第七章 离散时间系统的时域分析
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第七章离散时间信号与系统的Z域分析总结
当 z > a 时，这是无穷递缩等比级数。
1 z X ( z) = 此时， = 1 − az −1 z − a
z > a 收敛域：
0
j Im[ z ]
a
*收敛域一定在模最大的极点 所在的圆外。
Re[ z ]
信号与系统
第7章 离散时间信号与系统的z域分析
13 /82
3.左边指数序列 x(n) = −b nu (−n − 1)
的形式 ，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约 多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原 分式的“部分分式”。
信号与系统
第7章 离散时间信号与系统的z域分析
19 /82
M X ( z ) 通常， 可表成有理分式形式： b z −i ∑ i B( z ) = i =0N X ( z) = A( z ) 1 + ∑ ai z −i
z −n < ∞
n1 ≤ n ≤ n2 ;
信号与系统
第7章 离散时间信号与系统的z域分析
7 /82
因此，当时，只要，则 n= z − n 1/ z n , ≥0 同样，当时，只要，则 n <= 0 z z ,
n −n
z≠0 z≠∞ z
z −n < ∞
−n
<∞
所以收敛域至少包含，也就是除 0< z <∞ “有限平面” z= (0, ∞) z 。 ∞外的开域，即所谓
9 /82
(3)左边序列
x(n), n ≤ n2 x ( n) = n > n2 0,
X ( z)
n = −∞
= x ( n) z ∑ ∑ x ( n) z
−n n = −∞
n2
1 z X ( z) = 此时， = 1 − az −1 z − a
z > a 收敛域：
0
j Im[ z ]
a
*收敛域一定在模最大的极点 所在的圆外。
Re[ z ]
信号与系统
第7章 离散时间信号与系统的z域分析
13 /82
3.左边指数序列 x(n) = −b nu (−n − 1)
的形式 ，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约 多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原 分式的“部分分式”。
信号与系统
第7章 离散时间信号与系统的z域分析
19 /82
M X ( z ) 通常， 可表成有理分式形式： b z −i ∑ i B( z ) = i =0N X ( z) = A( z ) 1 + ∑ ai z −i
z −n < ∞
n1 ≤ n ≤ n2 ;
信号与系统
第7章 离散时间信号与系统的z域分析
7 /82
因此，当时，只要，则 n= z − n 1/ z n , ≥0 同样，当时，只要，则 n <= 0 z z ,
n −n
z≠0 z≠∞ z
z −n < ∞
−n
<∞
所以收敛域至少包含，也就是除 0< z <∞ “有限平面” z= (0, ∞) z 。 ∞外的开域，即所谓
9 /82
(3)左边序列
x(n), n ≤ n2 x ( n) = n > n2 0,
X ( z)
n = −∞
= x ( n) z ∑ ∑ x ( n) z
−n n = −∞
n2
信号与系统课件第七章离散时间系统
两序列的样值 ======= 新序列
2）相乘：z(n) x(n) y(n)
逐项对应相加
两序列的样值 ======= 新序列
3）延时：z(n) x(n m)
逐项对应相乘
原序列 ============ 新序列
2016/1/21 信号与系统 11
逐项依次左移或右移m位
离散信号的运算
4）反褶：z(n) x(n)
1 n 0 u ( n) 0 n 0
n=0,其 值=1
u (n i )
n
1 n i u (n i ) 0 n i
n
3 2 1 0
1
i
u ( n) ( n k ) k 0 (n) u (n) u (n 1)
序列：信号的时间函数只在某些离散瞬时nT 有定义值,即x(nT )
其中T为均匀的离散时刻之间隔隔; nT 称函数的宗量, n 0, 1, 2,
样值：离散信号处理的非实时性 x(n)表示序列
其中n表示各函数值在序列中出现的序号
某序列n的函值x(n)=== 在第n个样值的“样值”
2016/1/21 信号与系统 9
2016/1/21 信号与系统 30
五、离散、时间系统的数学模型联系
离散、连续模型之间联系 差分方程与 微分方程：
对连续y(t ), 若在t nT 各点取样值y(nT ), 且T 足够小
y(nT ) n 1 T dy(t ) y 则 dt T
2016/1/21
x ( n)
6
3
3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
n
x(2n)
6 4 2
自动控制理论课件第七章离散系统的时域分析
y(n) y(n 1) 0
已知起始状态y(1) 2,试求零输入响应。
解：在无外加输入时系统的零输入响应通常
是指n 0以后的响应起始状态是值y(1),
y(2), 各值。
y(n) y(n 1)
故有 y(n) y(1) y(2)
y(n 1) y(0) y(1)
y(n)是公比为的等比级数，故零输入响应有如下形式
是一阶非齐次差分方程。
梯形电阻网络，设各点 对地电压为 u(n), n 0,1,2,...为各节点
序号，为常数，则求其差分方程。
根据KCL, 有
u(n 1) u(n) u(n) u(n) u(n 1)
R
R
R
整理可得
u(n 1) u(n 1) (2a 1)u(n) 0
是关于节点电压的齐次差分方程。
u(n) (2a 1)u(n 1) u(n 2) 0
差分方程的阶数为未知 序列(响应序列)的最大序号与
最小序号之差。上式为 二阶差分方程。
对于一个线性是不变离散系统，若响应信号为y(n)，
输入信号为f (n)，则描述系统输入- 输出关系的
N阶差分方程为
y(n) a1y(n 1) a2 y(n 2) aN-1y(n N 1) aN y(n N )
an n 1 a 0
1 1 O 1
23
4n
5．正弦序列
xn sinnω0
余弦序列：xn cosn0
sinnω0
1
sin 0 t
O
1
5
10 n
1
0 : 正弦序列的频率, 序列值依次周期性重复的速率。
当
＝2π 0 10
,
则序列每10个重复一次正弦包络的数值。
已知起始状态y(1) 2,试求零输入响应。
解：在无外加输入时系统的零输入响应通常
是指n 0以后的响应起始状态是值y(1),
y(2), 各值。
y(n) y(n 1)
故有 y(n) y(1) y(2)
y(n 1) y(0) y(1)
y(n)是公比为的等比级数，故零输入响应有如下形式
是一阶非齐次差分方程。
梯形电阻网络，设各点 对地电压为 u(n), n 0,1,2,...为各节点
序号，为常数，则求其差分方程。
根据KCL, 有
u(n 1) u(n) u(n) u(n) u(n 1)
R
R
R
整理可得
u(n 1) u(n 1) (2a 1)u(n) 0
是关于节点电压的齐次差分方程。
u(n) (2a 1)u(n 1) u(n 2) 0
差分方程的阶数为未知 序列(响应序列)的最大序号与
最小序号之差。上式为 二阶差分方程。
对于一个线性是不变离散系统，若响应信号为y(n)，
输入信号为f (n)，则描述系统输入- 输出关系的
N阶差分方程为
y(n) a1y(n 1) a2 y(n 2) aN-1y(n N 1) aN y(n N )
an n 1 a 0
1 1 O 1
23
4n
5．正弦序列
xn sinnω0
余弦序列：xn cosn0
sinnω0
1
sin 0 t
O
1
5
10 n
1
0 : 正弦序列的频率, 序列值依次周期性重复的速率。
当
＝2π 0 10
,
则序列每10个重复一次正弦包络的数值。
实验二离散时间系统的时域分析
武汉工程大学信号分析与处理实验一专业：通信02班学生姓名：李瑶华学号：1304200113完成时间：2021年7月27日实验二: 离散时间系统的时域分析一、实验目的1.在时域中仿真离散时间系统，进而理解离散时间系统对输入信号或延迟信号进行简单运算处理，生成具有所需特性的输出信号的方法。
2.仿真并理解线性与非线性、时变与时不变等离散时间系统。
3.掌握线性时不变系统的冲激响应的计算，并用计算机仿真实现。
4.仿真并理解线性时不变系统的级联、验证线性时不变系统的稳定特性。
二、实验设备计算机，MATLAB 语言环境。
三、实验基础理论1.系统的线性性质线性性质表现为系统满足线性叠加原理：若某一输入是由N 个信号的加权和组成的，则输出就是系统对这N 个信号中每一个的响应的相应加权和组成的。
设)(1n x 和)(2n x 分别作为系统的输入序列，其输出分别用)(1n y 和)(2n y 表示，即)]([)(,)]([)(2211n x T n y n x T n y ==若满足)()()]()([22112211n y a n y a n x a n x a T +=+则该系统服从线性叠加原理，或者称该系统为线性系统。
2.系统的时不变特性若系统的变换关系不随时间变化而变化，或者说系统的输出随输入的移位而相应移位但形状不变，则称该系统为时不变系统（或称为移不变系统）。
对时不变系统，若)]([)(n x T n y =，则)()]([m n y m n x T -=- 3.系统的因果性系统的因果性即系统的可实现性。
如果系统时刻的输出取决于时刻及时刻以前的输入，而和时刻以后的输入无关，则该系统是可实现的，是因果系统。
系统具有因果性的充分必要条件为0,0)(<=n n h4.系统的稳定性稳定系统是指有界输入产生有界输出（BIBO ）的系统。
如果对于输入序列，存在一个不变的正有限值，对于所有值满足∞<≤M n x |)(|则称该输入序列是有界的。
信号与系统：第七章 离散信号与系统时域分析
k 0 k 0
推广： 1)
U (k
j)
0, k 1, k
j j
2) AU (k), AU (k j)
性质：
f
(k)U
(k)
f
(k) 0
k 0 k 0
可见，U(k)作用类似于U(t)，
但二者有较大差别：
U(t) ：奇异信号，数学抽象函数； U(k)：非奇异信号，可实现信号。
(k)与U(k)关系： (k) U(k) U(k 1)
y(k+1)Ey(k)
y(k-N)E-N y(k) y(k+N)EN y(k)
E-1 : 单位延迟算子
17
（2）算子形式的差分方程
1) uk 2 2a 1uk 1 u(k) 0 (E2 2a 1 E 1)u(k) 0
a
a
2） y(k)-(1+a)y(k-1)=f(k)
[1-(1+a)E-1 ]y(k)=f(k)
周期：N 20 无周期
13
7-2 离散时间系统基本概念
一、定义： 二、分类：
激励、响应均为离散时间信号的系统。
线性系统 非线性系统
时不变系统 时变系统
因果系统 非因果系统
线性系统： f1(k) y1(k) f2 (k) y2 (k) af1(k) bf2(k) ay1(k) by2(k)
k
y(k) f (i) i
y(k)
k
f1(i)
i
0 k 0
1.5 2.5
k 0 k 1
2 k 2
5
5.差分: 序列与其移序序列的差而得到一个新序列。
y(k)=f(k)-f(k-1)
（后向差分）
离散时间系统的时域特性分析实验报告
信号、系统与信号处理实验报告实验一、离散时间系统的时域特性分析姓名:学号:班级：专业：一．实验目的线性时不变（LTI）离散时间系统在时域中可以通过常系数线性差分方程来描述，冲激响应列可以刻画时域特性。
本次实验通过使用MATLAB函数研究离散时间系统的时域特性，以加深对离散时间系统的差分方程、冲激响应和系统的线性和时不变性的理解。
二．基本原理一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。
离散时间系统中最重要、最常用的是“线性时不变系统”。
1.线性系统满足叠加原理的系统称为线性系统，即若某一输入是由N个信号的加权和组成的，则输出就是系统对这几个信号中每一个输入的响应的加权和。
即那么当且仅当系统同时满足和时，系统是线性的。
在证明一个系统是线性系统时，必须证明此系统同时满足可加性和比例性，而且信号以及任何比例系数都可以是复数。
2.时不变系统系统的运算关系在整个运算过程中不随时间（也即序列的先后）而变化，这种系统称为时不变系统（或称移不变系统）。
若输入的输出为，则将输入序列移动任意位后，其输出序列除了跟着位移外，数值应该保持不变，即则满足以上关系的系统称为时不变系统。
3.常系数线性差分方程线性时不变离散系统的输入、输出关系可用以下常系数线性差分方程描述：当输入为单位冲激序列时，输出即为系统的单位冲激响应。
当时，是有限长度的，称系统为有限长单位冲激响应（FIR）系统；反之，则称系统为无限长单位冲激响应（IIR）系统。
三．实验内容及实验结果1.实验内容考虑如下差分方程描述的两个离散时间系统：系统1：系统2：输入：（1）编程求上述两个系统的输出，并画出系统的输入与输出波形。
（2）编程求上述两个系统的冲激响应序列，并画出波形。
（3）若系统的初始状态为零，判断系统2是否为时不变的？是否为线性的？2.实验结果（1）编程求上述两个系统的输出和冲激响应序列，并画出系统的输入、输出与冲激响应波形。
clf;n=0:300;x=cos((20*pi*n)/256)+cos((200*pi*n)/256);num1=[0.5 0.27 0.77];den1=[1];num2=[0.45 0.5 0.45];den2=[1 -0.53 0.46];y1=filter(num1,den1,x);y2=filter(num2,den2,x);subplot(3,1,1);stem(n,x);xlabel('时间信号');ylabel('信号幅度');title('输入信号');subplot(3,1,2);stem(y1);xlabel('时间信号n');ylabel('信号幅度');title('输出信号');subplot(3,1,3);stem(y2);xlabel('时间序号n ');ylabel('信号幅度');title('冲激响应序列');（2）N=40;num1=[0.5 0.27 0.77];den1=[1];num2=[0.45 0.5 0.45];den2=[1 -0.53 0.46];y1=impz(num1,den1,N);y2=impz(num2,den2,N);subplot(2,1,1);stem(y1);xlabel('时间信号n ');ylabel('信号幅度');title('³冲激响应');subplot(2,1,2);stem(y2);xlabel('时间信号n ');ylabel('信号幅度');title('³冲激响应');1.应用叠加原理验证系统2是否为线性系统：clear allclcn = 0 : 1 : 299;x1 = cos(20 * pi * n / 256);x2 = cos(200 * pi * n / 256);x = x1 + x2;num = [0.45 0.5 0.45];den = [1 -0.53 0.46];y1 = filter(num, den, x1);y2 = filter(num, den, x2);y= filter(num, den, x);yt = y1 + y2;figuresubplot(2, 1, 1);stem(n, y, 'g');xlabel('时间信号n');ylabel('信号幅度');axis([0 100 -2 2]);grid;subplot(2, 1, 2);stem(n, yt, 'r');xlabel('时间信号n');ylabel('信号幅度');axis([0 100 -2 2]);grid;2.应用时延差值来判断系统2是否为时不变系统。
离散时间系统的时域分析实验报告
3
3. clf; h=[-6 5 2 3 -2 0 1 0 5 -3 4 2 -1 -3 2]; %冲激 x=[2 4 -1 3 -5 2 0 -1 2 -1]; %输入序列 y=conv(h,x); n=0:23; subplot(2,1,1); stem(n,y);
4. clf; n=0:301; x=cos((0.5*pi/600)*n.*n+0*n); %计算输出序列 num1=[0.5 0.27 0.77]; y1=filter(num1,1,x);%系统#1 的输出 den2=[1 -0.35 0.46]; num2=[0.45 0.5 0.45]; y2=filter(num2,den2,x);%系统#2 的输出 %画出输入序列 subplot(3,1,1); plot(n,x); axis([0 300 -2 2]); ylabel('振幅'); title('系统的输入'); grid;
四、实验结果与分析
图一 图二
2
图三
图四
五、实验小结
通过这次实验，我熟悉 MATLAB 中产生信号和绘制信号的基本命令，学会 通过 MATLAB 仿真一些简单的离散时间系统，并研究了它们的时域特性。
经过了两次实验课，对于 MATLAB 的一些命令语句的格式熟悉多了。在完 成实验时比第一次更顺利了些。
subplot(3,1,3) d=d(2:42); stem(n,d);
2. clf; n=0:40; D=10; a=3.0; b=-2; x=a*cos(2*pi*0.1*n) + b*cos(2*pi*0.4*n); xd=[zeros(1,D) x]; nd=0:length(xd)-1; y=(n.*x)+[0 x(1:40)]; yd=(nd.*xd)+[0 xd(1:length(xd)-1)]; d=y-yd(1+D:41+D);
3. clf; h=[-6 5 2 3 -2 0 1 0 5 -3 4 2 -1 -3 2]; %冲激 x=[2 4 -1 3 -5 2 0 -1 2 -1]; %输入序列 y=conv(h,x); n=0:23; subplot(2,1,1); stem(n,y);
4. clf; n=0:301; x=cos((0.5*pi/600)*n.*n+0*n); %计算输出序列 num1=[0.5 0.27 0.77]; y1=filter(num1,1,x);%系统#1 的输出 den2=[1 -0.35 0.46]; num2=[0.45 0.5 0.45]; y2=filter(num2,den2,x);%系统#2 的输出 %画出输入序列 subplot(3,1,1); plot(n,x); axis([0 300 -2 2]); ylabel('振幅'); title('系统的输入'); grid;
四、实验结果与分析
图一 图二
2
图三
图四
五、实验小结
通过这次实验，我熟悉 MATLAB 中产生信号和绘制信号的基本命令，学会 通过 MATLAB 仿真一些简单的离散时间系统，并研究了它们的时域特性。
经过了两次实验课，对于 MATLAB 的一些命令语句的格式熟悉多了。在完 成实验时比第一次更顺利了些。
subplot(3,1,3) d=d(2:42); stem(n,d);
2. clf; n=0:40; D=10; a=3.0; b=-2; x=a*cos(2*pi*0.1*n) + b*cos(2*pi*0.4*n); xd=[zeros(1,D) x]; nd=0:length(xd)-1; y=(n.*x)+[0 x(1:40)]; yd=(nd.*xd)+[0 xd(1:length(xd)-1)]; d=y-yd(1+D:41+D);
实验报告 实验3 离散时间系统的时域分析
数字信号处理实验三离散时间系统的时域分析学院：信息与通信学院专业：电子信息工程学号：0900220418姓名：梁芝铭1.实验目的（1）理解离散时间信号的系统及其特性。
（2）对简单的离散时间系统进行分析，研究其时域特性。
（3）利用MATLAB 对离散时间系统进行仿真，观察结果，理解其时域特性。
2.实验原理离散时间系统，主要是用于处理离散时间信号的系统，即是将输入信号映射成的输出的某种运算，系统的框图如图所示：（1）线性系统当该系统的输入信号为12()()ax n bx n +时，其中a,b 为任意常数，输出为121212[()()][()][()]()()T a x n b x n a T x n b T x n a y n b y n+=+=+（2）时不变系统若()[()]y n T x n =，则[()]()T x n k y n k -=-。
3.实验内容及其步骤（1）复习离散时间系统的主要性质，掌握其原理和意义。
（2）一个简单的非线性离散时间系统的仿真在MATLAB 中输入：n = 0:200; x = cos(2*pi*0.05*n); x1 = [x 0 0]; x2 = [0 x 0]; x3 =[0 0 x]; y = x2.*x2-x1.*x3; y = y(2:202); subplot(2,1,1); plot(n, x); xlabel('Time index n'); ylabel('Amplitude');title('Input Signal');subplot(2,1,2);plot(n,y);xlabel('Time index n'); ylabel('Amplitude');title('Output signal'); 结果如下：（3）线性与非线性系统的仿真在MATLAB中输入：n = 0:40; a = 2; b = -3;x1 = cos(2*pi*0.1*n); x2 = cos(2*pi*0.4*n);x = a*x1 + b*x2;num = [2.2403 2.4908 2.2403];den = [1 -0.4 0.75];ic = [0 0]; y1 = filter(num,den,x1,ic);y2 = filter(num,den,x2,ic); y = filter(num,den,x,ic);yt = a*y1 + b*y2; d = y - yt; subplot(3,1,1);stem(n,y); ylabel('Amplitude');title('Output Due to Weighted Input: a \cdot x_{1}[n] + b \cdot x_{2}[n]');subplot(3,1,2);stem(n,yt); ylabel('Amplitude');title('Weighted Output: a \cdot y_{1}[n] + b \cdot y_{2}[n]');subplot(3,1,3);stem(n,d); xlabel('Time index n'); ylabel('Amplitude');title('Difference Signal');结果如下：（4）时不变与时变系统的仿真在MA TLAB中输入：% Generate the input sequencesclf; n = 0:40; D = 10; a = 3.0; b = -2;x = a*cos(2*pi*0.1*n) + b*cos(2*pi*0.4*n);xd = [zeros(1,D) x]; num = [2.2403 2.4908 2.2403]; den = [1 -0.4 0.75];ic = [0 0]; % Set initial conditions% Compute the output y[n]y = filter(num,den,x,ic);% Compute the output yd[n]yd = filter(num,den,xd,ic);% Compute the difference output d[n]d = y - yd(1+D:41+D);subplot(3,1,1); stem(n,y); ylabel('Amplitude'); title('Output y[n]'); grid;subplot(3,1,2); stem(n,yd(1:41)); ylabel('Amplitude');title(['Output due to Delayed Input x[n - ', num2str(D),']']); grid;subplot(3,1,3); stem(n,d); xlabel('Time index n'); ylabel('Amplitude');title('Difference Signal'); grid;结果如下：4.思考题（1）离散时间系统有何特点。
离散时间系统的时域分析
第七章离散时间系统的时域分析§7-1 概述一、离散时间信号与离散时间系统离散时间信号：只在某些离散的时间点上有值的信号。
离散时间系统：处理离散时间信号的系统。
混合时间系统：既处理离散时间信号，又处理连续时间信号的系统。
二、连续信号与离散信号连续信号可以转换成离散信号，从而可以用离散时间系统（或数字信号处理系统）进行处理：三、离散信号的表示方法：1、 时间函数：f(k)<——f(kT)，其中k 为序号，相当于时间。
例如：)1.0sin()(k k f =2、 （有序）数列：将离散信号的数值按顺序排列起来。
例如：f(k)={1,0.5,0.25,0.125,……,}时间函数可以表达任意长（可能是无限长）的离散信号，可以表达单边或双边信号，但是在很多情况下难于得到；数列的方法表示比较简单，直观，但是只能表示有始、有限长度的信号。
四、典型的离散时间信号1、 单位样值函数：⎩⎨⎧==其它001)(k k δ 下图表示了)(n k −δ的波形。
这个函数与连续时间信号中的冲激函数)(t δ相似，也有着与其相似的性质。
例如：)()0()()(k f k k f δδ=，)()()()(000k k k f k k k f −=−δδ。
2、 单位阶跃函数：⎩⎨⎧≥=其它001)(k k ε这个函数与连续时间信号中的阶跃函数)(t ε相似。
用它可以产生（或表示）单边信号（这里称为单边序列）。
3、 单边指数序列：)(k a k ε比较：单边连续指数信号：)()()(t e t e t a at εε=，其底一定大于零，不会出现负数。
(a) 0.9a = (d) 0.9a =−(b) 1a = (e) 1a =−(c) 1.1a = (f) 1.1a =−4、 单边正弦序列：)()cos(0k k A εφω+双边正弦序列：)cos(0φω+k A五、离散信号的运算1、 加法：)()()(21k f k f k f +=<—相同的k 对应的数相加。
数字信号处理实验离散时间 LTI 系统的时域分析与 Z 域分析
实验一离散时间LTI系统的时域分析与Z域分析一、实验目的1、掌握用MATLAB求解离散时间系统的零状态响应、单位脉冲响应和单位阶跃响应；2、掌握离散时间系统系统函数零极点的计算方法和零极点图的绘制方法，并能根据零极点图分析系统的稳定性。
二、实验原理1、离散时间系统的时域分析（1）离散时间系统的零状态响应离散时间LTI系统可用线性常系数差分方程来描述，即MATLAB中函数filter可对式（1-1）的差分方程在指定时间范围内的输入序列所产生的响应进行求解。
函数filter的语句格式为：y=filter(b,a,x)其中，x为输入的离散序列；y为输出的离散序列；y的长度与x的长度一样；b与a分别为差分方程右端与左端的系数向量。
（2）离散时间系统的单位脉冲响应系统的单位脉冲响应定义为系统在 (n)激励下系统的零状态响应，用h(n)表示。
MATLAB求解单位脉冲响有两种方法：一种是利用函数filter；另一种是利用函数impz。
impz函数的常用语句格式为impz(b,a,n)，其中b和a的定义见filter，n表示脉冲响应输出的序列个数。
（3）离散时间系统的单位阶跃响应系统的单位阶跃响应定义为系统在ε(n)激励下系统的零状态响应。
MATLAB求解单位脉冲响应有两种方法：一种是利用函数filter，另一种是利用函数stepz。
stepz函数的常用语句格式为stepz(b,a,N)其中，b和a的定义见filter，N表示脉冲响应输出的序列个数。
2、离散时间系统的Z域分析(1)系统函数的零极点分析离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z变换与激励的z变换之比，即如果系统函数H(z)的有理函数表示式为那么，在MATLAB中系统函数的零极点就可通过函数roots得到，也可借助函数tf2zp得到。
roots的语法格式为：Z=roots(b)%计算零点b=[b1b2…bmbm+1]P=roots(a)%计算极点a=[a1a2…anan+1]tf2zp的语句格式为[Z,P,K]=tf2zp(b,a)其中，b与a分别表示H(z)的分子与分母多项式的系数向量。
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2
x[n]
0.5
1
−1 0 1
2 −1
n
3. 解析式表示
1 n = −1 或： 2 n = 0 x[n] = {1, 2, 0.5, −1} x[n] = 0.5 n = 1 −1 n = 2 0 n为其它值
x[n] = n n > 0
x[n]
3
2 1 0 1 2 3 4 5
f ( t ) = sin( Ω 0 t ) x [ n ] = f ( n T ) = sin ( Ω 0 n T ) = sin ( nω 0 )
0为
x[n] = e
jω0n
= cosω0n + j sin ω0n
7.1.3 序列的运算
1.对自变量进行的运算： 移位、 1.对自变量进行的运算： 移位、反褶与尺度 对自变量进行的运算 序列移位： 序列移位：
1
0
( 0 ≤ n ≤ N − 1)
(n < 0, n ≥ N )
R N (n )
1 -2 -1
• •
...
0 1 2
N-1 N
•
RN [n] = u[n] − u[n − N]
n
（4）斜变序列 ）
x[n] = nu[n]
nu[n ]
3 2 2 3 n
1 0
•
1
（5）单边指数序列 ）
x[n] = anu[n]
1
• -2 • -1 • 0 1 • 2
1 n
• -2 • -1
...
0 1 2 3 n
δ[n] = u[n] −u[n −1] ------ 差分关系 ∞ u[n] = δ[n] +δ[n −1] +δ[n − 2] +L= ∑δ[n − m]
m=0
------ 求和关系
（3）矩形序列 ）
RN [n] =
x[n] = n
x[n]
2
5
5
4
− 4 − 3 − 2 −1 1
3
4
L
5
L
n
L
−4
−3
01 2 3 4
n
−2
−1
7.1.2 典型离散信号（序列） 典型离散信号（序列）
（1）单位样值信号 ）
1 δ [n] = 0 ( n = 0) ( n ≠ 0)
δ ( n)
1
• -1 • 0 1 • 2
• -2
...
0 1 2 3 n
∇ u ( n ) = u ( n ) − u ( n − 1) = δ ( n )
δ ( n)
1
• -1 • 1 • 2
k =−∞
n
∑ δ (k ) = u ( n)
n
0
n
k =−∞
∑ u(k ) = (n + 1)u (n)
3.序列的分解： 序列的分解： 序列的分解 任意序列可以分解为加权、延迟的单位样值信号之和。 任意序列可以分解为加权、延迟的单位样值信号之和。即：
nu ( n )
3 2 1
• 0 1
x(2) x(3)
表示方法 数学表达式
x(n) = nu(n) 各种变换域表示 ZT、DTFT、DFT ZT、DTFT、
x(n)
x(0)
...
3 n
x(t )
x(0)
2
x(T ) x(2T )
x(1)
L
0
L
t
T 2T 3T 4T 5T
0
1 2 3 4 5
n
2. 有序序列表示
后向差分方程:未知序列的序号自 以递减的方式给出 后向差分方程 未知序列的序号自n以递减的方式给出。 未知序列的序号自 以递减的方式给出。 差分方程阶数：未知序列的变量序号的最高与最低之差。 差分方程阶数：未知序列的变量序号的最高与最低之差。
7.2.3差分方程的建立 7.2.3差分方程的建立
个月初向银行存款x(n)元，月息为 ，每月利息不 例1：如果在每 个月初向银行存款 元 月息为a， 取出， 个月初的本利和 本利和y(n)。设x[n]=1000 取出，试用差分方程写出第 n 个月初的本利和 。 元，a = 3.33% 12 ≈ 0.28% ，y(0)=0，求y(12)=? ，
变换域分析 拉普拉斯变换 傅里叶变换 系统函数 频响特性
H(s) H( jω)Fra bibliotekH(z) jΩ H(e )
连续时间系统与离散时间系统分析方法比较： 连续时间系统与离散时间系统分析方法比较：
连续时间系统 数学模型 时域分析 微分方程
r(t) = r (t) +rp (t) h zs r(t) = rzi (t) +r (t)
离散时间系统： 离散时间系统：激励与响应都是离散时间信号的系统。 离散时间系统的优点
精度高 可靠性好 功能灵活 时分复用 保密性好 便于大规模集成
连续时间系统与离散时间系统分析方法比较
连续时间系统 数学模型 时域分析 微分方程 经典法 卷积积分法 离散时间系统 差分方程 经典法 卷积求和法 z变换 变换 离散傅里叶变换
第7章 章
学习方法
离散时间系统的时域分析
注意离散系统与连续系统分析方法上的联系、 注意离散系统与连续系统分析方法上的联系、 区别、对比，与连续系统有并行的相似性。 区别、对比，与连续系统有并行的相似性。
第7章 离散时间系统的时域分析
7.1 离散时间信号 7.2 离散时间系统的数学模型 7.3 常系数线性差分方程的求解 7.4 零输入响应与零状态响应 7.5 卷积
说明：1）周期性条件
ω0 ω0 2π 2π 若 为有理数，周期大于 ω0 ω0 2π 若 不是有理数，不具周期性 ω0
2）与连续系统正弦Ω 关系： 0
连续正弦频率，单位是弧度 秒 连续正弦频率，单位是弧度/秒。 （7）复指数序列 ）
Ω ω =Ω T = 0 ， ω 为正弦序列频率 ， 单位是弧度 ； 0 0 0 为正弦序列频率， 单位是弧度； fs
• 2
n
x 序列尺度倍乘： 序列尺度倍乘： (n) → x(an)
压缩时，要按规律去除某些点； 压缩时，要按规律去除某些点； 扩展时，要补足相应的零值。 扩展时，要补足相应的零值。 又称为序列的“重排” 又称为序列的“重排”。
x(n)
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 56 6 5 4 3 2 n
解：
y (n) = y (n − 1) + ay (n − 1) + x(n)
x(2n)
4 2
6
n x( ) 2
1 0 1 2 3 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n
2.对因变量进行的运算 2.对因变量进行的运算
序列相加（ ）：两序列同序号的数值逐项对应相加（ 序列相加（减）：两序列同序号的数值逐项对应相加（减）。 两序列同序号的数值逐项对应相加
k =−∞
∑ x(k )
n
例 1：
x ( n ) = nu ( n )
3 2 1
• 0
∆x ( n ) = x ( n + 1) − x ( n ) = u ( n )
...
3 n
∇ x ( n ) = x ( n ) − x ( n − 1) = u ( n − 1)
1
2
u ( n)
1
• -1
∆u ( n ) = u ( n + 1) − u ( n ) = δ ( n + 1)
y (n + 2) + 2 y (n + 1) + 2 y (n) = x(n + 1) + 2 x(n)
—— 2 阶线性常系数前向差分方程
（2）仿真框图
离散时间系统的基本运算单元：单位延时、相加、倍乘。 离散时间系统的基本运算单元：单位延时、相加、倍乘。 (a) 单位延时器 (c) 数乘器 x ( n)
x(n) → x(n ± m)
u ( n)
1
u (n − 1)
1
• -2 • -1
...
0 1 2 3 n
...
• 0
• -2
• -1
1 1
2
3
n
u (n + 1)
序列反褶： 序列反褶： x(n) → x(−n)
...
• • -3 -2
...
-3 -2 -1
u ( − n) 1
0
• 1
-1
0 1
2
n
x[ n ] =
：
任意序列
m =−∞
∑
∞
x[ m ]δ [ n − m ]
x(n)
x(−2)
x (0 )
x (1)
x ( n) =
x(2)
...
x ( − 1)
...
m=−∞
∑ x(m)δ (n − m)
∞
= x ( n) ∗ δ ( n)
-2 -1 0 1 2 n 任意序列可以分解为加权、延迟的单位样值信号之和。 任意序列可以分解为加权、延迟的单位样值信号之和。 例如： 例如：
离散时间系统 差分方程
y(n) = yh(n) + yp (n) y(n) = yzi (n) + yzs (n)
rzs (t) = e(t)∗h(t)
yzs (n) = x(n)∗h(n)
变换域分析 系统函数 频响特性
拉普拉斯变换 傅里叶变换
z变换 离散时间傅里叶变换
H(s)
H( jω)
（1）差分方程
差分方程 仿真框图
a0 y (n) + a1 y (n − 1) + a2 y (n − 2) + L + aN y (n − N ) = b0 x(n) + b1 x(n − 1) + L + bM x(n − M )
x[n]
0.5
1
−1 0 1
2 −1
n
3. 解析式表示
1 n = −1 或： 2 n = 0 x[n] = {1, 2, 0.5, −1} x[n] = 0.5 n = 1 −1 n = 2 0 n为其它值
x[n] = n n > 0
x[n]
3
2 1 0 1 2 3 4 5
f ( t ) = sin( Ω 0 t ) x [ n ] = f ( n T ) = sin ( Ω 0 n T ) = sin ( nω 0 )
0为
x[n] = e
jω0n
= cosω0n + j sin ω0n
7.1.3 序列的运算
1.对自变量进行的运算： 移位、 1.对自变量进行的运算： 移位、反褶与尺度 对自变量进行的运算 序列移位： 序列移位：
1
0
( 0 ≤ n ≤ N − 1)
(n < 0, n ≥ N )
R N (n )
1 -2 -1
• •
...
0 1 2
N-1 N
•
RN [n] = u[n] − u[n − N]
n
（4）斜变序列 ）
x[n] = nu[n]
nu[n ]
3 2 2 3 n
1 0
•
1
（5）单边指数序列 ）
x[n] = anu[n]
1
• -2 • -1 • 0 1 • 2
1 n
• -2 • -1
...
0 1 2 3 n
δ[n] = u[n] −u[n −1] ------ 差分关系 ∞ u[n] = δ[n] +δ[n −1] +δ[n − 2] +L= ∑δ[n − m]
m=0
------ 求和关系
（3）矩形序列 ）
RN [n] =
x[n] = n
x[n]
2
5
5
4
− 4 − 3 − 2 −1 1
3
4
L
5
L
n
L
−4
−3
01 2 3 4
n
−2
−1
7.1.2 典型离散信号（序列） 典型离散信号（序列）
（1）单位样值信号 ）
1 δ [n] = 0 ( n = 0) ( n ≠ 0)
δ ( n)
1
• -1 • 0 1 • 2
• -2
...
0 1 2 3 n
∇ u ( n ) = u ( n ) − u ( n − 1) = δ ( n )
δ ( n)
1
• -1 • 1 • 2
k =−∞
n
∑ δ (k ) = u ( n)
n
0
n
k =−∞
∑ u(k ) = (n + 1)u (n)
3.序列的分解： 序列的分解： 序列的分解 任意序列可以分解为加权、延迟的单位样值信号之和。 任意序列可以分解为加权、延迟的单位样值信号之和。即：
nu ( n )
3 2 1
• 0 1
x(2) x(3)
表示方法 数学表达式
x(n) = nu(n) 各种变换域表示 ZT、DTFT、DFT ZT、DTFT、
x(n)
x(0)
...
3 n
x(t )
x(0)
2
x(T ) x(2T )
x(1)
L
0
L
t
T 2T 3T 4T 5T
0
1 2 3 4 5
n
2. 有序序列表示
后向差分方程:未知序列的序号自 以递减的方式给出 后向差分方程 未知序列的序号自n以递减的方式给出。 未知序列的序号自 以递减的方式给出。 差分方程阶数：未知序列的变量序号的最高与最低之差。 差分方程阶数：未知序列的变量序号的最高与最低之差。
7.2.3差分方程的建立 7.2.3差分方程的建立
个月初向银行存款x(n)元，月息为 ，每月利息不 例1：如果在每 个月初向银行存款 元 月息为a， 取出， 个月初的本利和 本利和y(n)。设x[n]=1000 取出，试用差分方程写出第 n 个月初的本利和 。 元，a = 3.33% 12 ≈ 0.28% ，y(0)=0，求y(12)=? ，
变换域分析 拉普拉斯变换 傅里叶变换 系统函数 频响特性
H(s) H( jω)Fra bibliotekH(z) jΩ H(e )
连续时间系统与离散时间系统分析方法比较： 连续时间系统与离散时间系统分析方法比较：
连续时间系统 数学模型 时域分析 微分方程
r(t) = r (t) +rp (t) h zs r(t) = rzi (t) +r (t)
离散时间系统： 离散时间系统：激励与响应都是离散时间信号的系统。 离散时间系统的优点
精度高 可靠性好 功能灵活 时分复用 保密性好 便于大规模集成
连续时间系统与离散时间系统分析方法比较
连续时间系统 数学模型 时域分析 微分方程 经典法 卷积积分法 离散时间系统 差分方程 经典法 卷积求和法 z变换 变换 离散傅里叶变换
第7章 章
学习方法
离散时间系统的时域分析
注意离散系统与连续系统分析方法上的联系、 注意离散系统与连续系统分析方法上的联系、 区别、对比，与连续系统有并行的相似性。 区别、对比，与连续系统有并行的相似性。
第7章 离散时间系统的时域分析
7.1 离散时间信号 7.2 离散时间系统的数学模型 7.3 常系数线性差分方程的求解 7.4 零输入响应与零状态响应 7.5 卷积
说明：1）周期性条件
ω0 ω0 2π 2π 若 为有理数，周期大于 ω0 ω0 2π 若 不是有理数，不具周期性 ω0
2）与连续系统正弦Ω 关系： 0
连续正弦频率，单位是弧度 秒 连续正弦频率，单位是弧度/秒。 （7）复指数序列 ）
Ω ω =Ω T = 0 ， ω 为正弦序列频率 ， 单位是弧度 ； 0 0 0 为正弦序列频率， 单位是弧度； fs
• 2
n
x 序列尺度倍乘： 序列尺度倍乘： (n) → x(an)
压缩时，要按规律去除某些点； 压缩时，要按规律去除某些点； 扩展时，要补足相应的零值。 扩展时，要补足相应的零值。 又称为序列的“重排” 又称为序列的“重排”。
x(n)
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 56 6 5 4 3 2 n
解：
y (n) = y (n − 1) + ay (n − 1) + x(n)
x(2n)
4 2
6
n x( ) 2
1 0 1 2 3 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n
2.对因变量进行的运算 2.对因变量进行的运算
序列相加（ ）：两序列同序号的数值逐项对应相加（ 序列相加（减）：两序列同序号的数值逐项对应相加（减）。 两序列同序号的数值逐项对应相加
k =−∞
∑ x(k )
n
例 1：
x ( n ) = nu ( n )
3 2 1
• 0
∆x ( n ) = x ( n + 1) − x ( n ) = u ( n )
...
3 n
∇ x ( n ) = x ( n ) − x ( n − 1) = u ( n − 1)
1
2
u ( n)
1
• -1
∆u ( n ) = u ( n + 1) − u ( n ) = δ ( n + 1)
y (n + 2) + 2 y (n + 1) + 2 y (n) = x(n + 1) + 2 x(n)
—— 2 阶线性常系数前向差分方程
（2）仿真框图
离散时间系统的基本运算单元：单位延时、相加、倍乘。 离散时间系统的基本运算单元：单位延时、相加、倍乘。 (a) 单位延时器 (c) 数乘器 x ( n)
x(n) → x(n ± m)
u ( n)
1
u (n − 1)
1
• -2 • -1
...
0 1 2 3 n
...
• 0
• -2
• -1
1 1
2
3
n
u (n + 1)
序列反褶： 序列反褶： x(n) → x(−n)
...
• • -3 -2
...
-3 -2 -1
u ( − n) 1
0
• 1
-1
0 1
2
n
x[ n ] =
：
任意序列
m =−∞
∑
∞
x[ m ]δ [ n − m ]
x(n)
x(−2)
x (0 )
x (1)
x ( n) =
x(2)
...
x ( − 1)
...
m=−∞
∑ x(m)δ (n − m)
∞
= x ( n) ∗ δ ( n)
-2 -1 0 1 2 n 任意序列可以分解为加权、延迟的单位样值信号之和。 任意序列可以分解为加权、延迟的单位样值信号之和。 例如： 例如：
离散时间系统 差分方程
y(n) = yh(n) + yp (n) y(n) = yzi (n) + yzs (n)
rzs (t) = e(t)∗h(t)
yzs (n) = x(n)∗h(n)
变换域分析 系统函数 频响特性
拉普拉斯变换 傅里叶变换
z变换 离散时间傅里叶变换
H(s)
H( jω)
（1）差分方程
差分方程 仿真框图
a0 y (n) + a1 y (n − 1) + a2 y (n − 2) + L + aN y (n − N ) = b0 x(n) + b1 x(n − 1) + L + bM x(n − M )