高量4-01 D函数 2
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专题01 二次函数的定义五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一二次函数的识别】 (1)【考点二二次函数中各项的系数】 (2)【考点三利用二次函数的定义求参数】 (3)【考点四已知二次函数上一点,求字母或式子的值】 (5)【考点五列二次函数的关系式】 (6)【过关检测】 (8)【典型例题】【考点一二次函数的识别】【变式训练】1.(2023·浙江·九年级假期作业)以下函数式二次函数的是()【考点二 二次函数中各项的系数】例题:(2023·全国·九年级假期作业)二次函数221y x x =--+的二次项系数是( )A .1B .1-C .2D .2-【答案】B【分析】根据二次函数的定义“一般地,形如2y ax bx c =++(a 、b 、c 是常数,0a ¹)的函数,叫做二次函数.其中x 、y 是变量,a 、b 、c 是常量,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项”作答即可.【详解】解:二次函数221y x x =--+的二次项系数是1-.故选:B .【点睛】此题主要考查了二次函数的定义,关键是注意在找二次项系数,一次项系数和常数项时,不要漏掉符号.【变式训练】1.(2023·浙江·九年级假期作业)二次函数()32-=x x y 的二次项系数与一次项系数的和为( )A .2B .2-C .1-D .4-【答案】D 【分析】将函数解析式化简,得到各系数,计算即可.【详解】解:()23622x y x x x --==,∴二次项系数是2,一次项系数是6-,∴264-=-,故选:D .【点睛】此题考查了二次函数定义,正确理解二次函数的各项的系数是解题的关键.2.(2022·全国·九年级假期作业)二次函数2(1)y x x =-的二次项系数是________.【答案】2【分析】首先把二次函数化为一般形式,再进一步求得二次项系数.【详解】解:y =2x (x -1)=2x 2-2x .所以二次项系数2.故答案为:2.【点睛】本题主要考查了二次函数的定义,一般地,形如y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 是常数,a ≠0)的函数,叫做二次函数.其中x 、y 是变量,a 、b 、c 是常量,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项.【考点三 利用二次函数的定义求参数】例题:(2023·全国·九年级假期作业)若函数()2231y m x mx =+++是二次函数,则( )A .2m ³-B .2m ¹C .2m ¹-D .2m =-【答案】C 【分析】根据二次函数的定义,即可求解.【详解】解:根据题意得20m +¹,解得2m ¹-,故选:C .【点睛】本题主要考查了二次函数的定义,熟练掌握形如2y ax bx c =++(a ,b ,c 是常数,0a ¹)的函数,叫做二次函数是解题的关键.【变式训练】【点睛】本题考查了二次函数的定义,解题关键是掌握二次函数的定义条件:二次函数2y ax bx c =++的定义条件是:a 、b 、c 为常数,0a ¹,自变量最高次数为2.【考点四 已知二次函数上一点,求字母或式子的值】例题:(2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习)若抛物线223y ax x =-+经过点(1,2)P ,则a 的值为( )A .0B .1C .2D .3【答案】B【分析】将点P 代入函数表达式中,解方程可得a 值.【详解】解:将(1,2)P 代入223y ax x =-+中,得:22=121+3a -´´,解得:=1a ,故选B .【点睛】本题考查了二次函数图象上的点,熟知二次函数图像上的点的坐标满足函数表达式是解题的关键.【变式训练】1.(2022秋·天津西青·九年级校考阶段练习)抛物线23y ax bx =+-过点(2,4),则代数式84a b +的值为( )A .14B .2C .-2D .-14【答案】A【分析】将点(2,4)的坐标代入抛物线y=ax 2+bx -3关系式,再整体扩大2倍,即可求出代数式的值.【详解】解:将点(2,4)代入抛物线y=ax 2+bx -3得4a +2b -3=4,整理得8a +4b =14.故选:A .【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,熟悉整体思想是解题的关键.2.(2022秋·山东泰安·九年级统考阶段练习)若抛物线2y x bx c =-++经过点()2,3-,则247c b --的值是( )A .6B .7C .8D .20【答案】B【分析】先把点()2,3-代入解析式,得到2=7c b -,然后化简247=2c b --(c-4b )-7,整体代入即可得到答案.【详解】解:把点()2,3-代入2y x bx c =-++,得:2=7c b -,∵247=2c b --(c-2b )-7277=7=´-;故选择:B .【点睛】本题考查了一元二次方程,解题的关键是灵活运用整体代入法解题.【考点五 列二次函数的关系式】【变式训练】1.(2022秋·九年级单元测试)一台机器原价为50万元,如果每年的折旧率是()0x x >,两年后这台机器的价格为y 万元,则y 与x 之间的函数关系式为_____.【答案】()2501y x =-【分析】根据题意列出函数解析式即可.【详解】解:∵一台机器原价为50万元,每年的折旧率是()0x x >,两年后这台机器的价格为y 万元,∴y 与x 之间的函数关系式为()2501y x =-.故答案为:()2501y x =-.【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式,解题的关键是理解题意,掌握两年后价格=原价()21x ´-.2.(2023·浙江·九年级假期作业)某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克,价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不高于每千克70元,不低于每千克30元.经市场调查发现:日销售量y (千克)是销售单价x (元)的一次函数,且当60x =时,8050y x ==;时,100y =.在销售过程中,每天还要支付其它费用450元.(1)求y 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围.(2)求该公司销售该原料日获利润w (元)与销售单价x (元)之间的函数关系式.【答案】(1)2200y x =-+(3070x ££);(2)222606450w x x =-+-(3070x ££)【分析】(1)根据y 与x 写成一次函数解析式,设为y kx b =+,把x 与y 的两对值代入求出k 与b 的值,即可确定出y 与x 的解析式,并求出x 的范围即可;(2)根据利润=单价´销售量列出w 关于x 的二次函数解析式即可.【详解】(1)设y 与x 的函数关系式为y kx b =+.60x =Q 时,80y =,50x =时,100y =,608050100k b k b +=ì\í+=î,解得2200k b =-ìí=î,2200y x \=-+,根据部门规定,得3070x ££.(2)22(30)450(30)(2200)45030702260600045022606450w x y x x x x x x x =--=--+-=-+--=-£-£+()【点睛】本题考查了二次函数的应用,待定系数法求一次函数解析式,以及二次函数的性质,熟练掌握二次函数性质是解本题的关键.【过关检测】一、选择题二、填空题6.(2023秋·江西宜春·九年级统考期末)二次函数2=23y x x --中,当=1x -时,y 的值是________.【答案】0【分析】把=1x -代入2=23y x x --计算即可.【详解】解:当=1x -时,2=23=123=0y x x ---+,故答案为:0.【点睛】本题考查了求二次函数的值,解题的关键是把=1x -代入2=23y x x --计算.7.(2022春·全国·九年级专题练习)把y =(2-3x )(6+x )变成y =ax ²+bx +c 的形式,二次项为____,一次项系数为______,常数项为______.【答案】23x - -16 12【解析】略8.(2023秋·河南洛阳·九年级统考期末)已知函数||1(1)45m y m x x +=++-是关于x 的二次函数,则一次函;【答案】二次函数关系【分析】根据矩形面积公式求出y 与x 之间的函数关系式即可得到答案.【详解】解:由题意得()()2302050600y x x x x =++=++,∴y 与x 之间的函数关系是二次函数关系,故答案为;二次函数关系.【点睛】本题主要考查了列函数关系式和二次函数的定义,正确列出y 与x 之间的函数关系式是解题的关键.三、解答题。
4-1 如图是用频率为1 000 kHz 的载波信号同时传输两路信号的频谱图。
试写出它的电压表达式,并画出相应的实现方框图。
计算在单位负载上的平均功率P av 和频谱宽度BW AM 。
解:(1)为二次调制的普通调幅波。
为二次调制的普通调幅波。
第一次调制:调制信号:F = 3 kHz 载频:f 1 = 10 kHz ,f 2 = 30 kHz第二次调制:两路已调信号叠加调制到主载频f c = 1000 kHz 上。
上。
令 W = 2p ´ 3 ´ 103 rad/sw 1 = 2p ´ 104rad/sw 2= 2p ´ 3 ´ 104rad/s w c = 2p ´ 106rad/s第一次调制:v 1(t ) = 4(1 + 0.5cos W t )cos w 1tv 2(t ) = 2(1 + 0.4cos W t )cos w 2t第二次调制:v O (t ) = 5 cos w c t + [4(1 + 0.5cos W t )cos w 1t + 2(1 + 0.4cos W t )cos w 2t ] cos w c t= 5[1+0.8(1 + 0.5cos W t )cos w 1t + 0.4(1 + 0.4cos W t )cos w 2t ] cos w c t (2) 实现方框图如图所示实现方框图如图所示(3) 根据频谱图,求功率。
根据频谱图,求功率。
○1 载频为10 kHz 的振幅调制波平均功率的振幅调制波平均功率 V m01 = 2V ,M a1 = 0.5W 5.4)211(2W 22121a 01av1201m 01=+===M P P V P ;○2 f 2 = 30 kHz V m02 = 1V ,M a2 = 0.4W 08.1)211(2W 5.02122a 02av2202m 02=+===M P P V P ; ○3 主载频f c = 1000 kHz V m0 = 5VW 5.122120m 0==V P总平均功率P av = P 0 + P av1 + P av2 = 18.08 W ○4 BW AM 由频谱图可知F max = 33 kHz得BW AM = 2F = 2(1033 -1000) = 66 kHz4-3 试画出下列三种已调信号的波形和频谱图。
专题01 二次函数考点类型知识串讲(一)二次函数的概念概念:一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数。
注意:二次项系数a≠0,而b,c可以为零.(二)二次函数的一般式二次函数一般形式:y=ax²+bx+c(a≠0)①等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.②a,b,c是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项.(三)自变量x的取值范围(1)使函数表示有意义。
①分母不能为0。
②被开方数大于等于0。
③幂的底数和指数不能同时为0。
(2)满足实际问题的实际意义。
考点训练考点1:二次函数的识别典例2:(2023春·江苏盐城·八年级校考期中)如果函数y=(m+1)x m2―m+3是二次函数,则m的值为______.【变式1】(2023秋·河南开封·九年级统考期末)已知函数y=(m+1)x|m|+1―2x+1是二次函数,则m= ______.【变式2】(2022秋·江苏镇江·九年级校考阶段练习)关于x的函数y=(m―1)x m2+1+3x―1是二次函数,则m=______.【变式3】(2022秋·山东济宁·九年级统考期中)若关于x的函数y=(m+2)x m2―m―4+1是二次函数,则满足条件的m的值为______.考点3:列二次函数关系式典例3:(2022秋·九年级单元测试)一台机器原价为50万元,如果每年的折旧率是x(x>0),两年后这台机器的价格为y万元,则y与x之间的函数关系式为_____.【变式1】(2022秋·山东青岛·九年级统考期末)如下图所示,在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂画,设整个挂画总面积为y cm2,金色纸边的宽为x cm,则y与x之间的函数关系式是_________________.【变式2】(2022秋·辽宁大连·九年级统考期中)已知有n个球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,比赛的场次数为m,则m关于n的函数解析式为________.【变式3】(2022·全国·九年级假期作业)若点(m,0)在二次函数y=x2﹣3x+2的图象上,则2m2﹣6m+2029的值为____.考点4:自变量x的取值范围.将函数变形为的形式,正确的是( )....的二次函数的是( )A.正比例函数关系,一次函数关系C.正比例函数关系,二次函数关系10.若y=(1―m)x m2―2是二次函数,且图象开口向下,则m=±2二、填空题26.观察下列两个两位数的积(两个乘数的十位上的数都是9,个位上的数的和等于10):91×99,92×98,⋯,98×92,99×91.设这两个两位数的积为y,其中一个乘数为90+x,则y关于x的函数关系式为______.27.二次函数的解析式为y=mx m2―3m+2,则常数m的值为__________.28.已知二次函数f(x)=x2-3x+1,那么f(2)=_________.29.正方形边长为2,若边长增加x,那么面积增加y,则y与x的函数关系式是______.30.如果函数y=(m+1)x m2―m+2是二次函数,那么m=____.。
2001年全国普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)若0cos sin >θθ,则θ在(A)第一、二象限 (B)第一、三象限 (C)第一、四象限 (D)第二、四象限 (2)过点A(1,-1),B(-1,1)且园心在直线x+y-2=0上的圆珠笔的方程是 (A)(x-3)2+(y+1)2=4 (B)(x+3)2+(y-1)2=4 (C)(x-1)2+(y-1)2=4 (B)(x+1)2+(y+1)2=4(3)设{a n }是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是 (A)1 (B)2 (C)4 (D)6(4)若定义在区间(-1,0)内的函数f (x )= log 2a (x + 1)满足f (x )> 0,则 a 的取值范围是(A)(0,21) (B) (0,21] (C) (21,+∞) (D) (0,+∞)(5)极坐标方程)4sin 2πθρ+=的图形是(6)函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是(A) )20)(1arccos(≤≤--=x x y (B) )20)(1arccos(≤≤--=x x y π (C) )20)(1arccos(≤≤-=x x y (D) )20)(1arccos(≤≤-+=x x y π (7)若椭圆经过原点,且焦点为F 1(1,0),F 2(3,0),则其离心率为(A) 43(B) 32 (C) 21 (D) 41(8)若ba =+=+<<<ββααπβαcos sin ,cos sin ,40,则(A)a <b (A)a >b(A)ab <1(D)ab >2(9)在正三棱柱ABC -A 1 B 1C 1中,若AB =2BB 1,则AB 与C 1B 所成的角的大小为(A)60°(B)90°(C)105°(D)75°(10)设f(x)、g(x)都是单调函数,有如下四个命题:①若f(x)单调速增,g(x)单调速增,则f(x)-g(x))单调递增;②若f(x)单调速增,g(x)单调速减,则f(x)-g(x))单调递增;③若f(x)单调速减,g(x)单调速增,则f(x)-g(x))单调递减;④若f(x)单调速减,g(x)单调速减,则f(x)-g(x))单调递减;其中,正确的命题是(A)①③(B)①④(C)②③(D)②④(11)一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法:①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3.若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则(A)P3>P2>P1 (B) P3>P2=P1(C) P3=P2>P1(D) P3=P2=P1(12)如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表承它们有网线相联.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为(A)26(B)24(C)20(D)19二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.(13)若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为3,则这个圆锥的侧面积是_________.(14)双曲线116922=+yx的两个焦点为F1、F2,点P在双曲线上.若PF⊥PF2,则点P到x轴的距离为_________。
标准学术能力诊断性测试2024年10月测试数学试卷本试卷共150分一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1244x A x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭,{2,1,0,1,2}B =--,则A B = ()A.{1,0,1}-B.{2,1,0,1,2}-- C.{0,1}D.{1,1}-2.若1i 1z z +=-,则||z =()B.22C.1D.123.已知单位向量a 和b,若()2a a b ⊥+ ,则a b += ()A.2B.14.已知圆柱的底面半径和球的半径相等,圆柱的高与球的半径相等,则圆柱与球的表面积之比为()A.1:2B.1:1C.3:4D.2:35.已知1sin()3αβ+=,tan 2tan αβ=,则sin()αβ-=()A.13-B.19-C.13D.196.已知函数2,01()1(1),12x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩,则函数2()()g x f x x =-的零点个数为()A.2B.0C.3D.无穷7.将sin y x =的图象变换为πsin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,下列变换正确的是()A.将图象上点的横坐标变为原来的13倍,再将图象向右平移π6个单位B.将图象上点的横坐标变为原来的3倍,再将图象向右平移π18个单位C.将图象向右平移π6个单位,再将图象上点的横坐标变为原来的13倍D.将图象向右平移π6个单位,再将图象上点的横坐标变为原来的3倍8.定义在R 上的函数()f x 满足:(1)(1)0f x f x -+---=,且(1)(1)0f x f x ++-=,当[1,1]x ∈-时,()2f x ax =-,则()f x 的最小值为()A.6- B.4- C.3- D.2-二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对但不全得3分,有错选的得0分.9.从{1,2,3}中随机取一个数记为a ,从{4,5,6}中随机取一个数记为b ,则下列说法正确的是()A.事件“a b +为偶数”的概率为49B.事件“ab 为偶数”的概率为79C.设X a b =+,则X 的数学期望为()6E X =D.设Y ab =,则在Y 的所有可能的取值中最有可能取到的值是1210.在直棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD为正方形,1CD ==P 为线段1B C 上动点,E ,F 分别为11A D 和BC 的中点,则下列说法正确的是()A.若1103CP CB λλ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭ ,则经过P ,E ,F 三点的直棱柱的截面为四边形B.直线1B C 与11A C所成角的余弦值为4C.三棱锥11P A DC -的体积为定值D.1A P BP +11.一条动直线1l 与圆221x y +=相切,并与圆2225x y +=相交于点A ,B ,点P 为定直线2:100l x y +-=上动点,则下列说法正确的是()A.存在直线1l ,使得以AB 为直径的圆与2l 相切B.22||||PA PB +的最小值为150-C.AP PB ⋅的最大值为27-+D.||||PA PB +的最小值为三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若m-的展开式中存在2x 项,则由满足条件的所有正整数m 从小到大排列构成的数列{}n a 的通项公式为__________.13.设双曲线2222:1x y C a b -=(0a >,0b >)的右顶点为F ,且F 是抛物线2:4y x Γ=的焦点.过点F 的直线l 与抛物线Γ交于A ,B 两点,满足2AF FB =,若点A 也在双曲线C 上,则双曲线C 的离心率为__________.14.已知()|ln ln 2|1af x a x x=--+-,则()f x 的最小值为__________.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)记ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,满足()2222321a b c++=.(1)若b c =,3cos 4A =,求ABC △的面积;(2)记BC 边的中点为D ,AD x =,若A 为钝角,求x 的取值范围.16.(15分)如图所示,在四棱锥P ABCD -中,2PA AC ==,1BC =,AB =.(1)若AD ⊥平面PAB ,证明://AD 平面PBC ;(2)若PA ⊥底面ABCD ,AD CD ⊥,二面角A CP D --的正弦值为3,求AD 的长.17.(15分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,C 的下顶点为B ,左、右焦点分别为1F 和2F ,离心率为12,过2F 的直线l 与椭圆C 相交于D ,E 两点.若直线l 垂直于1BF ,则BDE △的周长为8.(1)求粗圆C 的方程;(2)若直线l 与坐标轴不垂直,点E 关于x 轴的对称点为G ,试判断直线DG 是否过定点,并说明理由.18.(17分)已知函数()sin f x ax x =+,[0,π]x ∈.(1)若1a =-,证明:()0f x ≤;(2)若()0f x ≤,求a 的取值范围;(3)若0a ≠,记1()()ln(1)g x f x x a=-+,讨论函数()g x 的零点个数.19.(17分)乒乓球比赛有两种赛制,其中就有“5局3胜制”和“7局4胜制”,“5局3胜制”指5局中胜3局的一方取得胜利,“7局4胜制”指7局中胜4局的一方取得胜利.(1)甲、乙两人进行乒乓球比赛,若采用5局3胜制,比赛结束算一场比赛,甲获胜的概率为0.8;若采用7局4胜制,比赛结束算一场比赛,甲获胜的概率为0.9.已知甲、乙两人共进行了()*m m ∈N 场比赛,请根据小概率值0.010α=的2K独立性检验,来推断赛制是否对甲获胜的场数有影响.(2)若甲、乙两人采用5局3胜制比赛,设甲每局比赛的胜率均为p ,没有平局.记事件“甲只要取得3局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”为A ,事件“两人赛满5局,甲至少取得3局比赛胜利且甲获胜”为B ,试证明:()()P A P B =.(3)甲、乙两人进行乒乓球比赛,每局比赛甲的胜率都是(0.5)p p >,没有平局.若采用“赛满21n -局,胜方至少取得n 局胜利”的赛制,甲获胜的概率记为()P n .若采用“赛满21n +局,胜方至少取得1n +局胜利”的赛制,甲获胜的概率记为(1)P n +,试比较()P n 与(1)P n +的大小.附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++.()20P K k ≥0.050.0250.0100k 3.8415.0246.635标准学术能力诊断性测试2024年10月测试数学 参考答案一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对但不全的得3分,有错选的得0分.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.=a n n 413 14.2四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)解:(1)由余弦定理知:+=+b c bc A 5214cos 22)(,又==b c A 4,cos 3,代入等式中可得:=+bc bc 10213,即得=bc 3,所以==b c ······································································· 4分所以∆ABC 的面积为=⨯=bc A 2248sin 13 ············································· 5分 (2)因为D 为线段BC 的中点,所以()1AD AB AC =+2,两边平方得:=++x b c bc A 42cos 1222)(,由余弦定理可得:=+−bc A b c a 2cos 222, 代入上式得:=+−x b c a 42212222)(, 再由++=a b c 2321222)(,可得=−a x 761222,+=+b c x 738222 ·················· 10分因为A 为钝角,所以>+a b c 222,可得−>+x x 776312822,解得<<x 0.所以,x的取值范围为⎩⎭⎪⎪⎨<<⎪⎧x x 100 ····················································· 13分 16.(15分)解:(1)因为⊥AD 平面PAB ,⊂AB 平面PAB ,所以⊥AD AB ,由===AC BC AB 2,1,=+AC AB BC 222,所以⊥BC AB , 所以在平面四边形ABCD 中,由⊥⊥AD AB BC AB ,,可得AD BC ,因为⊄AD 平面PBC ,⊂BC 平面PBC , 所以AD平面PBC ·················································································· 6分(2)【方法一】因为⊥PA 底面ABCD ,⊂CD 底面ABCD ,所以⊥PA CD ,因为AD CD PAAD A ⊥=,,所以⊥CD 平面PAD ,可得⊥CD PD ,即∠=︒PDC 90.以直线DA 为x 轴,直线DC 为y 轴,过点D 且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示: ························································ 8分 设==AD a DC b ,,则D A a C b P a 0,0,0,,0,0,0,,0,,0,2)()()()(,在坐标平面xDz 中,直线DP 的法向量就是平面PDC 的法向量,可得其中一个法向量为(2,0,n a =−1).设平面PAC 的一个法向量为(,,n x y z =2),则0n AP n CP ⋅=⋅=22, 而()(0,0,2,,,2AP CP a b ==−),可得=−=z ax by 0,0.令=x b ,则=y a ,得(,,0n b a =2) ··························································· 12分 所以cos ,n n <>=+⋅+−a a bb 4222212,依题可知,cos ,n n <>=3312,可得()()++=a b a b 43412222, 因为+==a b AC 4222,所以−=b b 83122,解得=b 22, 则=a 22,得=AD ············································································ 15分x【方法二】设点A 到平面PCD 的距离为d 1,点A 到直线PC 的距离为d 2,二面角−−A CP D 的平面角为θ,则由二面角的平面角定义知=θd d sin 21.由题意计算可得=d 2=3=d 1 由等体积公式可得⋅⋅=⋅⋅∆∆S PA S d ACD PCD 33111,即⋅=⋅AD CD PD CD 3,得=PD .因为=+=−PC PD CD CD AC AD ,222222, 所以=+−AD AD 83422,得=AD17.(15分) 解:(1)由离心率为21,==BF a OF c ,11,可得=BF OF 2111则∠=︒BFO 601,可得∆BF F 12若直线l 垂直BF 1,则直线l 垂直平分线段BF 1∆BDE 与∆F DE 1全等,那么∆F DE 1的周长为8.由椭圆定义可知:+=+=EF EF a DF DF 2,1212所以∆F DE 1的周长为a 4,可得=a 48,即=a 2所以=c 1,可得=b ,则椭圆C 的方程为+x y 4322(2)设l 的方程为=+x my 1,则−G x y ,22)(可得直线DG 的方程为−y 因为=+=x my x my 1,1122将它们代入直线方程中, 可得直线DG 的方程为:y 12可整理得:()−=+−−+m y y y y y x my y y y 212121212)()( (*) ···································· 10分联立方程⎪⎨⎪+=⎧x y 43122,得:++−=m y my 3469022)(,则+++=−=−m m y y y y m 3434,69221212, 可得=+y y m y y 321212,=+my y y y 231212)(, 将其代入(*)式中,可得直线DG 的方程为:()−=+−+m y y y y y x y y 4121212)()(()()+−=−−m y y x 3446122)(, 可见直线DG 过定点4,0)(,所以直线DG 过定点,定点坐标为4,0)( ······················································· 15分18.(17分)解:(1)若=−a 1,则=−+f x x x sin )(,得=−+≤'f x x 1cos 0)(,可知f x )(在π0,][单调递减,可得≤f x f 0)()(,而=f 00)(,所以≤f x 0)( ········································································ 3分 (2)依题意,必须π≤f 0)(,即π≤a 0,可得≤a 0,求导得=+'f x a x cos )(.若≤−a 1,则≤'f x 0)(,得f x )(在π0,][单调递减,则≤f x f 0)()(,而=f 00)(,则≤f x 0)(成立 ············································ 5分 若−<≤a 10,由于'f x )(在π0,][单调递减,而=+>'f a 010)(,π=−<'f a 10)(, 可知'f x )(在π0,][内有唯一零点,记为x 1,当≤<x x 01时,>'f x 0)(,可知f x )(在x 0,1)[单调递增,可得>=f x f 001)()(, 这与≤f x 0)(对任意∈πx 0,][恒成立矛盾,所以−<≤a 10不能成立,综上,实数a 的取值范围为−∞−,1]( ······························································ 8分 (3)有=+−+∈πag x x x x x sin ln 1,0,1][)()(, 观察知:=g 00)(,可见=x 0是g x )(的一个零点.下面我们考虑g x )(在π0,](内的零点情况 ······················································· 9分当∈πx 0,](时,若>a 0,则≥a x sin 01,可得+≥ax x x sin 1, 令=−+∈πF x x x x ln 1,0,]()()(,则+=>'x F x x10)(,得F x )(在π0,](单调递增,可得>=F x F 00)()(,即>+x x ln 1)(, 那么+>+ax x x sin ln 11)(,即>g x 0)(,故当>a 0时,函数g x )(在π0,](内无零点 ··················································· 12分若<a 0,则+=+−'a x g x x 11cos 11)(, ①当⎝⎦⎥ ∈π⎛⎤πx 2,时,<x cos 0,则>a x cos 01,而+−>x 1101,可得>'g x 0)(;②当⎝⎦⎥ ∈⎛⎤πx 20,时,()+=−+>''x ag x x 1sin 0112)(,可得'g x )(在⎝⎦⎥ ⎛⎤π20,单调递增, 因为⎝⎭π+ ⎪=<=−>''⎛⎫πa g g 2200,1012)(, 所以'g x )(在⎝⎦⎥ ⎛⎤π20,内有唯一零点,记为x 2,当<<x x 02时,<'g x 0)(;当<≤πx x 22时,>'g x 0)(,综合①②,g x )(在x 0,2)(单调递减,在πx ,2](单调递增.因为=g 00)(,所以<g x 02)(,又由>+x x ln 1)(可得π=π−π+>g ln 10)()(, 所以g x )(在π0,](内恰有1个零点.综上所述,当>a 0时,g x )(有1个零点;当<a 0时,g x )(有2个零点 ·········· 17分19.(17分)解:(1)据题中条件,列出赛制和甲获胜情况列联表如下:由计算公式得:⨯⨯⨯==−m m m mK mm m m1.70.351220.080.182222)(, 若≥m516.6352,即≥m 169.1925,故若≥m 170时,根据小概率值=α0.010的K 2独立 性检验,推断赛制对甲获胜的场数有影响,此推断犯错误的概率小于0.010.若<m 170,根据小概率值=α0.010的K 2独立性检验,没有证据认为赛制对甲获胜的场数有影响,此时赛制对甲获胜的场数没有影响 ·················································· 4分(2)依题意=+⋅−+⋅−P A p p C p p p C p p 1134322222)()()(=+−+−+=−+p p p p p p p p p 31612615103332543)()(,又有=−+−+−P B C p p C p p C p p 1115553344552)()()()(=−+−+p p p p p 101513452)()(=−++−+p p p p p p 10201055543455=−+p p p 61510543所以=P A P B )()( ·········································································· 7分 (3)考虑赛满+n 21局的情况,以赛完−n 21局为第一阶段,第二阶段为最后2局.设“赛满+n 21局甲获胜”为事件C ,结合第一阶段的结果,要使事件C 发生,有两种情况:第一阶段甲获胜,记为A 1;第一阶段乙获胜,且甲恰好胜了−n 1局,记为A 2, 则=+C AC A C 12,得:=+P C P AC P A C 12)()()(.若第一阶段甲获胜,即赛满−n 21局甲至少胜n 局,有两类情况:甲至少胜+n 1局和甲恰好胜n 局.第一类情况,无论第二阶段的2局结果如何,最终甲获胜;第二类情况,有可能甲不能获胜,这种情况是第二阶段的2局比赛甲均失败,其概率值为:−−−−C p p p n n nn 112112)()(,所以=−−−−−P AC P n C p p p n n nn 1112112)()()()(.若第一阶段乙获胜,且甲恰好胜了−n 1局,那么要使甲最终获胜,第二阶段的2局比赛甲必须全部取胜,可得:==−−−−P A C P A P C A C pp p n n n n122221112)()()()(,所以+==−−−+−−−−−−P n P C P n C p p p C pp p n n n nn n n n1111212111212)()()()()()( ······················································ 14分可得+−=−−−−−−−−−P n P n C pp p C p p p n n n n n nnn 1111212111212)()()()()(=−−−−−++C pp C p p n n n n n n nn 11212111)()(=−−−−C p p p p n n n n1121)()()(⎝⎭ ⎪=−−⎛⎫−C p p p n n n n 221121)(因为>p 21,所以⎝⎭ ⎪−−>⎛⎫−C p p p n n nn 2210121)(,可得+>P n P n 1)()(,综上:+>P n P n 1)()( ·································································· 17分。
2025届湖北省荆州市重点中学高考数学押题试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知(1)nx λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等,2012(1)n n n x a a x a x a x λ+=++++,若12242n a a a ++⋅⋅⋅=,则012(1)nn a a a a -+-⋅⋅⋅+-的值为( )A .1B .-1C .8lD .-812.已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示:根据该折线图可知,下列说法错误的是( ) A .该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高 B .该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低C .该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益D .该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元 3.已知a R ∈若(1-ai )( 3+2i )为纯虚数,则a 的值为 ( ) A .32-B .32C .23-D .234.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有器中米,不知其数,前人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升(注:一斗为十升).问,米几何?”下图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的S =15(单位:升),则输入的k 的值为( ) A .45B .60C .75D .1005.若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为25,则m =( ) A .1B .2C .5D .36.在ABC ∆中,点D 是线段BC 上任意一点,2AM AD =,BM AB AC λμ=+,则λμ+=( ) A .12-B .-2C .12D .27.五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶,每个单位至少一人,则甲、乙两人不在同一个单位的概率为( ) A .25B .1325C .35D .19258.总体由编号01,,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 923449358200 3623486969387481A .08B .07C .02D .019.已知函数,其中04?,?04b c ≤≤≤≤,记函数满足条件:(2)12{(2)4f f ≤-≤为事件A ,则事件A发生的概率为 A .14B .58C .38D .1210.一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体,小圆柱底面半径为1r ,大圆柱底面半径为2r ,如图1放置容器时,液面以上空余部分的高为1h ,如图2放置容器时,液面以上空余部分的高为2h ,则12h h =( )A .21r rB .212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C .321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D 21r r 11.20世纪产生了著名的“31x +”猜想:任给一个正整数x ,如果x 是偶数,就将它减半;如果x 是奇数,则将它乘3加1,不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得到1.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图,若输入正整数m 的值为40,则输出的n 的值是( )A .8B .9C .10D .1112.党的十九大报告明确提出:在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享,进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响,在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验,根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图,最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是( )A .B .C .D .二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
高职数学第四章指数函数与对数函数题库一、选择题01-04-01.= ( ) A.52a B.2ab - C.12a b D.32b02-04-01.下列运算正确的是( ) A.342243⋅=2 B.4334(2)=2C.222log 2log x x =D.lg11=03-04-01.若0a >,且,m n 为整数,则下列各式中正确的是( ) A.m m n na a a ÷= B.m n m n a a a =C.()n m m n a a +=D.01n n a a -÷= 04-04-01.=⋅⋅436482( )A.4B.8152C.272 D.805-04-01.求值1.0lg 2log ln 2121-+e 等于( ) A.12- B.12 C.0 D.106-04-01.将25628=写成对数式( )A.2256log 8=B.28log 256=C.8256log 2=D.2562log 8=07-04-01.下列函数中,在其定义域内既是奇函数,又是增函数的是( )A.x y 3.0log = (x >0)B. y=x 2+x (x ∈R) C.y=3x (x ∈R) D.y=x 3(x ∈R)08-04-01.下列函数,在其定义域内,是减函数的是( ) A.12y x = B.2x y = C.3y x = D.x y 3.0log = (x >0)09-04-01.下列各组函数中,表示同一函数的是( )A.2x y x=与y x = B.y x =与yC.y x =与2log 2x y =D.0y x =与1y =09-04-01. 化简10021得( )A.50B.20 C .15 D .1010-04-01. 化简832_得( ) A.41 B. 21 C.2 D .4 11-04-01.化简232-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x 的结果是( )A.64y x - B .64-y x C .64--y x D .34y x12-04-01.求式子23-·1643的值,正确的是( ) A.1 B .2 C .4 D .813-04-01.求式子42·48的值,正确的是( )A.1 B .2 C .4 D .814-04-01.求式子573⎪⎭⎫ ⎝⎛·08116⎪⎭⎫ ⎝⎛÷479⎪⎭⎫ ⎝⎛的值,正确的是( ) A. 1281 B .1891 C .2561 D .1703 15-04-01.求式子23-·45·0.255的值,正确的是( ) A.1 B .21 C .41 D .81 16-04-01. 已知指数函数y=a x (a >0,且a ≠1)的图象经过点(2,16),则函数的解析式是( )A.x y 2= B .x y 3= C .x y 4= D .xy 8= 17-04-01. 已知指数函数y=a x(a >0,且a ≠1)的图象经过点(2,16),则函数的值域是( )A.()+∞,1B.()+∞,0 C .[)+∞,0 D .()0,∞-18-04-01.已知指数函数y=a x (a >0,且a ≠1)的图象经过点(2,16),x=3时的函数值是( )A.4 B .8 C .16 D .6419-04-01.下列函数中,是指数函数的是( )A.y=(-3)xB.y=x-⎪⎭⎫ ⎝⎛52 C.y= x 21 D.y=3x 420-04-01.下列式子正确是( ) A.log 2(8—2)=log 28—log 22 B.lg (12—2)=2lg 12lg ; C.9log 27log 33=log 327—log 39. D.()013535≠=-a a a 21-04-01.计算22log 1.25log 0.2+=( )A.2-B.1-C.2D.122-04-01.当1a >时,在同一坐标系中,函数log a y x =与函数1x y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象只可能是( )23-04-01.设函数()log a f x x = (0a >且1a ≠),(4)2f =,则(8)f =( )A.2B.12C.3D. 13二、填空题 24-04-01. 将分数指数幂53-b 写成根式的形式是 。