河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考

中学2019届全国高三第一次摸底联考

理科数学

本试卷4页，23小题，满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的、号填写在答题卡上相应的位置。

2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数()34z i i =--在复平面对应的点位于

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2.已知全集R ，22x x -≥，则 A.{}20x x -<< B.{}20x x -≤≤

C.{}20x x x <->或

D.{}

20x x x ≤-≥或 3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：

2015年高考数据统计

2018年高考数据统计 则下列结论正确的是

A.与2015年相比，2018年一本达线人数减少

B.与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍

C.与2015年相比，2018年艺体达线人数相同

D.与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加

4.已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且10100S =，则7a 的值为

A.11

B.12

C.13

D.14

5.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若0x >时，()ln f x x x =，则0x <时，()f x =

A.ln x x

B.()ln x x -

C.ln x x -

D.()ln x x --

6.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>和直线:143

x y l +=，若过C 的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆C 的离心率为

A.45

B.35

C.34

D.15

7.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =，则ED =

A.1233

AD AB - B.2133AD AB + C.2133AD AB - D.

1233AD AB + 8.某几何体的三视图如图所示，则此几何体

A.有四个两两全等的面

B.有两对相互全等的面

C.只有一对相互全等的面

D.所有面均不全等

9.爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，

它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边亚角形的概率是

A.413

B.21313

C.926

D.31326

10.已知函数(),0,ln ,0

x e x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩（e 为自然对数的底数），若关于x 的方程

()0f x a +=有两个不相等的实根，则a 的取值围是

A.1a >-

B.11a -<<

C.01a <≤

D.1a <

11.已知双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作圆222x y a +=的切线，交双曲线右支于点M ，若1245F MF ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为

A.2y =±

B.3y x =±

C.y x =±

D.2y x =±

12.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为棱1BB ，1CC 的中点，点O 为上底面的中心，过E ，F ，O 三点的平面把正方体分为两部分，其中含1A 的部分为1V ，不含1A 的部分为2V ，连结1A 和2V 的任一点M ，设1A M 与平面1111A B C D 所成角为α，则sin α的最大值为

A.22

B.255

C.26

D.26 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知实数x ，y 满足约束条件10,240,0,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩

，则2z x y =-的最小值为________.

14.已知数列{}n a ，若数列{}13n n a -的前n 项和11655

n n T =⨯-，则5a 的值为________. 15.由数字0，1组成的一串数字代码，其中恰好有7个1，3个0，则这样的不同数字代码共有____________个.

16已知函数()sin 232f x x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=-++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭的图像关于直线2x =对称，当[]1,2x ∈-时，()f x 的最大值为____________.

三、解答题：共70分。解答应写出文学说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考试都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：60分。

17.（12分）

如图，在ABC ∆中，P 是BC 边上的一点，60APC ∠=︒，23AB =，4AP PB +=.

（1）求BP 的长；

（2）若53AC =，求cos ACP ∠的值.

18.（12分）

在ABC ∆中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，22AB BC CD ==，如图1.以DE 为折痕将ADE ∆折起，使点A 到达点P 的位置，如图2.

（1）证明：平面BCP ⊥平面CEP ；

（2）若平面DEP ⊥平面BCED ，求直线DP 与平面BCP 所成角的正弦值。