高中数学选修23单元检测试卷及答案.pdf

高中数学选修2-3模块综合检测试题（满分：150分，时间：120分钟）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．从字母a ，b ，c ，d ，e ，f 中选出4个数排成一列，其中一定要选出a 和b ，并且必须相邻(a 在b 的前面)，共有排列方法( )A ．36种B ．72种C ．90种D ．144种【解析】从c ，d ，e ，f 中选2个，有C 24，把a ，b 看成一个整体，则3个元素全排列为A 33，共计C 24A 33＝36.【答案】A2．设随机变量ξ～N (μ，σ2)且P (ξ＜1)＝12，P (ξ＞2)＝p ，则P (0＜ξ＜1)的值为( )A.12p B ．1－p C ．1－2pD.12－p 【解析】由正态曲线的对称性和P (ξ＜1)＝12知μ＝1，即正态曲线关于直线x ＝1对称，于是P (ξ＜0)＝P (ξ＞2)，所以P (0＜ξ＜1)＝P (ξ＜1)－P (ξ＜0)＝P (ξ＜1)－p (ξ＞2)＝12－p .【答案】D3．某机械零件由2道工序组成，第一道工序的废品率为a ，第二道工序的废品率为b ，假设这两道工序出废品是彼此无关的，那么产品的合格率为( )A ．ab －a －b ＋1B ．1－a －bC ．1－abD ．1－2ab【解析】要使产品合格，则第一道工序合格，第二道工序也合格，故产品的合格率为(1－a )(1－b )＝ab －a －b ＋1.【答案】A4．现有甲、乙、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1,2,3,4,5,6的六张卡片．现从甲、乙、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为( )A ．14种B ．16种C ．18种D ．20种【解析】由等差数列的性质知x ＋y ＝2z ，则x ，y 必同奇同偶，所以不同的取法有2C 13C 13＝18种．【答案】C5．已知X 的分布列为：设Y ＝6X ＋1，则Y A ．－16B ．0C ．1D.2936【解析】E (Y )＝6E (X )＋1，由已知得a ＝13，所以E (X )＝－12＋13＝－16，所以E (Y )＝0.【答案】B6．设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11D ．12【解析】化51为52－1，用二项式定理展开．512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a ＝C 02 012522 012－C 12 012522 011＋…＋C 2 0112 012×52×(－1)2 011＋C 2 0122 012×(－1)2 012＋a .因为52能被13整除，所以只需C 2 0122 012×(－1)2 012＋a 能被13整除，即a ＋1能被13整除，所以a ＝12.【答案】D7．小明家1～4月份用电量的一组数据如下：由散点图可知，其线性回归直线方程是y ∧＝－7x ＋a ∧，则a ∧等于( )A ．105B ．51.5C ．52D ．52.5【解析】x ＝1＋2＋3＋44＝52，y ＝45＋40＋30＋254＝35. ∵点5,352⎛⎫⎪⎝⎭在直线y ∧＝－7x ＋a ∧上∴35＝－7×52＋a ∧，∴a ∧＝52.5.【答案】D8．已知随机变量ξ的分布列为：则D (ξ)等于( ) A.1727 B.59 C.12D.25【解析】由分布列的性质得12＋13＋a ＝1，故a ＝16，所以E (ξ)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，所以()22211111151013233369D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯++⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【答案】B9．某市政府调查市民收入与旅游欲望时，采用独立检验法抽取3 000人，计算发现K 2＝6.023，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度是( )C ．97.5%D ．99.5%【解析】∵K 2＝6.023>5.024，∴可断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度为97.5%.【答案】C10.甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3∶2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为( )A ．2233255C ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭B ．3233255C ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭C ．3343255C ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭D ．3342133C ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭ 【解析】由甲队与乙队实力之比为3∶2可知：甲队胜的概率为35，乙队胜的概率为25.于是甲打完4局才胜说明最后一局是甲队胜，在前3局中甲队胜两局，即甲打完4局才胜的概率为3233255C ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭.【答案】B11．如果212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数和是( )A ．0B ．256C ．64D.164【解析】因为展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n ＝6.令x ＝1，则展开式中所有项的系数和是6611112264⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】D12．0.9910的小数点后第1位数字为n 1，第2位数字为n 2，第3位数字为n 3，则n 1，n 2，n 3分别为( )A ．9,0,4B ．9,4,0C ．9,0,2D ．9,2,0【解析】0.9910＝(1－0.01)10＝1－C 110·0.01＋C 210·0.012－C 310·0.013＋C 410·0.014－…＝1－0.1＋0.004 5－0.000 12＋…＝0.904 38＋….【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确的答案填在题中的横线上)13．设随机变量ξ～N (2,2)则12D ξ⎛⎫⎪⎝⎭的值为________．【解析】因为ξ～N (2,2)，所以D (ξ)＝2， 所以12D ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝122D (ξ)＝14×2＝12.【答案】1214．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，要派5名队员参加比赛，其中3名主力队员安排在第一、第三、第五位置，其余7名队员选2名安排在第二、第四位置，那么不同的出场安排共有________种．(用数字作答)【解析】3名主力队员安排在第一、第三、第五位置，有A 33种排法，其余7名队员选2名安排在第二、第四位置，有A 27种排法．那么不同的排法共有A 33A 27＝252种．【答案】25215．(a ＋x )4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________. 【解析】写出展开式的通项T r ＋1＝C r 4·a 4－r x r ，令r ＝3，可求出a 的值． (a ＋x )4的展开式中的通项T r ＋1＝C r 4a 4－r x r，当r ＝3时，有C 34·a ＝8，所以a ＝2. 【答案】216．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．【解析】利用独立事件和对立事件的概率公式求解．设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ，B ，C ，显然P (A )＝P (B )＝P (C )＝12，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为()AB AB AB C ++， ∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率1111111322222228P ⎛⎫=⨯+⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭.【答案】38三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)中央电视台“星光大道”节目的现场观众来自4所学校，分别在图中的四个区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ坐定．有4种不同颜色的服装，同一学校的观众必须穿上同种颜色的服装，且相邻两个区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同着装方法有多少种？【解析】分三种情况：①四所学校的观众着装颜色各不相同时，有A 44＝24种方法；②四所学校的观众着装颜色有三种时，即有两所相同时，只能是Ⅰ与Ⅲ，或Ⅱ与Ⅳ，故有2C 34A 33＝48种方法；③四所学校的观众着装颜色有两种时，则Ⅰ与Ⅲ相同，同时Ⅱ与Ⅳ相同，故有A 24＝12种方法．根据分类加法计数原理知共有24＋48＋12＝84种方法．18．(本小题满分12分)设(x ＋1)4(x ＋4)8＝a 0(x ＋3)12＋a 1(x ＋3)11＋…＋a 11(x ＋3)＋a 12，求：(1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12的值； (2)a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12的值．【解析】(1)令x ＝－2得(－1)4×28＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12，即a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝28＝256.(2)令x ＝－4得(－3)4×08＝a 0－a 1＋a 2－…＋a 12，即a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝0. 故a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝12[(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12)＋(a 0－a 1＋a 2－…＋a 12)] ＝12(256＋0)＝128. 19．(本小题满分12分)为了考察某种新药的副作用，给50位患者服用此新药，另外50位患者服用安慰剂(一种和新药外形完全相同，但无任何药效的东西)，得到如下观测数据【解析】由表中数据得K 2的观测值 k ＝100×(15×46－35×4)250×50×19×81≈7.862.因为7.862＞6.635，所以在犯错的概率不超过0.01的前提下认为新药会产生副作用．20．(本小题满分12分)若n的展开式中前三项系数成等差数列．求 (1)展开式中含x 的一次幂的项； (2)展开式中所有x 的有理项； (3)展开式中系数最大的项． 【解析】由题知C 0n ＋122·C 2n ＝2·12C 1n ， 可得n ＝8或n ＝1(舍去)．(1)T r ＋1＝C r 8(x )8－r r＝C r 8·2－r ·344r x -.令4－34r ＝1，得r ＝4，所以x 的一次幂的项为T 5＝C 482－4x ＝358x . (2)令4－34r ∈Z (r ＝0,1,2，…，8)所以只有当r ＝0,4,8时，对应的项才为有理项．有理项为T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x 2.(3)记第r 项系数为T r ，记第k 项系数最大，则有T k ≥T k ＋1，且T k ≥T k －1.又T r ＝C r －182－r ＋1，于是有11881122882222k k k k k k k k C C C C --+---+--+⎧≥⎪⎨≥⎪⎩，解得3≤k ≤4. 所以系数最大项为第3项T 3＝7x 52和第4项T 4＝7x 74.21．(本小题满分13分)某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题，若调用的是A 类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A 类型试题和一道B 类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B 类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现共有n ＋m 道试题，其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题，以X 表示两次调题工作完成后，试题库中A 类型试题的数量．(1)求X ＝n ＋2的概率；(2)设m ＝n ，求X 的分布列和均值．(数学期望)【解析】以A i 表示第i 次调题调用到A 类型试题，i ＝1,2. (1)P (X ＝n ＋2)＝P (A 1A 2) ＝nm ＋n ·n ＋1m ＋n ＋2＝n (n ＋1)(m ＋n )(m ＋n ＋2). (2)X 的可能取值为n ，n ＋1，n ＋2. P (X ＝n )＝P (A 1A 2)＝n n ＋n ·n n ＋n ＝14， P (X ＝n ＋1)＝P (A 1A 2)＋P (A 1 A 2) ＝n n ＋n ·n ＋1n ＋n ＋2＋n n ＋n ·n n ＋n ＝12， P (X ＝n ＋2)＝P (A 1A 2)＝n n ＋n ·n ＋1n ＋n ＋2＝14， 从而X 的分布列为：EX ＝n ×14＋(n ＋1)×12＋(n ＋2)×14＝n ＋1.22．(本小题满分13分)某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日到3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料n 均不小于25”的概率；(2)若选取的是3月1日与3月5日的两组数据，请根据3月2日至3月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？【解析】 (1)m ，n 的所有取值情况有：(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)，即基本事件总数为10.设“m ，n 均不小于25”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(25,30)，(25,26)，(30,26)． 所以P (A )＝310，故事件A 的概率为310.(2)由数据可得x ＝13(11＋13＋12)＝12，y ＝13(25＋30＋26)＝27, 3x y ＝972.31112513*********i i i x y ==⨯+⨯+⨯=∑， 322221111213434i i x ==++=∑，23432x =.由此可得3132213977972543443223i i i i i x y x y b x x==-⋅-===--∑∑，a ∧＝y －b ∧x ＝27－52×12＝－3.所以y 关于x 的线性回归方程为y ＝52x －3.(3)当x ＝10时，y ＝52×10－3＝22，|22－23|＜2；同样，当x ＝8时，y ＝52×8－3＝17，|17－16|＜2.所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的．。

数学·选修2－3(人教A版)模块综合检测卷(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.变量x，y的散点图如图所示，那么x，y之间的样本相关系数最接近的值是()A．1B．－0.5C．0D．0.5解析：因为r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越大；r的绝对值越接近于0，表明两个变量的线性相关性越小．由图知x、y之间没有相关关系，所以r的绝对值最接近于0.故选C.答案：C2．从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数为()49 8 9 8 5191 5 E (ξ)＝15，D (ξ)＝ 45，则 n 与 p 的值为(A ．60，B ．60，C ．50，D ．50， 解析：由 ξ～B (n ，p )，有E (ξ)＝np ＝15，D (ξ)＝np (1－p )＝ ，所以 p ＝ ，n ＝60.故选 B.⎧⎛x －1⎫⎪6，x <0，⎩－ x ，x ≥0，则当 x >0 时，解析：当 x >0 时，f [f (x )]＝ － x ＋ － x ⎪6的展开式中，x ⎭ ⎝ xA ．C 210A 8B ．C 1A5 9C ．C 1A 5D ．C 1A 8解析：先排第 1 号瓶，从甲、乙以外的 8 种不同作物种子中选出1 种有 C 8种方法，再排其余各瓶，有 A 5种方法，故不同的放法共 C 8A 9有种．故选 C.答案：C3．(2013· 大庆模拟)设 ξ 是服从二项分布 B (n ，p )的随机变量，又4)3 13 14 44 445414答案：B4．(2013· 陕西卷)设函数f (x )＝⎨⎝ x ⎭f [f (x )]表达式的展开式中常数项为()A ．－20B ．20C ．－15D ．15⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎪6＝ ⎝ ⎭C 63 ⎝ x ⎭率都是 ，那么，4 个题中答对 2 个题的概率是 ()625 625 625 625常数项为 ⎛ 1 ⎫ ⎪3(－ x )3＝－20.故选 A.答案：A5．关于 x 的二项式(ax －2)n 的展开式中，二项式系数的和为 128，所有项系数的和为 1，则 a ＝()A ．1B ．－1C ．3D ．1 或 3解析：展开式的二项式系数为 2n ＝128，所以 n ＝7，设(ax －2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，令 x ＝1，得展开式的所有项系数为 a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝(a －2)7＝1，所以 a ＝3.故选 C.答案：C6．一份数学单元试卷中有 4 个填空题，某同学答对每个题的概45A. 16 96 192 256B.C.D.答案：B7．某科研机构为了研究中年人秃发与心脏病是否有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据见下表：秃发不秃心脏病205无心脏病30045077－ 根据表中数据得到 k ＝≈15.968，因为平考试中，取得 A 等级的概率分别为 、 、 ，且三门课程的成绩是A. B. C. D ．1发[来源:]225×750×320×455K 2≥10.828，则断定秃发与心脏病有关系，那么这种判断出错的可能性为()A ．0.1B ．0.05C ．0.01D ．0.001答案：D8．(2013· 佛山一模 )某学生在参加政、史、地三门课程的学业水4 3 25 5 5否取得 A 等级相互独立．记 ξ 为该生取得 A 等级的课程数，其分布列如下表所示，则数学期望 E (ξ)的值为()ξP6 1251a 2b324 12539 5 9125 9 5答案：C二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分；把答案填在题中横线上)9．已知随机变量 ξ 的分布列如下：ξ 1 2 3 4 5P0.1 0.2 0.4 0.2 0.1⎪⎩r ＝3， 所以⎪ r 5 3 则至少取一白球的概率为 1－ × ＝ .5 3则 P (2≤ξ<4)____________．解析：P (2≤ξ＜4)＝P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝0.2＋0.4＝0.6.答案：0.610. (2013· 四川卷)二项式(x ＋y )3 的展开式中，含 x 2y 3 的项的系数是________(用数字作答)．[来源:]⎧5－r ＝2， 解析：T r ＋1＝C 5x 5－r y r (r ＝0,1,2,3,4,5)，由题意知⎨5×4×3含 x 2y3的系数为C 5＝3×2×1＝10.答案：1011．一袋中有 3 个红球，2 个白球，另一袋中有 2 个红球，1 个白球，从每袋中任取一球，则至少取一白球的概率为________________．解析：至少取一白球的对立事件为从每袋中都取得红球，从第一3 2袋中取一球为红球的概率为 ，从另一袋中取一球为红球的概率为 ，3 2 35 3 53答案：12. 已知随机变量 X 服从正态分布 N (0，σ2)且 P (－2≤X ≤0)＝0.4，则 P (X >2)＝____________.r r 32 ＝2×n －3 2答案：0.113. (2013· 江门二模 )(1＋2x )n 的展开式中 x 3 的系数等于 x 2 的系数的 4 倍，则 n ＝____________.解析：设(1＋2x )n 的展开式的通项公式为 T r ＋1，则 T r ＋1＝C n (2x )r＝2r ·C n · x r ，令 r ＝3，得展开式中 x 3 的系数为：8C n ，令 r ＝2 得展开 式中 x 2 的系数为 4C n .依题意， 8C n ＝4×4C n ，即n n － n －3×2×1n 2，解得 n ＝8.答案：814．将红、黄、蓝、白、黑 5 个小球分别放入红、黄、蓝、白、黑 5 个盒子里，每个盒子里放且只放 1 个小球，则红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率是________．三、解答题(本大题共 6 小题，共 80 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)答案：0.6515. (本小题满分 12 分)5 名男生、2 名女生站成一排照相：(1)两名女生都不站在两端，有多少不同的站法？(2)两名女生要相邻，有多少种不同的站法？(3)两名女生不相邻，有多少种不同的站法？(4)女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？(1)若 y 与 x 之间具有线性相关关系，求线性回归方程．n^ ni解析：(1)中间的五个位置任选两个排女生，其余五个位置任意排男生：A25·A55＝2 400(种)；(2)把两名女生当作一个元素，于是对六个元素任意排，然后解决两个女生的任意排列：A66·A22＝1 400(种)；(3)把男生任意全排列，然后在六个空中 (包括两端)有顺序地插入两名女生：A55·A26＝3 600(种)；(4)采用排除法，在七个人的全排列中，去掉女生甲在左端的 A66个，再去掉女生乙在右端的 A66 个，但女生甲在左端同时女生乙在右 端的 A55 种排除了两次，要找回来一次．A77－2A66＋A55＝3 720(种)．16．(本小题满分 12 分)为了对新产品进行合理定价，对该产品进行了试销试验，以观察需求量 y (单位：千件)对于价格 x (单位：千元)的反应，得数据如下：x 50 70 8040 30 90 95 97y100 80 60120 135 555048[来源:](2)若成本 x ＝y ＋500，试求：①在盈亏平衡条件下(利润为零)的价格；②在利润为最大的条件下的定价．∑x i y i －n x y解析：(1)b＝i ＝1∑x2－n x 2i ＝1≈－1.286 6，解析：(1)记甲、乙两人同时到 A 社区为事件 E A ，那么 P (E A )＝ 2 3184^a ＝ y －^b x ≈169.772，∴线性回归方程为^y ＝－1.286 6x ＋169.772 4.(2)①在盈亏平衡条件下，^y x ＝^y ＋500，即－1.286 6x 2＋169.772 4x ＝－1.286 6x ＋169.772 4＋500，1．286 6x 2－171.059x ＋669.772 4＝0，解得 x 1＝128.916 2，x 2＝4.038 1(舍去) ， ∴此时新产品的价格为 128.916 2 千元．②在利润最大的条件下，Q ＝^y x －x＝－1.286 6x 2＋169.772 4x ＋1.286 6x －169.772 4－500＝－1.286 6x 2＋171.059x －669.772 4.要使 Q 取得最大值，x ＝66.477 1，即此时新产品应定价为 66.4771 千元．17．(本小题满分 14 分)甲、乙、丙、丁 4 名同学被随机地分到 A ，B ，C 三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学．(1)求甲、乙两人都被分到 A 社区的概率；(2)求甲、乙两人不在同一个社区的概率；(3)设随机变量 ξ 为四名同学中到 A 社区的人数，求 ξ 的分布列和E (ξ)的值．A 22 C 4A 31＝ ，即甲、乙两人同时到 A 社区的概率是 .A 33 C 4A 3 6所以，甲、乙两人不在同一社区的概率是 P ( E )＝1－P (E )＝ .C 24A 22 1 2C 4A 3 3 3E (ξ)＝1× ＋2× ＝ . x x1181(2) 记甲、乙两人在同一社区为事件 E ，那么 P (E )＝ 2 3＝ .56(3)随机变量 ξ 可能取的值为 1,2.事件“ξ＝i (i ＝1,2)”是指有 i 个同学到 A 社区，则 P (ξ＝2)＝ 2 3＝ ，所以 P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝2)＝ .ξ 的分布列是：ξP[来源:]12 3 21 32 1 43 3 318．(本小题满分 14 分)为备战 2016 年奥运会，甲、乙两位射击选手进行了强化训练．现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取 8 次，记录如下：甲：.3,9.0,7.9,7.8,9.4,8.9,8.4,8.3乙：.2,9.5,8.0,7.5,8.2,8.1,9.0,8.5(1)现要从中选派一人参加奥运会封闭集训，从统计学角度，你认为派哪位选手参加合理？简单说明理由；(2)若将频率视为概率，对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩中不低于 8.5 分的次数为 ξ，求 ξ 的分布列及均值E (ξ)．解析：(1)因为－ ＝－ ＝8.5，又 s 2 ＝0.27，s 2 ＝0.405，得 s 2 <s 2 ，甲乙甲乙甲乙(2)依题意得，乙不低于 8.5 分的频率为 ，ξ 的可能取值为 0,1,2,3， 则 ξ～B 3，2⎪. 所以，P (ξ＝k )＝C k 32⎪3－k 1－2⎪k ＝C k 3 2⎪3，k ＝0,1,2,3. 所以 E (ξ)＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ .相对来讲，甲的成绩更加稳定，所以选派甲合适．12⎛ 1⎫⎝⎭⎛1⎫ ⎛ 1⎫ ⎛1⎫ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭所以 ξ 的分布列为ξP1 8 13 8 23 8 31 81 3 3 1 38 8 8 8 219．(本小题满分 14 分)某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为 0.6,0.4,0.5,0.2 . 已知各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手被淘汰的概率；[来源:](2)求该选手在选拔中至少回答了 2 个问题被淘汰的概率．解析： (1) 记 “该选手能正确回答第i 轮的问题 ”为事件 A i (i ＝1,2,3,4)，则 P (A 1)＝0.6，P (A 2)＝0.4，P (A 3)＝0.5，P (A 4)＝0.2.法一 该选手被淘汰的概率：P ＝P ( A 1 ＋A 1 A 2 ＋A 1 A 2A 3 ＋A 1 A 2 A 3A 4 )＝ P ( A 1 ) ＋ P (A 1)P ( A 2 ) ＋ P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4 )＝0.4＋0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.976.法二 P ＝1－P (A 1 A 2 A 3A 4 ) ＝1－P (A 1)P (A 2) P (A 3)P (A 4 )＝1－0.6×0.4×0.5×0.2＝1－0.024＝0.976.(2)法一 P ＝P (A 1 A 2 ＋A 1 A 2A 3 ＋A 1 A 2 A 3A 4 )＝P (A 1)P ( A 2 )＋P (A 1)P (A 2)P (A 3 ) ＋P (A 1)· P (A 2)P (A 3)P (A 4 )＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.576.法二P ＝ 1 － P ( A 1 ) － P (A 1 A 2 A 3A 4 ) ＝ 1 － (1 － 0.6) －0.6×0.4×0.5×0.2＝0.576.20．(2013· 陕西卷)(本小题满分 14 分)在一场娱乐晚会上， 有 5位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱， 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手，其中观众甲是1 号歌手的歌迷， 他必选 1 号， 不选2 号， 另在3 至 5 号中随机选2 名. 观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱， 因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手.(1)求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率；(2)X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和， 求 X 的分布列和数学期望.号歌手. 观众甲选中 3 号歌手的概率为 ，观众乙未选中 3 号歌手的概率为 1－ .所以 P (A )＝ × 1－5⎪＝ 因此，观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为 .观众甲选中 3 号歌手的概率为 ，观众乙选中 3 号歌手的概率为 .⎛ 2⎫ ⎛ 3⎫ 43⎭ ⎝ 5⎭ 75 2 ⎛ 3⎫ ⎛ 2⎫ 3 ⎛ 3⎫ ⎛ 2⎫ ⎛ 3⎫ 3 8＋6＋6 205⎭ ⎝ 3⎭ 5 ⎝ 5⎭ ⎝ 3⎭ ⎝ 5⎭ 5 3 ⎝ 75 75＝2)＝ × × 1－5⎪＋ 1－3⎪× × ＋ × 1－5⎪× ＝2 3 ⎛ 3⎫ ⎛ 2⎫ 3 3 2 ⎛ 3⎫ 3 12＋9＋12 33 3 5 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 5 5 3 ⎝ ⎭ 5＝ . 当观众甲、乙、丙均选中 3 号歌手时，这时 X ＝3，P (X ＝3)＝ ×5⎪2＝ .解析：(1)设事件 A 表示：观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3233 2 ⎛ 3⎫45 3 ⎝ ⎭ 15.415(2)X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则 X 可取0,1,2,3.2 33 5当观众甲、乙、丙均未选中 3 号歌手时，这时 X ＝0，P (X ＝0)＝1－ ⎪× 1－ ⎪2＝ ⎝.当观众甲、乙、丙中只有 1 人选中 3 号歌手时，这时 X ＝1，P (X＝1)＝ × 1－ ⎪2＋ 1－ ⎪× × 1－ ⎪＋ 1－ ⎪× 1－ ⎪× ＝ ＝ .当观众甲、乙、丙中只有 2 人选中 3 号歌手时，这时 X ＝2，P (X75 752 ⎛3⎫3 ⎝ ⎭18 75X 的分布列如下表：XP4 75120 75233 75318 75所以数学期望 E (X )＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ ＝4 20 33 18 20＋66＋5475 75 75 75 752815.。

第二章 单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400 答案 B解析 记不发芽的种子数为ξ，则ξ～B (1000,0.1)，∴E (ξ)＝1000×0.1＝100.又X ＝2ξ，∴E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200.2．4个高尔夫球中有3个合格、1个不合格，每次任取一个，不放回地取两次．若第一次取到合格的高尔夫球，则第二次取到合格高尔夫球的概率为( )A.12B.23C.34D.45 答案 B解析 解法一：记事件A ＝{第一次取到的是合格高尔夫球}，事件B ＝{第二次取到的是合格高尔夫球}．由题意可得P (A ∩B )＝3×24×3＝12，P (A )＝3×34×3＝34，所以P (B |A )＝P A ∩BP A ＝1234＝23.解法二：记事件A ＝{第一次取到的是合格高尔夫球}， 事件B ＝{第二次取到的是合格高尔夫球}．由题意可得事件B 发生所包含的基本事件数n (A ∩B )＝3×2＝6，事件A 发生所包含的基本事件数n (A )＝3×3＝9，所以P (B |A )＝n A ∩B n A ＝69＝23.3．如果随机变量ξ表示抛掷一个各面分别有1,2,3,4,5,6的均匀的正方体向上面的数字，那么随机变量ξ的均值为( )A ．2.5B ．3C ．3.5D ．4 答案 C解析 P (ξ＝k )＝16(k ＝1,2,3，…，6)，∴E (ξ)＝1×16＋2×16＋…＋6×16＝16(1＋2＋…＋6)＝16×⎣⎢⎡⎦⎥⎤6×1＋62＝3.5.4．若随机变量X 的密度为f (x )＝12πe －x 22，X 在区间(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p 1，p 2，则p 1，p 2的关系为( )A ．p 1＞p 2B ．p 1＜p 2C ．p 1＝p 2D ．不确定 答案 C解析 由正态曲线的对称性及题意知：μ＝0，σ＝1，所以曲线关于直线x ＝0对称，所以p 1＝p 2.5．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次概率不大于恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率P 的取值X 围是( )A ．(0,0.4]B ．[0.4,1)C ．(0,0.6]D ．[0.6,1) 答案 B解析 设事件A 在一次试验中发生的概率P ＝x ，则0<x <1.由题意得C 14x 1(1－x )3≤C 24x 2(1－x )2，解得x ≥0.4，所以0.4≤x <1.6．已知X ～N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，⎝ ⎛⎭⎪⎫132，数值落在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率为( )A ．0.097B ．0.046C ．0.03D ．0.0026 答案 D解析 因为μ＝0，σ＝13，所以P (X <－1或X >1)＝1－P (－1≤X ≤1)＝1－P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)＝1－0.9974＝0.0026.故选D.7．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为( )A ．恰有1只是坏的B ．4只全是好的C ．恰有2只是好的D ．至多有2只是坏的 答案 C解析 X ＝k 表示取出的螺丝钉恰有k 只为好的，则P (X ＝k )＝C k 7C 4－k3C 410(k ＝1,2,3,4)．∴P (X ＝1)＝130，P (X ＝2)＝310，P (X ＝3)＝12，P (X ＝4)＝16，故310表示恰好有2个是好的．8．将一枚硬币连掷7次，如果出现k 次正面向上的概率等于出现k ＋1次正面向上的概率，那么k 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 D解析 由题意，知C k 7⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫127－k ＝C k ＋17⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫127－k －1，∴C k 7＝C k ＋17，∴k ＋(k ＋1)＝7，∴k ＝3.9．已知甲投球命中的概率是12，乙投球命中的概率是35.假设他们投球命中与否相互之间没有影响．如果甲、乙各投球1次，则恰有1人投球命中的概率为( )A.16B.14C.23D.12 答案 D解析 记“甲投球1次命中”为事件A ，“乙投球1次命中”为事件B .根据互斥事件的概率公式和相互独立事件的概率公式，得所求的概率为P ＝P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B )＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－35＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×35＝12.10．一个电路如图所示，A ，B ，C ，D ，E ，F 为6个开关，其闭合的概率为12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A.164 B.5564 C.18 D.116答案 B解析 设A 与B 中至少有一个不闭合的事件为T ，E 与F 至少有一个不闭合的事件为R ，则P (T )＝P (R )＝1－12×12＝34，所以灯亮的概率为P ＝1－P (T )·P (R )·P (C －)·P (D －)＝5564.11．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)＝( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2 答案 C解析 此正态曲线是关于x ＝2的一个轴对称图形，根据其对称性求解概率．由P (ξ<4)＝0.8，知P (ξ>4)＝P (ξ<0)＝0.2，故P (0<ξ<2)＝0.3.故选C.12．设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是 ( )A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t )D ．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t ) 答案 D解析 本题考查正态分布及其密度曲线．A 项，由正态分布密度曲线可知，x ＝μ2为Y 曲线的对称轴，μ1＜μ2，所以P (Y ≥μ2)＝12＜P (Y ≥μ1)，故A 错；B 项，由正态分布密度曲线可知，0＜σ1＜σ2，所以P (X ≤σ2)＞P (X ≤σ1)，故B 错；C 项，对任意正数t ，P (X ＞t )＜P (Y ＞t )，即有P (X ≥t )＜P (Y ≥t )，故C 错；D 项，对任意正数t ，P (X ＞t )＜P (Y ＞t )，因此有P (X ≤t )≥P (Y ≤t )．故D 项正确．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，则这个正态总体的均值为________．答案 1解析 正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．因为区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x ＝1对称，所以正态总体的均值为1.14．将一枚质地均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．答案1132解析 正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次，5次或6次，所求概率P ＝C 46⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋C 56⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋C 66·⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝1132.15．已知甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，若目标被击中，则它是被甲击中的概率是________．答案 0.75解析 令事件A ，B 分别表示甲、乙两人各射击一次击中目标，由题意可知P (A )＝0.6，P (B )＝0.5，令事件C 表示目标被击中，则C ＝A ∪B ，则P (C )＝1－P (A －)·P (B －)＝1－0.4×0.5＝0.8，所以P (A |C )＝P AC P C ＝0.60.8＝0.75.16．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论： ①从中任取3球，恰有一个白球的概率是35；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为43；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627.其中所有正确结论的序号是________． 答案 ①②④解析 ①恰有一个白球的概率P ＝C 12C 24C 36＝35，故①正确；②每次任取一球，取到红球次数X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫6，23，其方差为6×23×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＝43，故②正确；③设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}，则P (A )＝23，P (AB )＝4×36×5＝25，所以P (B |A )＝P AB P A ＝35，故③错；④每次取到红球的概率P ＝23，所以至少有一次取到红球的概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝2627，故④正确．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)某跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率是失败概率的4倍，且每次试跳成功与否相互之间没有影响．(1)求甲试跳三次，第三次才成功的概率； (2)求甲在三次试跳中恰有两次试跳成功的概率．解 设该跳高运动员在一次试跳中成功的概率为p ，则失败概率为1－p .依题意有p ＝4(1－p )，解得p ＝45.(1)由于每次试跳成功与否相互之间没有影响，所以试跳三次中第三次才成功的概率为(1－p )2p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152×45＝4125.(2)甲的三次试跳可看成三次独立重复试验，故甲在三次试跳中恰有两次成功的概率为P (2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫452×15＝48125. 18．(本小题满分12分)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和均值． 解 (1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以，事件A 发生的概率为635. (2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P (X ＝k )＝C k 5C 4－k3C 48(k ＝1,2,3,4)．所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的均值E (X )＝1×14＋2×7＋3×7＋4×14＝2.19．(本小题满分12分)一个不透明的盒子中关有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三种昆虫共11只，现在盒子上开一小孔，每次只能飞出1只昆虫(假设任意1只昆虫等可能地飞出)．若有2只昆虫先后任意飞出(不考虑顺序)，则飞出的是蝴蝶或蜻蜓的概率是2155.(1)求盒子中蜜蜂有几只；(2)若从盒子中先后任意飞出3只昆虫(不考虑顺序)，记飞出蜜蜂的只数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望E (X )．解 (1)设“2只昆虫先后任意飞出，飞出的是蝴蝶或蜻蜓”为事件A ，设盒子中蜜蜂为x 只，则由题意，得P (A )＝C 211－x C 211＝2155，所以(11－x )(10－x )＝42，解之得x ＝4或x ＝17(舍去)， 故盒子中蜜蜂有4只．(2)由(1)知，盒子中蜜蜂有4只，则X 的取值可为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 37C 311＝733，P (X ＝1)＝C 14C 27C 311＝2855，P (X ＝2)＝C 24C 17C 311＝1455，P (X ＝3)＝C 34C 311＝4165.故X 的分布列为数学期望E (X )＝0×733＋1×2855＋2×1455＋3×4165＝1211.20．(本小题满分12分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组研发新产品是否成功相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和均值．解 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P (E )＝23，P (E －)＝13，P (F )＝35，P (F －)＝25.且事件E 与F ，E 与F －，E －与F ，E－与F －都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}， 则H －＝E －F －，于是P (H －)＝P (E －)P (F －)＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H －)＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)， 则X 的可能取值为0,100,120,220.P (X ＝0)＝P (E －F －)＝13×25＝215， P (X ＝100)＝P (E －F )＝13×35＝315＝15， P (X ＝120)＝P (E F －)＝23×25＝415， P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615＝25.故所求的分布列为均值为E (X )＝0×215＋100×15＋120×415＋220×25＝140.21．(本小题满分12分)由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某中学随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：(1)若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；(2)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．解 (1)由题意知本题是一个古典概型问题，设A i 表示所取3人中有i 个人是“好视力”，至多有1人是“好视力”记为事件A ，包括有一个人是好视力和有零个人是好视力，∴P (A )＝P (A 0)＋P (A 1)＝C 312C 316＋C 14C 212C 316＝121140.(2)ξ的可能取值为0、1、2、3，P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764；P (ξ＝1)＝C 13×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764； P (ξ＝2)＝C 23×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝964； P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164.∴分布列为ξ 0 1 2 3 P27642764964164∴E (ξ)＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34.22．(本小题满分12分)市政府为做好APEC 会议接待服务工作，对可能遭受污染的某海产品在进入餐饮区前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该海产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响．(1)求该海产品不能销售的概率；(2)如果该海产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果该海产品不能销售，则每件产品亏损80元(即获利－80元)．已知一箱中有该海产品4件，记一箱该海产品获利ξ元，求ξ的分布列，并求出均值E (ξ)．解 (1)设“该海产品不能销售”为事件A ， 则P (A )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110＝14.所以，该海产品不能销售的概率为14.(2)由已知，可知ξ的可能取值为－320，－200，－80,40,160.P (ξ＝－320)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫144＝1256， P (ξ＝－200)＝C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫143×34＝364， P (ξ＝－80)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝27128， P (ξ＝40)＝C 34×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764， P (ξ＝160)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫344＝81256. 所以ξ的分布列为E (ξ)＝－320×1256－200×364－80×27128＋40×2764＋160×81256＝40.。

高中新课标数学选修（2-3）综合测试题（1）一、选择题1．已知{}{}{}，，，，，，，，，则方程222∈-∈∈123013412a b Rx a y b R-++=所表示()()地不同地圆地个数有（）Ａ．3×4×2=24 Ｂ．3×4+2=14Ｃ．(3+4)×2=14 Ｄ．3+4+2=9答案：Ａ2．神六航天员由翟志刚、聂海胜等六人组成，每两人为一组，若指定翟志刚、聂海胜两人一定同在一个小组，则这六人地不同分组方法有（）Ａ．48种Ｂ．36种Ｃ．6种Ｄ．3种答案：Ｄ3．41nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭地展开式中，第3项地二项式系数比第2项地二项式系数大44，则展开式中地常数项是（ ）Ａ．第3项 Ｂ．第4项 Ｃ．第7项 Ｄ．第8项 答案：Ｂ4．从标有1，2，3，…，9地9张纸片中任取2张，数字之积为偶数地概率为（ ）Ａ．12 Ｂ．718 Ｃ．1318 Ｄ．1118 答案：Ｃ5．在10个球中有6个红球和4个白球（各不相同），不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球地条件下，第2次也摸到红球地概率为（ ）Ａ．35 Ｂ．25 Ｃ．110 Ｄ．59 答案：Ｄ6．正态总体地概率密度函数为2()8()x x f x -∈=R ，则总体地平均数和标准差分别为（ ）Ａ．0，8 B ．0，4 Ｃ．0，2 Ｄ．0，2 答案：Ｄ7．在一次试验中，测得()x y ，地四组值分别是(12)(23)(34)(45)A B C D ，，，，，，，，则y 与x 之间地回归直线方程为（ ）Ａ．$1y x =+ Ｂ．$2y x =+ Ｃ．$21y x =+ Ｄ．$1y x =- 答案：Ａ8．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字地五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间地五位数地个数是（）Ａ．48 Ｂ．36 Ｃ．28 Ｄ．20答案：Ｃ9．若随机变量η地分布列如下：则当()0.8η<=时，实数地取值范围是（）P xＡ．x≤2 Ｂ．1≤x≤2 Ｃ．1＜x≤2 Ｄ．1＜x＜2答案：Ｃ10．春节期间，国人发短信拜年已成为一种时尚，若小李地40名同事中，给其发短信拜年地概率为1，0.8，0.5，0地人数分别为8，15，14，3（人），则通常情况下，小李应收到同事地拜年短信数为（ ）Ａ．27 Ｂ．37 Ｃ．38 Ｄ．8 答案：Ａ11．在4次独立重复试验中事件A 出现地概率相同，若事件A 至少发生1次地概率为6581，则事件A 在1次试验中出现地概率为（ ）Ａ．13Ｂ．25 Ｃ．56 Ｄ．23 答案：Ａ12．已知随机变量1~95B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则使()P k ξ=取得最大值地k 值为（ ）Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5答案：Ａ二、填空题13．某仪表显示屏上一排有7个小孔，每个小孔可显示出0或1，若每次显示其中三个孔，但相邻地两孔不能同时显示，则这显示屏可以显示地不同信号地种数有种．答案：8014．已知平面上有20个不同地点，除去七个点在一条直线上以外，没有三个点共线，过这20个点中地每两个点可以连条直线．答案：17015．某射手射击1次，击中目标地概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标地概率是0.9；②他恰好击中目标3次地概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次地概率是4．1(0.1)其中正确结论地序号是（写出所有正确结论地序号）．答案：①③16．口袋内装有10个相同地球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，若从袋中摸出5个球，那么摸出地5个球所标数字之和小于2或大于3地概率是（以数值作答）．答案：1363三、解答题17．有4个不同地球，四个不同地盒子，把球全部放入盒内．（1）共有多少种放法？（2）恰有一个盒子不放球，有多少种放法？（3）恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？（4）恰有两个盒不放球，有多少种放法？解：（1）一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有4种独立地放法，由分步乘法计数原理，放法共有：44256种．（2）为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个，即将4个球分成2，1，1地三组，有2C种分法；然后再从三个盒子中选一个放两4个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可.由分步乘法计数原理，共有放法：12124432144C C C A=···种．（3）“恰有一个盒内放2个球”，即另外三个盒子中恰有一个空盒.因此，“恰有一个盒内放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事.故也有144种放法. （4）先从四个盒子中任意拿走两个有24C 种，问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”从放球数目看，可分为（3，1），（2，2）两类.第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定地一个盒子中即可，有3142C C ·种放法；第二类：有24C 种放法.因此共有31342414C C C+=·种.由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”地放法有：241484C =·种． 18．求25(1)(1)x x +-地展开式中3x 地系数．解：解法一：先变形，再部分展开，确定系数.252232423(1)(1)(1)(1)(12)(133)x x x x x x x x x +-=--=-+-+-．所以3x 是由第一个括号内地1与第二括号内地3x -地相乘和第一个括号内地22x -与第二个括号内地3x -相乘后再相加而得到，故3x 地系数为1(1)(2)(3)5⨯-+-⨯-=．解法二：利用通项公式，因2(1)x +地通项公式为12r rr TC x +=·，5(1)x -地通项公式为15(1)k k kk TC x +=-·，其中{}{}012012345r k ∈∈，，，，，，，，，令3k r +=， 则12k r =⎧⎨=⎩，，或21k r =⎧⎨=⎩，，或30k r =⎧⎨=⎩，． 故3x 地系数为112352555C C CC -+-=·．19．为了调查胃病是否与生活规律有关，某地540名40岁以上地人地调查结果如下：根据以上数据比较这两种情况，40岁以上地人患胃病与生活规律有关吗？ 解：由公式得2540(6020026020)32022080460k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯2540(120005200)24969609.6382590720000259072⨯-==≈．9.6387.879>∵，∴我们有99.5%地把握认为40岁以上地人患胃病与生活是否有规律有关，即生活不规律地人易患胃病. 20．一个医生已知某种病患者地痊愈率为25%，为实验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有4个被治好，则认为这种药有效；反之，则认为无效，试求：（1）虽新药有效，且把痊愈率提高到35%，但通过实验被否认地概率；（2）新药完全无效，但通过实验被认为有效地概率． 解：记一个病人服用该药痊愈率为事件A ，且其概率为p ，那么10个病人服用该药相当于10次独立重复实验.(1) 因新药有效且p =0.35，故由n 次独立重复试验中事件A 发生k 次地概率公式知，实验被否定（即新药无效）地概率为：0010119223371010101010101010(0)(1)(2)(3)(1)(1)(1)(1)0.514x P P P P C p p C p p C p p C p p +++=-+-+-+-≈．（2）因新药无效，故p =0.25，实验被认为有效地概率为：10101010101010(4)(5)(10)1((0)(1)(2)(3))0.224P P P P P P P +++=-+++≈L ．即新药有效，但被否定地概率约为0.514； 新药无效，但被认为有效地概率约为0.224. 21．A B ，两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是123A A A ，，，B 队队员是123B B B ，，，按以往多次比赛地统计，对阵队员之间地胜负概率如下：现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队最后所得总分分别为ξη，．(1)求ξη，地概率分布列；(2)求Eξ，Eη．解：（1）ξη，地可能取值分别为3，2，1，0．2228(3)35575P ξ==⨯⨯=；22312223228(2)35535535575P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=； 2331231322(1)3553553555P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；1333(0)35525P ξ==⨯⨯=．由题意知3ξη+=，所以8(0)(3)75P P ηξ====；28(1)(2)75P P ηξ====；2(2)(1)5P P ηξ====； 3(3)(0)25P P ηξ====．ξ地分布列为η地分布列为（2）82823223210757552515E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=， 因为3ξη+=，所以23315E E ηξ=-=．22．某工业部门进行一项研究，分析该部门地产量与生产费用之间地关系，从这个工业部门内随机抽选了10个企业作样本，有如下资料：产量（千件） x生产费用 （千元）y 79162 88 185 100 165 120 190 140 185完成下列要求：（1）计算x 与y 地相关系数；（2）对这两个变量之间是否线性相关进行相关性检验；千元）y40150 42140 48160 551765150（3）设回归直线方程为$$$y bx a=+，求系数$a，$b．解：利用回归分析检验地步骤，先求相关系数，再确定0.05r．(1)制表i i x i y2i x2i y i ix y141501600225006000242140176419600588034816023042560076804 513028935 70 25 900 5056515042252250097506791626241262441279878818577443422516280810016510000272251650091201901440036100228001111934250.808r=≈．即x与Y地相关关系0.808r≈．（2）因为0.75r>．所以x与Y之间具有很强地线性相关关系．（3）1329381077.7165.70.398709031077.7b-⨯⨯=≈-⨯，165.70.39877.7134.9a=-⨯=．高中新课标数学选修（2-3）综合测试题（2）一、选择题1．假定有一排蜂房，形状如图所示，一只蜜蜂在左下角地蜂房中，由于受了点伤，只能爬，不能飞，而且只能永远向右方（包括右上，右下）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻地右方蜂房中去，若从最初位置爬到4号蜂房中，则不同地爬法有（ ） Ａ．4种 Ｂ．6种 Ｃ．8种 Ｄ．10种 答案：Ｃ2．乒乓球运动员10人，其中男女运动员各5人，从这10名运动员中选出4人进行男女混合双打比赛，选法种数为（ ）Ａ．225()A Ｂ．225()C Ｃ．22254()C A · Ｄ．22252()C A ·答案：Ｄ3．已知集合{}123456M =，，，，，，{}6789N =，，，，从M 中选3个元素，N 中选2个元素，组成一个含有5个元素地集合T ，则这样地集合T 共有（ ）Ａ．126个 Ｂ．120个 Ｃ．90个 Ｄ．26个 答案：Ｃ 4．342(1)(1)(1)n x x x +++++++L 地展开式中2x 地系数是（ ）Ａ．33n C + Ｂ．32n C + Ｃ．321n C+- Ｄ．331n C+-答案：Ｄ 5．200620052008+被2006除，所得余数是（ ）Ａ．2009 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．1 答案：Ｂ6．市场上供应地灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品地合格率是95%，乙厂产品地合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产地合格灯泡地概率是（）Ａ．0.665 B．0.56 Ｃ．0.24 Ｄ．0.285 答案：Ａ7．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子地点数大于4”；事件B：“甲、乙两骰子地点数之和等于7”，则(|)P B A地值等于（）Ａ．13Ｂ．118Ｃ．16Ｄ．19答案：Ｃ8．在一次智力竞赛地“风险选答”环节中，一共为选手准备了A，B，C三类不同地题目，选手每答对一个A类、B类、C类地题目，将分别得到300分、200分、100分，但如果答错，则要扣去300分、200分、100分，而选手答对一个A类、B类、C类题目地概率分别为0.6，0.7，0.8，则就每一次答题而言，选手选择（ ）题目得分地期望值更大一些（ ） Ａ．A 类 Ｂ．B 类 Ｃ．C 类 Ｄ．都一样 答案：Ｂ9．已知ξ地分布列如下：并且23ηξ=+，则方差D η=（ ）Ａ．17936 Ｂ．14336 Ｃ．29972 Ｄ．22772答案：Ａ10．若2~(16)N ξ-，且(31)P ξ--≤≤0.4=，则(1)P ξ≥等于（ ） Ａ．0.1 Ｂ．0.2 Ｃ．0.3 Ｄ．0.4答案：Ａ11．已知x ，y 之间地一组数据：则y 与x 地回归方程必经过（ ）Ａ．（2，2） Ｂ．（1，3） Ｃ．（1.5，4） Ｄ．(2，5) 答案：Ｃ12．对于2()P K k ≥，当 2.706k 时，就约有地把握认为“x与y 有关系”（ ）Ａ．99% Ｂ．99.5% Ｃ．95% Ｄ．90% 答案：Ｄ 二、填空题13．92x x ⎛- ⎪⎝⎭地展开式中，常数项为 （用数字作答）． 答案：67214．某国际科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家地概率为 （结果用分数表示）． 答案：11919015．两名狙击手在一次射击比赛中，狙击手甲得1分、2分、3分地概率分别为0.4，0.1，0.5；狙击手乙得1分、2分、3分地概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名狙击手获胜希望大地是 ． 答案：乙16．空间有6个点，其中任何三点不共线，任何四点不共面，以其中地四点为顶点共可作出个四面体，经过其中每两点地直线中，有对异面直线．答案：15，45三、解答题17．某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色地2，3张为不同花色地A，他有5次出牌机会，每次只能出一种点数地牌，但张数不限，则有多少种不同地出牌方法？解：由于张数不限，2张2，3张A可以一起出，亦可分几次出，故考虑按此分类.出牌地方法可分为以下几类：（1）5张牌全部分开出，有5A种方法；5（2）2张2一起出，3张A 一起出，有25A 种方法；（3）2张2一起出，3张A 分开出，有45A 种方法；（4）2张2一起出，3张A 分两次出，有2335C A 种方法；（5）2张2分开出，3张A 一起出，有35A 种方法；（6）2张2分开出，3张A 分两次出，有2435C A 种方法；因此共有不同地出牌方法5242332455535535860A A A C A A C A+++++=种． 18．已知数列{}na 地通项na 是二项式(1)nx +与2(1)nx +地展开式中所有x 地次数相同地各项地系数之和，求数列地通项及前n 项和nS ．解：按(1)nx +及2(1)nx +两个展开式地升幂表示形式，写出地各整数次幂，可知只有当2(1)nx x 地偶数次幂时，才能与(1)nx +地x 地次数相比较． 由0122(1)nn n n n n n x C C x C x C x+=++++L ，132120242213212222222222(1()()n nn nn n n nnnnnC C x C x C x C x C x Cx--=++++++++L L可得00122422222()()()()n nnn n n n n n n n aC C C C C C C C =++++++++L01202422222()()n nn n n n n n n n C C C C C C C C =+++++++++L L2122n n -=+， 2122n n n a -=+∵，∴222462112(222)(22222(21)(41)223nn nn n S =++++++++=-+⨯-L L122112122(21)(2328)33n n n n +++=-+-=+-·，2111(2328)3n n n S ++=-∴·．19．某休闲场馆举行圣诞酬宾活动，每位会员交会员费50元，可享受20元地消费，并参加一次抽奖活动，从一个装有标号分别为1，2，3，4，5，6地6只均匀小球地抽奖箱中，有放回地抽两次球，抽得地两球标号之和为12，则获一等奖价值a 元地礼品，标号之和为11或10，获二等奖价值100元地礼品，标号之和小于10不得奖． (1)求各会员获奖地概率；(2)设场馆收益为ξ元，求ξ地分布列；假如场馆打算不赔钱，a 最多可设为多少元？解：(1)抽两次得标号之和为12地概率为11116636P =+=； 抽两次得标号之和为11或10地概率为2536P =，故各会员获奖地概率为1215136366P P P =+=+=． （2）ξ30a-30100- 30 P1365363036由1530(30)(70)300363636E a ξ=-⨯+-⨯+⨯≥，得580a≤元．所以a最多可设为580元．20．在研究某种新药对猪白痢地防治效果时到如下数据：存活数死亡数合计未用新药10138139用新药12920149合2358 2试分析新药对防治猪白痢是否有效？ 解：由公式计算得2288(1012038129)8.658139********k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，由于8.658 6.635>，故可以有99%地把握认为新药对防治猪白痢是有效地．21．甲有一个箱子，里面放有x 个红球，y 个白球（x ，y ≥0，且x +y =4）；乙有一个箱子，里面放有2个红球，1个白球，1个黄球．现在甲从箱子里任取2个球，乙从箱子里任取1个球．若取出地3个球颜色全不相同，则甲获胜．(1)试问甲如何安排箱子里两种颜色球地个数，才能使自己获胜地概率最大？(2)在（1）地条件下，求取出地3个球中红球个数地期望．解：(1)要想使取出地3个球颜色全不相同，则乙必须取出黄球，甲取出地两个球为一个红球一个白球，乙取出黄球地概率是14，甲取出地两个球为一个红球一个白球地概率是11246x yC C xy C =·，所以取出地3个球颜色全不相同地概率是14624xy xyP ==·，即甲获胜地概率为24xyP =，由0x y ，≥，且4x y +=，所以12424xy P =≤2126x y +⎛⎫=⎪⎝⎭·，当2x y ==时取等号，即甲应在箱子里放2个红球2个白球才能使自己获胜地概率最大.(2)设取出地3个球中红球地个数为ξ，则ξ地取值为0，1，2，3.212221441(0)12C C P C C ξ===·，1112122222212144445(1)12C C C C C P C C C C ξ==+=··， 2111122222212144445(2)12C C C C C P C C C C ξ==+=··，212221441(3)12C C P C C ξ===·，所以取出地3个球中红球个数地期望：15510123 1.512121212E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．22．规定(1)(1)mxAx x x m =--+L ，其中x ∈R ，m 为正整数，且01xA =，这是排列数mnA (n ，m 是正整数，且m ≤n )地一种推广．（1）求315A -地值；（2）排列数地两个性质：①11m m n n AnA --=，②11m m mn n n AmA A -++= (其中m ，n 是正整数)．是否都能推广到mxA (x ∈R ，m 是正整数)地情形？若能推广，写出推广地形式并给予证明；若不能，则说明理由； （3）确定函数3xA 地单调区间．解：（1）315(15)(16)(17)4080A-=-⨯-⨯-=-；（2）性质①、②均可推广，推广地形式分别是 ①11m m xx AxA --=，②11()m m m x x x AmA A x m -*++=∈∈R N ，．事实上，在①中，当1m =时，左边1xA x ==， 右边01x xAx-==，等式成立；在②中，当1m =时，左边10111xxx A Ax A +=+=+==右边，等式成立；当2m ≥时，左边(1)(2)(1)(1)(2)(2)x x x x m mx x x x m =---++---+L L=(1)(2)(2)[(1)]x x x x m x m m ---+-++L 1(1)(1)(2)[(1)1]mx x x x x x m A +=+--+-+==L 右边， 因此②11()mm m x x x AmA A x m -*++=∈∈R N ，成立．（3）先求导数，得32()362xA xx '=-+．令23620xx -+>，解得x 或x >因此，当x ⎛∈- ⎝⎭∞时，函数为增函数， 当x ⎫∈+⎪⎪⎝⎭∞时，函数也为增函数，令23620xx -+≤x ，因此，当x ∈⎣⎦时，函数为减函数，∴函数3xA 地增区间为⎛- ⎝⎭∞，⎫+⎪⎪⎝⎭∞；减区间为⎣⎦．。