求函数零点的方法

[]2012.250【数理化研究】关注新课改使高中课程发生很大的变化，减少和增加了很多内容，其中增加了函数零点问题。

函数零点涉及到很多方法：如等价转化、函数方程、数形结合等思想方法，还有近似求函数零点方法———二分法这些成为求函数零点的基本策略。

一、求函数的零点例1求函数y=x 2-（x<0）2x-1（x 0）{的零点。

解：令x 2-1=0（x<0），解得x=1，2x-1=0（x≥0），解得x=12。

所以原函数的零点为和-1和12。

点评：求函数f （x ）的零点，转化为方程f （x ）=0，通过因式分解把方程转化为一（二）次方程求解。

二、判断函数零点个数例2求f （x ）=x-4x 的零点个数。

解：函数的定义域（-∞，0）∪（0，＋∞）。

令f （x ）=0即x-4x =0，解得：x=2或x=-2。

所以原函数有2个零点。

点评：转化为方程直接求出函数零点，注意函数的定义域。

三、根据函数零点反求参数例3若方程a x -x-a=0有两个解,求a 的取值范围。

析：方程a x -x-a=0转化为a x =x+a。

由题知，方程a x -x-a=0有两个不同的实数解，即函数y=a x 与y=a+x 有两个不同的交点，如图所示。

（1）0<a<1。

此种情况不符合题意。

（2）a>1。

直线y=x+a 在y 轴上的截距大于1时，函数y=a x 与函数y=a+x 有两个不同的交点。

所以a<0与0<a<1均不符合题意，故答案为（1，+∞）。

点评：采用分类讨论与用数形结合的思想。

四、用二分法近似求解零点例4求函数f （x ）=x 3+x 2-2x-2的一个正数零点（精确到0.1）。

解：（1）第一步确定零点所在的大致区间（a，b ），可利用函数性质，也可借助计算机，但尽量取端点为整数的区间，并尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间。

（2）列表如下：零点所在区间中点函数值区间长度（1，2）f （1.5）>01（1，1.5）f （1.25）<00.5（1.25,1.5）f （1.375）<00.25（1.375,1.5）f （1.438）>00.125（1.375,1.438）f （1.4065）>00.0625可知区间（1.375，1.438）长度小于0.1，故可在（1.375，1.438）内取1.4065作为函数f （x ）正数的零点的近似值。

求函数零点所在区间方法
牛顿迭代法和二分法是求函数零点所在区间上常用的两种方法。

牛顿迭代法是一种属于非线性迭代的方法。

该方法以拟合函数的二次函数进行局部逼近，因此也称为牛顿二次插值法，其核心是基于变分法的单点迭代方法，利用函数的前缀
函数在某点处的导数及势函数在此点处的值，迭代求解函数零点的近似值。

牛顿迭代法的
关键是计算函数的非线性的导数，根据变分法的思想，每次迭代过后，利用两点的差商求
函数的一次近似值。

如果函数是二次函数，则可以利用牛顿迭代法，转换为一次导数等于
0就可以获得最终精确零点。

牛顿迭代法的特点是速度快，收敛性良好，在数值计算中经
常用来求函数零点所在区间，不过，该方法仅能求连续函数的零点，也就是说可以求出连
续函数在某个区间内的零点。

二分法也称为折半法、折半搜索法，与牛顿迭代法很相似，属于单点迭代，效率较低，适用于求函数单调区间上的零点。

其核心思想是：在某个函数区间上，选取点，判断函数
图像在该点是上升或下降，从而在不断缩小范围的基础上，找到函数零点所在的区间，最
终得到函数零点。

牛顿迭代和二分法都是求函数零点的基本方法，牛顿迭代法收敛速度较快，但是只适合连续函数；而二分法使用简单，可以求不连续而且是单调的函数的零点，
是比较常用的求函数零点的方法，但是它的收敛速度相较于牛顿迭代来慢一些。

求函数零点的方法
1. 图像法：将函数的图像画出来，零点即为函数与x轴交点。

2. 代数法：将函数化简并解方程，使函数等于0，求出解即为零点。

3. 迭代法：根据函数的单调性不断逼近零点，直至满足精度要求。

4. 数值逼近法：利用数值计算方法，对函数进行逼近，求出函数的近似零点。

5. 正交多项式法：将函数展开成正交多项式的形式，利用正交多项式的性质求出函数的零点。

6. 差分法：利用函数在不同点上的取值差别，逼近求出函数的零点。

7. 导数法：利用导数的定义和性质，求出函数的导数，并找出导数为0的点，即为函数的零点。

函数的单调性与零点的求解函数的单调性和零点的求解在数学中是非常重要的概念和技巧。

单调性描述了一个函数在某个区间内的增减趋势，而求解函数的零点则是求出函数取零的x值。

本文将对函数的单调性和零点的求解进行详细的讨论。

一、函数的单调性函数的单调性指的是函数在定义域内增减的趋势。

一个函数可以是递增的，也可以是递减的，还可以是常数函数或者不单调的函数。

下面是一些常用的判断函数单调性的方法：1. 导数法：对于连续可导的函数，通过求导可以得到函数的导函数，即函数的变化率。

如果导函数在某个区间内恒正，那么函数在该区间内是递增的；如果导函数在某个区间内恒负，则函数在该区间内是递减的。

2. 增减表法：对于不连续的函数或者无法求导的函数，可以通过增减表来判断函数的单调性。

增减表是一个表格，将函数的定义域分成若干个区间，然后确定每个区间上函数的增减性。

在每个区间内选择一个x值，代入函数中求得函数值，然后观察函数值的增减情况，从而确定函数的单调性。

二、函数零点的求解函数的零点指的是函数取零的x值，即满足函数f(x) = 0的x值。

求解函数的零点在许多数学问题中都是非常重要的：1. 列方程法：对于一元函数，可以通过列方程来求解函数的零点。

将函数等于零的方程列出，然后通过解方程的方法来求得函数的零点。

例如，对于函数f(x) = x^2 - 4x + 3，我们可以将f(x) = 0化为方程x^2 -4x + 3 = 0，然后通过因式分解、配方法或者求根公式等方法解方程，得到函数的零点为x = 1和x = 3。

2. 图像法：对于一元函数，可以通过观察函数的图像来估计函数的零点。

将函数的图像绘制在坐标系中，然后通过观察图像与x轴的交点来估计函数的零点。

这种方法在函数比较简单、对称性较明显的情况下比较有效。

3. 数值解法：对于一些复杂的函数，或者求解精度要求较高的情况，可以使用数值解法来求解函数的零点。

常用的数值解法包括二分法、牛顿迭代法、割线法等。

二次函数的零点求解二次函数是高中数学中常见的一种函数形式，其表达式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。

在解决实际问题或求函数图像时，经常需要求解二次函数的零点，也即函数的解。

一、二次函数零点的定义二次函数的零点即函数图像与x轴交点的横坐标值。

换句话说，就是使函数值等于零的x值。

二、求解二次函数零点的方法1. 因式分解法：当二次函数可以因式分解为两个一次因式相乘的形式时，我们可以通过将每个因式等于零来求解零点。

例如：y=x^2-9，可以分解为y=(x+3)(x-3)，通过(x+3)=0和(x-3)=0，我们可以得到x=-3和x=3，即二次函数的零点为x=-3和x=3。

2. 公式法：当二次函数无法因式分解时，我们可以利用二次函数的根公式来求解零点。

根公式为：x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}其中，a、b、c为二次函数的系数，注意判别式b^2-4ac的值决定了根的情况。

a. 当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根；b. 当判别式等于0时，方程有两个相等的实根；c. 当判别式小于0时，方程无实根。

例如：y=x^2-5x+6，根据根公式，我们可以计算出判别式为(-5)^2-4\times1\times6=1，判别式大于0，因此方程有两个不相等的实根。

使用根公式计算可得：x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}，化简后得到x=3和x=2，即二次函数的零点为x=3和x=2。

三、求解二次函数零点的示例以一个具体的例子来说明二次函数零点的求解过程。

例题：求解二次函数y=2x^2-5x+3的零点。

解：根据公式法，我们可以计算出判别式为(-5)^2-4\times2\times3=1，判别式大于0，因此方程有两个不相等的实根。

使用根公式计算可得：x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{4}，化简后得到x=3和x=\frac{1}{2}，即二次函数的零点为x=3和x=\frac{1}{2}。

函数零点区间的求法
函数零点求法是一种数学技术，其主要作用是通过分析函数的行为来确定它在特定区间内的零点（即根）。

由于函数零点可以揭示函数的性质，它一直是最基本的求解解析函数的方式之一。

如果一个函数在某个区间内只有一个零点，那么可以根据函数表达式的性质使用某种方法找出这个点。

有三种基本方式可以用来求取函数零点：分段函数、图形法以及特征分析法。

首先，最简单的是分段函数，它可以通过迭代一个函数的一个极限，找出一段区间内可能存在零点的函数临界值来确定其零点。

其次，采用图形法时，可以画出函数的曲线图，通过观察其曲线的性质来确定
它的零点。

最后，特征分析法的基本思想是用求导法对函数求导，因此可以由零点的性质确定函数的零点。

此外，当求解函数零点区间时，可以采取多种不同的策略，比如使用函数迭代、采用仿射变换等方法。

这些方法可以精确地求出函数零点区间，并预测函数的行为。

总之，函数零点求法是一种探索函数的特性的重要方法，它可以用来准确地
确定函数在特定区间内的零点，从而更好地分析函数的行为。

所以，这种算法广泛应用于数学、物理和工程等领域，它的重要性和威力不容小觑。

函数的零点
1．函数的零点
【函数的零点】
一般地，对于函数y＝f（x）（x∈R），我们把方程f（x）＝0 的实数根x 叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为 0 的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．
【解法﹣﹣二分法】
①确定区间[a，b]，验证f（a）*f（b）＜0，给定精确度；②求区间（a，b）的中点x1；③计算f（x1）；
④若f（x1）＝0，则x1 就是函数的零点；⑤若f（a）f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，x1））；⑥
若f（x1）f（b）＜0，则令a＝x1．（此时零点x0∈（x1，b）⑦判断是否满足条件，否则重复（2）～（4）
【总结】
零点其实并没有多高深，简单的说，就是某个函数的零点其实就是这个函数与x 轴的交点的横坐标，另外如果在（a，b）连续的函数满足f（a）•f（b）＜0，则（a，b）至少有一个零点．这个考点属于了解性的，知道它的概念就行了．
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用二分法求函数零点二分法是求函数图象连续不间断的函数变号零点的一种算法．使用二分法求零点须满足：①()y f x =在闭区间[]a b ，上的图象连续不间断；②()()0f a f b <．二分法不适合不变号零点的情况．二分法求零点的根本方法是：第一步 取初始区间[]a b ，，使()()0f a f b <，且所给区间恰好能找到函数的一个零点；第二步 取区间[]a b ，的中点1x ，求1()f x 的值，并作出判断，假设11()0f x x =，就是所求零点，计算结束；假设1()0f x ≠，判定零点是在区间1[]a x ，还是在1[]x b ，上，即判断1()()0f a f x <，1()()0f x f b <哪一个成立，从而进入下一步计算；第三步 对已确定的区间，重复第二步，直到到达规定的误差要求，计算结束.实施上述步骤，函数的零点总位于区间[]n n a b ，，当 2n n a b ε-<时，区间[]n n a b ，的中点1()2n n n x a b =+就是函数()y f x =的近似零点，这时函数()y f x =的近似零点与真正零点的误差不超过ε.这也就是说：函数的零点总位于区间[]n n a b ，内，得到一系列的有根区间0011[][][]n n a b a b a b ，，，[]n n a b ，的长度为n d ，那么00122n n n n n n b a d b a x c d -=-=-<，，即0012n n b a x c +--<〔其中c 为函数的真正零点〕.所以当2n n a b ε-<时，1122n n n n x c d b a ε-<=-<.反过来，由n x c ε-<出发，0000111222n n n n b a b a x c d εε++---<=<>，〔ε为精确度要求，00a b ，为初始区间端点值〕，根据该式可以确定n 的最小值0n ，这样我们做题时就可以事先知道需要0n 次取中点就能求出符合精确度要求的近似零点.了解这一点，对解题是非常有益的.例 用二分法求函数32()33f x x x x =+--的正零点〔精确到0.01〕.解：3222()33(1)3(1)(1)(3)(1)(0f x x x x x x x x x x x x =+--=+-+=+-=+=∴函数的零点为1-，.23x x ==，，令2()3f x x =-2()3f x x =-的零点， ∵ (1)20(2)10f f =-<=>，，， ∴可取初始区间[12]，用二分法逐次计算.由0012n b a ε+->，知12121000.01n +->=，经验证，n 取最小值为6时，即经过6次取∵区间[1.718751.734375]，的长度小于20.010.02⨯=．于是函数()f x 的正零点为7 1.7265625x =．。

牛顿法求零点的方法牛顿法，也被称为牛顿-拉弗逊方法，是一种用于求解方程零点或找到函数极值的迭代方法。

下面将展开详细描述50条关于牛顿法求零点的方法：1. 函数定义：牛顿法需要求解的函数f(x)在某一区间内具有连续的一阶和二阶导数。

2. 选择初始值：从初始值x₀开始迭代求解，初始值的选取对收敛速度有重要影响。

3. 迭代公式：根据牛顿法的迭代公式xᵢ₊₁ = xᵢ - f(xᵢ)/f'(xᵢ)进行迭代计算，直至满足精度要求。

4. 收敛性分析：对于给定初始值，需要分析函数性质，判断牛顿法求解是否会收敛到目标零点。

5. 判断收敛：通过设定迭代次数限制或者迭代精度要求来判断牛顿法的求解是否已经收敛。

6. 求解零点：当收敛判据满足后，将得到一个近似的函数零点作为结果输出。

7. 牛顿法的收敛速度：根据函数的性质和初始值的选择来分析牛顿法的收敛速度，可以采取一些加速收敛的方法来提高求解效率。

8. 收敛域的设定：针对特定的函数，可以设定合适的收敛域，加快算法的收敛速度。

9. 牛顿法的误差分析：对于连续函数，可分析牛顿法的误差收敛性，了解迭代逼近零点的精确度。

10. 稳定性分析：牛顿法的稳定性受初始值和函数性质的影响，需要进行稳定性分析，确保算法的可靠性。

11. 牛顿法的优化：可以对牛顿法进行改进，减小迭代次数或增加收敛速度，提高算法的效率。

12. 牛顿法与其他方法的比较：分析牛顿法与二分法、割线法等其他求根方法的优劣，选择合适的方法来求解。

13. 牛顿法的推广：对于多元函数或非线性方程组，可以推广牛顿法来求解多元函数的零点。

14. 牛顿法的受限条件：在实际应用中，需要考虑函数的定义域和受限条件，对牛顿法进行适当的调整。

15. 牛顿法的数值稳定性：需要考虑数值计算过程中的舍入误差和数值不稳定性，保证计算结果的准确性。

16. 牛顿法的局部收敛性：牛顿法的局部收敛性可能受到函数的振荡和奇点等因素的影响，需要加以分析和处理。

二分法求函数零点
二分法求函数零点是一种数值解法，它利用二分搜索的思想，通过不断地将函数的定义域划分为较小的子域，来求函数的零点。

假设函数f(x)在区间[a,b]上单调，且f(a)f(b)<0，即函数在区间[a,b]上必定有一个零点。

1. 首先确定区间[a,b]，计算出中点c，即c=(a+b)/2；
2. 计算f(c)，若f(c)=0，则c即为所求零点；若f(c)不等于0，
则根据f(c)与f(a)的符号关系，确定下一个搜索区间；
3. 若f(c)与f(a)异号，则零点位于区间[c,b]，此时a=c，继续重复步骤1；若f(c)与f(a)同号，则零点位于区间[a,c]，此时b=c，继续重复步骤1；
4. 重复步骤1-3，直到搜索区间的宽度小于某一预先设定的精
度值，此时得到的零点即为所求零点。