第
六章 实数
回顾知识： 1.判断题
(1)－0.01是0.1的平方根.……………………………………………( ) (2)－52的平方根为－5.…………………………………………… （ ） (3)0和负数没有平方根.…………………………………………… （ ） (4)因为
16
1的平方根是±41,所以
16
1=±4
1.……………………… （ ）
（5）正数的平方根有两个，它们是互为相反数.………………… （ ） 2.选择题
（1）下列各数中没有平方根的数是（ ） A.－(－2)3
B.3－3
C.a 0
D.－（a 2+1） (2)2
a 等于（ ） A.a
B.－a
C.±a
D.以上答案都不对
（3）如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（ ） A.a 2=±m
B.a =±m 2
C.
a
=±m D.±
a =±m
(4)若正方形的边长是a ,面积为S ，那么（ ） A.S 的平方根是a B.a 是S 的算术平方根 C.a =±S
D.S =
a
3.填空题
（1）若9x 2－49=0,则x =________. (2)若
12+x 有意义，则
x 范围是________.
(3)已知｜x －4｜+y x +2=0,那么x =________,y =________.
(4)如果a ＜0,那么
2
a =________,(
a
-)2=________.
6.3实数
一.无理数 1. 无理数的概念
无限不循环小数叫做无理数
说明：有理数是指有限小数和无限循环小数，而无理数包括：（1）开方开不尽
的数，如；（2）有特定意义的数，如，π及含π的数；（3）有一定结构的无限小数，如，0.080080008…；（4）无限不循环小数
一个有理数a 与一个无理数b 进行四则运算时，a ＋b ，a-b ，都是无理数，当a ≠0时，ab ，a b
b a ,都是无理数，当a ＝0时，ab ，b
a 都是有理数。 2. 无理数的特征
（1）无理数的小数部分位数无限
（2）无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 3. 小数的分类
4. 确定)0(2≥=a a x 中的正数x 的近似值的方法 （1）确定正数x 的整数部分。
根据平方的定义，把x 夹在两个连续的正整数之间，确定其整数部分，例如：求52=x 中的正数x 的整数部分。因为22352<<，即22232<（2）确定x 的小数部分十分位上的数字。
将这两个整数平方和的平均数与a 比较，预测十分位上数字的取值范围，如两
个整数2和3的平方和的平均数为55.62
322
2>=+所以x 的十分位上的数字一定比3小，不妨设 x ≈2.2。
设误差为k （k 必为一个纯小数，且k 可能为负数），则x ＝2.2＋k 。所以（2.2＋k ）2＝5，所以4.84＋4.4k ＋ k 2＝5，由于k 是小数，所以k 2很小，把它舍去，所以4.84＋4.4k ＝5，所以k ≈0.036，所以x ＝2.2＋k ＝2.2＋0.036≈2.236
注意：实际估算中，整数部分的数字容易估计，十分位上的数字可以采用试验的方法进行估计，即2222.1 4.41,2.2 4.84,2.3 5.29,===所以 4.84<5<5.29。所以
2223.22.2<二. 平方根 1. 算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，特别地，０的算术平方根是0。
（2）算术平方根的表示方法：非负数a 的算术平方根记作“a ”或“2a ”，
读作“根号a ”，其中符号读作“二次根号”，a 叫做被开方数，2叫做根指数，
通常省略不写。
例如：42＝16，16的算术平方根是4，即416=。
（3）算术平方根的性质：①正数a 的算术平方根为a ，②0的算术平方根是0，即0＝0，（3）负数没有算术平方根。
（4）算术平方根a 具有双重非负数：①被开方数是非负数，即a ≥0，②算术平方根a 本身是非负数，即a ≥0。 （5）理解算术平方根要注意的三点：
00a ≥≥，
②算术平方根与平方根的相同点是它们的被开方数都必须是非负数，零的平
不同点是：任何正实数的平方根都有两个，这两个平方根互为相反数，但是
任何正实数的算术平方根只有一个，是正实数平方根中的正值。
③当二次方根被开方数是含有字母的代数式时，它是否有意义，则需看被开方数是否非负。 2. 平方根
（1）平方根的概念：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次根式）。
（2）平方根的性质：①一个正数a 有两个平方根，一个是a 的算术平方根“a ”，另一个是“a -”，它们互为相反数，合起来记作“a ±”，读作“正，负
根号a ”，例如：5的平方根是± 3. 开平方
求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开平方。 如：因为25)5(2=±，所以525±=±
说明：由于开平方与平方互为逆运算，因此我们可以利用平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，也常用平方运算检验所求得的平方根是否正确，注意被开方数是非负数。
4. 平方根与算术平方根的区别与联系
（1）区别：①定义不同；②个数不同：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个；③表示方法不同：正数a 的平方根表示为a ±，正数a 的算术平方根表示为a ；④取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根是一正、一负。
（2）联系：①具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的正的那个；②存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有；③0的
