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第四讲 解对初值的连续依赖性和解对初值的可微性（3学时）教学目的：讨论解对初值的连续依赖性与可微性定理，了解对参数的连续性定理 教学要求：理解解对初值的连续依赖性与可微性定理，解对参数的连续性定理及其成立的条件。
教学重点：解对初值的连续依赖性与可微性定理. 教学难点：解对参数的连续依赖性定理的证明思想教学方法：讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。
教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
教学过程：直到现在,我们都是把初值),(00y x 看成固定的值,然后再研究初值问题2200()dy x y dx y x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩ (4.1)的解.当(,)f x y 满足解的存在唯一定理和延拓定理时, (4.1)存在唯一解)(x y ϕ=,这个解是自变量x 的函数，从几何上说，通过点(00,y x )的微分曲线有且一条，当初值0x 和0y 变更时，对应解一般来说也要跟着变,所以(4.1)的解也应是0x ,0y 的函数，方程00()dy y dx y x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 的解为00x x e y y -=，它虽然是所有变量00,,y x x 的函数，也即(4.1)的解不仅依赖于自变量x ，而且也依赖于初值(00,y x )，因此，考虑初值变化，解可以看作三个变量00,,y x x 的函数.记为),,(00y x x y ϕ=它满足),,(0000y x x y ϕ=.现在提出一个应用上很重要问题。
当初值发生变化时，对应解是怎样变化的？应用上需要，当初值00,y x 变化不大时，相应解也变化不大，这就是解对初值的连续性，其确定义为定义2.5 设初值问题00(,)()dyf x y dxy x y **⎧=⎪⎨⎪=⎩ 的解00(,,)y x x y φ**=在区间[,]a b 上存在，如果对0>∀ε，00(,,,)0x x y δε**∃>,使得对于满足0000,,x x y y δδ**-<-<的一切00(,)x y ,初值问题00(,)()dyf x y dx y x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ （2.2）的解00(,,)y x x y φ=都在[,]a b 上存在,并且0000|(,,)(,,)|,[,]x x y x x y x a b φφε**-≤∈则称初值问题（2.2）的解00(,,)y x x y φ=在点00(,)x y **连续依赖于初值00(,)x y .定理2.8 (解对初值的连续依赖定理) 设(,)f x y 于在区域D 内连续，且关于变量y 满足局部Lipchitz 条件. 如果00(,)x y D **∈，初值问题（2.2）有解00(,,)y x x y φ**=，且当a x b ≤≤时，00(,(,,))x x x y D φ**∈，则对0ε∀>，存在0δ>，使对于满足0000,,x x y y δδ**-≤-≤的任意00(,)x y ，初值问题（2.2）有解00(,,)y x x y φ=也在区间[,]a b 上有定义，且有0000|(,,)(,,)|.x x y x x y φφε**-<证明 （略）对给定0ε>，选取 10δε<<，使得闭区域U ：a x b ≤≤, 001(,,)y x x y φδ**-≤ 整个含在区域D 内，这是能够做到的，因为区域D 是开的，且当 a x b ≤≤时，00(,(,,))x x x y D φ**∈，所以，只要1δ选取足够小，以曲线00(,,)y x x y φ**=为中线，宽为12δ的带开域U 就整个包含在区域D 内，如图2-17所示.图 2-17选取δ满足()101N b a e Mδδ--<<+其中N 为李普希兹常数，(,)max (,)x y UM f x y ∈=，另外，还要保证闭正方形0000:,,R x x y y δδ**-≤-≤含于带形区域U 的内部。
第三章 一阶微分方程的解的存在定理教学目的：使学生掌握解的存在唯一性定理的内容及证明思想、延拓定理、解对初值的连续依赖性和可微性定理的内容；掌握逐次逼近法；会判断解的存在区间；了解奇解的概念和解法．教学内容：1、解的存在唯一性定理与逐次逼近法解的存在唯一性定理及其证明、Lipschitz 条件、Picard 逼近序列、逐次逼近法．2、解的延拓定理与延拓条件．3、解对初值的连续依赖性和可微性定理4、奇解、包络、奇解、Clairaut 方程．教学重点：解的存在唯一性定理及其证明教学难点：解的延拓定理、解对初值的连续依赖性、可微性定理的证明 教学过程：§3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法3.1.1 存在唯一性定理定理１ 如果),(y x f 在R 上连续且关于y 满足李普希兹条件，则方程),(y x f dxdy = (3.1) 存在唯一解)(x y ϕ=定义于区间h x x ≤-0上，连续且满足初始条件00)(y x =ϕ （3.3） 其中),(max ),,min(),(y x f M Mb a h R y x ∈== 可用皮卡（Picard ）逐步逼近法证明这个定理，此外，用欧拉折线法（差分法）、绍德尔（Schouder ）不动点方法等亦可证明．逐步逼近法的基本思想分五个命题来证明定理．命题１ 设)(x y ϕ=是方程(3.1)的定义于区间h x x x +≤≤00上，满足初始条件 00)(y x =ϕ的解，则)(x y ϕ=是积分方程h x x x dx y x f y y xx +≤≤+=⎰000,),(0 （3.5）的定义于区间h x x x +≤≤00上的连续解，反之亦然．现取00)(y x =ϕ，构造皮卡逐步逼近函数序列如下：⎪⎩⎪⎨⎧=+≤≤+==⎰-x x n n n h x x x dx f y x y x 0),,2,1(,)(,()()(0010n00 ξϕξϕϕ (3.7) 命题２ 对于所有的n ，(3.7)中函数)(x n ϕ在h x x x +≤≤00上有定义、连续且满足不等式b y x n ≤-0)(ϕ (3.8)命题３ 函数序列{})(x n ϕ在h x x x +≤≤00上是一致收敛的． 设 )()(lim 0x x n n ϕϕ=→，则)(x ϕ也在h x x x +≤≤00上连续，且由(3.８)又可知， b y x n ≤-0)(ϕ命题４ )(x ϕ是积分方程（3.5）定义于区间h x x x +≤≤00上的连续解．命题５ 设)(x ψ是积分方程（3.5）定义于区间h x x x +≤≤00上的另一个连续解，则)(),()(00h x x x x x +≤≤=ψϕ．附注１ （Ｐ84）附注2 由于利普希兹条件比较难于检验，常用),(y x f 在R 上对于y 的连续偏导数代替．附注３ （Ｐ85）定理２ 如果在点),,(000y y x '的某个邻域内，1 ),,(y y x F '对所有变元连续，且存在连续偏导数；2 0),,(000='y y x F ；3 0),,(000≠'∂'∂y y y x F ； 则方程(3.15)存在唯一解．h x x x y y ≤-=0),( （h 未足够小的任意正数）满足初始条件000)(,)(y x y y x y '='= 3.1.2 近似计算与误差估计在(3.14)中令),()(x x ψϕ=可得第n 次近似解)(x n ϕ和真正解)(x ϕ在区间11)!1()()(+++≤-n n n h n Ml x x ϕϕ (3.19) 在近似计算时，可根据误差的要求，选取适当的逐步逼近函数)(x n ϕ．例１ 方程22y x dxdy +=定义于矩形区域11,11:≤≤-≤≤-y x R 上，试利用存在唯一性定理确定过点)0,0(的解的存在区间，并求在此区间上与真正解的误差不超过05.0的近似解的表达式．作业：P88 1、3、4、5、7、9§3.２ 解的延拓局部利普希兹条件，即对于内的每一点，有以其为中心的完全含于G 内的闭矩形R 存在，在R 上),(y x f 关于y 满足利普希兹条件．解的延拓定理 如果方程(3.1)右端的函数),(y x f 在有界区域内连续，且在G 内关于y 满足局部利普希兹条件，则方程(3.1)的通过G 内任意一点),(00y x 的解)(x y ϕ=可以延拓，直到点))(,(x x ϕ任意接近区域G 的边界．以向x 增大的一方的延拓来说，如果)(x y ϕ=只能延拓到区间m x x ≤≤0上，则当m x →时，))(,(x x ϕ趋于区域G 的边界．推论 如果G 是无界区域，在上面解的延拓定理的条件下，方程(3.1)的通过),(00y x 的解)(x y ϕ=可以延拓，以向x 增大的一方的延拓来说，有下面两种情况：(1) 解)(x y ϕ=可以延拓到区间),[0∞+x ；(2) 解)(x y ϕ=只可以延拓到区间),[0m x ，其中m 为有限数，则当m x →时，或者)(x y ϕ=无界，或者点))(,(x x ϕ趋于区域G 的边界．例１ 讨论方程212-=y dx dy 的分别通过点)3,2(ln ),0,0(-的解的存在区间．例２ 讨论方程x dxdy ln 1+=满足条件1)1(=y 的解的存在区间． §3.３ 解对初值的连续性和可微性定理3.3.1 解关于初值的对称性解关于初值的对称性定理 设方程(3.1)的满足初始条件00)(y x y =的解是唯一的，记为),,(00y x x y ϕ=，则在表达式中，),(y x 和),(00y x 可以调换其相对位置，即在解的存在范围内成立着关系式),,(00y x x y ϕ=3.3.2 解对初值的连续依赖性引理 如果函数),(y x f 在某区域D 内连续，且关于y 满足利普希兹条件，则对方程(3.1)的任意两个解)()(x x ψϕ和，在它们的公共存在区间成立着不等式0x x L 00e|)()(||)()(|--≤-x x x x ψϕψϕ (3.20)其中0x 为所考虑区间内的某一值．解对初值的连续依赖性定理 设),(y x f 在区域G 内连续，且关于y 满足局部利普希兹条件，G y x ∈),(00，),,(00y x x y ϕ=是(3.１) 的满足初始条件00)(y x y =的解，它在区间b x a ≤≤上有定义)(0b x a ≤≤，则对于任意给定的0>ε，存在正数),,(b a εδδ=使得当2200200)()(δ≤-+-y y x x 时，方程(3.1)的满足条件00)(y x y =的解),,(00y x x y ϕ=在区间b x a ≤≤上也有定义，并且b x a y x x y x x ≤≤≤-,|),,(),,(|0000εϕϕ证明（略，见P96）解对初值的连续性定理 若),(y x f 在区域G 内连续，且关于y 满足局部利普希兹条件，则方程(3.1)的解),,(00y x x y ϕ=作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是连续的． 3.3.3 解对初值的可微性解对初值的可微性定理 若),(y x f 及yf ∂∂都在区域G 内连续，则方程(3.1)的解),,(00y x x y ϕ=作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是可微的．证明（略，见P100）。
常微分方程课程总结第一章 绪论§1.2微分方程的基本概念（1）常微分方程偏微分方程微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。
常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程。
()(),dyaxy a dxdy p x y Q x dx=+=为常数 偏微分方程：未知函数为多元函数，从而出现偏导数的微分方程。
()22,22242u uf x y x y u u y x ∂∂+=∂∂∂∂=∂∂（2）线性与非线性一般n 阶线性微分方程具有形式：（等式左面全是一次有理整式）()(1)11()()()().n n n n y a x y a x y a x y f x --'++++=（3）解和隐式解微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 隐式解：Φ（x,y ）=0 （4）通解和特解通解：微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数同.） 特解： 确定了通解中任意常数以后的解. 初始条件：用来确定任意常数的条件.初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.（5）积分曲线：微分方程任一特解的图形都是一条曲线,称为微分方程的积曲线。
第二章 一阶微分方程的初等解法§2.1 变量分离方程与变量变换2.1.1、变量分离方程)()(y x f dxdyϕ= ⎰⎰+=c dx x f y dy )()(ϕ 2.1.2、可化为变量分离方程的类型1.形如)(x y g dx dy =，称为齐次微分方程，令u ＝xy ,即y ＝ux ，于是dx dy ＝x dx du ＋u ，代入原方程，变形为x dx du ＋u ＝g （u ），整理得dx du ＝xuu g -)(2.形如222111c x b x a c x b x a dx dy ++++= 的方程也可经变量变换化为变量分离方程（1）常数）(212121k c c b b a a ===，方程化为dxdy ＝k ，有通解c kx y += （2）≠==k b b a a 212121c c 情形，令u ＝y b x a 21+，这时有dx du ＝dx dy b a 22+＝2122c u c ku b a +++是分离变量方程 （3）2121b b a a ≠情形，若21c c 、不全为零，方程右端分子、分母都是x 、y 的一次多项式，因此111c x b x a ++＝0，222c y b x a ++＝0，交点（),βα，令X ＝x －α，Y ＝y －β，化为011=+Y b X a ， 022=+Y b X a 。
3-213-26-解的延拓、解对初值和参数连续性定理、可微性定理3.2 一阶微分方程解的延拓和解对初值和参数的连续依赖性定理(Extension of solution and continuous dependence of solution with respect toinitial value or parameter of ODE )[教学内容] 1. 介绍Picard定理的证明过程; 2.介绍微分方程初值问题解的延拓定理; 3. 介绍微分方程解对初值和参数的连续依赖性定理.[教学重难点] 重点是知道并会运用微分方程初值问题的解的存在唯一性定理、知道解最大存在区间的特点以及解对初值和参数连续性定理条件和结论，难点是如何引入了解定理的证明思路和过程[教学方法] 自学1、2、3；讲授4、5课堂练习[考核目标]1.知道Picard定理的证明思路;2. 知道初值问题解的最大存在区间的特点;3. 知道微分方程初值问题解对初值和参数连续依赖性和可微性定理..1.Picard定理的表述（见上次课讲义）与证明：（1）将初值问题转化为积分方程解的问题：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»并说明两方程为等解方程.（2）构造函数集合«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...». 构造映射«Skip Record If...»，验证«Skip Record If...»且«Skip Record If...».（3）构造函数列«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»，验证«Skip Record If...»在«Skip Record If...»连续且一致收敛，记«Skip Record If...»表示«Skip Record If...»的极限函数.（4）验证函数列«Skip Record If...»一致收敛，由求积分和极限交换次序定理知，«Skip Record If...»为积分方程的一个连续解.（5）运用Gronwall定理证明积分方程的解是唯一的.2. 注解：（1）两个函数之间的距离如何刻画？2.0 1.5 1.00.5定义«Skip Record If...»，从图像来看这样刻画是合理的！（2）Picard函数列与精确解的误差估计：«Skip Record If...».（3）柯西定理及其特殊情形，线性方程解的存在唯一性的条件.（4）一阶隐方程解的存在唯一性定理（参见教材P86定理2）3. 微分方程初值问题的Picard近似解计算和误差估计例42.方程«Skip Record If...»定义在矩形域«Skip Record If...»，试利用解的存在唯一性定理确定经过(0, 0)的解的存在区间，并求出在此区间上与精确解误差不超过0.05的近似解的表达式.（参见教材P87例题1）作业35. 教材P88，习题3，习题10.3.解的延拓定理（1）问题表述：由解的存在性定理知，«Skip Record If...»的解为«Skip Record If...»至少在«Skip Record If...»上存在，那么上述解函数最大的存在区间是什么呢？（2）理解教材P90，图(3.2)，知道饱和解.（3）解的延拓定理及其参见教材P91和P92.考察初值问题«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»在开区域内连续，且在G内对y满足局部的Lipschitz条件，设位于G内一点«Skip Record If...»出发的解«Skip Record If...»的最大存在区间为«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»具有如下特征：当«Skip Record If...»，«Skip Record If...»趋于G的边界；当«Skip Record If...»，«Skip Record If...»趋于G的边界. 特别地，若G=«Skip Record If...»，且方程的任一解都有界，则方程任一解的最大存在区间为«Skip Record If...».例43. （1）讨论方程«Skip Record If...»分别通过点«Skip Record If...»的解的最大存在区间.（2）讨论方程«Skip Record If...»分别通过点«Skip Record If...»的解的最大存在区间.（3）讨论方程«Skip Record If...»过点«Skip Record If...»的解最大存在区间.解：（1）参见教材P92例题1.(2)两个解分别为«Skip Record If...»和«Skip Record If...».(3)右端函数«Skip Record If...»的存在域为«Skip Record If...». 方程的通解为«Skip Record If...»过点«Skip Record If...»的解为«Skip Record If...»，该解向左可以延伸到«Skip Record If...»，向右延伸到«Skip Record If...»；但注意到«Skip Record If...»，因此，该解向右可以延伸到«Skip Record If...».作业36. （1）考察«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»在整个Otx平面上有定义，连续且有界，同时对变量x存在一阶连续偏导数，则方程的任一解的最大存在区间为«Skip Record If...».（2）讨论方程«Skip Record If...»和方程«Skip Record If...»解的最大存在区间.4. 微分方程解对初值的连续性和可微性定理（1）问题表述：由解的存在性定理知，«Skip Record If...»的解为«Skip Record If...»至少在«Skip Record If...»上存在，为了表示解与初值和参数«Skip Record If...»相关，将上述解函数记为«Skip Record If...». 问解函数«Skip Record If...»是否对变量«Skip Record If...»连续，是否可导，以及导函数例如«Skip Record If...»的表达式？考察一个具体的例子：«Skip Record If...»的解为«Skip Record If...»，这就是一个关于变量«Skip Record If...»的多元函数«Skip Record If...».（2）回答：教材P95 定理，P99定理，P100定理.（3）形式推导出«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»满足的方程和表达式.（一）、«Skip Record If...»，对上面两式两边关于«Skip Record If...»求导得到，«Skip Record If...»，求解上述方程初值问题得到，«Skip Record If...».（二）、«Skip Record If...»，对上面两式两边关于«Skip Record If...»求导得到，«Skip Record If...»，说明第二式：«Skip Record If...»，关于«Skip Record If...»求导得到«Skip Record If...».求解上述方程初值问题得到，«Skip Record If...».例44. 假设函数«Skip Record If...»为区间«Skip Record If...»上连续函数，«Skip Record If...»为线性方程«Skip Record If...»的解，«Skip Record If...». 试求(1) «Skip Record If...»; (2) 用常数变易公式求出方程的解函数再通过直接求导法来求出«Skip Record If...». 解：（1）由公式有«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».（2）由常数变易公式得到，«Skip Record If...».再由初值条件确定出«Skip Record If...». 因此，«Skip Record If...».«Skip Record If...»«Skip Record If...»；«Skip Record If...»；«Skip Record If...»；«Skip Record If...».作业37. 给定方程«Skip Record If...»，试求«Skip Record If...»在«Skip Record If...»时的表达式.附录：。
解对初值的连续依赖性定理初值依赖性定理（Initial Value Dependence Theorem）也称为Cauchy-Lipschitz定理，是微分方程的一个重要定理，它指出某个给定的初值问题的解的连续性取决于其初值的连续性。
它是一个非常有用的定理，它可以帮助我们研究微分方程的解，以及它们如何随着初值的变化而变化。
初值依赖性定理的正确性可以归结为一个简单的事实：如果某个特定的初值问题有解，那么不同的初值也会产生不同的解，而且它们之间是连续的。
举个例子，考虑一个简单的微分方程：$$\frac{dy}{dt}=f(y,t) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$假设这个方程的初值是$y(t_0)=y_0$，那么根据初值依赖性定理，当$t_0$和$y_0$的值发生变化时，方程的解也会发生变化，而且这种变化是连续的。
当$t_0$和$y_0$变化得足够小时，这种变化也会足够小，以至于可以忽略不计。
这里还有另一个重要的概念叫做Lipschitz条件，它指出当$(t,y)$发生变化时，方程右边的函数$f(y,t)$也要满足一定的条件。
例如，它的偏导数要小于一个给定的正常数K，即：$$\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right| \leq K \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$$这样的话，如果初值$(t_0,y_0)$发生变化，那么这个变化也会被Lipschitz条件限制，从而使得解也受到相应的限制，因此解也是连续的。
总而言之，初值依赖性定理可以帮助我们研究微分方程的解，以及它们如何随着初值的变化而变化。
Lipschitz条件可以帮助我们判断方程的解是否满足初值依赖性定理。
因此，初值依赖性定理是研究微分方程的一个重要理论。
3.2 一阶微分方程解的延拓和解对初值和参数的连续依赖性定理(Extension of solution and continuous dependence of solution with respect toinitial value or parameter of ODE )[教学内容] 1. 介绍Picard 定理的证明过程; 2.介绍微分方程初值问题解的延拓定理; 3. 介绍微分方程解对初值和参数的连续依赖性定理.[教学重难点] 重点是知道并会运用微分方程初值问题的解的存在唯一性定理、知道解最大存在区间的特点以及解对初值和参数连续性定理条件和结论，难点是如何引入了解定理的证明思路和过程[教学方法] 自学1、2、3；讲授4、5课堂练习 [考核目标]1. 知道Picard 定理的证明思路;2. 知道初值问题解的最大存在区间的特点;3. 知道微分方程初值问题解对初值和参数连续依赖性和可微性定理..1. Picard 定理的表述（见上次课讲义）与证明：（1）将初值问题转化为积分方程解的问题：⎪⎩⎪⎨⎧==00y )y(x y)f(x,dx dy ，⎰+=x x 00y(x))dx f(x,y y(x)并说明两方程为等解方程.（2）构造函数集合}上连h]x h,-[x 在{E 00续φ(x)+=，其中0}Mbmin{a,h >=. 构造映射⎰+=→xx 00y(x))dx f(x,y F( E,E :F φ(x))，验证h]x h,C[x ))((F 00+-∈x φ且]b y b,[y ))((F 00+-∈x φ.（3）构造函数列)}({x n φ，其中 )),((F )()),((F )(,)(120100x x x x y x φφφφφ===，验证)}({x n φ在h]x h,[x 00+-连续且一致收敛，记)(x φ表示)}({x n φ的极限函数.（4）验证函数列(x ))}{f(x ,n φ一致收敛，由求积分和极限交换次序定理知，)(x φ为积分方程的一个连续解.（5）运用Gronwall 定理证明积分方程的解是唯一的. 2. 注解：（1）两个函数之间的距离如何刻画？y=f(x)y=g (x )2.0 1.5 1.00.50.5 1.00.51.01.52.0定义|g(x)f(x)|max g(x)f(x)h]x h,[x x 00-=-+-∈，从图像来看这样刻画是合理的！（2）Picard 函数列与精确解的误差估计：h]x h,[x x ,h 1)!(n ML )()(001n n +-∈+≤-+x x n φφ. （3）柯西定理及其特殊情形，线性方程解的存在唯一性的条件. （4）一阶隐方程解的存在唯一性定理（参见教材P86定理2） 3. 微分方程初值问题的Picard 近似解计算和误差估计 例42. 方程22y x dxdy+=定义在矩形域1] 1,[1] 1,[D -⨯-=，试利用解的存在唯一性定理确定经过(0, 0)的解的存在区间，并求出在此区间上与精确解误差不超过0.05的近似解的表达式.（参见教材P87例题1）作业35. 教材P88，习题3，习题10.3. 解的延拓定理（1）问题表述： 由解的存在性定理知，⎪⎩⎪⎨⎧==00y )y (x y)f(x,dx dy的解为φ(x)y =至少在h]x h,[x 00+-上存在，那么上述解函数最大的存在区间是什么呢？（2）理解教材P90，图(3.2)，知道饱和解. （3）解的延拓定理及其参见教材P91和P92.考察初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00y )y(x y)f(x,dx dy，其中y)f(x,在开区域内连续，且在G 内对y 满足局部的Lipschitz 条件，设位于G 内一点)y ,(x 00出发的解φ(x)y =的最大存在区间为),(βα，则),(βα具有如下特征：当+→αx ，))(,(x x ϕ趋于G 的边界；当-→βx ，))(,(x x ϕ趋于G 的边界. 特别地，若G=2R ，且方程的任一解都有界，则方程任一解的最大存在区间为),(∞+-∞.例43. （1）讨论方程21y dx dy 2-=分别通过点3)2,(ln (0,0),-的解的最大存在区间. （2）讨论方程1t 2dt dx 2-=分别通过点1) (2, 1), (0,的解的最大存在区间.（3）讨论方程y 2dxdy-=过点1) (0,的解最大存在区间. 解：（1）参见教材P92例题1. (2) 两个解分别为1t 1-1,|1t 1t |ln x <<++-=和1t 3,ln 1|1t 1t |ln x >+++-=. (3) 右端函数y 2y)f(x,-=的存在域为0}y |y){(x,≥. 方程的通解为0y ,x )(c y 2=-= 过点1) (0,的解为2x )(1y -=，该解向左可以延伸到∞-，向右延伸到0y 1,x →→；但注意到∞<<∞-=x 0,y ，因此，该解向右可以延伸到∞+.作业36. （1）考察⎪⎩⎪⎨⎧==00x )x(t x)f(t,dt dx，若x)f(t,在整个Otx 平面上有定义，连续且有界，同时对变量x 存在一阶连续偏导数，则方程的任一解的最大存在区间为) ,(∞+-∞.（2）讨论方程22y x 1dx dy +=和方程2y 1dxdy +=解的最大存在区间.4. 微分方程解对初值的连续性和可微性定理（1）问题表述：由解的存在性定理知，⎪⎩⎪⎨⎧==00y )y(x λ)y,f(x,dx dy的解为φ(x)y =至少在h]x h,[x 00+-上存在，为了表示解与初值和参数λ相关，将上述解函数记为),y ,x φ(x ,y 00λ=. 问解函数),y ,x φ(x ,00λ是否对变量λ ,y ,x 00连续，是否可导，以及导函数例如y ∂∂ϕ的表达式？ 考察一个具体的例子：⎪⎩⎪⎨⎧==00y )y(x y λdx dy 的解为)x λ(x 00e y y -=，这就是一个关于变量λ) ,y , x (x ,00的多元函数λ),y ,x (x ,y 00ϕ=. （2）回答：教材P95 定理，P99定理，P100定理. （3）形式推导出0x ∂∂ϕ，0y ∂∂ϕ，λ∂∂ϕ满足的方程和表达式.（一）、⎪⎩⎪⎨⎧==00y )(x )f(x,dx d ϕϕϕ，对上面两式两边关于0y 求导得到，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂∂∂⋅∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂1)(x y y )f(x,y dx d 0000y ϕϕϕϕ，求解上述方程初值问题得到，⎰=∂∂∂∂xx dx y)f(x,0e y ϕϕ.（二）、⎪⎩⎪⎨⎧==00y )(x )f(x,dx d ϕϕϕ，对上面两式两边关于0x 求导得到，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂∂∂⋅∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=)y ,f(x x x y )f(x,x dx d 00000x x ϕϕϕϕ，说明第二式：0000y λ),y ,x ,(x =ϕ， 关于0x 求导得到)y ,f(x xx 0,x x00x x 00x x 0-=∂∂-=∂∂=∂∂+∂∂==ϕϕϕϕ.求解上述方程初值问题得到，⎰-=∂∂∂∂xx dx y)f(x,000e )y ,f(x x ϕϕ.例44. 假设函数Q(x) P(x),为区间b] [a,上连续函数，)y ,x (x ,y 00ϕ=为线性方程Q(x)y P(x)dxdy +=的解，)y ,x ,(x y 0000ϕ=. 试求(1) 00y ,x ,x ∂∂∂∂∂∂ϕϕϕ; (2) 用常数变易公式求出方程的解函数再通过直接求导法来求出00y ,x ,x ∂∂∂∂∂∂ϕϕϕ. 解：（1）由公式有 ,))e Q(x )y P(x ())e Q(x )P(x (xx0x xx 0P(x)dx000P(x)dx0x x 00⎰+-=⎰+-=∂∂=ϕϕ,e y x0x P(x)dx 0⎰=∂∂ϕQ(x)y P(x)x +=∂∂ϕ. （2）由常数变易公式得到，C)Q(t)dt e (e(x )xx P(s)dsP(t)dtt0x x0x +⎰⎰=⎰-ϕ.再由初值条件确定出0y C =. 因此，)y Q(t)dt e (e)y ,x (x ,0xx P(s)dsP(t)dt000t0x x0x +⎰⎰=⎰-ϕ.Q(t)dt )P(x e )Q(x e y Q(t)dt e )P(x (e x x x 0P(s)ds 0P(t)dt 0x x P(s)ds 0P(t)dt 00tx x 0x 0t 0x x 0x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰+-⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰-⎰=∂∂⎰⎰--ϕ⎰+-=∂∂x0x P(x)dx0000))eQ(x y )P(x (x ϕ； ⎰=∂∂x0x P(x)dxey ϕ ； Q(x)e e y Q(t)dt e P(x) e x x0x x0x 0t0x x0x P(s)ds P(t)dt 0x x P(s)ds P(t)dt⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=∂∂--⎰ϕ；Q(x) P(x)x+=∂∂ϕϕ.作业37. 给定方程⎪⎭⎫⎝⎛=x y sin dx dy ，试求000000),,(,),,(y y x x y x y x x y ∂∂∂∂在0,100==y x 时的表达式.附录：。
§3.3 解对初值的连续性和可微性定理在初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==)(),(00x y y y x f dx dy中我们都是把初值),(00y x 看成是固定的数值，然后再去讨论方程),(y x f dxdy=经过点),(00y x 的解.但是假如00(,)x y 变动，则相应初值问题的解也随之变动，也就是说初值问题的解不仅依赖于自变量x ,还依赖于初值00(,)x y .例如：y y x f =),(时,方程y y ='的解是xce y =,将初始条件00)(y x y =带入,可得00x x ey y -=.很显然它是自变量x 和初始条件00(,)x y 的函数.因此将对初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==)(),(00x y y y x f dx dy的解记为),,(00y x x y ϕ=,它满足0000(,,)y x x y ϕ=.当初值发生变化时，对应的解是如何变化的？当初始值微小变动时，方程解的变化是否也很小呢？为此就要讨论解对初值的一些性质.1、解关于初值的对称性设方程(3.1)满足初始条件00()y x y =的解是唯一的,记为),,(00y x x y ϕ=,则在此关系式中,(,)x y 与00(,)x y 可以调换其相对位置.即在解的存在范围内成立关系式00(,,)y x x y ϕ=证明 在方程(3.1)满足初始条件00()y x y =的解的存在区间内任取一点1x ,显然1100(,,)y x x y ϕ=,则由解的唯一性知,过点11(,)x y 的解与过点00(,)x y 的解是同一条积分曲线,即此解也可写为11(,,)y x x y ϕ=并且,有0011(,,)y x x y ϕ=.又由11(,)x y 是积分曲线上的任一点,因此关系式00(,,)y x x y ϕ=对该积分曲线上的任意点均成立.2、 解对初值的连续依赖性由于实际问题中初始条件一般是由实验 测量得到的，肯定存在误差. 有的时候误差比较大，有的时候误差比较小，在实际应用中我们当然希望误差较小，也就是说当00(,)x y 变动很小的时候，相应的方程的解也只有微小的变动，这就是解对初值的连续依赖性所要研究的问题：在讨论这个问题之前，我们先来看一个引理：引理：如果函数(,)f x y 于某域D 内连续，且关于y 满足Lipschtiz 条件（Lipschtiz 常数为L ），则对方程（3.1）的任意两个解()x ϕ及()x ψ，在它们公共存在的区间内成立着不等式0||00|()()||()()|L x x x x x x e ϕψϕψ--≤- （3.17）其中0x 为所考虑区域内的某一值.证明 设()x ϕ, ()x ψ于区间a x b ≤≤上均有定义,令 2()[()()],V x x x a x b ϕψ=-≤≤ 则()2[()()][(,)(,)]V x x x f x f x ϕψϕψ'=--于是 ()|()|2|()()||(,)(,)|2()V x V x x x f x f x LV x ϕψϕψ''≤=--≤ 22()2()0LxLx V x e LV x e --'-≤从而2(())0Lx dV x e dx-≤ 所以,对0[,]x a b ∀∈,有 02()00()(),L x x V x V x ex x b -≤≤≤对于区间0a x x ≤≤,令x t -≤,并记00x t -≤,则方程(3.1)变为(,)dyf t y dx=-- 而且已知它有解()y t ϕ=-和()y t ψ=-. 类似可得02()00()(),L x x V x V x ea x x -≤≤≤因此, 02||00()(),,L x x V x V x e a x b a x b -≤≤≤≤≤两边开平方即得(3.17).利用此引理我们可以证明解对初值的连续依赖性： 解对初值的连续依赖定理假设),(y x f 在区域G 内连续，且关于y 满足局部李普希兹条件，如果00(,)x y G ∈，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==)(),(00x y y y x f dxdy有解00(,,)y x x y ϕ=，它于区间b x a ≤≤上有定义(0a x b ≤≤),则对任意0>ε， (,,)0a b δδε∃=>，使得当2220000()()x x y y δ-+-≤时,方程(3.1)满足条件00()y x y =的解00(,,)y x x y ϕ=在区间b x a ≤≤上也有定义，并且有0000(,,)(,,),x x y x x y a x b ϕϕε-<≤≤.证明 记积分曲线段00:(,,)(),S y x x y x a x b ϕϕ=≡≤≤是xy 平面上一个有界闭集. 第一步:找区域D ,使S D ⊂,而且(,)f x y 在D 上关于y 满足Lipschitz 条件.由已知条件,对(,)x y S ∀∈,存在以它为中心的开圆,C C G ⊂,使(,)f x y 在其内关于y 满足Lipschitz 条件.因此,根据有限覆盖定理,可以找到有限个具有这种性质的圆(1,2,,)i C i N =(不同的i C ,其半径i r 和Lipschitz 常数i L 的大小可能不同),它们的全体覆盖了整个积分曲线段S ,令1Ni i G C ==,则S G G ⊂⊂,对0ε∀>,记1(,),min(,2),max(,)N d G S L L L ρηερ=∂==,则以S 上的点为中心,以η为半径的圆的全体及其边界构成包含S 的有界闭域D G G ⊂⊂,且(,)f x y 在D 上关于y 满足Lipschitz 条件, Lipschitz 常数为L .第二步:证明(,,)0(a b δδεδη∃=><，使得当2220000()()x x y y δ-+-≤时,解00()(,,)y x x x y ψϕ==在区间a x b ≤≤上也有定义.由于D 是一个有界闭域,且(,)f x y 在其内关于y 满足Lipschitz 条件,由解的延拓定理可知, 解00()(,,)y x x x y ψϕ==必能延拓到区域D 的边界上.设它在D 的边界上的点为(,())c c ψ和(,())d d ψ,c d <,这时必有,c a d b ≤≥.否则设,c a d b ><,由引理有0||00|()()||()()|,L x x x x x x e c x d ϕψϕψ--≤-≤≤利用()x ϕ的连续性,对()112L b a eδη--=,必有20δ>存在,使当02||x x δ-≤时有01|()()|x x ϕϕδ-<,取12min(,)δδδ=,则当2220000()()x x y y δ-+-≤时就有0002||22002||200002||2200002101|()()||()()|2(|()()||()()|) 2(|()()||()()|) 2(|L x x L x x L x x x x x x e x x x x e x x x x ey ϕψϕψϕϕϕψϕϕϕψδ----≤-≤-+-≤-+-<+-22()022()21|) 4 ()L b a L b a y e e c x d δη--≤=≤≤ (3.18)于是对一切[,],|()()|x c d x x ϕψη∈-<成立,特别地有 |()()|c c ϕψη-<,|()()|d d ϕψη-<即点(,())c c ψ和(,())d d ψ均落在域D 的内部,这与假设矛盾,故解()y x ψ=在区间[,]a b 上有定义.第三步 证明|()()|,x x a x b ϕψε-<≤≤.在不等式（3.18）中将区间[,]c d 换成[,]a b ，可知当2220000()()x x y y δ-+-≤时，就有0000(,,)(,,),x x y x x y a x b ϕϕηε-<≤≤≤. 根据方程解对初值的连续依赖定理及解对自变量的连续性有 3、解对初值的连续性定理若函数),(y x f 在区域G 内连续，且关于y 满足局部李普希兹条件,则方程(3.1) 的解00(,,)y x x y ϕ=作为00,,x x y 的函数在它的存在范围内是连续的.证明 对00(,)x y G ∀∈,方程(3.1)过00(,)x y 的饱和解00(,,)y x x y ϕ=定义于0000(,)(,)x y x x y αβ≤≤上,令 00000000{(,,)|(,)(,),(,)}V x x y x y x x y x y G αβ=≤≤∈ 下证00(,,)y x x y ϕ=在V 上连续.对00(,,)x x y V ∀∈,[,]a b ∃,使解00(,,)y x x y ϕ=在[,]a b 上有定义,其中0,[,]x x a b ∈.对10,0εδ∀>∃>,使得当22200001()()x x y y δ-+-≤时,0000(,,)(,,),2x x y x x y a x b εϕϕ-<≤≤又00(,,)y x x y ϕ=在[,]x a b ∈上对x 连续,故20δ∃>,使得当2||x x δ-≤时有 0000(,,)(,,),,[,]2x x y x x y x x a b εϕϕ-<∈取12min(,)δδδ=,则只要22220000()()()x x x x y y δ-+-+-≤就有000000000000(,,)(,,)|(,,)(,,)||(,,)(,,)|22x x y x x y x x y x x y x x y x x y ϕϕϕϕϕϕεεε-≤-+-<+=从而得知00(,,)y x x y ϕ=在V 上连续.4、解对初值和参数的连续依赖定理 讨论含有参数λ的微分方程(,,)dyf x y dxλ :(,),G x y G λαλβ∈<< (3.19) 如果对(,,)x y G λλ∀∈，都存在以(,,)x y λ为中心的球C G λ⊂，使得对任何12(,,),(,,)x y x y C λλ∈，成立不等式1212|(,,)(,,)|||f x y f x y L y y λλ-≤-其中L 是与λ无关的正数，称函数(,,)f x y λ在G λ内关于y 一致地满足局部的李普希兹条件.由解的唯一性，对每一0(,)λαβ∈，方程（3.19）通过点00(,)x y G ∈的解是唯一确定的，记这个解为000(,,,)y x x y ϕλ=.设(,,)f x y λ在G λ内连续,且在G λ内关于y 一致地满足局部的李普希兹条件,000000(,,),(,,,)x y G y x x y λλϕλ∈=是方程(3.19)通过00(,)x y 的解,在区间a x b ≤≤上有定义,其中0a x b ≤≤,则对0,(,,)0a b εδδε∀>∃=>,使得当222200000()()()x x y y λλδ-+-+-≤时,方程(3.19)通过点00(,)x y 的解00(,,,)y x x y ϕλ=在区间a x b ≤≤上也有定义,并且 00000(,,,)(,,,),[,]x x y x x y x a b ϕλϕλε-<∈ 5、解对初值和参数的连续性定理设函数(,,)f x y λ在区域G λ内连续，且在G λ关于y 一致地满足局部李普希兹条件,则方程(3.19) 的解00(,,,)y x x y ϕλ=作为00,,,x x y λ的函数在它的存在范围内是连续的. 6、 解对初值的可微性定理如果函数),(y x f 以及y y x f ∂∂),(都在区域G 内连续，则对初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==)(),(00x y y y x f dx dy的解),,(00y x x y ϕ=作为 00,,x x y 的函数，在它有定义的范围内有连续可微的.证明 由yy x f ∂∂),(在区域G 内连续，可知),(y x f 在G 内关于y 满足局部Lipschitz 条件，根据解对初值的连续性定理，),,(00y x x y ϕ=在它的存在范围内关于00,,x x y 是连续的.下面证明函数00(,,)y x x y ϕ=在它的存在范围内的任一点偏导数00,,x x y ϕϕϕ∂∂∂∂∂∂存在且连续.(,),f x xϕϕ∂=∂显然存在且连续. 0x ϕ∂∂先证存在且连续.00000(,)(,)x y x x y +∆由初值和所确定的解分别为00(,,),y x x y ϕϕ=≡000(,,),y x x x y ϕψ=+∆≡即 00(,),xx y f x dx ϕϕ≡+⎰000(,),xx x y f x dx ψψ+∆≡+⎰于是 00(,)(,)xx x x x f x dx f x dx ψϕψϕ+∆-≡-⎰⎰ 00(,)x x x f x dx ψ+∆=-⎰(,())()xx f x dx yϕθψϕψϕ∂+-+-∂⎰01,,,fyθϕψ∂<<∂其中注意到及的连续性有(,())f x y ϕθψϕ∂+-=∂1(,)f x r yϕ∂+∂010100,00.x r x r ∆→→∆==这里当时,且时,类似有0000201(,)(,)x x x f x dx f x y r x ψ+∆-=-+∆⎰120,0r r x ∆≠其中与具有相同性质因此对有00210(,)()[(,)][]xx f x f x y r r dx x y x ψϕϕψϕ-∂-≡-+++∆∂∆⎰ 即 0z x ψϕ-=∆是初值问题100020(,)[]()(,)dz f x r z dx y z x f x y r zϕ∂⎧=+⎪∂⎨⎪=-+≡⎩的解，00,x ∆=显然当时上述初值问题仍然有解.根据解对初值和参数的连续性定理0000,,,,z x x z xx ψϕ-=∆∆知是的连续函数从而存在 00limx x x ψϕϕ∆→-∂≡∆∂x ϕ∂∂而是初值问题 000(,)()(,)dz f x z dx y z x f x y ϕ∂⎧=⎪∂⎨⎪=-⎩的解,容易得到0000(,)(,)exp()x x f x f x y dx x yϕϕ∂∂=-∂∂⎰00,,x x y 显然它是的连续函数.y ϕ∂∂同样可证存在且连续. 00000(,)(,)x y x y y +∆设由初值和所确定的解分别为00(,,),y x x y ϕϕ=≡000(,,),y x x y y ϕψ=+∆≡类似上述方法可证0z y ψϕ-=∆是初值问题30(,)[]()1dz f x r z dx y z x ϕ∂⎧=+⎪∂⎨⎪=⎩的解.因而30(,)exp([])xx f x r dx y yψϕϕ-∂=+∆∂⎰ 其中3r 具有性质:030300,00.y r y r ∆→→∆==当时,且时,所以有 00000(,)lim exp()x x y f x dx y y yϕψϕϕ∆→∂-∂==∂∆∂⎰00,,x x y 显然它是的连续函数.故00(,(,,))f x x x y xϕϕ∂=∂0000(,)(,)exp()x x f x f x y dx x yϕϕ∂∂=-∂∂⎰00(,)exp()x x f x dx y yϕϕ∂∂=∂∂⎰例1已知方程为)sin(xy dx dy=试求00000==∂∂y x y ϕ，00000==∂∂y x x ϕ.解：方程右端函数(,)sin()f x y xy =在xy 平面内连续，且)cos('xy x f y =也在xy 平面内连续，且其满足0)0(=y 的解为0y =.于是20210cos 000),,(x ds s e e y y x x y x=⎰=∂∂，00sin ),,(00cos 000=⎰-=∂∂xds s e x y x x y .。
