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随机变量及其分布在我们的日常生活和科学研究中，常常会遇到各种各样的不确定现象。
比如，明天的天气是晴是雨，一场考试的成绩是高是低，或者在生产线上产品的质量是否合格等等。
为了更好地理解和描述这些不确定的情况，数学中引入了一个重要的概念——随机变量。
那么，什么是随机变量呢？简单来说，随机变量就是一个将随机试验的结果与实数对应起来的函数。
它的取值是由随机试验的结果决定的，并且具有不确定性。
举个例子，假设我们进行一次掷骰子的试验。
如果我们关心掷出的点数，那么可以定义一个随机变量 X ，它的值就是掷出的点数。
在这个例子中，随机变量 X 可能的取值就是 1、2、3、4、5、6 。
随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。
离散型随机变量的取值是可以一一列举出来的，就像上面掷骰子的例子。
而连续型随机变量的取值则是在某个区间内连续变化的，比如测量一个人的身高，身高可以在一定的范围内取任意实数值。
了解了随机变量的类型，接下来我们看看它们的分布。
分布描述了随机变量取不同值的概率情况。
对于离散型随机变量，我们通常用概率分布列来描述它的分布。
概率分布列就是列出随机变量的所有可能取值以及对应的概率。
比如，对于上面掷骰子的随机变量 X ，它的概率分布列为：X ： 1 2 3 4 5 6P ： 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6这个概率分布列清楚地告诉我们，掷出每个点数的概率都是 1/6 。
连续型随机变量的分布则通常用概率密度函数来描述。
概率密度函数并不是直接给出随机变量取某个值的概率，而是给出概率在某个区间内的分布情况。
比如说，正态分布就是一种常见的连续型分布，它的概率密度函数是一个钟形曲线。
在实际应用中，随机变量及其分布有着广泛的用途。
比如在保险行业，保险公司需要根据投保人的风险情况（可以用随机变量来表示）以及风险的分布来制定合理的保险费率；在质量控制中，通过对产品质量指标（随机变量）的分布进行分析，可以判断生产过程是否稳定，是否需要进行调整；在金融领域，股票价格的波动可以看作是一个随机变量，对其分布的研究有助于投资者做出合理的决策。
随机变量及其分布例题和知识点总结在概率论与数理统计中，随机变量及其分布是非常重要的概念。
理解和掌握这部分知识对于解决各种概率问题至关重要。
接下来，我们将通过一些具体的例题来深入探讨随机变量及其分布的相关知识点。
一、随机变量的概念随机变量是指定义在样本空间上的实值函数。
简单来说，就是对于随机试验的每一个可能结果，都对应着一个实数。
例如，抛一枚硬币，正面朝上记为 1，反面朝上记为 0，这里定义的 0 和 1 就是随机变量。
二、常见的随机变量分布1、离散型随机变量分布（1）0 1 分布也称为伯努利分布，随机变量只有两个可能的取值 0 和 1，概率分别为 p 和 1 p 。
（2）二项分布在 n 重伯努利试验中，成功的次数 X 服从二项分布 B(n, p) 。
例题：进行 10 次独立的投篮，每次投篮命中的概率为 07，求命中次数的分布。
解：设命中次数为 X ，则 X 服从二项分布 B(10, 07) 。
P(X ＝ k) ＝ C(10, k) 07^k （1 07)＾（10 k) ，k ＝ 0, 1, 2,， 10 。
（3）泊松分布用于描述在一定时间或空间内稀有事件发生的次数。
2、连续型随机变量分布（1）均匀分布在区间 a, b 上，概率密度函数为常数 1 ／（b a) 。
（2）正态分布是最常见的分布之一，其概率密度函数呈现出钟形曲线的形状。
三、随机变量的数字特征1、期望离散型随机变量的期望为 E(X) ＝Σx P(X ＝ x) ，连续型随机变量的期望为 E(X) ＝∫x f(x) dx 。
例题：已知随机变量 X 的分布列为：｜ X ｜ 1 ｜ 2 ｜ 3 ｜｜｜｜｜｜｜ P ｜ 03 ｜ 05 ｜ 02 ｜求 E(X) 。
解：E(X) ＝ 1 03 ＋ 2 05 ＋ 3 02 ＝ 19 。
2、方差离散型随机变量的方差为 Var(X) ＝Σ(x E(X)）＾2 P(X ＝ x) ，连续型随机变量的方差为 Var(X) ＝∫（x E(X)）＾2 f(x) dx 。
第二章 随机变量及其分布
随机变量：
设随机试验的样本空间为S={e}。
X=X(e)是定义在样本空间S 上的实值单值函数。
称X=X(e)为随机变量。
分布函数：
设X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数
称为X 的分布函数。
有时也记为X~F(x)。
对于任意实数,
因此，若已知X 的分布函数，就可以知道X 落在任一区间(x1,x2]上的概率，在这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。
如果将X 看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数F(x)在x 处的函数值就表示X 落在区间(-∞,x]上的概率。
离散型随机变量及其分布率：
有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量。
容易知道，要掌握一个离散型随机变量X 的统计规律，必须且只需知道X 的所有可能取值以及取每一个可能值的概率。
设离散型随机变量X 所有可能取的值为x k （k=1,2…），X 取各个可能值的概率，即事件{X=x k }的概率，为P{X=x k }=p k ，k=1,2…
由概率的定义，p k 满足如下两个条件：
1、p k >=0，k=1,2…
2、 pk ∞k=1=1.
连续型随机变量及其概率密度：
如果对于随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数f （x ），使对于任意实数x 有 F(x)= f （t ）dt x −∞，则称X 为连续型随机变量，f （x ）称为X 的概率密度函数，简称概率密度。
据数学分析的知识知连续型随机变量的分布函数是连续函数。
有定义知道，概率密度f （x ）具有以下性质：
1、f （x ）>=0；
2、 f （x ）dx ∞−∞=1；
3、对于任意实数x 1，x 2（x 1<= x 2），
P{ x 1<X<= x 2}=F(x 2)-F(x 1)= f(x)dx x2x1；
4、若f(x)在点x 处连续，则有F'(x)=f(x).
反之，若f(x)具备性质1、2，引入G(x)= f （t ）dt x −∞，它是某一随机变量X 的分布函数，f(x)是X 的概率密度。
伯努利试验：
设试验E 只有两个可能结果：A 及⎺A ，则称E 为伯努利（Bernoulli ）试验。
设P(A)=p(0<p<1)，此时P(⎺A)=1-p.
n 重伯努利试验：
将E 独立重复地进行n 次，则称这一串重复的独立试验为n 重伯努利试验。
（0-1）分布：
设离散型随机变量的分布律为,其中k=0,1.p 为k=1时的概率(0<p<1)，则称X 服从（0-1）分布，0-1分布又叫两点分布。
二项分布：
二项分布用符号X~b(n ，p)，表示在n 次试验中有x 次成功，成功的概率为p 。
二项分布的概率函数可写作：
X~b(n ，p)=
式中x ＝0、1、2、3．．．．．n 为正整数
两项分布中含有两个参数n 与p ，当它们的值已知时，便可计算出分布列中各概率的值。
泊松分布：
泊松分布的概率函数为：
其中λ>0是常数。
则称X 是服从参数为λ的泊松分布，记为X~π(λ)。
泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。
泊松分布的期望和方差均为
指数分布：
若连续型随机变量X的概率密度为
f(x)=1
θ
e−xθ，x>0, 0，其他,
其中θ>0为常数，则称X服从参数为θ的指数分布。
均匀分布：
若连续型随机变量X具有概率密度
f(x)=
1
b−a
, a<x<b, 0, 其他，
则称X在区间（a,b）上服从均匀分布。
记为X~U(a,b)。
正态分布：
若连续型随机变量X 的概率密度为
，-∞<x<∞,
其中，(>0)为常数，则称X 服从参数为，的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为X~N(，σ2)。
随机变量函数的分布：
设随机变量X具有概率密度f x(x)，-∞<x<∞，又设函数g(x)处处可导且恒有g'(x)>0(或恒有g'(x)<0)，则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为
f Y(y)=f X h y h′y,α<y<β，0, 其他，
其中α=min{g(-∞,∞)},β=max{g(-∞,∞)},h（y）是g（x）的反函数。
小结:
随机变量X=X(e)是定义在样本空间呢S={e}上的实值单值函数。
也就是说，它是随机试验结果的函数。
它的取值随试验的结果而定，是不能预先确定的，它的取值有一定的概率。
随机变量的引入，使概率论的研究由个别随机事件扩大为随机变量所表征的随机现象的研究。
今后，我们主要研究随机变量和它的分布。
