：3(2x) + 4x= 36。

解方程得到：10x = 36，所以x = 3.6。

每个橙子的价格为3.6元。

一元一次方程的解法（基础）稳固练习【稳固练习】一、选择题1．以下方程解同样的是（）．A．方程5x 3 6 与方程 2x4B．方程C．方程3x x 1 与方程 2x 4x1 x10 与方程x 122D．方程6x3(5x 2) 5 与方程6x15x32．以下解方程的过程中，移项错误的选项是() ．A．方程 2x+6＝- 3 变形为 2x＝- 3+6B．方程 2x- 6＝- 3 变形为 2x＝- 3+6C．方程 3x＝4- x 变形为 3x+x＝4D．方程 4- x＝3x 变形为 x+3x＝43. 方程1x1的解是（）．43143A．x 12B．D．x C．x x12344．对方程 2( 2x- 1)-(x- 3) ＝1，去括号正确的选项是() ．A ． 4x- 1- x- 3 ＝ 1B ． 4x- 1- x+3 ＝ 1C ． 4x- 2 - x- 3 ＝ 1D．4x- 2- x+3＝1x1可变形为 () ．5．方程302A．3- x- 1＝0B．6- x- 1＝0C．6- x+1＝0 D ．6- x+1＝26．3x- 12 的值与1互为倒数，则x 的值为 () ．3A．3B．-3C．5D．- 57．解方程2x1 10x11时，去分母，去括号后，正确结果是() ．36A．4x+1- 10x+1＝1B．4x+2- 10x- 1＝1C．4x+2- 10x- 1＝6D．4x+2- 10x+1＝68.（2011 山东日照）某道路一侧原有路灯106 盏，相邻两盏灯的距离为 36 米，现计划所有改换为新式的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为 70 米，则需改换的新式节能灯有（）A．54盏B．55盏C．56盏D．57盏二、填空题9．( 1) 方程 2x+3＝3x- 2，利用 ________可变形为 2x- 3x＝- 2- 3，这类变形叫 ________．( 2) 方程 - 3x＝5，利用 ________，把方程两边都 _______，把 x 的系数化为1，得x＝________．10．方程2x- kx+1＝5x- 2的解是x＝- 1，k的值是 _______．11．假如式子2x+3与x- 5的值互为相反数，那么x＝________．12．将方程1x 1 x 1 x 1 x1去分母后获得方程 ________．2439613．( 黔东南州 ) 在有理数范围内定义一种运算“※” ，其规则为 a※b ＝a- b．依据这个规则，求方程 ( x- 2) ※1＝0 的解为 ________．14．一列长为 150m 的火车，以 15m/s 的速度经过 600m 的地道，则这列火车完整经过此地道所需时间是 ________s．三、解答题15．解以下方程( 1) 4( 2x- 1)- 3( 5x+2) ＝3( 2- x)( 2) ( 3)1 x x2 x323 0.1x 0.2 x13 0.020.516．式子 12- 3( 9- y) 与 5( y- 4) 的值相等，求 2y( y2+1) 的值．17．小明的练习册上有一道方程题，此中一个数字被墨汁污染了，成为 3x 1 1 x，他翻看了书后的答案，知道了这个方程的解是 1 ，554于是他把被污染了的数字求出来了，请你把小明的计算过程写出来．【答案与分析】一、选择题1．【答案】 B【分析】将各项中的两个方程解出后，再看解能否同样．2.【答案】 A【分析】 A 中移项未改变符号．3.【答案】 C【分析】系数化为1，两边同乘以 4 即可．4.【答案】 D【分析】 A 中，去掉第 1 个括号时第二项漏乘，去掉第 2 个括号时，- 3 没变号； B 中，去掉第 1 个括号时第二项漏乘； C 中，去掉第 2 个括号时， - 3 没变号．5．【答案】 C【分析】 A 中，去分母时 3 没有乘以 2，- 1 没变号； B 中，去分母时 - 1 没变号； D 中，等号右侧 0 乘以 2 应是 0，而不该是 2．6．【答案】 A【分析】 - 3x-12 与1互为倒数，因此3x- 12＝- 3，x＝3．37.【答案】 C【分析】两边同乘以6得：2(2 x1) (10x 1) 6，再去括号得：4x 8.2 10x1【答案】 B6．【分析】设有x 盏，则有(x1)个灯距，由题意可得：36(1061)70( x1) ，解得：x55二、填空题9．【答案】 ( 1) 等式性质 1，移项；( 2) 等式性质 2，除以-3，5310．【答案】 k＝- 6【分析】将 x 1 代入得： 2 k 1 5 2 ，解得： k 6 11．【答案】23【分析】由题意可得2x 十 3+x- 5＝0，3x＝2，x 2 ．312．【答案】 43x＝6【分析】将方程两边乘以36，得 18x+9x+12x+4x ＝6．13．【答案】 x＝3【分析】依据规则得： x- 2- 1＝0，x＝3．14．【答案】 50600 150【分析】50(秒)三、解答题15．【分析】解： ( 1) 8x- 4- 15x- 6＝6- 3x8x- 15x+3x ＝6+4+6- 4x ＝16x ＝- 4( 2) x1 x3 x 2236x- 3( 1- x) ＝18- 2( x- 2)11x ＝2525 x11( 3) 原方程可化为：10x220 10x 10 3 ，约分得： 5x- 10-( 2x+2)5＝3，去括号得 5x- 10- 2x- 2＝3，移项及归并，得 3x ＝15，系数化为1，得 x ＝5．16．【分析】解： 12- 3( 9- y) ＝5( y- 4) ，解方程得： y521)2522 y( y 25 1525 15 291452244 417．【分析】解：将 x 1代入，得：43 1 1141455解得：3因此被污染的数字为 3．。

WORD 格式可编写初中数学总复习基础稳固60 题（含答案）1.假如 x 的倒数是1 ，则的相反数是32.绝对值小于1 2 的整数是33.已知 |x|=5,|y|=2,|x-y|=y-x,则 x+y=4.2若 x<-2, 那么 x2=5. 若样本9， 7， 8， 10， 6 的方差是 2，则另同样本49， 47， 48， 50， 46 的标准差是6.当 x<0 时 , 化简3ax=7.将一组数据分红 5组，制成频次散布直方图，此中第一组的频次是0.1 ，第四8.组与第五组的频次之和 0.3为 ，那么第二组与第三组的频次之 为和9.已知一组数据x 1,x 2,x 3, ?,x n 的方差 s2=5 则另一组数据 2x 1,2x 2 ,2x 3, ?,2x n的方差是a2410.计算2aa=211.假如分式2的值不小于零，那么的取值范围2x32xx612. 当 x=时，分式的值为零 |x|213. x2若代数式 1 的值不小于x 的值，那么 x 的最大整数值是2314.某车间要加工4200 个部件，原计划要x 天达成，此刻要求提早2 天达成，则每日要比原计划多加工个部件。

15.计算(12654)(3)16.若1(x2)存心义，则化简得后2x17.方程 (x+1)2=x+1 的解为18.ax y2x4若方程组的解为, 则 a=,b= bx3y22y19.若方程 kx专业知识整理分享WORD格式可编写2-2x+1=0 有两个实数根，则k 的取值范围是1专业知识整理分享WORD格式可编写2x2+ x2=20.方程3x420的两根为x1，x2则x1221.某校预备班的数学比赛中共有30 道题，答对一题得 5 分，不答得0 分，答错扣 4分，学生小王有 5 题未答，最后得77 分，那么他答对了题。

2kx 1，那么另一根为22.2方程 2 x 30 的一根为2kxk223.对于 x 的方程 x(1) 0 的两个实数根互为相反数，则 k 的值是2xk24.若方程x60的一根是另一根的平方，那么k 的值为25.一件皮衣，按成本加五成作为售价，后因季节原由，按售价八折降价销售，降价后的新售价为每件 150 元，若设这批皮衣每件成本价为 x 元，则能够列出方程式26.某年全国足球甲 A 联赛，规定每个球队都要在主场与各场进行一场比赛，到联赛结束共进行了182 场比赛，那么参加比赛共有支甲 A 球队。

《一元一次方程》全章复习与巩固（基础）巩固练习 【巩固练习】 一、选择题 1．下列方程中，是一元一次方程的是( )．A ．250x +=B ．42x y +=-C ．162x= D ．x ＝0 2. 下列变形错误的是( )A.由x + 7= 5得x+7－7 = 5－7 ;B.由3x －2 =2x + 1得x= 3C.由4－3x = 4x －3得4+3 = 4x+3xD.由－2x= 3得x= －32 3. 某书中一道方程题：213x x ++=W ，□处在印刷时被墨盖住了，查书后面的答案，得知这个方程的解是 2.5x =-，那么□处应该是数字( )． A ．-2.5 B ．2.5 C ．5 D ．74. 将(3x ＋2)－2(2x －1)去括号正确的是( )A 3x ＋2－2x ＋1B 3x ＋2－4x ＋1C 3x ＋2－4x －2D 3x ＋2－4x ＋25. 当x=2时，代数式ax －2x 的值为4，当x=－2时，这个代数式的值为（ ）A.－8B.－4C.－2D.86．解方程121153x x +-=-时，去分母正确的是( )． A ．3(x+1)＝1-5(2x -1) B ．3x+3＝15-10x -5C ．3(x+1)＝15-5(2x -1)D ．3x+1＝15-10x+57．某球队参加比赛，开局11场保持不败，积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，则该队获胜的场数为( )．A ．4B ．5C ．6D ．78．某超市选用每千克28元的甲种糖3千克，每千克20元的乙种糖2千克，每千克12元的丙种糖5千克混合成杂拌糖后出售，在总销售额不变的情况下，这种杂拌糖平均每千克售价应是( )．A ．18元B ．18.4元C ．19.6元D ．20元二、填空题9．在0，－1，3中， 是方程3x －9=0的解.10．如果3x 52a -＝－6是关于x 的一元一次方程，那么a ＝ ，方程的解=x .11．若x ＝－2是关于x 的方程324=-a x 的解，则a ＝ .12．由3x ＝2x ＋1变为3x －2x ＝1，是方程两边同时加上 .13．“代数式9－x 的值比代数式x 32－1的值小6”用方程表示为 .14．当x ＝ 时，代数式223x -与32x -互为相反数. 15．有两桶水，甲桶水装有180升，乙桶装有150升，要使两桶水的重量相同，则甲桶应向乙桶倒水升.16．某商场把彩电按标价的8折出售，仍可获利20%，若该彩电的进价为2000元，则标价是 .三、解答题17．（1）310.10.3542x x -=+； （2）122(1)(3)23x x x --=+． 18．已知代数式11213y y ---+的值为0，求代数式312143y y ---的值． 19．居民生活用电的基本价格为每千瓦时0.40元，若每月的用电量超过a 千瓦时，那么超过部分按基本电价的70％收费．(1)某户5月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a 的值．(2)若该户6月份的电费为平均每千瓦时0.36元，则该户6月份共用电多少千瓦时?应交电费多少元?20．学校校办工厂需制作一块广告牌，请来师徒二人，已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天，现由徒弟先做一天，再两人合作，完成后共得到报酬450元，如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配?【答案与解析】一、选择题1.【答案】D2.【答案】D【解析】由23x -=，得32x =- 3.【答案】C【解析】把x ＝-2.5代入方程，再把□当作未知数解方程即可．4.【答案】D【解析】(32)2(21)32222(1)3242x x x x x x +--=+-⋅-⋅-=+-+5．【答案】B【解析】将2x =代入得：244a -=，得28a =；将2x =-代入得：24844a -+=-+=-6．【答案】C【解析】去分母时避免漏乘常数项，当分子是多项式时，去分母后给分子加上括号．7．【答案】C【解析】设该队获胜x 场，则平的场数为(11-x)，则3x+(11-x)＝23．解得x ＝6．故选C ．8．【答案】B【解析】可设这种杂拌糖平均每千克的售价是x 元．依题意，得(3+2+5)x ＝28×3+20×2+12×5，解得x ＝18.4，故选B ．二、填空题9. 【答案】3；【解析】代入验证即可．10. 【答案】35，-2； 【解析】35215a a -=⇒=，362x x =-⇒=- 11. 【答案】112-； 【解析】将2x =-代入得：118232a a --=⇒=-12. 【答案】-2x ；13. 【答案】29)613x x -+=-（； 14. 【答案】138； 【解析】322023x x --+=，解得：138x = 15. 【答案】15；【解析】设倒x 升，得：180150x x -=+，解得：15x = 16. 【答案】3000.【解析】设标价为x 元，则0.82000(120%)x =+,解得：3000x =三、解答题17．【解析】解：(1)去分母，得3x -0.4＝2x+1.4．移项，得3x -2x ＝1.4+0.4．合并同类项，得x ＝1.8．(2)去分母，得12x -3(x -1)＝4(x+3)．去括号，得12x -3x+3＝4x+12．移项，得12x -3x -4x ＝12-3．合并同类项．得5x ＝9．系数化为1，得95x =． 18．【解析】解：由题意，得112103y y ---+=．去分母，得61130y y --++=． 移项合并同类项，得714y -=-．系数化为1，得y ＝2．当y ＝2时，3121321221143434y y --⨯-⨯--=-=， 即若代数式11213y y ---+的值为0，则代数式312143y y ---的值为14． 19．【解析】解：(1)据题意，如果a ＞84，那么应交电费为84×0.4＝33.6(元)，因为33.6＞30.72，所以a ＜84，于是得0.40a+(84- a )×0.40×70％＝30.72，解得a ＝60．(2)设该用户6月份共用电x 千瓦时．根据题意，得：0.40×60+(x -60)×0.40×70％＝0.36x ，解得x ＝90，应交电费为0.36×90＝32.40(元)．答：(1)a ＝60；(2)该用户6月份共用电90千瓦时，应交电费32.40元．20．【解析】解：设两人一起做x 天，据题意，得：11(1)164x x ++=，解得x ＝2． 师傅应得报酬为14×2×450＝225(元)． 徒弟应得报酬为450-225＝225(元)．答：师傅应得报酬为225元，徒弟应得报酬为225元．。

第一讲 数与式1.1 数与式的运算1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．练 习1．填空：（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________.2．选择题：下列叙述正确的是 （ ）（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b >（C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =±3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a a b b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a a b b a b+-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a a b b a b-++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c a b b c ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b a b b+=+++； （5）两数差立方公式 3322()33a b a a b a b b-=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．练 习1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )； (3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ）（A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数1.1.3．二次根式0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 32a b21x +，22x y + 1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与一般地，b 与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2a =,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩例1 将下列式子化为最简二次根式：（1 （20)a ≥； （30)x <．例2 (3．例3 试比较下列各组数的大小：（1 （2例4 化简：20042005⋅．例 5 化简：（1； （21)x <<．例 6 已知x y ==22353x xy y -+的值 ． 练 习1．填空：（1＝__ ___； （2(x =-x 的取值范围是_ _ ___；（3）=__ ___；（4）若x ==______ __． 2．选择题：=成立的条件是 （ ） （A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x << 3．若b =，求a b +的值． 4．比较大小：2－4（填“＞”，或“＜”）．1.1.４．分式1．分式的意义形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式A B具有下列性质： A A M B B M⨯=⨯； A A M B B M÷=÷． 上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式 像ab c d+，2m n p m n p+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式． 例1 若54(2)2x A B x x x x +=+++，求常数,A B 的值．解得 2,3A B ==．例2 （1）试证：111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）； （2）计算：1111223910+++⨯⨯⨯ ； （3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+ ． 例3 设c e a=，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．练 习1．填空题：对任意的正整数n ，1(2)n n =+ (112n n -+)； 2．选择题： 若223x y x y -=+，则x y＝ （ ） （A ）１ （B ）54 （C ）45 （D ）653．正数,x y 满足222x y xy -=，求x y x y-+的值． 4．计算1111 (12233499100)++++⨯⨯⨯⨯． 习题1．1 1．解不等式： (1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ；(3) 116x x -++>．２．已知1x y +=，求333x y xy ++的值．3．填空：（1）1819(2(2＝________；（22=，则a 的取值范围是________；（3=________． 1．2 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）．（2）由图1．2－3，得－1 －2 x x 图1．2－1 －1 －2 1 1 图1．2－2 －2 6 1 1 图1．2－3 －ay －by x x 图1．2－4x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图1．2－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by --（4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．2－5所示）．2．提取公因式法与分组分解法例2 分解因式：（1）32933x x x +++； （2）222456x xy y x y +--+-．（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+-=22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+---=(22)(3)x y x y -++-．3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．练 习1．选择题：多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ）（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y -2．分解因式：（1）x 2＋6x ＋8； （2）8a 3－b 3；（3）x 2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-． 习题1．21．分解因式：（1） 31a +； （2）424139x x -+；（3）22222b c ab ac bc ++++； （4）2235294x xy y x y +-++-． 2．在实数范围内因式分解：（1）253x x -+ ； （2）23x --；（3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+．3．ABC ∆三边a ，b ，c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ∆的形状． －1 1 x y 图1．2－54．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．第二讲 函数与方程2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b ac x a a -+=． ① 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a - （2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a +一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2 （2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根．例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x 2－3x ＋3＝0； （2）x 2－ax －1＝0；（3） x 2－ax ＋(a －1)＝0； （4）x 2－2x ＋a ＝0．说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根1x =，2x =， 则有1222b b b b x x a a-+--+=+==-； 221222(4)444b b ac ac c x x a a a--====． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a-，x 1·x 2＝c a．这一关系也被称为韦达定理． 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．例2 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值． 例3 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．例5 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．（1）求| x 1－x 2|的值；（2）求221211x x +的值； （3）x 13＋x 23．例6 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围． 练 习1．选择题：（1）方程2230x k -+=的根的情况是 （ ）（A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根 （D ）没有实数根（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ）（A ）m ＜14 （B ）m ＞－14（C ）m ＜14，且m ≠0 （D ）m ＞－14，且m ≠0 2．填空: （1）若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1211x x +＝ ． （2）方程mx 2＋x －2m ＝0（m ≠0）的根的情况是 ．（3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．3|1|0b -=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？4．已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值．习题2.11．选择题:（1）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）（A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2（2）下列四个说法：①方程x 2＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；②方程x 2－2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3 x 2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73-； ④方程3 x 2＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是 （ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（3）关于x 的一元二次方程ax 2－5x ＋a 2＋a ＝0的一个根是0，则a 的值是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）0，或－12．填空:（1）方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝ ．（2）方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．（3）已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是．（4）方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x 1－x 2|＝ ．3．试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m 2x 2－(2m ＋1) x ＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数．2．2 二次函数2.2.1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋b x a ＋224b a)＋c －24b a 224()24b b ac a x a a-=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a-时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2b a -时，函数取最小值y ＝244ac b a-． （2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a-时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2b a -时，函数取最大值y ＝244ac b a -．例1 求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．例2 把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值．例3 已知函数y ＝x 2，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．练 习1．选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ）（A ）y ＝2x 2 （B ）y ＝2x 2－4x ＋2（C ）y ＝2x 2－1 （D ）y ＝2x 2－4x（2）函数y ＝2(x －1)2＋2是将函数y ＝2x 2 （ ）（A ）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的（B ）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的（C ）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的（D ）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的2．填空题（1）二次函数y ＝2x 2－mx ＋n 图象的顶点坐标为(1，－2)，则m ＝ ，n ＝ ．（2）已知二次函数y ＝x 2+(m －2)x －2m ，当m ＝ 时，函数图象的顶点在y 轴上；当m ＝ 时，函数图象的顶点在x 轴上；当m ＝ 时，函数图象经过原点．（3）函数y ＝－3(x ＋2)2＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x ＝ 时，函数取最 值y ＝ ；当x 时，y 随着x 的增大而减小．3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y 随x 的变化情况，并画出其图象．（1）y ＝x 2－2x －3； （2）y ＝1＋6 x －x 2．4．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3，当自变量x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x 的值：（1）x ≤－2；（2）x ≤2；（3）－2≤x ≤1；（4）0≤x ≤3．2.2.2 二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1．一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；2．顶点式：y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，其中顶点坐标是(－h ，k )．3．交点式：y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．练 习1．选择题:（1）函数y ＝－x 2＋x －1图象与x 轴的交点个数是 （ ）（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）无法确定（2）函数y ＝－12(x ＋1)2＋2的顶点坐标是 （ ） （A ）(1，2) （B ）(1，－2) （C ）(－1，2) （D ）(－1，－2)2．填空：（1）已知二次函数的图象经过与x 轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y ＝a (a ≠0) ．（2）二次函数y ＝－x 2+23x ＋1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为 ．3．根据下列条件，求二次函数的解析式．（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；（2）当x ＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；（3）函数图象与x 轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y 轴交于(0，－2)．习题2．21．选择题：（1）把函数y ＝－(x －1)2＋4的图象的顶点坐标是 （ ）（A ）（－1，4） （B ）（－1，－4） （C ）（1，－4） （D ）（1，4）（2）函数y ＝－x 2＋4x ＋6的最值情况是 （ ）（A ）有最大值6 （B ）有最小值6（C ）有最大值10 （D ）有最大值2（3）函数y ＝2x 2＋4x －5中，当－3≤x ＜2时，则y 值的取值范围是 （ ）（A ）－3≤y ≤1 （B ）－7≤y ≤1（C ）－7≤y ≤11 （D ）－7≤y ＜112．填空：（1）已知某二次函数的图象与x 轴交于A (－2，0)，B (1，0)，且过点C （2，4），则该二次函数的表达式为 ．（2）已知某二次函数的图象过点（－1，0），（0，3），（1，4），则该函数的表达式为 ．3．把已知二次函数y ＝2x 2＋4x ＋7的图象向下平移3个单位，在向右平移4个单位，求所得图象对应的函数表达式．4．已知某二次函数图象的顶点为A （2，－18），它与x 轴两个交点之间的距离为6，求该二次函数的解析式．2.3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组解法方程22260x xy y x y +++++=是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中2x ,2xy ,2y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项．我们看下面的两个方程组：224310,210;x y x y x y ⎧-++-=⎨--=⎩ 222220,560.x y x xy y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．例1 解方程组22440,220.x y x y ⎧+-=⎨--=⎩例2 解方程组7,12.x y xy +=⎧⎨=⎩ 练 习1．下列各组中的值是不是方程组2213,5x y x y ⎧+=⎨+=⎩的解?① ② ①②（1）2,3;x y =⎧⎨=⎩ （2）3,2;x y =⎧⎨=⎩ （3）1,4;x y =⎧⎨=⎩ （4）2,3;x y =-⎧⎨=-⎩2．解下列方程组:（1） 225,625;y x x y =+⎧⎨+=⎩ （2）3,10;x y xy +=⎧⎨=-⎩ （3） 221,543;x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩（4）2222,8.y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩2.3.2 一元二次不等式解法（1）当Δ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有两个公共点(x 1，0)和(x 2，0)，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根x 1和x 2(x 1＜x 2)，由图2.3－2①可知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为x ＜x 1，或x ＞x 2；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解为x 1＜x ＜x 2．（2）当Δ＝0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有且仅有一个公共点，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b 2a，由图2.3－2②可知 不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为x ≠－b 2a ；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0无解．（3）如果△＜0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴没有公共点，方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实数根，由图2.3－2③可知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为一切实数；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0无解．例3 解不等式：（1）x 2＋2x －3≤0； （2）x －x 2＋6＜0；（3）4x 2＋4x ＋1≥0； （4）x 2－6x ＋9≤0；（5）－4＋x －x 2＜0．例4已知函数y ＝x 2－2ax ＋1(a 为常数)在－2≤x ≤1上的最小值为n ，试将n 用a 表示出来．练 习1．解下列不等式：（1）3x 2－x －4＞0； （2）x 2－x －12≤0；（3）x 2＋3x －4＞0； （4）16－8x ＋x 2≤0．2.解关于x 的不等式x 2＋2x ＋1－a 2≤0（a 为常数）．习题2．31．解下列方程组：（1）221,420;x y x y ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩（2）22(3)9,20;x y x y ⎧-+=⎨+=⎩（3）22224,2.x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 2．解下列不等式：（1）3x 2－2x ＋1＜0； （2）3x 2－4＜0；（3）2x －x 2≥－1； （4）4－x 2≤0．第三讲 三角形与圆3．1 相似形3.1.1．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.如图 3.1-2，123////l l l ，有AB DE BC EF =.当然，也可以得出AB DE AC DF=.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.例1 如图3.1-2， 123////l l l ，且2,3,4,AB BC DF ===求,DE EF .例2 在ABC 中，,D E 为边,AB AC 上的点，//DE BC ， 求证：AD AE DE AB AC BC==. 平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.例3 在ABC V 中，AD 为BAC Ð的平分线，求证：AB BD AC DC=. 例3的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.练习11．如图3.1-6，123////l l l ，下列比例式正确的是（ ）A ．AD CE DF BC =B ．AD BC BEAF = C ．CE AD DF BC = D.AF BE DFCE =图3.1-62．如图3.1-7，//,//,DE BC EF AB 5,AD cm =3,2,DB cm FC cm ==求BF .3．如图，在ABC V 中，AD 是角BAC 的平分线，AB =5cm,AC =4cm,BC =7cm,求BD 的长.3.1．2．相似形我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？例6 如图3.1-12,在直角三角形ABC 中，BAC Ð为直角，AD BC D ^于.求证：（1）2AB BD BC =?，2AC CD CB =?；（2）2AD BD CD =?练习21．如图3.1-15，D 是ABC V 的边AB 上的一点，过D 点作DE //BC 交AC 于E .已知AD ：DB =2：3，则:A D E B C D ES S V 四边形等于（ ） A ．2:3 B ．4:9 C ．4:5 D ．4:212．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是3:2，则梯形的上、下底长分别是__________.3．已知：ABC V 的三边长分别是3，4，5，与其相似的'''A B C V 的最大边长是15，求'''A B C 的面积'''A B C S V .4．已知：如图3.1-16，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.（1） 请判断四边形EFGH 是什么四边形，试说明理由；（2） 若四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 满足什么条件时，EFGH 是菱形？是正方形？图3.1-7 图3.1-8 图3.1-15 图3.1-16习题3.11．如图3.1-18，ABC V 中，AD =DF =FB ，AE =EG =GC ，FG =4，则（ ）A ．DE =1，BC =7B ．DE =2，BC =6C ．DE =3，BC =5D ．DE =2，BC =82．如图3.1-19，BD 、CE 是ABC V 的中线，P 、Q 分别是BD 、CE 的中点，则:PQ BC 等于（ ）A ．1：3B ．1：4C ．1：5D ．1：63．如图3.1-20，ABCD Y 中，E 是A B 延长线上一点，DE 交BC 于点F ，已知BE ：AB =2：3，4BEF S =V ，求CDF S V .4．如图3.1-21，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE AC ^交AC 于F ，过F 作FG //AB 交AE 于G ，求证：2AG AF FC =?.3.2 三角形3．2．1 三角形的“四心”三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1. 图3.1-18 图3.1-19 图3.1-20 图3.1-21图3.2-3已知 D 、E 、F 分别为ABC V 三边BC 、CA 、AB 的中点，求证 AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2：1.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5）例2 已知ABC V 的三边长分别为,,BC a AC b AB c ===，I 为ABC V 的内心，且I 在ABC V 的边B CA C AB 、、上的射影分别为D E F 、、，求证：2b c a AE AF +-==.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8）例4 求证：三角形的三条高交于一点.已知 ABC V 中，,AD BC D BE AC E ^^于于，AD 与BE 交于H 点. 求证 C H A B ^.过不共线的三点A 、B 、C 有且只有一个圆，该圆是三角形ABC 的外接圆，圆心O 为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.练习11．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.2． （1） 若三角形ABC 的面积为S ，且三边长分别为a b c 、、，则三角形的内切圆的半径是___________;（2）若直角三角形的三边长分别为a b c 、、（其中c 为斜边长），则三角形的内切圆的半径是___________. 并请说明理由.练习21．直角三角形的三边长为3，4，x ,则x =________.图3.2-8 图3.2-52．等腰三角形有两个内角的和是100°，则它的顶角的大小是_________.3．已知直角三角形的周长为3+斜边上的中线的长为1，求这个三角形的面积.习题3.2A 组1．已知：在ABC 中，AB =AC ，120,o BAC AD ∠=为BC 边上的高，则下列结论中，正确的是（）A．2AD AB = B ．12AD AB = C ．AD BD = D．2AD BD = 2．三角形三边长分别是6、8、10，那么它最短边上的高为（ ）A ．6B ．4.5C ．2.4D ．83．如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_________.4．已知：,,a b c 是ABC 的三条边，7,10a b ==，那么c 的取值范围是_________。

中考总复习：二次函数—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标是()A．(-1，8)B．(1，8)C．(-1，2)D．(1，-4)2．若A(-3,y)、B(-2,y)、C(-1,y)，三点都在函数y=-1231x的图象上，则y、y、y的大小关系是()123A.y＜y＜y123B.y=y=y123C.y＜y＜y132D.y＞y＞y1233．函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是()4.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b=0；③a－b＋c=0；④5a＜b．其中正确结论是（）．A．②④B.①④C.②③D.①③5.抛物线y=ax2+bx+c图象如图所示，则一次函数y=-bx-4ac+b2与反比例函数y=标系内的图象大致为（）a+b+cx在同一坐6.矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm．动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s的速度运动至点B停止，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y(单位：cm2)，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）二、填空题7．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2-3x+a2-1的图象，那么a的值是．8．二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，且P=|a－b＋c|＋|2a＋b|，Q=|a＋b＋c|＋|2a－b|，则P、Q的大小关系为.9．给出下列命题：命题1．点(1，1)是双曲线y=命题2．点(1，2)是双曲线y=命题3．点(1，3)是双曲线y=1x2x3x第8题与抛物线y=x2的一个交点．与抛物线y=2x2的一个交点．与抛物线y=3x2的一个交点．……请你观察上面的命题,猜想出命题n(n是正整数):.10．抛物线y=ax2与直线x=1，x=2，y=1，y=2组成的正方形有公共点，则a的取值范围是. 11．如图，在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为30°，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H．在抛物线y=x2（x＞0）上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH 全等，则符合条件的点A的坐标是．⎪第 11 题⎧(x - 1)2 - 1(x ≤3) 12．已知函数 y = ⎨ ，则使 y=k 成立的 x 值恰好有三个，则 k 的值为.⎪⎩(x - 5)2 - 1(x ＞3)三、解答题13．已知双曲线 y = kx与抛物线 y=zx 2+bx+c 交于 A(2,3)、B(m,2)、c(－3,n)三点.(1)求双曲线与抛物线的解析式；(2)在平面直角坐标系中描出点 A 、点 B 、点 △C 并求出ABC 的面积.y1-1 o-11 x第 13 题图14. 已知：二次函数 y =x 2＋bx －3 的图像经过点 P （－2,5）．（1）求 b 的值，并写出当 1＜x ≤3 时 y 的取值范围；（2）设点 P 1（m ,y 1）、P 2（m +1,y 2）、P 3(m +2,y 3)在这个二次函数的图像上．①当 m =4 时，y 1、y 2、y 3 能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由；②当 m 取不小于 5 的任意实数时，y 1、y 2、y 3 一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．15．关于 x 的方程 ax 2 - (1 - 3a ) x + 2a - 1 = 0⎝ 2a 4a （1）当 a 取何值时，二次函数 y = ax 2 - (1 - 3a ) x + 2a - 1的对称轴是 x=-2；（2）求证：a 取任何实数时，方程 ax 2 - (1 - 3a ) x + 2a - 1 = 0 总有实数根.16. 如图，开口向上的抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 x 轴交于 A （ x ，0）和 B （ x ，0）两点， x 和 x 是1 212方程 x 2 + 2 x - 3 = 0 的两个根（ x < x ），而且抛物线交 y 轴于点 C ，∠ACB 不小于 90°. 1 2（1）求点 A 、点 B 的坐标和抛物线的对称轴； （2）求系数 a 的取值范围；（3）在 a 的取值范围内，当 y 取到最小值时，抛物线上有点 P ，使 S的点 P 的坐标.∆APB= 2 3 ，求所有满足条件【答案与解析】 一、选择题1.【答案】A ；【 解 析 】 求 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 有 两 种 方 法 ： ① 抛 物 线 y = ax 2 + bx + (c a ≠0) 的 顶 点 坐 标 为⎛ b 4ac - b 2 ⎫- , ⎪ ，将 y = -3x 2 - 6x + 5 中的 a ，b ，c 直接代入即可求出；②采用配方法， ⎭即将 y = -3x 2 - 6 x + 5 变形为 y = -3(x + 1)2 + 8 ，所以 y = -3x 2 - 6 x + 5 的顶点坐标为(-l ，8)．2.【答案】A ；【解析】主要考查反比例函数的图象和性质. 解答时，应先画出 y = -1 x的图象，如图，然后把A(-3,y )、B(-2,y )、C(-1,y ) 三点在图中表示出来，依据数轴的特性，易知 y ＜y ＜y ，123123故应选 A.3.【答案】C ；【解析】当 a >0 时，抛物线开口向上，一次函数图象过一、三象限，所以排除 A 选项，再看 B 、C 选项，抛物线对称轴在 y 轴右侧，a 、b 异号，所以一次函数应与 y 轴交于负半轴，排除 B 选项； 当 a <0 时，抛物线开口向下，而一次函数图象过二、四象限，排除 D 选项.所以答案选 C.4.【答案】B ；5.【答案】D ；【解析】从二次函数图像可看出a >0， - b2a>0,得 b ＜ 0,c ＜ 0,b 2-4 a c>0.又可看出当 x=1 时，y ＜ 0.所以 a + b + c ＜ 0，由此可知 D 答案正确.6.【答案】A ；【解析】分段函数 y 1=-2x 2+48 (0≤x<4)； y 2=-8x+48 (4≤x<6),故选 A.二、填空题 7．【答案】－1；【解析】图象经过原点（0,0），把点（0,0）代入 y = ax 2 - 3x + a 2 - 1 得 a = ±1 ，因为抛物线开口向下，所以 a = -1 . 8．【答案】P<Q ；【解析】由抛物线的图象可以知道：（1）开口向下， a ＜0；（2）抛物线过原点，c=0 ；（3）对称轴 x=﹣ b2a ＞1，则 b ＞﹣2a ，即 b+2a ＞0；（4）当 x=﹣1 时，y =ax 2＋bx ＋c= a －b+ c ＜0； （5）当 x=1 时，y =ax 2＋bx ＋c= a+b+ c ＞0；（6）因为 a ＜0，b ＞﹣2a ，所以，b ＞0，因此，2a －b ＜0； 则：P －Q=[﹣（a －b+c ）+(2a+b)]－[(a+b+c)－(2a －b)]=﹣a+b －c+2a+b －a －b －c+2a －b =2a ＜0所以，P ＜Q9．【答案】点(1，n )是双曲线 y =n x与抛物线 y = nx 2 的一个交点 ．10．【答案】【解析】如图，四条直线 x=1，x=2，y=1，y=2 围成正方形 ABCD ，因为抛物线与正方形有公共点，所以可得 a ＞0，而且 a 值越大，抛物线开口越小， 因此当抛物线分别过 A （1，2），C （2，1）时，a 分别取得最大值与最小值，代入计算得出：a=2，a= ；⎪由此得出 a 的取值范围是．11．【答案】（3，）、（ ， ）、（2 ，2）、（ ， ）．【解析】由题可得 A 的纵坐标是横坐标的则 Q 的坐标为（0，2t ）或（0，倍，故设 A 的坐标为（ t ）；t ，t ）；可求得 P 点对应的坐标，解得 t 的值有 4 个，为 ， ，2， ；故点 A 的坐标是（3，）、（ ， ）、（2，2）、（ ， ）．12．【答案】3；⎧(x - 1)2 -1(x ≤3)【解析】函数 y = ⎨ 的图象如图：⎪⎩(x - 5)2 -1(x ＞3)，根据图象知道当 y=3 时，对应成立的 x 有恰好有三个，∴k=3．三、解答题y13.【答案与解析】·A(2,3)(1)把点 A(2,3)代入 y = k x得 ：k=6.1·B(2,3)6∴反比例函数的解析式为： y =.x6把点 B(m,2)、C(－3,n)分别代入 y =得： m=3,n=-2.x把 A(2,3)、B(3,2)、C(-3,-2)分别代入 y=ax 2+bx+c 得：-1 o-1·C(-2,-3)1 x第 13 题图a =-⎪9a - 3b + c = -2 ⎪⎪c = 3(⎧4a + 2b + c = 3⎪ ⎨9a + 3b + c = 2解之得 ⎨b = ⎩∴抛物线的解析式为：y=-(2)描点画图1 2x 2 + x + 3 . 3 3△S A BC = 1 1 1 35 1(1+6)×5- ×1×1- ×6×4= - - 12 =5. 2 2 2 2 214.【答案与解析】解：（1）把点 P 代入二次函数解析式得 5= （－2）2－2b －3，解得 b=－2.当 1＜x ≤3 时 y 的取值范围为－4＜y ≤0.（2）①m=4 时，y 1、y 2、y 3 的值分别为 5、12、21，由于 5+12＜21，不能成为三角形的三边长．②当 m 取不小于 5 的任意实数时，y 1、y 2、y 3 的值分别为 m 2－2m －3、m 2－4、m 2＋2m －3，由于，m 2－2m －3＋m 2－4＞m 2＋2m －3，（m －2）2－8＞0，当 m 不小于 5 时成立，即 y 1＋y 2＞y 3 成立．所以当 m 取不小于 5 的任意实数时，y 1、y 2、y 3 一定能作为同一个三角形三边的长，15.【答案与解析】(1)解：∵二次函数 y = ax 2 - (1 - 3a ) x + 2a - 1的对称轴是 x=-2∴ -- (1 - 3a ) 2a= -2解得 a=-1经检验 a=-1 是原分式方程的解.所以 a=-1 时，二次函数 y = ax 2 - (1 - 3a ) x + 2a - 1的对称轴是 x=-2；（2）①当 a=0 时，原方程变为-x-1=0，方程的解为 x= -1；②当 a≠0 时，原方程为一元二次方程， a x 2 - (1 - 3a ) x + 2a - 1 = 0 ，当 b 2 - 4ac ≥ 0时，方程总有实数根，∴ [- 1 - 3a )]2 - 4a (2a -1) ≥ 0⎧ 若∠ACB ＞90°，则 OC < 3 ， a < 3y = 3 x 2 + x - 3 ，由 AB ＝ - 3 - 1 = 4 ， S ，整理得， a 2 - 2a + 1 = 0(a -1) 2 ≥ 0∵a≠0 时，(a -1) 2 ≥ 0 总成立所以 a 取任何实数时，方程 ax 2 - (1 - 3a ) x + 2a - 1 = 0 总有实数根.16.【答案与解析】（1）A （－3，0）B （1，0），对称轴 x = -1；（2） ⎨9a - 3b + c = 0⎩a + b + c = 0⎧b = 2a化简得 ⎨ OC ＝ 3a .⎩c = -3a若∠ACB ＝90°，则 OC 2 = OA ⋅ OB ， OC =3 ， a = 3 3；3；所以 0 < a ≤ .3 3（ 3 ） 由 （ 2 ） 有 y = ax 2+ 2ax - 3a ， 当 a 在 取 值 范 围 内 ， y 取 到 最 小 值 时 ， a =33，2 33 3∆APB = 2 3得： y = ± 3 . P当 y = P3 时， x = 1 + 7 ， x = 1 - 7 ，∴ P （ - 1＋ 7 ， 3 ） P （ - 1 - 7 ， 3 ）； 1 2 1 2当 y = - 3 时， x = 0 ， x = -2 ，∴ P （0， - 3 ）， P （－2， - 3 ）.P 3 434。

以下是为⼤家整理的九年级数学知识点巩固同步练习题及答案的⽂章，希望⼤家能够喜欢！⼀. 选择题：1. 如果(a－1)x＋ax＋a－1＝0是关于x的⼀元⼆次⽅程，那么必有（）A. a≠0B. a≠1C. a≠－1D. a＝±－12. 某种产品原来每件的成本是100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是81元，设平均每次降低成本的百分率为x，则所得⽅程为（）22 A. 100(1＋x)＝81 B. 100(1－x)＝81C. 81 (1－x)＝100D. 81(1＋x)＝1002 3. 若a－b＋c＝0，则⼀元⼆次⽅程ax＋bx＋c＝0有⼀根是（）A. 2B. 1C. 0D. －12 4. 若ax－5x＋3＝0，是⼀元⼆次⽅程，则不等式3a＋6>0的解集是（） 22221A. a>－2B. a－2且a≠0 D. a<25. ⼀元⼆次⽅程3x－2x＝1的⼆次项系数、⼀次项系数、常数项分别是（）A. 3,2,1B. 3,－2,1C. 3,－2, －1D. －3,2,1⼆. 填空题：6. 关于x的⼀元⼆次⽅程(ax－1)(ax－2) ＝x－2x＋6中，a的取值范围是|m－2| 7. 已知关于x的⽅程mx＋2(m＋1)x－3＝0是⼀元⼆次⽅程，则m＝22 8. k为何值时，(k－9)x＋(k－5)x－3＝0不是关于x的⼀元⼆次⽅程？22 9. 已知|a 25| a b 9 0，关于x的⽅程ax＋bx＝5x－4是⼀元⼆次⽅程，则25x＋2x－1＝222三. 解答题：10. k为何值时，(k－1)x＋(k＋1)x－2＝0；（1）是⼀元⼀次⽅程？（2）是⼀元⼆次⽅程？11. 已知⼀元⼆次⽅程ax＋bx＋c＝0的⼀个根是1，且a、b满⾜等式2221b a 2 2 a 3,求⽅程y2 c 0的根4。

12. 根据题意列出⽅程。

（1）长5m的梯⼦斜靠在墙上，梯⼦的底端与墙的距离是3m，如果梯⼦底端向右滑动的距离与梯⼦顶端向下滑动的距离相等，设为xm，求梯⼦滑动的距离。

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】【巩固练习】一.选择题1．已知函数y=2x-1，当x=a时的函数值为1，则a的值为（）x+2A．3 B．－1 C．－3 D．12.目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，请写出y与x之间的函数关系式是（）A．y=0.05x B．y=5x C．y=100x D．y=0.05x+1003.下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（）A．y=2x中，x取全体实数B．y=21中，x取x≠－1的实数x+11中，x取x≥－3的x+3C．y=实数4.若直线x-2中，x取x≥2的实数D．y=经过点A(2，0)、B(0，2)，则、的值是 ( )A．＝1，＝2B．＝1，＝－2C．＝－1，＝2D．＝－1，＝－25．星期天晚饭后，小红从家里出发去散步，下图描述了她散步过程中离家s（米）与散步所用的时间t(分)之间的函数关系．依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（）A.从家出发,到了一个公共阅报栏,看了一会报后,就回家了.B.从家出发,一直散步(没有停留),然后回家了.C.从家出发,到了一个公共阅报栏,看了一会报后,继续向前走了一会,然后回家了.D.从家出发,散了一会步,就找同学去了,18分钟后才开始返回.6.一次函数y=ax+b，若a+b＝1，则它的图象必经过点（）A、(－1,－1)B、(－1, 1)C、(1,－1)D、(1, 1)7.（2016商河县二模）如图，经过点B（﹣2，0）的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A（﹣1，﹣2），4x+2＜kx+b＜0的解集为（）A．x＜﹣2B．﹣2＜x＜﹣1C．x＜﹣1D．x＞﹣18.（2015春•娄底期末）正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y=x+k的图象大致是（）A． B． C． D．二.填空题9.汇通公司销售人员的个人月收入y(元)与其每月的销售量x(千件)成一次函数关系，其图象如图所示，则此销售人员的月销售量为3500件时的月收入是________元．10．观察下列各正方形图案，每条边上有n(n＞2)个圆点，每个图案中圆点的总数是S．按此规律推断出S与n的关系式为．11.（2015春•延边州期末）若一次函数y=（k﹣2）x+1（k是常数）中y随x的增大而增大，则k的取值范围是．12.若函数13.若一次函数14．已知直线15.已知一次函数和的图象过第一、二、三象限，则中，____________.，则它的图象不经过第________象限.的交点在第三象限，则k的取值范围是__________．与两坐标轴围成的三角形面积为4，＝________．16．（2016如皋市一模）如图，直线y=3x和y=kx+2相交于点P（a，3），则不等式3x≥kx+2的解集为．三.解答题17.如图所示，表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程和时间变化的图象，根据图象回答问题．(1)分析图象，求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式；(2)指出轮船和快艇的行驶速度；(3)问快艇出发多长时间赶上轮船?18．（2015春•高新区期末）已知点A（4，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=6，O 为坐标原点，设△OPA的面积为S．（1）求S关于x的函数解析式；（2）求x的取值范围；（3）当S=6时，求P点坐标．19.已知一次函数y=-2x+1（1）若自变量x的范围是－1≤x≤2，求函数值y的范围.（2）若函数值y的范围是－1≤y≤2，求自变量x的范围.20.某影碟出租店开设两种租碟方式：一种是零星租碟，每张收费1元；另一种是会员卡租碟，办卡费每月12元，租碟费每张0.4元．小彬经常来该店租碟，若每月租碟数量为张.（1）写出零星租碟方式应付金额（2）写出会员卡租碟方式应付金额(元)与租碟数量（张）之间的函数关系式；(元 )与租碟数量(张)之间的函数关系式；（3）小彬选取哪种租碟方式更合算？【答案与解析】一.选择题1.【答案】A；2.【答案】B；【解析】y =100⨯0.05x ，即y =5x ．3.【答案】D；【解析】一般地，在一个函数关系式中，自变量的取值必须使函数解析式有意义；对于一个实际问题，自变量的取值必须使实际问题有意义，选D．4.【答案】C；【解析】将点A、B 的坐标代入y =kx +b 求得k ＝－1，b ＝2.5.【答案】C；6.【答案】D；【解析】当x ＝1时，y ＝1，故它的图象过点（1，1）.7.【答案】B；【解析】∵直线y=kx +b 与直线y=4x +2相交于点A （﹣1，﹣2），直线y=kx +b 与x 轴的交点坐标为B （﹣2，0），又∵当x ＜﹣1时，4x +2＜kx +b ，当x ＞﹣2时，kx +b＜0，∴不等式4x +2＜kx +b ＜0的解集为﹣2＜x ＜﹣1，故选B ．8.【答案】A；【解析】解：∵正比例函数y=kx 的函数值y 随x 的增大而增大，∴k＞0，∵b=k＞0，∴一次函数y=x+k 的图象经过一、二、三象限，故选A.二.填空题9.【答案】1550；【解析】y =300x +500．当x ＝3.5时，y ＝300×3.5＋500＝1550(元)10.【答案】S＝4n －4（n ≥2）；11.【答案】k＞2；【解析】解：∵一次函数y=（k﹣2）x+1（k 是常数）中y 随x 的增大而增大，∴k﹣2＞0，解得k＞2，故答案为：k＞2．12．【答案】；【解析】由题意，m ＞0，且4m -3>0.13.【答案】一；14．【答案】；【解析】求出交点坐标x =k ，y =3k ,因为交点在第三象限，故k ＜0.15.【答案】；【解析】由题意：⨯|-12b |⨯|b |=4,b 2=16,b =±4.216.【答案】x ≥1；【解析】∵直线y=3x 和直线y=kx +2的图象相交于点P （a ，3），∴3=3a ，解得a=1，∴P （1，3），由函数图象可知，当x ≥1时，直线y=3x 的图象在直线y=kx +2的图象的上方，即当x ≥1时，3x ≥kx +2．三.解答题17.【解析】解：(1)设轮船的路程与时间的解析式为y=kt．∵其过(8，160)可得160＝8k，∴k＝20．即轮船的路程和时间的函数解析式为y=20t(0≤t≤8)．设快艇的路程和时间的解析式为了y=k1t+b∵点(2，0)，(6，160)在图象上，⎧2k1+b=0⎧k1=40∴⎨，解得⎨．6k+b=160b=-80⎩⎩1∴快艇的路程与时间的关系式为y=40t-80(2≤t≤6)．(2)轮船的速度为20千米/时，快艇的速度为40千米/时．(3)快艇追上轮船时，离起点的距离相等．∴20t=40t-80，解得t=4．∵ 4－2＝2，∴快艇出发2小时后赶上轮船．18.【解析】解：（1）∵A和P点的坐标分别是（4，0）、（x，y），∴S=×4×y=2y．∵x+y=6，∴y=6﹣x．∴S=2（6﹣x）=12﹣2x．∴所求的函数关系式为：S=﹣2x+12．（2）由（1）得S=﹣2x+12＞0，解得：x＜6；又∵点P在第一象限，∴x＞0，综上可得x的范围为：0＜x＜6．（3）∵S=6，∴﹣2x+12=6，解得x=3．∵x+y=6，∴y=6﹣3=3，即P（3，3）．19.【解析】解：（1）∵y=-2x+1，又－1≤x≤2∴x＝0.5－0.5y∴－1≤0.5－0.5y≤2即－1≤0.5－0.5y且0.5－0.5y≤2解之，得－3≤y≤3（2）∵－1≤y≤2∴－1≤－2x＋1≤2解之，得－0.5≤x≤1.20.【解析】解：（1）（2），所以，当租碟少于20张时，选零星租碟方式合算；当租碟20张时，两种方式一样；当租碟大于20张时，选会员卡租碟合算．。

初一数学复习题及答案初一数学复习题及答案数学是一门需要不断巩固和复习的学科，尤其对于初一的学生来说，数学的基础知识非常重要。

为了帮助初一学生复习数学，下面将提供一些常见的数学复习题及答案，供大家参考。

一、整数运算1. 计算：(-5) + (-8) + 3 + (-2) + 7 - 4答案：-92. 计算：(-6) × 4 - 2 × (-3) + 10 ÷ (-2)答案：-203. 计算：(-3) × (-4) × (-2) ÷ (-6)答案：8二、平方根1. 求下列数的平方根：9答案：32. 求下列数的平方根：16答案：43. 求下列数的平方根：25答案：5三、分数运算1. 计算：(2/3) + (1/4) - (5/6)答案：-1/122. 计算：(3/5) × (4/7) ÷ (2/3)答案：12/353. 计算：(2/3) + (5/6) - (1/2)答案：5/6四、百分数1. 将0.6写成百分数答案：60%2. 将1/4写成百分数答案：25%3. 将0.75写成百分数答案：75%五、几何图形1. 一个正方形的边长为5cm，求它的周长和面积。

答案：周长为20cm，面积为25cm²。

2. 一个长方形的长为8cm，宽为3cm，求它的周长和面积。

答案：周长为22cm，面积为24cm²。

3. 一个圆的半径为6cm，求它的周长和面积（取π=3.14）。

答案：周长为37.68cm，面积为113.04cm²。

六、代数式1. 化简代数式：3x + 2y - 4x + y答案：-x + 3y2. 化简代数式：(2a + 3b) - (a - b)答案：a + 4b3. 化简代数式：(4x - 2y) + (3x + 5y)答案：7x + 3y通过以上的数学复习题，我们可以巩固和复习初一数学的基础知识。

2022年人教版初中数学9年级上册《圆》全章复习与巩固—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.对于下列命题：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中，正确的有()．A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2020•海南）如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（）A．45°B．30°C．75°D．60°3．秋千拉绳长3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡秋千时，秋千在最高处踩板离地面2米(左右对称)，如图所示，则该秋千所荡过的圆弧长为().A.米B.米C.米D.米4．已知两圆的半径分别为2、5，且圆心距等于2，则两圆位置关系是()．A．外离B．外切C．相切D．内含5．如图所示，在直角坐标系中，一个圆经过坐标原点O，交坐标轴于E、F，OE＝8，OF＝6，则圆的直径长为()．A．12B．10C．4D．15第3题图第5题图第6题图第7题图6．如图所示，方格纸上一圆经过(2，5)，(-2，1)，(2，-3)，(6，1)四点，则该圆圆心的坐标为()．A．(2，-1)B．(2，2)C．(2，1)D．(3，1)7．如图所示，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，若∠CAB＝55°，则∠AOB等于()．A．55°B．90°C．110°D．120°8．一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，这个圆锥的侧面展开图的圆心角是()．A．60°B．90°C．120°D．180°二、填空题9．如图所示，△ABC内接于⊙O，要使过点A的直线EF与⊙O相切于A点，则图中的角应满足的条件是________________(只填一个即可).10．已知两圆的圆心距为3，的半径为1.的半径为2，则与的位置关系为________.11．如图所示，DB切⊙O于点A，∠AOM=66°，则∠DAM=________________.第9题图第11题图第12题图第15题图12．如图所示，⊙O的内接四边形ABCD中，AB=CD，则图中与∠1相等的角有________________.13．点M到⊙O上的最小距离为2cm，最大距离为10cm，那么⊙O的半径为________．14．已知半径为R的半圆O，过直径AB上一点C，作CD⊥AB交半圆于点D，且32CD R=，则AC的长为________．15．如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，D是弧AB上一点，连接BD，并延长至E，连接AD，若AB＝AC，∠ADE＝65°，则∠BOC＝________．16.（2020•衢州）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽CD等于m．三、解答题17．如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E，交AC于点C，使BED C∠=∠．试判断直线AC与圆O的位置关系，并证明你的结论；CA O BE D18．在直径为20cm的圆中，有一弦长为16cm，求它所对的弓形的高。

2022年人教版初中数学8年级上册【巩固练习】一.选择题1.如图所示，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为（）A.2B.3C.5D.2.52.（2020春•平顶山期末）请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS3.如图，△ABC≌△AEF，若∠ABC和∠AEF是对应角，则∠EAC等于（）A．∠ACB B．∠CAF C．∠BAF D．∠BAC4.在下列结论中,正确的是()A.全等三角形的高相等B.顶角相等的两个等腰三角形全等C.一角对应相等的两个直角三角形全等D.一边对应相等的两个等边三角形全等5.如图，点C、D分别在∠AOB的边OA、OB上，若在线段CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）．A.线段CD的中点B.OA与OB的中垂线的交点C.OA与CD的中垂线的交点D.CD与∠AOB的平分线的交点6．在△ABC与△DEF中，给出下列四组条件：（1）AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；（2）AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；（3）∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；（4）AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．其中，能使△ABC≌△DEF 的条件共有（）组．A．1组B．2组C．3组D．4组7.如果两个锐角三角形有两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（）A.相等B.不相等C.互补D.相等或互补8.△ABC 中，∠BAC＝90°AD⊥BC，AE 平分∠BAC，∠B＝2∠C，∠DAE 的度数是()A.45°B.20°C.、30°D.15°二.填空题9.已知'''ABC A B C △≌△，若△ABC 的面积为102cm ，则'''A B C △的面积为________2cm ，若'''A B C △的周长为16cm ，则△ABC 的周长为________cm ．10.△ABC 和△ADC 中，下列三个论断：①AB＝AD；②∠BAC＝∠DAC；③BC＝DC．将两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题，写出一个真命题：__________．11.（2015春•成都校级期末）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AD 平分∠BAC ，CD=2cm ，则BD 的长是．12.下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．正确的是_____.13.如右图，在△ABC 中，∠C＝90°，BD 平分∠CBA 交AC 于点D．若AB＝a ，CD＝b ，则△ADB 的面积为______________．14．如图，已知AB⊥BD,AB∥ED，AB＝ED，要说明ΔABC≌ΔEDC，若以“SAS”为依据，还要添加的条件为______________；若添加条件AC＝EC，则可以用_______公理（或定理）判定全等.15.如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝________.16.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.若AB＝20cm，则△DBE的周长为_________.三.解答题17.已知：如图，CB＝DE，∠B＝∠E，∠BAE＝∠CAD．求证：∠ACD＝∠ADC．18．已知：△ABC中，AC⊥BC，CE⊥AB于E，AF平分∠CAB交CE于F，过F作FD∥BC交AB 于D．求证：AC＝AD19.已知：如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD．求证：BE=CF．20.（2020•北京校级模拟）感受理解如图①，△ABC是等边三角形，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，则线段FE与FD之间的数量关系是自主学习事实上，在解决几何线段相等问题中，当条件中遇到角平分线时，经常采用下面构造全等三角形的解决思路如：在图②中，若C是∠MON的平分线OP上一点，点A在OM上，此时，在ON上截取OB=OA，连接BC，根据三角形全等判定（SAS），容易构造出全等三角形△OBC和△OAC，从而得到线段CA与CB相等学以致用参考上述学到的知识，解答下列问题：如图③，△ABC不是等边三角形，但∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．求证：FE=FD．【答案与解析】一.选择题1.【答案】B；【解析】根据全等三角形对应边相等，EC＝AC－AE＝5－2＝3；2.【答案】D；【解析】解：根据作图过程可知O′C′=OC，O′B′=OB，C′D′=CD，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS）．故选D．3.【答案】C；【解析】∠EAF＝∠BAC，∠EAC＝∠EAF－∠CAF＝∠BAC－∠CAF＝∠BAF.4.【答案】D；【解析】A项应为全等三角形对应边上的高相等；B项如果腰不相等不能证明全等；C项直角三角形至少要有一边相等.5.【答案】D；【解析】角平分线上的点到角两边的距离相等.6.【答案】C；【解析】（1）（2）（3）能使两个三角形全等.7.【答案】A；【解析】高线可以看成为直角三角形的一条直角边，进而用HL 定理判定全等.8.【答案】D；【解析】由题意可得∠B＝∠DAC＝60°，∠C＝30°，所以∠DAE＝60°－45°＝15°.二.填空题9.【答案】10，16；【解析】全等三角形面积相等，周长相等.10．【答案】①②③；11.【答案】4cm；【解析】解：∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=90°﹣30°=60°，∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD=∠BAD=×60°=30°，∴AD=2CD=2×2=4cm ，又∵∠B=∠ABD=30°，∴AD=BD=4cm ．故答案为：4cm.12.【答案】①③【解析】②不正确是因为存在两个全等的三角形与某一个三角形不全等的情况.13.【答案】ab 21；【解析】由角平分线的性质，D 点到AB 的距离等于CD＝b ，所以△ADB 的面积为ab 21.14.【答案】BC＝DC ，HL；15.【答案】45°；【解析】Rt△BDH≌Rt△ADC，BD＝AD.16.【答案】20cm ；【解析】BC＝AC＝AE，△DBE 的周长等于AB.三.解答题17．【解析】证明：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE -∠CAE ＝∠CAD -∠CAE，即∠BAC＝∠EAD．在△ABC 和△AED 中，BAC EAD B E BC ED ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝，＝，＝，∴△ABC≌△AED．（AAS）∴AC＝AD．∴∠ACD＝∠ADC．18.【解析】证明：∵AC⊥BC，CE⊥AB∴∠CAB＋∠1＝∠CAB＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3又∵FD∥BC∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2在△CAF 与△DAF 中CAF=DAF 1=2AF=AF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△CAF 与△DAF（AAS）∴AC＝AD.19.【解析】证明：∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于E，DF⊥AC 于F，（已知）∴DE=DF（角平分线上的点到角两边距离相等）又∵BD=CD∴△BDE≌△CDF（HL）∴BE=CF20.【解析】解：感受理解EF=FD ．理由如下：∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=∠BCA ，∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，∴∠DAC=∠ECA ，∠BAD=∠BCE ，∴FA=FC ．∴在△EFA 和△DFC 中，，∴△EFA ≌△DFC ，∴EF=FD ；学以致用：证明：如图1，在AC 上截取AG=AE ，连接FG．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠1=∠2，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴∠AFE=∠AFG，FE=FG，∵∠B=60°，∴∠BAC+∠ACB=180°﹣60°=120°，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠2=∠BAC，∠3=∠ACB，∴∠2+∠3=（∠BAC+∠ACB）=×120°=60°，∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°．∴∠CFG=180°﹣∠AFG﹣∠CFD=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠CFG=∠CFD，∵CE是∠BCA的平分线，∴∠3=∠4，在△CFG和△CFD中，，∴△CFG≌△CFD（ASA），∴FG=FD，∴FE=FD．全等三角形全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3．会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明.【知识网络】【要点梳理】要点一、全等三角形的判定与性质要点二、全等三角形的证明思路SAS HL SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS ⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边要点三、角平分线的性质1.角的平分线的性质定理角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.2.角的平分线的判定定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.3.三角形的角平分线三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.4.与角平分线有关的辅助线在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.要点四、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.1．证明线段相等的方法：(1)证明两条线段所在的两个三角形全等.(2)利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3)等式性质.一般三角形直角三角形判定边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）边边边（SSS）两直角边对应相等一边一锐角对应相等斜边、直角边定理（HL）性质对应边相等，对应角相等（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）备注判定三角形全等必须有一组对应边相等2．证明角相等的方法：(1)利用平行线的性质进行证明.(2)证明两个角所在的两个三角形全等.(3)利用角平分线的判定进行证明.(4)同角（等角）的余角（补角）相等.(5)对顶角相等.3．证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法；可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4．辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.5.证明三角形全等的思维方法:（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.【典型例题】类型一、全等三角形的性质和判定1、（2020•西城区模拟）问题背景：（1）如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是．探索延伸：（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【思路点拨】（1）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；（2）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题．【答案与解析】证明：（1）在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；故答案为EF=BE+DF．（2）结论EF=BE+DF仍然成立；理由：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF.【总结升华】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF≌△AGF 是解题的关键．举一反三：【变式】如图，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE.【答案】证明：∵AE⊥AB，AD⊥AC，∴∠EAB＝∠DAC＝90°∴∠EAB＋∠DAE＝∠DAC＋∠DAE ，即∠DAB＝∠EAC.在△DAB 与△EAC 中，DAB EAC AB AC B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DAB≌△EAC （ASA）∴BD＝CE.类型二、巧引辅助线构造全等三角形(1)．作公共边可构造全等三角形：2、如图：在四边形ABCD 中，AD∥CB，AB∥CD.求证：∠B＝∠D.【思路点拨】∠B 与∠D 不包含在任何两个三角形中，只有添加辅助线AC，根据平行线的性质，可构造出全等三角形.【答案与解析】证明：连接AC，∵AD∥CB，AB∥CD.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4在△ABC 与△CDA 中1243AC CA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC≌△CDA（ASA）∴∠B＝∠D【总结升华】添加公共边作为辅助线的时候不能割裂所给的条件，如果证∠A＝∠C，则连接对角线BD.举一反三：【变式】在ΔABC 中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C【答案】证明：过点A 作AD⊥BC在Rt△ABD 与Rt△ACD 中AB AC AD AD=⎧⎨=⎩∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）∴∠B＝∠C.(2)．倍长中线法：3、己知：在ΔABC 中，AD 为中线.求证：AD＜()12AB AC +【答案与解析】证明：延长AD 至E，使DE＝AD，∵AD 为中线，∴BD＝CD在△ADC 与△EDB 中DC DB ADC BDE AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC≌△EDB（SAS）∴AC＝BE在△ABE 中，AB＋BE＞AE，即AB＋AC＞2AD∴AD＜()12AB AC +.【总结升华】用倍长中线法可将线段AC，2AD，AB 转化到同一个三角形中，把分散的条件集中起来.倍长中线法实际上是绕着中点D 旋转180°.举一反三：【变式】若三角形的两边长分别为5和7,则第三边的中线长x 的取值范围是()A.1＜x ＜6B.5＜x ＜7C.2＜x ＜12D.无法确定【答案】A ；提示：倍长中线构造全等三角形，7－5＜2x ＜7＋5，所以选A 选项.(3).作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形：4、在ΔABC 中，AB＞AC.求证：∠B＜∠C 【答案与解析】证明：作∠A 的平分线，交BC 于D，把△ADC 沿着AD 折叠，使C 点与E 点重合.在△ADC 与△ADE 中A C AE CAD EAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC≌△ADE（SAS）∴∠AED＝∠C∵∠AED 是△BED 的外角，∴∠AED＞∠B，即∠B＜∠C.【总结升华】作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形.举一反三：【变式】（2015•开县二模）如图，已知，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD 交BD延长线于点E．（1）若AD=1，求DC；（2）求证：BD=2CE．【答案】解：（1）如图1，过点D作DH⊥BC于H，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠BCA=45°，∴DH=CH，∵BD是∠ABC的平分线，∴DH=AD=1，∴CD=；（2）如图2，延长CE、BA相交于点F，∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，∴∠EBF=∠ACF，在△ABD和△ACF中∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD=CF，在△BCE和△BFE中，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE=EF，∴BD=2CE．(4)．利用截长(或补短)法构造全等三角形：5、如图所示，已知△ABC 中AB＞AC，AD 是∠BAC 的平分线，M 是AD 上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．【思路点拨】因为AB＞AC，所以可在AB 上截取线段AE＝AC，这时BE＝AB－AC，如果连接EM，在△BME 中，显然有MB－ME＜BE．这表明只要证明ME＝MC，则结论成立．【答案与解析】证明：∵AB＞AC，则在AB 上截取AE＝AC，连接ME．在△MBE 中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）．在△AMC 和△AME 中，()()()AC AE CAM EAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所作，角平分线的定义，公共边，∴△AMC≌△AME（SAS）．∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）．又∵BE＝AB－AE，∴BE＝AB－AC，∴MB－MC＜AB－AC．【总结升华】充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键.类型三、全等三角形动态型问题6、如图（1），AB⊥BD 于点B，ED⊥BD 于点D，点C 是BD 上一点．且BC＝DE，CD＝AB．（1）试判断AC 与CE 的位置关系，并说明理由；（2）如图（2），若把△CDE 沿直线BD 向左平移，使△CDE 的顶点C 与B 重合，此时第（1）问中AC 与BE的位置关系还成立吗？（注意字母的变化）【答案与解析】证明：（1）AC⊥CE．理由如下：在△ABC 和△CDE 中，,90,,BC DE B D AB CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABC≌△CDE（SAS）．∴∠ACB＝∠E．又∵∠E＋∠ECD＝90°，∴∠ACB＋∠ECD＝90°．∴AC⊥CE．（2）∵△ABC 各顶点的位置没动，在△CDE 平移过程中，一直还有AB C D '=，BC＝DE，∠ABC＝∠EDC＝90°，∴也一直有△ABC≌△C DE '(SAS)．∴∠ACB＝∠E．而∠E＋∠EC D '＝90°，∴∠ACB＋∠EC D '＝90°．故有AC⊥C E '，即AC 与BE 的位置关系仍成立．【总结升华】变还是不变，就看在运动的过程中，本质条件（本题中的两三角形全等）变还是没变．本质条件变了，结论就会变；本质条件不变，仅仅是图形的位置变了.结论仍然不变．举一反三：【变式】如图(1)，△ABC 中，BC＝AC，△CDE 中，CE＝CD，现把两个三角形的C 点重合，且使∠BCA＝∠ECD，连接BE，AD．求证：BE＝AD．若将△DEC 绕点C 旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE 与AD还相等吗?为什么?【答案】证明：∵∠BCA＝∠ECD，∴∠BCA－∠ECA＝∠ECD－∠ECA，即∠BCE＝∠ACD在△ADC 与△BEC 中ACD=BCE AC BC CD CE =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩∴△ADC≌△BEC(SAS)∴BE＝AD．若将△DEC绕点C旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE与AD还相等，因为还是可以通过SAS证明△ADC≌△BEC.【巩固练习】一.选择题1.（2020春•龙岗区期末）如图，在△ABC与△DEF中，给出以下六个条件：（1）AB=DE；（2）BC=EF；（3）AC=DF；（4）∠A=∠D；（5）∠B=∠E；（6）∠C=∠F．以其中三个作为已知条件，不能判断△ABC与△DEF全等的是（）A．（1）（5）（2）B．（1）（2）（3）C．（2）（3）（4）D．（4）（6）（1）2.如图,在∠AOB的两边上截取AO＝BO,CO＝DO,连结AD、BC交于点P.则下列结论正确的是()①△AOD≌△BOC；②△APC≌△BPD；③点P在∠AOB的平分线上A.只有①B.只有②C.只有①②D.①②③3.如图,AB∥CD,AC∥BD,AD与BC交于O,AE⊥BC于E,DF⊥BC于F,那么图中全等的三角形有()A.5对B.6对C.7对D.8对4．如图，AB⊥BC于B，BE⊥AC于E，∠1＝∠2，D为AC上一点，AD＝AB，则（）．A．∠1＝∠EFD B．FD∥BC C．BF＝DF＝CD D．BE＝EC5.如图，△ABC≌△FDE，∠C＝40°，∠F＝110°，则∠B等于（）A.20°B.30°C.40°D.150°6.根据下列条件能画出唯一确定的△ABC的是（）A.AB＝3，BC＝4，AC＝8B.AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C.∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4D.∠C＝90°，AB＝AC＝67.如图，已知AB＝AC，PB＝PC，且点A、P、D、E在同一条直线上.下面的结论：①EB＝EC；②AD⊥BC；③EA平分∠BEC；④∠PBC＝∠PCB.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个8.如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）A．50B．62C．65D．68二.填空题9.在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标．10.如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝________.11.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.若AB＝20cm，则△DBE的周长为_________.12.如图，△ABC中，∠C＝90°，ED∥AB，∠1＝∠2，若CD＝1.3cm，则点D到AB边的距离是_______.13.如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，若点O到三角形三边的距离相等，则∠AOC＝_________.14.如图，BA⊥AC，CD∥AB，BC＝DE，且BC⊥DE.若AB＝2，CD＝6，则AE＝_______.15.（2020•黄冈中学自主招生）如图所示，已知P是正方形ABCD外一点，且PA=3，PB=4，则PC的最大值是．16.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过A点的一条直线，AE⊥CE于E，BD⊥AE于D，DE＝4cm，CE＝2cm，则BD＝_______.三.解答题17．如图所示，已知在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE＋CD＝AC．18.在四边形ABCP中，BP平分∠ABC，PD⊥BC于D，且AB＋BC＝2BD.求证：∠BAP＋∠BCP＝180°.19.如图：已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF.20．（2020•于洪区一模）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】解：A、（1）（5）（2）符合“SAS”，能判断△ABC与△DEF全等，故本选项错误；B、（1）（2）（3）符合“SSS”，能判断△ABC与△DEF全等，故本选项错误；C、（2）（3）（4），是边边角，不能判断△ABC与△DEF全等，故本选项正确；D、（4）（6）（1）符合“AAS”，能判断△ABC与△DEF全等，故本选项错误．故选C．2.【答案】D；【解析】可由SAS证①，由①和AAS证②，SSS证③.3.【答案】C；4.【答案】B；【解析】证△ADF≌△ABF，则∠ABF＝∠ADF＝∠ACB，所以FD∥BC.5.【答案】B；【解析】∠C＝∠E，∠B＝∠FDE＝180°－110°－40°＝30°.6.【答案】C；【解析】A项构不成三角形，B项是SSA，D项斜边和直角边一样长，是不可能的.7.【答案】D；8.【答案】A；【解析】易证∴△EFA≌△ABG得AF=BG，AG=EF．同理证得△BGC≌△DHC得GC=DH，CH=BG．故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16，故S=12（6+4）×16-3×4-6×3=50．二.填空题9.【答案】（1，5）或（1，－1）或（5，－1）；10.【答案】45°；【解析】Rt△BDH≌Rt△ADC，BD＝AD.11.【答案】20cm ；【解析】BC＝AC＝AE，△DBE 的周长等于AB.12.【答案】1.3cm ；【解析】AD 是∠BAC 的平分线，点D 到AB 的距离等于DC.13.【答案】135°；【解析】点O为角平分线的交点，∠AOC＝180°－12（∠BAC＋∠BCA）＝135°.14.【答案】4；【解析】证△ABC≌△CED.15.【答案】3+4；【解析】解：如图，过点B 作BE⊥BP，且BE=PB，连接AE、PE、PC，则PE=PB=4，∵∠ABE=∠ABP+90°，∠CBP=∠ABP+90°，∴∠ABE=∠CBP，在△ABE 和△CBP 中，，∴△ABE≌△CBP（SAS），∴AE=PC，由两点之间线段最短可知，点A、P、E 三点共线时AE 最大，此时AE=AP+PE=3+4，所以，PC 的最大值是3+4．故答案为：3+4．16.【答案】6cm ；【解析】∠CAE＝∠ABD，△ABD≌△CAE.三.解答题17.【解析】证明：如图所示，在AC 上取点F，使AF＝AE，连接OF，在△AEO 和△AFO 中，,12,AE AF AO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEO≌△AFO（SAS）．∴∠EOA＝∠FOA．∵∠B＝60°，∴∠AOC＝180°－(∠OAC＋∠OCA)＝180°－12(∠BAC＋∠BCA)＝180°－12(180°－60°)＝120°．∴∠AOE＝∠AOF＝∠COF＝∠DOC＝60°．在△COD 和△COF 中，,,,COD COF OC OC OCD OCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△COD≌△COF（ASA）．∴CD＝CF．∴AE＋CD＝AF＋CF＝AC．18.【解析】证明：过点P 作PE⊥AB，交BA 的延长线于E，∵BP 平分∠ABC，PD⊥BC ，PE⊥AB，∴PE＝PD在Rt△PBE 与Rt△PBD 中，BP＝BP，PE＝PD∴Rt△PBE≌Rt△PBD（HL）∴BE＝BD又∵AB＋BC＝2BD.∴AB＋BD＋DC＝2BD，即AB＋DC＝BD∴AE＝DC由（SAS）可证Rt△PEA≌Rt△PDC，∴∠PAE＝∠PCD∵∠BAP＋∠PAE＝180°∴∠BAP＋∠BCP＝180°.19.【解析】证明：在DA 上截取DN＝DB，连接NE，NF，则DN＝DC，在△DBE 和△DNE中：∴△DBE≌△DNE （SAS）∴BE＝NE（全等三角形对应边相等）同理可得：CF＝NF在△EFN 中EN＋FN＞EF（三角形两边之和大于第三边）∴BE＋CF＞EF.20．【解析】证明：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠B=∠ACF，∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．故答案为：CF⊥BD，CF=BD.②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90°．∵∠BAC=90°，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC，又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°，∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．（2）当∠ACB=45°时，CF⊥BD（如图）．理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC=90°，∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB，∴∠AGC=90°﹣45°=45°，∴∠ACB=∠AGC=45°，∴AC=AG，∵∠DAG=∠FAC（同角的余角相等），AD=AF，∴△GAD≌△CAF，∴∠ACF=∠AGC=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．全等三角形全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3．会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明.【知识网络】【要点梳理】要点一、全等三角形的判定与性质要点二、全等三角形的证明思路SAS HL SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS ⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边要点三、角平分线的性质1.角的平分线的性质定理角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.2.角的平分线的判定定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.3.三角形的角平分线三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.4.与角平分线有关的辅助线在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；一般三角形直角三角形判定边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）边边边（SSS）两直角边对应相等一边一锐角对应相等斜边、直角边定理（HL）性质对应边相等，对应角相等（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）备注判定三角形全等必须有一组对应边相等在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.要点四、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.1．证明线段相等的方法：(1)证明两条线段所在的两个三角形全等.(2)利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3)等式性质.2．证明角相等的方法：(1)利用平行线的性质进行证明.(2)证明两个角所在的两个三角形全等.(3)利用角平分线的判定进行证明.(4)同角（等角）的余角（补角）相等.(5)对顶角相等.3．证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法：可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4．辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.5.证明三角形全等的思维方法:（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.【典型例题】类型一、巧引辅助线构造全等三角形(1)．倍长中线法1、已知，如图，△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF,试判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论.【思路点拨】因为D是BC的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段DF，使DG＝DF,证明△EDG≌△EDF，△FDC≌△GDB，这样就把BE、CF 与EF 线段转化到了△BEG 中，利用两边之和大于第三边可证.【答案与解析】BE＋CF＞EF；证明：延长FD 到G，使DG＝DF,连接BG、EG∵D 是BC 中点∴BD＝CD又∵DE⊥DF在△EDG 和△EDF 中ED ED EDG EDF DG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EDG≌△EDF（SAS）∴EG＝EF在△FDC 与△GDB 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DG DF BD CD 21∴△FDC≌△GDB(SAS)∴CF＝BG∵BG＋BE＞EG∴BE＋CF＞EF【总结升华】有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）.举一反三：【变式】已知：如图所示，CE、CB 分别是△ABC 与△ADC 的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．【答案】证明：延长CE 至F 使EF＝CE，连接BF．∵EC 为中线，∴AE＝BE．在△AEC 与△BEF 中，,,,AE BE AEC BEF CE EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC≌△BEF（SAS）．∴AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形对应边、角相等）又∵∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．∴AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．∴AB＝BF．又∵BC为△ADC的中线，∴AB＝BD．即BF＝BD．在△FCB与△DCB中，,,,BF BD FBC DBC BC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FCB≌△DCB（SAS）．∴CF＝CD．即CD＝2CE．(2)．作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形2、已知：如图所示，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2．求证：AB＝AC＋CD．【答案与解析】证明：在AB上截取AE＝AC．在△AED与△ACD中，()12()() AE ACAD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已作，已知，公用边，∴△AED≌△ACD（SAS）．∴ED＝CD．∴∠AED＝∠C(全等三角形对应边、角相等)．又∵∠C＝2∠B∴∠AED＝2∠B．由图可知：∠AED＝∠B＋∠EDB，∴2∠B＝∠B＋∠EDB．∴∠B＝∠EDB．∴BE＝ED．即BE＝CD．∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD(等量代换)．【总结升华】本题图形简单，结论复杂，看似无从下手，结合图形发现AB＞AC．故用截长补短法．在AB上截取AE＝AC．这样AB就变成了AE＋BE，而AE＝AC．只需证BE＝CD即可．从而把AB＝AC＋CD转化为证两线段相等的问题．举一反三：【变式】如图，AD是ABC∆的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD.(1)求证：∠B与∠AHD互补；(2)若∠B＋2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明.【答案】证明：（1）在AB 上取一点M,使得AM＝AH,连接DM.∵∠CAD＝∠BAD,AD＝AD,∴△AHD≌△AMD.∴HD＝MD,∠AHD＝∠AMD.∵HD＝DB,∴DB＝MD.∴∠DMB＝∠B.∵∠AMD＋∠DMB ＝180︒,∴∠AHD＋∠B＝180︒.即∠B 与∠AHD 互补.（2）由（1）∠AHD＝∠AMD,HD＝MD,∠AHD＋∠B＝180︒.∵∠B＋2∠DGA ＝180︒,∴∠AHD＝2∠DGA.∴∠AMD＝2∠DGM.∵∠AMD＝∠DGM＋∠GDM.∴2∠DGM＝∠DGM＋∠GDM.∴∠DGM＝∠GDM.∴MD＝MG.∴HD＝MG.∵AG＝AM＋MG,∴AG＝AH＋HD.（3）.利用截长(或补短)法作构造全等三角形3、（2020•新宾县模拟）如图，△ABC 中，AB=AC ，点P 是三角形右外一点，且∠APB=∠ABC ．（1）如图1，若∠BAC=60°，点P 恰巧在∠ABC 的平分线上，PA=2，求PB 的长；（2）如图2，若∠BAC=60°，探究PA ，PB ，PC 的数量关系，并证明；（3）如图3，若∠BAC=120°，请直接写出PA ，PB ，PC的数量关系．【思路点拨】（1）AB=AC ，∠BAC=60°，证得△ABC 是等边三角形，∠APB=∠ABC ，得到∠APB=60°，又点P 恰巧在∠ABC 的平分线上，得到∠ABP=30°，得到直角三角形，利用直角三角形的性质解出结果．（2）在BP 上截取PD ，使PD=PA ，连结AD ，得到△ADP 是等边三角形，再通过三角形全等证得结论．M G H D C BA。

2022年人教版初中数学7年级下册【巩固练习】一.选择题1.（2020通辽）实数，0，﹣π，，﹣，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），其中无理数的个数是（）A ．4B ．2C ．1D ．32.下列说法正确的是（）A．无理数都是无限不循环小数B．无限小数都是无理数C．有理数都是有限小数D．带根号的数都是无理数3.估计76的大小应在（）A．7～8之间B．8.0～8.5之间C．8.5～9.0之间D．9～10之间 4.如图，数轴上点表示的数可能是（）.A．B．C．D．5.实数2.6和的大小关系是（）A．2.6<< 2.6<<C．2.6<<D． 2.6<<6．一个正方体水晶砖，体积为1003cm ，它的棱长大约在（）A．4～5cm 之间B．5～6cm 之间C．6～7cm 之间D．7～8cm 之间二.填空题7.在54，11-，∙7.0，π2，38这五个实数中，无理数是_________________．8.在数轴上与1的点，表示的实数为______．9.｜3.14－π｜＝______；|-=______．10.5-的整数部分是________，小数部分是________．11.已知x 为整数，且满足x ≤≤，则x =________．12.（2020春•仙桃校级期末）﹣的相反数是，﹣2的绝对值是________，的立方根是．三.解答题13．（2020春•西城区校级期中）化简：|﹣|﹣|3﹣|．14.天安门广场的面积大约是4400002m ，若将其近似看作一个正方形，那么它的边长大约是多少？（用计算器计算，精确到m ）15.已知2|313|0,x y --=求x y +的值．【答案与解析】一.选择题1.【答案】B ．【解析】在实数，0，﹣π，，﹣，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1）中，无理数有：﹣π，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），共2个.2.【答案】A；【解析】根据无理数的定义作答.3.【答案】C；89<<<，因为76比较接近81，所以76在8.5～9.0之间.4.【答案】B；【解析】2＜＜35.【答案】C；<=6.【答案】A；【解析】64100125,45<<<<.二.填空题7．【答案】11-，π2；8.【答案】1±【解析】与1的距离是的点在1的左右两边各有一个点，分别是119.【答案】π－3.14；【解析】负数的绝对值等于它的相反数.10.【答案】2；3；【解析】253<-<，故整数部分为2，5为小数部分.11.【答案】－1,0,1；12.【答案】；2﹣；2．三.解答题13.【解析】解：|﹣|﹣|3﹣|=﹣（3﹣）=2﹣﹣3．14.【解析】解：设广场的边长为x，由题意得：2x=440000x=＝≈663m.答：它的边长约为663m.15.【解析】2|313|0,x y--=∴x－2＝0且2313x y--＝0解得x＝2，y＝－3，∴x y+＝2－3＝－1.实数（基础）【学习目标】1.了解无理数和实数的意义；2.了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用.【要点梳理】要点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，要点二、实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.要点三、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.要点四、实数的运算有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.【典型例题】类型一、实数概念1、指出下列各数中的有理数和无理数：222,,0,10.1010010001......73π--【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π是无理数，化简后含π的代数式也是无理数.【答案与解析】有理数有222,0,,73-,10.1010010001π……【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.1010010001…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，1举一反三：【变式】（2020春•聊城校级月考）在下列语句中：①无理数的相反数是无理数；②一个数的绝对值一定是非负数；③有理数比无理数小；④无限小数不一定是无理数．其中正确的是（）A ．②③B ．②③④C ．①②④D ．②④【答案】C；解：①因为实数包括有理数和无理数，无理数的相反数不可能式有理数，故本选项正确；②一个数的绝对值一定≥0，故本选项正确；③数的大小，和它是有理数还是无理数无关，故本选项是错误的；④无限循环小数是有理数，故本选项正确．类型二、实数大小的比较2、比较2和0.5的大小．【答案与解析】解：作商，得520.5=1>，即210.5>，所以50.52>．【总结升华】根据若a ，b 均为正数，则由“1a b >，1a b =，1ab<”分别得到结论“a b >，a b =，a b <，”从而比较两个实数的大小．比较大小的方法有作差法和作商法等，根据具体情况选用适当的方法.举一反三：【变式】比较大小___ 3.14π--___4__32 ___03___--||___(7)---【答案】＜；＞；＜；＜；＜；＞；＜.3、（2020•枣庄）实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A ．ac ＞bcB ．|a ﹣b|=a ﹣bC ．﹣a ＜﹣b ＜cD ．﹣a ﹣c ＞﹣b ﹣c【答案】D；【解析】解：∵由图可知，a ＜b ＜0＜c ，∴A、ac＜bc，故A选项错误；B、∵a＜b，∴a﹣b＜0，∴|a﹣b|=b﹣a，故B选项错误；C、∵a＜b＜0，∴﹣a＞﹣b，故C选项错误；D、∵﹣a＞﹣b，c＞0，∴﹣a﹣c＞﹣b﹣c，故D选项正确．故选：D．【总结升华】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．类型三、实数的运算4、化简：(1) 1.4|(2)4||(3)|12|【答案与解析】解： 1.4|1.4 =4||4-|12|121=-+-.【总结升华】有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.有理数的运算法则及运算性质等同样适用.5、若2|2|(4)0a c--=，则a b c-+=________．【思路点拨】由有限个非负数之和为零，则每个数都应为零可得到方程中a，b，c的值.【答案】3；【解析】解：由非负数性质可知：203040abc-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，即234abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴2343a b c-+=-+=．【总结升华】初中阶段所学的非负数有|a|，2,a，非负数的和为0，只能每个非负数分别为0.举一反三：【变式】已知2(16)|3|0x y+++【答案】解：由已知得1603030x y z +=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得1633x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩．12=.【巩固练习】一.选择题1．（2020•六盘水）下列说法正确的是（）A ．|﹣2|=﹣2B ．0的倒数是0C ．4的平方根是2D ．﹣3的相反数是32.三个数π-，－3，的大小顺序是（）．A．3π-<-<B．3π-<-<C．3π<-<-D．3π-<<-3.要使3k =-，k 的取值范围是（）．A．k ≤3B．k ≥3C．0≤k ≤3D．一切实数4.估算）．A．7和8之间B．6和7之间C．3和4之间D．2和3之间5.若0a ≠，a 、b 互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一对是（）与()33b -6.实数x、y 、z 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列关系正确的是（）A．x y z ++＞0B．x y z ++＜0C．xy yz <D．xy xz<二.填空题7．227，3.33 (2)，22-，8±， 554544554445.0，3271，90.0-，中，无理数的个数是个.8.m＜0时，化简||m m ＝________.9.计算：|1||3+--＝__________．10.（2020•南漳县模拟）如图，数轴上A ，B 两点表示的数分别为﹣1和，点B 关于点A 的对称点为C，则点C 所表示的数为．11.若23||()03x y ++-=，求2010()xy 的值.12.当x时,243x --有最大值,最大值是________.三.解答题13．（2020秋•萧山区期中）（1）求出下列各数：①2的平方根；②﹣27的立方根；③的算术平方根．（2）将（1）中求出的每个数准确地表示在数轴上．（3）将（1）中求出的每个数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接．14.已知实数x 、y 、z 满足21|441|()02x y z -++-=，求2()y z x + 的值；15.已知nm m n A -+-=3是3n m -+的算术平方根，322n m B n m +=+-是2m n +的立方根，求B－A 的平方根．【答案与解析】一.选择题1.【答案】D【解析】A 、|﹣2|=2，错误；B 、0没有倒数，错误；C 、4的平方根为±2，错误；D 、﹣3的相反数为3，正确.2.【答案】B；33ππ<<⇒>->-．3.【答案】D；【解析】本题主要考查立方根的性质，即a =．因为3k =-，所以k 可取一切实数．4.【答案】D；【解析】5 5.5<<，2.53<<，所以选D.5.【答案】C；【解析】a ＋b ＝0，a ＝－b ==，所以＝0.6.【答案】B；【解析】从数轴上可以看出－3＜x ＜－2，－2＜y ＜－1，0＜z ＜1，所以很明显x y z ++＜0.二.填空题7.【答案】4；【解析】2π，22-，8±， 554544554445.0为无理数.8.【答案】0；【解析】∵0m <，∴||0m m m m m m =--++=．9.【答案】4-+；【解析】|||1||31342+--=-+-+．10.【答案】﹣﹣2．【解析】如图，∵数轴上A ，B 两点表示的数分别为﹣1和，∴AB=﹣（﹣1）=+1，∵点B 关于点A 的对称点为C ，∴AC=+1，∴点C所表示的数为﹣（+1）﹣1=﹣﹣2．11.【答案】1；【解析】33x y == ∴1xy =-，∴2010()1xy =.12.【答案】±2；3；0=时，243x --有最大值3.三.解答题13.【解析】解：（1）2的平方根是，﹣27的立方根是﹣3，的算术平方根2；（2）如图：（3）﹣3＜﹣＜＜2．14.【解析】解：∵|441|0x y -+≥0≥，2102z ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭．由题意，得方程组441020102x y y z z ⎧⎪-+=⎪+=⎨⎪⎪-=⎩，解得121412x y z ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩．∴2()y z x + ＝21111114224416⎛⎫⎛⎫-+⋅=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.15.【解析】解：∵nm m n A -+-=3是3n m -+的算术平方根，322n m B n m +=+-是2m n +的立方根，∴2m n -=，233m n -+=解得4,2m n ==∴A＝1，B＝2，B－A＝1∴B－A 的平方根＝±1．实数（提高）【学习目标】1.了解无理数和实数的意义；2.了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用.【要点梳理】【高清课堂：389317立方根、实数，知识要点】要点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，要点二、实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.要点三、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.要点四、实数的运算有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.【典型例题】类型一、实数概念1、把下列各数分别填入相应的集合内：，14，π，52-，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）【答案与解析】有理数有：14，52-，，0，，π，，0.3737737773……【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.3737737773……，，…有理数集合…无理数集合举一反三：【变式】判断正误，在后面的括号里对的用“√”，错的记“×”表示，并说明理由.(1)无理数都是开方开不尽的数.()(2)无理数都是无限小数.()(3)无限小数都是无理数.()(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.()(5)不带根号的数都是有理数.()(6)带根号的数都是无理数.()(7)有理数都是有限小数.()(8)实数包括有限小数和无限小数.()【答案】(1)(×)无理数不只是开方开不尽的数，还有π，1.020020002…这类的数也是无理数.(2)(√)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数.(3)(×)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数.(4)(×)0是有理数.(5)(×)如π，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数.(6)(×)如，虽然带根号，但＝9，这是有理数.(7)(×)有理数还包括无限循环小数.(8)(√)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以实数可以用有限小数和无限小数表示.类型二、实数大小的比较1-1+的大小．【思路点拨】根据a b <，b c <，则a c <来比较两个实数的大小．【答案与解析】1145144-<=-=1143144>=+=．1-1【总结升华】实数的比较有多种方法，除了上述方法外，还有作差法、作商法、同分子法、倒数法等.举一反三：【变式】（2020•自贡）若两个连续整数x 、y 满足x ＜+1＜y ，则x+y 的值是．【答案】7．解：∵，∴，∵x ＜+1＜y ，∴x=3，y=4，∴x+y=3+4=7．类型三、实数的运算+的值．【答案与解析】解：（1）当m ≥0m =m =，所以2m m m +=+=．（2）当m ＜0m =-m =，所以0m m +=-+=．值为0或2m ．【总结升华】本题是涉及平方根（算术平方根）和立方根的综合运算，但还应注意本题需要分类讨论．要注意对m 的讨论，而开立方不需要讨论符号．举一反三：【变式】若a 的两个平方根是方程322x y +=的一组解．（1）求a 的值；（2）求2a 的算术平方根．【答案】解：（1）∵a 的平方根是322x y +=的一组解，则设a 的平方根为1a ，2a ，则根据题意得：1212322,0,a a a a +=⎧⎨+=⎩解得122,2.a a =⎧⎨=-⎩∴a 为2(2)4±=．（2）∵22416a ==．∴2a 的算术平方根为4．类型四、实数的综合运用4、已知2(21)0a b -++=4=【答案与解析】解：∵2(21)0a b -++=，且2(21)0a b -+≥0≥．∴2(21)0,0a b --=，即210a b -+=，30b -=．解得b ＝3，a＝5，4=得c ＝64．∴6==．【总结升华】本题考查非负性与立方、立方根的综合运用，由210a b -+=，30b -=可求a 、b，又4=，所以c可求．举一反三：0=，求x y的值．【答案】解：知条件得2309030x y x x -=⎧⎪-=⎨⎪+≠⎩①②③，由②得29x =，3x =±，∵30x +≠，∴3x ≠-，则3x =．把3x =代入①得330y -=，y ＝1．∴331x y ==．5、（2020秋•萧山区期中）如图，半径为1个单位的圆片上有一点Q 与数轴上的原点重合（提示：圆的周长C=2πr ）（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q 到达数轴上点A 的位置，点A 表示的数是；（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2①第几次滚动后，Q 点距离原点最近？第几次滚动后，Q 点距离原点最远？②当圆片结束运动时，Q 点运动的路程共有多少？此时点Q所表示的数是多少？【思路点拨】（1）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；（2）①利用滚动的方向以及滚动的周数即可得出Q 点移动距离变化；②利用绝对值得性质以及有理数的加减运算得出移动距离和Q 表示的数即可．【答案与解析】解：（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q 到达数轴上点A 的位置，点A 表示的数是﹣2π；故答案为：﹣2π；（2）①第4次滚动后Q点离原点最近，第3次滚动后，Q点离原点最远；②|﹢2|+|﹣1|+|﹣5|+|+4|+|+3|+|﹣2|=17，Q点运动的路程共有：17×2π×1=34π；（+2）+（﹣1）+（﹣5）+（+4）+（+3）+（﹣2）=1，1×2π=2π，此时点Q所表示的数是2π．【总结升华】此题主要考查了数轴的应用以及绝对值得性质和圆的周长公式应用，利用数轴得出对应数是解题关键．。