初中奥数系列：.分式A级.第01讲.学生版

第1讲分式的概念及性质【中考考纲】【知识框架】考点课标要求知识与技能目标了解理解掌握灵活应用分式的概念分式的概念√分式有意义的条件√分式值为零的条件√分式值的符号讨论√分式的基本性质分式的基本性质√分式的概念分式的基本性质分式有意义的条件分式值为零的条件分式值的符号讨论分式分式的概念1【知识精讲】一、分式的概念1.一般地，用A ，B 表示两个整式，A B 就可以表示成BA的形式.如果B 中含有字母，式子AB就叫做分式．2.分式有意义的条件：分式的分母不为零；3.分式的值为零的条件：分式的分子为零且分母不为零；4.分式值为正的条件：分式的分子分母符号相同（两种情况）；5.分式值为负的条件：分式的分子分母符号不同（两种情况）．【经典例题】【例1】下列各代数式：1x ，2x ，5xy ，()12a b +，x π，211x -，22a b a b --，13a-,1x y -中，整式有_____________，分式有_____________．【例2】若分式21x -有意义，则x 的取值范围是_____________．【例3】要使式子3234x x x x ++÷--有意义，则x 的取值是_____________．【例4】使分式2211a a -+有意义的a 的取值是__________．【例5】当3x =-时，下列分式中有意义的是（）．A.33x x +- B.33x x -+ C.()()()()3232x x x x +++- D.()()()()3232x x x x -++-【例6】x ,y 满足关系_____________时，分式x yx y-+　无意义．【例7】当x =_________时，分式33x x -+的值是零．【例8】当x =_________时，分式293x x --的值为零．【例9】若分式223-1244x x x ++的值为0，则x 的值为_________．【例10】x 为何值时，分式2||656x x x ---:（1）值为零；（2）分式无意义？【例11】若分式21-2x x a+无论x 取何值时，分式的值恒为正，则a 的取值范围是_________．【例12】若使分式1-1m 的值为整数，这样的m 有几个？若使分式1-1m m +的值为整数，这样的m 有几个？【例13】若分式1||x a+对任何数x 的都有意义，求a 的取值范围．【例14】要使分式11x x-有意义，则x 的取值范围是_________．【例15】当x 取何值时，分式226x x -+的值恒为负？【例16】当x 取什么值时，分式25xx -值为正？2【知识精讲】一、分式的基本性质1．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变，用式子表示A A CB B C⋅=⋅，A A CB B C÷=÷(0C≠),其中A,B,C为整式．2．注意：（1）利用分式的基本性质进行分式变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式；（2）应用基本性质时要注意0C≠，以及隐含的0B≠；（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以．3．分式的通分和约分：关键是先分解因式．【经典例题】【例17】把分式yx中的x 和y 都扩大3倍，则分式的值______．【例18】如果把分式10xyx y+中的x ，y 都扩大十倍，则分式的值（）．A ．扩大100倍B ．扩大10倍C ．不变D ．缩小到原来的110【例19】对于分式11x -，恒成立的是（）．A.1212x x =--B ．21111x x x +=--C ．()21111x x x -=--D ．1111x x -=-+【例20】下列各式中，正确的是（）．A ．a m ab m b+=+B ．0a ba b+=+C ．1111ab b ac c +-=--D ．221x y x y x y+=--【例21】与分式a ba b-+--相等的是（）．A ．a b a b+-B ．a b a b-+C ．a b a b+--D ．a b a b--+【例22】将分式253x yx y -+的分子和分母中的各项系数都化为整数，得（）．A ．235x y x y -+B ．1515610x y x y -+C ．1530610x y x y -+D ．253x y x y-+【例23】已知23a b =，求a bb+的值？【例24】化简：2323812a b cab c =________________．【例25】化简：22442y xy x x y-+=-________________．【例26】已知一列数1a ,2a ,3a ,4a ,5a ,6a ,7a ,且18a =,75832a =,356124234567a a a a a a a a a a a a =====,则5a 为（）．A ．648B ．832C ．1168D ．1944【例27】如果115x y +=,则2522x xy y x xy y-+=++____________．【例28】已知a b c d b c d a ===，则a b c da b c d-+-+-+的值是__________．【例29】化简：43211x x x x -+++．【例30】已知2215x x =+，求241x x +的值．【随堂练习】【习题1】若分式42121x x x --+的值为0，则x 的值是___________．【习题2】求证：无论x 取什么数，分式223458x x x x ---+一定有意义．【习题3】已知()1xf x x=+,求下列式子的值．111()()()(1)(0)(1)(2)(2011)(2012)201220112f f f f f f f f f ++++++++++ 【习题4】x 取______________值时,112122x +++有意义．【习题5】已知34y x =，求代数式2222352235x xy y x xy y -++-的值．【课后作业】【作业1】已知,,0a b c ≠，且0a b c ++=，则111111a b c b c c a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值是__________．【作业2】已知20y x -=，求代数式()()()()22222222xy x xy y xxy yxy+-+++-的值．【作业3】若实数x ，y 满足0xy ≠，则y xm x y=-的最大值是多少？【作业4】已知a ，b 为实数，且1ab =，设11a b P a b =---，1111Q a b =---，试比较P 和Q 的大小．【作业5】如果整数a (1a ≠)使得关于x 的一元一次方程：232ax a a x -=++的解是整数，则该方程所有整数解的和为__________．【作业6】已知分式()()811x x x -+-的值为零，则x 的值是__________．【作业7】要使分式241312a a a-++有意义，则a 的值满足__________．【作业8】已知210a a --=，且4232232932112a xa a xa a -+=-+-，求x 的值．。

七年级上册数学奥数知识点讲解作为初中数学的重要组成部分，数学奥数知识点的掌握对于学生的学业成绩有着至关重要的影响。

本文旨在介绍七年级上册数学奥数知识点，帮助学生更好地理解这些知识点并提高数学成绩。

一、分式分式是初中数学奥数中的基础知识点之一，也是日常生活中常见的计算方法。

分式是指含有数值或变量的分数形式，且其分母不为零。

例如，$\frac{3}{4}$、$\frac{x}{y}$、$\frac{a+b}{c-d}$等就是分式。

在计算分式时，需要掌握常见的分式计算方法，如通分、约分、加减乘除等。

二、因数分解因数分解是指将一个数分解成两个或两个以上的因数的积的形式，是初中数学奥数中的重要知识点。

因数分解不仅可以帮助学生理解数的性质，还能在解决实际问题时发挥重要作用。

例如，将24分解成因数的积，可以得到$24=2\times2\times2\times3$。

这就是24的因数分解式。

在学习因数分解时，还需要掌握一些相关知识点，如最大公因数、最小公倍数、质数因数等。

三、平方根平方根是指一个数的正平方根，即能与其相乘得到该数的正整数，是初中数学奥数中的重要知识点之一。

在实际问题中，平方根常常被用来计算面积、体积、长度等。

例如，根据勾股定理可以得到直角三角形斜边的长度公式为$c=\sqrt{a^2+b^2}$，其中$\sqrt{}$的意思就是平方根。

当然，计算平方根还需要掌握相关的计算方法和公式，如平方根的性质、相反数、倒数等。

四、比例比例是指两个数或者两个量之间的大小关系，是初中数学奥数中的基础知识点之一。

比例在生活中广泛运用于各种计算，如商业、工程、科学等。

例如，购买物品时商家通常会给出价格与数量的比例，如“每斤10元”就表示价格与数量的比例为1:1。

在计算比例时，需要掌握一些基本的计算方法和公式，如比例的基本性质、比例的变化、比例的反比例等。

五、代数式和方程代数式和方程是初中数学奥数中的较为难点的知识点，而在实际问题的解决中却有着非常广泛的应用。

《分式》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．3．掌握分式的四则运算．4．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．【知识网络】【要点梳理】【高清课堂分式全章复习与巩固知识要点】要点一、分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式AB才有意义.2.分式的基本性质（M为不等于0的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点二、分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算a b a b c c c±±= ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算a c acb d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算a c a d adb d bc bc÷=⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. （4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方. 4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的. 要点三、分式方程 1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.要点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解. 【典型例题】类型一、分式及其基本性质1、在ma y x xy x x x x 1,3,3,)1(,21,12+++π中，分式的个数是（ ）A.2B.3C.4D.5【答案】C ；【解析】()21131x x a x x x y m+++，，，是分式.【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．2、当x 为何值时，分式293x x -+的值为0？【思路点拨】先求出使分子为0的字母的值，再检验这个值是否使分母的值等于0，当它使分母的值不等于0时，这个值就是要求的字母的值． 【答案与解析】解： 要使分式的值为0，必须满足分子等于0且分母不等于0．由题意，得290,30.x x ⎧-=⎨+≠⎩ 解得3x =．∴ 当3x =时，分式293x x -+的值为0．【总结升华】分式的值为0的条件是：分子为0，且分母不为0，即只有在分式有意义的前提下，才能考虑分式值的情况. 举一反三： 【变式】（1）若分式的值等于零，则x ＝_______；（2）当x ________时，分式没有意义．【答案】（1）由24x -＝0，得2x =±. 当x ＝2时x －2＝0，所以x ＝－2； （2）当10x -=，即x ＝1时，分式没有意义．类型二、分式运算3、计算：2222132(1)441x x x x x x x -++÷-⋅++-．【答案与解析】解：222222132(1)(1)1(2)(1)(1)441(2)(1)1x x x x x x x x x x x x x x -+++-++÷-⋅=⋅⋅++-+-- 22(1)(2)(1)x x x +=-+-． 【总结升华】本题有两处易错：一是不按运算顺序运算，把2(1)x -和2321x x x ++-先约分；二是将(1)x -和(1)x -约分后的结果错认为是1．因此正确掌握运算顺序与符号法则是解题的关键．举一反三：【变式】（ •滨州）化简：÷（﹣）【答案】 解：原式=÷=•=﹣．类型三、分式方程的解法【高清课堂 分式全章复习与巩固 例6（1）】4、解方程23222x x x -=+- 【答案与解析】 解：23222x x x -=+- 方程两边同乘以()()22x x -+，得 ()()()()2232222x x x x x --+=+- -72x =-27x =检验： 当27x =时，最简公分母()()22x x -+≠0， ∴27x =是原方程的解. 【总结升华】分式方程一定要记得检验. 举一反三： 【变式】()1231244x x x -=---，【答案】解： 方程两边同乘以()24x -，得()()12422332x x x =---=-∴检验：当32x =-时，最简公分母()240x -≠， ∴32x =-是原方程的解． 类型四、分式方程的应用5、（ •东莞二模）某市为治理污水，需要铺设一条全长为600米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？【思路点拨】先设原计划每天铺设x 米管道，则实际施工时，每天的铺设管道（1+20%）x 米，由题意可得等量关系：原计划的工作时间﹣实际的工作时间=5，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答． 【答案与解析】解：设原计划每天铺设x 米管道，由题意得：﹣=5，解得：x=20，经检验：x=20是原方程的解． 答：原计划每天铺设20米管道． 【总结升华】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 举一反三：【变式】小明家、王老师家、学校在同一条路上，并且小明上学要路过王老师家，小明到王老师家的路程为3 km ，王老师家到学校的路程为0.5 km ，由于小明的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校、王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是他步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20 min ，王老师步行的速度和骑自行车的速度各是多少? 【答案】解：设王老师步行的速度为x km/h ，则他骑自行车的速度为3x km/h ．根据题意得：230.50.520360x x ⨯+=+．解得：5x =．经检验5x =是原方程的根且符合题意． 当5x =时，315x =．答：王老师步行的速度为5km/h ，他骑自行车的速度为15km/h ．【巩固练习】 一.选择题1．（ 春•无锡期末）下列各式：（﹣m ）2，，，x 2+y 2，5，，中，分式有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个2.把分式yx x+2中的x y 、都扩大3倍，则分式的值( )． A.扩大3倍B.扩大6倍C.缩小为原来的31D.不变3．下列各式中，正确的是( )． A.y x yx y x y x +-=--+- B.y x yx y x y x ---=--+- C.yx yx y x y x -+=--+- D.yx yx y x y x ++-=--+- 4.式子222x x x +--的值为0，那么x 的值是（ ）A ．2B ．－2C ．±2D ．不存在 5．如果把分式 中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A ．扩大3倍 B ．不变 C ．缩小3倍 D ． 缩小6倍 6.下列分式中，最简分式是( )．A.21521y xyB.y x y x +-22 C.222x xy y x y-+-D.y x y x -+227．将分式方程2514326242y yy y+-+=--化为整式方程时，方程两边应同乘（ ）．A ．()()2642y y --B ．()23y -C ．()()423y y --D ．()()232y y --8.方程14233x x x -+=--的解是（ ） A ．0B ．2C ．3D ．无解二.填空题 9．若x ＞，那么的值是______________．10．当x ______时，分式121-+x x 有意义． 11．当x ______时，分式122+-x 的值为正．12．2232)()(yx y x -÷＝______．13.（ •黄冈校级模拟）化简÷（＋）的结果是 ．14.写出下列分式中的未知的分子或分母：（1）2218324()m n m mn =；（2）2()a b ab a b -=；（3）22()x xy x yx --=． 15．分式方程1712112-=-++x x x 若要化为整式方程，在方程两边同乘的最简公分母是______． 16．方程256x x x x -=--的解是______． 三.解答题17.计算2312212422a a a a ⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭；（2）222244244x x x x x x x +-++++． 18.已知13x =+，求2111242x x x +-+--． 19. 已知345x y z ==，求23x y x y z+-+的值． 20.（ •济南）济南与北京两地相距480km ，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h 到达，已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的3倍，求高铁列车的平均行驶速度．【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】B ； 【解析】解：（﹣m ）2，，x 2+y 2，5，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．，分母中含有字母，因此是分式．故选B ． 2. 【答案】D ； 【解析】23322333()x x xx y x y x y⨯⨯==+++.3. 【答案】A ； 【解析】()()x y x y x yx y x y x y-+---==---++.4. 【答案】B ；【解析】由题意+2=0x 且220x x --≠，解得2x =-. 5. 【答案】B ；【解析】==原式，故选B ．.6. 【答案】D ；7. 【答案】D ；【解析】原方程的最简公分母为()()232y y --.8. 【答案】D ；【解析】解分式方程得3x =，经检验，3x =为原方程的增根.二.填空题9. 【答案】1； 【解析】若x ＞，不等式两边同时乘以5，得到5x ＞2， 则2﹣5x ＜0，∴|2﹣5x|=5x ﹣2， 那么==1．.10.【答案】12≠； 11.【答案】12<-；【解析】要使分式的值为正，需210x +<，解得12x <-. 12.【答案】4x y ；【解析】264324232()()x x x y x y y y y x-÷=⋅=.13.【答案】；【解析】解：原式=÷=•=.14.【答案】（1）4n （2）2a ab - （3）x 15.【答案】21x -； 16.【答案】10x =；【解析】去分母得，()()()625x x x x -=--，化简得：10x =，经检验，10x =是原方程的根.三.解答题17.【解析】解：（1）2312212422a a a a ⎛⎫⎛⎫+÷-⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭3(2)122(2)2(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤++-=+÷-⎢⎥⎢⎥+-+-+-+-⎣⎦⎣⎦3186(2)(2)(2)(2)a a a a a a ++=÷+-+- 3(6)(2)(2)3(2)(2)6a a a a a a ++-==+-+．（2）原式2(4)(2)(2)4222(2)(2)222x x x x x x x x x x x x x ++-+-+=+=+=+++++． 18.【解析】 解：原式2111224x x x =-++--22(2)(2)144x x x x --+=+-- 222413444x x x --=+=---． 当13x =+时，原式232(13)4==-+-． 19.【解析】 解： 设345x y zk ===，则3x k =，4y k =，5z k =． 所以347723324351010x y k k k x y z k k k k ++===-+-⨯+⨯．20.【解析】解：设普通快车的速度为xkm/时，由题意得：﹣=4，解得：x=80，经检验：x=80是原分式方程的解， 3x=3×80=240，答：高铁列车的平均行驶速度是240km/时．。

初中奥数讲义分式方程（组）附答案初中奥数讲义-分式方程（组）附答案分数阶方程本讲我们将介绍分式方程(组)的解法及其应用．【知识拓展】分母中含有未知量的方程称为分数阶方程。

解分数阶方程的基本思想是将它们转化为积分方程。

通常有两种方法：一种是去除分母；第二种是替代。

解分数阶方程时必须检验根解分式方程组时整体代换的思想体现得很充分．常见的思路有：取倒数法方程迭加法，换元法等．解决分数阶方程应用问题的关键是找到等价关系并列出方程。

如果方程包含以字母表示的已知数，则需要根据问题的变换条件实现变换。

在不求解的情况下设置未知数是常见的技能之一例题求解一、分数阶方程（组）解的例子1。

拆分项目并重新组织以解分数方程[示例1]以解方程x?5x?2x?3x?4．x?7x?4x?5x?6解析直接去分母太繁琐，左右两边分别通分仍有很复杂的分子．考虑将每一项分拆：如11x?52，这样可降低计算难度．经检验x?为原方程的解．?1?2x?7x?7注本题中用到两个技巧：一是将分式拆成整式加另一个分式；二是交换了项，避免通分后分子出现x．这样大大降低了运算量．本讲趣题引路中的问题也属于这种思路．2.用元素交换法求解分数阶方程[例2]1x?11x?82?1x?2x?82?1x?13x?82?0．如果在解析时考虑去除分母，则计算量过大；分裂是不够的，但每个分母都是一个二次三项式。

试试替代法。

解为x+2x-8=y，原始方程可转化为2111 0岁？9xyy？15x解关于y的分数方程，得到y=9x或y=-5x。

因此，当y=9x，x+2x-8=9x时，解得到X1=8，X2=-1。

当y=-5x，x+2x-8=-5x时，解得到X3=-8，X4=1。

经检验，上述四种解均为原方程的解注当分式方程的结构较复杂且有相同或相近部分时，可通过换元将之简化．3．形如x?形如x?11?a?结构的分式方程的解法xa22111? A.分数阶方程的解是：X1？a、 x2？。

七年级奥数讲义01：和绝对值有关的问题一、选择题（共3小题，每小题4分，满分12分）1．已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|的值等于（ ）A ．-3aB ．2c-aC ．2a-2bD ．b2．已知：x ＜0＜z ，xy ＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号3．方程|x-2008|=2008-x 的解的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个二、填空题（共1小题，每小题5分，满分25分）4．观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与-2，3与5，-2与-6，-4与3． 并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： ；（2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为-1，则A 与B 两点间的距离可以表示为 ；（3）结合数轴求得|x-2|+|x+3|的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ；（4）满足|x+1|+|x+4|＞3的x 的取值范围为 ．三、解答题（共2小题，满分13分）5．已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？6．如果|ab-2|+2)1(-b =0，试求： )2011)(2011(1)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab 的值．七年级奥数讲义01：和绝对值有关的问题解析一、选择题（共3小题，每小题4分，满分12分）1．已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|的值等于（）A．-3a B．2c-a C．2a-2b D．b考点：绝对值．专题：计算题．分析：由a，b，c在数轴上的对应位置可知：b＜a＜0＜c，即可判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简．解答：解：|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|=-a-（a+b）+（c-a）+b-c=-3a故选A．点评：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算．脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号．这道例题运用了数形结合的数学思想．2．已知：x＜0＜z，xy＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（）A．是正数B．是负数C．是零D．不能确定符号考点：绝对值；数轴．专题：数形结合．分析：先根据已知条件确定x、y、z的符号及其绝对值的大小，再画出数轴确定出各点在数轴上的位置，根据绝对值的性质即可去掉原式的绝对值，使原式得到化简．解答：解：由题意可知，x、y、z在数轴上的位置如图所示：所以|x+z|+|y+z|-|x-y|=x+z-（y+z）-（x-y）=0点评：本题考查的是代数式的化简及绝对值的性质，此题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路．在解答此类问题时要注意使用数形结合的思想方法．3．方程|x-2008|=2008-x的解的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．无穷多个考点：含绝对值符号的一元一次方程．专题：计算题．分析：这道题我们用整体的思想解决．将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程|a|=-a的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D．解答：解：由方程|x-2008|=2008-x可知，2008-x≥0∴x≤2008∴x解得个数有无穷多个．故选D点评：本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的拓展计算，充分利用了绝对值的代数意义．难易适中．二、填空题（共1小题，每小题5分，满分25分）4．观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与-2，3与5，-2与-6，-4与3．并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：；（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为-1，则A与B两点间的距离可以表示为；（3）结合数轴求得|x-2|+|x+3|的最小值为，取得最小值时x的取值范围为；（4）满足|x+1|+|x+4|＞3的x的取值范围为．考点：绝对值；数轴．分析：（1）直接借助数轴可以得出；（2）点B表示的数为-1，所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置．那么点A呢？因为x可以表示任意有理数，所以点A可以位于数轴上的任意位置．那么，如何求出A与B两点间的距离呢？结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论．当x＜-1时，距离为-x-1，当-1＜x＜0时，距离为x+1，当x＞0，距离为x+1．综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为|x+1|；（3）|x-2|即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离．|x+3|=|x-（-3）|即x与-3的差的绝对值，它也可以表示数轴上x与-3之间的距离．借助数轴，我们可以得到正确答案；（4）同理|x+1|表示数轴上x与-1之间的距离，|x+4|表示数轴上x与-4之间的距离．本题即求，当x是什么数时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3．借助数轴，我们可以得到正确答案：x＜-4或x＞-1．解答：解：（1）由观察可知：所得距离与这两个数的差的绝对值相等；（2）结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论．当x＜-1时，距离为-x-1，当-1＜x＜0时，距离为x+1，当x＞0，距离为x+1．综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为|x+1|；（3）当x＜-3时，|x-2|+|x+3|=2-x-（3+x）=-2x-1，此时最小值大于5；当-3≤x≤2时，|x-2|+|x+3|=2-x+x+3=5；当x＞2时，|x-2|+|x+3|=x-2+x+3=2x+1，此时最小值大于5；所以|x-2|+|x+3|的最小值为5，取得最小值时x的取值范围为-3≤x≤2；（4）由分析借助数轴，我们可以得到正确答案：x＜-4或x＞-1．点评：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题．这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便．事实上，|A-B|表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离．这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（3）、（4）这两道难题．三、解答题（共2小题，满分13分）5．已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 考点：数轴．专题：分类讨论．分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负．那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题．解答：解：设甲数为x ，乙数为y由题意得：|x|=3|y|，（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若x 在原点左侧，y 在原点右侧，即x ＜0，y ＞0，则4y=8，所以y=2，x=-6，若x 在原点右侧，y 在原点左侧，即x ＞0，y ＜0，则-4y=8，所以y=-2，x=6；（2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若x 、y 在原点左侧，即x ＜0，y ＜0，则-2y=8，所以y=-4，x=-12，若x 、y 在原点右侧，即x ＞0，y ＞0，则2y=8，所以y=4，x=12．点评：本题主要考查了数轴上点的几何意义．6．如果|ab-2|+（b-1）2=0，试求：)2011)(2011(1)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab 的值． 考点：非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值．专题：规律型．分析：本题应先根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0．”解出a 、b 的值，再把a 、b 的值代入代数式中，将分式化简求值．解答：解：因为|ab-2|+2)1(-b =0，且|ab-2|≥0，2)1(-b ≥0，所以ab-2=0，b-1=0，所以b=1，a=2，所以原式=20132012201311201312012141313121211201320121431321211=-=-++-+-+-=⨯++⨯+⨯+⨯ 点评：注意：将原有的分数拆成两个相减的分数，再对方程进行化简是此类分数的常见的解法．七年级奥数特训练习01：和绝对值有关的问题1．关于x 的方程|x|=2x+a 只有一个解而且这个解是负数，则a 的取值范围（ ）A ．a ＜0B ．a ＞0C ．a ≥0D ．a ≤02．若方程||x-2|-1|=a 有三个整数解，则a 的取值为（ ）A ．a ＞1B ．a=1C ．a=0D ．0＜a ＜13．（1）阅读下列材料并填空．例：解方程|x+2|+|x+3|=5解：①当x ＜-3时，x+2＜0，x+3＜0，所以|x+2|=-x-2，|x+3|=-x-3所以原方程可化为 =5解得 x=②当-3≤x ＜-2时，x+2＜0，x+3≥0，所以|x+2|=-x-2，|x+3|=x+3所以原方程可化为-x-2+x+3=51=5所以此时原方程无解③当x ≥-2时，x+2≥0，x+3＞0，所以|x+2|= ，|x+3|=所以原方程可化为 =5解得 x=（2）用上面的解题方法解方程：|x+1|-|x-2|=x-6．4．先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）解方程：|3x|=1解：①当3x ≥0时，原方程可化为一元一次方程为3x=1，它的解是x=31 ②当3x ＜0时，原方程可化为一元一次方程为-3x=1，它的解是x=31-． （1）请你模仿上面例题的解法，解方程：2|x-3|+5=13（2）探究：当b 为何值时，方程|x-2|=b+1 ①无解；②只有一个解；③有两个解．5．问当x 取何值时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2011|取得最小值，并求出最小值．6．若a 、b 互为相反数，b 、c 互为倒数，并且m 的立方等于它本身．（1）试求ac m b a +++222值； （2）若a ＞1，且m ＜0，S=|2a 一3b|-2|b-m|-|b+21|，试求4（2a 一S ）+2（2a-S ）-（2a-S ）的值．（3）若m ≠0，试讨论：x 为有理数时，|x+m|-|x-m|是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．7．证明A=||x-y|+x+y-2z|+|x-y|+x+y+2z=4max{x ，y ，z}，其中max{x ，y ，z}表示x ，y ，z 这三个数中的最大者．七年级奥数特训练习01：和绝对值有关的问题解析1．关于x 的方程|x|=2x+a 只有一个解而且这个解是负数，则a 的取值范围（ ）A ．a ＜0B ．a ＞0C ．a ≥0D ．a ≤01．考点：含绝对值符号的一元一次方程；解一元一次方程；解一元一次不等式．专题：计算题．分析：由方程的解为负数，得到x ＜0时，原方程可以化为-x=2x+a ，求出方程的解x=3a - ，可得出3a -＜0，求出即可． 解答：解：∵|x|=2x+a 的解为负数，∴x ＜0时，原方程可以化为：-x=2x+a ，解得：x=3a -， ∴3a -＜0， 即a ＞0．故选B ．点评：本题考查了绝对值符号的一元一次方程和解一元一次不等式等知识点的应用，去掉绝对值符号是解此题的关键，注意x ＜0这个条件的应用，题目较好，但是一道比较容易出错的题目．2．若方程||x-2|-1|=a 有三个整数解，则a 的取值为（ ）A ．a ＞1B ．a=1C ．a=0D ．0＜a ＜12．考点：含绝对值符号的一元一次方程；函数的图象．专题：推理填空题．分析：画出函数y=|x-2|和函数y=||x-2|-1|的图象，根据图象可知，只有当a=1时，方程有三个整数解，即可得出答案．解答：解：如图所示：紫色线表示函数y=|x-2|的图象，蓝色表示函数y=1的图象，黑色是y=|x-2|-1|，根据图象只有a=1时，方程||x-2|-1|=a 才有三个整数解，即a=1，故选B ．点评：本题考查了对含绝对值符号的一元一次方程和函数的图象等知识点的应用，能根据图象得出答案是解此题的关键，主要培养了学生的画图能力，同时也培养了学生的观察图形的能力，难度较大，对学生提出较高的要求．3．（1）阅读下列材料并填空．例：解方程|x+2|+|x+3|=5解：①当x ＜-3时，x+2＜0，x+3＜0，所以|x+2|=-x-2，|x+3|=-x-3所以原方程可化为 =5解得 x=②当-3≤x ＜-2时，x+2＜0，x+3≥0，所以|x+2|=-x-2，|x+3|=x+3所以原方程可化为-x-2+x+3=51=5所以此时原方程无解③当x≥-2时，x+2≥0，x+3＞0，所以|x+2|= ，|x+3|=所以原方程可化为=5解得x=（2）用上面的解题方法解方程：|x+1|-|x-2|=x-6．考点：含绝对值符号的一元一次方程．分析：（1）由条件给定的却只范围确定绝对值中的数的正负性就可以去掉绝对值符号，从而根据解一元一次方程的方法求解．（2）要解答本题的关键是去掉绝对值符号，就可以采用分段函数的方法，令x+1=0或x-2=0，求出x的值，再根据x的取值范围就可以去掉绝对值符号，从而求出其结果．3．解答：解：（1）①当x＜-3时，x+2＜0，x+3＜0，所以|x+2|=-x-2，|x+3|=-x-3所以原方程可化为：-x-2-x-3=5解得：x=-5②当-3≤x＜-2时，x+2＜0，x+3≥0，所以|x+2|=-x-2，|x+3|=x+3所以原方程可化为-x-2+x+3=51=5所以此时原方程无解③当x≥-2时，x+2≥0，x+3＞0，所以|x+2|=x+2，|x+3|=x+3所以原方程可化为x+2+x+3=5解得x=0故答案为：-x-2-x-3，-5，x+2，x+3，x+2+x+3，0（2）令x+1=0，x-2=0时，∴x=-1或x=2．当x＜-1时，∴x+1＜0，x-2＜0，∴|x+1|=-x-1，|x-2|=-x+2，∴-x-1-（-x+2）=x-6∴x=3（不符合题意，所以无解）当-1≤x＜2时，∴|x+1|=x+1，|x-2|=-x+2，∴x+1+x-2=x-6∴x=-5（不符合题意，所以无解）当x≥2时，∴|x+1|=x+1，|x-2|=x-2，∴x+1-x+2=x-6∴x=9．综上所述，x的解为：x=9．点评：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的解法，解题中分类思想的运用，去绝对值的方法．4．先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）解方程：|3x|=1解：①当3x ≥0时，原方程可化为一元一次方程为3x=1，它的解是x=31 ②当3x ＜0时，原方程可化为一元一次方程为-3x=1，它的解是x=31-． （1）请你模仿上面例题的解法，解方程：2|x-3|+5=13（2）探究：当b 为何值时，方程|x-2|=b+1 ①无解；②只有一个解；③有两个解．4．考点：含绝对值符号的一元一次方程．专题：计算题．分析：（1）当x-3≥0时，得出方程为2（x-3）+5=13，求出方程的解即可；当x-3＜0时，得出方程为2（3-x ）+5=13，求出方程的解即可；（2）根据绝对值具有非负性得出|x-2|≥0，分别求出b+1＜0，b+1=0，b+1＞0的值，即可求出答案．解答：（1）解：当x-3≥0时，原方程可化为一元一次方程为2（x-3）+5=13，方程的解是x=7；②当x-3＜0时，原方程可化为一元一次方程为2（3-x ）+5=13，方程的解是x=-1．（2）解：∵|x-2|≥0，∴当b+1＜0，即b ＜-1时，方程无解；当b+1=0，即b=-1时，方程只有一个解；当b+1＞0，即b ＞-1时，方程有两个解．点评：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，解此题的关键是去掉绝对值符号得到一元一次方程，根据a ≥0时，|a|=a ；a ＜0时，|a|=-a ，题目比较好，但有一定的难度．5．问当x 取何值时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2011|取得最小值，并求出最小值．5．考点：绝对值．专题：计算题．分析：要使|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2011|取得最小值，则必须使他们中每一个式子的值尽可能小，由于绝对值是非负数，所以最小是0，且只有一个，1只能有2个，依此类推，x 只能是1-2011的中间的数，再求值即可解答．解答：解：1-2011共有2011个数，最中间一个为1006，此时|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2011|取得最小值， 最小值为|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2011|=|1006-1|+|1006-2|+|1006-3|+…+|1006-2011|=1005+1004+1003+…+2+1+0+1+2+3+…+1005=1011030．点评：本题主要考查绝对值的定义与求值问题，注意一个数的绝对值是非负数．6．若a 、b 互为相反数，b 、c 互为倒数，并且m 的立方等于它本身．（1）试求ac m b a +++222值； （2）若a ＞1，且m ＜0，S=|2a 一3b|-2|b-m|-|b+21|，试求4（2a 一S ）+2（2a-S ）-（2a-S ）的值．6．考点：绝对值；相反数；倒数．专题：探究型．分析：（1）先根据a 、b 互为相反数，b 、c 互为倒数，得出a+b=0，bc=1，再代入所求代数式进行计算；（2）根据a ＞1及m 的立方等于它本身把S 进行化简，再代入所求代数式进行计算；（3）根据若m ≠0，可知m=±1，①当m=1时，代入|x+m|-|x-m|，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，求出代数式的值，②同理，当m=-1时代入所求代数式，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，求出代数式的值，即可．解答：解：（1）∵a+b=0，bc=1，∴ac=-1（3分） ∴ac m b a +++222=0-1=-1（4分） （2）∵a ＞1， ∴b ＜-1，2a-3b ＞0，b+21＜0（5分） ∵m 的立方等于它本身，且m ＜0∴m=-1，b-m=b+1＜0（6分）∴s=2a-3b+2b+2+b+21 =2a+25∴2a-s=25-（7分） 4（2a-S ）+2（2a-S ）-（2a-S ）=5（2a-S ） =225-；（8分） （3）若m ≠0，此时m=±1（19分）①若m=1，则|x+m|-|x-m|=|x+1|-|x-1|当x ≤-1时|x+1|-|x-1|=-x-1+x-1=-2当-1＜x ≤1时|x+1|-|x-1|=x+1+x-1=2x当x ＞1时|x+1|-|x-1|=x+1-x+1=2∴当x 为有理数时，存在最大值为2；（10分）②若m=-1同理可得：当x 为有理数时，存在最大值为2．（11分）综上所述，当m=±1，x 为有理数时，|x+m|-|x-m|存在最大值为2．（12分）点评：本题考查的是绝对值的性质，相反数及倒数的定义，代数式求值，熟知以上知识是解答此题的关键7．证明A=||x-y|+x+y-2z|+|x-y|+x+y+2z=4max{x ，y ，z}，其中max{x ，y ，z}表示x ，y ，z 这三个数中的最大者．7．考点：绝对值．专题：分类讨论．分析：欲证的等式中含有三个绝对值符号，且其中一个在另一个内，要把绝对值去掉似乎较为困难，但等式的另一边对我们有所提示，如果x 为x ，y ，z 中的最大者，即证A=4x ，依次再考虑y ，z 是它们中的最大值便可证得． 解答：证明：（1）当x ≥y ，x ≥z 时，A=|x-y+x+y-2z|+x-y+x+y+2z=2x-2z+2x+2z=4x ；（2）当y ≥z ，y ≥x 时，A=|y-x+x+y-2z|+y-x+x+y+2z=2y-2z+2y+2z=4y；（3）当z≥x，z≥y时，因为|x-y|+x+y=max{x，y}≤2z，所以A=2z-|x-y|-x-y+|x-y|+x+y+2z=4z．从而A=4max{x，y，z}．点评：本题考查的是绝对值的性质，即一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．在解答此题时要注意分类讨论．。

分式的基本运算内容 基本要求略高要求较高要求分式的概念 了解分式的概念，能确定分式有意义 的条件能确定使分式的值为零的条件分式的性质 理解分式的基本性质，并能进行简单 的变型能用分式的性质进行通分和约分分式的运算理解分式的加、减、乘、除运算法则会进行简单的分式加、减、乘、除运算， 会运用适当的方法解决与分式冇关的问题一、比例的性质： 比例的基本性质：- = -^ad = bc f 比例的两外项之积等于两内项之积. b d二、基本运算分式的乘法：- b分式的除法：y ,b d 乘方：纟上…工二亠^二―5为正整数） b b b b b ・b ・・・b b H ' ---------------- V n个整数指数幕运算性质： ⑴护（加、〃为整数）(1)a _ bl~~d ~b~a cl b—=— c a反比性（把比例的前项、后项交换）：-=-=>-=- b d a c，推广： —吐吃二空邑"为任意实数） b d b d刃 F 么 --------- =—（/? + d +…+ 〃工0）b + d + ・•・ + * b更比性（交换比例的内项或外项）：-=-=> b d人.a c a±b c±d 合比性：一=一=> —— b d b 等比性：如果-.b d（交换内项） （交换外项） （同时交换内外项）C _ d ・c ~d~~Tdcad ——=—x —=b c b ・ c ”个— 人 —a ・a ・・・d（2） （a my=a ,nn（m. n 为整数）（3） （ab ）n =a n b n5 为整数）（4） a m子a n= a m ~n（a 工0, m 、〃为整数）负整指数幕：一般地，当〃是正整数时，八=厶（心0）,即矿"（°工0）是占的倒数C / 分式的加减法法则:同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，-±-=^-异分母分式相加减，先通分，卄厶宀八门厶厶八 a =丄 上 . c ad , be ad ± be雯为同分母的分式再加减，-± —= — ± —= -----------b d bd bd bd分式的混合运算的运算顺序： 先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算. 结果以最简形式存在.—、乘除法1m^n ・—=加 n二、加减法【例6】（1级）（2010福建泉州）计算：-!- + — = __________________________d+1 d+12【例7】（2级）（2008杭州）化简 —— 的结果是（）y-x y —x【例1】（1级）下列运算中正确的是（ ） 【例2】（2级） （2010密云一模）化简：丄上1 + 1【例3】（2级）【例4】（2级）/ °、 £【例5】（2级）A. m n - m = mB.A. -x- yB. y —兀C- x- y【例8】（2级）计算：⑴竺11 一竺+匚竺（2）.v-+2x-6x + 3 3 + x x + 3 x* -16【例9】（1级）计算：ci + 9b a + 3b 3ab3ab【例10】（2级）化简：2a 1 a2-9a-3【例⑶（2级）（2010大兴一模）计算島-士【例14】（2级）计算：匚^ +芈― a - ab lr- ab 兀2+ 2 16-x2【例11】（2级）（201。