高量4-01 D函数 2

专题01 二次函数的定义五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一二次函数的识别】 (1)【考点二二次函数中各项的系数】 (2)【考点三利用二次函数的定义求参数】 (3)【考点四已知二次函数上一点，求字母或式子的值】 (5)【考点五列二次函数的关系式】 (6)【过关检测】 (8)【典型例题】【考点一二次函数的识别】【变式训练】1．（2023·浙江·九年级假期作业）以下函数式二次函数的是（）【考点二 二次函数中各项的系数】例题：（2023·全国·九年级假期作业）二次函数221y x x =--+的二次项系数是（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】B【分析】根据二次函数的定义“一般地，形如2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，0a ¹）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项”作答即可．【详解】解：二次函数221y x x =--+的二次项系数是1-．故选：B ．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．【变式训练】1．（2023·浙江·九年级假期作业）二次函数()32-=x x y 的二次项系数与一次项系数的和为（ ）A ．2B ．2-C ．1-D ．4-【答案】D 【分析】将函数解析式化简，得到各系数，计算即可．【详解】解：()23622x y x x x --==，∴二次项系数是2，一次项系数是6-，∴264-=-，故选：D ．【点睛】此题考查了二次函数定义，正确理解二次函数的各项的系数是解题的关键．2．（2022·全国·九年级假期作业）二次函数2(1)y x x =-的二次项系数是________．【答案】2【分析】首先把二次函数化为一般形式，再进一步求得二次项系数．【详解】解：y =2x （x -1）=2x 2-2x ．所以二次项系数2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．【考点三 利用二次函数的定义求参数】例题：（2023·全国·九年级假期作业）若函数()2231y m x mx =+++是二次函数，则（ ）A ．2m ³-B ．2m ¹C ．2m ¹-D ．2m =-【答案】C 【分析】根据二次函数的定义，即可求解．【详解】解：根据题意得20m +¹，解得2m ¹-，故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ¹）的函数，叫做二次函数是解题的关键．【变式训练】【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数2y ax bx c =++的定义条件是：a 、b 、c 为常数，0a ¹，自变量最高次数为2．【考点四 已知二次函数上一点，求字母或式子的值】例题：（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）若抛物线223y ax x =-+经过点(1,2)P ，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】将点P 代入函数表达式中，解方程可得a 值．【详解】解：将(1,2)P 代入223y ax x =-+中，得：22=121+3a -´´，解得：=1a ，故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点，熟知二次函数图像上的点的坐标满足函数表达式是解题的关键．【变式训练】1．（2022秋·天津西青·九年级校考阶段练习）抛物线23y ax bx =+-过点（2，4），则代数式84a b +的值为（ ）A ．14B ．2C ．－2D ．－14【答案】A【分析】将点（2，4）的坐标代入抛物线y=ax 2+bx -3关系式，再整体扩大2倍，即可求出代数式的值．【详解】解：将点（2，4）代入抛物线y=ax 2+bx -3得4a +2b -3=4，整理得8a +4b =14.故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟悉整体思想是解题的关键．2．（2022秋·山东泰安·九年级统考阶段练习）若抛物线2y x bx c =-++经过点()2,3-，则247c b --的值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．20【答案】B【分析】先把点()2,3-代入解析式，得到2=7c b -，然后化简247=2c b --（c-4b ）-7，整体代入即可得到答案.【详解】解：把点()2,3-代入2y x bx c =-++，得：2=7c b -，∵247=2c b --（c-2b ）-7277=7=´-；故选择：B .【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是灵活运用整体代入法解题.【考点五 列二次函数的关系式】【变式训练】1．（2022秋·九年级单元测试）一台机器原价为50万元，如果每年的折旧率是()0x x >，两年后这台机器的价格为y 万元，则y 与x 之间的函数关系式为_____．【答案】()2501y x =-【分析】根据题意列出函数解析式即可．【详解】解：∵一台机器原价为50万元，每年的折旧率是()0x x >，两年后这台机器的价格为y 万元，∴y 与x 之间的函数关系式为()2501y x =-．故答案为：()2501y x =-．【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格=原价()21x ´-．2．（2023·浙江·九年级假期作业）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y （千克）是销售单价x （元）的一次函数，且当60x =时，8050y x ==；时，100y =．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元．(1)求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．(2)求该公司销售该原料日获利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式．【答案】(1)2200y x =-+(3070x ££)；(2)222606450w x x =-+-(3070x ££)【分析】（1）根据y 与x 写成一次函数解析式，设为y kx b =+，把x 与y 的两对值代入求出k 与b 的值，即可确定出y 与x 的解析式，并求出x 的范围即可；（2）根据利润=单价´销售量列出w 关于x 的二次函数解析式即可．【详解】（1）设y 与x 的函数关系式为y kx b =+．60x =Q 时，80y =，50x =时，100y =，608050100k b k b +=ì\í+=î，解得2200k b =-ìí=î，2200y x \=-+，根据部门规定，得3070x ££．（2）22(30)450(30)(2200)45030702260600045022606450w x y x x x x x x x =--=--+-=-+--=-£-£+（）【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．【过关检测】一、选择题二、填空题6．（2023秋·江西宜春·九年级统考期末）二次函数2=23y x x --中，当=1x -时，y 的值是________．【答案】0【分析】把=1x -代入2=23y x x --计算即可．【详解】解：当=1x -时，2=23=123=0y x x ---+，故答案为：0．【点睛】本题考查了求二次函数的值，解题的关键是把=1x -代入2=23y x x --计算．7．（2022春·全国·九年级专题练习）把y ＝（2－3x ）（6＋x ）变成y ＝ax ²＋bx ＋c 的形式，二次项为____，一次项系数为______，常数项为______．【答案】23x - －16 12【解析】略8．（2023秋·河南洛阳·九年级统考期末）已知函数||1(1)45m y m x x +=++-是关于x 的二次函数，则一次函；【答案】二次函数关系【分析】根据矩形面积公式求出y 与x 之间的函数关系式即可得到答案．【详解】解：由题意得()()2302050600y x x x x =++=++，∴y 与x 之间的函数关系是二次函数关系，故答案为；二次函数关系．【点睛】本题主要考查了列函数关系式和二次函数的定义，正确列出y 与x 之间的函数关系式是解题的关键．三、解答题。

4-1 如图是用频率为1 000 kHz 的载波信号同时传输两路信号的频谱图。

试写出它的电压表达式，并画出相应的实现方框图。

计算在单位负载上的平均功率P av 和频谱宽度BW AM 。

解：(1)为二次调制的普通调幅波。

为二次调制的普通调幅波。

第一次调制：调制信号：F = 3 kHz 载频：f 1 = 10 kHz ，f 2 = 30 kHz第二次调制：两路已调信号叠加调制到主载频f c = 1000 kHz 上。

上。

令 W = 2p ´ 3 ´ 103 rad/sw 1 = 2p ´ 104rad/sw 2= 2p ´ 3 ´ 104rad/s w c = 2p ´ 106rad/s第一次调制：v 1(t ) = 4(1 + 0.5cos W t )cos w 1tv 2(t ) = 2(1 + 0.4cos W t )cos w 2t第二次调制：v O (t ) = 5 cos w c t + [4(1 + 0.5cos W t )cos w 1t + 2(1 + 0.4cos W t )cos w 2t ] cos w c t= 5[1+0.8(1 + 0.5cos W t )cos w 1t + 0.4(1 + 0.4cos W t )cos w 2t ] cos w c t (2) 实现方框图如图所示实现方框图如图所示(3) 根据频谱图，求功率。

根据频谱图，求功率。

○1 载频为10 kHz 的振幅调制波平均功率的振幅调制波平均功率 V m01 = 2V ，M a1 = 0.5W 5.4)211(2W 22121a 01av1201m 01=+===M P P V P ；○2 f 2 = 30 kHz V m02 = 1V ，M a2 = 0.4W 08.1)211(2W 5.02122a 02av2202m 02=+===M P P V P ； ○3 主载频f c = 1000 kHz V m0 = 5VW 5.122120m 0==V P总平均功率P av = P 0 + P av1 + P av2 = 18.08 W ○4 BW AM 由频谱图可知F max = 33 kHz得BW AM = 2F = 2(1033 -1000) = 66 kHz4-3 试画出下列三种已调信号的波形和频谱图。

专题01 二次函数考点类型知识串讲（一）二次函数的概念概念：一般地，形如y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。

注意：二次项系数a≠0，而b,c可以为零．（二）二次函数的一般式二次函数一般形式：y=ax²+bx+c（a≠0）①等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．②a,b,c是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．（三）自变量x的取值范围（1）使函数表示有意义。

①分母不能为0。

②被开方数大于等于0。

③幂的底数和指数不能同时为0。

（2）满足实际问题的实际意义。

考点训练考点1：二次函数的识别典例2：（2023春·江苏盐城·八年级校考期中）如果函数y=(m+1)x m2―m+3是二次函数，则m的值为______．【变式1】（2023秋·河南开封·九年级统考期末）已知函数y=(m+1)x|m|+1―2x+1是二次函数，则m= ______．【变式2】（2022秋·江苏镇江·九年级校考阶段练习）关于x的函数y=(m―1)x m2+1+3x―1是二次函数，则m=______．【变式3】（2022秋·山东济宁·九年级统考期中）若关于x的函数y=(m+2)x m2―m―4+1是二次函数，则满足条件的m的值为______．考点3：列二次函数关系式典例3：（2022秋·九年级单元测试）一台机器原价为50万元，如果每年的折旧率是x(x>0)，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x之间的函数关系式为_____．【变式1】（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）如下图所示，在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为y cm2，金色纸边的宽为x cm，则y与x之间的函数关系式是_________________．【变式2】（2022秋·辽宁大连·九年级统考期中）已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为________．【变式3】（2022·全国·九年级假期作业）若点(m，0)在二次函数y＝x2﹣3x+2的图象上，则2m2﹣6m+2029的值为____．考点4：自变量x的取值范围．将函数变形为的形式，正确的是（ ）．．．．的二次函数的是（ ）A．正比例函数关系，一次函数关系C．正比例函数关系，二次函数关系10．若y=(1―m)x m2―2是二次函数，且图象开口向下，则m=±2二、填空题26．观察下列两个两位数的积（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10）：91×99,92×98,⋯,98×92,99×91．设这两个两位数的积为y，其中一个乘数为90+x，则y关于x的函数关系式为______．27．二次函数的解析式为y=mx m2―3m+2，则常数m的值为__________．28．已知二次函数f(x)=x2-3x+1，那么f(2)=_________．29．正方形边长为2，若边长增加x，那么面积增加y，则y与x的函数关系式是______．30．如果函数y=(m+1)x m2―m+2是二次函数，那么m=____．。

2001年全国普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)若0cos sin >θθ，则θ在(A)第一、二象限 (B)第一、三象限 (C)第一、四象限 (D)第二、四象限 (2)过点A(1，-1)，B(-1，1)且园心在直线x+y-2=0上的圆珠笔的方程是 (A)(x-3)2+(y+1)2=4 (B)(x+3)2+(y-1)2=4 (C)(x-1)2+(y-1)2=4 (B)(x+1)2+(y+1)2=4(3)设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 (A)1 (B)2 (C)4 (D)6(4)若定义在区间(-1，0)内的函数f (x )= log 2a (x ＋ 1)满足f (x )＞ 0，则 a 的取值范围是(A)(0，21) (B) (0，21] (C) (21，+∞) (D) (0，+∞)(5)极坐标方程)4sin 2πθρ+=的图形是(6)函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是(A) )20)(1arccos(≤≤--=x x y (B) )20)(1arccos(≤≤--=x x y π (C) )20)(1arccos(≤≤-=x x y (D) )20)(1arccos(≤≤-+=x x y π (7)若椭圆经过原点，且焦点为F 1(1，0)，F 2(3，0)，则其离心率为(A) 43(B) 32 (C) 21 (D) 41(8)若ba =+=+<<<ββααπβαcos sin ,cos sin ,40，则(A)a <b (A)a >b(A)ab <1(D)ab >2(9)在正三棱柱ABC －A 1 B 1C 1中，若AB =2BB 1，则AB 与C 1B 所成的角的大小为(A)60°(B)90°(C)105°(D)75°(10)设f(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题：①若f(x)单调速增，g(x)单调速增，则f(x)-g(x))单调递增;②若f(x)单调速增，g(x)单调速减，则f(x)-g(x))单调递增;③若f(x)单调速减，g(x)单调速增，则f(x)-g(x))单调递减;④若f(x)单调速减，g(x)单调速减，则f(x)-g(x))单调递减;其中，正确的命题是(A)①③(B)①④(C)②③(D)②④(11)一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则(A)P3>P2>P1 (B) P3>P2=P1(C) P3=P2>P1(D) P3=P2=P1(12)如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表承它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为(A)26(B)24(C)20(D)19二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(13)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是_________．(14)双曲线116922=+yx的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上．若PF⊥PF2，则点P到x轴的距离为_________。

标准学术能力诊断性测试2024年10月测试数学试卷本试卷共150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1244x A x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，{2,1,0,1,2}B =--，则A B = （）A.{1,0,1}-B.{2,1,0,1,2}-- C.{0,1}D.{1,1}-2.若1i 1z z +=-，则||z =（）B.22C.1D.123.已知单位向量a 和b，若()2a a b ⊥+ ，则a b += （）A.2B.14.已知圆柱的底面半径和球的半径相等，圆柱的高与球的半径相等，则圆柱与球的表面积之比为（）A.1:2B.1:1C.3:4D.2:35.已知1sin()3αβ+=，tan 2tan αβ=，则sin()αβ-=（）A.13-B.19-C.13D.196.已知函数2,01()1(1),12x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数2()()g x f x x =-的零点个数为（）A.2B.0C.3D.无穷7.将sin y x =的图象变换为πsin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，下列变换正确的是（）A.将图象上点的横坐标变为原来的13倍，再将图象向右平移π6个单位B.将图象上点的横坐标变为原来的3倍，再将图象向右平移π18个单位C.将图象向右平移π6个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的13倍D.将图象向右平移π6个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的3倍8.定义在R 上的函数()f x 满足：(1)(1)0f x f x -+---=，且(1)(1)0f x f x ++-=，当[1,1]x ∈-时，()2f x ax =-，则()f x 的最小值为（）A.6- B.4- C.3- D.2-二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分.9.从{1,2,3}中随机取一个数记为a ，从{4,5,6}中随机取一个数记为b ，则下列说法正确的是（）A.事件“a b +为偶数”的概率为49B.事件“ab 为偶数”的概率为79C.设X a b =+，则X 的数学期望为()6E X =D.设Y ab =，则在Y 的所有可能的取值中最有可能取到的值是1210.在直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD为正方形，1CD ==P 为线段1B C 上动点，E ，F 分别为11A D 和BC 的中点，则下列说法正确的是（）A.若1103CP CB λλ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭ ，则经过P ，E ，F 三点的直棱柱的截面为四边形B.直线1B C 与11A C所成角的余弦值为4C.三棱锥11P A DC -的体积为定值D.1A P BP +11.一条动直线1l 与圆221x y +=相切，并与圆2225x y +=相交于点A ，B ，点P 为定直线2:100l x y +-=上动点，则下列说法正确的是（）A.存在直线1l ，使得以AB 为直径的圆与2l 相切B.22||||PA PB +的最小值为150-C.AP PB ⋅的最大值为27-+D.||||PA PB +的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若m-的展开式中存在2x 项，则由满足条件的所有正整数m 从小到大排列构成的数列{}n a 的通项公式为__________.13.设双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的右顶点为F ，且F 是抛物线2:4y x Γ=的焦点.过点F 的直线l 与抛物线Γ交于A ，B 两点，满足2AF FB =，若点A 也在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为__________.14.已知()|ln ln 2|1af x a x x=--+-，则()f x 的最小值为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足()2222321a b c++=.（1）若b c =，3cos 4A =，求ABC △的面积；（2）记BC 边的中点为D ，AD x =，若A 为钝角，求x 的取值范围.16.（15分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，2PA AC ==，1BC =，AB =.（1）若AD ⊥平面PAB ，证明：//AD 平面PBC ；（2）若PA ⊥底面ABCD ，AD CD ⊥，二面角A CP D --的正弦值为3，求AD 的长.17.（15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的下顶点为B ，左、右焦点分别为1F 和2F ，离心率为12，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于D ，E 两点.若直线l 垂直于1BF ，则BDE △的周长为8.（1）求粗圆C 的方程；（2）若直线l 与坐标轴不垂直，点E 关于x 轴的对称点为G ，试判断直线DG 是否过定点，并说明理由.18.（17分）已知函数()sin f x ax x =+，[0,π]x ∈.（1）若1a =-，证明：()0f x ≤；（2）若()0f x ≤，求a 的取值范围；（3）若0a ≠，记1()()ln(1)g x f x x a=-+，讨论函数()g x 的零点个数.19.（17分）乒乓球比赛有两种赛制，其中就有“5局3胜制”和“7局4胜制”，“5局3胜制”指5局中胜3局的一方取得胜利，“7局4胜制”指7局中胜4局的一方取得胜利.（1）甲、乙两人进行乒乓球比赛，若采用5局3胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.8；若采用7局4胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.9.已知甲、乙两人共进行了()*m m ∈N 场比赛，请根据小概率值0.010α=的2K独立性检验，来推断赛制是否对甲获胜的场数有影响.（2）若甲、乙两人采用5局3胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为p ，没有平局.记事件“甲只要取得3局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”为A ，事件“两人赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利且甲获胜”为B ，试证明：()()P A P B =.（3）甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是(0.5)p p >，没有平局.若采用“赛满21n -局，胜方至少取得n 局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为()P n .若采用“赛满21n +局，胜方至少取得1n +局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为(1)P n +，试比较()P n 与(1)P n +的大小.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥0.050.0250.0100k 3.8415.0246.635标准学术能力诊断性测试2024年10月测试数学 参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对但不全的得3分，有错选的得0分．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．=a n n 413 14．2四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）解：（1）由余弦定理知：+=+b c bc A 5214cos 22)(，又==b c A 4,cos 3，代入等式中可得：=+bc bc 10213，即得=bc 3，所以==b c ······································································· 4分所以∆ABC 的面积为=⨯=bc A 2248sin 13 ············································· 5分 （2）因为D 为线段BC 的中点，所以()1AD AB AC =+2，两边平方得：=++x b c bc A 42cos 1222)(，由余弦定理可得：=+−bc A b c a 2cos 222， 代入上式得：=+−x b c a 42212222)(， 再由++=a b c 2321222)(，可得=−a x 761222，+=+b c x 738222 ·················· 10分因为A 为钝角，所以>+a b c 222，可得−>+x x 776312822，解得<<x 0．所以，x的取值范围为⎩⎭⎪⎪⎨<<⎪⎧x x 100 ····················································· 13分 16．（15分）解：（1）因为⊥AD 平面PAB ，⊂AB 平面PAB ，所以⊥AD AB ，由===AC BC AB 2,1,=+AC AB BC 222，所以⊥BC AB ， 所以在平面四边形ABCD 中，由⊥⊥AD AB BC AB ,，可得AD BC ，因为⊄AD 平面PBC ，⊂BC 平面PBC ， 所以AD平面PBC ·················································································· 6分（2）【方法一】因为⊥PA 底面ABCD ，⊂CD 底面ABCD ，所以⊥PA CD ，因为AD CD PAAD A ⊥=,，所以⊥CD 平面PAD ，可得⊥CD PD ，即∠=︒PDC 90．以直线DA 为x 轴，直线DC 为y 轴，过点D 且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示： ························································ 8分 设==AD a DC b ,，则D A a C b P a 0,0,0,,0,0,0,,0,,0,2)()()()(，在坐标平面xDz 中，直线DP 的法向量就是平面PDC 的法向量，可得其中一个法向量为(2,0,n a =−1)．设平面PAC 的一个法向量为(,,n x y z =2)，则0n AP n CP ⋅=⋅=22， 而()(0,0,2,,,2AP CP a b ==−)，可得=−=z ax by 0,0．令=x b ，则=y a ，得(,,0n b a =2) ··························································· 12分 所以cos ,n n <>=+⋅+−a a bb 4222212，依题可知，cos ,n n <>=3312，可得()()++=a b a b 43412222， 因为+==a b AC 4222，所以−=b b 83122，解得=b 22， 则=a 22，得=AD ············································································ 15分x【方法二】设点A 到平面PCD 的距离为d 1，点A 到直线PC 的距离为d 2，二面角−−A CP D 的平面角为θ，则由二面角的平面角定义知=θd d sin 21．由题意计算可得=d 2=3=d 1 由等体积公式可得⋅⋅=⋅⋅∆∆S PA S d ACD PCD 33111，即⋅=⋅AD CD PD CD 3，得=PD ．因为=+=−PC PD CD CD AC AD ,222222， 所以=+−AD AD 83422，得=AD17．（15分） 解：（1）由离心率为21，==BF a OF c ,11，可得=BF OF 2111则∠=︒BFO 601，可得∆BF F 12若直线l 垂直BF 1，则直线l 垂直平分线段BF 1∆BDE 与∆F DE 1全等，那么∆F DE 1的周长为8．由椭圆定义可知：+=+=EF EF a DF DF 2,1212所以∆F DE 1的周长为a 4，可得=a 48，即=a 2所以=c 1，可得=b ，则椭圆C 的方程为+x y 4322（2）设l 的方程为=+x my 1，则−G x y ,22)(可得直线DG 的方程为−y 因为=+=x my x my 1,1122将它们代入直线方程中， 可得直线DG 的方程为：y 12可整理得：()−=+−−+m y y y y y x my y y y 212121212)()( （*） ···································· 10分联立方程⎪⎨⎪+=⎧x y 43122，得：++−=m y my 3469022)(，则+++=−=−m m y y y y m 3434,69221212， 可得=+y y m y y 321212，=+my y y y 231212)(， 将其代入（*）式中，可得直线DG 的方程为：()−=+−+m y y y y y x y y 4121212)()(()()+−=−−m y y x 3446122)(， 可见直线DG 过定点4,0)(，所以直线DG 过定点，定点坐标为4,0)( ······················································· 15分18．（17分）解：（1）若=−a 1，则=−+f x x x sin )(，得=−+≤'f x x 1cos 0)(，可知f x )(在π0,][单调递减，可得≤f x f 0)()(，而=f 00)(，所以≤f x 0)( ········································································ 3分 （2）依题意，必须π≤f 0)(，即π≤a 0，可得≤a 0，求导得=+'f x a x cos )(．若≤−a 1，则≤'f x 0)(，得f x )(在π0,][单调递减，则≤f x f 0)()(，而=f 00)(，则≤f x 0)(成立 ············································ 5分 若−<≤a 10，由于'f x )(在π0,][单调递减，而=+>'f a 010)(，π=−<'f a 10)(， 可知'f x )(在π0,][内有唯一零点，记为x 1，当≤<x x 01时，>'f x 0)(，可知f x )(在x 0,1)[单调递增，可得>=f x f 001)()(， 这与≤f x 0)(对任意∈πx 0,][恒成立矛盾，所以−<≤a 10不能成立，综上，实数a 的取值范围为−∞−,1]( ······························································ 8分 （3）有=+−+∈πag x x x x x sin ln 1,0,1][)()(， 观察知：=g 00)(，可见=x 0是g x )(的一个零点．下面我们考虑g x )(在π0,](内的零点情况 ······················································· 9分当∈πx 0,](时，若>a 0，则≥a x sin 01，可得+≥ax x x sin 1， 令=−+∈πF x x x x ln 1,0,]()()(，则+=>'x F x x10)(，得F x )(在π0,](单调递增，可得>=F x F 00)()(，即>+x x ln 1)(， 那么+>+ax x x sin ln 11)(，即>g x 0)(，故当>a 0时，函数g x )(在π0,](内无零点 ··················································· 12分若<a 0，则+=+−'a x g x x 11cos 11)(， ①当⎝⎦⎥ ∈π⎛⎤πx 2,时，<x cos 0，则>a x cos 01，而+−>x 1101，可得>'g x 0)(；②当⎝⎦⎥ ∈⎛⎤πx 20,时，()+=−+>''x ag x x 1sin 0112)(，可得'g x )(在⎝⎦⎥ ⎛⎤π20,单调递增， 因为⎝⎭π+ ⎪=<=−>''⎛⎫πa g g 2200,1012)(， 所以'g x )(在⎝⎦⎥ ⎛⎤π20,内有唯一零点，记为x 2，当<<x x 02时，<'g x 0)(；当<≤πx x 22时，>'g x 0)(，综合①②，g x )(在x 0,2)(单调递减，在πx ,2](单调递增．因为=g 00)(，所以<g x 02)(，又由>+x x ln 1)(可得π=π−π+>g ln 10)()(， 所以g x )(在π0,](内恰有1个零点．综上所述，当>a 0时，g x )(有1个零点；当<a 0时，g x )(有2个零点 ·········· 17分19．（17分）解：（1）据题中条件，列出赛制和甲获胜情况列联表如下：由计算公式得：⨯⨯⨯==−m m m mK mm m m1.70.351220.080.182222)(， 若≥m516.6352，即≥m 169.1925，故若≥m 170时，根据小概率值=α0.010的K 2独立 性检验，推断赛制对甲获胜的场数有影响，此推断犯错误的概率小于0.010．若<m 170，根据小概率值=α0.010的K 2独立性检验，没有证据认为赛制对甲获胜的场数有影响，此时赛制对甲获胜的场数没有影响 ·················································· 4分（2）依题意=+⋅−+⋅−P A p p C p p p C p p 1134322222)()()(=+−+−+=−+p p p p p p p p p 31612615103332543)()(，又有=−+−+−P B C p p C p p C p p 1115553344552)()()()(=−+−+p p p p p 101513452)()(=−++−+p p p p p p 10201055543455=−+p p p 61510543所以=P A P B )()( ·········································································· 7分 （3）考虑赛满+n 21局的情况，以赛完−n 21局为第一阶段，第二阶段为最后2局．设“赛满+n 21局甲获胜”为事件C ，结合第一阶段的结果，要使事件C 发生，有两种情况：第一阶段甲获胜，记为A 1；第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了−n 1局，记为A 2， 则=+C AC A C 12，得：=+P C P AC P A C 12)()()(．若第一阶段甲获胜，即赛满−n 21局甲至少胜n 局，有两类情况：甲至少胜+n 1局和甲恰好胜n 局．第一类情况，无论第二阶段的2局结果如何，最终甲获胜；第二类情况，有可能甲不能获胜，这种情况是第二阶段的2局比赛甲均失败，其概率值为：−−−−C p p p n n nn 112112)()(，所以=−−−−−P AC P n C p p p n n nn 1112112)()()()(．若第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了−n 1局，那么要使甲最终获胜，第二阶段的2局比赛甲必须全部取胜，可得：==−−−−P A C P A P C A C pp p n n n n122221112)()()()(，所以+==−−−+−−−−−−P n P C P n C p p p C pp p n n n nn n n n1111212111212)()()()()()( ······················································ 14分可得+−=−−−−−−−−−P n P n C pp p C p p p n n n n n nnn 1111212111212)()()()()(=−−−−−++C pp C p p n n n n n n nn 11212111)()(=−−−−C p p p p n n n n1121)()()(⎝⎭ ⎪=−−⎛⎫−C p p p n n n n 221121)(因为>p 21，所以⎝⎭ ⎪−−>⎛⎫−C p p p n n nn 2210121)(，可得+>P n P n 1)()(，综上：+>P n P n 1)()( ·································································· 17分。

2025届湖北省荆州市重点中学高考数学押题试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知(1)nx λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，2012(1)n n n x a a x a x a x λ+=++++，若12242n a a a ++⋅⋅⋅=，则012(1)nn a a a a -+-⋅⋅⋅+-的值为( )A ．1B ．－1C ．8lD ．－812．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是（ ） A ．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高 B ．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低C ．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益D ．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元 3．已知a R ∈若（1-ai ）( 3+2i )为纯虚数，则a 的值为 （ ） A ．32-B ．32C ．23-D ．234．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S =15(单位：升)，则输入的k 的值为（ ） A ．45B ．60C ．75D ．1005．若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为25，则m =（ ） A ．1B ．2C ．5D ．36．在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点，2AM AD =，BM AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．12-B ．-2C ．12D ．27．五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率为（ ） A ．25B ．1325C ．35D ．19258．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 923449358200 3623486969387481A ．08B ．07C ．02D ．019．已知函数，其中04?,?04b c ≤≤≤≤，记函数满足条件：(2)12{(2)4f f ≤-≤为事件A ，则事件A发生的概率为 A ．14B ．58C ．38D ．1210．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h ，则12h h =（ ）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D 21r r 11．20世纪产生了著名的“31x +”猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图，若输入正整数m 的值为40，则输出的n 的值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1112．党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高职数学第四章指数函数与对数函数题库一、选择题01-04-01.= （ ） A.52a B.2ab - C.12a b D.32b02-04-01.下列运算正确的是（ ） A.342243⋅＝2 B.4334(2)＝2C.222log 2log x x =D.lg11=03-04-01.若0a >，且,m n 为整数，则下列各式中正确的是（ ） A.m m n na a a ÷= B.m n m n a a a =C.()n m m n a a +=D.01n n a a -÷= 04-04-01.=⋅⋅436482（ ）A.4B.8152C.272 D.805-04-01.求值1.0lg 2log ln 2121-+e 等于（ ） A.12- B.12 C.0 D.106-04-01.将25628=写成对数式（ ）A.2256log 8=B.28log 256=C.8256log 2=D.2562log 8=07-04-01.下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ）A.x y 3.0log = (x ＞0)B. y=x 2+x (x ∈R) C.y=3x (x ∈R) D.y=x 3(x ∈R)08-04-01.下列函数，在其定义域内，是减函数的是（ ） A.12y x = B.2x y = C.3y x = D.x y 3.0log = (x ＞0)09-04-01.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A.2x y x=与y x = B.y x =与yC.y x =与2log 2x y =D.0y x =与1y =09-04-01. 化简10021得（ ）A.50B.20 C ．15 D ．1010-04-01. 化简832_得（ ） A.41 B. 21 C.2 D ．4 11-04-01.化简232-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x 的结果是（ ）A.64y x - B ．64-y x C ．64--y x D ．34y x12-04-01.求式子23-·1643的值，正确的是（ ） A.1 B ．2 C ．4 D ．813-04-01.求式子42·48的值，正确的是（ ）A.1 B ．2 C ．4 D ．814-04-01.求式子573⎪⎭⎫ ⎝⎛·08116⎪⎭⎫ ⎝⎛÷479⎪⎭⎫ ⎝⎛的值，正确的是（ ） A. 1281 B ．1891 C ．2561 D ．1703 15-04-01.求式子23-·45·0.255的值，正确的是（ ） A.1 B ．21 C ．41 D ．81 16-04-01. 已知指数函数y=a x （a ＞0，且a ≠1）的图象经过点（2，16），则函数的解析式是（ ）A.x y 2= B ．x y 3= C ．x y 4= D ．xy 8= 17-04-01. 已知指数函数y=a x（a ＞0，且a ≠1）的图象经过点（2，16），则函数的值域是（ ）A.()+∞,1B.()+∞,0 C ．[)+∞,0 D ．()0,∞-18-04-01.已知指数函数y=a x （a ＞0，且a ≠1）的图象经过点（2，16），x=3时的函数值是（ ）A.4 B ．8 C ．16 D ．6419-04-01.下列函数中，是指数函数的是（ ）A.y=（-3）xB.y=x-⎪⎭⎫ ⎝⎛52 C.y= x 21 D.y=3x 420-04-01.下列式子正确是（ ） A.log 2（8—2）=log 28—log 22 B.lg （12—2）=2lg 12lg ； C.9log 27log 33=log 327—log 39. D.()013535≠=-a a a 21-04-01.计算22log 1.25log 0.2+=（ ）A.2-B.1-C.2D.122-04-01.当1a >时，在同一坐标系中，函数log a y x =与函数1x y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象只可能是（ ）23-04-01.设函数()log a f x x = （0a >且1a ≠），(4)2f =，则(8)f =（ ）A.2B.12C.3D. 13二、填空题 24-04-01. 将分数指数幂53-b 写成根式的形式是 。

三角函数题型01任意角的三角函数题型02两角和与差的三角函数题型03三角函数的图象与性质题型04解三角形题型01任意角的三角函数1(2024·辽宁沈阳·统考一模)sin x =1的一个充分不必要条件是.2(2024·重庆·统考一模)英国著名数学家布鲁克·泰勒(Taylor Brook )以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如：sin x =x -x 33!+x 55!-x 77!+⋯，其中n !=1×2×3×⋯×n ．根据该展开式可知，与2-233!+255!-277!+⋯的值最接近的是()A.sin2°B.sin24.6°C.cos24.6°D.cos65.4°3(2024·福建厦门·统考一模)若sin α+π4 =-35，则cos α-π4 =．4(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)下列说法正确的是()A.cos2sin3<0B.若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则扇形的面积为3π2C.终边落在直线y =x 上的角的集合是α α=π4+2k π,k ∈Z D.函数y =tan 2x -π6 的定义域为x x ≠π3+k π2,k ∈Z ，π为该函数的一个周期5(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)已知函数f (x )=cos xx，若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则下列结论一定正确的是()A.f (sin A )>f (sin B )B.f (cos A )>f (cos B )C.f (sin A )>f (cos B )D.f (cos A )>f (sin B )6(2024·河北·校联考一模)在△ABC 中，若A =nB n ∈N * ，则()A.对任意的n ≥2，都有sin A <n sin BB.对任意的n ≥2，都有tan A <n tan BC.存在n ，使sin A >n sin B 成立D.存在n ，使tan A >n tan B 成立题型02两角和与差的三角函数7(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)若cos α+π4 =35，则sin2α=()A.725B.-725C.925D.-9258(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知cos α+π6 =14，则sin 2α-π6 =()A.78B.-78C.38D.-389(2024·辽宁沈阳·统考一模)已知sin π2-θ +cos π3-θ =1，则cos 2θ-π3=()A.13B.-13C.33D.-3310(2024·浙江·校联考一模)已知α是第二象限角，β∈0,π2 ,tan α+π4 =-14，现将角α的终边逆时针旋转β后得到角γ，若tan γ=17，则tan β=．11(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)已知tan α-11+tan α=2，则sin 2α+π6的值为()A.-4+3310B.-4-3310C.4+3310D.4-331012(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)已知α∈0,π ，且3tan α=10cos2α，则cos α可能为()A.-1010B.-55C.1010D.5513(2024·吉林延边·统考一模)已知函数f x =12-sin 2ωx +32sin2ωx ,ω>0 的最小正周期为4π．(1)求ω的值，并写出f x 的对称轴方程；(2)在△ABC 中角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c 满足2a -c cos B =b ⋅cos C ，求函数f A 的取值范围．题型03三角函数的图象与性质14(2024·福建厦门·统考一模)已知函数f (x )=2sin 2x -π3，则()A.f (x )的最小正周期为π2B.f (x )的图象关于点2π3,0 成中心对称C.f (x )在区间0,π3上单调递增D.若f (x )的图象关于直线x =x 0对称，则sin2x 0=1215(2024·吉林延边·统考一模)将函数f x =sin ωx +π6 (ω>0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是()A.13B.23C.43D.5316(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知函数f x =cos2x +a cos x +2，则下列说法正确的有()A.当a =0时，f x 的最小正周期为πB.当a =1时，f x 的最小值为78C.当a =3时，f x 在区间0,2π 上有4个零点D.若f x 在0,π3上单调递减，则a ≥217(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)已知函数f (x )=sin ωx +3cos ωx (ω>0)满足:f π6=2,f 2π3=0,则()A.曲线y =f (x )关于直线x =7π6对称 B.函数y =f x -π3是奇函数C.函数y =f (x )在π6,7π6单调递减 D.函数y =f (x )的值域为[-2,2]18(2024·辽宁沈阳·统考一模)如图，点A ,B ,C 是函数f x =sin ωx +φ (ω>0)的图象与直线y =32相邻的三个交点，且BC -AB =π3,f -π12=0，则()A.ω=4B.f 9π8 =12C.函数f x 在π3,π2上单调递减D.若将函数f x 的图象沿x 轴平移θ个单位，得到一个偶函数的图像，则θ 的最小值为π2419(2024·重庆·统考一模)已知f x =2a sin ωx ⋅cos ωx +b cos2ωx ω>0,a >0,b >0 的部分图象如图所示，当x ∈0,3π4时，f x 的最大值为．20(2024·云南曲靖·统考一模)函数f x =A sin ωx +φ (其中A >0，ω>0，φ ≤π2)的部分图象如图所示，则()A.f 0=-1B.函数f x 的最小正周期是2πC.函数f x 的图象关于直线x=π3对称D.将函数f x 的图象向左平移π6个单位长度以后，所得的函数图象关于原点对称21(2024·浙江·校联考一模)已知函数y=2sinωx+φ，该图象上最高点与最低点的最近距离为5，且点1,0是函数的一个对称点，则ω和φ的值可能是()A.ω=-π3,φ=-π3B.ω=-π3,φ=2π3C.ω=π3,φ=π3D.ω=π3,φ=2π322(2024·广东深圳·校考一模)已知函数f x =cosωx+π3+1(ω>0)的最小正周期为π，则f x 在区间0,π2上的最大值为()A.12B.1 C.32D.223(2024·山西晋城·统考一模)若函数f(x)=cosωx(0<ω<100)在π,5π2上至少有两个极大值点和两个零点，则ω的取值范围为．24(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数f x =A sinωx+φA>0,ω>0,φ <π的部分图象如图所示，则下列结论正确的是()A.ω=2，频率为1π，初相为π6B.函数f x 的图象关于直线x=-π6对称C.函数f x 在π12,13π24上的值域为0,2D.若把f x 图像上所有点的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，再向左平移π12个单位，则所得函数是y=2sin3x+π12题型04解三角形25(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E．从D点测得∠ADC=67.5°，从C点测得∠ACD=45°，∠BCE=75°，从E点测得∠BEC=60°．若测得DC=23，CE=2(单位：百米)，则A，B两点的距离为()A.6B.22C.3D.2326(2024·广东深圳·校考一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =3，b =5，c =2a cos A ，则cos A =() A.13B.24C.33D.6327(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)在锐角△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且c -b =2b cos A ，则下列结论正确的有()A.A =2BB.B 的取值范围为0,π4C.ab的取值范围为2,3 D.1tan B -1tan A+2sin A 的最小值为2228(2024·福建厦门·统考一模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2cos B +ab cos A =2c ．(1)求a ；(2)若A =2π3，且△ABC 的周长为2+5，求△ABC 的面积．29(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知a -bc=sin A -sin Csin A +sin B．(1)求角B 的大小；(2)若b =2，求△ABC 周长的最大值．30(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且cos C =-14,c=2a.(1)求sin A的值；(2)若△ABC的周长为18，求△ABC的面积.31(2024·浙江·校联考一模)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知c2b2+c2-a2=sin Csin B．(1)求角A；(2)设边BC的中点为D，若a=7，且△ABC的面积为334，求AD的长．32(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)已知在△ABC中，3sin(A+B)=1+2sin2C 2．(1)求角C的大小；(2)若∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC的外接圆半径为2，求△ABI周长的最大值．33(2024·辽宁沈阳·统考一模)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且b2=ac+a2.(1)求证：B=2A；(2)当3c+7a3b取最小值时，求cos B的值.34(2024·重庆·统考一模)在梯形ABCD中，AB⎳CD,∠ABC为钝角，AB=BC=2,CD=4，sin∠BCD=154．(1)求cos∠BDC；(2)设点E为AD的中点，求BE的长．35(2024·山西晋城·统考一模)在△ABC中，AB=33，AC=53，BC=73．(1)求A的大小；(2)求△ABC外接圆的半径与内切圆的半径．36(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知B =π4,4b cos C =2c +2a .(1)求tan C ；(2)若△ABC 的面积为32，求BC 边上的中线长.37(2024·云南曲靖·统考一模)在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且c =2a cos C -2b ．(1)求A ；(2)线段BC 上一点D 满足BD =14BC ,AD =BD=1，求AB 的长度．三角函数题型01任意角的三角函数题型02两角和与差的三角函数题型03三角函数的图象与性质题型04解三角形题型01任意角的三角函数1(2024·辽宁沈阳·统考一模)sin x =1的一个充分不必要条件是.【答案】x =π2(答案不唯一)【分析】根据三角函数的性质结合充分不必要条件即可求解.【详解】因为x =π2时sin x =1，由sin x =1可得x =π2+2k π,k ∈Z ,故sin x =1的一个充分不必要条件是x =π2，故答案为：x =π2(答案不唯一)2(2024·重庆·统考一模)英国著名数学家布鲁克·泰勒(Taylor Brook )以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如：sin x =x -x 33!+x 55!-x 77!+⋯，其中n !=1×2×3×⋯×n ．根据该展开式可知，与2-233!+255!-277!+⋯的值最接近的是()A.sin2° B.sin24.6°C.cos24.6°D.cos65.4°【答案】C【分析】观察题目将其转化为三角函数值，再将弧度制与角度制互化，结合诱导公式判断即可.【详解】原式=sin2≈sin 2×57.3° =sin 90°+24.6° =cos24.6°，故选：C .3(2024·福建厦门·统考一模)若sin α+π4 =-35，则cos α-π4 =．【答案】-35/-0.6【分析】应用诱导公式有cos α-π4 =cos α+π4 -π2=sin α+π4 ，即可求值.【详解】cos α-π4 =cos α+π4 -π2=sin α+π4 =-35.故答案为：-354(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)下列说法正确的是()A.cos2sin3<0B.若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则扇形的面积为3π2C.终边落在直线y =x 上的角的集合是α α=π4+2k π,k ∈ZD.函数y =tan 2x -π6 的定义域为x x ≠π3+k π2,k ∈Z ，π为该函数的一个周期【答案】ABD【分析】根据三角函数在各象限内的符号可判断出A 正确；根据扇形弧长和面积公式可知B 正确；由终边相同的角的集合表示方法可知C 错误；根据正切型函数定义域和周期的判断方法可知D 正确.【详解】对于A ，∵2,3均为第二象限角，∴cos2<0，sin3>0，∴cos2sin3<0，A 正确；对于B ，设扇形的半径为r ，则π3r =π，解得：r =3，∴扇形的面积S =12×π3×32=3π2，B 正确；对于C ，终边落在直线y =x 上的角的集合为α α=π4+k π,k ∈Z ，C 错误；对于D ，由2x -π6≠π2+k πk ∈Z 得：x ≠π3+k π2k ∈Z ，∴y =tan 2x -π6 的定义域为x x ≠π3+k π2,k ∈Z ；又tan 2x +π -π6 =tan 2π+2x -π6 =tan 2x -π6 ，∴π是y =tan 2x -π6 的一个周期，D 正确.故选：ABD .5(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)已知函数f (x )=cos xx，若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则下列结论一定正确的是()A.f (sin A )>f (sin B )B.f (cos A )>f (cos B )C.f (sin A )>f (cos B )D.f (cos A )>f (sin B )【答案】D【分析】由已知可得π2>A >π2-B >0，根据余弦函数的单调性，得出cos A <sin B ，由f x 的单调性即可判断选项.【详解】因为f (x )=cos x x ，所以f (x )=-x sin x -cos xx 2，当x ∈0,π2 时，sin x >0,cos x >0，所以-x sin x -cos xx2<0，即f (x )<0，所以f x 在0,π2上单调递减.因为A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，所以A +B >π2，则π2>A >π2-B >0，因为y =cos x 在0,π2 上单调递减，所以0<cos A <cos π2-B =sin B <1<π2，故f (cos A )>f (sin B )，故D 正确.同理可得f (cos B )>f (sin A )，C 错误；而A ,B 的大小不确定，故sin A 与sin B ，cos A 与cos B 的大小关系均不确定，所以f (sin A )与f (sin B )，f (cos A )与f (cos B )的大小关系也均不确定，AB 不能判断.故选：D6(2024·河北·校联考一模)在△ABC 中，若A =nB n ∈N * ，则()A.对任意的n ≥2，都有sin A <n sin BB.对任意的n ≥2，都有tan A <n tan BC.存在n ，使sin A >n sin B 成立D.存在n ，使tan A >n tan B 成立【答案】AD【分析】根据给定条件，举例说明判断BD；构造函数，借助导数探讨单调性判断AC.【详解】在△ABC中，当A=3B时，n=3，取B=π12，则A=π4，tan A=1，tan B=tanπ3-π4=3-11+3=2-3，3tan B=3(2-3)，则tan A>3tan B，B错，D对；显然0<A<π0<B<π0<C<π，即0<nB<π0<B<π0<π-B-nB<π，则0<B<πn+1，令f(x )=sin nx-n sin x，0<x<πn+1,n≥2，f (x)=n cos nx-n cos x=n(cos nx-cos x)<0，因此函数f(x)在0,πn+1上单调递减，则f(x)<f(0)=0，即sin nB<n sin B，从而sin A<n sin B，A对，C错.故选：AD【点睛】思路点睛：涉及不同变量的数式大小比较，细心挖掘问题的内在联系，构造函数，分析并运用函数的单调性求解作答.题型02两角和与差的三角函数7(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)若cosα+π4=35，则sin2α=()A.725B.-725C.925D.-925【答案】A【分析】根据二倍角的余弦公式和诱导公式即可.【详解】cos2α+π4=2cos2α+π4-1=2×35 2-1=-725,所以sin2α=-cos2α+π2=725，故选：A.8(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知cosα+π6=14，则sin2α-π6=()A.78B.-78C.38D.-38【答案】A【分析】利用换元法，结合诱导公式、二倍角公式等知识求得正确答案.【详解】设α+π6=t，则α=t-π6,cos t=14,sin2α-π6=sin2t-π6-π6=sin2t-π2=-cos2t=-2cos2t-1=-2×142-1=78.故选：A9(2024·辽宁沈阳·统考一模)已知sinπ2-θ+cosπ3-θ=1，则cos2θ-π3=()A.13B.-13C.33D.-33【答案】B【分析】根据和差角公式以及诱导公式可得32cos θ+32sin θ=1，由辅助角公式以及二倍角公式即可求解.【详解】由sin π2-θ+cos π3-θ =1得cos θ+12cos θ+32sin θ=1，进而可得32cos θ+32sin θ=1，结合辅助角公式得3cos θ-π6=1，则cos θ-π6 =33,∴cos 2θ-π3 =2cos 2θ-π6 -1=-13，故选：B .10(2024·浙江·校联考一模)已知α是第二象限角，β∈0,π2,tan α+π4 =-14，现将角α的终边逆时针旋转β后得到角γ，若tan γ=17，则tan β=．【答案】198/2.375【分析】由两角和的正切公式先得tan α=-53，进一步由两角差的正切公式即可求解.【详解】由题意tan α+π4 =tan α+11-tan α=-14，且γ=α+β，tan γ=tan α+β =17，解得tan α=-53，所以tan β=tan α+β-α =17--53 1+-53 ×17=198.故答案为：198.11(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)已知tan α-11+tan α=2，则sin 2α+π6的值为()A.-4+3310B.-4-3310C.4+3310D.4-3310【答案】A【分析】先由已知条件求出tan α的值，再利用三角函数恒等变换公式求出sin2α,cos2α的值，然后对sin 2α+π6利用两角和的正弦公式化简计算即可【详解】由tan α-11+tan α=2，得tan α=-3，所以sin2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan αtan 2α+1=-610=-35，cos2α=cos 2α-sin 2αsin 2α+cos 2α=1-tan 2αtan 2α+1=1-910=-45，所以sin 2α+π6 =sin2αcos π6+cos2αsinπ6=-35×32+-45 ×12=-4+3310，故选：A12(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)已知α∈0,π ，且3tan α=10cos2α，则cos α可能为()A.-1010B.-55C.1010D.55【答案】B【分析】由3tan α=10cos2α得3tan α=10×1-tan 2α1+tan 2α，化简后可求出tan α，再利用同角三角函数的关系可求出cos α.【详解】由3tan α=10cos2α，得3tan α=10(cos 2α-sin 2α)，所以3tan α=10×cos 2α-sin 2αcos 2α+sin 2α，所以3tan α=10×1-tan 2α1+tan 2α，整理得3tan 3α+10tan 2α+3tan α-10=0，(tan α+2)(3tan 2α+4tan α-5)=0，所以tan α+2=0或3tan 2α+4tan α-5=0，所以tan α=-2或tan α=-2±193，①当tan α=-2时，sin αcos α=-2，α∈π2,π ，因为sin 2α+cos 2α=1，所以5cos 2α=1，所以cos α=±55，因为α∈π2,π ，所以cos α=-55，②当tan α=-2+193时，sin αcos α=-2+193,α∈0,π2，因为sin 2α+cos 2α=1，所以19-23cos α 2+cos 2α=1，由于α∈0,π2 ，所以解得cos α=932-419，③当tan α=-2-193时，sin αcos α=-2-193,α∈π2,π ，因为sin 2α+cos 2α=1，所以-19-23cos α 2+cos 2α=1，由于α∈π2,π ，所以解得cos α=-932+419，综上，cos α=-55，或cos α=932-419，或cos α=-932+419，故选：B13(2024·吉林延边·统考一模)已知函数f x =12-sin 2ωx +32sin2ωx ,ω>0 的最小正周期为4π．(1)求ω的值，并写出f x 的对称轴方程；(2)在△ABC 中角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c 满足2a -c cos B =b ⋅cos C ，求函数f A 的取值范围．【答案】(1)ω=14,x =2π3+2k π,k ∈Z(2)12,1 【分析】(1)利用三角函数的恒等变换化简函数f (x )=sin 2ωx +π6，再根据周期求出ω的值,利用整体法即可求解对称轴.(2)把已知的等式变形并利用正弦定理可得cos B =12，故B =π3，故f (A )=sin 12A +π6 ,0<A <2π3，根据正弦函数的定义域和值域求出f A 的取值范围．【详解】(1)f x =12-sin 2ωx +32sin2ωx =12+32sin2ωx -sin 2ωx =12+32sin2ωx -1-cos2ωx2=32sin2ωx +12cos2ωx =sin 2ωx +π6 ．∵T =2π2ω=4π，∴ω=14．故f x =sin 12x +π6 令12x +π6=π2+k π,k ∈Z ，解得x =2π3+2k π,k ∈Z ，故对称轴方程为：x =2π3+2k π,k ∈Z(2)由2a -c cos B =b ⋅cos C 得(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ，∴2sin A cos B =sin B cos C +cos B sin C =sin (B +C )=sin A ．∵sin A ≠0，∴cos B =12，B ∈0,π ,∴B =π3．∴f (A )=sin 12A +π6 ,0<A <2π3，∴π6<A 2+π6<π2，∴12<sin A 2+π6 <1，∴f (A )∈12,1 题型03三角函数的图象与性质14(2024·福建厦门·统考一模)已知函数f (x )=2sin 2x -π3，则()A.f (x )的最小正周期为π2B.f (x )的图象关于点2π3,0 成中心对称C.f (x )在区间0,π3上单调递增D.若f (x )的图象关于直线x =x 0对称，则sin2x 0=12【答案】BC【分析】根据正弦型函数的性质，结合代入法、整体法逐一判断各项正误.【详解】由f (x )=2sin 2x -π3 ，最小正周期T =2π2=π，A 错；由f 2π3=2sin 2×2π3-π3 =0，即2π3,0 是对称中心，B 对；由x ∈0,π3 ，则2x -π3∈-π3,π3 ，显然f (x )在区间0,π3 上单调递增，C 对；由题意2x 0-π3=k π+π2⇒2x 0=k π+5π6，故sin2x 0=±12，D 错.故选：BC15(2024·吉林延边·统考一模)将函数f x =sin ωx +π6 (ω>0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是()A.13B.23C.43D.53【答案】B【分析】得出平移后的方程后，再根据正弦型函数的性质即可得到答案.【详解】结合题意可得f x +π2 =sin ωx +π2 +π6 =sin ωx +π2ω+π6,(ω>0)，因为曲线C 关于y 轴对称，所以π2ω+π6=k π+π2,k ∈Z ，解得ω=2k +23,k ∈Z ,因为ω>0，所以当k =0时，ω有最小值23.故选：B .16(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知函数f x =cos2x +a cos x +2，则下列说法正确的有()A.当a =0时，f x 的最小正周期为πB.当a =1时，f x 的最小值为78C.当a =3时，f x 在区间0,2π 上有4个零点D.若f x 在0,π3 上单调递减，则a ≥2【答案】AB【分析】根据三角函数的周期性、含cos x 的二次项函数的值域、三角函数的零点、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】当a =0时，f x =cos2x +2，所以f x 的最小正周期为π，A 选项正确；当a =0时，f x =cos2x +cos x +2=2cos 2x +cos x +1=2cos x +14 2+78≥78，所以f x 的最小值为78，B 选项正确；当a =4时，f x =cos2x +3cos x +2=2cos 2x +3cos x +1=2cos x +1 cos x +1 ，令f x =0，解得cos x =-12或cos x =-1，此时x =2π3或x =4π3或x =π，f x 在区间0,2π 上有3个零点，C 选项错误；f x =cos2x +a cos x +2=2cos 2x +a cos x +1，设t =cos x ，cos x 在0,π3 上单调递减，则t ∈12,1 ，根据复合函数的单调性，g t =2t 2+at +1在12,1 上单调递增，所以-a 4≤12，解得a ≥-2，D 选项错误.故选：AB17(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)已知函数f (x )=sin ωx +3cos ωx (ω>0)满足:f π6=2,f 2π3=0,则()A.曲线y =f (x )关于直线x =7π6对称 B.函数y =f x -π3是奇函数C.函数y =f (x )在π6,7π6单调递减 D.函数y =f (x )的值域为[-2,2]【答案】ABD【分析】用辅助角公式化简f (x ),再利用f π6=2,f 2π3 =0,得出ω的取值集合,再结合三角函数性质逐项判断即可.【详解】f (x )=2sin ωx +π3,所以函数y =f (x )的值域为[-2,2],故D 正确；因为f 2π3=0,所以2π3ω+π3=k 1π,k 1∈Z ,所以ω=3k 1-12,k 1∈Z ，因为f π6 =2,所以π6ω+π3=π2+2k 2π,k 2∈Z ,所以ω=12k 2+1,k 2∈Z ，所以3k 1-12=12k 2+1,即k 1=8k 2+1，所以ω∈{1,13,25,37⋯}，因为f 7π6 =2sin 12k 2+1 7π6+π3 =2sin 14k 2π+3π2=-2，所以曲线y =f (x )关于直线x =7π6对称,故A 正确；因为f x -π3 =2sin 12k 2+1 x -π3 +π3 =2sin 12k 2+1 x -4k 2π =2sin 12k 2+1 x即f x -π3 =-f -x -π3，所以函数y =f x -π3是奇函数,故B 正确；取ω=13,则最小正周期T =2πω=2π13<7π6-π6=π,故C 错误.故选：ABD 18(2024·辽宁沈阳·统考一模)如图，点A ,B ,C 是函数f x =sin ωx +φ (ω>0)的图象与直线y =32相邻的三个交点，且BC -AB =π3,f -π12=0，则()A.ω=4B.f 9π8 =12C.函数f x 在π3,π2上单调递减D.若将函数f x 的图象沿x 轴平移θ个单位，得到一个偶函数的图像，则θ 的最小值为π24【答案】ACD【分析】令f x =32求得x A ,x B ,x C 根据BC -AB =π3求得ω=4，根据f -π12=0求得f x 的解析式，再逐项验证BCD 选项.【详解】令f x =sin ωx +φ =32得，ωx +φ=π3+2k π或ωx +φ=2π3+2k π，k ∈Z ，由图可知：ωx A +φ=π3+2k π，ωx C +φ=π3+2k π+2π，ωx B +φ=2π3+2k π，所以BC =x C -x B =1ω-π3+2π ，AB =x B -x A =1ω⋅π3，所以π3=BC -AB =1ω-2π3+2π ，所以ω=4，故A 选项正确，所以f x =sin 4x +φ ，由f -π12=0得sin -π3+φ =0，所以-π3+φ=π+2k π，k ∈Z ，所以φ=4π3+2k π，k ∈Z ，所以f x =sin 4x +4π3+2k π =sin 4x +4π3 =-sin 4x +π3 ，f 9π8 =-sin 9π2+π3 =-12，故B 错误.当x ∈π3,π2 时，4x +π3∈5π3,2π+π3，因为y =-sin t 在t ∈5π3,2π+π3 为减函数，故f x 在π3,π2上单调递减，故C 正确；将函数f x 的图象沿x 轴平移θ个单位得g x =-sin 4x +4θ+π3，(θ<0时向右平移，θ>0时向左平移)，g x 为偶函数得4θ+π3=π2+k π，k ∈Z ，所以θ=π24+k π4，k ∈Z ，则θ 的最小值为π24，故D 正确.故选：ACD .19(2024·重庆·统考一模)已知f x =2a sin ωx ⋅cos ωx +b cos2ωx ω>0,a >0,b >0 的部分图象如图所示，当x ∈0,3π4时，f x 的最大值为．【答案】3【分析】由图象求出函数f x 的解析式，然后利用正弦型函数的基本性质可求得函数f x 在0,3π4上的最大值.【详解】因为f x =2a sin ωx ⋅cos ωx +b cos2ωx =a sin2ωx +b cos2ωx ω>0,a >0,b >0 ，设f x =A sin 2ωx +φ A >0,ω>0 ，由图可知，函数f x 的最小正周期为T =4×π6+π12 =π，则2ω=2πT =2ππ=2，又因为A =f x max -f x min 2=2+22=2，则f x =2sin 2x +φ ，因为f -π12 =2sin φ-π6 =2，可得sin φ-π6 =1，所以，φ-π6=π2+2k πk ∈Z ，则φ=2π3+2k πk ∈Z ，则f x =2sin 2x +2π3+2k π =2sin 2x +2π3 ，当0≤x ≤3π4时，2π3≤2x +2π3≤13π6，故f x max =2sin 2π3=2×32= 3.故答案为：3.20(2024·云南曲靖·统考一模)函数f x =A sin ωx +φ (其中A >0，ω>0，φ ≤π2)的部分图象如图所示，则()A.f 0 =-1B.函数f x 的最小正周期是2πC.函数f x 的图象关于直线x =π3对称D.将函数f x 的图象向左平移π6个单位长度以后，所得的函数图象关于原点对称【答案】AC【分析】利用图象求出函数f x 的解析式，代值计算可判断A 选项；利用正弦型函数的周期性可判断B 选项；利用正弦型函数的对称性可判断C 选项；利用三角函数图象变换可判断D 选项.【详解】由图可知，A =f x max -f x min 2=2--22=2，函数f x 的最小正周期T 满足3T 4=7π12--π6 =3π4，则T =π，ω=2πT =2ππ=2，B 错；所以，f x =2sin 2x +φ ，f -π6 =2sin 2×-π6 +φ =2sin φ-π3 =-2，可得sin φ-π3 =-1，因为-π2≤φ≤π2，所以，-5π6≤φ-π3≤π6，则φ-π3=-π2，可得φ=-π6，所以，f x =2sin 2x -π6 ，则f 0 =2sin -π6=-1，A 对；f π3 =2sin 2×π3-π6 =2sin π2=2=f x max ，所以，函数f x 的图象关于直线x =π3对称，C 对；将函数f x 的图象向左平移π6个单位长度以后，得到函数y =2sin 2x +π6 -π6 =2sin 2x +π6 的图象，所得函数为非奇非偶函数，D 错.故选：AC .21(2024·浙江·校联考一模)已知函数y =2sin ωx +φ ，该图象上最高点与最低点的最近距离为5，且点1,0 是函数的一个对称点，则ω和φ的值可能是()A.ω=-π3,φ=-π3B.ω=-π3,φ=2π3C.ω=π3,φ=π3D.ω=π3,φ=2π3【答案】D【分析】由题意首先得ω=π3，进一步由ω+φ=k π,k ∈Z ，对比选项即可得解.【详解】由题意函数的周期T 满足，T 2=52-42=3=2π2ω ，所以ω=±π3，又点1,0 是函数的一个对称点，所以ω+φ=k π,k ∈Z ，所以ω=π3φ=k π-π3,k ∈Z 或ω=-π3φ=k π+π3,k ∈Z，对比选项可知，只有当ω=π3φ=2π3k =1时满足题意.故选：D .22(2024·广东深圳·校考一模)已知函数f x =cos ωx +π3+1(ω>0)的最小正周期为π，则f x 在区间0,π2上的最大值为()A.12B.1C.32D.2【答案】C【分析】由周期公式求得ω，结合换元法即可求得最大值.【详解】由题意T =2πω=π，解得ω=2，所以f x =cos 2x +π3+1，当x ∈0,π2 时，t =2x +π3∈π3,4π3，所以f x 在区间0,π2 上的最大值为cos π3+1=32，当且仅当x =0时等号成立.故选：C .23(2024·山西晋城·统考一模)若函数f (x )=cos ωx (0<ω<100)在π,5π2上至少有两个极大值点和两个零点，则ω的取值范围为．【答案】85,2 ∪125,100 【分析】先求出极大值点表达式，利用题干条件列不等式赋值求解.【详解】令ωx =2k π，k ∈Z ，得f (x )的极大值点为x =2k πω，k ∈Z ，则存在整数k ，使得ω>02k πω>π2k +1 πω<5π2，解得4(k +1)5<ω<2k (k ∈N *)．因为函数y =cos x 在两个相邻的极大值点之间有两个零点，所以4(k +1)5<ω<2k (k ∈N *)．当k =1时，85<ω<2．当k =2时，125<ω<4．当k ≥2时，4(k +1)5<4(k +2)5<2k ．又0<ω<100，所以ω的取值范围为85,2 ∪125,4 ∪165,6 ∪⋅⋅⋅∪2045,100 =85,2 ∪125,100 ．故答案为：85,2 ∪125,100【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的图象及其性质，求出4k +15<ω<2k k ∈N * 并赋值计算是解决问题关键.24(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数f x =A sin ωx +φ A >0,ω>0,φ <π 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是()A.ω=2，频率为1π，初相为π6B.函数f x 的图象关于直线x =-π6对称C.函数f x 在π12,13π24上的值域为0,2 D.若把f x 图像上所有点的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，再向左平移π12个单位，则所得函数是y =2sin 3x +π12【答案】BCD【分析】根据图象求出三角函数解析式，再根据正弦函数图象与性质以及函数平移的原则即可判断.【详解】由图象可得A =2,34T =13π12-π3=3π4,∴T =π，频率是1T =1π,ω=2ππ=2,∵f π3 =2,∴f π3 =2sin 2π3+φ =2，即sin 2π3+φ =1,∴2π3+φ=2k π+π2(k ∈Z )，∴φ=2k π-π6(k ∈Z ),∵|φ|<π,∴φ=-π6，对于A ，∴f (x )=2sin 2x -π6 ，初相是-π6，故A 错误；对于B ，f -π6 =2sin -π3-π6=-2，故B 正确；对于C ，因为x ∈π12,13π24 ，所以2x -π6∈0,11π12，∴f (x )=2sin 2x -π6在π12,13π24上的值域为[0,2]，故C 正确；对于D ，把f (x )的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数为y =2sin 3x -π6，又向左平移π12个单位，得到的函数为y =2sin 3x +π12 -π6 =2sin 3x +π12 ，故D 正确；故选：BCD .题型04解三角形25(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)如图，为了测量某湿地A ，B 两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C ，D ，E ．从D 点测得∠ADC =67.5°，从C 点测得∠ACD =45°，∠BCE =75°，从E 点测得∠BEC =60°．若测得DC =23，CE =2(单位：百米)，则A ，B 两点的距离为()A.6B.22C.3D.23【答案】C【分析】在△ADC 中，求得AC =DC ；在△BCE 中，利用正弦定理求得BC ；再在△ABC 中，利用余弦定理即可求得结果.【详解】根据题意，在△ADC 中，∠ACD =45°，∠ADC =67.5°，DC =23，则∠DAC =180°-45°-67.5°=67.5°，则AC =DC =23，在△BCE 中，∠BCE =75°，∠BEC =60°，CE =2，则∠EBC =180°-75°-60°=45°，则有CE sin ∠EBC =BC sin ∠BEC ，变形可得BC =CE ⋅sin ∠BEC sin ∠EBC =2×3222=3，在△ABC 中，AC =23，BC =3，∠ACB =180°-∠ACD -∠BCE =60°，则AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC ·cos ∠ACB =9，则AB =3．故选：C .【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，涉及距离的求解，属基础题.26(2024·广东深圳·校考一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =3，b =5，c =2a cos A ，则cos A =()A.13B.24C.33D.63【答案】D【分析】由已知结合余弦定理进行化简即可求解.【详解】解：因为c =2a cos A ，由余弦定理可得c =2a ⋅b 2+c 2-a 22bc，将a =3，b =5代入整理得c =26，所以cos A =c 2a =63.故选：D .27(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)在锐角△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且c -b =2b cos A ，则下列结论正确的有()A.A =2BB.B 的取值范围为0,π4C.ab的取值范围为2,3 D.1tan B -1tan A+2sin A 的最小值为22【答案】AC【分析】用正弦定理可判断A 项，由锐角三角形可判断B 项，用倍角公式可判断C 项，切化弦后用取等条件即可判断D 项.【详解】在△ABC 中，由正弦定理可将式子c -b =2b cos A 化为sin C -sin B =2sin B cos A ，把sin C =sin A +B =sin A cos B +cos A sin B 代入整理得，sin A -B =sin B ，解得A -B =B 或A -B +B =π，即A =2B 或A =π(舍去)，所以A =2B ，选项A 正确；选项B ：因为△ABC 为锐角三角形，A =2B ，所以C =π-3B ，由0<B <π2,0<2B <π2,0<π-3B <π2,解得B ∈π6,π4 ，故选项B 错误；选项C ：a b=sin A sin B =sin2B sin B =2cos B ，因为B ∈π6,π4 ，所以cos B ∈22,32 ，2cos B ∈2,3 ，即ab的取值范围为2,3 ，故选项C 正确；选项D ：1tan B -1tan A +2sin A =sin A -B sin A sin B +2sin A =1sin A+2sin A ≥21sin A ×2sin A =22，当且仅当1sin A=2sin A 即sin A =±22时取等，但因为B ∈π6,π4 ，所以A =2B ∈π3,π2 ,sin A ∈32,1 ，无法取到等号，故D 错.故选：AC .28(2024·福建厦门·统考一模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2cos B +ab cos A =2c ．(1)求a ；(2)若A =2π3，且△ABC 的周长为2+5，求△ABC 的面积．【答案】(1)a =2；(2)34.【分析】(1)应用正弦边角关系及和角正弦公式有a sin (A +B )=2sin C ，再由三角形内角性质即可求边长；(2)应用余弦定理及已知得b 2+c 2+bc =4且b +c =5，进而求得bc =1，最后应用面积公式求面积.【详解】(1)由题设a (a cos B +b cos A )=2c ，由正弦定理有a (sin A cos B +sin B cos A )=2sin C ，所以a sin (A +B )=2sin C ，而A +B =π-C ，故a sin C =2sin C ，又sin C >0，所以a =2.(2)由(1)及已知，有cos A =b 2+c 2-a 22bc =b 2+c 2-42bc=-12，可得b 2+c 2+bc =4，又a +b +c =2+5，即b +c =5，所以(b +c )2-bc =5-bc =4⇒bc =1，故S △ABC =12bc sin A =34.29(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知a -bc=sin A -sin Csin A +sin B．(1)求角B 的大小；(2)若b =2，求△ABC 周长的最大值．【答案】(1)B =π3(2)6【分析】(1)根据题意利用正、余弦定理进行边角转化，进而可得结果；(2)根据a 2+c 2-b 2=ac ，结合基本不等式运算求解.【详解】(1)因为a -b c =sin A -sin C sin A +sin B，由正弦定理可得a -b c =a -ca +b ，整理得a 2+c 2-b 2=ac ，由余弦定理可得cos B =a 2+c 2-b 22ac =ac 2ac =12，且B ∈0,π ，所以B =π3.(2)由(1)可知：a 2+c 2-b 2=ac ，整理得a +c 2-4=3ac ，即ac =a +c 2-43，因为ac ≤a +c24，当且仅当a =c =2时，等号成立，则a +c 2-43≤a +c 24，可得a +c 2≤16，即a +c ≤4，所以△ABC 周长的最大值为4+2=6.30(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ，且cos C =-14,c =2a .(1)求sin A 的值；(2)若△ABC 的周长为18，求△ABC 的面积.【答案】(1)158(2)315【分析】(1)由正弦定理边化角结合同角三角函数关系求解;(2)由余弦定理解方程得边长，再利用面积公式求解.【详解】(1)因为0<C <π，cos C =-14，所以sin C =1-cos 2C =154.因为c =2a ，所以sin C =2sin A ，则sin A =sin C 2=158.(2)因为cos C =-14，所以c 2=a 2+b 2+12ab .因为c =2a ，所以3a 2-12ab -b 2=0，解得b =32a .因为△ABC 的周长为18，所以a +b +c =92a =18，解得a =4，则b =6,c =8.故△ABC 的面积为12bc sin A =12×6×8×158=315.31(2024·浙江·校联考一模)在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，已知c 2b 2+c 2-a2=sin Csin B．(1)求角A ；(2)设边BC 的中点为D ，若a =7，且△ABC 的面积为334，求AD 的长．【答案】(1)A =π3(2)132【分析】(1)根据正弦定理和题中所给式子化简计算得到b 2+c 2-a 2=bc ，再结合余弦定理即可求出角A ；(2)根据三角形面积公式得到bc =3和b 2+c 2=10，再结合中线向量公式计算即可.【详解】(1)在△ABC 中，由正弦定理得，sin C sin B =cb，因为c 2b 2+c 2-a 2=sin C sin B ，所以c 2b 2+c 2-a 2=cb ，化简得，b 2+c 2-a 2=bc ，在△ABC 中，由余弦定理得，cos A =b 2+c 2-a 22bc=12，又因为0<A <π，所以A =π3(2)由S △ABC =12bc sin A =34bc =334，得bc =3，由a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，得7=b 2+c 2-3，所以b 2+c 2=10．又因为边BC 的中点为D ，所以AD =12AB +AC，所以AD =12(AB +AC )2=12b 2+c 2+2bc cos A =12×10+2×3×12=13232(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)已知在△ABC 中，3sin (A +B )=1+2sin 2C2．(1)求角C 的大小；(2)若∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC 的外接圆半径为2，求△ABI 周长的最大值．【答案】(1)π3；(2)4+23．【分析】(1)利用降幂公式、两角和的正弦公式变形可得sin C +π6=1，再根据角的范围可得解；(2)利用正弦定理求出AB ，求出∠AIB ，设出∠ABI ，将AI ,BI 用∠ABI 表示，根据三角函数知识求出AI +BI 的最大值可得解.【详解】(1)∵3sin (A +B )=1+2sin 2C2，且A +B +C =π，∴3sin C =1+1-cos C =2-cos C ，即3sin C +cos C =2，∴sin C +π6=1．∵C ∈(0，π)，∴C +π6∈π6，7π6 ，∴C +π6=π2，即C =π3．(2)∵△ABC 的外接圆半径为2，∴由正弦定理知，AB sin ∠ACB =ABsin π3=2×2=4，∴AB =23，∵∠ACB =π3，∴∠ABC +∠BAC =2π3，∵∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点Ⅰ，∴∠ABI +∠BAI =π3，∴∠AIB =2π3，设∠ABI =θ，则∠BAI =π3-θ，且0<θ<π3，在△ABI 中，由正弦定理得，BI sin π3-θ =AI sin θ=AB sin ∠AIB =23sin 2π3=4，∴BI =4sin π3-θ ，AI =4sin θ，∴△ABI 的周长为23+4sin π3-θ +4sin θ=23+432cos θ-12sin θ +4sin θ=23+23cos θ+2sin θ=4sin θ+π3+23，∵0<θ<π3，∴π3<θ+π3<2π3，∴当θ+π3=π2，即θ=π6时，△ABI 的周长取得最大值，最大值为4+23，故△ABI 的周长的最大值为4+23．【点睛】关键点点睛：将AI ,BI 用∠ABI 表示，根据三角函数知识求出AI +BI 的最大值是解题关键.33(2024·辽宁沈阳·统考一模)在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且b 2=ac +a 2.(1)求证：B =2A ；(2)当3c +7a 3b取最小值时，求cos B 的值.【答案】(1)证明见解析(2)cos B =-13【分析】(1)利用余弦定理并结合正弦函数两角和差公式化简即可求解.(2)利用基本不等式求得3c +7a 3b的最小值时的取等条件b =233a ，再结合余弦定理从而求解.【详解】(1)证明：由余弦定理知b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，又因为b 2=a 2+ac ，所以a 2+ac =a 2+c 2-2ac ⋅cos B ，化简得a =c -2a cos B ，所以sin A =sin C -2sin A cos B ，因为A +B +C =π，所以sin A =sin A +B -2sin A cos B ，所以sin A =sin A cos B +cos A sin B -2sin A cos B =cos A sin B -sin A cos B ，所以sin A =sin B -A ，因为A ∈0,π ,B -A ∈-π,π ，所以A =B -A 或A +B -A =π(舍)，所以B =2A .(2)由题知，3c +7a 3b =3ac +7a 23ab =3b 2-a 2 +7a 23ab=b a +43⋅a b ≥243=433，当且仅当b =233a 时取等，又因为b 2=ac +a 2，所以c =13a ，所以cos B =a 2+c 2-b22ac=a 2+13a 2-233a22a ×13a=-13.34(2024·重庆·统考一模)在梯形ABCD 中，AB ⎳CD ,∠ABC 为钝角，AB =BC =2,CD =4，sin ∠BCD =154．(1)求cos ∠BDC ；(2)设点E 为AD 的中点，求BE 的长．【答案】(1)78；(2)342【分析】(1)在△BCD 中利用余弦定理求出BD ，再利用二倍角的余弦公式计算即得.(2)利用(1)的结论，借助向量数量积求出BE 的长.【详解】(1)在梯形ABCD 中，由AB ⎳CD ,∠ABC 为钝角，得∠BCD 是锐角，在△BCD 中，sin ∠BCD =154，则cos ∠BCD =1-sin 2∠BCD =14，由余弦定理得BD =22+42-2×2×4×14=4，即△BCD 为等腰三角形，所以cos ∠BDC =cos (π-2∠BCD )=-cos2∠BCD =1-2cos 2∠BCD =78.(2)由AB ⎳CD ，得∠ABD =∠BDC ，由点E 为AD 的中点，得BE =12(BA +BD)，所以|BE |=12BA 2+BD 2+2BA ⋅BD =1222+42+2×2×4×78=342.35(2024·山西晋城·统考一模)在△ABC 中，AB =33，AC =53，BC =73．(1)求A 的大小；(2)求△ABC 外接圆的半径与内切圆的半径．【答案】(1)A =2π3(2)32【分析】(1)由余弦定理即可求解；(2)由正弦定理求出外接圆半径，由等面积法求出内切圆半径.【详解】(1)由余弦定理得cos A =AB 2+AC 2-BC 22AB ⋅AC=-12，因为0<A <π，所以A =2π3．(2)设△ABC 外接圆的半径与内切圆的半径分别为R ，r ，由正弦定理得2R =BC sin A=7332=14，则R =7．△ABC 的面积S =12AB ⋅AC ⋅sin A =4534，由12r (AB +AC +BC )=S ，得r =2S AB +AC +BC =32．36(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知B =π4,4b cos C =2c +2a .(1)求tan C ；。

⾼等数学求极限的各种⽅法求极限的各种⽅法1.约去零因⼦求极限例1:求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x ⽆限接近,但1≠x ,所以1-x 这⼀零因⼦可以约去。

【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2.分⼦分母同除求极限例2:求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分⼦分母都以多项式给出的极限,可通过分⼦分母同除来求。

【解】3131lim 13lim 3 11323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) ⼀般分⼦分母同除x 的最⾼次⽅;(2)=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a n nm m m m n n n n x 0lim 011011ΛΛ 3.分⼦(母)有理化求极限例3:求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分⼦或分母有理化求极限,就是通过有理化化去⽆理式。

【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4:求极限3sin 1tan 1limxxx x +-+→【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan limsin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使⽤分⼦有理化⽅法外,及时分离极限式中的⾮零因⼦．．．．．．．．．．．就是解题的关键 4.应⽤两个重要极限求极限两个重要极限就是1sin lim 0=→xxx 与e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ,第⼀个重要极限过于简单且可通过等价⽆穷⼩来实现。

全国通用2023高中数学必修一第四章指数函数与对数函数知识集锦单选题1、指数函数y =a x 的图象经过点(3,18)，则a 的值是（ ） A ．14B ．12C ．2D ．4 答案：B分析：将已知点的坐标代入指数函数的表达式，求得a 的值. 因为y =a x 的图象经过点(3,18)，所以a 3=18，解得a =12，故选：B.2、设m ，n 都是正整数，且n >1，若a >0，则不正确的是（ ） A ．a m n=√a m nB ．(a 12+a −12)2=a +a −1C ．a−m n =√a mnD ．a 0=1答案：B解析：由指数运算公式直接计算并判断. 由m ，n 都是正整数，且n >1，a >0，、得(a 12+a −12)2=(a 12)2+2a 12⋅a −12+(a −12)2=a +a −1+2， 故B 选项错误， 故选：B.3、荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把(1+1%)365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而把(1−1%)365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255.若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过(参考数据：lg 101≈2.0043，lg 99≈1.9956) （ ）天． A ．200天B ．210天C ．220天D ．230天 答案：D分析：根据题意可列出方程100×0.99x =1.01x ，求解即可.设经过x 天“进步”的值是“退步”的值的100倍，则100×0.99x =1.01x ，即(1.010.99)x=100，∴x =log 1.010.99100=lg 100lg 1.010.99=lg 100lg 10199=2lg 101−lg 99 ≈22.0043−1.9956=20.0087≈230．故选：D ．4、函数f (x )={|2x −1|,x ≤2−x +5,x >2，若函数g (x )=f (x )−t (t ∈R )有3个不同的零点a ，b ，c ，则2a +2b +2c 的取值范围是（ ）A ．[16,32)B ．[16,34)C ．(18,32]D ．(18,34) 答案：D分析：作出函数y =f(x)的图象和直线y =t ，它们的交点的横坐标即为g(x)的零点，利用图象得出a,b,c 的性质、范围，从而可求得结论．作出函数y =f(x)的图象和直线y =t ，它们的交点的横坐标即为g(x)的零点，如图， 则1−2a =2b −1，4<c <5，2a +2b =2，2c ∈(16,32)，所以18<2a +2b +2c <34． 故选：D ．小提示：关键点点睛：本题考查函数零点问题，解题关键是把函数零点转化为函数图象与直线的交点的横坐标，从而可通过作出函数图象与直线，得出零点的性质与范围．5、已知函数f(x)={a x ,x <0(a −3)x +4a,x ≥0 满足对任意x 1≠x 2，都有(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0成立，则a 的取值范围为（ ）A ．(0,14]B ．(0，1)C ．[14,1)D ．(0，3)答案：A分析：根据给定不等式可得函数f (x )为减函数，再利用分段函数单调性列出限制条件求解即得.因对任意x 1≠x 2，都有(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0成立，不妨令x 1<x 2，则f (x 1)>f (x 2)，于是可得f (x )为R 上的减函数， 则函数y =a x 在(−∞,0)上是减函数，有0<a <1，函数y =(a −3)x +4a 在[0,+∞)上是减函数，有a −3<0，即a <3， 并且满足：a 0≥f(0)，即4a ≤1，解和a ≤14，综上得0<a ≤14，所以a 的取值范围为(0,14]. 故选：A6、化简√−a 3·√a 6的结果为（ ） A ．−√a B ．−√−a C ．√−a D ．√a 答案：A分析：结合指数幂的运算性质，可求出答案. 由题意，可知a ≥0，∴√−a 3·√a 6=(−a)13⋅a 16=−a 13⋅a 16=−a13+16=−a 12=−√a .故选：A.7、声强级L 1（单位：dB ）与声强I 的函数关系式为：L 1=10lg (I10−12).若普通列车的声强级是95dB ，高速列车的声强级为45dB ，则普通列车的声强是高速列车声强的（ ） A ．106倍B ．105倍C ．104倍D ．103倍 答案：B分析：设普通列车的声强为I 1，高速列车的声强为I 2，由声强级得95=10lg (I 110−12)，45=10lg (I210−12)，求出I 1、I 2相除可得答案.设普通列车的声强为I 1，高速列车的声强为I 2，因为普通列车的声强级是95dB ，高速列车的声强级为45dB ，所以95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，95=10lg(I110−12)=10(lgI1+12)，解得−2.5=lgI1，所以I1=10−2.5，45=10lg(I210−12)=10(lgI2+12)，解得−7.5=lgI2，所以I2=10−7.5，两式相除得I1I2=10−2.510−7.5=105，则普通列车的声强是高速列车声强的105倍.故选：B.8、如图所示，函数y=|2x−2|的图像是（）A．B．C．D．答案：B分析：将原函数变形为分段函数，根据x=1及x≠1时的函数值即可得解.∵y=|2x−2|={2x−2,x≥12−2x,x<1，∴x=1时，y=0,x≠1时，y>0.故选：B.9、已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=2x+x2，则f(2)+f(−1)=（）A．11B．5C．−8D．−5答案：B分析：利用奇函数的定义直接计算作答.奇函数f(x)，当x>0时，f(x)=2x+x2，所以f (2)+f (−1)=f(2)−f(1)=22+22−(21+12)=5. 故选：B10、函数f(x)=2x −1x 的零点所在的区间可能是（ ）A ．(1,+∞)B ．(12，1)C ．(13，12)D ．(14，13)答案：B分析：结合函数的单调性，利用零点存在定理求解.因为f(1)=2−11=1>0,f(12)=√2−2<0,f(13)=√23−3<0f(14)=√24−4<0， 所以f(12)⋅f(1)<0，又函数f(x)图象连续且在(0,+∞)单调递增， 所以函数f(x)的零点所在的区间是(12，1)， 故选：B ．小提示：本题主要考查函数的零点即零点存在定理的应用，属于基础题. 填空题11、某同学设想用“高个子系数k ”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160cm 及其以下不算高个子，其高个子系数k 应为0；身高190cm 及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k 应为1，请给出一个符合该同学想法､合理的成年男子高个子系数k 关于身高x (cm )的函数关系式___________.答案：k ={0,0<x ≤160,130(x −160),160<x <190,1,x ≥190. ，(只要写出的函数满足在区间[160,190]上单调递增，且过点(160,0)和(190,1)即可.答案不唯一)分析：由题意，个数越高，系数k 越大，因此在[160,190]上的函数是增函数即可，初始值(160,0)，(190,1)，设出函数式代入求解．由题意函数k(x)是[160,190]上的增函数，设k(x)=ax +b(a >0)，x ∈[160,190]，由{160a +b =0190a +b =1 ，解得{a =130b =−163，所以k(x)=130x −163， 所以k ={0,0<x ≤160,130(x −160),160<x <190,1,x ≥190.所以答案是：k ={0,0<x ≤160,130(x −160),160<x <190,1,x ≥190.注：在[160,190]上设其他函数式也可以，只要是增函数，只有两个参数．如y=b−ax(a>0)，y=ax2+b(a>0)等等．小提示：思路点睛：本题考查函数的应用，解题时注意题目的要求，只要写出的函数满足在区间[160,190]上单调递增，且过点(160,0)和(190,1)即可，因此函数模型可以很多，答案也不唯一．12、已知5a=2，5b=3，则log2594=___________（用a､b表示）.答案：b−a##−a+b分析：根据对数的运算性质可得log2594=log53−log52，再由指对数关系有a=log52，b=log53，即可得答案.由log2594=log532=log53−log52，又5a=2，5b=3，∴a=log52，b=log53，故log2594=b−a.所以答案是：b−a.13、若函数f(x)=a x(a>0,a≠1)的反函数的图像经过点(4,2)，则a=_______．答案：2分析：根据指数函数与对数函数的关系求出f(x)的反函数，再代入计算可得；解：因为函数f(x)=a x(a>0,a≠1)的反函数为y=log a x，(a>0,a≠1)，所以log a4=2，即a2=4，所以a=2或a=−2（舍去）；所以答案是：2解答题14、近年来，中美贸易摩擦不断，美国对我国华为百般刁难，并拉拢欧美一些国家抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.今年，我国华为某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产x千部手机，需另投入成本R(x)万元，且R(x)={10x2+100x,0<x<40701x+10000x−9450,x≥40，由市场调研知，每部手机的售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.(1)求2020年的利润W(x)（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）.(2)2020年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少.答案：(1)W(x)={−10x2+600x−250，0<x<40−(x+10000x)+9200，x≥40；(2)2020年产量为100千部时，企业所获得利润最大，最大利润为9000万元.分析：（1）根据2020年的利润等于年销售量减去固定成本和另投入成本，分段求出利润W(x)关于x的解析式；（2）根据（1）求出利润W(x)的函数解析式，分别利用二次函数的性质和基本不等式求得每段的最大值，即可得到结论.（1）解：由题意可知，2020年的利润定于年销售额减去固定成本和另投入成本，当0<x<40时，W(x)=0.7×1000x−(10x2+100x)−250=−10x2+600x−250当x≥40时，W(x)=0.7×1000x−(701x+10000x −9450)−250=−(x+10000x)+9200，所以W(x)={−10x2+600x−250，0<x<40−(x+10000x)+9200，x≥40.（2）当0<x<40时，W(x)=−10x2+600x−250=−10(x−30)2+8750，此时函数W(x)开口向上的抛物线，且对称轴为x=30，所以当x=30时，W(x)max=W(30)=8750（万元）；当x≥40时，W(x)=−(x+10000x)+9200，因为x+10000x ≥2√x⋅10000x=200，当且仅当x=10000x即x=100时，等号成立，即当x=100时，W(x)max=W(100)=−200+9200=9000（万元），综上可得，当x=100时，W(x)取得最大值为9000（万元），即2020年产量为100千部时，企业获利最大，最大利润为9000万元.15、某工厂以x kg/h的速度生产运输某种药剂（生产条件要求边生产边运输且3<x≤10），每小时可以获得的利润为100(2x+1+8x−2)元．(1)要使生产运输该药品3h获得的利润不低于4500元，求x的取值范围；(2)x为何值时，每小时获得的利润最小？最小利润是多少？答案：(1)[6,10]；(2)当x为4kg/h时，每小时获得的利润最小，最小利润为1300元.分析：（1）由题设可得2x＋1＋8x−2≥15，结合3<x≤10求不等式的解集即可.（2）应用基本不等式求y ＝100(2x ＋1＋8x−2)的最小值，并求出对应的x 值.（1）依题意得：3×100(2x ＋1＋8x−2)≥4500，即2x ＋1＋8x−2≥15，由3＜x ≤10，故8x−2＞0，可得x 2－9x ＋18≥0，即(x －3)(x －6)≥0，解得x ≤3或x ≥6， ∴x 的取值范围为[6,10]. （2）设每小时获得的利润为y .y ＝100(2x ＋1＋8x−2)＝100[2(x －2)＋8x−2＋5] ≥100[2√2(x −2)(8x−2)＋5]＝100(8＋5)＝1300，当2(x －2)＝8x−2时取等号，此时x ＝4．于是当生产运输速度为4kg/h ，每小时获得的利润最小，最小值为1300元．。