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《相似三角形的判定》课件1(人教A版选修4-1)

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人教A版数学【选修4-1】ppt课件：1-1第一讲-相似三角形的判定及有关性质

人教A版数学【选修4-1】ppt课件：1-1第一讲-相似三角形的判定及有关性质

∴AD∥EF∥BC.
∵AE＝BE，∴DF＝CF. ∴F是DC的中点． ∵BC⊥DC，∴EF⊥DC. ∴EF是线段DC的垂直平分线． ∴EC＝ED.
3．等分已知线段 利用平行线等分线段定理可以把已知线段AB任意n等分， 其步骤如下： (1)过已知线段AB的一个端点A作射线AC； (2)在射线AC上，以适当的长度依次截取AA1＝A1A2＝A2A3 ＝„＝An－1An(其中n为题中要求AB的n等分)；
(3)连接AnB； (4)分别过点A1，A2，„，An－1作AnB的平行线，交AB于 B1，B2，„，Bn－1，则B1，B2，„，Bn－1为线段AB的n等分点．
答案 (1)C (2)相等
【例2】 已知：如图，AD是三角形ABC的中线，E为AD 1 的中点，BE的延长线交AC于F.求证：AF＝ AC. 3
【分析】
可利用平行线等分线段定理的推论1，添加过
三角形一边中点且平行于第三边的直线，确定F为AC的一个三 等分点．
【证明】
过D作DH∥BF交AC于H点，
2．对两个推论的理解 (1)推论1，如图所示，在△ABC中，D为AB的中点，DE∥ BC，交AC于E，过A作BC的平行线a，则a∥BC∥DE，由AD＝ DB知，AE＝EC，即E为AC的中点．
(2)推论2，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB的中 点，即AE＝EB，EF∥BC交CD于F，则由AD∥EF∥BC，AE＝ EB知，DF＝FC.即F为CD的中点．
第一讲 相似三角形的判定及有关性质
一
平行线等分线段定理
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.探索并理解平行线等分线段定理的证明过程． 2．能独立证明平行线等分线段定理的推论1、推论2. 3．能应用定理和推论解决相关的几何计算问题和证明问 题． 4．会用尺规作图法等分一条已知线段.

高中数学 第一讲三 1 相似三角形的判定课件 新人教A版选修41

高中数学 第一讲三 1 相似三角形的判定课件 新人教A版选修41

(2)要说明线段的乘积式 ab＝cd，或平方式 a2＝bc，一般都是
证明比例式a＝d或b＝a，再根据比例的基本性质推出乘积式 cbac
或平方式．
第十七页，共19页。
跟踪训练 3．如图，已知在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD 是∠B 的角平分线，试利用三角形相似的关系证明 AD2＝DC·AC.
第七页，共19页。
【名师点评】 判定两个三角形相似除定义外一般有四种方 法：预备定理和三个判定定理．预备定理需要有平行的条件， 三个判定定理的选择一般是先找两对内角相等，若只有一对 内角对应相等，再找夹这个角的两边看是否成比例．若无角 相等，再利用三边对应成比例，即方法选择为：判定定理 1→ 定理 2→定理 3.
证明：因为∠A＝36°，AB＝AC， 所以∠ABC＝∠C＝72°. 又因为 BD 平分∠ABC， 所以∠ABD＝∠CBD＝36°， 所以 AD＝BD＝BC，且△ABC∽△BCD， 所以 BC∶AB＝CD∶BC， 所以 BC2＝AB·CD， 所以 AD2＝AC·CD.
第十八页，共19页。
方法感悟 1．在相似三角形的判定方法中，应用最多的是判定定理 1， 因为它的条件最容易寻求，实际证明当中，要特别注意两个 三角形的公共角，判定定理 2 则常见于连续两次证明相似时， 在第二次使用此定理的情况较多． 2．在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件 的利用．
第三页，共19页。
2．相似三角形的判定定理 (1)判定定理 1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两 个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形 相似，简述为：_两__角__对应相等，两三角形相似． (2)判定定理 2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两 边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么 这两个三角形相似，简述为两边：(_l_iǎ_n_g_b对iān应) 成比例夹且角_(_j_iā_j_iǎ相o)等， 两三角形相似． 引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的 对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第的三__(d_ì_s_ā_n_)边_．

选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质平行线分线段成比例定理课件人教新课标1

选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质平行线分线段成比例定理课件人教新课标1

E.求证：AD AE DE . AB AC BC
A
(图形语言)
法2：为了证明
AD AB
DE BC
，需
D
用平行线分线段
线交于点G.
E
G
C
证明:过点C作CG//AB,且与DE的延长线交于点G.
∵DE//BC, ∴AD:AB=AE:AC ∵CG//AB, ∴DE:DG=AE:AC
A
D L1
B
E L2
F
C L3
图1
A
DE
B
C
图2
（二、提高题:）
C
1、如图：EF∥AB，BF：FC= 5 ：4， AC=3厘米，则CE=（4 cm）
EF
２、已知在△ABC中，D3E∥BC，EF∥DC， A 那么下列结论不成立的是( B )
A
B
A
AD AF
AB AD
B AD AC
AB AE
C AF AD
设线段AB的中点为P1，线 段BC的三等分点为P2、P3. AP1=P1B=BP2= P2P3= P3C
l A
P1
B
P2 P3
C
l
D
Q1
E
l1 a1
Q2
l2 a1
Q3
F
a3
分别过点P1,P2, P3作直线
l3
a1,a2,a3平行于l1,与l 的交
点分别为Q1,Q2,Q3.
这时你想到了什么？
DQ1=Q1E=EQ2=Q2Q3=Q3F 平行线等分线段定理
（2）已知AB=a,BC=b，EF= c，
ac
C
则DE=（ b ）
D L1 E L2
C L3

1.3 第一课时 相似三角形的判定及性质 课件(人教A选修4-1)

1.3 第一课时 相似三角形的判定及性质 课件(人教A选修4-1)

解析：∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝F. AB BC AC 1 DE＝EF＝DF＝2.
答案：∠D ∠E ∠F DE BC DF 1 2
5. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，
连接CF交AD于点E.
(1)求证：△CDE∽△FAE；
(2)当E是AD的中点，且BC
＝2CD时，求证：∠F＝∠BCF.
的
．
(3)判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的
三边 三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角 形相似，简述为： [说明] 对应成比例，两三角形相似．
在这些判定方法中，应用最多的是判定定理1，
即两角对应相等，两三角形相似．因为它的条件最容易寻 求．在实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角．判定
1．相似三角形
(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫
做 相似三角形 ，相似三角形对应边的比值叫做 相似比 或 (相似系数)． (2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或 两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似 ．
2．相似三角形的判定定理 (1)判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形 的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个
解：∵AB∥CD， ∴△EDH∽△EAG，
△CHM∽△AGM，
△FBG∽△FCH. ∵AD∥BC， ∴△AEM∽△CFM， △AEG∽△BFG，
△EDH∽△FCH.
∴图中相似的三角形有： △AEM∽△CFM，△CHM∽△AGM， △EDH∽△EAG∽△FBG∽△FCH.
2．如图，在四边形 ABCD 中， AE AF BG DH EB＝FD，GC＝HC. 求证：△OEF∽△OHG.

1.3.2 相似三角形的性质 课件(人教A选修4-1)

1.3.2 相似三角形的性质 课件(人教A选修4-1)

解：设矩形 EFGH 为加工成的矩形零件，边 FG 在 BC 上，则点 E、H 分别在 AB、AC 上，△ABC 的高 AD 与边 EH 相交于点 P，设矩形的边 EH 的长为 x mm. AP EH 因为 EH∥BC，所以△AEH∽△ABC.所以 ＝ . AD BC 300－2x x 600 所以 ＝ ，解得 x＝ (mm)， 300 200 7 1 200 2x＝ (mm)． 7 600 答：加工成的矩形零件的边长分别为 mm 和 7
返回
[悟一法]
相似三角形的性质把相似三角形的高、对应中线、
对应角似三角形的性质可 得到线段的比例，线段的平方比或角相等，有时还可用 来计算三角形的面积、周长和边长．
返回
[通一类] 1．已知：△ABC与△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，
∠A＝∠A′，BC＝6，AC＝8，△A′B′C′的周长
为72.求△A′B′C′各边的长． 解：∵∠C＝∠C′＝90° ，∠A＝∠A′，
∴△ABC∽△A′B′C′. 在 Rt△ABC 中，AB＝ 62＋82＝10. ∴△ABC 的周长为 6＋8＋10＝24. A′B′ B′C′ A′C′ 72 ∴ ＝ ＝ ＝ ＝3. AB BC AC 24 又∵AB＝10，BC＝6，AC＝8， ∴A′B′＝30，B′C′＝18，A′C′＝24.
1 200 mm. 7
返回
[悟一法]
将实际问题转化为平面几何问题是解决此题的关键，
要注意相似三角形的性质在实际问题中的作用．
返回
[通一类]
2．如图，小明欲测量一座古塔的高度，
他站在该塔的影子上前后移动，直 到他本身影子的顶端正好与塔的影 子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m. (1)图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？ (2)求古塔的高度．

《相似三角形的判定》课件1(人教A版选修4-1)

《相似三角形的判定》课件1(人教A版选修4-1)

(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角 形相似;
三边对应成比例的,两三角形相似.
例1：在△ABC和△A′B′C′中，已知：
(1)AB＝6 cm， BC＝8 cm，AC＝10 cm，
A′B′＝18 cm，B′C′＝24 cm，A′C′＝30 cm．
试判定△ABC与A′B′C′是否相似，并说明理由．
(2) AB=12cm， BC=15cm， AC＝24cm A’B’＝16cm，B’C’＝20cm，A’C’＝30cm
答案是2:1
要作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形 的三边的长分别为4、5、6,另一个三角形框架的 一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相似?这个 问题有其他答案吗?
①4:2=5:x=6:y ②4:x=5:2=6:y ③4:x=5:y=6:2
4
5
6
2
相似三角形的判定方法
平行于三角形一边的直线与其他两边
D
B` A
C`
E
因此DE=B`C`,EA=C`A`.
∴△ADE≌△A`B`C` ∴△A`B`C`∽△ABC
B C
A
A’
C
B
B’
C’
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
△ABC∽△A’B’C’
如果一个三角形的三条边和另一个三角形的 三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.
简单地说:三边对应成比例,两三角形相似.
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A`B`,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC,△ADE∽△ABC ∵AD=A`B`∴AD:AB=A`B`:AB 又A`B`:AB=B`C`:BC=C`A`:CA ∴DE:BC=B`C`:BC,EA:CA=C`A`:CA.

高中数学第一讲三1相似三角形的判定课件新人教A版选修4-1


相似三角形的应用 [例 2] 如图，D 为△ABC 的边 AB 上一点，过 D 点作 DE∥ BC，DF∥AC，AF 交 DE 于 G，BE 交 DF 于 H，连接 GH.
求证：GH∥AB. [思路点拨] 根据此图形的特点可先证比例式GDEE＝EEHB成 立，再证△EGH∽△EDB，由相似三角形的定义得∠EHG＝ ∠EBD 即可．
成比例且夹角相等．故选项 A、B、D 都能推出两三角形相
似．在 C 项的条件下推不出两三角形相似．
答案：C
2．如图，在四边形 ABCD 中，AEEB＝FADF， BGGC＝DHHC，EH，FG 相交于点 O. 求证：△OEF∽△OHG. 证明：如图，连接 BD. ∵AEEB＝FADF， ∴EF∥BD. 又∵BGGC＝DHHC，
1.如图，D，E 分别是 AB，AC 上的两点，CD 与 BE 相交于点
O，下列条件中不能使△ABE 和△ACD 相似的是 ( )
A．∠B＝∠C
பைடு நூலகம்
B．∠ADC＝∠AEB
C．BE＝CD，AB＝AC D．AD∶AC＝AE∶AB 解析：在选项 A、B 的条件下，两三角形有两组对应角相等，
所以两三角形相似，在 D 项的条件下，两三角形有两边对应
相似三角形的判定
[例 1] 如图，已知在△ABC 中，AB＝AC，∠ A＝36°，BD 是角平分线，证明：△ABC∽△BCD.
[思路点拨] 已知 AB＝AC，∠A＝36°，所以 ∠ABC＝∠C＝72°，而 BD 是角平分线，因此，可 以考虑使用判定定理 1.
判定两三角形相似，可按下面顺序进行： (1)有平行截线，用预备定理； (2)有一对等角时，①找另一对等角，②找夹这个角 的两边对应成比例； (3)有两对应边成比例时，①找夹角相等，②找第三 边对应成比例，③找一对直角．

1.3.1 相似三角形的判定 课件(人教A选修4-1)


求证：△ABP∽△PCE.
分析：本题考查相似三角形判定定理1的应用．解答 此题需要根据已知条件，寻找三角形相似的条件．因为
∠B＝∠C，所以只需在△ABP与△PCE中找到一组对应
相等的角即可． 返回
证明：∵AD∥BC，∴∠PAD＝∠APB.
∵∠B＋∠BAD＝180°， ∴∠BAP＋∠PAD＝120°. 又∵∠APB＋∠CPE＝120°. ∴∠BAP＝∠CPE. 又∵∠B＝∠C， ∴△ABP∽△PCE.
由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD.
而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD. 返回
点击下图进入“创新演练”
返回
(2)△BCD∽△GBD.
[命题立意] 形的判定． 返回 本题考查平行关系的证明及相似三角
解：(1)因为D，E分别为AB，AC的 中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，
故四边形BCFD是平行四边形，所以CF
＝BD＝AD.而CF∥AD，连结AF，所以 四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF. 因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC. (2)因为FG∥BC，故GB＝CF.
∴∠BAF＝∠AED，∠C＋∠D＝180°.
又∵∠C＝∠BFE，∠BFE＋∠BFA＝180°， ∴∠D＝∠AFB， ∴△ABF∽EAD. (2)∵AB∥CD，BE⊥CD，
∴∠ABE＝90°.
在Rt△AEB中，∠BAE＝30°，AB＝4，
返回
AB 4 8 ∴AE＝ ＝ ＝ 3. cos 30° 3 3 2 (3)∵△ABF∽△EAD， AB BF ∴ ＝ ， AE AD AB· AD 4×3 3 BF＝ ＝ ＝ 3. AE 8 2 3 3
返回
[悟一法]
在相似三角形的判定中，应用最多的是判定定理1，

高中数学 1.31 相似三角形的判定课件 新人教A版选修41


互 动
两个三角形相似.
课 时
探 究
判定 定理 3
对于任意两个三角形，如果一个三角形 的三条边和另一个三角形的三条 边对应成比例，那么这两个三角形相似.
三边对应成比例，两 三角形相似.
作 业
菜单
新课标 ·数学 选修4-1
课
当
前
堂
自
双
主 导
4.引理
基 达
学
标
如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得
的位置上，这样可以很快地找到相似三角形的对应角或对应
达 标
边．如若△ABC∽△DEF，则∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝
课 堂 互
∠F，DABE＝DACF＝BECF.
课
动
时
探
作
究
业
菜单
新课标 ·数学 选修4-1
2．三角形相似的判定定理一是最常用的判断方法，使
课
当
前 自
用此判定方法解题的常用基本图形有哪几种？
时 作
究
业
菜单
新课标 ·数学 选修4-1
如图 1－3－3，已知△ABC 中，∠BAC＝90°，
课 前
AD⊥BC 于 D，E 是 AC 的中点，连接 ED 并延长与 AB 的延
当 堂
自
双
主 导 学
长线交于 F.求证：AACB＝DAFF.
基 达 标
【思路探究】 由条件知：AB∶
课 AC＝BD∶AD，转证 BD∶AD＝DF∶
双 基
导
达
学 三角形是什么关系？
标
【提示】 分成的两个直角三角形与原三角形相似．
课
堂
互
课
动

高中数学新人教A版选修4-1课件：第一讲相似三角形的判定及有关性质本讲整合


提示:将 AM

=DM·EM 化为

=

, 只需证明△AMD∽△EMA

即可.
证明:∵∠BAC=90°,M是BC的中点,
∴AM=CM,∴∠MAC=∠C.
∵EM⊥BC,∴∠E+∠C=90°.
又∵∠BAM+∠MAC=90°,
∴∠E=∠BAM.
∵∠EMA=∠AMD,
∴△AMD∽△EMA.


=
专题三
证明:∵PQ ∥BC,BC ∥AE,∴ PQ ∥AE.
∴∠CPQ=∠CEA,∠CQP=∠CAE,


∴△CPQ∽△CEA.∴ = .
同理可得



∴
=
.

=

,

而由题意知,AE=DE,
∴PQ=PB.
专题归纳
高考体验
知识网络
专题一
专题二
专题归纳
高考体验
专题三
∴PE= 6.
答案: 6
知识网络
1
2
3
4
专题归纳
高考体验
5
5(课标全国高考)如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交
△ABC的外接圆于F,G两点.若CF∥AB,证明:
(1)CD=BC;
(2)△BCD∽△GBD.
知识网络
1
2
3
4
专题归纳
5
证明:(1)如图,连接AF,因为D,E分别为AB,AC的中点,
故△BCD∽△GBD.
高考体验
EB=2AE,AC 与 DE 交于点 F,则
△的面积
=
△的面积
.
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(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角 形相似;
三边对应成比例的,两三角形相似.
成比例 相等 1. 对应角_______, 对应边——————的两个三角形, 叫做相似三角形 . 对应角相等 成比例 2. 相似三角形的———————, 各对应边——————。
3.如何识别两三角形是否相似? 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延 长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
例1：在△ABC和△A′B′C′中，已知：
(1)AB＝6 cm， BC＝8 cm，AC＝10 cm，
A′B′＝18 cm，B′C′＝24 cm，A′C′＝30 cm．
试判定△ABC与A′B′C′是否相似，并说明理由．
(2) AB=12cm， BC=15cm， AC＝24cm A’B’＝16cm，B’C’＝20cm，A’C’＝30cm
答案是2:1
要作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形 的三边的长分别为4、5、6,另一个三角形框架的 一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相似?这个 问题有其他答案吗?
①4:2=5:x=6:y ②4:x=5:2=6:y ③4:x=5:y=6:2
4
5
6
2
相似三角形的判定方法
ห้องสมุดไป่ตู้行于三角形一边的直线与其他两边
A D B E CB D O E
∵ DE∥BC ∴ △ ADE ∽ △ ABC
C
思考:有没有其他简单的办法判断两个三角形相似?
A
三边对应成 比例
A’
B’
B
C
C’
A'B' B' C' A'C' AB BC AC
是否有△ABC∽△A’B’C’？
已知:如图△ABC和△A`B`C`中A`B`:AB=A`C`:AC=B`C`:BC. 求证:△ABC∽△A`B`C` A`
AB BC AC 如图已知 ， 试说明∠BAD=∠CAE. AD DE AE
AB BC AC 解 AD DE AE
∴Δ ABC∽Δ ADE B ∴∠BAC=∠DAE ∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC 即∠BAD=∠CAE
A E D
C
如图在正方形网格上有A1 B1C1和A2 B2C2， 它们相似吗？如果相似，求出相似比；如果 不相似，请说明理由。
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A`B`,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC,△ADE∽△ABC ∵AD=A`B`∴AD:AB=A`B`:AB 又A`B`:AB=B`C`:BC=C`A`:CA ∴DE:BC=B`C`:BC,EA:CA=C`A`:CA.
D
B` A
C`
E
因此DE=B`C`,EA=C`A`.
∴△ADE≌△A`B`C` ∴△A`B`C`∽△ABC
B C
A
A’
C
B
B’
C’
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
△ABC∽△A’B’C’
如果一个三角形的三条边和另一个三角形的 三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.
简单地说:三边对应成比例,两三角形相似.