高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第6章不等式 6-2a Word版含解析

学习资料2022版高考数学一轮复习第六章不等式第三讲简单的线性规划学案（含解析）新人教版班级：科目：第三讲简单的线性规划知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一二元一次不等式表示的平面区域(1)在平面直角坐标系中，直线Ax＋By＋C＝0将平面内的所有点分成三类：一类在直线Ax＋By＋C__＝0__上，另两类分居直线Ax＋By＋C＝0的两侧，其中一侧半平面的点的坐标满足Ax＋By＋C__〉0__，另一侧半平面的点的坐标满足Ax＋By＋C__<0__.(2）二元一次不等式Ax＋By＋C〉0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的平面区域且不含边界，作图时边界直线画成__虚线__，当我们在坐标系中画不等式Ax＋By ＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，此时边界直线画成__实线__.知识点二二元一次不等式（组）表示的平面区域的确定确定二元一次不等式表示的平面区域时,经常采用“直线定界，特殊点定域"的方法．(1)直线定界，即若不等式不含__等号__,则应把直线画成虚线;若不等式含有__等号__，把直线画成实线．(2）特殊点定域,由于在直线Ax＋By＋C＝0同侧的点，实数Ax＋By＋C的值的符号都__相同__,故为确定Ax＋By＋C的值的符号，可采用__特殊点法__，如取(0,0)、（0,1)、(1，0）等点．由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的__公共部分__.知识点三线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x,y组成的__不等式（组）__ 线性约束条件由x,y的__一次__不等式(或方程)组成的不等式(组）目标函数关于x，y的函数__解析式__，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x,y的__一次__解析式可行解满足约束条件的解__(x，y)__可行域所有可行解组成的__集合__最优解使目标函数取得__最大值__或__最小值__的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的__最大值__或__最小值__问题1．判断二元一次不等式表示的平面区域的常用结论把Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0化为y〉kx＋b或y〈kx＋b的形式．（1）若y>kx＋b，则区域为直线Ax＋By＋C＝0上方．(2)若y〈kx＋b，则区域为直线Ax＋By＋C＝0下方．2．最优解与可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解,最优解不一定存在，存在时不一定唯一．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”）（1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．（√)（2)不等式Ax＋By＋C〉0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．（×）（3）点(x1，y1），（x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是（Ax1＋By1＋C）（Ax2＋By2＋C）〉0，异侧的充要条件是（Ax1＋By1＋C）(Ax2＋By2＋C)〈0.(√) （4）第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy<0表示．（√)（5)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．（√)（6)目标函数z＝ax＋by（a≠0）中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(×）题组二走进教材2．（必修5P86T3改编）不等式组错误!表示的平面区域是（C）[解析]x－3y＋6<0表示直线x－3y＋6＝0左上方部分，x－y＋2≥0表示直线x－y＋2＝0及其右下方部分．故不等式组表示的平面区域为选项C所示部分．3．(必修5P91练习T1(1）改编)已知x,y满足约束条件错误!则z＝2x＋y＋1的最大值、最小值分别是（C）A．3，－3 B．2,－4C．4，－2 D．4，－4[解析］作出可行域如图中阴影部分所示．A(2，－1），B(－1，－1),显然当直线l：z＝2x＋y＋1经过A时z取得最大值，且z max＝4，当直线l过点B时,z取得最小值,且z min＝－2，故选C．题组三走向高考4．（2020·浙江,3，4分)若实数x,y满足约束条件错误!则z＝x＋2y的取值范围是（B）A．(－∞，4］B．［4，＋∞）C．[5，＋∞) D．(－∞，＋∞）[解析］由约束条件画出可行域如图．易知z＝x＋2y在点A（2,1)处取得最小值4，无最大值,所以z＝x＋2y的取值范围是[4，＋∞)．故选B．5．（2019·北京）若x,y满足错误!则y－x的最小值为__－3__，最大值为__1__.［解析]由线性约束条件画出可行域，为图中的△ABC及其内部．易知A(－1,－1)，B （2，－1)，C(2,3）．设z＝y－x，平移直线y－x＝0，当直线过点C时，z max＝3－2＝1，当直线过点B时,z min＝－1－2＝－3.考点突破·互动探究考点一二元一次不等式（组）表示的平面区域—-自主练透例1 (1）(2021·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组错误!的点(x，y）的集合用阴影表示为下列图中的（C）(2）（2021·四川江油中学月考)已知实数x，y满足线性约束条件错误!则其表示的平面区域的面积为（D)A．错误!B．错误!C．9 D．错误!（3)若不等式组错误!表示的平面区域的形状是三角形,则a的取值范围是（D）A．a≥错误!B．0<a≤1C．1≤a≤错误!D．0〈a≤1或a≥错误!［解析]（1）｜x｜＝｜y|把平面分成四部分，｜x|≤｜y|表示含y轴的两个区域；|x｜<1表示x＝±1所夹含y轴的区域．故选C．（2)线性约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示,其中A（0，3)，B错误!，C(3，0）,∴S＝错误!|AB｜·|OC｜＝错误!×错误!×3＝错误!，故选D．（3）作出不等式组错误!表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示．且作l1：x＋y＝0，l2：x＋y＝1,l3:x＋y＝错误!。

第六章不等式第1课时一元二次不等式及其解法 一、填空题1. 函数f (X )=寸3—2x —X?的定义域为 ________ . 答案：[-3, 1]解析：由 3—2x _x 2^0,解得一3WxWl.Y -4—斤2. 不等式十$0的解集是 ________________ ・X — 1答案：(一8, -5]u(l, +->)x 5解析：rfl NO,得(x + 5) (x — 1) NO 且 x —1H0,解得 xW —5 或 x>l.x — 13. 不等式2X 2-X <4的解集为 答案：｛x|-l<x<2｝解析：由题意得X 2—x<2=> —l<x<2,解集为｛x | —l<x<2). 4. _________________________________________________________ 不等式x 2+ax + 4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ________________________答案：(一°°, —4) U (4, + °°)解析：不等式x 2+ax + 4<0的解集不是空集，只需A =a 2—16>0, 4或a> 4. 5. 若不等式mx 2+2mx —4<2X 2+4X 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是 ________ . 答案：(一2, 2]解析：原不等式等价于(m-2)x 2+2(m-2)x-4<0,①当m=2时，对任意x 不等式都成 立；②当 m-2<0时,A=4(m-2)2+16(m-2)<0, A -2<m<2.综合①②，得 mF (-2, 2].6. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数.当x>0时，f(x)=x 2-4x,则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为 ________ •x<0, . 、 解得 x>5 或一5<x<0. —x~ —4x>x, 7. ____________己知函数f (x) =x 2 + mx —1.若对于任意xe[m, m+1]都有f (x) <0成立，则实数m 的取值范围是 .答案：(_乎'o)解析：二次函数f(x)对于任意X e [rn, m+ 1],都有f(x) <0成立，则 f (m) =m 2+m J —KO,f (m+1 ) = (m+1) 2+m (m+1) —l<0,x 、 R x>0,&已知f (x)=『 则不等式f (x) <f ⑷的解集为 _________ ・、一x?+3x, x<0,答案:{x|x<4}解析：f(4) =|=2,不等式即为f (x)<2,当x$0时，由欣2,得0Wx 〈4；当x 〈0吋,由一 X 2+3X <2,得 X <1 或 X >2,因此 x<0 •综上,f(x)<f(4)的解集为{x|x<4}.9. ___________ 在R 上定义运算：x®y=x 仃一y),若3 xeR 使得(x —a)®(x+a)> 1成立，答案：(-5, 0) U (5, +oo)解析：由己知得 f(0) = 0,当 x<0 时，f(x) = —f (―x) = —X 2 —4x,因此 f(x) =x$0,x 2—4x>x^X 2—4x, xNO,2 / "不等式f (x )>x 等价于—x —4x, x<0・解得 <m<0.答案:解析: *.* 3 x 使得(X—a)®(x+a) >1=> (x—a) (1—x—a) >1,即m x 使得x'—x—a?+a 则实数a 的取值范围是・+ 1< 0 成立，・•・ A =l-4(-a 2+a+l)>0^4a-4a-3>0,解得 a>-«Ka<-~x' + x (xMO),10. 已知f(x)=2.…、则不等式f (x 2-x + l)<12的解集是 __________ ・[-x +x (x<0),答M ： {x|-l<x<2}解析：由函数图象知f(x)为R 上的增函数且f (3) = 12,从而X 2-X +1<3,即疋一x —2<0, —l<x<2.二、解答题11. 己知 f (x) = — 3x 2+a(6 —a)x + 6. (1) 解关于a 的不等式f(l)>0；(2) 若不等式f(x)>b 的解集为{x|-l<x<3},求实数a, b 的值.解：(1)由题意知 f (1) =—3 + a(6—a)+6=—a' + 6a+3>0,即 a 2—6a —3<0,解得 3-2^/3<&<3 + 2^/3,・・・不等式的解集为{a|3-2V3<a<3+2V3}. ⑵・・・f(x)>b 的解集为{x|—lVx<3},.*•方程一3x'+a(6—a)x + 6 —b = 0 的两根为一1, 3,即a 的值为3+^3或3_羽,b 的值为一3. 12. 已知aWR,解关于x 的不等式ax 2—2 (a+1)x+4>0. 解：原不等式等价于(ax -2) (x-2)>0,以下分情况进行讨论: (1)当 a = 0 时，x<2. o 9(x-2)<0,由-<0<2 知一〈x 〈2・a a o i _a (x —2)>0,考虑一一2 = 2 • 的正负:aa 2 2① 当 0<a<l 时,->2,故 x 〈2 或 x>? 2② 当3=1时，一 =2,故xH2；a 2 2③ 当Q >1时，一〈2,故x 〈一或x>2.a a综上所述，当乳0时，该不等式的解集为|x||<x<2j ；当a = 0时，该不等式的解集为 ｛x|x<2｝；当 0〈a<l 时,该不等式的解集为p|x<2或x>「；当时，该不等式的解集为｛x|x<二或x>2».I a J a13. 已知不等式 mx 2—2x+m —2<0.(1) 若对于所有的实数x 不等式恒成立，求m 的取值范围；(2) 设不等式对于满足|m|<2的一切in 的值都成立，求x 的取值范围.解：(1)对所有实数x,都有不等式mx 2-2x + m-2<0恒成立，即函数f(x)=mx 2-2x + m-2的图象全部在x 轴下方，当m=0吋，一2x —2〈0,显然对任意x 不能恒成立；当m^O m 〈0, l时，由二次函数的图象可知有 4 z — 解得01<1-^2，综上可知m 的取值范〔A =4 — 4m (m-2) <0, v围是(一8, 1—^2).(2)设g(m) = (x 2+l)m —2x —2,它是一个以m 为自变量的一次函数，由x 2+l>0知g(m)HH(-1) a (6 —a)3 ・・・<(-1) V6-b解得a=3±^3, b=-3,在［— 2, 2］上为增函数,则由题意只需g(2)<0即可，即2X2+2-2X-2<0,解得0<x<l,所以X 的取值范围是(0, 1).第2课时 二元一次不等式(组)与简单的线性规划 一、填空题1.若点(m, 1)在不等式2x + 3y-5>0所表示的平面区域内，则m 的取值范围是 答案：(1, +8)解析：由 2m+3 — 5>0,得 m>l.”yW —x + 2,2.不等式组yWx —1, 所表示的平面区域的面积为 _____________________答案：|=29所以 SzsBCD="^X (xc —Xu) X~ = ~答案：7解析：由约束条件作岀可行域，可知当过点(1, 2)时z = 3x + 2y 的最大值为7. 'x + yWl,4. 已知不等式组｛x — y$ — l,所表示的平面区域为D.若直线y = kx —3与平面区域D 、y$o有公共点，则k 的取值范围是 ________ •解析：作出不等式组对应的区域为△BCD, 由题意知XB =1, XC =2・ 得Y D3.若实数x ，答案：(一8，-3]U[3, +OQ)解析：依据线性约束条件作出可行域如图阴影部分所示，注意到y=kx—3过定点(0, —3),・・・斜率的两个端点值为一3, 3,两斜率之间存在斜率不存在的情况，・・・k的取值范围为( — 8, —3] U [3, + °°).x —y$0,5.________________________________________________________ 若x, y满足约朿条件＜ x + y —2W0,贝ij z = 3x—4y的最小值为_________________________ •.y$0,答案：一13 1 Q解析：目标函数即y =/—孑，其屮z表示斜率为山彳的直线系与可行域有交点时直线的截距值的扌，截距最大的时候目标函数取得最小值，数形结合可得目标函数在点A(1, 1) 处取得最小值z = 3x —4y= —1.y$l,6.已知实数x, y满足＜ yW2x—1,如果目标函数z = x—y的最小值为一1,则实数m .x + yW DL答案：5解析：画出可行域便知，当直线X —y —z = 0通过直线y = 2x —1与x + y=m的交点笛丄，加？[时,函数z = x — y取得最小值，x + y W2,7.________________________________________________ 若变量x, y满足*x—3yW9,则x2+y2的最大值是____________________________________、xN0,答案：10解析：可行域如图所示，x + y=2, |x = 3,设z = x2+y2,联立L°小得由图可知，当圆x2+y2=z ii点(3, -1) 2x—3y=9,时,z 取得最大值,即(x2+y2)max=32+(-l)2=10.x + y^l,&若x, y满足约束条件＜x — yM — l,目标函数z = ax + 2y仅在点(1, 0)处取得最小、2x —yW2,值，则实数a的取值范围是答案：（一4, 2）解析：可行域为△ABC,如图，当a=0时，显然成立.当a>0时，直线ax + 2y —z = 0 的斜率 k =-|>k AC =-l, a<2.当 aVO 时,k = -|<k A B=2, a>-4.综合得一4VaV2.9. __________________________ 某企业生产甲、乙两种产品均需用A, B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料 及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元, 则该企业每天可获得最大利润为 万元.屮原料限额A （吨）32 12B (吨)1 2 8答案：18解析：设每天甲、乙的产量分别为x 吨，y 吨，由已知可得S目标函数z=3x+4y,线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示: 可得目标函数在点A 处取到最大值. x + 2y=8,得 A （2, 3）,3x+2y=12,则 z max =3X2 + 4X3 = 18（万元）.x —2y + 530,10. 设m 为实数,若｛（x, y ）卜3-xNO,jnx + y^O.围是4厂3x+2yW12,x + 2y W8, x20,、y$0,匕{(x,y) |x 2+y 2^25},则m 的取值范答案：［0,自解析：由题意知，可行域应在圆内，如图，如果一m>0, 在圆内，故一mWO,即m>0.当mx + y=0绕坐标原点旋转时，直线过B 点时为边界位置.此 . 4 4 一，4 时 —m =—亍，・°・m=§，・；二、解答题11. 某客运公司用A, B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次.A, B 两种车辆的载客量分別为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多 于A 型车7辆.若每天运送人数不少于900,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么 应配备A 型车、B 型车各多少辆？解：设A 型、B 型车辆分别为x, y 俩，相应营运成本为z 元，则z=l 600x + 2 400y. 厂 x + yW21,yWx+7,由题意，得x, y 满足约朿条件彳36x + 60y>900,x$0, xWN,在y 轴上的截距亍為最小，即z 取得最小值，故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小.12. 某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，己知生产 甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5 千瓦吋，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用 煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个.问每天生产甲、乙两种产品各 多少吨，才能使利润总额达到最大？解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x 吨、y 吨，利润总额为z 万元，[9x+4yW300,4x + 5yW200,则线性约束条件为< 3x+10yW300,目标函数为z = 7x+12y,作出可行域如图, x215,<y>15,则可行域取到x< —5的点，不 、y20, yWN.作可行域如图所示,由图可知，当直线z = l 600x + 2 400y 经过可行域的点P 时，直线z=l 600x + 2 400y作出一组平行直线7x + 12y = t,当直线经过直线4x + 5y=200和直线3x + 10y = 300的 交点A(20, 24)时，利润最大，即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最 大,Zmax = 7X20+12X24=428(万元).答：每天生产甲产品20吨、乙产品24吨，才能使利润总额达到最大.X —4y + 3W0,13. 变量 x, y 满足v 3x + 5y —25W0,x^l. 9 ・・・Z 的值是可行域中的点与原点0连线的斜率.观察图形可知如=畑=〒 (2) z = x 2+y 2的儿何意义是可行域上的点到原点0的距离的平方.结合图形可知，可 行域上的点到原点的距离屮，dmin=|0C|=迈,d,nax = | OB | =y[29,故z 的取值范围是[2, 29]・(3) z = x 2+y 2+6x-4y+13=(x + 3)2+(y-2)2的几何意义是可行域上的点到点(一3,2)的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到(一3, 2)的距离中，dmin=l — ( — 3)=4,dmax =y] ( 3 — 5 ) 2+ (2 — 2) 2 = 8, 故7的取值范围是[16, 64]・第3课时 基本不等式一、填空题1. _________________________________________ 己知x>|,则函数y = 4x+長士的最小值为 ________________________________________________ .答案：71 1 1 3 解析：y = 4x+辰二(4x — 5) + 衣二^+532 + 5 = 7.当且仅当 4x —5=4^__,即 x=- 时取等号.3x+5y —25=0, 解得A (l,普) fx = l,ftli 解得 C(l, 1). X —4y + 3 = 0,x —4y + 3 = 0, o , ； or A 解得 B(5, 2). 3x + oy —25 = 0,… y y_o (1/ • Z—— 门， x x —0 由丿 解: x = l, 设z=',求Z 的最小值；X 设z = x 2+y 2,求z 的取值范围； 设z = x 2+y 2 + 6x —4y+13,求z 的収值范围.(x-|-斤)(V-U9)2.设x>-l,则函数y= ；+i 的最小值为答案：9 (7+4) (7 + 1) 解析：因为x>—L 所以x + l>0.设x+l = z>0,则x = z —1,所以y =Z 2+5Z + 4 , 4 t = ------------ =z +-+ 5 $ 2 z z时，函数y 有最小值9.i o 3.若实数a, b 满足：+匚=肩，则ab 的最小值为 答案：2迈) 2 解析：依题意知a>0, b>0,贝 a b号成立.因为品，所以即淑总2寸L 所以ab 的最小值为2迈.4.已知正实数x, y 满足xy+2x + y=4,则x + y 的最小值为 ________________ ・答案：2、伍一3解析：由 xy + 2x + y = 4,解得 y=不〒，则 x + y = x —2+(x + 1) 322& -3,当且仅当x + l= 市，即x=〒一1时等号成立.所以x + y 的最小值为2^6-3.5.已知正实数x, y 满足(x —1) (y+1) =16,则x+y 的最小值为 _________________ .答案：8 [6 解析：由题知X —1=匸门,从而x + y =即y = 3时取等号.所以x + y 的最小值为&6.已知正数x, y 满足x + 2y = 2,则出空的最小值为 xyX V7-若皿y>°，则右+：的最小值为答案：A /2-|当 t = 2+2y[2时，f(t)xin=£_g 8. ________________________________________________________________已知x>0, y>0,若不等式x' + y 3^kxy (x + y)恒成立，则实数k 的最大值为 ____________________答案：14 r+X9,当且仅当z = 即x=l 时取等号，所以当x=l給需’当且仅当詈即b=2a 吋等 (y+1) ^2^/16=8,当且仅当 丫+1 答案：9解析:—=^；+^(x + 2y) 4(2+8 + y + x 2 x 1 4仅当丁=4, x + 2y = 2,即y=§, x=§时等号成立.xy；• ；• • 16)昜(10 + 2伍)=*X18=9,当且 解析：(解法1)设W (t 〉o ),则 為+孑占十汁2t + 22=边-£，当且仅当t=^2 1即'=退二时等号成立. X VV (解法 2)设 r (t 〉0)，F2 2 x = tT2 + t = f(t)，则 f‘ 仕)=；(二2) 2*，易知12 2 + (+产 2解析：由题设知kW (x + y) (x-xy+y )(x + y) xy仝丄+丫_］恒成立.xy y xV-+-—1S：2 —1 = 1,当且仅当x = y时等号成立，从而kWl,即k的最大值为1. y xI 4x Q v9-己知正数X，y满足計厂1，则R+盘的最小值为答案：25亠1」zn . 4x ( 9y 4 (x-1) +4 ( 9 (y-1) +9 . 4 解析：由一+—=1,得x + y = xy, + ---------- = ----------- ----- + ----------- ------ =13+ ------- -x y x— 1 y— 1 x— 1 y — 1 x — 1 +~^~j~=]3+ 9x + 4y 豊=9x+4y= (9x+4yy—1 xy —x —y+1x 9 仅当-=云时等号成立.y 310.若不等式X，—2y，Wcx(y —x)对任意满足x>y>0的实数x, y恒成立，则实数c的最大值为__________ .答案：2^2-44 v 9x 1= 13+=+丁$13 + 2侮= 25,当且x2— 9V2x2解析：由题意可得cW——= -------------xy —x xy —x2 o 2 o 2x —2y 2yx A y ci 丄，1— 2t2「令；=t，则0〈t<l,故CW t_]--1 x _X9X*-2t2-l 2 (1-u) 2-l2t2—1——；令u=l —t,则0<u<l,故cW1 — t 1 — t u的最小值为2迈一4,故实数c的最大值为2^2—4.二、解答题=—4+2u+*,得—4 + 2u+*2 ________________________11.设xMO, y$0, x2+y=l,求x#l +『的最大值.x2+y=l,・•・ xpl + y2=a (1+『)=、2x?乂干解：•・• x20, y20,.1+y2 2. y2. 1r ?x 4~2~=Q —2 最大值半12.某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900分的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 ni,三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 ni宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留3 m宽的通道，如图.设矩形温室的室内长为x(m),三块种植植物的矩形区域的总面积为SO・求S关于x的函数解析式；求S的最大值.x2m,2〒2 3A/2 4 :当且仅当x"」J ,即x=¥，y =，x#l+『収得900 、—-2 =-2x7 200w：(1)由题设，得S=(x-8) 卜916, xe (8, 450).7 200 / 7 200 (2)因为8<x<450,所以2x+—/2xX —^=240,当且仅当x=60时等号成从而SW676.故当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 ml 13.某地区共有100户农民从事蔬菜种植，据调查，每户年均收入为3万元.为了调整 产业结构，当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加工.据估计，如果能动员x(x>0, xe N)户农氏从事蔬菜加工，那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高2x%,从事蔬(1)在动员X 八农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员 前从爭蔬菜种植的农民的年总收入，试求x 的取值范围;(2)在(1)的条件下，要使100户农民中从事蔬菜加工的农民的年总收入始终不高于从 事蔬菜种植的农民的年总收入，试求实数a 的最大值.解：(1)由题意得 3(100—x) (l+2x%)M3X100, 即 xJOxWO,解得 0 WxW50.因为 x>0,所以 0〈xW50, xEN.入为 3(100-x) (l+2x%)万元，根据题意，得 3|^a-—Jx^3(100-x) (l+2x%)恒成立，即2ax<100 + x+~|f 成立.又x>0,所以命+1恒成立，而有+&5(当且仅当x = 50时取等号)，所以a 的最大值为5. 第4课时 不等式的综合应用 一、填空题1. 已知log2x + log 2y = L 则x+y 的最小值为 __________ ・答案：2^2解析：由 log 2x+log 2y= 1 得 x 〉0, y>0, xy = 2, x + y$2寸云=2寸L2. 若2x + 2y =l,则x + y 的取值范围是 ___________ ・答案：(一°°, —2]解析：J 2'+2—2書石，且2'+2'=1,・・・・・・x + yW —2.3. 设实数x, y 满足x 2+2xy-l=0,则x 2+y 2的最小值是 _______________ ・答案.口 • 2解析：由 x? + 2xy —1=0,得『=丄=■•故 x 2 + y 2 = x 2+-―=^5x 2+^—审一12・X —2y + l>0, 4.已知实数x, y 满足卜y —1W0,贝ij 的取值范围是x + y+1^0,答案：一1，| 解析：作出不等式组表示的平面区域(如图所示)，的几何意义为区域内的点与x 万元，从事蔬菜种植的农民的年总收菜加工的农民每户年均收入为3卜一守 @>0)万元.3x (2)从事蔬菜加工的农民的年总收入为3(a 5()点P(—1, 0)的连线的斜率k,由图象，得一25. 在平面直角坐标系xOy 屮，过坐标原点的一条直线与函数f(x)=-的图象交于P, Q 两点，则线段PQ 长的最小值是 ________ .答案：4解析：P, Q 两点关于原点0对称，设P(m, n)为第一象限内的点，则m>0, n>0, n = 半，所以PQ 2=40P 2=4(m 2+n 2) =4(in'+洛216,当且仅当即时取等号.故线 段PQ 长的最小值是4.6. 若实数 a, b 满足 ab —4a —b+l=0(a>l),则(a+1) (b+2)的最小值为 __________________ . 答案：274<i — 1解析：丁 ab-4a-b+l=0, ••• b=—— ,ab = 4a + b-l. A (a+1) (b + 2)=ab + 2a6 6 i6Q —1)+^Y +15.・・• a>l,・・・ a-l>0. A 原式=6Q —1)+^"+1522p6X6+15 = 27.当且仅当(a —1严=1,即a=2时等号成立.・・・(a+1) (b + 2)的最小值为27.4x v7. ___________________________________________ 已知x, y 为正实数，则辰匚;+〒的最大值为 ____________________________________________ ・4答案：§"十、门 . . , m —n4n —m 4x t y 8 lrln . m解析：设 m=4x+y>0, n = x + y>0,则 x=—p, y=— ' 1 8 4 4&若二次函数f (x) =ax' + bx + c(aWb)的值域为[0, 答案：§c b 2解析：由题意可得b 2-4ac = 0,且b^a>0,贝叮=肓・+ b + 2 = 6a + 2b +1 = 6a + 4a-l a —1• 2+l=6a + [4 (a-l) +3]X2 a —1 +1 =6a+8 + 6 a —1 ，4x + y + x + y = 3_3lV +n+ 8)，则占M 的最大值是b —a 卩a+b + c‘bu— 1 ni b —aa则y =a+b + c ca a令则t>l,则y=4 (t-1) t2+4t+4 再令t —l=u,4uu"+6u+9‘当u>0时,4y= ~9- u+一+6 u4 1当且仅当u=3时等号成立, 的最大值是29.己知函数f(x) = |x| + |x—2|,则不等式f(x2+6)>f(5x)的解集是答案：(一8, -4) U (-1, 2) U (3, +8)解析：因为当x>2时,f(x)单调递增,当x<0时，f(x)单调递减，且f(x)=f(2 —x).因 此不等式 f (X 2+6) >f (5x)等价于 2— (X 2+6) <5X <X 2+6,解得 x>3 或 x<—4 或—l<x<2,即所 求不等式的解集为(一8, —4)U ( —1, 2)U (3, +oo).X 2—2X + 2, X W210. 已知函数f(x)= 若m xoGR,使得f (xo) ^5m —4m 2成立，则实 log2X, x>2,数m 的取值范围是________ .答案：£ 1x?—2x + 2, xW2,n ' 7 '当 xW2 时，f(x) = (x-l)2+l^l ；当 x>2 时， log2X, x>2, f (x) =log 2x>l,故函数f (x)的最小值为1,所以5m-4m 空1,解得二、解答题11. 已知二次函数f (x) =ax 2+bx+c(a, b, cWR)满足：对任意实数x,都有f(x)2x, 且当 xW (l, 3)时,有 f(x)W*(x+2)2成立.(1)求证：f ⑵=2； (2)若f(—2)=0,求f(x)的解析式.(1)证明：由条件知f(2)=4a+2b + cM2恒成立，又取x = 2时，珥2)= 4a+2b + cW* X (2+2)2=2 恒成立，・•・ f(2)=2.[4a+2b + c = 2，(2)解：T ••• 4a + c=2b=l,[4a —2b + c = 0, .•・ b=], c = l —4a.又 f (x) Mx 恒成立，即 ax'+(b —l)x + c20 恒成立.・：a>0, △—4a (1—4a) WO,解得 a=~, b=~, c=~, .I f (x) =-x 2+~x+-12. 某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量、v (单位：百千克)与肥料费用x(单位: 百元)满足如下关系：、v=4—丁p 且投入的肥料费用不超过5百元.此外，还需要投入其 他成本(如施肥的人工费等)2x 百元.已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(B|J 16百元/ 百千克)，且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润为L(x)(单位：百元).(1) 求利润L(x)的函数解析式，并写岀定义域.(2) 当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？解：(1) L(x) =16(4— ^Y ) — X — 2X = 64—^—3x(00x05).(2) L(x) =64—-r-3x = 67- —7+3 (x+1) x-Fl [_x 十 148当且仅当j 肓=3(x+l),即x = 3时取等号.故L(x)Bax =43. 答：当投入的肥料费用为300元时，种植该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是4 300 元. 13. 如图，某机械厂要将长6 m,宽2 m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪.己知点F 为AD 的中点,点E 在边BC 上,裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处(点C, D 分别落 在直线BC 下方点M, N 处，F7交边BC 于点P),再沿直线PE 裁剪.(1) 当ZEFP=屮寸，试判断四边形M,PE 的形状，并求其面积；{ W67 —2、(X +1)=43.(2)若使裁剪得到的四边形MNPE面枳最大，请给出裁剪方案，并说明理由.解：（1）当ZEFP=十时，由条件得ZEFP= ZEFD= ZFEP=y.所以ZFPE=y.所以FN 丄BC,四边形MNPE 为矩形.所以I 川边形MNPE 的面积S = PN ・MN=2 （2）（解法 1）设ZEFD=（）（0<（）<勻，由条件，知ZEFP=ZEFD=ZFEP =（）・2 2 2 2 所以 PF=・ 丫打=・ ° NP = NF_PF = 3_ ・…，ME = 3-;——-sin （兀—2 0 ） sin 2 8 sin 2 8 tan H r 2 3- , 9 n >0,sin 2（）兀0< 0所以四边形 MNPE 的而积 S=|(NP+ME)・ MN=*{［3_t+㊁:二厂］+ (6 — t)} X2 = 3t 2-30t + 67 r 3z 、. 2 .一 厂2 (3-t) =6-E 2(t_3) +戸］导一2书.当且仅当扣一3)=三，即t = 3+翠时収等号.此时，(*)式成立.故当点E 距B时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为(6—2电)1『. 13 —t? 2 （3-t ）>0, {3<t<6, t>V13,（*） /）所以四边形MNPE 的而积S=|（NP+ME ）・MN=*（3 —2 2 2 -------- — ----------- =6 — ----------- tan （） sin 2 0 tan （）2A /tan （）X —J \ tan 0 2 （sin 2 0 +cos 2。

第六章综合过关规范限时检测（时间：45分钟满分100分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分,共50分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．（2021·吉林长春重点中学联考改编)若a〉0〉b，则下列不等式恒成立的是(B）A．错误!〈错误!B．错误!〉错误!C．a2>b2D．a3<b3[解析］∵a>0〉b，∴错误!〉0,错误!〈0，∴错误!〉错误!,又a3>0>b3。

故选B。

2．若a,b是任意实数，且a>b，则下列不等式成立的是（D）A．a2〉b2B．错误!〈1C．lg(a－b)〉0D．错误!a〈错误!b［解析]解法一：利用性质判断．解法二(特值法）：令a＝－1，b＝－2,则a2<b2,ba>1,lg(a－b）＝0,可排除A、B、C三项．故选D。

3．（2021·安徽省马鞍山市高三模拟)已知集合A＝｛x|x2－3x－4>0｝，B＝｛x｜ln x〉0｝，则（∁R A）∩B＝（C）A．∅B．(0，4]C．（1，4］D．（4,＋∞）［解析］由题意，集合A＝{x|x2－3x－4>0｝＝｛x｜x<－1或x>4｝，B＝｛x｜ln x>0｝＝｛x|x〉1｝，∁R A＝［－1，4］,则（∁R A）∩B＝（1,4]．故选C.4．（2021·山东省临沂市高三模拟考试）已知x，y满足约束条件错误!则z＝2x＋y的最大值与最小值之和为(C）A．4B．6C．8D．10［解析]绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：y＝－2x＋z，其中z取得最大值时,其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B（2，2）处取得最大值，据此可知目标函数的最大值为:z max＝2×2＋2＝6，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小,据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，联立直线方程：错误!，可得点的坐标为A(0，2）,据此可知目标函数的最小值为：z min＝2×0＋2＝2。

第六章 不等式第一讲 不等关系与不等式A 组基础巩固一、选择题1．(2021·河北承德第一中学月考）下列命题正确的是（ C ) A ．若a 〉b ，则错误!<错误! B ．若a 〉b ，则a 2〉b 2C ．若a 〉b ，c 〈d ，则a －c 〉b －dD ．若a >b ,c 〉d ，则ac >bd[解析］ 本题考查不等式的性质．对于A ，若a 〉b ，则错误!〈错误!，取a ＝1，b ＝－1不成立；对于B,若a 〉b ，则a 2〉b 2，取a ＝0,b ＝－1不成立;对于C,若a 〉b ，c 〈d ,则a －c >b －d ,正确；对于D ，若a 〉b ，c 〉d ,则ac 〉bd ,即a ＝1,b ＝－1,c ＝1,d ＝－2不成立．故选C ．2．已知a ，b ，c 均为实数，且a 〉b ，则下列不等式一定成立的是( C ） A ．a 2〉b 2 B ．1a <错误!C ．ln 2a 〈ln 2bD ．ac 2〉bc 2［解析］ ∵a ，b ，c ∈R ，且a >b ,不妨，令a ＝1，b ＝－1，则12＝（－1)2,可排除A ；错误!>错误!＝－1，可排除B ；1×02＝(－1）×02＝0，可排除D;对于C,当a 〉b 时,由指数函数y ＝2x 的单调递增的性质可知,2a 〉2b ，又因为对数函数y ＝ln x 在（0，＋∞）上单调递增,所以ln 2a >ln 2b 成立，故C 正确．3．（2021·重庆南开中学月考)已知a ，b 均为实数，则下列说法一定成立的是（ D ）A ．若a 〉b ，c >d ，则ab 〉cdB ．若错误!>错误!，则a <bC ．若c 〈b 〈a ,且ac <0，则ac 2〈bc 2D ．若｜a ｜<b ，则a ＋b 〉0［解析] 本题考查不等式的性质与不等关系．A 项，不妨令a ＝－1，b ＝－2,c ＝4，d ＝1，显然满足a 〉b ,c >d ，但不满足ab 〉cd ,故A 不成立；B 项,不妨令a ＝1，b ＝－1，显然满足错误!〉错误!，但不满足a 〈b ，故B 不成立；C 项，因为ac 〈0,所以c 2>0,又因为b〈a,所以bc2〈ac2,故C不成立；D项,若|a｜<b,则b－|a｜>0,即b〉±a,所以a＋b>0,故D一定成立．故选D．［关键点拨]本题要选择的是一定成立的，因而对于不成立的选项，不必证明,只要找到反例即可．4．（2021·安徽六安省示范高中质量检测）已知实数a，b，c满足a<b〈c,且ab〈0，那么下列各式中一定成立的是（B)A．错误!〉错误!B．a（c－b）〈0C．ac2>bc2D．ab（b－a)>0[解析]本题考查不等式的性质．因为a〈b〈c,且ab〈0，所以a〈0〈b〈c。

第 6章 不等式6．1 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式[知识梳理]3．必记结论 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b . (2)a <0<b ⇒1a <1b .(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd .(4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a . (5)若a >b >0，m >0，则b a <b ＋ma ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)；a b >a ＋m b ＋m ； a b <a －mb －m (b －m >0)．4．一元二次函数的三种形式 (1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a ≠0)．(3)两根式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 5．三个二次之间的关系[诊断自测]1．概念思辨(1)a＞b⇔ac2＞bc2.()(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.()(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．教材衍化(1)(必修A5P74T3)下列四个结论，正确的是()①a ＞b ，c ＜d ⇒a －c ＞b －d ；②a ＞b ＞0，c ＜d ＜0⇒ac ＞bd ；③a ＞b ＞0⇒3a ＞3b ；④a ＞b ＞0⇒1a 2＞1b 2.A ．①②B ．②③C ．①④D ．①③ 答案 D解析 利用不等式的性质易知①③正确．故选D.(2)(必修A5P 80A 组T 3)若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x －m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是________．答案 (－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞) 解析 由题意知Δ＝(m ＋1)2＋4m ＞0. 即m 2＋6m ＋1＞0，解得m ＞－3＋22或m ＜－3－2 2. 3.小题热身(1)(2014·四川高考)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞b d B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c 答案 D解析 解法一：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0 c ＜d ＜0⇒⎭⎬⎫c cd ＜d cd ＜0⇒1d ＜1c ＜0⇒－1d ＞－1c ＞0 a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c.故选D.解法二：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1， 代入验证得A ，B ，C 均错，只有D 正确．故选D.(2)已知不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，则不等式2x 2＋bx ＋a ＜0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1或x ＞12 C ．{x |－2＜x ＜1}D ．{x |x ＜－2或x ＞1}答案 A解析 由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根． 由韦达定理⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝－b a ，(－1)×2＝2a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. ∴不等式2x 2＋bx ＋a ＜0，即2x 2＋x －1＜0. 可知x ＝－1，x ＝12是对应方程的根，故选A.题型1 不等式性质的应用典例1若0＜x ＜1，a ＞0且a ≠1，则|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小关系是________．比较两数的大小，应考虑a >b⇔a －b >0.答案 |log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|解析 (作差法)当a ＞1时，log a (1－x )＜0，log a (1＋x )＞0， ∴|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|＝－log a (1－x )－log a (1＋x )＝－log a (1－x 2)＞0.当0＜a ＜1时，log a (1－x )＞0，log a (1＋x )＜0，∴|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|＝log a (1－x )＋log a (1＋x )＝log a (1－x 2)＞0.∴|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.典例2已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．采用方程组法，找出f (－2)的表达式与f (1)，f (－1)的关系，再根据不等式性质求范围．解 由题意知f (x )＝ax 2＋bx ，则f (－2)＝4a －2b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )．又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6， 所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10， 即f (－2)的取值范围是[6,10]．[条件探究] 将本典例条件变为⎩⎨⎧3≤xy 2≤8，4≤x 2y ≤9，求x3y 4的最大值．解 设x 3y 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y m (xy 2)n，则x 3y －4＝x 2m ＋n y 2n －m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝3，2n －m ＝－4，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝－1.又∵16≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y 2≤81，18≤(xy 2)－1≤13， ∴2≤x 3y 4≤27，故x 3y 4的最大值为27. 方法技巧不等式的概念与性质问题的常见题型及解题策略1．比较大小的常用方法：作差法与作商法．如典例1. 2．不等式的性质及应用解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证(注意前提条件)；二是利用特殊值法排除错误答案．3．求代数式的取值范围(1)先建立待求式子与已知不等式的关系，再利用一次不等式的性质进行运算，求得待求式子的范围．如典例2.(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题中多次使用这种变化，有可能扩大其取值范围．如冲关针对训练．冲关针对训练(2017·长春模拟)若1a <1b <0，则下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2中，正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案 C解析 由1a <1b <0，可知b <a <0.①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <0，1ab >0，故有1a ＋b<1ab ，即①正确；②中，因为b <a <0，所以－b >－a >0，则－b >|a |， 即|a |＋b <0，故②错误；③中，因为b <a <0，又1a <1b <0，所以a －1a >b －1b ，故③正确； ④中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在其定义域上为增函数，所以ln b 2>ln a 2，故④错误． 由以上分析，知①③正确，故选C. 题型2 不等式的解法典例1已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |α<x <β，α>0，β>0}，求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集是________．采用方程组法先确定a ，b 的值，然后代入待解不等式求解．答案 {|x x >1α或x <1β}解析 ∵ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |α<x <β}， ∴a <0，α，β为ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，0<α<β. ∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝－b a ，α·β＝c a .∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a (α＋β)，c ＝aαβ. ∴不等式cx 2＋bx ＋a <0可转化为aαβx 2－a (α＋β)x ＋a <0，即αβx 2－(α＋β)x ＋1>0.∴(αx －1)(βx －1)>0. ∴x >1α或x <1β.∴不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为{|x x >1α或x <1β}. 典例2解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 本题采用分类讨论思想．解 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.(1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. (2)当a >0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a 或x ≤－1.(3)当a <0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a ； 当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意；当2a <－1，即0>a >－2，解得2a ≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≥2a 或x ≤－1； 当－2<a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a <－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1≤x ≤2a .方法技巧1．一元二次不等式的求解策略(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．如典例1，冲关针对训练．2．含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． 如典例2中对参数a 进行分类讨论，在讨论时要明确讨论的依据是什么．冲关针对训练(2013·四川高考)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．答案(－7,3)解析∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．又x≥0时，f(x)＝x2－4x，∴不等式f(x＋2)＜5⇒f(|x＋2|)＜5⇒|x＋2|2－4|x＋2|＜5⇒(|x＋2|－5)(|x＋2|＋1)＜0⇒|x＋2|－5＜0⇒|x＋2|＜5⇒－5＜x＋2＜5⇒－7＜x＜3.故解集为(－7,3)．题型3二次不等式中的任意性与存在性角度1任意性与存在性典例(1)若关于x的不等式x2－ax－a＞0的解集为(－∞，＋∞)，求实数a的取值范围；(2)若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，求实数a 的取值范围．转化为函数的恒成立和存在性问题．解(1)设f(x)＝x2－ax－a，则关于x的不等式x2－ax－a＞0的解集为(－∞，＋∞)⇔f(x)＞0在(－∞，＋∞)上恒成立⇔f(x)min＞0，即f(x)min＝－4a＋a24＞0，解得－4＜a＜0(或用Δ<0)．(2)设f(x)＝x2－ax－a，则关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集⇔f(x)≤－3在(－∞，＋∞)上能成立⇔f(x)min≤－3，即f(x)min＝－4a＋a24≤－3，解得a≤－6或a≥2.角度2 给定区间上的任意性问题典例设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围是________．数形结合思想，分类讨论法．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 解析 要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立， 则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立． 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0. 所以m ＜6，所以m ＜0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0.角度3 给定参数范围的恒成立问题典例已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为( )A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)采用主元与次元转化法．将已知a 的范围的次元变为主元．答案 C解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立， 所以f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.故选C. 方法技巧形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解思路1．x ∈R 的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解．如角度1典例．2．x ∈[a ，b ]的不等式确定参数范围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求参数的范围；②数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求范围．如角度2典例．3．已知参数m ∈[a ，b ]的不等式确定x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．如角度3典例．冲关针对训练1．设对任意实数x ∈[－1,1]，不等式x 2＋ax －3a <0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a >0} B.{|a a >12}C.{|a a >14} D ．{a |a >0或a <－12}答案 B解析 设f (x )＝x 2＋ax －3a ，因为对任意实数x ∈[－1,1]，不等式x 2＋ax －3a <0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)<0，f (1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－4a <0，1－2a <0，解得a >12.故选B.2．设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m －4m 2f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞解析 依据题意得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立， 即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立．当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≤－32或m ≥32.1．(2017·山东高考)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( )A ．a ＋1b ＜b2a ＜log 2(a ＋b ) B.b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1b C ．a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b2a D ．log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b2a答案 B解析 解法一：∵a ＞b ＞0，ab ＝1， ∴log 2(a ＋b )＞log 2(2ab )＝1. ∵ab ＝1，∴b ＝1a .∵a >b >0，∴a >1a >0，∴a >1,0<b <1,2a >2， ∴b 2a <1.∵a ＋1b ＝a ＋a ＝2a >a ＋b >log 2(a ＋b )， ∴b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b .故选B.解法二：∵a ＞b ＞0，ab ＝1，∴取a ＝2，b ＝12，此时a ＋1b ＝4，b 2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 25－1≈1.3， ∴b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1b .故选B.2．(2014·全国卷Ⅰ)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D .有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2， p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2， p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3， p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 1，p 4D ．p 1，p 3 答案 B解析 设x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －2y )，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝m ＋n ，2＝m －2n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝43，n ＝－13.∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4，∴43(x ＋y )≥43，－13(x －2y )≥－43，∴x ＋2y ＝43(x ＋y )－13(x －2y )≥0.∴x ＋2y 的取值范围为[0，＋∞)．故命题p 1，p 2正确，p 3，p 4错误．故选B.3．(2018·湖北优质高中联考)已知g (x )是R 上的奇函数，当x ＜0时，g (x )＝－ln(1－x )，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g (x )，x ＞0.若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－∞，1)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C ．(1,2) D ．(－2,1)答案 D解析 若x ＞0，则－x ＜0，所以g (x )＝－g (－x )＝ln (x ＋1)，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x ＞0，则函数f (x )是R 上的增函数，所以当f (2－x 2)＞f (x )时，2－x 2＞x ，解得－2＜x ＜1，故选D.4．(2018·湖南长沙调研)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0解析 要满足f (x )＝x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )＜0，f (m ＋1)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－1＜0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1＜0，解得－22＜m ＜0.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．已知集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N *}，则A ∩B ＝( )A ．{2,3}B ．{1,3}C ．{2}D ．{3} 答案 C解析 A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N *}＝{1,2,3}，故A ∩B ＝{2}，故选C.2．(2017·河南百校联盟模拟)设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2≥0”是“a ≥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当a ≥b 时，(a －b )a 2≥0成立；当(a －b )a 2≥0时，由a 2>0得a －b ≥0，即a ≥b ，由a ＝0不能得到a ≥b ，a <b 也成立，故“(a －b )a 2≥0”是“a ≥b ”的必要不充分条件．故选B.A ．2b >2a >2cB ．2a >2b >2cC ．2c >2b >2aD ．2c >2a >2b答案 A4．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A.52B.72C.154D.152 答案 A解析 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52.故选A.5．(2017·广东清远一中一模)关于x 的不等式ax －b ＜0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)＞0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)答案 C解析 关于x 的不等式ax －b ＜0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax ＜b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b ＜0，∴不等式(ax ＋b )(x －3)＞0可化为(x ＋1)(x －3)＜0，解得－1＜x ＜3，∴所求解集是(－1,3)．故选C.6．(2017·松滋期中)已知p ＝a ＋1a －2，q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2，其中a ＞2，x∈R ，则p ，q 的大小关系是( )A ．p ≥qB ．p ＞qC ．p ＜qD ．p ≤q 答案 A解析 由a ＞2，故p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2＋2＝4，当且仅当a ＝3时取等号．因为x 2－2≥－2，所以q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x 2－2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4，当且仅当x ＝0时取等号，所以p ≥q .故选A.7．(2017·河北武邑中学调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，0)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)答案 A解析 ∵f (x )在R 上为奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，∴f (x )在R 上是增函数，结合题意得－4t >2m ＋mt 2对任意实数t 恒成立⇒mt 2＋4t ＋2m <0对任意实数t 恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝16－8m 2＜0⇒m ∈(－∞，－2)，故选A.8．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间答案 C解析 设销售价定为每件x 元，利润为y ，则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有(x －8)[100－10(x －10)]>320，即x 2－28x ＋192<0，解得12<x <16，所以每件销售价应定为12元到16元之间．故选C.9．(2018·江西八校联考)已知定义域为R 的函数f (x )在(2，＋∞)上单调递减，且y ＝f (x ＋2)为偶函数，则关于x 的不等式f (2x －1)－f (x ＋1)>0的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪(2，＋∞) B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，43∪(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2 答案 D解析 ∵y ＝f (x ＋2)为偶函数，∴y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称．∵f (x )在(2，＋∞)上单调递减，∴f (x )在(－∞，2)上单调递增，又f (2x －1)－f (x ＋1)>0，∴f (2x －1)>f (x ＋1)．当x >2时，2x －1>x ＋1，要使f (2x －1)>f (x ＋1)成立，则x ＋1<2x －1<2，解得x <1(舍去)；当x <2时，2x －1<x ＋1，要使f (2x －1)>f (x ＋1)成立，则有①若2<2x －1<x ＋1，解得x >32，∴32<x <2；②若2x －1≤2<x ＋1，即1<x ≤32，此时2x －1>4－(x ＋1)，即x >43，∴43<x ≤32.综上，43<x <2，故选D.10．(2018·湖南衡阳八中一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，若关于x 的不等式[f (x )]2＋af (x )－b 2<0恰有1个整数解，则实数a 的最大值是( )A ．2B ．3C ．5D ．8 答案 D 解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0的图象如图所示，①当b ＝0时，原不等式化为 [f (x )]2＋af (x )<0，当a >0时，解得－a <f (x )<0，由于不等式[f (x )]2＋af (x )<0恰有1个整数解，因此其整数解为3. 又f (3)＝－9＋6＝－3，∴－a <－3，－a ≥f (4)＝－8，则3<a ≤8. 易知当a ≤0时不合题意．②当b ≠0时，对于[f (x )]2＋af (x )－b 2<0，Δ＝a 2＋4b 2>0， 解得－a －a 2＋4b 22<f (x )<－a ＋a 2＋4b 22， 又－a －a 2＋4b 22<0<－a ＋a 2＋4b 22，f (x )＝0有两个整数解，故原不等式至少有两个整数解，不合题意． 综上可得a 的最大值为8.故选D. 二、填空题11．设a ＞b ＞c ＞0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小顺序是________． 答案 z ＞y ＞x解析 ∵a >b >c >0，∴y 2－x 2＝b 2＋(c ＋a )2－a 2－(b ＋c )2＝2c (a －b )＞0，∴y 2>x 2，即y >x .z 2－y 2＝c 2＋(a ＋b )2－b 2－(c ＋a )2＝2a (b －c )>0， 故z 2>y 2，即z ＞y ，故z >y >x .12．(2018·汕头模拟)若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④x －b >y －a ，⑤a y >bx 这五个式子中，恒成立的不等式的序号是 ________.答案 ②④解析 令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2， 符合题设条件x >y ，a >b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不成立． ∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝bx ，因此⑤不成立．由不等式的性质可推出②④成立．13．(2017·西安质检)在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．答案 32解析 原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54， 所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32.14．(2017·江苏模拟)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．答案 9解析 解法一：由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22. 又∵f (x )<c ，∴⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ， 即－a 2－c <x <－a 2＋c .∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2－c ＝m ， ①－a 2＋c ＝m ＋6. ②②－①得2c ＝6，∴c ＝9.解法二：由题意知，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24， ∵f (x )的值域为[0，＋∞)．∴b ＝a 24.又∵f (x )<c 可化为x 2＋ax ＋a 24－c <0， 且f (x )－c <0的解集为(m ，m ＋6)，∴⎩⎨⎧ m ＋m ＋6＝－a ，m (m ＋6)＝a 24－c ，∴c ＝a 24－m (m ＋6)＝(2m ＋6)24－m 2－6m ＝364＝9. 三、解答题15．(2017·昆明模拟)设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.16．已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0.当x ∈(－3,2)时，f (x )>0.(1)求f (x )在[0,1]内的值域；(2)若ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围．解 (1)因为当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0，当x ∈(－3,2)时，f (x )>0，所以－3,2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，可得⎩⎨⎧ －3＋2＝－b －8a ，－3×2＝－a －ab a ，所以a ＝－3，b ＝5， 所以f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋18.75， 函数图象关于x ＝－12对称，且抛物线开口向下，在区间[0,1]上f (x )为减函数，函数的最大值为f (0)＝18，最小值为f (1)＝12，故f (x )在[0,1]内的值域为[12,18]．(2)由(1)知，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0化为－3x 2＋5x ＋c ≤0，因为二次函数y ＝－3x 2＋5x ＋c 的图象开口向下，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3<0，Δ＝b 2－4ac ≤0，即25＋12c ≤0⇒c ≤－2512，所以实数c 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－2512.。

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．若x ＞0，则x ＋2x 的最小值是( ) A ．2 B ．4 C. 2 D ．22答案 D解析 由基本不等式可得x ＋2x ≥2x ·2x ＝22，当且仅当x ＝2x 即x ＝2时取等号，故最小值是2 2.故选D.2．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．4答案 C解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，即a ＝3.故选C.3．(·河南平顶山一模)若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a的取值范围是( )A ．a ≥15 B ．a ＞15 C ．a ＜15 D ．a ≤15答案 A解析 因为对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，所以对x ∈(0，＋∞)，a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋3x ＋1max ， 而对x ∈(0，＋∞)， xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12x ·1x ＋3＝15，当且仅当x ＝1时等号成立，∴a ≥15.故选A.4．在方程|x |＋|y |＝1表示的曲线所围成的区域内(包括边界)任取一点P (x ，y )，则z ＝xy 的最大值为 ( )A.12B.13C.14D.18答案 C解析 根据题意如图所示，要保证z 最大，则P 应落在第一或第三象限内，不妨设P 点落在线段AB 上，故z ＝xy ＝x (1－x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝14，当且仅当x ＝12时，等号成立，故z 的最大值为14.故选C.5．(·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝x ＋ax ＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( )A.12B.32C ．1D ．2答案 C解析 由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号；②当x <0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号．所以⎩⎪⎨⎪⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1.故选C.6．(·浙江考试院抽测)若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( )A.23 B.223 C.33 D.233答案 B解析 对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ，∴x ＋y ＝2x 3＋13x ≥229＝223(当且仅当x ＝22时等号成立)．故选B.7．已知实数a >0，b >0，且ab ＝1，若不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y >m ，对任意的正实数x ，y 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(－∞，4]D ．(－∞，4)答案 D解析 因为a ，b ，x ，y 为正实数，所以(x ＋y )·⎝⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ayx＋bx y ≥a ＋b ＋2≥2ab ＋2＝4，当且仅当a ＝b ，ay x ＝bxy ，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m <4即可．故选D.8．(·忻州一中联考)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是( )A.92B.72 C ．22＋12 D ．22－12答案 A解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n (1＋n )2， ∴S n ＋8a n ＝n (n ＋1)2＋8n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1 ≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号． ∴S n ＋8a n的最小值是92.故选A.9．(·东北育才学校模拟)设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)(a >0，b >0，O 为坐标原点)，若A ，B ，C 三点共线，则2a ＋1b 的最小值是( )A ．4 B.92 C ．8 D ．9答案 D解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)， 若A ，B ，C 三点共线，则有AB →∥AC →， ∴(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1， 又a >0，b >0， ∴2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2ab ≥5＋22b a ·2ab ＝9，当且仅当⎩⎨⎧2b a＝2a b ，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时等号成立．故选D.10．(·河南洛阳统考)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )．若∀x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2＋2c 2的最大值为( )A.6＋2B.6－2 C ．22＋2 D ．22－2答案 B解析 由题意得f ′(x )＝2ax ＋b ，由f (x )≥f ′(x )在R 上恒成立得ax 2＋(b －2a )x ＋c －b ≥0在R 上恒成立，则a >0且Δ≤0，可得b 2≤4ac －4a 2，则b 2a 2＋2c 2≤4ac －4a 2a 2＋2c 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫c a －12⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋1，且4ac －4a 2≥0，∴4·c a －4≥0，∴c a －1≥0，令t ＝ca －1，则t ≥0. 当t ＞0时，b 2a 2＋2c 2≤4t2t 2＋4t ＋3＝42t ＋3t ＋4≤426＋4＝6－2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当t ＝62时等号成立，当t ＝0时，b 2a 2＋2c 2＝0，故b 2a 2＋2c 2的最大值为6－2.故选B.二、填空题11．(·福建高考)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．答案 160解析设底面的相邻两边长分别为x m，y m，总造价为T元，则V＝xy·1＝4⇒xy＝4.T＝4×20＋(2x＋2y)×1×10＝80＋20(x＋y)≥80＋20×2xy＝80＋20×4＝160.(当且仅当x＝y时取等号)故该容器的最低总造价是160元．12．(·河南百校联盟模拟)已知正实数a，b满足a＋b＝4，则1 a＋1＋1b＋3的最小值为________．答案1 2解析∵a＋b＝4，∴a＋1＋b＋3＝8，∴1a＋1＋1b＋3＝18[(a＋1)＋(b＋3)]⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1＋1b＋3＝18⎝⎛⎭⎪⎫2＋b＋3a＋1＋a＋1b＋3≥18(2＋2)＝12，当且仅当a＋1＝b＋3，即a＝3，b＝1时取等号，∴1a＋1＋1b＋3的最小值为12.13．(·泰安模拟)正实数a、b满足2a＋2b＋12a＋b＝6，则4a＋5b 的最小值是________．答案3 2解析正实数a、b满足2a＋2b＋12a＋b＝6，令a＋2b＝m,2a＋b＝n，则正数m，n满足2m＋1n＝6，则4a＋5b＝2m＋n＝16(2m＋n)·⎝⎛⎭⎪⎫2m＋1n＝16⎝⎛⎭⎪⎫5＋2nm＋2mn≥16⎝⎛⎭⎪⎫5＋22nm·2mn＝32，当且仅当2nm＝2mn即m＝n＝12时取等号，此时a＝b＝16，故4a＋5b的最小值为32.14．已知x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x－y≥0，x＋2y≥0，2x－y－2≤0，且目标函数z＝ax ＋by(a，b＞0)的最大值为4，则4a＋2b的最小值为________．答案3＋22解析画区域如图，易知目标函数在点A处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x－y＝0，2x－y－2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝2，y＝2，所以2a＋2b＝4，即a＋b＝2，所以4a＋2b＝2(a＋b)a＋a＋bb＝2＋2ba＋ab＋1＝3＋2ba＋ab≥3＋22b a ·ab ＝3＋22，当且仅当2b a ＝ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4－22，b ＝22－2时，取等号．故4a ＋2b 的最小值为3＋2 2. 三、解答题15．(·太原期末)如图，围建一个面积为100 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(旧墙需维修)，其余三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，已知旧墙的维修费用为56元/米，新墙的造价为200元/米，设利用的旧墙长度为x (单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用y (单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)求当x 为何值时，y 取得最小值，并求出此最小值． 解 (1)由题意得矩形场地的另一边长为100x 米，∴y ＝56x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2·100x －2×200＝256x ＋40000x －400(x ＞0)． (2)由(1)得y ＝256x ＋40000x －400≥2256x ·40000x －400＝6000，当且仅当256x ＝40000x 时，等号成立， 即当x ＝252米时，y 取得最小值6000元．16．(·南昌模拟)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan A ，tan B 是关于x 的方程x 2＋(1＋p )x ＋p ＋2＝0的两个实根，c ＝4.(1)求角C 的大小；(2)求△ABC 面积的取值范围．解 (1)由题意得tan A ＋tan B ＝－1－p ，tan A ·tan B ＝p ＋2，所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－1－p1－(p ＋2)＝1，故△ABC 中，A ＋B ＝π4，所以C ＝3π4. (2)由C ＝3π4，c ＝4及c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，可得42＝a 2＋b 2－2ab ×⎝⎛⎭⎪⎫－22，整理得16＝a 2＋b 2＋2ab ，即16－2ab ＝a 2＋b 2， 又a >0，b >0，所以16－2ab ＝a 2＋b 2≥2ab ， 得ab ≤162＋2，当且仅当a ＝b 时取等号，所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×ab ×22≤12×162＋2×22＝422＋2＝42－4， 所以△ABC 面积的取值范围为(0,42－4]．。

2020届高三一轮复习数学精品资料：第六章不等式（57页精美WORD)第六章不等式 §6.1 不等式的概念及性质基础自测1.-1＜a ＜0,那么-a ,-a 3,a 2的大小关系是〔 〕A. a 2＞-a 3＞-aB.-a ＞a 2＞-a3C.–a 3＞a 2＞-aD.a 2＞-a ＞-a 3答案 B2.假设m ＜0,n ＞0且m +n ＜0，那么以下不等式中成立的是( )A.-n ＜m ＜n ＜-mB.-n ＜m ＜-m ＜nC.m ＜-n ＜-m ＜nD. m ＜-n ＜n ＜-m 答案 D3.a ＜0,-1＜b ＜0,那么以下不等式成立的是〔 〕A. a ＞ab ＞ab 2B.ab 2＞ab ＞aC.ab ＞a ＞ab 2D.ab ＞ab 2＞a答案 D4.〔2018·厦门模拟〕yx＞1的一个充分不必要条件是 〔 〕A .x ＞yB .x ＞y ＞0C .x ＜yD .y ＜x ＜0答案B5.设甲:m ,n 满足⎩⎨⎧<<<+<,30,42mn n m 乙:m ,n 满足⎩⎨⎧<<<<,32,10n m 那么〔 〕A .甲是乙的充分不必要条件B .甲是乙的必要不充分条件C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 答案B例1 〔1〕设x ＜y ＜0,试比较(x 2+y 2)(x -y )与(x 2-y 2)(x +y )的大小；〔2〕a ,b ,c ∈{正实数}，且a 2+b 2=c 2,当n ∈N ,n ＞2时比较c n与a n+b n的大小. 解 〔1〕方法一 〔x 2+y 2〕(x -y )-(x 2-y 2)(x +y ) =(x -y )［x 2+y 2-(x +y )2］=-2xy (x -y ), ∵x ＜y ＜0,∴xy ＞0,x -y ＜0, ∴-2xy (x -y )＞0,∴(x 2+y 2)(x -y )＞(x 2-y 2)(x +y ).方法二 ∵x ＜y ＜0,∴x -y ＜0,x 2＞y 2,x +y ＜0. ∴(x 2+y 2)(x -y )＜0,(x 2-y 2)(x +y )＜0,∴0＜))(())((2222y x y x y x y x +--+=xyy x y x 22222+++＜1,∴(x 2+y 2)(x -y )＞(x 2-y 2)(x +y ). (2)∵a ,b ,c ∈{正实数}，∴a n,b n,c n＞0, 而nn n c b a +=n c a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+nc b ⎪⎭⎫ ⎝⎛. ∵a 2+b 2=c 2, ∴2⎪⎭⎫ ⎝⎛c a +2⎪⎭⎫⎝⎛c b =1,∴0＜c a ＜1,0＜cb＜1. ∵n ∈N ,n ＞2,∴nc a ⎪⎭⎫ ⎝⎛＜2⎪⎭⎫ ⎝⎛c a ,nc b ⎪⎭⎫ ⎝⎛＜2⎪⎭⎫ ⎝⎛c b , ∴nn n c b a +=n c a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+nc b ⎪⎭⎫⎝⎛＜222c b a +=1, ∴a n+b n＜c n.例2 a 、b 、c 是任意的实数，且a ＞b ,那么以下不等式恒成立的为〔 〕A.(a +c )4＞(b +c )4B .ac 2＞bc 2C .lg|b +c |＜lg|a +c |D .(a +c )31＞(b +c ) 31答案 D例3〔12分〕-1＜a +b ＜3且2＜a -b ＜4,求2a +3b 的取值范畴. 解 设2a +3b =m (a +b )+n (a -b ),∴⎩⎨⎧=-=+32n m n m , 2分∴m =25,n =-21. 4分 ∴2a +3b =25(a +b )-21(a -b ). 5分 ∵-1＜a +b ＜3,2＜a -b ＜4, ∴-25＜25(a +b )＜215,-2＜-21(a -b )＜-1, 8分 ∴-29＜25(a +b )- 21(a -b )＜213, 10分 即-29＜2a +3b ＜213. 12分1.〔1〕比较x 6+1与x 4+x 2的大小，其中x ∈R ; (2)设a ∈R ,且a ≠0,试比较a 与a1的大小. 解 〔1〕〔x 6+1〕-〔x 4+x 2〕 =x 6-x 4-x 2+1=x 4(x 2-1)-(x 2-1) =(x 2-1)(x 4-1)=(x 2-1)(x 2-1)(x 2+1) =(x 2-1)2(x 2+1).当x =±1时，x 6+1=x 4+x 2; 当x ≠±1时，x 6+1＞x 4+x 2. 〔2〕a -a 1=aa 12-=a a a )1)(1(+-当-1＜a ＜0或a ＞1时,a ＞a 1； 当a ＜-1或0＜a ＜1时,a ＜a1； 当a =±1时,a =a1. 2.适当增加不等式条件使以下命题成立： (1)假设a ＞b ,那么ac ≤bc ; (2)假设ac 2＞bc 2,那么a 2＞b 2;(3)假设a ＞b ,那么lg(a +1)＞lg(b +1); (4)假设a ＞b ,c ＞d ,那么d a ＞cb ; (5)假设a ＞b ,那么a 1＜b1. 解 (1)原命题改为：假设a ＞b 且c ≤0，那么ac ≤bc ,即增加条件〝c ≤0〞. (2)由ac 2＞bc 2可得a ＞b ,但只有b ≥0时，才有a 2＞b 2,即增加条件〝b ≥0”. (3)由a ＞b 可得a +1＞b +1,但作为真数，应有b +1＞0,故应加条件〝b ＞-1”. 〔4〕d a ＞cb成立的条件有多种，如a ＞b ＞0,c ＞d ＞0,因此可增加条件〝b ＞0,d ＞0〞.还可增加条件为〝a ＜0,c ＞0,d ＜0〞. (5)a 1＜b1成立的条件是a ＞b ,ab ＞0或a ＜0,b ＞0,故增加条件为〝ab ＞0”. 3.设f (x )=ax 2+bx ,1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4,求f (-2)的取值范畴. 解 方法一 设f (-2)=mf (-1)+nf (1) (m ,n 为待定系数), 那么4a -2b =m (a -b )+n (a +b ), 即4a -2b =(m +n )a +(n -m )b ,因此得⎩⎨⎧-=-=+24m n n m ,解得⎩⎨⎧==13n m ,∴f (-2)=3f (-1)+f (1). 又∵1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4, ∴5≤3f (-1)+f (1)≤10, 故5≤f (-2)≤10.方法二 由⎩⎨⎧+=-=-b a f ba f )1()1(,得[][]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=)1()1(21)1()1(21f f b f f a , ∴f (-2)=4a -2b =3f (-1)+f (1). 又∵1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4,∴5≤3f (-1)+f (1)≤10,故5≤f (-2)≤10.方法三 由⎩⎨⎧≤+≤≤-≤4221b a b a 确定的平面区域如图.当f (-2)=4a -2b 过点A ⎪⎭⎫⎝⎛2123,时,取得最小值4×23-2×21=5, 当f (-2)=4a -2b 过点B (3,1)时, 取得最大值4×3-2×1=10, ∴5≤f (-2)≤10.一、选择题1.a ,b ,c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，那么以下选项中不恒成立的是 〔 〕A .a b ＞acB .cab -＞0C .c b 2＞ca 2D .acca -＜0 答案 C2.a 、b 、c 满足c ＜b ＜a ,且ac ＜0,那么以下选项中一定成立的是〔 〕A .ab ＞acB .c (b -a )＜0C .cb 2＜ab2D .ac (a -c )＞0答案A3.设a ＞1＞b ＞-1,那么以下不等式恒成立的是〔 〕A .ba 11< B .ba 11> C .221b a >D .a ＞b2答案D4. (2018·杭州模拟)三个不等式：ab ＞0，bc -ad ＞0,bda c - ＞0(其中a ,b ,c ,d 均为实数),用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数是 〔 〕A .0B .1C .2D .3答案D5.函数f (x )=log 2(x +1),设a ＞b ＞c ＞0,那么a a f )(,b b f )(,cc f )(的大小关系为 ( )A .aa f )(＜c c f )(＜b b f )( B . a a f )(＜b b f )(＜c c f )( C .c c f )(＜a a f )(＜bb f )(D .c c f )(＜bb f )(＜a a f )( 答案 B6.假设x ＞y ＞1,且0＜a ＜1,那么①a x＜a y;②log a x ＞log a y ;③x -a＞y -a;④log x a ＜log y a . 其中不成立的个数是 〔 〕A .1B .2C .3D .4答案 C 二、填空题 7.a +b ＞0，那么2b a +2a b 与a 1+b1的大小关系是 . 答案2ba +2ab ≥a 1+b18.给出以下四个命题： ①假设a ＞b ＞0,那么a 1＞b 1; ②假设a ＞b ＞0,那么a -a 1＞b -b1; ③假设a ＞b ＞0,那么b a b a 22++＞ba; ④设a ,b 是互不相等的正数，那么|a -b |+ba -1≥2. 其中正确命题的序号是 .〔把你认为正确命题的序号都填上〕 答案 ② 三、解答题9.比较a ab b与a b b a〔a ,b 为不相等的正数〕的大小.解 ab ba b a b a =a a -b b b -a=ba b a -⎪⎭⎫⎝⎛,当a ＞b ＞0时，b a ＞1,a -b ＞0,∴ba b a -⎪⎭⎫⎝⎛＞1；当0＜a ＜b 时，b a ＜1,a -b ＜0,∴ba b a -⎪⎭⎫⎝⎛＞1.综上所述，总有a a b b ＞a b b a.10.奇函数f (x )在区间(-∞,+∞)上是单调递减函数,α ,β,γ∈R 且α+β＞0, β+γ＞0, γ+α＞0. 试讲明f (α)+f (β)+f (γ)的值与0的关系. 解 由α+β＞0,得α＞-β.∵f (x )在R 上是单调减函数,∴f (α)＜f (-β).又∵f (x )为奇函数,∴f (α)＜-f (β),∴f (α)+f (β)＜0, 同理f (β)+f (γ)＜0,f (γ)+f (α)＜0, ∴f (α)+f (β)+f (γ)＜0.11.某个电脑用户打算使用不超过1 000元的资金购买单价分不为80元、90元的单片软件和盒装磁盘.依照需要，软件至少买3片，磁盘至少买4盒，写出满足上述所有不等关系的不等式. 解 设买软件x 片、磁盘y 盒,那么x 、y 满足关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈≥≥≤+y x y x y x 4300019080.12.a ＞0,a 2-2ab +c 2=0,bc ＞a 2.试比较a ,b ,c 的大小. 解 ∵bc ＞a 2＞0,∴b ,c 同号.又a 2+c 2＞0,a ＞0,∴b =ac a 222+＞0,∴c ＞0,由(a -c )2=2ab -2ac =2a (b -c )≥0,∴b -c ≥0. 当b -c ＞0,即b ＞c 时,由⎪⎭⎪⎬⎫>+=2222a bc a c a b ⇒a c a 222+·c ＞a 2⇒(a -c )(2a 2+ac +c 2)＜0.N + N +∵a ＞0,b ＞0,c ＞0,∴2a 2+ac +c 2＞0, ∴a -c ＜0,即a ＜c ,那么a ＜c ＜b ； 当b -c =0,即b =c 时, ∵bc ＞a 2,∴b 2＞a 2,即b ≠a .又∵a 2-2ab +c 2=(a -b )2=0⇒a =b 与a ≠b 矛盾, ∴b -c ≠0. 综上可知:a ＜c ＜b .§6.2 均值不等式基础自测1.a ＞0,b ＞0，a 1+b3=1，那么a +2b 的最小值为 ( )A .7+26B .23C .7+23D .14答案 A2.设a ＞0,b ＞0,以下不等式中不成立的是( ) A.baa b +≥2 B .a 2+b 2≥2abC .ba ab 22+≥a +b D .b a 11+≥2+ba +2答案 D3.〔2018·河南新郑模拟〕x ＞0,y ＞0，x ,a ,b ,y 成等差数列，x ,c ,d ,y 成等比数列，那么()cdb a 2+的最小值是〔 〕A .0B .1C .2D . 4 答案 D4.x +3y -2=0，那么3x+27y+1的最小值为〔 〕A .7B .339C .1+22D .5答案 A5.〔2018·江苏，11〕x ,y ,z ∈R +，x -2y +3z =0,xzy 2的最小值是 . 答案 3例1 x ＞0,y ＞0,z ＞0.求证：⎪⎭⎫⎝⎛+x z x y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y z y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+z y z x ≥8.证明 ∵x ＞0,y ＞0,z ＞0, ∴x y +x z ≥xyz 2＞0, y x +y z ≥y xz2＞0.z x +z y≥zxy 2＞0,∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+x z x y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y z y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+z y z x≥xyzxyxz yz ••8=8.〔当且仅当x =y =z 时等号成立〕 例2 〔1〕x ＞0,y ＞0，且x 1+y9=1,求x +y 的最小值； 〔2〕x ＜45,求函数y =4x -2+541-x 的最大值；〔3〕假设x ,y ∈(0,+∞)且2x +8y -xy =0，求x +y 的最小值. 解〔1〕∵x ＞0,y ＞0,x 1+y9=1, ∴x +y =(x +y )⎪⎪⎭⎫⎝⎛+y x 91=xy +y x9+10≥6+10=16. 当且仅当xy =y x9时，上式等号成立， 又x 1+y9=1,∴x =4,y =12时，(x +y )min =16. 〔2〕∵x ＜45,∴5-4x ＞0, ∴y =4x -2+541-x =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x 45145+3≤-2+3=1, 当且仅当5-4x =x451-,即x =1时，上式等号成立， 故当x =1时，y max =1.(3)由2x +8y -xy =0,得2x +8y =xy ,∴y 2+x8=1, ∴x +y =(x +y )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 28=10+x y 8+y x2=10+2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x x y 4≥10+2×2×y xx y ⋅4=18,当且仅当xy 4=y x,即x =2y 时取等号， 又2x +8y -xy =0,∴x =12,y =6, ∴当x =12,y =6时，x +y 取最小值18.例3 〔12分〕某造纸厂拟建一座平面图形为矩形 且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定 〔平面图如下图〕，假如池四周围墙建筑单价为400元/米， 中间两道隔墙建筑单价为248元/米，池底建筑单价为 80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计.〔1〕试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；〔2〕假设由于地势限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价. 解 〔1〕设污水处理池的宽为x 米，那么长为x162米. 1分 那么总造价f (x )=400×⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+x x 16222+248×2x +80×162=1 296x +x1002961⨯+12 960 =1 296⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 100+12 960 3分≥1 296×2xx 100•+12 960=38 880〔元〕， 当且仅当x =x100(x ＞0), 即x =10时取等号. 5分 ∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元. 6分 〔2〕由限制条件知⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<161620160x x ,∴1081≤x ≤16. 8分 设g (x )=x +x 100⎪⎭⎫⎝⎛≤≤168110x . g (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡168110,上是增函数，∴当x =1081时(现在x 162=16),g (x )有最小值， 即f (x )有最小值.10分1 296×⎪⎭⎫⎝⎛+818008110+12 960=38 882(元).∴当长为16米，宽为1081米时， 总造价最低，为38 882元. 12分1.,a ,b ,c 均为正数，且a +b +c =1. 求证：a 1+b 1+c1≥9. 证明a 1+b 1+c 1= a c b a +++b c b a +++cc b a ++ =3+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a a b +⎪⎭⎫ ⎝⎛+c a a c +⎪⎭⎫⎝⎛+c b b c≥3+2+2+2=9. 当且仅当a =b =c =31时取等号. 2.假设-4＜x ＜1,求22222-+-x x x 的最大值.解 22222-+-x x x =21·()1112-+-x x =21()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-111x x=-21()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--111x x∵-4＜x ＜1,∴-(x -1)＞0,()11--x ＞0.从而()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--111x x ≥2-21()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--111x x ≤-1当且仅当-(x -1)=()11--x ，即x =2〔舍〕或x =0时取等号. 即max22222⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x x =-1.3.甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c 千米/小时，汽车每小时的运输成本〔以元为 单位〕由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/小时〕的平方成正比，比例系数为b ;固定部分为a 元. 〔1〕把全程运输成本y 〔元〕表示为速度v (千米/小时〕的函数，并指出那个函数的定义域； 〔2〕为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解 〔1〕建模：依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时刻为v s ，全程运输成本为y =(a +bv 2) v s =sb ⎪⎭⎫ ⎝⎛+bv a v ,v ∈〔0,c ］.〔2〕依题意，有s ,b ,a ,v 差不多上正数.因此y =sb ⎪⎭⎫ ⎝⎛+bv a v ≥2s ab ;①假设b a ≤c ,那么当且仅当v =bv a ⇒v =ba时,y 取到最小值. ②假设ba≥c ,那么y 在〔0，c ］上单调递减， 因此当v =c 时，y 取到最小值.综上所述，为了使全程运输成本最小，当b a ≤c 时，行驶速度应该为v =ba ； 当ba≥c 时，行驶速度应该为v =c .一、选择题1.假设不等式x 2+ax +4≥0对一切x ∈〔0，1］恒成立，那么a 的取值范畴为〔 〕 A .[)+∞,0B .[)+∞-,4C .[)+∞-,5D .[]4,4- 答案 C2.在以下函数中，当x 取正数时，最小值为2的是〔 〕A .y =x +x4B .y =xx lg 1lg +C .y =11122+++x x D .y =x 2-2x +3答案 D3.0＜x ＜1，那么x (3-3x )取得最大值时x 的值为( )A .31 B .21C .43D .32 答案 B4.〔2018·聊城模拟〕假设直线2ax +by -2=0 〔a ,b ∈R +〕平分圆x 2+y 2-2x -4y -6=0，那么a 2+b1的最小值是〔 〕 A .1 B .5 C .42 D .3+22答案 D5.〔2018·汕头模拟〕函数y =log 2x +log x (2x )的值域是〔 〕A .(]1,--∞B .[)+∞,3C .[]3,1-D .(][)+∞--∞,31,答案 D6.有一个面积为1 m 2，形状为直角三角形的框架，有以下四种长度的钢管供应用，其中最合理〔够用且最省〕的是〔 〕A .4.7 m B .4.8 m C .4.9 m D .5 m答案C二、填空题7.〔2018·徐州调研〕假设实数a ,b 满足ab -4a -b +1=0 (a ＞1),那么(a +1)(b +2)的最小值为 . 答案 278.假设a ,b 是正常数，a ≠b ,x ,y ∈(0,+∞)，那么xa 2+yb 2≥()y x b a ++2,当且仅当x a =y b 时上式取等号.利用以上结论，能够得到函数f (x )=x 2+ x219-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈210,x 的最小值为 ，取最小值时x 的值为 . 答案 25 51三、解答题 9.〔1〕0＜x ＜34，求x (4-3x )的最大值； 〔2〕点(x ,y )在直线x +2y =3上移动，求2x+4y的最小值. 解 〔1〕0＜x ＜34,∴0＜3x ＜4. ∴x (4-3x )=31(3x )(4-3x )≤3122343⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x =34当且仅当3x =4-3x ,即x =32时〝=〞成立. ∴当x =32时，x (4-3x 〕的最大值为34. 〔2〕点(x ,y )在直线x +2y =3上移动，因此x +2y =3.∴2x +4y≥2y x 42=2y x 22+=232=42.当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=+=3242y x yx ，即x =23,y =43时〝=〞成立.∴当 x= 3 ,y= 3 时，2x+4y 的最小值为 4 2 . 2410.a、b∈〔0，+∞〕，且 a+b=1,求证：(1)a2+b2≥ 1 ; 2(2) 1 + 1 ≥8; a2 b2(3) a 1 2 + b 1 2 ≥ 25 ; a b 2(4) a 1 b 1 ≥ 25 . a b 4证明由a 2bab , a、b∈〔0，+∞〕，a b 1,得 ab ≤ 1 ab≤ 1 1 ≥4.24 ab〔当且仅当 a=b= 1 时取等号〕 2(1)∵a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2× 1 = 1 ， 42∴a2+b2≥ 1 . 2(2)∵ 1 + 1 ≥ 2 ≥8,∴ 1 + 1 ≥8.a 2 b 2 aba2 b2(3)由(1)、(2)的结论，知 a 1 2 + ab 1 2 =a2+b2+4+ b1 a2+1 b2≥ 1 +4+8= 25 ,∴ a 1 2 +22 ab 1 2 ≥ 25 . b 2(4) a 1 b 1 = b + a +ab+ 1 a b a bab=b a+a b+ 1 abab 2+2≥2+ 2 1 22 +2= 25 4.11.设 a＞0,b＞0,a+b=1.〔1〕证明：ab+ 1 ≥4 1 ; ab 4〔3〕探究猜想，并将结果填在以下括号内：a2b2+ 1 ≥〔〕；a3b3+ 1 ≥〔〕；a2b2a3b3〔3〕由〔1〕〔2〕归纳出更一样的结论，并加以证明.〔1〕证明 方法一 ab+ 1 ≥4 1 4a2b2-17ab+4≥0 ab 4 (4ab-1)(ab-4)≥0. ∵ab=( ab )2≤ a b 2 = 1 ,2 4 ∴4ab≤1，而又知 ab≤ 1 ＜4,4因此〔4ab-1〕(ab-4)≥0 成立，故 ab+ 1 ≥4 1 . ab 4方法二 ab+ 1 =ab+ 1 + 15 ，ab42 ab 42 ab∵ab≤ a 2b 2 =1 4，∴1 ab≥4，∴15 42 ab≥15 4.当且仅当 a=b= 1 时取等号. 2又 ab+ 1 ≥2 ab • 1 = 1 ，42 • ab42 • ab 2当且仅当 ab= 1 ，即 1 =4,a=b= 1 时取等号.42 abab2故 ab+ 1 ≥ 2 + 15 =4 1 ab 4 4 4〔当且仅当 a=b= 1 时，等号成立〕. 2〔2〕解 猜想：当 a=b= 1 时， 2不等式 a2b2+ 1 ≥( a2b2)与 a3b3+ 1 ≥( a3b3〔3〕解 由此得到更一样性的结论：)取等号，故在括号内分不填 16 1 与 64 1 .1664anbn+ 1 ≥4n+ 1 .anbn4n证明如下：∵ab≤ a b 2 = 1 ,∴ 1 ≥4. 2 4 ab∴anbn+ 1 =anbn+1+ 42n 1anbn42n a nbn 42n anbn≥2 a nbn 1+ 42n 1 ×4n42n anbn 42n= 2 + 42n 1 =4n+ 1 ，4n4n4n当且仅当 ab= 1 ,即 a=b= 1 时取等号.4212.某工厂统计资料显示，产品次品率 p 与日产量 x(单位：件，x∈N*，1≤x≤96)的关系如下：x 1 2 3 4 96p1331 333 98 97 324又知每生产一件正品盈利 a(a 为正常数)元，每生产一件次品就缺失 a 元. 3〔注：次品率 p= 次品个数 ×100%，正品率=1-p) 产品总数〔1〕将该厂日盈利额 T〔元〕表示为日产量 x 的函数； 〔2〕为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？解 〔1〕依题意可知：p= 3 (1≤x≤96,x∈N*), 100 x日产量 x 件中次品有 xp 件，正品有 x-px 件，日盈利额 T=a(x-px)- a px=a x 4x .3 100 x (2)∵T=a x4x 100 x =a x4x100100 x400 =a x4400 100 x =a104100x400 100 x ≤a(104-2 400 )=64a，因此当 100-x=20，即 x=80 时，T 最大. 因此日产量为 80 件时，日盈利额 T 取最大值.§6.3不等式的证明基础自测1.设 a、b∈〔0，+∞〕，且 ab-a-b≥1,那么有〔〕A.a+b≥2( 2 +1) C.a+b＜ 2 +1 答案 AB.a+b≤ 2 +1 D.a+b＞2( 2 +1)2.〔2018·宜昌调研〕假设 a,x,y 是正数，且 x + y ≤a x y 恒成立，那么 a 的最小值为A.2 2B. 2C.2答案 B3.以下三个不等式：①a2+2＞2a;②a2+b2＞2(a-b-1);③(a2+b2)(c2+d2)＞(ac+bd)2.其中，恒成立的有A.3 个B.2 个C.1 个答案 CD.0 个4.设 a、b、c、d、m、n∈R+，P= ab cd ，Q= ma nc · b d , 那么有 mnA.P≥QB.P≤QC.P＞Q答案 B 5.〔2018·安徽合肥 5 月〕设 a＞0,b＞0,c＞0,以下不等关系不．恒．成．立．的．是．D.P＜QA.c2+c+1＞c2+ 1 c-1 4B.|a-b|≤|a-c|+|b-c|C.假设 a+4b=1,那么 1 1 ＞6.8 abD.ax2+bx-c≥0〔x∈R〕〔〕D.1〔〕 〔〕〔〕答案 D例 1 a、b、m、n∈R+. 求证：am+n+bm+n≥ambn+anbm.证明 am+n+bm+n-ambn-anbm =am(an-bn)+bm(bn-an) =(an-bn)(am-bm) ∵a、b、m、n∈R+, ∴当 a≥b 时，(an-bn)(am-bm)≥0, ∴am+n+bm+n≥ambn+anbm, ∴a≤b 时，(an-bn)(am-bm)≥0, ∴am+n+bm+n≥ambn+anbm. 综上知：am+n+bm+n≥ambn+anbm. 例 2 a，b，c 为不全相等的正数，求证： b c a c a b a b c ＞3.abc证明 左式= b a c b a c 3 . a b b c c a∵a,b,c 为不全相等的正数，∴ b a ≥2, c b ≥2, a c ≥2,且等号不同时成立.abbcca∴ b a c b a c 3 ＞3, a b b c c a即 b c a c a b a b c ＞3.abc例 3 a＞b＞0,求证：（ a b）2 a b ab (a b)2 .8a28b证明欲证（ a b）2 a b (a b)2 ab ,8a28b只需证（ a b）2 ( a b )2 (a b)28a28b∵a＞b＞0,∴只需证 a b a b a b ,2 2a2 2 2b即 a b 1 a b2a2 b.欲证 a b 1. 2b只需证 a b 2 a , 即 b a .该式明显成立.欲证 1＜ a b , , 2a只需证 2 b a b, ，即 b a .该式明显成立.∴ a b 1 a b 成立，且以上各步都可逆.2a2b∴ (a b)2 a b ab (a b)2 成立.8a28b例 4 〔14 分〕设 Sn 是数列{an}的前 n 项和，对 n∈N*总有 Sn=qan+1〔q＞0,q≠1〕,m,k∈N*,且 m≠k.〔1〕求数列{an}的通项公式 an;〔2〕证明：Sm+k≥ 1 (S2m+S2k); 2〔3〕证明：当 q＞1 时， 2 1 1 .S SSm k2m2k解 〔1〕当 n=1 时，a1=S1=qa1+1,∵q≠1,∴a1= 1 . 1 q∵Sn=qan+1,∴Sn+1=qan+1+1②-①得 Sn+1-Sn=qan+1-qan,∴an+1=qan+1-qan.`∴(q-1)an+1=qan,∵q≠1,∴an+1= q an. q 1∴数列{an}是首项为 1 ,公比为 q 的等比数列.1 qq 1∴an= 1 ×〔 q 〕n-1.1 qq 1(2)由〔1〕得Sn=qan+1= q ×〔 q 〕n-1+1=1-〔 q 〕n.1 qq 1q 1令 q =t,那么 Sm+k=1-tm+k,S2m=1-t2m,S2k=1-t2k, q 1∴Sm+k- 1 (S2m+S2k) 2=(1-tm+k)- 1 [(1-t2m)+(1-t2k)］ 2分= 1 ［(t2m+t2k)-2tm+k］ 2= 1 (tm-tk)2≥0. 2∴Sm+k≥ 1 (S2m+S2k). 2(3)当 q＞1 时，t= q ＞1, q 1∵m≠k,∴t2m≠t2k,1-t2m＜0,1-t2k＜0,1-tm+k＜0.∴-1 S2m1 S2k 1 S2m 1 S2k1分 ① ② 3分4分79分＞2 1 S2m 1 S2k21 (t 2m 1)(t 2k 1)∵0＜(t2m-1)(t2k-1)=t2m+2k-(t2m+t2k)+1＜t2m+2k-2 t 2m t 2k 1 =(1-tm+k)2.∴1 1.(t 2m1 )(t 2k 1 ) (1 t mk ) 2∴-1 S2m1 S2k 21 (1 t mk )222 .t mk 1Smk∴ 2 1 1.S m kSS2m2k1.设数列{an}的首项 a1∈(0,1),an=3a n 1,n=2,3,4,….2(1)求{an}的通项公式；〔2〕设 bn=an3 2a n,证明 bn＜bn+1,其中 n 为正整数.〔1〕解 由 an= 3 an1 ,n=2,3,4,…, 2整理得 1-an=- 1 (1-an-1).又 1-a1≠0, 2因此{1-an}是首项为 1-a1,公比为- 1 的等比数列， 2得 an=1-(1-a1) 1 n-1(n=2,3,4,…). 2〔2〕证明 由〔1〕可知 0＜an＜ 3 ,故 bn＞0. 2因此 b2 n1 b2 n a2 n1(3-2an+1)-a2 n(3-2an)=3a n 22 3 23a n 2-a2 n(3-2an)=9a n(an-1)2.4又由(1)知an＞0且an≠1,故b2 n1b2 n＞0,因此 bn＜bn+1(n 为正整数〕.2.〔2018·成都模拟〕〔1〕设 a、b、c 差不多上正数，求证：bc ca ab ≥a+b+c; ab c (2)a、b、c∈(0，+∞〕，且 a+b+c=1,求证： 1 a 1 b 1 c ≥6. abc证明 〔1〕∵a、b、c∈〔0，+∞〕，∴ bc、ca 、ab 差不多上正数. ab c11 分 13 分 14 分∴ bc ca ≥2c， ca ab ≥2a， bc ab ≥2b.abbcac三式相加，得 2( bc ca ab )≥2(a+b+c). ab c∴ bc ca ab ≥a+b+c. ab c〔2〕 1 a 1 b 1 c b c a c a b abc a b c= b a c a b c a b a c c b≥2+2+2=6.3.假设 0＜a＜c,b＜c,求证：c- c2 ab a c c2 ab .证明 c- c2 ab ＜a＜c+ c2 ab , c2 ab a c c2 ab | a c | c2 ab (a c)2 c 2 ab a2 2ac c2 c2 ab a(a b) 2ac a b 2c①因为 a＜c,故 a+c＜2c,又 b＜c.因此①式成立.因此原不等式成立.4.a＞0,b＞0,c＞0,a+b＞c.求证： a b c . 1 a 1b 1c证明 方法一 〔放缩法〕 ∵a＞0,b＞0,c＞0,a+b＞c,∴ab a b 1 a 1b 1 a b 1 a b= a b c (a b c) c . 1 a b 1 c (a b c) 1 c∴ a b c. 1 a 1b 1c方法二 〔构造函数法〕 令 f(x)= x ,x∈(0,+∞).1 x可知 f(x)= x 在〔0，+∞〕上为单调增函数. 1 x∵a+b＞c＞0,∴f(a+b)＞f(c). 即 ab c .1 a b 1c 又 a b a b ab ,1 a 1b 1 a b 1 a b 1 a b∴ a b c. 1 a 1b 1c一、选择题 1.m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,那么 x、y 的大小关系应是A.x＞y C.x＜y 答案 A 2.假设 0＜a＜b＜1,那么以下各式中成立的是abA.ab＜a ab ＜a 2 ＜aa〔〕 B.x=y D.与 m、n 的取值有关abB.aa＜ a ab ＜a 2 ＜ab〔〕abC.ab＜a 2 ＜aa＜a ab 答案 DabD.ab＜a 2 ＜a ab ＜aa23.a＞b＞0，且 ab=1,假设 0＜c＜1，p=logc a2 b2 2,q=logc 1 ab ,那么 p、q 的大小关系是〔〕A.p＞qB.p=qC.p＜qD.p≥q答案 C4.〔2018·厦门模拟〕假设不等式 x2+2x+a≥-y2-2y 对任意实数 x、y 都成立，那么实数 a 的取值范畴是 〔〕A.a≥0B.a≥1C.a≥2D.a≥3答案 C5.假设 a＞b＞0，以下各式中恒成立的是〔〕A. 2a b a a 2b bB. b2 1 b2 a2 1 a2C.a+ 1 b 1abD.aa＞ab答案 B6.假设实数 m、n、x、y 满足 m2+n2=a,x2+y2=b,其中 a、b 为常数，那么 mx+ny 的最大值为〔〕A. a b 2答案 B 二、填空题B. abC. a2 b2 2D.a2 b227.〔2018·吉林白山一模〕不等式 1 1 0 ,对满足 a＞b＞c 恒成立，那么 的取值范畴是.ab bc ca答案 〔4，+∞〕8.假设 0＜a＜1,0＜b＜1,且 a≠b，那么 a+b,2 ab ,a2+b2,2ab 中最大的是.答案 a+b 三、解答题 9.假如 a＞b,ab=1,求证：a2+b2≥2 2 (a-b),并指明何时取〝=〞号.证明 因为 a＞b,a-b＞0,因此欲证 a2+b2≥2 2 (a-b). 只需证 a 2 b2 ≥2 2 .ab 因为 a＞b,因此 a-b＞0，又知 ab=1.因此a2 b2=a2 b2 2ab 2ab(a b)2 2 ababab=(a-b)+ 2 2 (a b) 2 2 2 .abab因此 a2 b2 2 2 ,即 a2+b2≥2 2 (a-b). ab当且仅当 a-b= 2 ,即 a-b= 2 时，取等号. ab10.：a、b、c 均为正数. 求证：〔ab+a+b+1〕(ab+ac+bc+c2)≥16abc. 证明 ab+a+b+1=(a+1)(b+1), ab+ac+bc+c2=(a+c)(b+c),∵a、b、c∈(0,+∞),∴a+1≥2 a ＞0,b+1≥2 b ＞0,a+c≥2 ac ＞0,b+c≥2 bc ＞0.四式相乘得:(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc.11.x≥0,y≥0,求证： 1 (x+y)2+ 1 (x+y)≥x y +y x .24证明 1 (x+y)2+ 1 (x+y)-(x y +y x ).24= x y (x y 1 ) xy ( x y )22≥ xy (x y 1 ) xy ( x y ) 〔当且仅当 x=y 时等号成立〕 2= xy (x y 1 x y ) 2=xy (x 1)2 ( 2y1 )2 2 ≥0.因此原不等式成立.12. (2018·陕西理，22)数列{an}的首项 a1= 3 ，an+1=3a n，n=1，2，….52a 1 n〔1〕求{an}的通项公式；〔2〕证明：对任意的 x＞0,an≥ 1 1 ( 2 x) ,n=1,2,…; 1 x (1 x)2 3n(3)证明：a1+a2+…+an＞ n 2 . n 1〔1〕解∵an+1=3a n,2a 1n∴ 1 2 1 ,∴ 1 1 1 ( 1 1).a 3 3aa3an 1nn 1n又 1 1 2 ,a31∴ 1 an 1是以2 3为首项，1 3为公比的等比数列.∴ 1 1 2 1 2 , ∴ a 3n .a n3 3n1 3nn 3n 2〔2〕证明 由〔1〕知 an= 3n ＞0, 3n 21 1 ( 2 x) 1 x (1 x)2 3n= 1 1 ( 2 11 x) 1 x (1 x)2 3n=1 1 x1 (1 x)21 a n (1 x)= 1 1 2 a (1 x)2 1 xn=- 1 ( 1 a )2 a a .a 1 x nnnn∴原不等式成立.〔3〕证明 由〔2〕知，对任意的 x＞0,有a1+a2+…+an≥ 1 1 ( 2 x) 1 1 x (1 x)2 31 x1 ( 2 x) 1 1 ( 2 x)(1 x)2 321 x (1 x)2 3n= n 1 ( 2 2 2 nx)1 x (1 x)2 3 323n∴取x=1 (2 n32 322 )3n2 (1 1 ) 3 3n n(1 1)=1 (1 n1 3n), .3那么 a1+a2+ +an≥nn2 n2 .1 1 (1 1 ) n 1 1 n 1n 3n3n∴原不等式成立.§6.4 不等式的解法基础自测1.以下结论正确的选项是 A.不等式 x2≥4 的解集为{x|x≥±2} B.不等式 x2-9＜0 的解集为{x|x＜3} C.不等式(x-1)2＜2 的解集为{x|1- 2 ＜x＜1+ 2 } D.设 x1,x2 为 ax2+bx+c=0 的两个实根，且 x1＜x2,那么不等式 ax2+bx+c＜0 的解集为{x|x1＜x＜x2} 答案 C2.不等式 x 2 ≤0 的解集是 x 1A.(-∞,-1)∪(-1,2］B.［-1,2］〔〕 〔〕C .(-∞,-1)∪［2,+∞)D .(-1,2］答案D3.〔2018·天津理，8〕函数f (x )=⎩⎨⎧≥-<+-,0,1,0,1x x x x 那么不等式x +(x +1)·f (x +1)≤1的解集是 〔 〕A .{x |-1≤x ≤2-1} B .{x |x ≤1}C .{x |x ≤2-1}D .{x |-2-1≤x ≤2-1}答案C4.在R 上定义运算⊗:x ⊗y =x (1-y ).假设不等式(x -a )⊗(x +a )＜1对任意实数x 成立,那么 〔 〕 A .-1＜a ＜1 B .0＜a ＜2 C .-21＜a ＜23D .-23＜a ＜21答案C5.〔2018·江苏，4〕A ={x |(x -1)2＜3x -7}，那么A ∩Z 的元素的个数为 . 答案 0例1 解不等式)35(232+-x ≥21(x 2-9)-3x .解 原不等式可化为-23x 2+25≥21x 2-29-3x , 即2x 2-3x -7≤0.解方程2x 2-3x -7=0,得x =4653±.因此原不等式的解集为 .4654346543|⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤-x x例2 不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为(βα,),且0＜α＜β,求不等式cx 2+bx +a ＜0的解集. 解 方法一 由不等式的解集为〔βα,〕可得a ＜0, ∵βα,为方程ax 2+bx +c =0的两根，∴由根与系数的关系可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+-=②0①0)(αββαa c ab∵a ＜0,∴由②得c ＜0, 那么cx 2+bx +a ＜0可化为x 2+,0>+cax c b①÷②得,011)(<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=βααββαc b 由②得,0111>⋅==βααβc a∴α1、β1为方程x 2+c a x c b +=0的两根.∵0＜α＜β,∴不等式cx 2+bx +a ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><αβ11|x x x 或方法二 由不等式解集为(βα,),得a ＜0, 且βα,是ax 2+bx +c =0的两根， ∴βα+=-a b ,αβ=ac,∴cx 2+bx +a ＜0012>++⇔x abx a c0)1)(1(01)()(2>--⇔>++-⇔x x x x βαβααβ 0)1(1>-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇔βαx x .∵0＜α＜β,∴βα11>,∴x ＜β1或x ＞α1,∴cx 2+bx +a ＜0的解集为.11|⎭⎬⎫⎩⎨⎧><αβx x x 或例3 不等式011>+-x ax (a ∈R ).(1)解那个关于x 的不等式;(2)假设x =-a 时不等式成立,求a 的取值范畴. 解 (1)原不等式等价于(ax -1)(x +1)＞0. ①当a =0时,由-(x +1)＞0,得x ＜-1; ②当a ＞0时,不等式化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x +1)＞0,解得x ＜-1或x ＞a1;③当a ＜0时,不等式化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x +1)＜0;假设a 1＜-1,即-1＜a ＜0,那么a1＜x ＜-1; 假设a1=-1,即a =-1,那么不等式解集为空集;假设a 1＞-1,即a ＜-1,那么-1＜x ＜a1.综上所述,a ＜-1时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 11|;a =-1时,原不等式无解;-1＜a ＜0时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<11|x a x ;a =0时,解集为{x |x ＜-1};a ＞0时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<a x x x 11|或.(2)∵x =-a 时不等式成立, ∴,0112>+---a a 即-a +1＜0,∴a ＞1,即a 的取值范畴为a ＞ 1.例4 〔12分〕f (x )=x 2-2ax +2,当x ∈［-1，+∞〕时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范畴. 解 方法一 f (x )=(x -a )2+2-a 2, 此二次函数图象的对称轴为x =a ,1分 ①当a ∈(-∞,-1)时，结合图象知,f 〔x )在［-1，+∞〕上单调递增，f (x )min =f (-1)=2a +3, 3分 要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a , 即2a +3≥a ,解得a ≥-3,又a ＜-1,∴-3≤a ＜-1; 5分 ②当a ∈［-1，+∞〕时，f (x )min =f (a )=2-a 2, 7分 由2-a 2≥a ,解得-2≤a ≤1, 又a ≥-1,∴-1≤a ≤1.10分 综上所述，所求a 的取值范畴为-3≤a ≤1.12分方法二 由得x 2-2ax +2-a ≥0在［-1，+∞〕上恒成立， 4分 即Δ=4a 2-4〔2-a 〕≤0或,0)1(10⎪⎩⎪⎨⎧≥--<>∆f a8分 解得-3≤a ≤1.12分1.解以下不等式： 〔1〕-x 2+2x -32＞0;(2)9x 2-6x +1≥0.解 〔1〕-x 2+2x -32＞0⇔x 2-2x +32＜0 ⇔3x 2-6x +2＜0Δ=12＞0,且方程3x 2-6x +2=0的两根为 x 1=1-33,x 2=1+33,∴原不等式解集为.331331|⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+<<-x x(2)9x 2-6x +1≥0⇔(3x -1)2≥0. ∴x ∈R ,∴不等式解集为R .2.关于x 的不等式(a +b )x +(2a -3b )＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<31|x x ，求关于x 的不等式(a -3b )x +(b -2a )＞0的解集.解 ∵(a +b )x +(2a -3b )＜0的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<31|x x ,∴⎪⎩⎪⎨⎧>+=-+-+.0,0)32()31)((b a b a b a 因此a =2b ＞0,b ＞0,不等式(a -3b )x +(b -2a )＞0, 即为-bx -3b ＞0,亦即-bx ＞3b ,∴x ＜-3. 故所求不等式的解集为{x |x ＜-3}.3.解关于x的不等式,02<--a x ax 〔a ∈R 〕. 解⇔<--02ax a x 〔x -a 〕〔x -a 2〕＜0,①当a =0或a =1时，原不等式的解集为∅； ②当a ＜0或a ＞1时，a ＜a 2，现在a ＜x ＜a 2; ③当0＜a ＜1时，a ＞a 2，现在a 2＜x ＜a . 综上，当a ＜0或a ＞1时，原不等式的解集为{x |a ＜x ＜a 2}；当0＜a ＜1时，原不等式的解集为{x |a 2＜x ＜a }; 当a =0或a =1时，原不等式的解集为∅. 4.函数f 〔x 〕=x 2+ax +3.(1)当x ∈R 时,f (x )≥a 恒成立,求a 的范畴. (2)当x ∈［-2,2］时,f (x )≥a 恒成立,求a 的范畴. 解 (1)∵x ∈R 时,有x 2+ax +3-a ≥0恒成立, 须Δ=a 2-4(3-a )≤0,即a 2+4a -12≤0,因此-6≤a ≤2.(2)当x ∈［-2,2］时,设g (x )=x 2+ax +3-a ≥0,分如下三种情形讨论(如下图):①如图(1),当g (x )的图象恒在x 轴上方时,满足条件时,有Δ=a 2-4(3-a )≤0,即-6≤a ≤2. ②如图(2),g (x )的图象与x 轴有交点,但在x ∈［-2,+∞)时,g (x )≥0,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--<-=≥∆0)2(,220g a x即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-≤≥⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+--<-≥--374620324220)3(42a a a a a a aa a 或解之得a ∈∅.③如图(3),g (x )的图象与x 轴有交点,但在x ∈(-∞,2］时,g (x )≥0,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥>-=≥∆0)2(,220g a x即.6774620324220)3(42-≤≤-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≥-<-≤≥⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-++>-≥--a a a a a a a a a a 或综合①②③得a ∈［-7，2］.一、选择题1.函数y =)1(log 221-x 的定义域是〔 〕A .［-2,-1〕∪〔1，2］B .［-2，-1］∪〔1，2〕C .［-2，-1〕∪〔1，2］D .〔-2，-1〕∪〔1，2〕答案A2.不等式0412>--x x 的解集是 〔 〕A .(-2,1)B .(2,+∞)C .(-2,1)∪(2,+∞)D .(-∞,-2)∪(1,+∞〕答案C3.假设(m +1)x 2-(m -1)x +3(m -1)＜0对任何实数x 恒成立，那么实数m 的取值范畴是〔 〕A .m ＞1B .m ＜-1C .m ＜-1113D .m ＞1或m ＜-1113答案C4.假设关于x 的不等式：x 2-ax -6a ＜0有解且解的区间长不超过5个单位，那么a 的取值范畴是 〔 〕A .-25≤a ≤1B .a ≤-25或a ≥1C .-25≤a ＜0或1≤a ＜24D .-25≤a ＜-24或0＜a ≤1答案D5. (2018·合肥模拟)函数f (x 〕的定义域为〔-∞，+∞〕，)(x f '为f (x )的导函数，函数y =)(x f '的图象如图所示，且f (-2)=1,f (3)=1,那么不等式f (x 2-6)＞1的解集为〔 〕A .(2,3)∪(-3,-2)B .(-22，,)C .(2,3)D .(-∞,- 2)∪(2,+∞)答案A6.〔2018·珠海模拟〕不等式组⎩⎨⎧<-<-030122x x x 的解集为〔 〕A .{x |-1＜x ＜1}B .{x |0＜x ＜3}C .{x |0＜x ＜1}D .{x |-1＜x ＜3}答案C二、填空题7.假设不等式2x ＞x 2+a 关于任意的x ∈［-2，3］恒成立，那么实数a 的取值范畴为 .答案 (-∞,-8)8.{x |ax 2-ax +1＜0}=∅,那么实数a 的取值范畴为 . 答案 0≤a ≤4三、解答题9.解关于x 的不等式56x 2+ax -a 2＜0. 解 原不等式可化为(7x +a )(8x -a )＜0,即.087<⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+a x a x①当-7a ＜8a ,即a ＞0时,-7a＜x ＜8a ;②当-7a =8a,即a =0时,原不等式解集为∅;③当-7a ＞8a ,即a ＜0时, 8a ＜x ＜-7a .综上知:当a ＞0时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-87|a x a x当a =0时,原不等式的解集为∅;当a ＜0时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<78|a x ax10.x 2+px +q ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ,求不等式qx 2+px +1＞0的解集.解 ∵x 2+px +q ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x∴-31,21是方程x 2+px +q =0的两实数根，由根与系数的关系得,)21(312131⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⨯-=-q p ∴,6161⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==q p ∴不等式qx 2+px +1＞0可化为-61x 2+61x +1＞0,即x 2-x -6＜0,∴-2＜x ＜3,∴不等式qx 2+px +1＞0的解集为{x |-2＜x ＜3}.11.假设不等式2x -1＞m (x 2-1)对满足|m |≤2的所有m 都成立，求x 的取值范畴. 解 方法一 原不等式化为(x 2-1)m -(2x -1)＜0. 令f (m )=(x 2-1)m -(2x -1)(-2≤m ≤2).那么⎩⎨⎧<---=<----=-.0)12()1(2)2(,0)12()1(2)2(22x x f x x f 解得.231271+<<+-x方法二 求不等式视为关于m 的不等式，〔1〕假设x 2-1=0，即x =±1时，不等式变为2x -1＞0,即x ＞21,∴x =1,现在原不等式恒成立. 〔2〕当x 2-1＞0时，使m x x >--1122对一切|m |≤2恒成立的充要条件是21122>--x x ,∴1＜x ＜.231+(3)当x 2-1＜0时，使m x x <--1122对一切|m |≤2恒成立的充要条件是<--1122x x -2.∴271+-＜x ＜1. 由〔1〕〔2〕〔3〕知原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+<<-213217|x x .12.函数f (x )=ax 2+a 2x +2b -a 3,当x ∈(-2,6)时，其值为正，而当x ∈(-∞,-2)∪(6,+∞〕时，其值为负.〔1〕求实数a ,b 的值及函数f (x )的表达式；。

[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则A∩B＝()A．{2,3} B．{1,3} C．{2} D．{3}答案 C解析A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}＝{1,2,3}，故A∩B＝{2}，故选C.2．(2017·河南百校联盟模拟)设a，b∈R，则“(a－b)a2≥0”是“a≥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析当a≥b时，(a－b)a2≥0成立；当(a－b)a2≥0时，由a2>0得a－b≥0，即a≥b，由a＝0不能得到a≥b，a<b也成立，故“(a －b)a2≥0”是“a≥b”的必要不充分条件．故选B.A．2b>2a>2c B．2a>2b>2cC．2c>2b>2a D．2c>2a>2b答案 A4．关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝()A.52B.72C.154D.152 答案 A解析 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52.故选A.5．(2017·广东清远一中一模)关于x 的不等式ax －b ＜0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)＞0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)答案 C解析 关于x 的不等式ax －b ＜0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax ＜b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b ＜0，∴不等式(ax ＋b )(x －3)＞0可化为(x ＋1)(x －3)＜0，解得－1＜x ＜3，∴所求解集是(－1,3)．故选C.6．(2017·松滋期中)已知p ＝a ＋1a －2，q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2，其中a ＞2，x∈R ，则p ，q 的大小关系是( )A ．p ≥qB ．p ＞qC ．p ＜qD ．p ≤q 答案 A解析 由a ＞2，故p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2＋2＝4，当且仅当a ＝3时取等号．因为x 2－2≥－2，所以q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x 2－2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4，当且仅当x ＝0时取等号，所以p ≥q .故选A.7．(2017·河北武邑中学调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，0)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)答案 A解析 ∵f (x )在R 上为奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，∴f (x )在R 上是增函数，结合题意得－4t >2m ＋mt 2对任意实数t 恒成立⇒mt 2＋4t ＋2m <0对任意实数t 恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝16－8m 2＜0⇒m ∈(－∞，－2)，故选A.8．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间答案 C解析 设销售价定为每件x 元，利润为y ，则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有(x －8)[100－10(x －10)]>320，即x 2－28x ＋192<0，解得12<x <16，所以每件销售价应定为12元到16元之间．故选C.9．(2018·江西八校联考)已知定义域为R 的函数f (x )在(2，＋∞)上单调递减，且y ＝f (x ＋2)为偶函数，则关于x 的不等式f (2x －1)－f (x ＋1)>0的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪(2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43∪(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2 答案 D解析 ∵y ＝f (x ＋2)为偶函数，∴y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称．∵f (x )在(2，＋∞)上单调递减，∴f (x )在(－∞，2)上单调递增，又f (2x －1)－f (x ＋1)>0，∴f (2x －1)>f (x ＋1)．当x >2时，2x －1>x ＋1，要使f (2x －1)>f (x ＋1)成立，则x ＋1<2x －1<2，解得x <1(舍去)；当x <2时，2x －1<x ＋1，要使f (2x －1)>f (x ＋1)成立，则有①若2<2x －1<x ＋1，解得x >32，∴32<x <2；②若2x －1≤2<x ＋1，即1<x ≤32，此时2x －1>4－(x ＋1)，即x >43，∴43<x ≤32.综上，43<x <2，故选D.10．(2018·湖南衡阳八中一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，若关于x 的不等式[f (x )]2＋af (x )－b 2<0恰有1个整数解，则实数a 的最大值是( )A ．2B ．3C ．5D ．8 答案 D 解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0的图象如图所示，①当b ＝0时，原不等式化为 [f (x )]2＋af (x )<0，当a >0时，解得－a <f (x )<0，由于不等式[f (x )]2＋af (x )<0恰有1个整数解，因此其整数解为3. 又f (3)＝－9＋6＝－3，∴－a <－3，－a ≥f (4)＝－8，则3<a ≤8. 易知当a ≤0时不合题意．②当b ≠0时，对于[f (x )]2＋af (x )－b 2<0，Δ＝a 2＋4b 2>0， 解得－a －a 2＋4b 22<f (x )<－a ＋a 2＋4b 22， 又－a －a 2＋4b 22<0<－a ＋a 2＋4b 22， f (x )＝0有两个整数解，故原不等式至少有两个整数解，不合题意． 综上可得a 的最大值为8.故选D. 二、填空题11．设a ＞b ＞c ＞0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小顺序是________． 答案 z ＞y ＞x解析 ∵a >b >c >0，∴y 2－x 2＝b 2＋(c ＋a )2－a 2－(b ＋c )2＝2c (a －b )＞0，∴y 2>x 2，即y >x .z 2－y 2＝c 2＋(a ＋b )2－b 2－(c ＋a )2＝2a (b －c )>0， 故z 2>y 2，即z ＞y ，故z >y >x .12．(2018·汕头模拟)若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④x －b >y －a ，⑤a y >bx 这五个式子中，恒成立的不等式的序号是 ________.答案 ②④解析 令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2， 符合题设条件x >y ，a >b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不成立． ∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝bx ，因此⑤不成立．由不等式的性质可推出②④成立．13．(2017·西安质检)在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．答案 32解析 原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1， 即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立， x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32.14．(2017·江苏模拟)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．答案 9解析 解法一：由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)， ∴b －a 24＝0，即b ＝a 24， ∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22. 又∵f (x )<c ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ，即－a 2－c <x <－a2＋c . ∴⎩⎪⎨⎪⎧－a 2－c ＝m ， ①－a 2＋c ＝m ＋6. ②②－①得2c ＝6，∴c ＝9.解法二：由题意知，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a24，∵f (x )的值域为[0，＋∞)．∴b ＝a 24.又∵f (x )<c 可化为x 2＋ax ＋a24－c <0，且f (x )－c <0的解集为(m ，m ＋6)，∴⎩⎨⎧m ＋m ＋6＝－a ，m (m ＋6)＝a 24－c ，∴c ＝a 24－m (m ＋6)＝(2m ＋6)24－m 2－6m ＝364＝9. 三、解答题15．(2017·昆明模拟)设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．解 由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.16．已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0.当x ∈(－3,2)时，f (x )>0.(1)求f (x )在[0,1]内的值域；(2)若ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围． 解 (1)因为当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0，当x ∈(－3,2)时，f (x )>0，所以－3,2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，可得⎩⎨⎧－3＋2＝－b －8a ，－3×2＝－a －ab a ，所以a ＝－3，b ＝5，所以f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋18.75，函数图象关于x ＝－12对称，且抛物线开口向下，在区间[0,1]上f (x )为减函数，函数的最大值为f (0)＝18，最小值为f (1)＝12，故f (x )在[0,1]内的值域为[12,18]．(2)由(1)知，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0化为－3x 2＋5x ＋c ≤0，因为二次函数y ＝－3x 2＋5x ＋c 的图象开口向下，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3<0，Δ＝b 2－4ac ≤0，即25＋12c ≤0⇒c ≤－2512，所以实数c 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－2512.。