九年级数学上册4.4两个三角形相似的判定同步练习(pdf)(新版)浙教版

浙教新版九年级上册《4.4两个三角形相似的判定》2024年同步练习卷（3）一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列各组中两个图形不一定相似的是()A.有一个角是的两个等腰三角形B.两个等腰直角三角形C.有一个角是的两个等腰三角形D.两个等边三角形2.如图，中，D，E分别在AC，AB上，，则下列各式成立的是()A.B.C.D.3.如图，CD是斜边上的高，则图中相似三角形的对数有()A.0对B.1对C.2对D.3对4.如图，中，，，，D为BC的中点，若动点E以的速度从A点出发，沿着的方向运动，设E点的运动时间为t秒，连接DE，当是直角三角形时，t的值为()A.2B.或C.或D.2或或5.如图，内接于，的平分线分别交，BC于点D，E，连结BD，则图中相似三角形有()A.1对B.2对C.3对D.4对二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

6.如图，，请补充一个条件：______，使∽7.如图，，BE：：1，，则______.8.如图，在中，，，点D在边AB上，若，则AD的长为______.9.如图，在▱ABCD中，E在DC上，若DE：：2，则EF：______.三、解答题：本题共5小题，共40分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

10.本小题8分如图，，，，如果与相似，求AD的长.11.本小题8分已知：如图，中，点D、E分别在AB、AC上，，过A、D、C点的圆交DE的延长线于求证：∽12.本小题8分如图，已知E是平行四边形ABCD中DA边的延长线上一点，且，连接EC分别交AB，BD于点F、求证：；若，求DG的长.13.本小题8分如图，在中，，于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，交BC边于点求证：∽14.本小题8分如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，，且DM交AC于F，ME交BC于写出图中两对相似三角形；连接FG，如果，，，求FG的长．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】根据相似三角形的判定及各图形的性质对各个选项进行分析，从而得到答案．本题考查了相似图形的判断，严格按照定义，对应边成比例，对应角相等进行判断即可，另外，熟悉等腰三角形，等腰直角三角形，等边三角形的性质对解题也很关键．【解答】解：A、各有一个角是的两个等腰三角形，若一个等腰三角形的底角是，而另一个等腰三角形的顶角是，则两个三角形一定不相似；B、因为其三个角均对应相等，所以一定相似；C、各有一个角是的两个等腰三角形，的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似；D、两个等边三角形，对应边的比相等，角都是，相等，所以一定相似．故选2.【答案】C【解析】解：，，∽，，，正确，A、B、D错误，故选：由，，得出∽，得到，化为，即可判断C正确，A、B、D错误．本题考查了相似三角形的判定与性质，正确找到两个三角形相似是解决本题的关键．3.【答案】D【解析】【分析】此题考查三角形相似的判定方法的掌握及运用．根据已知及相似三角形的判定方法找出图中存在的相似三角形即可．【解答】解：，，∽；，，∽；∽，∽，∽，因此有三对相似三角形.故选4.【答案】D【解析】解：如图：中，，，，，，D为BC的中点，，若，当时，，，，，，当时，若时，当时，，，，，，当时，舍去综上可得：t的值为2或或故选由中，，，，可求得AB的长，由D为BC的中点，可求得BD的长，然后分别从若与若时，去分析求解即可求得答案．此题考查了含角的直角三角形的性质．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．5.【答案】C【解析】解：平分，，，∽；，，∽，，，∽图中相似三角形有3对．故选：先由角平分线定义得到，再根据圆周角定理可得，于是根据两组角对应相等的两个三角形相似可判断∽由于，则可判断∽，同理可判断∽本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了圆周角定理．6.【答案】答案不唯一【解析】解：当时，，，，∽，故答案为：答案不唯一利用相似三角形的判定方法①两角对应相等两三角形相似②两边对应比值相等，且夹角相等两三角形相似，得出答案即可．此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．7.【答案】8【解析】解：由可得∽，，又，可得故填根据，证得∽，再由相似三角形对应线段成比例可得出答案．本题考查平行线的知识，注意相似三角形对应线段成比例的性质．8.【答案】【解析】解：，，∽，，即，解得：故答案为：由，，得到∽，根据相似三角形的性质得到对应边成比例，代入数据即可得到结果．本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：①相似三角形的对应边的比相等，②有两角对应相等的两三角形相似．9.【答案】2：3【解析】解：：：2，：；3；四边形ABCD是平行四边形，，，∽，，：：故答案为：2：由DE 、EC 的比例关系式，可求出EC 、DC 的比例关系；由于平行四边形的对边相等，即可得出EC 、AB 的比例关系，易证得∽，可根据相似三角形的对应边成比例求出BF 、EF 的比例关系．此题主要考查的是平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，得出∽是解题关键．10.【答案】解：，，，，若∽，则，即，解得：；若∽，则，即，解得：；AD 的长为：或【解析】由与中，，，，可求得BC 的长，然后分别从∽或∽，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．11.【答案】证明：，而，，∽【解析】根据平行线可以得到，根据同弧上所对的圆周角相等可以得到，然后就可以证明题目结论了．此题比较简单，利用平行线的性质和同弧上的圆周角相等就可以得到角的关系，然后利用了相似三角形的判定可证明结论．12.【答案】证明：平行四边形ABCD，，，，≌解：，：：，，【解析】欲证，只需证≌即可．是BD的一部分，要找DG与BD的关系，可找DG与BG的关系，由可以得出．本题考查的是利用平行四边形的性质结合三角形全等，及平行线分线段成比例定理来解决有关线段长度的问题．13.【答案】证明：，，，，，，，，，第11页，共11页【解析】充分利用图中的垂直条件寻求角之间的关系．由，得；由，得两对角对应相等判定三角形相似．此题考查了相似三角形的判定方法：有两角对应相等的三角形相似．关键在充分利用图中的垂直条件寻求角之间的关系．14.【答案】解：∽，∽，当时，可得且，为AB 的中点，，，是的外角，，，∽，，，，，【解析】根据已知条件，，结合图形上的公共角，即可推出∽，∽，∽；根据相似三角形的性质，推出BG 的长度，依据锐角三角函数推出AC 的长度，即可求出CG 、CF 的长度，继而推出FG 的长度．本题主要考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形、等腰三角形的性质，解题的关键找到相似的三角形，根据其性质求出BG 、AC的长度．。

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯两个三角形相似的判定知识讲解1.判定三角形相似的预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

2.三角形相似的判定定理：定理一：有两个角对应相等的两个三角形相似；2.1基本图形：(1)如图①(“A”形图)，若DE①BC，则①ADE①①ABC.(2)如图①(“X”形图)，若AC①DB，则①AOC①①BOD.2.2常见图形：(1)如图，若①AED=①B，则①AED①①ACB(2)如图，若①ACD＝①B，则①ACD①①ABC.(3)如图，若①BAC＝90°，AD①BC，则①ABC①①DBA①①DAC.(4)如图，若①B ＝①ADE ＝①C ，则①ABD ①①DCE .(5)如图，若①B ＝①ACE ＝①D ＝90°，则①ABC ①①CDE .定理二：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；(两边对应成比例，且一边的对角对应相等) 定理三：三边对应成比例的两个三角形相似。

例1： (2018·南京)如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，连结DE .过点A 作AF ①DE ，垂足为F ，①O 经过点C ，D ，F ，与AD 交于点G ，连结CF ，FG . (1)求证：①AFG ①①DFC .(2)若正方形ABCD 的边长为4，AE ＝1，求①O 的半径．【解析】 (1)①四边形ABCD 是正方形，①①ADC ＝90°，①①CDF ＋①ADF ＝90°. ①AF ①DE ，①①AFD ＝90°，①①DAF ＋①ADF ＝90°，①①DAF ＝①CDF . ①四边形GFCD 是①O 的内接四边形，①①FCD ＋①DGF ＝180°. 又①①FGA ＋①DGF ＝180°，①①FGA ＝①FCD ，①①AFG ①①DFC .(2)如解图，连结CG .①①EAD ＝①AFD ＝90°，①EDA ＝①ADF ，①①EDA ①①ADF ，①EA DA ＝AFDF .①①AFG ①①DFC ，①AG DC ＝AF DF ，①AG DC ＝EADA.①DA ＝DC ，①AG ＝EA ＝1，①DG ＝DA －AG ＝4－1＝3，①CG ＝DG 2＋DC 2＝5.①①CDG ＝90°，①CG 是①O 的直径，①①O 的半径为52.例2：如图，已知AB ①BD ，CD ①BD .(1)若AB ＝9，CD ＝4，BD ＝10，请问：在BD 上是否存在点P ，使以P ，A ，B 为顶点的三角形与以P ，C ，D 为顶点的三角形相似？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由．典型例题(2)若AB ＝9，CD ＝4，BD ＝12，请问：在BD 上存在几个点P ，使以P ，A ，B 为顶点的三角形与以P ，C ，D 为顶点的三角形相似？并求出BP 的长．【解析】 (1)存在．设BP ＝x ，则PD ＝10－x .①①B ＝①D ，①当AB PD ＝BP DC 时，①ABP ①①PDC ，①910－x ＝x4，整理，得x 2－10x ＋36＝0，此方程没有实数解； 当AB CD ＝PB PD 时，①ABP ①①CDP ，①94＝x 10－x ，解得x ＝9013.综上所述，BP 的长为9013. (2)存在2个点P 满足条件．设BP ＝x ，则PD ＝12－x .①①B ＝①D ，①当AB PD ＝BP DC 时，①ABP ①①PDC ，①912－x ＝x4，整理，得x 2－12x ＋36＝0，解得x 1＝x 2＝6；当AB CD ＝PB PD 时，①ABP ①①CDP ，①94＝x 12－x ，解得x ＝10813. 综上所述，存在2个点P 满足条件，BP 的长为6或10813.例3：如图，①O ＝90°，OA ＝OB ＝BC ＝CD .请找出图中的相似三角形，并说明理由．【解析】 ①ABC ①①DBA .理由如下：设OA ＝OB ＝BC ＝CD ＝x .根据勾股定理，得AB ＝x 2＋x 2＝2x ， AC ＝x 2＋（2x ）2＝5x ，AD ＝x 2＋（3x ）2＝10x . ①BC BA ＝x 2x ＝22，AB DB ＝2x 2x ＝22，AC DA ＝5x 10x ＝22，①BC BA ＝AB DB ＝AC DA ，①①ABC ①①DBA .一、选择题1．如图，在①ABC 中，①A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6.将①ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原来三角形不相似的是 ( C )【解析】A．阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；B.阴影部分的三角形与原三角形有两个同步练习角相等，故两三角形相似；C.两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；D.两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故选C.2．下列说法中，错误的是( A )A. 有一个角是30°的两个等腰三角形相似B. 有一个角是60°的两个等腰三角形相似C. 有一个角是90°的两个等腰三角形相似D. 有一个角是120°的两个等腰三角形相似3．有下列命题：①三边对应成比例的两个三角形相似；①两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似；①一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；①一个角对应相等的两个等腰三角形相似．其中正确的命题是( A ) A. ①①B. ①①C. ①①①D. ①①①4．下列四组三角形中，相似的一组是( A )A ．在Rt①ABC 中，直角边AC ＝6，斜边AB ＝10；在Rt①A ′B ′C ′中，两条直角边A ′C ′＝16，B ′C ′＝12 B ．在①ABC 中，①A ＝42°，①B ＝118°；在①A ′B ′C ′中，①A ′＝118°，①B ′＝15°C ．在①ABC 中，AB ＝18，AC ＝4，①A ＝105°；在①A ′B ′C ′中，A ′B ′＝16，B ′C ′＝4，①A ′＝100°D ．在①ABC 中，AB ＝18，BC ＝20，CA ＝35；在①A ′B ′C ′中，A ′B ′＝36，B ′C ′＝40，C ′A ′＝755. 如图，已知AB ①CD ，AD 与BC 相交于点P ，AB ＝4，CD ＝7，AD ＝10，则AP 的长为( A )A.4011B.407C.7011D.704【解析】 ①AB ①CD ，①①A ＝①D ，①B ＝①C ，①①ABP ①①DCP ，①AB DC ＝AP DP ，即47＝AP 10－AP ，①AP ＝4011.故选A.6．[2018·永州]如图，在①ABC 中，点D 是边AB 上的一点，①ADC ＝①ACB ，AD ＝2，BD ＝6，则边AC 的长为( B )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 ①①A ＝①A ，①ADC ＝①ACB ，①①ADC ①①ACB ，①AC ①AB ＝AD ①AC ，①AC 2＝AD ·AB ＝2×8＝16， ①AC ＞0，①AC ＝4.故选B.7．如图，AB 是①O 的直径，D ，E 是半圆上任意两点，连结AD ，DE ，AE 与BD 相交于点C ，要使①DAC 与①DBA 相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中错误的是( C )A ．①ACD ＝①DABB ．AD ＝DEC ．AD ·AB ＝CD ·BDD ．AD 2＝BD ·CD【解析】 A ．①①ACD ＝①DAB ，①ADC ＝①BDA ，①①DAC ①①DBA ，①A 选项的添加条件正确；B ．①AD ＝DE ，①①DAE ＝①E ，①①E ＝①B ，①①DAC ＝①B ，①①DAC ①①DBA ，①B 选项的添加条件正确； C ．①①ADC ＝①BDA ，①当DA ①DC ＝DB ①DA ，即AD 2＝DC ·BD 时，①DAC ①①DBA ，①C 选项的添加条件不正确，D 选项的添加条件正确．故选C.8．如图，在正方形网格上，若要使①ABC①①PBD ，则点P 应在( C )A ．点P 1处B ．点P 2处C ．点P 3处D ．点P 4处9．在①ABC 中，E 是AB 上一点，AE ＝2，BE ＝3，AC ＝4.在AC 上取一点D ，使①ADE 与①ABC 相似，则AD 的值是( C )A. 85B. 52C. 85或52D. 85或25【解】 如解图．①当①ADE①①ABC 时，有AD AE ＝AB AC .①AE ＝2，BE ＝3，①AB ＝5，①AD 2＝54，①AD ＝52.①当①AED①①ABC 时，有AE AD ＝AB AC ，①2AD ＝54，①AD ＝85.综上所述，AD 的值是52或85.10．如图，在矩形ABCD 中，①ADC 的平分线与AB 相交于点E ，点F 在DE 的延长线上，①BFE ＝90°，连结AF ，CF ，CF 与AB 相交于点G.有以下结论：①AE ＝BC ；①AF ＝CF ；①BF 2＝FG·FC ；①EG·AE ＝BG·AB.其中正确的个数是( C )A. 1B. 2C. 3D. 4【解】 ①DE 平分①ADC ，①ADC 为直角，①①ADE ＝12×90°＝45°，①①ADE 为等腰直角三角形，①AD ＝AE.又①四边形ABCD 是矩形，①AD ＝BC ，①AE ＝BC ，故①正确．①①BFE ＝90°，①BEF ＝①AED ＝45°， ①①BFE 为等腰直角三角形，①EF ＝BF ，①EBF ＝45°.又①①AEF ＝①DFB ＋①ABF ＝135°， ①CBF ＝①ABC ＋①ABF ＝135°，①①AEF ＝①CBF.在①AEF 和①CBF 中，①⎩⎨⎧AE ＝CB ，①AEF ＝①CBF ，EF ＝BF ，①①AEF①①CBF(SAS)，①①AFG ＝①AFE ＋①EFG ＝①CFB ＋①EFG ＝①BFE ＝90°，AF ＝CF ，故①正确．假设BF 2＝FG·FC ，则FG BF ＝BFFC .又①①GFB ＝①BFC ，①①FBG①①FCB ，①①FCB ＝①FBG ＝45°.连结AC.①①AFC ＝90°，AF ＝CF ，①①ACF ＝45°，①①ACB ＝90°，显然不可能，故①错误．①①BGF ＝180°－①CGB ，①DAF ＝90°＋①EAF ＝90°＋(90°－①AGF)＝180°－①AGF ，①AGF ＝①BGC ， ①①DAF ＝①BGF.①①ADF ＝①GBF ＝45°，①①ADF①①GBF ，①AD GB ＝DF BF ＝DFEF .①EG①CD ，①EF DF ＝EG CD ＝EG AB ，①AD BG ＝ABEG .①AD ＝AE ，①EG·AE ＝BG·AB ，故①正确．综上所述，正确的个数是3.二、填空题1．[2018·北京]如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连结DE 交对角线AC 于点F ，若AB ＝4，AD ＝3，则CF 的长为__103__．【解析】 ①四边形ABCD 是矩形，①DC ＝AB ＝4，AB ①CD ，①ADC ＝90°，在Rt①ADC 中，由勾股定理，得AC ＝32＋42＝5，①E 是边AB 的中点，①AE ＝12AB ＝2，①AB ①CD ，①①CDF ①①AEF ，①CF AF ＝CD AE ，即CF 5－CF ＝42.①CF ＝1032．如图，在平面直角坐标系中，有两点A(4，0)，B(0，2)，点C 在x 轴上(点C 与点A 不重合)．当点C 的坐标为(1，0)或(－1，0)或(－4，0)时，以B ，O ，C 为顶点的三角形与①AOB 相似(至少写出两个满足条件的点的坐标)．解：①点C 在x 轴上，①点C 的纵坐标是0，且当①BOC=90°时，由点B 、O 、C 组成的三角形与①AOB 相似，即①BOC 应该与①BOA=90°对应，①当①AOB①①COB ，即OC 与OA 相对应时，则OC=OA=4，C （-4，0）；①当①AOB①①BOC ，即OC 与OB 对应，则OC=1，C （-1，0）或者（1，0）． 故答案可以是：（-1，0）；（1，0）；（-4，0）3. 如图，P 是Rt①ABC 的斜边BC 上异于B ，C 的一点．过点P 作直线截①ABC ，使截得的三角形与①ABC 相似，则满足这样条件的直线共有__3__条．【解】 过点P 作直线截①ABC ，截得的三角形与①ABC 有一公共角，故只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt①ABC 相似．如解图，过点P 作AB 的垂线，AC 的垂线，BC 的垂线，都能使截得的三角形与①ABC 相似，共3条． 4. 已知在①ABCD 中，点E 在直线AD 上，AE ＝13AD ，连结CE 交BD 于点F ，则EF①CF 的值是23或43．【解】 分两种情况讨论：①当点E 在线段AD 上时，如解图①.①四边形ABCD 是平行四边形， ①AD①BC ，AD ＝BC ，①①EFD①①CFB ，①EF①CF ＝DE①BC.①AE ＝13AD ，①DE ＝2AE ＝23AD ＝23BC ，①DE①BC ＝2①3，①EF①CF ＝2①3.①当点E 在线段DA 的延长线上时，如解图①.同上可得①EFD①①CFB ，DE①BC ＝4①3，①EF①CF ＝4①3.综上所述，EF①CF 的值是23或43.5. 现要做两个形状为三角形的框架，其中甲三角形框架的三边长分别为4，5，6，乙三角形框架的一边长为2.若要使（第6题）（第7题）（第10题）（第10题解）这两个三角形相似，则乙三角形框架的另外两边长可以是52和3或85和125或43和53．【解】 设另外两边长分别为x ，y(x<y)．①24＝x 5＝y 6，解得x ＝52，y ＝3.①x 4＝25＝y 6，解得x ＝85，y ＝125.①x 4＝y 5＝26，解得x ＝43，y ＝53. 综上所述，乙三角形框架的另外两边长可以是52和3或85和125或43和53.三、解答题1．如图，在①ABCD 中，过点A 作AE ①BC ，垂足为E ，连结DE ，F 为线段DE 上一点，且①AFE ＝①B . (1)求证：①ADF ①①DEC ；(2)若AB ＝8，AD ＝63，AF ＝43，求AE 的长．解：(1)证明：①四边形ABCD 为平行四边形，①AB ①CD ，AD ①BC ，①①C ＋①B ＝180°，①ADF ＝①DEC . 又①①AFD ＋①AFE ＝180°，①AFE ＝①B ，①①AFD ＝①C ，①①ADF ①①DEC ；(2)①四边形ABCD 为平行四边形，①CD ＝AB ＝8.①①ADF ①①DEC ，①AD DE ＝AF DC ，①DE ＝AD ·CD AF ＝63×843＝12.在Rt①ADE 中，由勾股定理，得AE ＝DE 2－AD 2＝ 122－（63）2＝6.2. 如图，四边形ABCD ，DCFE ，EFGH 是三个正方形．求①1＋①2＋①3的度数．解：设正方形的边长是1，①AB ＝BC ＝CF ＝FG ＝1，①BF ＝2，BG ＝3，由勾股定理得AC ＝2，AF ＝5，AG ＝10， ①CF AC ＝12＝22，AC CG ＝22，AF AG ＝510＝22，①CF AC ＝AC CG ＝AFAG ，①①ACF ①①GCA ，①①1＝①F AC ， ①四边形ABCD 是正方形，①①3＝45°，①①2＋①F AC ＝①3＝45°，①①1＋①2＝45°，①①1＋①2＋①3＝90°.3. 如图，在①ABC 中，AB ＝AC ＝1，BC ＝5－12，在AC 边上截取AD ＝BC ，连结BD . (1)通过计算，判断AD 2与AC ·CD 的大小关系； (2)求①ABD 的度数．解：(1)①AD ＝BC ＝5－12，①AD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－122＝3－52，①AC ＝1，①CD ＝1－5－12＝3－52，①AD 2＝AC ·CD ； (2)①AD 2＝AC ·CD ，①BC 2＝AC ·CD ，即BC AC ＝CDBC .又①①C ＝①C ，①①ABC ①①BDC ，又①AB ＝AC ，①BD ＝BC ＝AD ，①①A ＝①ABD ，①ABC ＝①C ＝①BDC . 设①A ＝①ABD ＝x ，则①BDC ＝①A ＋①ABD ＝2x ，①①ABC ＝①C ＝①BDC ＝2x ， ①①A ＋①ABC ＋①C ＝x ＋2x ＋2x ＝180°，解得x ＝36°，①①ABD ＝36°.4. 如图，正方形ABCD 的顶点A 在等腰直角三角形DEF 的斜边EF 上，EF 与BC 相交于点G ，连结CF . (1)求证：①DAE ①①DCF . (2)求证：①ABG ①①CFG .【解析】 (1)①四边形ABCD 是正方形，①DEF 是等腰直角三角形，①①ADC ＝①EDF ＝90°，AD ＝CD ，DE ＝DF ，①①ADE ＋①ADF ＝①ADF ＋①CDF ，①①ADE ＝①CDF .在①ADE 和①CDF 中，①⎩⎨⎧DE ＝DF ，①ADE ＝①CDF ，AD ＝CD ，①①ADE ①①CDF (SAS )．(2)如解图，延长BA 交ED 于点M .①①ADE ①①CDF ，①①EAD ＝①FCD ，即①EAM ＋①MAD ＝①BCD ＋①BCF . 又①①MAD ＝①BCD ＝90°，①①EAM ＝①BCF . 又①①EAM ＝①BAG ，①①BAG ＝①BCF .又①①AGB ＝①CGF ，①①ABG ①①CFG .5. 如图，在Rt①ACB 中，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，点P ，Q 从C ，B 两点同时出发分别沿CA ，BC 向点A ，C 匀速移动，它们的速度分别是2 cm/s ，1 cm/s ，问：几秒后①PCQ 与①ACB 相似？【解析】 设x (s)后①PCQ 与①ACB 相似．由题意，得CP ＝2x (cm)，BQ ＝x (cm)，CQ ＝(6－x )cm. ①①PCQ 与①ACB 相似，①C ＝①C ，①CP CB ＝CQ CA 或CP CA ＝CQ CB ，①2x 6＝6－x 8或2x 8＝6－x 6，解得x ＝1811或x ＝125.①1811 s 或125s 后①PCQ 与①ACB 相似．6. 如图，在Rt ①ABC 中，①ACB ＝90°，AC ＝5 cm ，①BAC ＝60°，动点M 从点B 出发，在BA 边上以2 cm /s 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以 3 cm/s 的速度向点B 匀速运动，设运动时间为t (s)(0≤t ≤5)，连结MN .(1)若BM ＝BN ，求t 的值．(2)若以M ，B ，N 为顶点的三角形与①ABC 相似，求t 的值． (3)当t 为何值时，四边形ACNM 的面积最小？并求出最小值．【解】 (1)在Rt ①ABC 中，①①ACB ＝90°，AC ＝5，①BAC ＝60°，①①B ＝30°，①AB ＝2AC ＝10，BC ＝5 3. 由题意，得BM ＝2t ，CN ＝3t ，①BN ＝53－3t.当BM ＝BN 时，2t ＝53－3t ，解得t ＝103－15. (2)分两种情况讨论：①当①MBN①①ABC 时，MB AB ＝BN BC ，即2t 10＝53－3t 53，解得t ＝52.①当①NBM①①ABC 时，NB AB ＝BM BC ，即53－3t 10＝2t 53，解得t ＝157.综上所述，当t ＝52或t ＝157时，①MBN 与①ABC 相似．初中数学.精品文档11 (3)过点M 作MD①BC 于点D ，则MD①AC ，①①BMD①①BAC ，①MD AC ＝BM BA ，即MD 5＝2t 10，解得MD ＝t. 设四边形ACNM 的面积为y(cm 2)，则y ＝12×5×53－12(53－3t )×t ＝32t 2－532t ＋2532＝32⎝⎛⎭⎫t －522＋7538. ①当t ＝52时，y 取得最小值，为7538，即当t ＝52时，四边形ACNM 的面积最小，为7538cm 2.。

浙教新版数学九年级上学期《4.4两个三角形相似的判定》同步练习一．选择题（共12小题）1．如图，10×2网格中有一个△ABC，图中与△ABC相似的三角形的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD•AC D．=3．如图，点P在△ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．AB2=AP•AC D．4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC=∠DBC，那么下列结论不一定正确的是（）A．△AOD∽△BOC B．△AOB∽△DOC C．CD=BC D．BC•CD=AC•OA 5．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且∠AED=∠B，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE和△BDF相似的是（）A．B．C．D．．6．下列说法：①所有等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的等腰三角形相似；④有一个角为60°的两个直角三角形相似，其中正确的说法是（）A．②④B．①③C．①②④D．②③④7．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（）A．=B．=C．=D．=8．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=，AC=3，则CD 的长为（）A．1B．C．2D．9．如图，△ABC中，AD是中线，BC=4，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（）A．B．2C．3D．10．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且==，则S△ADE：S四边形BCED的值为（）A．1：B．1：3C．1：8D．1：911．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4B．9：16C．9：1D．3：112．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）13．在△ABC中，AB=9，AC=6．点M在边AB上，且AM=3，点N在AC边上．当AN=时，△AMN与原三角形相似．14．如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，当AB的长为时，△ACB与△ADC相似．15．如图，要使△ABC∽△ACD，需补充的条件是．（只要写出一种）16．如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0）、B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为或时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似（至少找出两个满足条件的点的坐标）．17．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP 相似时，DP=．18．如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE=2EB，连接DF．若S△AEF=1，则S△ADF的值为．19．如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为1，则平行四边形ABCD的面积为．20．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，若BD=1，AD=3，则CD=．三．解答题（共8小题）21．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P在BD上由点B向点D方向移动，当点P移到离点B多远时，△APB和△CPD相似？22．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：△AFD∽△CFE．23．如图，在矩形ABCD中，已知AB=24，BC=12，点E沿BC边从点B开始向点C以每秒2个单位长度的速度运动；点F沿CD边从点C开始向点D以每秒4个单位长度的速度运动，如果E、F同时出发，用t（0≤t≤6）秒表示运动的时间，当t为何值时，以点E、C、F为顶点的三角形与△ACD相似？24．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动．：点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么，当t为何值时，△POQ与△AOB相似？25．如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？26．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．（1）试说明△ABD≌△BCE；（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．27．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=8，M是AD的中点，N，E是BC的三等分点，P是AB上一动点．（1）当MP∥BD时，求MP的长；（2）是否存在点P，满足△AMP与一点B，N，P为顶点的三角形相似？若存在，求出AP的长；若不存在，说明理由．28．已知：在△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F．如图甲，当AC=BC时，且CE=EA时，则有EF=EG；（1）如图乙①，当AC=2BC时，且CE=EA时，则线段EF与EG的数量关系是：EF EG；（2）如图乙②，当AC=2BC时，且CE=2EA时，请探究线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论；（3）当AC=mBC时且CE=nEA时，则线段EF与EG的数量关系，并直接写出你的结论（不用证明）．参考答案一．选择题1．C．2．D．3．D．4．D．5．C．6．A．7．C．8．C．9．A．10．C．11．B．12．C．二．填空题13．2或4.5．14．4．15．∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB时16．﹣1，0）；（1，0）．17．1或4或2.5．18．．19．12．20．9三．解答题21．解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°，∴当或时，△PAB与△PCD是相似三角形，∵AB=6，CD=4，BD=14，∴或，解得：BP=2或12或，即PB=2或12或时，△PAB与△PCD是相似三角形．22．（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=BE=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD，∴△AFD∽△CFE．23．解：根据题意，可分为两种情况：①若△EFC∽△ACD，则=，所以=，解得t=3，即当t=3时，△EFC∽△ACD．②若△FEC∽△ACD，则=，所以=，解得t=1.2，即当t=1.2时，△FEC∽△ACD．因此，当t为3或1.2时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似．24．解：①若△POQ∽△AOB时，=，即=，整理得：12﹣2t=t，解得：t=4．②若△POQ∽△BOA时，=，即=，整理得：6﹣t=2t，解得：t=2．∵0≤t≤6，∴t=4和t=2均符合题意，∴当t=4或t=2时，△POQ与△AOB相似．25．解：设运动了ts，根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，则AQ=AC﹣CQ=16﹣3t（cm），当△APQ∽△ABC时，，即，解得：t=；当△APQ∽△ACB时，，即，解得：t=4；故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是：s或4s．26．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠BCE=∠BAC，又∵BD=CE，∴△ABD≌△BCE；（2）答：相似；理由如下：∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD=∠CBE，∴∠BAC﹣∠BAD=∠CBA﹣∠CBE，∴∠EAF=∠EBA，又∵∠AEF=∠BEA，∴△EAF∽△EBA．27．解：（1）∵PM∥BD，AM=MD，∴AP=PB，∴PM=BD，∵BD==10，∴PM=5．（2）存在点P使得两三角形相似．∵BN=4，设AP=x，则PB=8﹣x，当△MAP∽△NBP时，解得x=．当△MAP∽△PBN时，解得x=2或6，∴存在点P使得两三角形相似，此时AP的长为或2或4．28．图甲：连接DE，∵AC=BC，CD⊥AB，∴AD=BD，∠ACD=45°，∴CD=AD=AB，∵AE=EC，∴DE=AE=EC=AC，∴∠EDC=45°，DE⊥AC，∵∠A=45°，∴∠A=∠EDG，∵EF⊥BE，∵∠AEF+∠FED=∠EFD+∠DEG=90°，∴∠AEF=∠DEG，∴△AEF≌△DEG（ASA），∴EF=EG．（1）EF=EG；（2）解：EF=EG．证明：作EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N，∵EM∥CD，∴△AEM∽△ACD，即EM=CD，同理可得，EN=AD，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴tanA=，又∵EM⊥AB，EN⊥CD，∴∠EMF=∠ENG=90°，∵EF⊥BE，∴∠FEM=∠GEN，∴△EFM∽△EGN，即EF=EG；（3）由（1）当AC=2BC时，且CE=EA时，EF=EG，当AC=2BC时，且CE=2EA时，EF=EG，可以得出：当AC=mBC时且CE=nEA时，EF=EG．。

浙教新版九年级上册《4.4两个三角形相似的判定》2024年同步练习卷（4）一、选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定∽的是()A.B.C.D.2.已知如图所示，则下列四个三角形中与相似的是()A. B. C. D.3.如图，中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足和相似的条件是()A.①②④B.①③④C.②③④D.①②③4.如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且，，则有()A.∽B.∽C.∽D.∽二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

5.如图，已知，，，若∽，写出BD 与a ，b 之间满足的关系式______.6.如图，BC 平分，，，当______时，∽7.如图，DE 与BC 不平行，当______时，与相似.8.如图，要测量池塘两端A 、B 的距离，可先取一个可以直接到达A 和B 的点C ，连接AC 并延长到D ，使，连接BC 并延长到E ，使，连接ED ，如果量出DE 的长为25米，那么池塘宽AB 为______米.9.如图，将三个全等的正方形拼成一个矩形则______.10.如图，AC 是的直径，弦BD 交AC 于点①求证：∽；②如果，求证：三、解答题：本题共4小题，共32分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

11.本小题8分已知：如图，AD，BC交于点O，，求证：∽12.本小题8分如图，在中，，，点P从点A开始沿AB方向以的速度移动，点Q 从B点开始沿BC方向以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒与相似？13.本小题8分如图，是等边三角形，D、E是直线BC上两点，若求证：∽；求的度数．14.本小题8分如图，已知P是正方形ABCD边BC上一点，，Q是CD的中点，求证：∽；若，连接BD交AP于点M，交AQ于点N，求BM，QN的长．答案和解析1.【答案】C【解析】解：，，，选项B、D根据两角对应相等判定∽，选项A根据两边成比例夹角相等判定∽，选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，属于基础题.根据题意，逐个判断即可.【解答】解：，，，A.图中三角形的三个角分别为，，，故A选项的三角形与已知的三角形不相似；B.三角形的三条边都相等，故是等边三角形，三个角都为，与已知的三角形的三个角不相等，故B选项与已知的三角形不相似；C.三角形的三个角分别为，，，与已知的三角形的三个角相等，且边不相等，故C选项与已知的三角形相似；D.三角形的三个角为，，，与已知的三角形的三个角不相等，故D选项的三角形与已知的三角形不相似.故选3.【答案】D【解析】解：当，，所以∽；当，，所以∽；当，即AC：：AC，所以∽；当，即，而，所以不能判断和相似．故选：根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似．根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定∽【解答】解：：：3，：：2；是正三角形，；，：：：2：：BC；，∽；故选5.【答案】【解析】解：∽，，，，即，，故答案为：根据相似三角形的对应边的比相等列出比例式，计算即可．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键．6.【答案】【解析】解：∽，，，，，故答案为：分析题意，根据∽，可得出；再根据已知条件，，就可得出答案．本题考查相似三角形的性质，能根据相似三角形的性质解决相关问题．7.【答案】【解析】解：根据题意得：当时，与相似；与BC 不平行，当时，与相似；即根据题意可知：是公共角；又因为DE 与BC 不平行，所以；若与相似，则有本题考查相似三角形的判定：有两组对应边成比例且夹角相等的三角形相似．8.【答案】50【解析】解：，：：：2∽：：：1米米．根据题意，，∽，可得两组对应边成比例．根据对应边成比例列方程即可解答．本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出池塘宽．此题还考查了相似三角形的判定，对应边成比例，且夹角相等的三角形相似．9.【答案】【解析】解：设边长为a 的三个正方形拼成一个矩形ABGH ，，，，，，∽，，，故答案为：根据勾股定理可求出AB的长，再根据相似三角形的判定方法即可证明与相似；根据相似三角形的性质可得，根据三角形的外角和定理即可求出的度数．本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理的运用以及三角形外角和定理，题目的综合性较强，难度一般．解决本题的关键是得到∽10.【答案】证明：①弧弧CD，，又，∽；②，，又，∽，，又是的直径，，即有，直径，【解析】①根据圆周角定理求出，根据相似三角形的判定推出即可；②证∽，推出，根据垂径定理推出即可．本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，垂径定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，难度适中．11.【答案】解：，，而，∽【解析】利用比例的性质得，加上，则根据相似三角形的判定方法可得到结论．本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．12.【答案】解：设经t秒钟和相似，则，当∽时，，即，解得，，当∽时，，即，解得，，答：经2秒或秒钟和相似．【解析】分∽、∽两种情况，根据相似三角形的性质求出t即可．本题考查的是相似三角形的判定，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．13.【答案】解：是等边三角形，，，，，，，∽；∽，，，，【解析】由等边三角形得、，即，结合知，据此可得答案；由∽知，由知，根据可得答案．本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定及等边三角形的性质．14.【答案】证明：正方形ABCD 中，，Q是CD 的中点，，且：：：2∽∽：：：4，，同理【解析】根据正方形的性质可表示出PC，DQ，CQ，AD的长，从而根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来进行判定．根据相似三角形的对应边成比例及已知不难求得BM，QN的长．此题主要考查学生对正方形的性质及相似三角形的判定及性质的综合运用．第11页，共11页。

4.4 两个三角形相似的判定一、选择题（共9小题）1. 如图所示，如果 ∠BAD =∠CAE ，那么添加下列一个条件后，仍不能判定 △ABC ∽△ADE 的是 ( )A. ∠B =∠DB. ∠C =∠AEDC. AB AD =DEBCD. AB AD =ACAE2. 如图所示，在方格纸中，△ABC 和 △EPD 的顶点均在格点上，要使 △ABC ∽△EPD ，则点 P 所在的格点为 ( )A. P 1B. P 2C. P 3D. P 43. 如图所示，在正方形 ABCD 中，E 是 CD 的中点，点 F 在 BC 上，且 FC =14BC ，则图中的相似三角形共有 ( )A. 4 对B. 3 对C. 2 对D. 1 对4. 如图所示，在等边三角形 ABC 中，点 D ，E 分别在 AC ，AB 上，且 ADAC =13，AE =BE ，则有 ( )A. △AED∽△BEDB. △AED∽△CBDC. △AED∽△ABDD. △BAD∽△BCD5. 如图所示，已知正方形ABCD，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中不能推出△ABP与△ECP相似的是( )A. ∠APB=∠EPCB. ∠APE=90∘C. P是BC的中点D. BP:BC=2:36. 如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90∘，AB=8，AD=3，BC=4，P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7. 如图所示，已知P是边长为5的正方形ABCD内一点，且PB=3，BF⊥BP于点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，BM的值为( )A. 3B. 253C. 3或5 D. 3或2538. 如图所示，△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，BC，DE交于点O．下列四个结论：①∠1=∠2；②BC=DE；③△ABD∽△ACE；④A，O，C，E四点在同一个圆上．一定成立的结论有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9. 如图所示，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE与BD交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中，错误的是( )A. ∠ACD=∠DABB. AD=DEC. AD2=BD⋅CDD. CD⋅AB=AC⋅BD二、填空题（共5小题）10. 如图所示，在边长为1的正方形网格中有点P，A，B，C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是．11. 如图所示，在两个直角三角形中，∠ACB=∠ADC=90∘，AC=6，AD=2，当AB=时，这两个直角三角形相似．12. 如图所示，已知，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠DEC，且E为AB边中点，则图中有对相似三角形．13. 如图所示，平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60∘，P是射线AD上的一个动点（与点A不重合），BP与AC交于点E，设AP=x，当x=时，△ABP与△EBC相似．14. 如图所示，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为时，△ADP和△ABC相似．三、解答题（共7小题）15. 如图所示，在△ABC中，AB=AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且AB2=DB⋅CE．求证：△ADB∽△EAC．16. 如图所示，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）；（2）请分别说明两对三角形相似的理由．17. 如图所示，AB=3AC，BD=3AE，BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．（1）求证：△ABD∽△CAE．（2）如果AC=BD，AD=22BD，设BD=a，求BC的长．18. 如图所示，已知△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一条直线上，且AB=3，BC=1，连接BF分别交AC，DC，DE于点P，Q，R．（1）求证：△BFG∽△FEG，并求出BF的长．（2）观察图形，请你提出一个与点P相关的问题，并进行解答．19. △ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90∘，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1所示，DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2所示，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，除（1）中的一对相似三角形外，再找出一对相似三角形并证明你的结论．20. 如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC，BD交于点E，DC2=CE⋅CA．（1）求证：BC=CD．（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=22，求DF的长．21. 如图所示，在矩形ABCD中，AB=12 cm，BC=8 cm．点E，F，G分别从点A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方问移动．点E，G的速度均为2 cm/s，点F的速度为4 cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t(s)时，△EFG的面积为S(cm2)．（1）当t=1(s)时，S的值是多少?（2）写出S关于t的函数表达式，并指出自变量t的取值范围．（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似?请说明理由．答案1. C2. C3. B4. B5. C6. C7. D8. D9. D10. △APB∽△CPA11. 3或3212. 313. 814. 4或915. ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∴∠ABD=∠ACE．∵AB2=DB⋅CE，∴ABCE =DBAB．∴ABCE =DBAC．∴△ADB∽△EAC．16. （1）△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE．（2）∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE．∵∠ABC=∠ADE，∴△ABC∽△ADE．∴ABAD =ACAE．∵∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE．17. （1）因为BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，因为 ABAC =BDAE =3，所以 △ABD ∽△CAE ．（2） 因为 AB =3AC =3BD ，AD =22BD ，所以 AD 2+BD 2=8BD 2+BD 2=9BD 2=AB 2．所以 ∠D =90∘．因为 △ABD ∽△CAE ，所以 ∠E =∠D =90∘．因为 AE =13BD ，EC =13AD =232BD ，AB =3BD ，所以BC 2=(AB +AE )2+EC 2=3BD +13BD2+BD 2=12BD 2=12a 2.所以 BC =23a ．18. （1） ∵ △ABC ≌△DCE ≌△FEG ，∴ BC =CE =EG =13BG =1，FG =AB =3．∴ BG =3． ∴ FGEG =BGFG =33=3．∵ ∠BGF =∠FGE ， ∴ △BFG ∽△FEG ． ∵ △FEG 是等腰三角形， ∴ △BFG 是等腰三角形． ∴ BF =BG =3．（2） 问题：求证 BP =PR ．证明：∵ ∠ACB =∠REB ， ∴ AC ∥DE ．又 ∴ BC =CE ， ∴ BP =PR ．19. （1） ∵ △ABC 是等腰直角三角形， ∴ ∠MBE =45∘．∴ ∠BME +∠MEB =135∘． ∵ △DEF 是等腰直角三角形， ∴ ∠DEF =45∘．∴ ∠NEC +∠MEB =135∘．∵ ∠B =∠C =45∘， ∴ △BEM ∽△CNE ． （2） △ECN ∽△MEN ．证明：与（1）同理得 △BEM ∽△CNE ， ∴ BECN =EMNE ． ∵ BE =EC ， ∴ ECCN =EMNE ．∵ ∠ECN =∠MEN =45∘， ∴ △ECN ∽△MEN ．20. （1） 因为 DC 2=CE ⋅CA ，所以 DCCE =CADC ．所以 △CDE ∽△CAD ．所以 ∠CDB =∠DAC ．所以 BC =CD ．所以 BC =CD ．（2） 如图所示，连接 OC ，过点 O 作 OG ⊥CD 于点 G ．因为 BC =CD ，所以 ∠BAD =∠BOC ．所以 OC ∥AD ．所以 △PCO ∽△PDA ．所以 PCPD =POPA ．因为 PB =OB ，CD =22，所以 PCPC +22=23．所以 PC =42．因为 OG ∥AF ，所以 △PGO ∽△PFA ．所以 PGPF =POPA ．所以 PC PD =PGPF ．所以 4242+22=42+242+22+DF，解得 DF =322．21. （1） 当 t =1(s) 时，AE =2(cm)，EB =10(cm)，BF =4(cm)，FC =4(cm)，CG =2(cm)，S =S 梯形GCBE ―S △EBF ―S △FCG=12(EB +CG )×BC ―12EB ×BF ―12FC ×CG =12×(10+2)×8―12×10×4―12×4×2=24(cm 2). （2） ①如图1所示，当 0 s ≤t ≤2 s 时，点 E ，F ，G 分别在边 AB ，BC ，CD 上移动，此时 AE =2t (cm)，EB =(12―2t )(cm)，BF =4t (cm)，FC =(8―4t )(cm)，CG =2t (cm)， S =S 梯形GCBE ―S △EBF ―S △FCG=12(EB +CG )×BC ―12EB ×BF ―12FC ×CG =12×8×(12―2t +2t )―12×4t (12―2t )―12×2t (8―4t )=8t 2―32t +48. ②当点 F 追上点 G 时，4t =2t +8，解得 t =4(s)．如图2所示，当 2 s <t ≤4 s 时，点 E 在边 AB 上移动，点 F ，G 都在边 CD 上移动，此时 CF =(4t ―8)(cm)，CG =2t (cm)，FG =CG ―CF =2t ―(4t ―8)=8―2t (cm)，S =12FG ×BC =12(8―2t )×8=―8t +32.∴S =8t 2―32t +48,0≤t≤2―8t +32.2<t ≤4． （3） 如图1所示，当点F在矩形BC上移动时，0≤t≤2．在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90∘．①若EBFC =BFCG，即12―2t8―4t =4t2t，解得t=23．当t=23时，△EBF∽△FCG．②若EBGC =BFCF，即12―2t2t =4t8―4t，解得t=32．当t=32时，△EBF∽△GCF．综上所述，当t=23或t=32时，以点E，B，F为顶点的三角形与以F，C，G为顶点的三角形相似．。

4.4 两个三角形相似的判定一．填空题1．如图，若∠B＝∠DAC，则△ABC∽△．2．如图，∠ABC＝∠D＝90°，AC＝9cm，BC＝6cm，则当BD＝cm时，△ABC∽△CDB．3．（2018秋•赣榆区期末）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝8，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝时，△BPQ与△BAC相似．4．（2018秋•秀屿区校级月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝8m，AB＝10m，点P从B点出发，沿BC方向以2m/s的速度移动，点Q从C出发，沿CA方向以1m/s的速度移动．若P、Q同时分别从B、C出发，经过秒，△CPQ∽△CBA．5．（2019•泰兴市一模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝m，点P是边BC上一动点，若△PAB与△PCD相似，且满足条件的点P恰有2个，则m的值为．6．（2019春•海淀区校级月考）如图，在▱ABCD中，E是DC上一点，连接AE．F为AE上一点，且∠BFE＝∠C 求证：△ABF∽△EAD．二.选择题7．（2018秋•丹东期末）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，BC＝4BF，那么图中与△ADE相似的三角形有（）A．△CDF B．△BEF C．△BEF、△DCF D．△BEF，△EDF8．（2018秋•槐荫区期末）如图，下列四个选项不一定成立的是（）A．△COD∽△AOB B．△AOC∽△BOD C．△DCA∽△BAC D．△PCA∽△PBD9．（2019•庆云县一模）如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（）A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DEC．AD2＝BD•CD D．AD•AB＝AC•BD10．（2018春•梁子湖区期中）如图，△ABC中，∠A＝60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，BM，CN交于点O，连接MN．下列结论：①∠AMN＝∠ABC；②图中共有8对相似三角形；③BC＝2MN．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．0个11．（2019•宽城区校级模拟）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．12．（2019春•潍城区期末）如图，在△ABC中，点P为AB上一点连接CP．若再添加一个条件使△APC与△ACB相似，则下列选项中不能作为添加条件的是（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACBC．AP：AC＝AC：AB D．AP：AB＝PC：BC13．（2019•玉林）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有（）A．3对B．5对C．6对D．8对14．（2018秋•昌图县期末）已知△ABC的三边长分别为7.5，9和10.5，△DEF的一边长为5，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（）A．4，5 B．5，6 C．6，7 D．7，815．（2019•海港区一模）已知△ABC，D是AC上一点，尺规在AB上确定一点E，使△ADE∽△ABC，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．16．（2019•黔东南州一模）如图，在△ABC中，AB＝7cm，AC＝4cm，点D从B点以每秒2cm的速度向点A移动，（）点E从A点以每秒1cm的速度向点C移动，若D、E同时出发，同时停止．则经过多少时间△ADE与△ABC相似．A．（s）B．（s）C．（s）或（s）D．（s）或（s）三.解答题17．（2018秋•兰山区期末）如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．求证：△ABC∽△AED．18．（2018秋•宜宾县期中）已知如图所示，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是F、E，试证明：（1）△BAF∽△BCE．（2）△BEF∽△BCA．19．（2018秋•姜堰区校级月考）如图，点B、D、E在一条直线上，BE与AC相交于点F，＝＝．（1）求证：∠BAD＝∠CAE；（2）若∠BAD＝21°，求∠EBC的度数：（3）若连接EC，求证：△ABD∽△ACE．20．（2017秋•望江县期末）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）求证：△AFD∽△CFE．21．如图，点C，D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．（1）当AC，CD，DB满足怎样的数量关系时，△ACP∽△PDB，说明你的理由．（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．22．如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．参考答案一.填空题1．如图，若∠B＝∠DAC，则△ABC∽△DAC．【思路点拨】需根据已知按对应关系将其填写完整即可．【答案】解：在△ABC和△DAC中，因为∠C＝∠C，∠B＝∠DAC所以△ABC∽△DAC．【点睛】考查学生对相似三角形的判定的运用，注意边的对应和角的对应．2．如图，∠ABC＝∠D＝90°，AC＝9cm，BC＝6cm，则当BD＝4cm时，△ABC∽△CDB．【思路点拨】△ABC和△CDB中，已知了∠ABC＝∠D＝90°，如果两三角形相似，那么两三角形的直角边应该对应成比例，据此可求出BD的长．【答案】解：∵∠ABC＝∠D＝90°，∴当时，△ABC∽△CDB；即BD＝＝＝4cm．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定的运用，注意边的对应．3．（2018秋•赣榆区期末）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝8，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝1或4时，△BPQ与△BAC相似．【思路点拨】直接利用△BPQ∽△BAC或△BPQ∽△BCA，分别得出答案．【答案】解：当△BPQ∽△BAC时，则＝，∵AB＝4，BC＝8，点P是AB边的中点，∴BP＝2，故＝，解得：BQ＝4；当△BPQ∽△BCA时，则＝，∵AB＝4，BC＝8，点P是AB边的中点，∴BP＝2，故＝，解得：BQ＝1，综上所述：当BQ＝1或4时，△BPQ与△BAC相似．故答案为：1或4．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确分类讨论是解题关键．4．（2018秋•秀屿区校级月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝8m，AB＝10m，点P从B点出发，沿BC方向以2m/s的速度移动，点Q从C出发，沿CA方向以1m/s的速度移动．若P、Q同时分别从B、C出发，经过 2.4秒，△CPQ∽△CBA．【思路点拨】设经过t秒时，△CPQ∽△CBA，根据相似三角形的性质得到CP：CB＝CQ：CA，解方程即可得到结论．【答案】解：设经过t秒时，△CPQ∽△CBA，∵如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝8m，AB＝10m，∴由勾股定理求得：AC＝＝＝6（m）．∵△CPQ∽△CBA，∴CP：CB＝CQ：CA，即（8﹣2t）：8＝t：6．∴t＝2.4．故答案是：2.4．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，关键是知道哪些线段对应成比例时两个三角形相似．5．（2019•泰兴市一模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝m，点P是边BC上一动点，若△PAB与△PCD相似，且满足条件的点P恰有2个，则m的值为3或2．【思路点拨】由平行线得出∠C＝90°，当∠BAP＝∠CDP时，△PAB∽△PDC，得出＝，得出PC＝2PB①，当∠BAP＝∠CPD时，△PAB∽△DPC，得出＝，即PB×PC＝1×2＝2②，由①②得：PB＝1，得出PC＝2，BC＝3；设BP＝x，则＝m﹣x，得出x：2＝1：（m﹣x），整理得：x2﹣mx+2＝0，方程有唯一解时，△＝m2﹣8＝0，解得：m＝±2（负值舍去），得出m＝2；即可得出结论．【答案】解：∵AB∥CD，∠B＝90°，∴∠C+∠B＝180°，∴∠C＝90°，当∠BAP＝∠CDP时，△PAB∽△PDC，∴＝，即＝，∴PC＝2PB①，当∠BAP＝∠CPD时，△PAB∽△DPC，∴＝，即PB×PC＝1×2＝2②，由①②得：2PB2＝2，解得：PB＝1，∴PC＝2，∴BC＝3；设BP＝x，则＝m﹣x，∴x：2＝1：（m﹣x），整理得：x2﹣mx+2＝0，方程有唯一解时，△＝m2﹣8＝0，解得：m＝±2（负值舍去），∴m＝2；综上所述，若△PAB与△PCD相似，且满足条件的点P恰有2个，则m的值为3或2；故答案为：3或2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质、分类讨论；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．二、选择题6．（2019•黔东南州一模）如图，在△ABC中，AB＝7cm，AC＝4cm，点D从B点以每秒2cm的速度向点A移动，点E从A点以每秒1cm的速度向点C移动，若D、E同时出发，同时停止．则经过多少时间△ADE与△ABC相似．（）A．（s）B．（s）C．（s）或（s）D．（s）或（s）【思路点拨】分两种情况：①当△ADE∽△ABC时；②当△AED∽△ABC时；由三角形相似得出对应边成比例，即可求出t的值．【答案】解：设经过t秒△ADE与△ABC相似．∵点D从B点以每秒2cm的速度向点A移动，点E从A点以每秒1cm的速度向点C移动，D、E同时出发，同时停止，∴BD＝2t，AE＝t，∵AB＝7，∴AD＝AB﹣BD＝7﹣2t．分两种情况：①当△ADE∽△ABC时，＝，即＝，解得：t＝；②当△AED∽△ABC时，＝，即＝，解得：t＝．综上所述，经过秒或秒时，△ADE与△ABC相似．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键．7．（2018秋•丹东期末）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，BC＝4BF，那么图中与△ADE相似的三角形有（）A．△CDF B．△BEF C．△BEF、△DCF D．△BEF，△EDF【思路点拨】根据正方形的性质得设BC＝4a，则BF＝a，AE＝BE＝2a，CF＝3a，利用勾股定理计算出DE＝2a，EF＝a，DF＝5a，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似可判断△AED∽△BFE，△AED∽△EFD．【答案】解：设BC＝4a，则BF＝a，AE＝BE＝2a，CF＝3a，在Rt△AED中，DE＝＝2a，在Rt△BEF中，EF＝＝a，在Rt△DFC中，DF＝＝5a，∵＝2，＝2，＝2，∴＝＝，∴△AED∽△BFE，同理可得△AED∽△EFD．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．也考查了正方形的性质．8．（2018秋•槐荫区期末）如图，下列四个选项不一定成立的是（）A．△COD∽△AOB B．△AOC∽△BOD C．△DCA∽△BAC D．△PCA∽△PBD【思路点拨】利用圆周角定理、园内接四边形的性质一一判断即可；【答案】解：∵∠OCD＝∠OAB，∠COD＝∠AOB，∴△COD∽△AOB．同法可证：△AOC∽△BOD．∵∠PCA+∠ACD＝180°，∠ACD+∠ABD＝180°，∴∠PCA＝∠PBD，∵∠P＝∠P，∴△PCA∽△PBD，故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．（2019•庆云县一模）如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（）A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DEC．AD2＝BD•CD D．AD•AB＝AC•BD【思路点拨】利用有两组角对应相等的两个三角形相似可对A进行判定；先利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠DAC＝∠B，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似可对B进行判定；利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对C、D进行判定．【答案】解：A、因为∠ADC＝∠BDA，∠ACD＝∠DAB，所以△DAC∽△DBA，所以A选项添加的条件正确；B、由AD＝DE得∠DAC＝∠E，而∠B＝∠E，所以∠DAC＝∠B，加上∠ADC＝∠BDA，所以△DAC∽△DBA，所以B选项添加的条件正确；C、由AD2＝DB•CD，即AD：DB＝DC：DA，加上∠ADC＝∠BDA，所以△DAC∽△DBA，所以C选项添加的条件正确；D、由AD•AB＝AC•BD得＝，而不能确定∠ABD＝∠DAC，即不能确定点D为弧AE的中点，所以不能判定△DAC∽△DBA，所以D选项添加的条件错误．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了圆周角定理．10．（2018春•梁子湖区期中）如图，△ABC中，∠A＝60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，BM，CN交于点O，连接MN．下列结论：①∠AMN＝∠ABC；②图中共有8对相似三角形；③BC＝2MN．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．0个【思路点拨】依据△ABM∽△ACN，即可得出△AMN∽△ABC，进而得到∠AMN＝∠ABC；依据△ABM∽△ACN∽△OBN∽△OCM，△AMN∽△ABC，△BCO∽△NMO，可得图中共有8对相似三角形；依据AN＝AC，△AMN ∽△ABC，即可得到，即BC＝2MN．【答案】解：∵BM⊥AC，CN⊥AB，∴∠ANC＝∠AMB＝90°，又∵∠A＝∠A，∴△ABM∽△ACN，∴，即，又∵∠A＝∠A，∴△AMN∽△ABC，∴∠AMN＝∠ABC，故①正确；由题可得，△ABM∽△ACN∽△OBN∽△OCM，△AMN∽△ABC，△BCO∽△NMO，∴图中共有8对相似三角形，故②正确；∵Rt△ACN中，∠A＝60°，∴∠ACN＝30°，∴AN＝AC，又∵△AMN∽△ABC，∴，即BC＝2MN，故③正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质的综合运用，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．11．（2019•宽城区校级模拟）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．【思路点拨】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．【答案】解：根据勾股定理，AC＝＝2，BC＝，所以，夹直角的两边的比为＝2，观各选项，只有C选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．故选：C．【点睛】此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．12．（2019春•潍城区期末）如图，在△ABC中，点P为AB上一点连接CP．若再添加一个条件使△APC与△ACB相似，则下列选项中不能作为添加条件的是（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACBC．AP：AC＝AC：AB D．AP：AB＝PC：BC【思路点拨】利用相似三角形的判定可求解．【答案】解：A、当∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，可得△APC∽△ACB，故该选项不符合题意；B、当∠APC＝∠ACB，∠A＝∠A，可得△APC∽△ACB，故该选项不符合题意；C、当AP：AC＝AC：AB，∠A＝∠A，可得△APC∽△ACB，故该选项不符合题意；D、当AP：AB＝PC：BC，∠A＝∠A，无法证明△APC∽△ACB，故该选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是本题的关键．13．（2019•玉林）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有（）A．3对B．5对C．6对D．8对【思路点拨】图中三角形有：△AEG，△ADC，△CFG，△CBA，因为AB∥EF∥DC，AD∥BC，所以△AEG∽△ADC ∽△CFG∽△CBA，有6种组合【答案】解：图中三角形有：△AEG，△ADC，CFG，△CBA，∵AB∥EF∥DC，AD∥BC∴△AEG∽△ADC∽△CFG∽△CBA共有6个组合分别为：∴△AEG∽△ADC，△AEG∽△CFG，△AEG∽△CBA，△ADC∽CFG，△ADC∽△CBA，△CFG ∽△CBA故选：C．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定．14．（2018秋•昌图县期末）已知△ABC的三边长分别为7.5，9和10.5，△DEF的一边长为5，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（）A．4，5 B．5，6 C．6，7 D．7，8【思路点拨】先计算出ABC的三边比为5：6：7，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似进行判断．【答案】解：△ABC的三边长分别为7.5，9和10.5，三边的比为7.5：9：10.5＝5：6：7，而△DEF的一边长为5，所以当△DEF的另两边长分别为6、7时，这两个三角形相似．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质：三组对应边的比相等的两个三角形相似．15．（2019•海港区一模）已知△ABC，D是AC上一点，尺规在AB上确定一点E，使△ADE∽△ABC，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．【思路点拨】以DA为边、点D为顶点在△ABC内部作一个角等于∠B，角的另一边与AB的交点即为所求作的点．【答案】解：如图，点E即为所求作的点．故选：A．【点睛】本题主要考查作图﹣相似变换，根据相似三角形的判定明确过点D作一角等于∠B或∠C，并熟练掌握做一个角等于已知角的作法式解题的关键．三.解答题16．（2019春•海淀区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上一点，连接AE．F为AE上一点，且∠BFE ＝∠C求证：△ABF∽△EAD．【思路点拨】由四边形ABCD是平行四边形可以得出AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，可以得出∠D＝∠AFB，可以得出△ABF∽△EAD．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∴∠D+∠C＝180°．∵∠AFE+∠BFE＝180°且∠BFE＝∠C．∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠AED，∴△ABF∽△EAD．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定的运用解答．17．（2018秋•兰山区期末）如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．求证：△ABC∽△AED．【思路点拨】由∠BAE＝∠CAD知∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD，再根据线段的长得出＝＝，据此即可得证．【答案】解：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD，∵AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40，∴＝＝，∴△ABC∽△AED．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．18．（2018秋•宜宾县期中）已知如图所示，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是F、E，试证明：（1）△BAF∽△BCE．（2）△BEF∽△BCA．【思路点拨】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断；（2）根据两边成比例夹角相等的两个三角形相似即可证明；【答案】解：（1）∵AF⊥BC，CE⊥AB，∴∠AFB＝∠CEB＝90°，∵∠B＝∠B，（2）∵△BAF∽△BCE，∴＝，∴＝，∵∠B＝∠B，∴△BEF∽△BCA．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．19．（2018秋•姜堰区校级月考）如图，点B、D、E在一条直线上，BE与AC相交于点F，＝＝．（1）求证：∠BAD＝∠CAE；（2）若∠BAD＝21°，求∠EBC的度数：（3）若连接EC，求证：△ABD∽△ACE．【思路点拨】（1）根据相似三角形的性质定理得到∠BAC＝∠DAE，结合图形，证明即可；（2）根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【答案】（1）证明：∵＝＝．∴△ABC～△ADE；∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAF＝∠DAE﹣∠DAF，即∠BAD＝∠CAE；（2）解：∵△ABC～△ADE，∴∠ABC＝∠ADE，∵∠ABC＝∠ABE+∠EBC，∠ADE＝∠ABE+∠BAD，∴∠EBC＝∠BAD＝21°；（3）证明：连接CE，∵△ABC～△ADE，∴∠BAC﹣∠DAF＝∠DAE﹣∠DAF，即∠BAD＝∠CAE，∵＝．∴△ABD∽△ACE．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．20．（2017秋•望江县期末）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）求证：△AFD∽△CFE．【思路点拨】（1）根据两组对角对应相等的两个三角形相似证明即可；（2）根据直角三角形的性质得到CE＝BE＝AE，根据等腰三角形的性质得到∠EAC＝∠ECA，推出AD∥CE即可解决问题；【答案】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC＝AC：AB，∴AC2＝AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE＝BE＝AE，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD，∴△AFD∽△CFE．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线的判定，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．21．如图，点C，D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．（1）当AC，CD，DB满足怎样的数量关系时，△ACP∽△PDB，说明你的理由．（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．【思路点拨】（1）根据等边三角形的性质得到∠PCD=∠PDC=60°，PC=CD=PD，根据外角的性质得到∠ACP=∠PDB=120°，然后根据相似三角形的判定即可得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到∠APC=∠PBD，根据外角的性质得到∠DPB+∠DBP=60°，于是得到结论．【答案】解：（1）当CD2=AC•DB时，△ACP∽△PDB，∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD=∠PDC=60°，PC=CD=PD，∴∠ACP=∠PDB=120°，∵CD2=AC•DB，∴=，即=，∴△ACP∽△PDB；（2）∵△ACP∽△PDB，∴∠APC=∠PBD，∵∠PDB=120°，∴∠DPB+∠DBP=60°，∴∠APC+∠BPD=60°，∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．22．如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．【思路点拨】（1）首先根据等腰直角三角形的两个底角都是45°，得到一对对应角相等；再根据三角形的外角的性质得到∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，从而证明∠EDC=∠BAD，根据两个角对应相等，得到两个三角形相似；（2）根据等腰三角形的定义，此题要分三种情况进行分析讨论．根据等腰三角形的性质进行计算．【答案】（1）证明：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，∴∠B=∠C=45°．∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD．又∵∠ADE=45°，∴45°+∠EDC=45°+∠BAD．∴∠EDC=∠BAD．∴△ABD∽△DCE．（2）解：讨论：①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意．②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，于是AB=AC=2，BC=2，AE=AC﹣EC=2﹣BD=2﹣（2﹣2）=4﹣2③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°，如下图所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=AC=1．【点睛】熟练运用等腰直角三角形的性质，特别注意第二问要分情况进行讨论解题．。

浙教版九年级数学上册同步测试：4.4 两个三角形相似的判定一、选择题1．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，直径AC=6，对角线AC、BD交于E点，且AB=BD，EC=1，则AD的长为（）A．B．C．D．32．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，则△ABC与△DCA的面积比为（）A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．：3．如图，△ABC中，AD、BE是两条中线，则S△EDC ：S△ABC=（）A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．1：44．如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S△DOE ：S△COB=（）A．1：4 B．2：3 C．1：3 D．1：25．如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD=2AD ，DE ∥BC 交AC 于点E ，若线段DE=5，则线段BC 的长为（ ）A ．7.5B ．10C ．15D ．206．如图，△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C=∠E ，AD ：DE=3：5，AE=8，BD=4，则DC 的长等于（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，DE ∥BC ，AD=CE ．若AB ：AC=3：2，BC=10，则DE 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．如图，四边形ABCD 、CEFG 都是正方形，点G 在线段CD 上，连接BG 、DE ，DE 和FG 相交于点O ，设AB=a ，CG=b （a ＞b ）．下列结论：①△BCG ≌△DCE ；②BG ⊥DE ；③=；④（a ﹣b ）2•S △EFO =b 2•S △DGO ．其中结论正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．如图：把△ABC 沿AB 边平移到△A ′B ′C ′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC 面积的一半，若AB=，则此三角形移动的距离AA ′是（ ）A ．﹣1B ．C ．1D ．10．如图，在△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，BM 是AC 边中线，点D ，E 分别在边AC 和BC 上，DB=DE ，EF ⊥AC 于点F ，以下结论：（1）∠DBM=∠CDE ； （2）S △BDE ＜S 四边形BMFE ；（3）CD •EN=BN •BD ； （4）AC=2DF ．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．如图，AE ，BD 交于点C ，BA ⊥AE 于点A ，ED ⊥BD 于点D ，若AC=4，AB=3，CD=2，则CE= ．12．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ．若AD=4，DB=2，则的值为 ．13．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=4，AC=5，AD=4，则⊙O的直径AE=．14．如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比为．15．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则=．16．如图，在△ABC中，DE∥BC，=，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为．17．如图，在直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，△AOB为正三角形，P n=2n 射线OC⊥AB，在OC上依次截取点P1，P2，P3，…，P n，使OP1=1，P1P2=3，P2P3=5，…，P n﹣1﹣1（n为正整数），分别过点P1，P2，P3，…，P n向射线OA作垂线段，垂足分别为点Q1，Q2，Q3，…，Q n，则点Q n的坐标为．18．如图，在△ABC中，AB=AC=15，点D是BC边上的一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=∠α，DE交AB于点E，且tan∠α=，有以下的结论：①△ADE∽△ACD；②当CD=9时，△ACD与△DBE全等；③△BDE为直角三角形时，BD为12或；④0＜BE≤，其中正确的结论是（填入正确结论的序号）19．如图，在平面直角坐标系中，等腰△OBC的边OB在x轴上，OB=CB，OB边上的高CA与OC边上的高BE相交于点D，连接OD，AB=，∠CBO=45°，在直线BE上求点M，使△BMC与△ODC相似，则点M的坐标是．20．如图，△ABC，∠C=90°，AC=BC=a，在△ABC中截出一个正方形A1B1C1D1，使点A1，D1分别在AC，BC边上，边B1C1在AB边上；在△BC1D1在截出第二个正方形A2B2C2D2，使点A2，D2分别在BC1，D1C1边上，边B2C2在BD1边上；…，依此方法作下去，则第n个正方形的边长为．21．如图，已知△ABC中，AB=5，AC=3，点D在边AB上，且∠ACD=∠B，则线段AD的长为．22．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为．23．将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于．一、选择题1．A；2．C；3．D；4．A；5．C；6．A；7．B；8．B；9．A；10．C；二、填空题11．；12．；13．5；14．1：4；15．；16．18；17．（n2，n2）；18．②③；19．（1，-1）或（-，）；20．（）n a；21．；22．；23．1：3；初中数学试卷灿若寒星制作。

新浙教版九年级上册同步习题：4.4 两个三角形相似的判定一、选择题（共10小题；共50分）1. 如图，四边形错误！未找到引用源。

的对角线错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

相交于错误！未找到引用源。

，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若错误！未找到引用源。

，则下列结论中一定正确的是错误！未找到引用源。

A. ①和②相似B. ①和③相似C. ①和④相似D. ②和④相似2. 下列判断中，不正确的是错误！未找到引用源。

A. 两直角边长分别是错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

和错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

的两个直角三角形相似B. 斜边和一直角边长分别是错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

和错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

的两个直角三角形相似C. 两条边长分别是错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

和错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

的两个直角三角形相似D. 两个等腰直角三角形相似3. 如图所示，有点光源错误！未找到引用源。

在平面镜上方，若点错误！未找到引用源。

恰好在点光源错误！未找到引用源。

的反射光线上，并测得错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，且错误！未找到引用源。

，则点光源错误！未找到引用源。

到平面镜的距离错误！未找到引用源。

的长度为错误！未找到引用源。

A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

4. 如图，在正方形网格上有错误！未找到引用源。

个三角形：① 错误！未找到引用源。

；② 错误！未找到引用源。

；③ 错误！未找到引用源。

；④ 错误！未找到引用源。

；⑤ 错误！未找到引用源。

；⑥ 错误！未找到引用源。

．② 错误！未找到引用源。

⑥中与①相似的是错误！未找到引用源。

A. ②③④B. ③④⑤C. ④⑤⑥D. ②③⑥5. 下列错误！未找到引用源。

的正方形网格中，小正方形的边长均为错误！未找到引用源。

4.4 两个三角形相似的判定(一)1．如图，在△ABC 中，DE ∥B C.若AD AB ＝13，DE ＝4，则BC ＝(D )(第1题)A. 9B. 10C. 11D. 122．有一个角相等的两个等腰三角形(C ) A. 一定相似 B. 一定不相似 C. 不一定相似 D. 一定全等3．如图，在▱ABCD 中，E 是BC 边上一点，AE 交BD 于点F .如果EC BE ＝23，那么BFFD 的值为(B )A. 25B. 35 C. 23 D. 53(第3题)(第4题)4．如图，在△ABC中，若∠AED＝∠B，DE＝6，AB＝10，AE＝8，则BC的长为(C)A. 154 B. 7C. 152 D.2455．如图，在▱ABCD中，F是BC上一点，直线DF与AB的延长线交于点E，作BP∥DF，与AD 交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：△ABP∽△AED(答案不唯一)．(第5题)6．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A.已知BC＝2 2，AB＝3，则BD＝__83__．(第6题)7．如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为4__2．(第7题)8．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于点E，D是BC的中点，连结AD与BE交于点F.求证：△AFE∽△BCE.(第8题)【解】∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠FAE＋∠C＝90°.∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠CBE＋∠C＝90°.∴∠FAE＝∠CBE.又∵∠AEF＝∠BEC＝90°，∴△AFE∽△BCE.9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AD，BC的延长线交于点E，显然△EAB∽△ECD，在不添辅助线的情况下，请你再找出一对相似三角形，并加以证明．(第9题) 【解】结论：△AEC∽△AC D.证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC＋∠B＝180°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠AC B.∴∠ADC＋∠ACB＝180°.又∵∠ACE＋∠ACB＝180°，∴∠ACE＝∠AD C.又∵∠EAC＝∠CAD，∴△AEC∽△AC D.10．如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是AD ，AB 的中点，EF 交AC 于点G ，则AG ∶GC 的值为(B ) A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 2∶3(第10题)【解】 如解图，连结BD ，交AC 于点O .(第10题解)∵E ，F 分别是AD ，AB 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线， ∴EF ∥DB ，且EF ＝12DB ，∴△AEF ∽△ADB ，△AEG ∽△ADO ， ∴AG AO ＝AE AD ＝EF DB ＝12. ∴G 为AO 的中点． ∴AG ＝GO . 又∵OA ＝OC ， ∴AG ∶GC ＝1∶3.11．已知在▱ABCD 中，点E 在直线AD 上，AE ＝13AD ，连结CE 交BD 于点F ，则EF ∶CF 的值是23或43．【解】 当点E 在线段AD 上时，如解图①. ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴△EFD ∽△CFB ，∴EF ∶CF ＝DE ∶B C. ∵AE ＝13AD ，∴DE ＝2AE ＝23AD ＝23BC ， ∴DE ∶BC ＝2∶3， ∴EF ∶CF ＝2∶3.(第11题解)当点E 在线段DA 的延长线上时，如解图②. 同上可得△EFD ∽△CFB ， ∴EF ∶CF ＝DE ∶B C. ∵AE ＝13AD ，∴DE ＝4AE ＝43AD ＝43BC ，∴DE ∶BC ＝4∶3，∴EF ∶CF ＝4∶3. 综上所述，EF ∶CF 的值是23或43.12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5 cm ，∠BAC ＝60°，动点M 从点B 出发，在BA 边上以2 cm/s 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以 3 cm/s 的速度向点B 匀速运动，设运动时间为t (s)(0≤t ≤5)，连结MN .(1)若BM ＝BN ，求t 的值．(2)若以M ，B ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似，求t 的值． (3)当t 为何值时，四边形ACNM 的面积最小？并求出最小值．(第12题)【解】 (1)∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5，∠BAC ＝60°，∴∠B ＝30°，∴AB ＝2AC ＝10，BC ＝5 3. 由题意，得BM ＝2t ，CN ＝3t ， ∴BN ＝5 3－3t .当BM ＝BN 时，2t ＝5 3－3t ，解得t ＝10 3－15. (2)分两种情况：①当△MBN ∽△ABC 时，MB AB ＝BN BC ，即2t 10＝5 3－3t 5 3，解得t ＝52. ②当△NBM ∽△ABC 时，NB AB ＝BM BC ，即5 3－3t 10＝2t 5 3，解得t ＝157. 综上所述，当t ＝52或t ＝157时，△MBN 与△ABC 相似．(3)如解图，过点M 作MD ⊥BC 于点D ，则MD ∥AC ，∴△BMD ∽△BAC ，(第12题解)∴MD AC ＝BM BA ，即MD 5＝2t 10，解得MD ＝t .设四边形ACNM 的面积为y ，则y ＝12×5×5 3－12(5 3－3t )×t ＝32t 2－5 32t ＋25 32＝32⎝⎛⎭⎫t －522＋75 38.∴当t ＝52时，y 取得最小值，为75 38，即当t ＝52时，四边形ACNM 的面积最小，为75 38 cm 2.13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.在△A′B′C′中，∠C′＝90°，A′C′＝B′C′.能否分别将这两个三角形各自分割成两个三角形，使△ABC所分成的两个三角形与△A′B′C′所分成的两个三角形分别对应相似？若能，请设计一种分割方案；若不能，请说明理由．(第13题)【解】能分割，如解图所示(答案不唯一)．(第13题解)初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。

新浙教版九年级数学上册课后练习：4．4两个三角形相似的判定(第1题)1. 如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中与△DEF相似的三角形共有(B)A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2．如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一个定点，过点M作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有(C)A．1条 B．2条C．3条 D．4条,(第2题)) ,(第3题)) 3．如图，点A，B，C，D，E，F，G，H，O都是5×7方格中的格点，为使△DEM∽△ACB，则点M应是F，G，H，O四点中的点(C)A．F B．GC．H D．O4．下列叙述中，不正确的是(C)A．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，在Rt△A′B′C′中，∠C′＝90°，∠A′＝20°，则△ABC与△A′B′C′相似B．△ABC的两个角分别是35°和100°，△A′B′C′的两个角分别是45°和35°，则这两个三角形相似C．等腰△ABC和等腰△A′B′C′都有一个角为25°，则△ABC与△A′B′C′相似D．等腰△ABC和等腰△A′B′C′都有一个角为105 °，则△ABC与A′B′C′相似(第5题)5．如图，已知∠1＝∠2，可补充条件__∠E＝∠C或∠D＝∠B(不唯一)__(写出一个即可)，使△ADE∽△ABC.6. 已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝2 cm，BC＝3 c m，AC＝4 cm，A′B′＝5 cm，则△A ′B ′C ′的周长是__22.5__cm(第7题)7．如图，已知AC⊥CD，垂足为C ，BD ⊥CD ，垂足为D ，AB 与CD 交于点O.若AC ＝1，BD ＝2，CD ＝4，则AB ＝__5__．8. 如图，BE ，CF 是△ABC 的中线且交于点G .求证：BG ＝2EG .(第8题)【解】 连结EF.∵BE ，CF 为△ABC 的中线， ∴EF 为△ABC 的中位线， ∴EF∥BC，∴△EGF ∽△BGC ， ∴EG BG ＝EF BC ＝12， ∴BG ＝2EG.9．如图，为了测量一个大峡谷的宽度，地质勘探人员在对面的岩石上观察到一个特别明显的标志点O ，再在他们所在的同一侧选点A ，B ，D 使得AB⊥AO，DB ⊥AB ，然后确定DO 和AB 的交点C.测得AC ＝120m ，CB ＝60m ，BD ＝50m ，你能帮助他们算出大峡谷的宽AO 吗？(第9题)【解】 ∵AB⊥AO，DB ⊥AB ， ∴∠A ＝∠B＝90°. 又∵∠OCA ＝∠DCB ， ∴△ACO ∽△BCD ，∴AC BC ＝AO BD ，即12060＝AO 50， ∴AO ＝100(m)．(第10题)10．如图，△ABC 内接于⊙O，∠BAC 的平分线分别交⊙O，BC 于点D ，E ，连结BD ，则图中相似三角形有(C )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【解】 ∵∠D＝∠C，∠CAD ＝∠DB E ， ∴△BDE ∽△ACE.∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD ＝∠CAD. 又∵∠D＝∠C， ∴△AB D∽△AEC.∵∠DBC ＝∠CAD＝∠BA D ，∠D ＝∠D， ∴△BDE ∽△ADB.∴共有3对相似三角形．11．如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，AC ⊥BD 于点E ，过点O 作OF⊥BC 于点F.求证：(第11题)(1)△AEB∽△OFC； (2)AD ＝2OF.【解】 (1)连结OB ，则∠BAE＝12∠BOC.∵OB ＝OC ，OF ⊥BC ， ∴∠COF ＝12∠BOC.∴∠BAE ＝∠COF. ∵AC ⊥BD ，OF ⊥BC ， ∴∠OFC ＝∠AEB＝90°， ∴△AEB ∽△OFC . (2)∵△AEB ∽△OFC ， ∴AE BE ＝OF CF.由圆周角定理，得∠D ＝∠BCE ，∠DAE ＝∠CBE ， ∴△ADE ∽△BCE ，∴AD BC ＝AE BE，∴OF CF ＝ADBC.∵OB ＝OC ，OF ⊥BC ，∴BC ＝2CF ， ∴AD ＝BC CF·OF ＝2OF ， 即AD ＝2OF .12．如图，在⊙O 上，位于直径AB 的异侧有一个定点C 和一个动点P ，AC ＝12AB ，点P在半圆弧AB 上运动(不与A ，B 两点重合)，过点C 作直线PB 的垂线CD 交PB 于点D .(1)如图①，求证：△PCD ∽△ABC ；(2)当点P 运动到什么位置时，△PCD ≌△ABC ？请在图②中画出此时的△PCD ，并说明理由．(第12题)【解】 (1)∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°.∵PD ⊥CD ，∴∠D ＝90°， ∴∠D ＝∠ACB .∵∠A 与∠P 是BC ︵所对的圆周角，∴∠A ＝∠P ， ∴△PCD ∽△ABC .(2)如图②，当PC 是⊙O 的直径时(此时B ，D 两点重合)，△PCD ≌△ABC .理由如下： ∵AB ，PC 是⊙O 的直径，∴∠PDC ＝∠ACB ＝90°，AB ＝PC . 又∵∠A ＝∠P ， ∴△PCD ≌△ABC .(第13题)13．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME ＝∠A＝∠B＝α，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于点G ，连结FG.(1)写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对；(2)如果α＝45°，AB ＝4 2，AF ＝3，求FG 的长．【解】 (1)△AMF ∽△BGM ，△DMG ∽△DBM ，△EMF ∽△EAM 等． 下面证明△AMF ∽△BGM ：∵∠A ＝∠B ＝∠DME ＝α，∠AFM ＝∠DME ＋∠E ， 又∵∠BMG ＝∠A ＋∠E ，∴∠AFM ＝∠BMG ， ∴△AMF ∽△BGM .(2)由α＝45°，可知AC ⊥BC 且AC ＝BC . ∵M 为AB 的中点，AB ＝4 2， ∴AM ＝BM ＝2 2，AC ＝BC ＝4. ∵△AMF ∽△BGM ，∴AF BM ＝AMBG， 即32 2＝2 2BG ，∴BG ＝83.∵AC ＝BC ＝4，∴CG ＝4－83＝43，CF ＝1，∴在Rt△CFG 中，FG ＝CG 2＋CF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋12＝53.14．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4.点Q 是线段AC 上的一个动点，过点Q 作AC 的垂线交线段AB (如图①)或线段AB 的延长线(如图②)于点P .(1)当点P 在线段AB 上时，求证：△AQP ∽△ABC ； (2)当△PQB 为等腰三角形时，求AP 的长．,(第14题))【解】 (1)∵PQ⊥AC，∠ABC ＝90°， ∴∠AQP ＝∠ABC . 又∵∠A ＝∠A ， ∴△AQP ∽△ABC .(2)在Rt△ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，由勾股定理，得AC ＝AB 2＋BC 2＝5.当△PQB 为等腰三角形时，分情况讨论： ①当点P 在线段AB 上时，如图①. ∵∠QPB 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB ＝PQ . 由(1)，得△AQP ∽△ABC ，∴AP AC ＝QP BC ，即3－PB 5＝PB 4，解得PB ＝43，∴AP ＝AB －PB ＝3－43＝53.②当点P 在线段AB 的延长线上时，如图②. ∵∠QBP 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB ＝BQ . ∵BP ＝BQ ，∴∠BQP ＝∠P .∵∠BQP ＋∠AQB ＝90°，∠A ＋∠P ＝90°， ∴∠AQB ＝∠A ， ∴BQ ＝AB ， ∴BP ＝AB ，∴AP ＝2AB ＝2×3＝6.综上所述，当△PQB 为等腰三角形时，AP 的长为53或6.。