第2章 线性时不变连续系统的时域分析
2.6本章习题全解
2.1如题图2-1所示机械位移系统，质量为m 的刚体一端由弹簧牵引，弹簧的另一端固定在壁上，弹簧的刚度系数为k 。刚体与地面间的摩擦系数为f ，外加牵引力为)(t F S ，求外加牵引力)(t F S 与刚体运动速度)(t v 间的关系。
题图2-1
解：由机械系统元件特性，拉力k F 与位移x 成正比，即k F kx =
又()()t
x t v d ττ-∞
=
⎰
所以，()()()t
k F t kx t k
v d ττ-∞
==⎰
刚体在光滑表面滑动，摩擦力与速度成正比，即()()f F t fv t = 根据牛顿第二定律以及整个系统力平衡的达朗贝尔原理，可得
()()()()t
s d
F t fv t k v d m
v t dt
ττ-∞
--=⎰ 整理得22()()()()s d d d
m v t f
v t kv t F t dt dt dt
--= 2.2题图2-2所示电路，输入激励是电流源)(t i s ，试列出电流)(t i L 及1R 上电压)(1t u 为输出响应变量的方程式。
题图2-2
解：由电路的基尔霍夫电流定律可得：()()()C L S i t i t i t += （1） 根据电容特性，()()C C d
i t C
u t dt
= （2） 由电路的基尔霍夫电压定律可得：12()()()()C C L L d
u t R i t L i t R i t dt
+=+ （3） 将21()()()()C L L C d
u t L
i t R i t R i t dt
=+-代入（2）得 2212()()()()C L L C d d d
i t LC i t R C i t R C i t dt dt dt =+-（4）
()()()C S L i t i t i t =-代入（4）得，
22112()()()()()()S L L L S L d d d d
i t i t LC i t R C i t R C i t R C i t dt dt dt dt
-=+-+
整理得，21
212()11
()()()()()L L L S S R R R d d d i t i t i t i t i t dt L dt LC L dt LC
+++=+ （5） 将111()()(()())C S L u t i t R i t i t R ==-，即11
()
()()L S u t i t i t R =-
代入（5）得 21121112111()()()()11(())(())(())()()S S S S S u t R R u t u t R d d d i t i t i t i t i t dt R L dt R LC R L dt LC
+-+-+-=+
整理得，22
1211211122()()()()()()S S R R u t R R d d d u t u t R i t i t dt L LC dt L dt
++
+=-- 2.3某连续系统的输入输出方程为
)(')(4)('3)("2t x t y t y t y =++已知)()(t u t x =，1)0(=-y ,1)0('=-y ，试计算)0(+y 和)0('+y 值。
解：将输入代入系统方程可得()t t y t y t y δ=++)(4)('3)("2 采用冲激函数匹配法求)0(+y 和)0('
+y
方程右端的冲激函数项最高阶数为()t δ，设
()()()t u b t a t y ∆+=''δ，
则有：()()()()t u at t y t u a t y ∆=∆=',
，将其代入原系方程，得
()()()()()t t u at t u a t u b t a δδ=∆+∆+∆+4322
所以2
1=
a ()()()()1
00231210210===+='+=
'∴-+-+y y y y
2.4 已知描述某线性时不变连续系统的微分方程如下，
)(3)()(4)(4)(2
2t x t x dt d
t y t y dt d t y dt d +=++，
1)0(=-y ，2)0(=-y ，)()(t u e t x t -=,试求其完全响应。
解：（1）求齐次解()t y h
特征方程为：0442
=++αα
特征根为：221==αα
所以，()()t
h e t C C t y 221-+=
（2）求特解()t y p
()()
()t
p t p e
t y A t Ae t y --=∴=>=22
0：特解为：代入原方程得：设特解为
（3）全响应()()()()t t
p h e e t C C t y t y t y --++=+=2221
将()()t
f t e u t -=代入系统方程得
()t t u e t y t y dt
d
t y dt d t δ+=++-)(2)(4)(4)(22 （1） ()()()()()()()()()()()(),
10030,1001
,)1(,:==∴='+'='∴=∆=∆='∆+=''-++-+y y y y y a t u at t y t u a t y t u b t a t y 得将其代入式则设δ
