18版高中数学第二章统计2.3.1平均数及其估计学案苏教版必修3

2. 3.1平均数及其估计［学习目标］1•会求样本的平均数2运用样本的平均数来估计总体的平均水平.3•会应用相关知识解决简单的实际问题.訂知识梳理_______ 自主学习知识点一众数、中位数、平均数1 •众数、中位数、平均数定义(1) 众数：一组数据中重复岀现次数最多的数.(2) 中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置(或中间两个数的平均数)的数叫做这组数据的中位数.1⑶平均数：如果n个数X1, X2,…，X n,那么x = n(X1 + X2 +…+ x"叫做这n个数的平均数.2.若取值为X1, X2，…，X n的频率分别为P1 , P2,…，P n，则其平均数为X」P」土XR吐二^ X n P n.知识点二三种数字特征与频率分布直方图的关系众数众数是最高长方形的中点所对应的数据，表示样本数据的中心值中位数(1) 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积相等，由此可以估计中位数的值，但是有偏差；(2) 表示样本数据所占频率的等分线平均数(1) 平均数等于每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和；(2) 平均数是频率分布直方图的重心，是频率分布直方图的平衡点第2章绕计§2.3总体特征数的估计尹题型探究重点突破题型一平均数的计算例1 一个球队所有队员的身高如下(单位：cm):178,179,181,182,176,183,176,180,183,175,181,185,180,184，问这个球队的队员平均身高是多少？(精确到1cm)解方法一利用平均数的公式计算.— 1x = x (178 + 179+ 181 + …+ 180 + 184)141=14 x 2523 ~ 180(cm).方法二取a= 180,将上面各数据同时减去180,得到一组新数据：—2, - 1,1,2, - 4,3,—4,0,3 , —5,1,5,0,4.1 1 3x f = X (—2 —1 + 1 + 2 —4+ 3 —4+ 0+ 3 —5 + 1 + 5 + 0 + 4) = X 3= 心0.2,14 14 14二x = x ' + a= 0.2 + 180~ 180(cm).反思与感悟1•在一般情况下，要计算一组数据的平均数可使用“方法一”这个公式.2.当数据较大，且大部分数据在某一常数左、右波动时，“方法二”可以减少运算量，故此法比较简便.跟踪训练1在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：解在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是 1.75.上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数1据，即这组数据的中位数是 1.70;这组数据的平均数是x =石(1.50 X 2 + 1.60X 3+…+ 1.90 X 1) = 1.69(m).答17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为 1.75m , 1.70m,1.69m.题型二用样本平均数估计总体平均数尹题型探究重点突破例2某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40,50) , [50,60) , [60,70) , [70,80) , [80,90) , [90,100]后，画出如图部分频率分布直方图.观察图形，回答下列问题：(1) 求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2) 估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)；(3) 估计这次考试的平均分.解⑴因为各组的频率和为1，所以第四组的频率f4 = 1 —(0.025+ 0.015X 2+ 0.01 + 0.005) X 10 = 0.3.频率分布直方图如图所示：⑵依题意，60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和为0.75.所以估计这次考试及格率为75%.(3) 平均分为45X 0.1 + 55X 0.15 + 65 X 0.15+ 75 X 0.3+ 85 X 0.25+ 95 X 0.05 = 71.反思与感悟 1.当条件给出某几个范围内的数据的频数或频率时，可用组中值求近似平均数. 2•对连续型分布的有关问题，可用组中值法求样本数据的平均数，这种方法求得的平均值只是一个估计值.跟踪训练2某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.求：(1)高(2)咼一参赛学生的平均成绩.解(1)由图可知众数为65,又•/第一个小矩形的面积为0.3,•••设中位数为60 + x,贝U 0.3 + X X 0.04 = 0.5，得x= 5, •••中位数为60 + 5= 65.⑵依题意，平均成绩为55X 0.3 + 65X 0.4 + 75X 0.15 + 85 X 0.1 + 95 X 0.05= 67, •••平均成绩约为67.数学思想分类讨论思想的应用例3 某班有四个学习小组，各小组人数分别为10,10 , x,8，已知这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数.分析由于x未知，因此中位数不确定，需讨论.解该组数据的平均数为1(10+ 10+ x+ 8)=》28+ x),中位数是这4个数按从小到大的顺序排列后处在最中间两个数的平均数.1(1)当X W8时，原数据从小到大排序为X,8,10,10,中位数是9,由4(28 + x)= 9，得x= 8,符合题意，此时中位数是9;1 1 1⑵当8v x w 10时，原数据从小到大排序为8, x,10,10,中位数是2(x+ 10),由4(28 + x) = "(10 + x)，得x= 8,与8v x< 10矛盾，舍去;1⑶当x > 10时，原数据从小到大排序为 8,10,10, x ,中位数是10，由-(28 + x)=10,得x =1.下面是高一八班十位同学的数学测试成绩： 82,91,73,84,98,99,101,118,98,110,则该组数据的中位数是 _________ . 答案 98解析 将这组数据按从小到大排列为 73,82,84,91,98,98,99,101,110,118，则最中间的两个数为198,98，故中位数是 2(98 + 98) = 98. 2•在一段时间里，一个学生记录了其中 10天他每天完成家庭作业所需要的时间(单位：分钟)，结果如下80 70 70 70 60 6080 6060 70在这段时间里，该学生平均每天完成家庭作业所需时间是 _____________ . 答案 68解析 方法一 观察数据知：80出现2次，60与70各出现4次，又总次数为2 + 4 + 4= 10 , •••该学生平均每天完成家庭作业所需时间为 2X 80 + 4X 60 + 4X 70 2 + 4 + 4方法二 观察数据知所有数据均在 70附近波动，可将各数据同时减 70得一组新数据: 10,0,0,0,- 10,— 10,10,— 10,— 10,0 这组新数据的平均数为 2X 10+4X 0+4X=—2,2 + 4 + 4•该学生平均每天完成家庭作业所需时间为 70+ (— 2) = 68(分钟).综上所述，这组数据的中位数是 9 或 10.解后反思 当题目中含有参数， 论.且参数的不冋取值影响求解结果时， 需对参数的取值分类讨12,符合题意，此时中位数是 10. 自查自纠r 当堂检测=68(分钟).3•将一组数据同时减去 3.1,得到一组新数据，若原数据的平均数为x，则新数据的平均数是_________ •答案7 — 3.1解析设原来数据为a i, a2,…，a n,贝U a i+ a2+…+ a n= nx，从而新数据的平均数为a i —3.1 + a2—3.1 + …+ a n—3.1 n x —3.1nn n=x — 3.1.4 •某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量（单位：克）分别为150,152,153,149,148,146,151,150,152,147 ,由此估计这车苹果单个重量的平均值是 ___________ •答案149.8解析平均数为7 =150+ 152 + 153 + 149+ 148 + 146+ 151+ 150 + 152+ 147=149.8 克.5.已知1,2,3,4, X1, X2, X3的平均数是8，那么X1 + X2 + X3的值是____________ •答案46解析由条件知，1+ 2 + 3 + 4+ X1+ X2+ X3= 8 X 7.二X1 + X2 + X3= 46.「课堂孕结------------------------------------ 11.一组数据中的众数可能不止一个，众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是该数据出现的次数，如果两个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这两个数据都是这组数据的众数.2 •一组数据的中位数是唯一的，求中位数时，必须先将这组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数为奇数，那么，最中间的一个数据是这组数据的中位数，如果数据的个数为偶数，那么，最中间两个数据的平均数是这组数据的中位数.3•利用直方图求数字特征：①众数是最高的矩形的底边的中点•②中位数左右两边直方图的面积应相等•③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标乘积之和.。

2.3．1 平均数及其估计案例探究为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了地区内100名年龄为17.5~18岁的男生的体重情况,结果如下（单位:kg）根据上述数据我们可以画出样本的频率分布直方图,并对相应的总体分布作出估计.由于图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，这个图形的面积反映了数据落在各个小组的频率的大小.在得到了样本的频率后，就可以对相应的总体情况作出估计.例如从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，体重在（64.5，66.5）kg的学生比体重为其他值的学生数多，但他并没有告诉我们多多少.试问：怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心点”？能否用一个数值来描写样本数据的离散程度？初中我们曾经学过众数、中位数、平均数等各种数字特征.应当说，这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息.我们常用算术平均数∑=ni i a n 11（其中a i （i=1,2,…,n）为n 个实验数据）作为体重的最理想的近似值，它的依据是什么呢？处理实验数据的原则是使这个近似值与实验数据之间的离差最小，设这个近似值为x ，那么它与n 个实验值a i （i=1,2,…,n）的离差分别为－a 1，x －a 2，x －a 3,…,x－a n .由于上述离差有正有负，故不宜直接相加.可以考虑将各个离差的绝对值相加，研究|x-a 1|+|x-a 2|+…+|x -a n |取最小值时x 的值.但由于含有绝对值，运算不太方便，所以，考虑离差的平方和，即（x －a 1）2＋（x －a 2）2＋…＋（x －a n ）2， 当此和最小时，对应的x 的值作为近似值.因为（x －a 1）2＋（x －a 2）2＋…＋（x －a n ）2＝nx 2－2（a 1＋a 2＋…＋a n ）x+a 12+a 22+…+a n 2， 所以当x=n a a a n )(21+++ 时离差的平方和最小，故可用na a a n )(21+++ 作为表示体重的理想近似值，称其为这n 个数据a 1,a 2,…,a n 的平均数（average ）或均值（mean ），一般记为x =na a a n )(21+++ .这样，我们可以用计算器求得，该地区内100名年龄为17.5～18岁的男生的体重的最佳近似值为x ＝65.5（kg ）.这样我们就得到了样本平均数的求解方法： 样本数据的算术平均数，即x =nx x x n )(21+++ .Excel 中函数“AVERAGE （ ）”可直接用于计算给定数据的平均数.如求12，12．4，12．8，13，12．2，12．8，12．3，12．5，12．5的平均数，可直接把它们输到工作表中A1∶J1区域后，在某空白单元格中输入“＝AVERAGE （A1∶H1）”即可，即得它们的平均数为12．5（如下图）.自学导引1．在频率分布直方图中，众数是指最高矩形的中点的横坐标，中位数是指样本数据中累积频率为0.5时所对应的样本数据值，平均数是指样本数据的算术平均数 2．下列数字特征一定是数据组中数据的是（ ）A ．众数B ．中位数C ．标准差D ．平均数 答案：A3．数据：1，1，3，3的众数和中位数分别是（ ）A．1或3，2 B．3，2C．1或3，1或3 D．3，3答案：A4.频率分布直方图的重心是（）A．众数 B．中位数C．标准差 D．平均数答案：D疑难剖析【例1】某校高一年级的甲、乙两个班级（均为50人）的语文测试成绩如下：（总分：150）甲班：112 86 106 84 100 105 98 102 94 107 87 112 94 94 99 90 120 98 95 119 108 100 96 115 111 104 95 108 111 105 104 107 119 107 93 102 98 112 112 99 92 102 93 84 94 94 100 90 84 114 乙班：116 95 109 96 106 98 108 99 110 103 94 98 105 101 115 104 112 101 113 96 108 100 110 98 107 87 108 106 103 97 107 106 111 121 97 107 114 122 101 107 107 111 114 106 104 104 95 111 111 110试确定这次考试中，哪个班的语文成绩更好些.思路分析：我们可用一组数据的平均数衡量这组数据的水平，因此，分别求得甲、乙两个班级的平均分即可.解析：用科学计算器或计算机分别求得甲班的平均分为101．1，乙班的平均分为105.4，故这次考试乙班成绩要好于甲班.【例2】某教师出了一份共3道题的测试卷，每题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为0.3、0.5、0.1和0.1．（1）若全班共10人，则平均分是多少？（2）若全班共20人，则平均分是多少？（3）若该班人数未知，能求出该班的平均分吗？思路分析：上述所占比例就是各数据的频率.解：由题意，平均分＝3×0.3＋2×0.5＋1×0.1＝2．答：全班的平均分为2分思维启示：各数据频率确定时，平均数不受样本容量的影响.【例3】某工厂人员及工资构成如下表：（1）指出这个问题中周工资的众数、中位数、平均数；（2）这个问题中，平均数能客观地反映该工厂的工资水平吗？为什么？思路分析：根据众数、中位数、平均数各自的特点，选择合适的数据反映该厂的工资水平.解析：由表格可知：众数＝200， ∵23的中间位置众数是12， ∴中位数＝220.平均数=（2 200+1 500+1 100+2 000+100）÷23=300.虽然平均数为300元/周，但由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平.思维启示：平均数受数据中的极端值的影响较大，妨碍了对总体估计的可靠性，这时平均数反而不如众数、中位数更能反映客观情况.拓展迁移【拓展点1】 以往的招生统计数据显示，某大学录取的新生高考总分的中位数基本上稳定在550分.你的一位校友在今年的高考中得了520分，你是立即劝阻他报考这所大学，还是先查阅一下这所大学招生的其他信息？解释一下你的选择. 提示：应该查阅一下这所大学的其他招生信息，例如平均信息、最低录取分数线信息等，尽管该校友的分数位于中位数之下，而中位数本身并不能提供更多录取分数分布的信息.在已知最低录取分数线的情况下，很容易作出判断；在已知平均数的情况下，如果平均数小于中位数很多，则说明最低录取分数线较低，可以推荐该校友报考这所大学，否则还要获取其他的信息（如标准差的信息）来作出判断.【拓展点2】 在一次人才招聘会上，有一家公司的招聘员告诉你，“我们公司的收入水平很高”，“去年，在50名员工中，最高年收入达到了100万，他们年收入的平均数是3.5万”.如果你希望获得年薪2.5万元，（1）你是否能够判断自己可以成为此公司的一名高收入者？ （2）如果招聘员继续告诉你,“员工收入的变化范围是从0.5万到100万”，这个信息是否足以使你作出自己是否受聘的决定？为什么？（3）如果招聘员继续给你提供了如下信息，员工收入的中间0.5（即去掉最少的0.25和最多的0.25后所剩下的）的变化范围是1万到3万，你又该如何使用这条信息来作出是否受聘的决定？（4）你能估计出收入的中位数是多少吗？为什么均值比估计出的中位数高很多？ 答案：（1）不能，因为平均收入和最高收入相差太多，说明高收入的职工只占极少数.现在已经知道至少有一个人的收入为x 50＝100万元，那么其他员工的收入之和为∑=491i ix=3.5×50-100=75（万元），每人平均只有1.53万元.如果再有几个收入特别高者，那么初进公司的员工的工资会更低. （2）公司的员工的收入将会很低. （3）可以确定有0.75的员工工资在1万元以上，其中0.25的员工工资在3万元以上. （4）收入的中位数大约是2万元.因为有年收入100万这个极端值的影响，使得年平均收入比中位数高许多.。

2.3.1 平均数及其估计内容要求 1.会求样本的平均数(重点)；2.运用样本的平均数来估计总体的平均水平(重点)；3.会应用相关知识解决简单的实际问题(难点).知识点 众数、中位数、平均数(或均值) 1.众数、中位数、平均数(或均值)定义 (1)众数：一组数据中重复出现次数最多的数.(2)中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置(或中间两个数的平均数)的数叫做这组数据的中位数.(3)平均数(或均值)：如果n 个数x 1，x 2，…，x n ，那么x －＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )叫做这n 个数的平均数(或均值).2.若取值为x 1，x 2，…，x n 的频率分别为p 1，p 2，…，p n ，则其平均数为x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n .3.三种数字特征与频率分布直方图的关系众数众数是最高长方形的中点所对应的数据，表示样本数据的中心值 中位数(1)在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积相等，由此可以估计中位数的值，但是有偏差； (2)表示样本数据所占频率的等分线平均数(1)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和； (2)平均数是频率分布直方图的重心，是频率分布直方图的平衡点对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本为（12，15，20，22，23，23，31，32，34，34，38，39，45，45，45，47，47，48，48，49，50，50，51，51，54，57，59，61，67，68），则该样本的中位数、众数、平均数分别是________.解析 由题意知各数为12,15,20,22,23,23,31,32,34,34,38,39,45,45,45,47,47,48,48, 49,50，50,51,51,54,57,59,61,67,68，中位数是46，众数是45，最大数为68，最小数为12，平均数为42.2. 答案 46,45,42.2题型一 平均数的计算【例1】 已知样本数据：10,8,6,10,8,13,10,10,10,7,8,9,12,8,11,12,9,10,11,12，列出频率分布表，求样本平均数.解 极差为13－6＝7，取组距为2，分成4组，即[5.5,7.5)，[7.5,9.5)，[9.5,11.5)，[11.5,13.5]，列频率分布表如下：样本平均数x －＝120×(10＋8＋6＋10＋…＋11＋12)＝9.7.规律方法 1.在一般情况下，要计算一组数据的平均数可使用“平均数”公式.2.当数据较大，且大部分数据在某一常数左、右波动时，可先将各数减去同一个常数计算新数据的平均数，则所求平均数为新数据的平均数加上（减去）同一个常数，这种方法可以减少运算量，故此法比较简便.【训练1】 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：解 在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是 1.70；这组数据的平均数是x －＝117(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝28.7517≈1.69(m).故17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m ，1.70 m,1.69 m. 题型二 用样本平均数估计总体平均数【例2】 (1)一个球队所有队员的身高如下(单位：cm)： 178,179,181,182,176,180,176,180,183,175,181,185,180,184. 问这个球队的队员平均身高是多少？(2)有容量为100的样本，数据分组及各组的频数、频率如下：[12.5,14.5)，6,0.06；[14.5,16.5)，16,0.16；[16.5,18.5)，18,0.18；[18.5,20.5)，22,0.22；[20.5,22.5)，20,0.20；[22.5,24.5)，10,0.10；[24.5,26.5]，8,0.08. 试估计总体的平均数.解 (1)法一 利用平均数的定义计算.x －＝114×(178＋179＋181＋182＋176＋180＋176＋180＋183＋175＋181＋185＋180＋184)＝114×2 520＝180. 所以该球队的队员平均身高为180 cm. 法二 利用新数据法进行计算.取a ＝180，将各数据减去180，得到一组新数据： －2，－1,1,2，－4,0，－4,0,3，－5,1,5,0,4.x －′＝114×(－2－1＋1＋2－4＋0－4＋0＋3－5＋1＋5＋0＋4)＝114×0＝0，∴x －＝x －′＋a ＝0＋180＝180.故该球队的队员平均身高为180 cm. (2)法一1100×(13.5×6＋15.5×16＋17.5×18＋19.5×22＋21.5×20＋23.5×10＋25.5×8)＝19.42.故总体的平均数约为19.42.法二 13.5×0.06＋15.5×0.16＋17.5×0.18＋19.5×0.22＋21.5×0.20＋23.5×0.10＋25.5×0.08＝19.42. 故总体的平均数约为19.42.规律方法 1.当条件给出某几个范围内的数据的频数或频率时，可用组中值求近似平均数. 2.对连续型分布的有关问题，可用组中值法求样本数据的平均数，这种方法求得的平均值只是一个估计值.【训练2】 某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.求：(1)高一参赛学生成绩的众数、中位数； (2)高一参赛学生的平均成绩. 解 (1)由图可知众数为65， 又∵第一个小矩形的面积为0.3，∴设中位数为60＋x ，则0.3＋x ×0.04＝0.5，得x ＝5， ∴中位数为60＋5＝65.(2)依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，∴平均成绩约为67.方向1 频率分布直方图中众数、中位数的考查【例3－1】 某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则从月平均用电量在[220，240)内的用户中应抽取多少户？解 (1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)×20＝1， 得x ＝0.007 5，∴直方图中x 的值为0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240)内，设中位数为a ，则(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a －220)＝0.5，解得a ＝224，即中位数为224.(3)月平均用电量在[220，240)内的用户有0.012 5×20×100＝25(户)，同理可求月平均用电量为[240，260)，[260，280)，[280，300]的用户分别有15户、10户、5户，故抽样比为1125＋15＋10＋5＝15.∴从月平均用电量在[220，240)内的用户中应抽取25×15＝5(户)．方向2 频率分布表与特征数综合【例3－2】 已知50名同学参加数学竞赛成绩的分组及各组的频数如下：(单位：分) [40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8. 列出样本的频率分布表并求这50名同学的平均分.解 由于每组的数据是一个范围，所以可用各组区间的组中值近似地表示该组平均成绩. 频率分布表如下：成绩分组 频数 频率 [40,50) 2 0.04 [50,60) 3 0.06 [60,70) 10 0.20 [70,80) 15 0.30 [80,90) 12 0.24 [90,100] 8 0.16 合计501.00法一 总成绩约为45×2＋55×3＋65×10＋75×15＋85×12＋95×8＝3 810(分)， 故这50名同学的平均分约为3 810÷50＝76.2(分). 法二 求组中值与对应频率之积的和.45×0.04＋55×0.06＋65×0.20＋75×0.30＋85×0.24＋95×0.16＝76.2(分). 即这50名同学的平均分约是76.2分. 方向3 频率分布直方图与特征数的综合【例3－3】 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]后，画出如图部分频率分布直方图.观察图形回答下列问题：(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)；(3)估计这次考试的平均分.解 (1)因为各组的频率和为1，所以第四组的频率f 4＝1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.3. 频率分布直方图如图所示：(2)依题意，60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和为0.75. 所以估计这次考试及格率为75%. (3)平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.规律方法 1.已知样本数据是以某几个范围内的频数的形式给出时，通常用组中值代表相应范围内数据的平均值，然后根据样本平均数的计算公式求得近似平均数. 2.利用直方图求数字特征时： (1)众数是最高的矩形底边的中点；(2)中位数左、右两边直方图的面积应该相等；(3)平均数等于每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标乘积之和.课堂达标1.给定数据5,9,8,10,13的平均数为________. 解析 平均数x －＝15×(5＋9＋8＋10＋13)＝9.答案 92. 某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中得分为8，9，11，12，12，12，13，13，14，16，17，18，19，20，21，21，21，23，23，23，23，25，25，27，28，28，30，31，32，32，33，34，34，38，39，40，41，43，45，46，则中位数与众数分别为________、________. 解析 这40个数据中中间两个数据都是23. 因此中位数为23＋232＝23.这40个数据中23出现的次数最多共4次，因此众数为23. 答案 23 233.某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量(单位：克)分别为150,152,153,149,148,146,151,150,152,147，由此估计这车苹果单个重量的平均值是________.解析 平均数为x －＝150＋152＋153＋149＋148＋146＋151＋150＋152＋14710＝149.8克. 答案 149.8克4.将一组数据同时减去 3.1，得到一组新数据，若原数据的平均数为x －，则新数据的平均数是________.解析 设原来数据为a 1，a 2，…，a n ，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝nx －，从而新数据的平均数为a 1－3.1＋a 2－3.1＋…＋a n －3.1n ＝nx －－3.1nn＝x －－3.1. 答案 x －－3.15.某班进行一次考核，满分5分，3分(包括3分)以上为合格，得1分，2分，3分，4分，5分的人数占该班总人数的比例分别为5%,10%,35%,40%和10%，试求该班的平均得分. 解 该班的平均得分为x －＝1×0.05＋2×0.10＋3×0.35＋4×0.40＋5×0.10＝3.4(分).课堂小结1.一组数据中的众数可能不止一个，众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是该数据出现的次数，如果两个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这两个数据都是这组数据的众数.2.一组数据的中位数是唯一的，求中位数时，必须先将这组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数为奇数，那么，最中间的一个数据是这组数据的中位数，如果数据的个数为偶数，那么，最中间两个数据的平均数是这组数据的中位数.3.利用直方图求数字特征：①众数是最高矩形的底边中点.②中位数左右两边直方图的面积应相等.③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标乘积之和.4.求平均数的方法(1)定义法：已知x 1，x 2，x 3，…，x n 为某样本的n 个数据，则这n 个数据的平均数为x －＝x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n n.(2)利用平均数的性质：如果x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，…，mx n ＋a 的平均数是m x －＋a .(3)加减常数法：数据x 1，x 2，…，x n 都比较大或比较小，且x 1，x 2，…，x n 在固定常数a 附近波动，将原数据变化为x 1±a ，x 2±a ，…，x n ±a ，新数据的平均数为x －′，则所求原数据的平均数为x －′∓a .(4)加权平均数法：样本中，数据x 1有m 1个，x 2有m 2个，…，x k 有m k 个，则x －＝m 1x 1＋m 2x 2＋…＋m k x km 1＋m 2＋…＋m k.基础过关1.已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为________. 解析 x －＝4＋6＋5＋8＋7＋66＝6.答案 62. 某市对上、下班交通情况作抽样调查，上、下班时间各抽取了12辆机动车行驶时速(km/h)分别为上班时间：18，20，21，26，27，28，28，30，32，33，35，40；下班时间：16，17，19，22，25，27，29，29，30，30，32，36，则上、下班时间的中位数分别是________和________.解析 将两组数据分别按从小到大排列，如上班时间的数据为18,20,21,26,27,28,28,30,32,33,35,40，找出中间两个数为28,28，则其中位数为28，同理得出下班时间的中位数为28. 答案 28 283.在一段时间里，一个学生记录了其中10天他每天完成家庭作业所需要的时间，结果如下(单位：分钟)：80,70,70,70,60,60,80,60,60,70.在这段时间里，该学生平均每天完成家庭作业所需时间是________(分钟).解析 法一 观察数据知：80出现2次，60与70各出现4次，又总次数为2＋4＋4＝10， ∴该学生平均每天完成家庭作业所需时间为2×80＋4×60＋4×7010＝68(分钟).法二 观察数据知所有数据均在70附近波动，可将各数据同时减70得一组新数据： 10,0,0,0，－10，－10,10，－10，－10,0 这组新数据的平均数为2×10＋4×0＋4×－102＋4＋4＝－2，∴该学生平均每天完成家庭作业所需时间为70＋(－2)＝68(分钟). 答案 684.已知1,2,3,4，x 1，x 2，x 3的平均数是8，那么x 1＋x 2＋x 3的值是________. 解析 由条件知，1＋2＋3＋4＋x 1＋x 2＋x 3＝8×7. ∴x 1＋x 2＋x 3＝46. 答案 465.某台机床加工的1 000只产品中次品数的频率分布如下表：解析数据x i出现的频率为p i(i＝1,2，…，n)，则x1，x2，…，x n的平均数为x1p1＋x2p2＋…＋x n p n.因此次品数的平均数为0×0.5＋1×0.2＋2×0.05＋3×0.2＋4×0.05＝1.1.由频率知次品数的众数为0.答案0,1.16.从一批机器零件毛坯中随机抽取20件，称得它们的质量(单位：kg)如下：210 208 200 205 202 218 206 214 215207 195 207 218 192 202 216 185 227187 215计算样本平均数，并估计这批机器零件毛坯的平均质量(结果精确到个位).解法一由题中数据得x－＝120×(210＋208＋…＋215)＝4 12920≈206(kg)，即样本平均数约为206 kg.法二将原数据中的各数据都减去200，得到一组新数据：10 8 0 5 2 18 6 14 15 7－5 7 18 －8 2 16 －15 27 －13 15新数据的平均数为x－′＝120×(10＋8＋…＋15)＝12920＝6.45，∴样本数据的平均数是x－＝x－′＋200≈206(kg).于是估计这批机器零件毛坯的平均质量约为206 kg.7.某地用随机抽样的方法检查了630名50岁～60岁女性血清甘油三酯含量(mg/dl)，频率分布表如下表所示，分别用频数和频率计算这630名女性血清甘油三酯含量的平均值.解 法一 设m i 表示第i 组的频数，x i 表示第i 组的组中值，f i 表示第i 组的频率.由各分组的组中值x 1，x 2，…，x 11分别是25,55，…，325，用频数计算时，血清甘油三酯含量的平均值x －＝1630∑i ＝111m i x i＝1630(27×25＋169×55＋…＋1×325)＝65 370630≈103.8. 法二 用频率计算时，血清甘油三酯含量的平均值x －＝∑i ＝111f i x i ＝0.043×25＋0.268×55＋…＋0.002×325≈103.8.能力提升8. 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分分别为甲：13，23，26，28，37，39，41；乙：24，25，32，36，37，45，47，那么甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是________. 解析 甲的中位数是28，乙的中位数是36，则两人比赛得分的中位数之和为64. 答案 649.若x 1，x 2，…，x 10的平均数为a ，x 11，x 12，…，x 50的平均数为b ，则x 1，x 2，…，x 50的平均数是________.解析 由题意知前10个数的总和为10a ，后40个数的总和为40b ，又总个数为50， ∴x 1，x 2，…，x 50的平均数为10a ＋40b 50＝a ＋4b5. 答案a ＋4b510.青少年视力水平的下降已引起全社会的关注，为了了解某中学毕业年级300名学生的视力情况，从中抽测了一部分学生的视力，进行数据整理如下： 频率分布表若视力在 4.85________.解析 300×(0.36＋0.02)＝114(名)答案 11411.某班有四个学习小组，各小组人数分别为10,10，x,8，已知这组数据的中位数与平均数相等，则这组数据的中位数为________.解析 由于x 未知，因此中位数不确定，需讨论.该组数据的平均数为14(10＋10＋x ＋8)＝14(28＋x )，中位数是这4个数按从小到大的顺序排列后处在最中间两个数的平均数.(1)当x ≤8时，原数据从小到大排序为x,8,10,10，中位数是9，由14(28＋x )＝9，得x ＝8，符合题意，此时中位数是9；(2)当8＜x ≤10时，原数据从小到大排序为8，x,10,10，中位数是12(x ＋10)，由14(28＋x )＝12(10＋x )，得x ＝8，与8＜x ≤10矛盾，舍去； (3)当x ＞10时，原数据从小到大排序为8,10,10，x ，中位数是10，由14(28＋x )＝10，得x ＝12，符合题意，此时中位数是10.综上所述，这组数据的中位数是9或10.答案 9或1012.高一(3)班有男同学27名，女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分.(1)求这次测验全班的平均分(精确到0.01)；(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人？(3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么？解 (1)利用平均数计算公式得x －＝148(82×27＋80×21)≈81.13(分). (2)∵男同学的中位数是75，∴至少有14人得分不超过75分.又∵女同学的中位数是80，∴至少有11人得分不超过80分.∴全班至少有25人得分低于80分(含80分).(3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学中两极分化现象严重，得分高的和低的相差较大.13.(选做题)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h).试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41.6 0.5 1.8 0.62.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5分别计算两组数据的平均数，从计算结果看哪种药的疗效更好？解设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y.由观测结果可得x＝120×(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3.y＝120×(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得x＞y，因此可看出A药的疗效更好.。

2.3.平均数及其估计-苏教版必修3教案一、教学目标1.了解平均数的概念；2.能够计算一组数据的算术平均数；3.了解样本平均数与总体平均数的区别；4.能够利用样本平均数估计总体平均数；5.能够应用平均数进行数据分析。

二、教学重点1.平均数的概念；2.计算算术平均数；3.样本平均数与总体平均数的区别；4.利用样本平均数估计总体平均数。

三、教学难点1.样本平均数与总体平均数的关系；2.样本容量大小对估计总体平均数的影响。

四、教学过程1. 导入（5分钟）老师分析一下平时的生活中，我们对平均数的概念是如何应用的，引入平均数的定义，让学生了解算术平均数的定义和意义。

2. 讲解平均数和算术平均数（30分钟）1.定义总体和样本；2.定义离差；3.计算算术平均数的方法；4.计算离差平方和；5.讲解求平均数的实际应用。

3. 总体平均数和样本平均数（20分钟）1.定义总体平均数和样本平均数；2.讲解两者之间的区别和联系。

4. 样本平均数估计总体平均数（25分钟）1.讲解样本平均数估计总体平均数的原理；2.计算样本平均数；3.计算总体平均数的估计值。

5. 平均数在数据分析中的应用（20分钟）1.比较两组数据的平均数大小；2.根据平均数进行数据分类。

6. 练习（30分钟）老师在课堂上出几个练习题，带领学生一起完成。

五、作业1.完成教师留下的练习题；2.独立完成苏教版必修3练习册P49的练习题。

六、教学反思本节课对于平均数的概念和计算方法进行了系统全面的讲解，为学生理解后续数学知识打下坚实的基础。

但是，在讲解估计总体平均数时，学生难以跟随老师的思路理解，需要再次强化练习。

下节课，需要对已讲授的知识点进行复习。

2．3.1 平均数及其估计学习目标 1.理解平均数为什么是“最理想”的近似值；2.会计算一组数据的平均数；3.会根据频率分布表或频率分布直方图估计平均数．知识点一 平均数思考 处理实验数据的原则是使近似值与实验数据越接近越好．但是实验数据往往很多，怎么刻画“最近”呢？梳理 一般地，使(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ，最小的x ＝________________称为这个n 个数据a 1，a 2，…，a n 的平均数或均值． 知识点二 平均数的估计思考 在频率分布表里，还能看到原始数据吗？怎样根据频率分布表计算平均数？梳理 一般地，若取值为x 1，x 2，…，x n 的频率分别为p 1，p 2，…，p n ，则其平均数为______________________．类型一 平均数的计算例1 样本(x 1，x 2，…，x n )的平均数为x ，样本(y 1，y 2，…，y m )的平均数为y (x ≠y )．若样本(x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y m )的平均数z ＝αx ＋(1－α)y ，其中0<α<12，则m ，n 的大小关系为________．反思与感悟 计算平均数时要紧扣定义，搞清楚总共有几组数据．跟踪训练1 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：求这些运动员成绩的平均数．类型二利用频率分布表或直方图估计平均数例2 下面是某校学生日睡眠时间(单位：h)的抽样频率分布表，试估计该校学生的日平均睡眠时间．反思与感悟一般地，若取值为x1，x2，…，x n的频率分别为p1，p2，…，p n，则其平均数为x1p1＋x2p2＋…＋x n p n.跟踪训练2 一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，球的直径频率分布直方图如图．试估计这个样本的平均数．类型三众数、中位数、平均数的简单应用例3 某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下表：(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；(2)若董事长、副董事长的工资分别从5 500元、5 000元提升到30 000元、20 000元，那么公司职工的月工资的新的平均数、中位数和众数又是什么？(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的工资水平？反思与感悟如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中极端数据的信息，帮助我们作出决策．跟踪训练3 某课外活动小组对该市空气含尘进行了调查，下面是一天每隔两小时测得的数据：0.03、0.03、0.04、0.05、0.01、0.03(单位：g/m3)(1)求出这组数据的众数和中位数；(2)若国标(国家环保局的标准)是平均值不得超过0.025g/m3，问这一天城市空气是否符合国标？1．下列说法错误的是________．(填序号)①在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体；②一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据；③平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势；④众数是一组数据中出现次数最多的数．2．一个样本数据按从小到大的顺序排列为13，14，19，x，23，27，28，31，其中位数为22，则x为________．3．样本容量为100的频率分布直方图如图所示，根据样本频率分布直方图，则平均数为________．4．某高校有甲，乙两个数学建模兴趣班，其中甲班40人，乙班50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是______分．1．能反映总体某种特征的量称为总体特征数，如平均数，中位数，使总体特征数通常难以获得，故常以样本特征数估计总体特征数．2．平均数是离差平方和最小的近似值，计算器、计算机均有专门的程序，手工计算要细致，不要漏加或重复．3．若数据x i 的频率为p i (i ＝1，2，…，n )，则x ＝ i ＝1nx i p i ，该值公式可以用在频率分布表中估计平均数．答案精析问题导学 知识点一思考 设近似值为x ，实验数据为a i (i ＝1，2，…，n )，因为x －a i 有正有负，故用(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2来刻画近似值与实验数据最接近． 梳理a 1＋a 2＋…＋a nn知识点二思考 在频率分布表里，已看不到原始数据，但可用各区间的组中值近似地表示． 梳理 x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 题型探究 例1 n <m 解析 x ＝x 1＋x 2＋…＋x nn，y ＝y 1＋y 2＋…＋y mm，z ＝x 1＋x 2＋…＋x n ＋y 1＋y 2＋…＋y mm ＋n ，则z ＝n x ＋m ym ＋n ＝n m ＋nx ＋m m ＋ny .由题意知0<nm ＋n <12，∴n <m . 跟踪训练 1 解 平均数是x ＝117(1.50×2＋1.60×3＋1.65×2＋1.70×3＋1.75×4＋1.80×1＋1.85×1＋1.90×1) ＝28.7517≈1.69(m)． 例2 解 方法一 总睡眠时间约为6.25×5＋6.75×17＋7.25×33＋7.75×37＋8.25×6＋8.75×2＝739(h)．故平均睡眠时间约为7.39 h.方法二 求组中值与对应频率之积的和．6．25×0.05＋6.75×0.17＋7.25×0.33＋7.75×0.37＋8.25×0.06＋8.75×0.02＝7.39(h)． 答 估计该校学生的日平均睡眠时间约为7.39 h.跟踪训练2 解 平均数为39.96×0.1＋39.98×0.2＋40×0.5＋40.02×0.2＝39.996.例3 解 (1)公司职工月工资的平均数为x ＝5 500＋5 000＋3 500×2＋3 000＋2 500×5＋2 000×3＋1 500×2033＝69 00033≈2 091(元)． 若把所有数据从大到小排序，则得到中位数是1 500元，众数是1 500元． (2)若董事长、副董事长的工资提升后，职工月工资的平均数为x ＝30 000＋20 000＋3 500×2＋3 000＋2 500×5＋2 000×3＋1 500×2033＝108 50033≈3 288(元)． 中位数是1 500元，众数是1 500元．(3)在这个问题中，中位数和众数都能反映出这个公司职工的工资水平，因为公司少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司职工的工资水平．跟踪训练3 解 (1)由题意知，众数是0.03，中位数为0.03. (2)这一天数据平均数是0.03， ∵0.03＞0.025，∴这一天该城市空气不符合国标． 当堂训练 1．②解析 平均数不大于最大值，不小于最小值． 2．21解析 数据个数为偶数时，中位数为中间两数的平均值x ＋232＝22，所以x ＝21.3．14.84解析 平均数x ＝10×0.06＋12×0.1＋14×0.4＋16×0.24＋18×0.2＝14.84. 4．85解析 平均成绩为40×90＋50×8190＝85(分)．。

§2.3 总体特征数的估计 2．3.1 平均数及其估计学习目标 1.了解平均数为什么是“最理想”的近似值.2.会计算一组数据的平均数.3.会根据频率分布表或频率分布直方图估计平均数．知识点一 平均数思考 处理实验数据的原则是使近似值与实验数据越接近越好．但是实验数据往往很多，怎么刻画“最近”呢？★答案★ 设近似值为x ，实验数据为a i (i ＝1,2，…，n )，因为x －a i 有正有负，故用(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2来刻画近似值与实验数据最接近．梳理 (1)一般地，使(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ，最小的x ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 称为这个n 个数据a 1，a 2，…，a n 的平均数或均值． (2)n 个数据a 1，a 2，a 3，…，a n 的平均数 a ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn.知识点二 平均数的估计思考 在频率分布表里，还能看到原始数据吗？怎样根据频率分布表计算平均数？ ★答案★ 在频率分布表里，已看不到原始数据，但可用各区间的组中值近似地表示． 梳理 一般地，若取值为x 1，x 2，…，x n 的频率分别为p 1，p 2，…，p n ，则其平均数为x ＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n . 知识点三 总体特征数 1．总体特征数的定义在数学中，通常把能反映总体某种特征的量称为总体特征数． 2．常见的总体特征数(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．(2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数．如果数据的个数是偶数，则取中间两个数的平均数．(3)平均数：n 个数据x 1，x 2，x 3，…，x n ，则平均数x ＝x 1＋x 2＋…＋x nn.1．中位数是一组数据中间的数．( × ) 2．众数是一组数据中出现次数最多的数．( √ )3．如果在n 个数据中，x 1，x 2，…，x n 出现的频率分别为f 1，f 2，…，f n ，则x ＝x 1f 1＋x 2f 2＋…＋x n f nn.( × )类型一 平均数的计算例1 一个球队所有队员的身高如下(单位：cm)：178,179,181,182,176,183,176,180,183,175,181,185,180,184，问这个球队的队员平均身高是多少？(精确到1 cm)解 方法一 利用平均数的公式计算． x ＝114×(178＋179＋181＋…＋180＋184)＝114×2 523≈180(cm)． 方法二 取a ＝180，将上面各数据同时减去180，得到一组新数据：－2，－1,1,2，－4,3，－4,0,3，－5,1,5,0,4.x ′＝114×(－2－1＋1＋2－4＋3－4＋0＋3－5＋1＋5＋0＋4)＝114×3＝314≈0.2，∴x ＝x ′＋a ＝0.2＋180≈180(cm)．反思与感悟 (1)在一般情况下，要计算一组数据的平均数可使用“方法一”这个公式． (2)当数据较大，且大部分数据在某一常数左、右波动时，“方法二”可以减少运算量，故此法比较简便．跟踪训练1 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：求这些运动员成绩的平均数． 解 平均数是x ＝117(1.50×2＋1.60×3＋1.65×2＋1.70×3＋1.75×4＋1.80×1＋1.85×1＋1.90×1)＝28.7517≈1.69(m)．类型二利用频率分布表或直方图估计平均数例2下面是某校学生日睡眠时间(单位：h)的抽样频率分布表，试估计该校学生的日平均睡眠时间.解方法一总睡眠时间约为 6.25×5＋6.75×17＋7.25×33＋7.75×37＋8.25×6＋8.75×2＝739(h)．故平均睡眠时间约为7.39 h.方法二求组中值与对应频率之积的和．6．25×0.05＋6.75×0.17＋7.25×0.33＋7.75×0.37＋8.25×0.06＋8.75×0.02＝7.39(h)．答估计该校学生的日平均睡眠时间约为7.39 h.反思与感悟一般地，若取值为x1，x2，…，x n的频率分别为p1，p2，…，p n，则其平均数为x1p1＋x2p2＋…＋x n p n.跟踪训练2一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，球的直径频率分布直方图如图．试估计这个样本的平均数．解平均数为39.96×0.1＋39.98×0.2＋40×0.5＋40.02×0.2＝39.996.类型三众数、中位数、平均数的简单应用例3某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下表：(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；(2)若董事长、副董事长的工资分别从5 500元、5 000元提升到30 000元、20 000元，那么公司职工的月工资的新的平均数、中位数和众数又是什么？ (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的工资水平？ 解 (1)公司职工月工资的平均数为 x ＝5 500＋5 000＋3 500×2＋3 000＋2 500×5＋2 000×3＋1 500×2033＝69 00033≈2 091(元)．若把所有数据从大到小排序，则得到中位数是1 500元，众数是1 500元． (2)若董事长、副董事长的工资提升后，职工月工资的平均数为x ＝30 000＋20 000＋3 500×2＋3 000＋2 500×5＋2 000×3＋1 500×2033＝108 50033≈3 288(元)．中位数是1 500元，众数是1 500元．(3)在这个问题中，中位数和众数都能反映出这个公司职工的工资水平，因为公司少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司职工的工资水平．反思与感悟 如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中极端数据的信息，帮助我们作出决策．跟踪训练3 今年西南一地区遭遇严重干旱，某乡计划向上级申请支援，为上报需水量，乡长事先抽样调查了100户村民的月均用水量，得到这100户村民月均用水量的频率分布表如表所示：(月均用水量的单位：吨)(1)请完成该频率分布表，并画出相对应的频率分布直方图和频率分布折线图； (2)估计样本的中位数是多少？(3)已知上级将按每户月均用水量向该乡调水，若该乡共有1 200户，请估计上级支援该乡的月调水量是多少吨？解 (1)频率分布表与相应的频率分布直方图和频率分布折线图如下：(2)设中位数为x，因为月均用水量在[0.5,4.5)内的频率是(0.06＋0.12)×2＝0.36，月均用水量在[0.5,6.5)内的频率是(0.06＋0.12＋0.20)×2＝0.76，所以x∈[4.5,6.5)，则(x－4.5)×0.20＝0.5－0.36，解得x＝5.2.故样本的中位数是5.2.(3)该乡每户月均用水量估计为1．5×0.12＋3.5×0.24＋5.5×0.40＋7.5×0.18＋9.5×0.06＝5.14(吨)．5．14×1 200＝6 168(吨)．所以估计上级支援该乡的月调水量是6 168吨．1．下列说法错误的是________．(填序号)①在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体；②一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据；③平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势；④众数是一组数据中出现次数最多的数．★答案★②解析平均数不大于最大值，不小于最小值．2．下面是高一八班十位同学的数学测试成绩：82,91,73,84,98,99,101,118,98,110，则该组数据的中位数是________．★答案★98解析 将这组数据按从小到大排列为73,82,84,91,98,98,99,101,110,118，则最中间的两个数为98,98，故中位数是12(98＋98)＝98.3．一个样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，则x 为________． ★答案★ 21解析 数据个数为偶数时，中位数为中间两数的平均值x ＋232＝22，所以x ＝21.4．某高校有甲，乙两个数学建模兴趣班，其中甲班40人，乙班50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是______分． ★答案★ 85解析 平均成绩为40×90＋50×8190＝85(分)．5．样本容量为100的频率分布直方图如图所示，根据样本频率分布直方图，则平均数为________．★答案★ 14.84解析 平均数x ＝10×0.06＋12×0.1＋14×0.4＋16×0.24＋18×0.2＝14.84.1．能反映总体某种特征的量称为总体特征数，如平均数，中位数，使总体特征数通常难以获得，故常以样本特征数估计总体特征数．2．平均数是离差的平方和最小的近似值，计算器、计算机均有专门的程序，手工计算要细致，不要漏加或重复．3．若数据x i 的频率为p i (i ＝1,2，…，n )，则x ＝ i ＝1nx i p i ，该值公式可以用在频率分布表中估计平均数．一、填空题1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数为________． ★答案★ 87解析 平均数是110×(100＋95＋2×90＋4×85＋80＋75)＝87.∴平均数是87.2．已知一组数据为－3,5,7，x,11，且这组数据的众数为5，那么数据的中位数是________． ★答案★ 5解析 这组数据的众数为5，则5出现的次数最多，所以x ＝5，那么这组数据从小到大排列为－3,5,5,7,11，则中位数为5.3．已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则a ，b ，c 的大小关系为________． ★答案★ c >b >a解析 由题意a ＝110(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝15710＝15.7，中位数为16，众数为18，即b ＝16，c ＝18， 所以c >b >a .4．某台机床加工的1 000只产品中次品数的频率分布如下表：则次品数的众数，平均数依次为________． ★答案★ 0,1.1解析 由于次品数为0的频率最大，所以众数为0；数据x i 出现的频率为p i (i ＝1,2，…，n )，则x 1，x 2，…，x n 的平均数为x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ＝0×0.5＋1×0.2＋2×0.05＋3×0.2＋4×0.05＝1.1.5．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为________． ★答案★ －3解析 少输入90，9030＝3，平均数少3，求出的平均数减去实际的平均数等于－3.6．有容量为100的样本，数据分组及各组的频数、频率如下：[12.5,14.5)，6,0.06；[14.5,16.5)，16,0.16；[16.5，18.5)，18,0.18；[18.5,20.5)，22,0.22；[20.5,22.5)，20,0.20；[22.5,24.5)，10,0.10；[24.5,26.5)，8,0.08.则估计总体的平均数为________．★答案★19.42解析由于每组数据是一个范围，所以可以用组中值近似地表示平均数．方法一总体的平均数约为1100(13.5×6＋15.5×16＋17.5×18＋19.5×22＋21.5×20＋23.5×10＋25.5×8)＝19.42.故总体的平均数约为19.42.方法二组中值与对应频率积的和为13.5×0.06＋15.5×0.16＋17.5×0.18＋19.5×0.22＋21.5×0.20＋23.5×0.10＋25.5×0.08＝19.42.故总体的平均数约为19.42.7．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.40,0.15,0.10,0.05.则估计高一参赛学生的成绩的众数、中位数分别为________，________.★答案★6565解析由图可知众数为65，又∵第一个小矩形的面积为0.3，∴设中位数为60＋x，则0.3＋x×0.04＝0.5，得x＝5，∴中位数为60＋5＝65.8．已知样本数据x1，x2，…，x10，其中x1，x2，x3的平均数为a，x4，x5，x6，…，x10的平均数为b，则样本数据的平均数为________．★答案★3a＋7b 10解析前3个数据的和为3a，后7个数据的和为7b，样本平均数为10个数据的和除以10. 9．某商店的大米价格是3.00元/千克，面粉价格是3.60元/千克，大米与面粉的销量分别是1 000千克，500千克，则该商店出售的粮食的平均价格是______元/千克．★答案★ 3.20解析 平均价格为11 500(3.60×500＋3.00×1 000)＝1.20＋2.00＝3.20(元/千克)．10．若有一个企业，70%的员工年收入1万，25%的员工年收入3万，5%的员工年收入11万，则该企业员工的年收入的平均数是________万，中位数是________万，众数是________万．★答案★ 2 1 1解析 年收入的平均数是1×70%＋3×25%＋11×5%＝2(万)．中位数与众数都是1万． 11．某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h ，1 020 h ，1 032 h ，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为________ h. ★答案★ 1 013 解析 依题意可知平均数x ＝980×1＋1 020×2＋1 032×11＋2＋1＝1 013(h)．二、解答题12．某地区全体九年级的3 000名学生参加了一次科学测试，为了估计学生的成绩，从不同学校的不同程度的学生中抽取了100名学生的成绩如下：100分12人，90分30人，80分18人，70分24人，60分12人，50分4人． 请根据以上数据估计该地区3 000名学生的平均分、合格率(60或60分以上均属合格)． 解 平均分为100×12＋90×30＋80×18＋70×24＋60×12＋50×4100＝79.40(分)，(12＋30＋18＋24＋12)÷100＝96%，所以样本的平均分是79.40分，合格率是96%，由此来估计总体3 000名学生的平均分是79.40分，合格率是96%.13．为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)，试验的观测结果如下： 服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3．5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2．3 2.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1．4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2．7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ (2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？解 (1)x A ＝120(0.6＋1.2＋2.7＋1.5＋2.8＋1.8＋2.2＋2.3＋3.2＋3.5＋2.5＋2.6＋1.2＋2.7＋1.5＋2.9＋3.0＋3.1＋2.3＋2.4)＝2.3(h)． x B ＝120(3.2＋1.7＋1.9＋0.8＋0.9＋2.4＋1.2＋2.6＋1.3＋1.4＋1.6＋0.5＋1.8＋0.6＋2.1＋1.1＋2.5＋1.2＋2.7＋0.5)＝1.6(h)．从计算结果看，A 药服用者的睡眠时间增加的平均数大于服用B 药的，所以A 药的疗效更好． (2)从茎叶图看，A 药的疗效更好． 三、探究与拓展14．某班有四个学习小组，各小组人数分别为10,10，x,8，已知这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数．解 该组数据的平均数为14(10＋10＋x ＋8)＝14(28＋x )，中位数是这4个数按从小到大的顺序排列后处在最中间两个数的平均数．(1)当x ≤8时，原数据从小到大排序为x,8,10,10，中位数是9，由14(28＋x )＝9，得x ＝8，符合题意，此时中位数是9；(2)当8＜x ≤10时，原数据从小到大排序为8，x,10,10，中位数是12(x ＋10)，由14(28＋x )＝12(10＋x )，得x ＝8，与8＜x ≤10矛盾，舍去；(3)当x ＞10时，原数据从小到大排序为8,10,10，x ，中位数是10，由14(28＋x )＝10，得x ＝12，符合题意，此时中位数是10. 综上所述，这组数据的中位数是9或10.15．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数．解(1)由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，解得a＝0.30.(2)由(1)知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.(3)设中位数为x吨．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5.而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5.所以2≤x<2.5.由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．。

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2.3。

1 平均数及其估计（建议用时:45分钟）[学业达标]一、填空题1．以下茎叶图2­ 3.4记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．图2­3。

4已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16。

8,则x＝________，y＝________。

【解析】由甲组数据中位数为15知，x＝5；而乙组数据的平均数16．8＝9＋15＋10＋y＋18＋245，可得y＝8.故填5,8。

【答案】 5 82．x1，x2，…，x10的平均数为a,x11，x12，…，x50的平均数为b，则x1，x2，…，x50的平均数是________．【解析】由题意知前10个数的总和为10a，后40个数的总和为40b，又总个数为50，∴x1,x2，…，x50的平均数为错误!＝错误!.【答案】错误!3．某学校高一（5)班在一次数学测验中,全班数学成绩的平均分为91分，其中某生得分为140分，是该班的最高分．若不包括该生的其他同学在这次测验中的平均分为90分，则该班学生的总人数为________．【解析】设该班有n名学生，则有错误!＝90。

∴n＝50.【答案】504．在一次射击训练中，一小组的成绩如下表：环数789．【解析】设成绩为8环的人数是x，由平均数的概念，得7×2＋8x＋9×3＝8.1×(2＋x ＋3),解得x＝5。

2.3.1 平均数及其估计教学目标：1．理解为什么能用样本数据的平均值估计总体的水平；2．初步了解如何运用数学知识和方法进行统计研究，提高统计的准确性和科学性； 3．掌握从实际问题中提取数据，利用样本数据计算其平均值，并对总体水平作出估计的方法．教学重点与难点：掌握从实际问题中提取数据，利用样本数据计算其平均值，并对总体水平作出估计的方法． 教学方法：引导发现、合作探究． 教学过程：一、引入新课某校高一（1）班同学在老师的布置下，用单摆进行测试，以检查重力加速度．全班同学两人一组，在相同条件下进行测试，得到下列实验数据（单位：2/m s ）9.62 9.54 9.78 9.94 10.01 9.66 9.88 9.68 10.32 9.76 9.45 9.99 9.81 9.56 9.789.729.93 9.949.65 9.79 9.42 9.68 9.70 9.84 9.90 怎样利用这些数据对重力加速度进行估计？ 二、师生活动处理实验数据的原则是使这个近似值与实验数据之间的离差．设这个近似值为x ，那么它与n 个实验值)21(n i a i ，，， =的离差分别为1a x -，2a x -，3a x -，…，n a x -．由于上述离差有正有负，故不宜直接相加．可以考虑离差的平方和，即22221)()()(n a x a x a x -+⋯+-+-=22221212)(2n n a a a x a a a nx ⋯+++⋯++-．所以当 时，离差的平方和最小．故可用算术平均数作为表示这个物理量的理想近似值．结论：n a a a x n ⋯++=21__1．平均数最能代表一个样本数据的集中趋势，也就是说它与样本数据的离差最小；2．数据n a a a ，，， 21的平均数或均值，一般记为na a a a n⋯++=21__；3．若取值为n x x x x ，，，， 321的频率分别为n p p p ，，， 21，则其平均数为n n p x p x p x x +++= 2211．三、数学运用例1 某校高一年级的甲、乙两个班级（均为50人）的语文测试成绩如下（总 分：150分），试确定这次考试中，哪个班的语文成绩更好一些． 甲班 112 86 106 84 100 105 98 102 94 107 87 112 94 94 99 90 120 98 95 119 108 100 96 115 111 104 95 108 111 105 104 107 119 107 93 102 98 112 112 99 92 102938494941009084114乙班 116 95 109 96 106 98 108 99 110 103 94 98 105 101 115 104 112 101 113 96 108 100 110 98 107 87 108 106 103 97 107 106 111 121 97 107 114 122 101 107 10711111410610410495111111110例2 下面是某校学生日睡眠时间抽样频率分布表（单位：h ），试估计该 校学生的日平均睡眠时间．例3某单位年收入在10000到15000，15000到20000，20000到25000，25000到30000，30000到35000，35000到40000及40000到50000元之间的职工所占的比分别为10%，15%，20%，25%，15%，10%和5%，试估计该单位职工的平均年收入．分析 上述百分比就是各组的频率． 巩固深化：1．若一组数据54321x x x x x ，，，，的平均数是x ，则另一组数据432154321++++x x x x x ，，，，的平均数是 ．2．若M 个数的平均数是X ，N 个数的平均数是Y ，则这N M +个数的平均数是 ．3．如果两组数n x x x x ，，，， 321和n y y y ，，， 21的样本平均数分别是x 和y ，那么一组数1122,,,n n x y x x y ++⋯+的平均数是 ．4．从某校全体高考考生中任意抽取20名考生，其数学成绩（总分150分）分别为：102，105，131，95，83，121，140，100，97，96，95，121，124，135，106，109，110，101，98，97，试估计该校全体高考考生数学成绩．四、归纳整理能根据需要合理选取样本，从中提取基本的数字特征（平均数），会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平；形成对数据处理过程进行初步评价的意识．。