安徽省六安市第一中学2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题含答案

2020-2021学年安徽省六安市第一中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．sin240°=（ ）A ．2B ．-2C ．12D ．-12【答案】B【分析】根据诱导公式，结合特殊角的三角函数值，即可求得答案.【详解】sin 240sin(18060)sin 60︒=︒+︒=-︒= 故选：B2．已知函数()21xf x x =-，则()f x 在区间[]2,6上的最大值为（ ） A ．125B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】先判断出函数在[]2,6单调递减，即可求出最大值. 【详解】()22211x f x x x ==+--在[]2,6单调递减， ()()max 24f x f ∴==.故选：C.3．函数()22cos sin f x x x =-是（ ）A ．周期为2π的奇函数B ．周期为π的奇函数C ．周期为2π的偶函数D ．周期为π的偶函数【答案】D【分析】化简函数解析式为()cos2f x x =，利用余弦型函数的基本性质可得出结论. 【详解】()22cos sin cos2f x x x x =-=，该函数的最小正周期为22T ππ==， 所以，函数()22cos sin f x x x =-是周期为π的偶函数. 故选：D.4．在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若1sin 3C =，3a =，4c =，则sin A =（ ） A ．23B ．14C ．34D ．16【答案】B【分析】由正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理可得sin sin a cA C=， 13sin 13sin 44a C A c ⨯∴===. 故选：B.5．已知角α的终边上一点坐标为()3,4P -，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．17B ．45C ．17-D ．45-【答案】C【分析】由三角函数的定义求出4tan 3α=-，再由两角和的正切公式计算即可. 【详解】4tan 3α=-，41tan tan 134tan 4471tan tan 143παπαπα-+⎛⎫+===- ⎪⎝⎭-+ 故选：C6．与函数tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象不相交的一条直线是（ ）A ．4πx =-B ．6x π=C ．8x π=D ．8x π=-【答案】D 【分析】令2,42x k k Z πππ-≠+∈可求出.【详解】可得2,42x k k Z πππ-≠+∈，则3,82k x k Z ππ≠+∈， 当1k =-时，8x π≠-，故8x π=-与tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象不相交. 故选：D. 7．函数ln ||cos ()sin x xf x x x⋅=+在[),0π]π(0,-⋃的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】判断函数的奇偶性，然后利用特殊函数值进行判断即可. 【详解】因为ln ||cos()ln ||cos ()()sin()sin x x x xf x f x x x x x-⋅-⋅-==-=--+-+，[)π,00,π(]x -⋃∈，所以()f x 为奇函数，因此函数()f x 的图像关于原点对称，故排除A ，又因为()10f ±=，π()02f ±=，π()03f >，()0f π<，故排除B ，C. 故选：D8．若sin 2cos αα=，则cos2=α（ ） A ．35B ．35C ．45D ．45-【答案】A【分析】先由sin 2cos αα=及22sin cos 1αα+=,解得21cos 5α=,再用二倍角公式求出cos2α的值. 【详解】sin 2cos αα=，由22sin cos 1αα+=得：224cos cos 1αα+=，21cos 5α∴=223cos 22cos 1155αα∴=-=-=-. 故选:A【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键： (1)选择合适的公式进行化简；(2)如果需要,根据条件进行合理的拆角，如()()2()βαβαααβαβ=+-=++-，等． 9．已知点(),P a b 在函数2ey x=图象上，且0a >，0b >，则ln ln a b ⋅的最大值为（ ） A ．0 B ．12C ．1D ．2【答案】C【分析】将点代入解析式可得2ab e =，然后利用基本不等式求解ln ln a b ⋅的最大值.【详解】由题意，2ab e =，则2222ln ln ln ln ln ln 1222a b ab e a b ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⋅≤===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 当且仅当==a b e 时，取等号，所以ln ln a b ⋅的最大值是1. 故选：C. 10．已知点,024A π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象上，直线6x π=是函数()f x 图象的一条对称轴.若()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调，则ϕ=（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B【分析】先由点,024A π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象上，直线6x π=是函数()f x 图象的一条对称轴,求出ω的范围,再由()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调求出φ. 【详解】由题意得:62484T πππ-=≥, 得1248ππω⨯≤,所以ω4≥.又()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调,所以3662T πππ-=≤,得1226ππω⨯≥,所以ω6≤ 所以ω=4或5或6.当ω=4时, ()()cos 4f x x ϕ=+,有cos 402424460f k ππϕπϕπϕπ⎧⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⨯+=⎨⎪<<⎪⎪⎩解得3πϕ=.当ω=5时, ()()cos 4f x x ϕ=+,有cos 502424560f k ππϕπϕπϕπ⎧⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⨯+=⎨⎪<<⎪⎪⎩无解.当ω=6时, ()()cos 4f x x ϕ=+,有cos 602424660f k ππϕπϕπϕπ⎧⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⨯+=⎨⎪<<⎪⎪⎩无解.综上: 3πϕ=.故选:B【点睛】求三角函数解析式的方法：(1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；(3)求φ通常利用函数上的点带入即可求解.二、多选题11．（多选）下列命题中正确的是（ ）A ．已知a 、b 是实数，则“1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“33log log a b >”的必要不充分条件B ．在ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若45A =，14a =，16b =，则ABC 有两解C ．在ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若cos cos a A b B =，则ABC 为直角三角形D ．已知A 、B 都是锐角，且2A B π+≠，()()1tan 1tan 2A B ++=，则4A B π+=【答案】ABD【分析】求出1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、33log log a b >的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义可判断A 选项的正误；比较sin b A 、a 、b 的大小关系，可判断B 选项的正误；利用余弦定理可判断C 选项的正误；利用两角和的正切公式可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，充分性：由1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得a b >，由33log log a b >可得0a b >>，所以，3311log log 33aba b ⎛⎫⎛⎫<⇒>/ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，充分性不成立. 必要性：由1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得a b >，由33log log a b >可得0a b >>， 所以，3311log log 33ab a b ⎛⎫⎛⎫<⇐> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，必要性成立. 因此，“1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“33log log a b >”的必要不充分条件，A 选项正确； 对于B 选项，sin 16sin 4582b A ==sin b A a b <<，如下图所示：所以，ABC 有两解，B 选项正确；对于C 选项，cos cos a A b B =，可得22222222b c a a c b a b bc ac+-+-⋅=⋅， 整理得2242240a c a b c b --+=，即()()222220a bca b ---=，a b ∴=或222+=a b c ，因此，ABC 为等腰或直角三角形，C 选项错误； 对于D 选项，()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-，可得()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-，由于()()1tan 1tan 2A B ++=可得tan tan tan tan 10A B A B ++-=， 即()()()tan 1tan tan 1tan tan 0A B A B A B +---=，即()()tan 11tan tan 0A B A B +-⋅-=⎡⎤⎣⎦，由于A 、B 都是锐角，且2A B π+≠，则tan tan 1A B ≠，所以，()tan 1A B +=，02A π<<，02B π<<，0A B π∴<+<，可得4A B π+=，D 选项正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A 、B 、C 的范围对三角函数值的影响．12．（多选）已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，2ππϕ-<<-）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．2ω=，23πϕ=-B ．函数()f x 图象的对称轴为直线()712x k k Z ππ=+∈ C ．将函数2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）即得到()y f x =的图象 D ．若()f x 在区间2,3a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3A ⎡-⎣，则实数a 的取值范围为133,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】AD【分析】利用函数图象求出函数()f x 的解析式，可判断A 选项的正误；解方程()2232x k k πππ-=+∈Z 可判断B 选项的正误；利用三角函数图象的伸缩规律可判断C 选项的正误；由2,3x a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求出223x π-的取值范围，结合题意求出a 的取值范围，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由图可知2A = 设函数()f x 的最小正周期为T ，则73312644T πππ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，T π∴= 22Tπω∴==，则()()2sin 2f x x ϕ=+ 由772sin 2126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得()7262k k ππϕπ+=+∈Z ，解得()223k k πϕπ=-+∈Z又2ππϕ-<<-，23πϕ∴=-，()22sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，A 正确；对于B 选项，由()2232x k k πππ-=+∈Z ，得()7212k x k ππ=+∈Z ，B 错误； 对于C 选项，将函数2sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，C 错误； 对于D 选项，由2,3x a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得2222,2333x a πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦由2sin y t =的图象可知，要使函数()f x 在区间2,3a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡-⎣则3272233a πππ≤-≤，解得133122a ππ≤≤，D 正确. 故选：AD.【点睛】思路点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++的部分图象求函数解析式的步骤如下： （1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=； （3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.三、填空题13．sin 72cos 42cos72sin 42-︒=______. 【答案】12【分析】利用两角差的正弦公式即可求解.【详解】()1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin 302-︒=-=︒=， 故答案为：12. 14．已知函数()f x 满足()1lg f x x -=，则不等式()0f x <的解集为______.【答案】()1,0-【分析】首先利用换元法求出()f x 的解析式，再利用对数函数的单调性解不等式即可求解.【详解】令1x t -=，则1x t =+，所以()()lg 1f t t =+， 所以()()lg 1f x x =+，不等式()0f x <等价于()()lg 10lg1f x x =+<=， 所以011x <+<， 解得：10x -<<，所以原不等式的解集为()1,0-， 故答案为：()1,0-.15．已知函数()224f x x x =-+定义域为[],a b ，其中a b <，值域[]3,3a b ，则满足条件的数组(),a b 为__________． 【答案】()1,4【详解】试题分析：因为()2224(1)33f x x x x =-+=-+≥，所以331a a ≥⇒≥，从而()22431()4;f b b b b b b =-+=⇒==舍或()224314();f a a a a a a =-+=⇒==或舍即满足条件的数组(),a b 为()1,4【解析】函数性质【思路点睛】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小转化自变量大小关系四、双空题16．已知ABC ，120BAC ∠=，BC =，AD 为BAC ∠的角平分线，则 （i ）ABC 面积的取值范围为______.（ii ）4AB ACAD+的最小值为_____.【答案】(9【分析】（i ）在ABC 中，由余弦定理可得结合基本不等式可得AB AC ⋅的最大值，再利用三角形面积公式即可求面积的取值范围； （ii ）首先利用ABCABD ACD SS S =+可得bcAD b c=+，所以44AB AC c bbc b cAD++=+ ()()4b c c b bc+=+整理后利用基本不等式即可求最值.【详解】（i ）在ABC 中，由余弦定理可得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠，即22122AB AC AB AC AB AC AB AC =++⋅≥⋅+⋅， 解得：4AB AC ⋅≤，当且仅当AB AC =时等号成立.所以11cos 4222ABCSAB AC BAC =⋅∠≤⨯⨯= 所以ABC面积的取值范围为(.（ii ）AD 为BAC ∠的角平分线，120BAC ∠=， 所以60BAD CAD ∠=∠=，180ADB ADC ∠+∠=， 所以111sin sin sin 222ABCSbc A c AD BAD b AD CAD ==⨯∠+⨯∠，()AD b c =+，所以bc AD b c =+， 所以()()224444545b c c b AB AC c b b bc c b cA bc b D bc bc c b c+++++===++++=52952≥=+⨯+=， 当且仅当4b cc b=，即2c b =时等号成立.所以4AB ACAD+的最小值为9，故答案为：(；9.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用面积相等可得bcAD b c=+，所求4AB ACAD+即可用,b c 表示，再利用基本不等式可求最值.五、解答题17．已知()()()()3sin cos 2sin 2tan f πθπθθπθπθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=--.（1）化简()fθ；（2）已知,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且465f πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求sin θ的值.【答案】（1）()cos f θθ=-；（2）410. 【分析】（1）利用诱导公式即可化简；（2）由题可得4cos 65πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，3sin 65πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用sin sin 66ππθθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即可求出.【详解】解：（1）()()()()sin sin cos sin tan f θθθθθθ-⨯==--⨯-；（2）4cos 665f ππθθ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4cos 65πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 因为5366πππθ<-<，3sin 65πθ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴-，∴sin sin sin cos cos sin 666666ππππππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦341552=-⨯=. 18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，cos a b b C -=.（1）求sin tan CB的值； （2）若2a =，3b =，求c .【答案】（1）1；（2）c =【分析】（1）利用正弦定理化边为角，即可化简整理求出； （2）可先求出1cos 3=-C ，再由余弦定理即可求出. 【详解】（1）解：cos a b b C -=，由正弦定理可得sin sin sin cos A B B C -=， 则sin cos cos sin sin sin cos B C B C B B C +-=， 即cos sin sin B C B =，即sin tan C B =， sin 1tan CB∴=； （2）可得233cos C -=，则1cos 3=-C ， ∴22212cos 49223173c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，∴c =19．已知函数()2sin cos 32f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，x ∈R . （1）求函数()f x 的单调递增区间和对称中心坐标；（2）若,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且4265f απ⎛⎫+=⎪⎝⎭，521210f βπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求αβ+的值. 【答案】（1）()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，对称中心为(),026k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；（2）34αβπ+=. 【分析】（1）化简可得()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令222232k x k πππππ-≤-≤+即可解出单调递增区间，令23x k ππ-=可解出对称中心；（2）由题可求出sin cos ,sin ,cos ααββ，，即可求出()cos αβ+，得出结果.【详解】解：（1）()12sin cos sin 222f x x x x ⎛⎫=⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭11cos 23sin 23222x x -=+⨯-13sin 2cos 2sin 223x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令52222321212k x k k x k πππππππππ-≤-≤+⇒-≤≤+， 令2326k x k x ππππ-=⇒=+， ∴单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦对称中心为(),026k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭（2）4sin 265f απα⎛⎫+==⎪⎝⎭，则3cos 5α=，52cos 21210f βπβ⎛⎫+==⎪⎝⎭，则72sin =β， ∵02πα<<，002πβαβπ<<⇒<+<，∴()23cos cos cos sin sin 4παβαβαβαβ+=-=-⇒+=. 20．六安一中新校区有一块形状为平面四边形ABCD 的土地准备种一些花圃，其中A ，B 为定点，3AB =（百米），1AD DC ==（百米）.（1）若120C ∠=，3BD =（百米），求平面四边形ABCD 的面积； （2）若1BC =（百米）.（i 31cos BAD BCD ∠∠=+；（ii ）若ABD △，BCD △面积依次为1S ，2S ，求2212S S +的最大值.【答案】（1（平方百米）；（2）（i ）证明见解析；（ii ）最大值为78（平方百米）.【分析】（1）在BCD △中，由余弦定理可求得BC 的长，再分别计算ABD △，BCD △的面积，即可求解；（2）（i ）在ABD △和BCD △中，分别利用余弦定理两式相减即可求证；（ii ）用三角形的面积公式将2212S S +表示()222212143cos cos 4S S BAD BCD +=-∠-∠，1cos BAD BCD ∠∠=+代入转化为关于cos BCD ∠的二次函数，利用三角函数的性质求出cos BCD ∠的范围，再结合二次函数的性质即可求最值.【详解】（1）令BC x =，在BCD △中，由余弦定理可得：23121cos120x x =+-⨯⨯ 即220x x +-=，解得：1x =或2x =-（舍） 在BCD △中，1BC CD ==，120C ∠=，所以1311sin12024BCDS=⨯⨯⨯=，在ABD △中，AB BD ==1AD =，所以AD 2=，所以11224ABDS=⨯⨯=， 所以 3ABCD ABD BCDS SS=+=（平方百米）. （2）在ABD △中，2222cos 4BD AB AD AB AD BAD BAD =+-⨯⨯⨯∠=-∠在BCD △中2222cos 22cos BD BC CD BC CD BCD BCD =+-⨯⨯⨯∠=-∠所以422cos BAD BCD -∠=-∠，1cos BAD BCD ∠∠=+.（ii ）()222211331sin sin 1cos 244S BAD BAD BAD ⎛⎫=⨯∠=∠=-∠ ⎪⎝⎭ ()2222211111sin sin 1cos 244S BCD BCD BCD ⎛⎫=⨯⨯⨯∠=∠=-∠ ⎪⎝⎭所以()222212133cos 1cos 4S S BAD BCD +=-∠+-∠ ()2221141cos cos 2cos 2cos 344BCD BCD BCD BCD ⎡⎤⎡⎤=-+∠-∠=-∠-∠+⎣⎦⎣⎦1cos BAD BCD ∠∠=+，所以1cos BCD <+∠<1cos 1BCD -<∠<∴2222121171172cos cos 422228S S BCD BCD ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-∠++=∠++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以1cos 2BCD ∠=-时，()2212max 78S S +=， 即23BCD π∠=时2212S S +取得最大值，且最大值为78（平方百米）.【点睛】关键点点睛：求2212S S +用三角形的面积公式表示出来，结合已经证明的1cos BAD BCD ∠∠=+即可将面积平方和转化为关于cos BCD ∠只含一个变量的函数，利用二次函数的性质可求最值. 21．已知函数()()cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的图象两相邻对称轴之间的距离是2π，若将()f x 的图象向右平移6π个单位长度，所得图象对应的函数()g x 为奇函数.（1）求()f x 的解析式，并画出()f x 在区间[]0,π上的图象（答题卷上需列表）； （2）若关于x 的方程()()2320g x m g x +⋅+=⎡⎤⎣⎦在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，答案见解析；（2）(){},526-∞--.【分析】（1）由()f x 的图象两相邻对称轴之间的距离是2π可求得()f x 的周期，进而可得ω的值，由()g x 为奇函数可求得ϕ的值，进而可得求()f x 的解析式，利用五点法作出图象即可；（2）由（1）可得()sin 2g x x =，令()[]sin 20,1t g x x ==∈，则原方程可转化为2320t mt ++=在[]0,1上有一解，利用二次函数的性质即可求解.【详解】（1）由()f x 的图象两相邻对称轴之间的距离是2π可得： 22T ππ=⨯=，所以222T ππωπ===，所以()()cos 2f x x φ=+， 将()f x 的图象向右平移6π个单位长度可得()cos 23g x x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 因为()g x 为奇函数， 所以32k ππϕπ-=+()k Z ∈，可得()56k k Z πϕπ=+∈ 又因为02πϕ-<<，所以令1k =-，得6πϕ=-所以()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭列表：x12π3π712π 56π π 26x π-6π-2π π32π 116πcos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭321 0 －1 032图象如图所示（2）由（1）知()sin 2g x x = 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令()[]sin 20,1t g x x ==∈ 因为每个t 对应两个x ，所以关于t 的方程2320t mt ++=在[]0,1上有一解. 令()232h t t mt =++∵()020h =>，则需满足()10h <或Δ0016m=⎧⎪⎨≤-<⎪⎩解得：5m <-或26m =-所以实数m 的取值范围是(){},526-∞--【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用三角函数的性质求出()f x 的解析式，令()[]sin 20,1t g x x ==∈，由于一个t 对应两个x ，所以关于t 的方程2320t mt ++=在[]0,1上有一解，找出对应的二次函数所满足的等价条件即可.22．已知函数()xf x e =，()ln x x ag x e e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）若()g x 为偶函数，求a 的值；（2）若()10,x ∀∈+∞，2x R ∃∈，使得()()()11220f x mf x g x +->成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1；（2）ln 21m ≥-.【分析】（1）根据偶函数的定义()()g x g x -=，即1ln ln x x xx a ae e e e ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可解出a ；（2）先分离x 1、x 2，转化为()()()1122f x mf x g x +>，由题意转化为()()()11min 2min (2)()f x mf x g x +>即可.【详解】解：（1）函数()g x 的定义域为R ，若()g x 为偶函数，则对x R ∀∈都有()()()11ln ln 101x x x x x x a g x ae g x e e a a e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+==+⇒--=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）()1ln ln 2xx g x e e ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，“=”取得当且仅为0x =时， 由题意：()10,x ∀∈+∞，2x R ∃∈，使得()()()1122f x mf x g x +>成立 即()10,x ∀∈+∞，112ln 2x x e me +>11ln 2x x m e e⇒>-对()10,x ∀∈+∞恒成立 令1x t e =，则1t >且ln 2m t t>-对1t >恒成立 设()()ln 21h t t t t=->，易知()h t 在()1,+∞内单调递减 ∴()ln 21ln 21h t m <-⇒≥-.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈(1)若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； (2)若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； (3)若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； (4)若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．。

2020-2021学年高一上学期期末考试数学卷及答案1.集合A和B分别表示y=x+1和y=2两个函数的图像上所有的点，求A和B的交集。

答案：A={(-∞,1]}。

B={2}。

A∩B=A={(-∞,1]}2.已知函数y=(1-x)/(2x^2-3x-2)，求函数的定义域。

答案：分母2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)，所以函数的定义域为x∈(-∞,-1/2]∪(2,∞)。

3.如果直线mx+y-1=0与直线x-2y+3=0平行，求m的值。

答案：两条直线平行，说明它们的斜率相等，即m=2.4.如果直线ax+by+c=0经过第一、第二，第四象限，求a、b、c应满足的条件。

答案：第一象限中x>0.y>0，所以ax+by+c>0；第二象限中x0，所以ax+by+c0.y<0，所以ax+by+c<0.综上所述，应满足ab<0.bc<0.5.已知两条不同的直线m和n，两个不同的平面α和β，判断下列命题中正确的是哪个。

答案：选项A是正确的。

因为如果m与α垂直，n与β平行，那么m和n的夹角就是α和β的夹角，所以m和n垂直。

6.已知圆锥的表面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面半径。

答案：设底面半径为r，侧面的母线长为l，则圆锥的侧面积为πrl。

根据题意，πrl=6π，所以l=6/r。

而侧面展开图是一个半圆，所以底面周长为2πr，即底面直径为2r，所以侧面母线长l=πr。

将上述两个式子代入公式S=πr^2+πrl中，得到r=2.7.已知两条平行线答案：两条平行线的距离等于它们的任意一点到另一条直线的距离。

我们可以先求出l2上的一点，比如(0,7/8)，然后带入l1的方程，得到距离为3/5.8.已知函数y=ax-1/(3x^2+5)，如果它的图像经过定点P，求点P的坐标。

答案：点P的坐标为(1,2)。

因为当x=1时，y=a-1/8，所以a=17/8.又因为当x=2时，y=1/13，所以17/8×2-1/13=2，解得a=17/8，所以y=17x/8-1/(3x^2+5)，当x=1时，y=2.9.已知a=3/5，b=1/3，c=4/3，求a、b、c的大小关系。

安徽省六安市第一中学20212021学年高一数学下学期期末考试试题理（含解析）数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【解析】第一是符号规律：，再是奇数规律，因此，选C.点睛：由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观看(观看规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为专门数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略：①分式中分子、分母的特点；②相邻项的变化特点；③拆项后的特点；④各项的符号特点和绝对值特点；⑤化异为同.关于分式还能够考虑对分子、分母各个击破，或查找分子、分母之间的关系；⑥关于符号交替显现的情形，可用处理.2. 已知数列中，，，则等于（）A. B. C. -1 D. 2【答案】B【解析】分析：依照前几项，确定数列的周期，然后求解数列的项．详解：数列{a n}满足，，可得a2=﹣1，a3=2，a4=，因此数列的周期为3，=a3×672+2= a2=﹣1，故选：C．点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，依照给出的初始值和递推关系能够依次写出那个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．3. 已知数列满足：，，，那么使成立的的最大值为（）A. 4B. 5C. 24D. 25【答案】C【解析】分析：由题意知a n2为首项为1，公差为1的等差数列，由此可知a n=，再结合题设条件解不等式即可得出答案．详解：由题意a n+12﹣a n2=1，∴a n2为首项为1，公差为1的等差数列，∴a n2=1+（n﹣1）×1=n，又a n＞0，则a n=，由a n＜5得＜5，∴n＜25．那么使a n＜5成立的n的最大值为24．故选：C．点睛：本题考查数列的性质和应用，考查了不等式的解法，解题时要注意整体数学思想的应用．4. 已知数列是公差不为0的等差数列，且，，为等比数列的连续三项，则的值为（）A. B. 4 C. 2 D.【答案】A【解析】分析：数列{a n}是公差d不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{b n}的连续三项，可得=a1•a7，化简可得a1与d的关系．可得公比q=．即可得出=．详解：数列{a n}是公差d不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{b n}的连续三项，∴=a1•a7，可得=a1（a1+6d），化为：a1=2d≠0．∴公比q====2．则==．故选：A．点睛：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与运算能力，属于中档题．5. 若，则不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：先依照a的范畴确定a与的大小关系，然后依照不等式的解法直截了当求出不等式的解集．详解：∵0＜a＜1，∴a＜，而是开口向上的二次函数，大于零的解集在两根之外∴的解集为{x|}故选：C．点睛：（1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再依照判别式符号判定对应方程根的情形，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．（2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一样按下面次序进行讨论：第一依照二次项系数的符号进行分类，其次依照根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再依照根的大小进行分类．6. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用不等式性质，指数函数的单调性，特值法逐一判定即可.详解：a，b∈R，且，a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），若a＜0，b＜0，则a+b＜0，a﹣b＞0，a2﹣b2＜0，A不一定成立；函数y=2x在R上递增，且，∴,即，B正确；若a=2π，b=0，则cos2π=cos0=1，B不一定成立；若a＜0，b＞0，则<，C不一定成立；若a=0，b=2π，则cos2π=cos0=1，D不一定成立；故选：B．点睛：不等式的性质及其应用： (1)判定不等式是否成立，需要逐一给出推理判定或反例说明．常用的推理判定需要利用不等式的性质．(2)在判定一个关于不等式的命题真假时，先把要判定的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判定命题真假，因此判定的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．7. 已知点，若动点的坐标满足，则的最小值为（）A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用点到直线的距离公式即可得到结论．【详解】作出不等式组对应的平面区域，...........................由图象可知点A到直线x+y=2的距离最小，现在d==，即|PA|的最小值为，故选：C．【点睛】线性规划问题，第一明确可行域对应的是封闭区域依旧开放区域、分界线是实线依旧虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、依旧点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范畴.8. 若的解集为，则关于函数应有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：由条件得到=﹣2，=﹣3，从而，利用二次函数的图象与性质比较大小即可.详解：∵ax2+bx+c＜0的解集为，∴﹣1，3是ax2+bx+c=0的两个实数根，且a＜0．∴﹣1+3=，﹣1×3=．化为=﹣2，=﹣3．∴函数=a=a（-3x2﹣2x+1）=．∵a＜0，抛物线开口向上，且对称轴为x=．∴离轴越近，值越小.又,,∴故选：D．点睛：本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根之间的关系、二次函数的图象与性质，考查了推理能力与运算能力，属于中档题．9. 已知，且，，则，的关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：因为P2﹣Q2=﹣≤0，因此P2≤Q2，则P≤Q，详解：因为a，b∈R，且P=，Q=，因此P2=，Q2=，则P2﹣Q2=﹣==﹣≤0，当且仅当a=b时取等成立，因此P2﹣Q2≤0，即P2≤Q2，因此P≤Q，故选：C．点睛：比较大小的常用方法（1）作差法：一样步骤：①作差；②变形；③定号；④结论.其中关键是变形，常采纳配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也能够先平方再作差.（2）作商法：一样步骤：①作商；②变形；③判定商与1的大小；④结论.（3）函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，依照函数的单调性得出大小关系.（4）借助第三量比较法10. 已知，满足，则的取值范畴是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：该问题是已知不等关系求范畴的问题，能够用待定系数法来解决．详解：设α+3β=λ（α+β）+v（α+2β）=（λ+v）α+（λ+2v）β．比较α、β的系数，得，从而解出λ=﹣1，v=2．分别由①、②得﹣1≤﹣α﹣β≤1，2≤2α+4β≤6，两式相加，得1≤α+3β≤7．故α+3β的取值范畴是[1，7]．故选：A点睛：本题考查待定系数法，考查不等式的差不多性质，属于基础题．11. 已知数列的通项为，则数列的最大值为（）A. B. C. D. 不存在【答案】C【解析】分析：a n==，而a7==，a8==，比较a7与a8即可得出．详解：∵a n==，而a7==，a8==，而a7＜a8，∴数列{a n}的最大项为a8．故选：C．点睛：本题考查了数列中项的最值问题、考查了对勾函数的图象与性质，属于基础题．12. 设正数，满足，若关于的不等式的解集中的整数解恰有4个，则的取值范畴是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：将不等式因式分解可得，由于解集中整数解恰有4个，则a ＞2，则有，则四个整数解为-3，﹣2，﹣1，0．则有，结合条件，可得a＜4，进而得到a的范畴．详解：，即∴，，∴由于解集中整数解恰有4个，则a＞2，∴则四个整数解为-3，﹣2，﹣1，0．∴，即即，又∴，∴，又a＞2∴的取值范畴是故选：C点睛：本题考查一元二次不等式的解法，考查不等式的整数解的求法，考查不等式的性质的运用，考查运算能力，属于易错题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 中国古代数学著作《算法统宗》有如此一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公认真算相还.”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从翌日起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后达到目的地.”则该人最后一天走的路程为__________里．【答案】6【解析】分析：每天走的路形成等比数列{a n}，q=，S6=378．利用求和公式即可得出．详解：每天走的路形成等比数列{a n}，q=，S6=378．∴S6=378=，解得a1=192．∴该人最后一天走的路程=a1q5==6．故答案为：6．点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与运算能力，属于基础题．14. 已知点在直线上，则的最小值为__________．【答案】4【解析】分析：将（1，2）代入直线方程，求得+=2，利用“1”代换，依照差不多不等式的性质，即可求得2a+b的最小值．详解：直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则+=2，由2a+b=（2a+b）×（+）=1+++1=2++≥2+2=4，当且仅当=，即a=，b=2时，取等号，∴2a+b的最小值为4，故答案为：4．点睛：在用差不多不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.15. 不等式组所表示的平面区域的面积等于，则__________．【答案】1【解析】分析：画出不等式组所表示的平面区域为面积等于的三角形，可知其过点（2，0），从而求出k的值.详解：∵不等式组所表示的平面区域三角形，如图：平面为三角形因此过点（2，0），∵y=kx﹣1，与x轴的交点为（，0），y=kx﹣1与y=﹣x+2的交点为（），三角形的面积为：=，解得：k=1．故答案为：1．点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，幸免出错;三，一样情形下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.16. 已知，若关于实数的方程的两个实根，满足，，则的取值范畴为__________．【答案】【解析】分析：将方程转化为函数，利用一元二次方程根的分布，转化为关于m，n的二元一次不等式组，利用线性规划的知识进行求解即可得到结论．详解：设f（x）=x2+（m+1）x+m+n+1，∵关于实数x的方程x2+（m+1）x+m+n+1=0的两个实根x1、x2满足0＜x1＜1，x2＞1，∴，即，作出不等式对应的平面区域如图，设k=，则k的几何意义为过原点的直线的斜率，由，解得，即A（﹣2，1），现在OA的斜率k==，直线2m+n+3=0的斜率k=﹣2，故﹣2＜k＜，故答案为：．点睛：线性规划问题，第一明确可行域对应的是封闭区域依旧开放区域、分界线是实线依旧虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、依旧点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范畴.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 若，，，比较，，的大小.【答案】.【解析】分析：利用作差法比较大小即可.详解：∵，，，∴，即，，即，综上可得：.点睛：作差法：一样步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采纳配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也能够先平方再作差．18. 已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若的定义域为，求的取值范畴.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）当a=1时，不等式f（x）≥log23，即≥log23，依照真数大于0，结合单调性转化为一元二次不等式问题．（2）f（x）的定义域为R，即＞0，对a讨论即可求解．详解：（1）时，，则，即，解得或.∴不等式的解集为；（2）∵的定义域为，∴对任意恒成立，当时，，解得.又成立，∴的取值范畴是.点睛：本题是一道易错题，解对数型不等式容易忽视真数大于零，二次型不等式恒成立问题注意对二次项系数的讨论.19. 某研究所打算利用“神舟十号”宇宙飞船进行新产品搭载实验，打算搭载新产品甲，乙，要依照该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和估量产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：产品甲（件）产品乙（件）研制成本与搭载费用之和（万元/件）200 300打算最大资金额3000元产品重量（千克/件）10 5 最大搭载重量110千克估量收益（万元/件）160 120试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总估量收益达到最大，最大收益是多少？【答案】搭载产品甲9件，产品乙4件，可使得总估量收益最大，为1920万元.【解析】分析：由题意，设搭载甲产品x件，乙产品y件，总估量收益为万元，化为简单线性规划应用．详解：设搭载产品甲件，产品乙件，估量总收益.则，（或写成）作出可行域，如图.作出直线：并平移，由图象得，当直线通过点时能取得最大值，，解得.∴（万元）.答：搭载产品甲9件，产品乙4件，可使得总估量收益最大，为1920万元.点睛：本题考查了实际问题转化为数学问题的能力及简单线性规划，属于中档题．20. 各项均为正数的等比数列中，，，且.（1）求数列，的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1），.（2）.【解析】分析：(1)利用等比数列通项公式与性质求出数列的通项公式，进而利用对数运算法则得到的通项公式；（2），利用错位相减法得到数列的前项和.详解：（1），.（2），数列的前项和，∴，∴.∴.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，专门是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应专门注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情形求解.21. （1）若关于的不等式的解集是的子集，求实数的取值范畴；（2）已知，，均为正数，且，求的最小值.【答案】（1）.（2）12.【解析】分析：（1）化简不等式＜0，通过a与2的范畴的讨论，求解即可；（2）依照题意，将abc=9（a+b）变形可得c=9×，则a+b+c=（a+b）+9×，结合差不多不等式的性质分析可得答案．详解：（1）由题，当时，不等式的解集为，现在明显是的子集，当时，不等式的解集为，要使其为的子集，∴，综上，.（2）依照题意，，则，则，当且仅当时，等号成立；则的最小值为12.点睛：（1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再依照判别式符号判定对应方程根的情形，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．（2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一样按下面次序进行讨论：第一依照二次项系数的符号进行分类，其次依照根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再依照根的大小进行分类．22. 已知数列中，，其前项的和为，且满足.（1）求证：数列是等差数列；（2）证明：.【答案】（1）见解析.（2）见解析.【解析】分析：（Ⅰ）当n≥2时，，变形为，即可证明；（Ⅱ）由（1）可知，=4+2（n﹣1）=2n+2，，可得=．利用“裂项求和”与“放缩法”即可证明．详解：（1）当时，，整理得：，，从而构成以2为首项，2为公差的等差数列.（2）由（1）可知，，∴.∴当时，，当时，，∴.另解：当时，，∴，.点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其缘故是有时专门难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是依照式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易显现丢项或多项的问题，导致运算结果错误.。

2020-2021学年安徽省六安市一中高一上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．下列说法不正确的是（）A．平行向量也叫共线向量B．两非零向量平行，则它们所在的直线平行或重合C．若a为非零向量，则aa是一个与a同向的单位向量D．两个有共同起点且模相等的向量，其终点必相同【答案】D【解析】根据共线向量的定义判断AB；由aa的模长为1，1a>得出aa是一个与a同向的单位向量；举例排除D.【详解】由于任一组平行向量都可以平移到一条直线上，则平行向量也叫共线向量，A正确；两非零向量平行，则它们所在的直线平行或重合，由共线向量的定义可知，B正确；aa的模长为1，1a>，则aa是一个与a同向的单位向量，C正确；从同一点出发的两个相反向量，有共同的起点且模长相等，但终点不同，D错误；故选：D【点睛】本题主要考查了共线向量概念的辨析，属于基础题.2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度是4，则扇形的周长为（）A．6B．C．10D．12【答案】A【解析】根据扇形的面积公式和弧长的计算公式，求得弧长和半径，即可求得结果. 【详解】设扇形的半径为r，弧长为l.由题意：1224lr l r⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得14r l =⎧⎨=⎩，所以扇形的周长为26l r +=， 故选：A. 【点睛】本题考查扇形的弧长和面积公式，属基础题. 3．化简：AB CD BD AC -+-=（ ） A ．2BC B ．2BC -C ．2ADD ．【答案】D【解析】根据向量的加减法运算即可得出答案. 【详解】()0AB CD BD AC AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-=故选：D 【点睛】本题主要考查了向量的加减法运算，属于基础题.4．已知0a <，角α的终边上有一点(3,4)P a a -，则sin α=（ ） A ．35B ．45C ．35D ．45-【答案】B【解析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】44sin 55a a α-===-故选：B【点睛】本题主要考查了利用三角函数的定义求正弦值，属于基础题.5．已知tan 34πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则1cos 2sin 2αα+=（ ）A．12-B．2-C．12D．2【答案】C【解析】化简tan34πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭得出tan2α=，再由二倍角公式化简1cos2sin2αα+即可得出答案.【详解】tan tan tan14tan341tan1tan tan4παπααπαα++⎛⎫+===-⎪-⎝⎭-⋅解得tan2α=21cos212cos1cos11sin22sin cos sin tan2αααααααα++-====故选：C【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式以及二倍角公式，属于基础题.6．已知()sin()(0,0,)2f x A x B Aπωϕωϕ=++>><的图象如图所示，则函数()f x的对称中心可以为（）A．,06π⎛⎫⎪⎝⎭B．,16π⎛⎫⎪⎝⎭C．,06π⎛⎫-⎪⎝⎭D．,16π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据图像得到振幅和3112B-==，721212Tπππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，进而得到2ω=，通过特殊点得到3πϕ=，令()23x k k Zππ+=∈可得到对称中心.【详解】由图可知3122A +==，3112B -==，721212T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以2ω=.由()22122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，2πϕ<，得3πϕ=，故()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.令()23x k k Z ππ+=∈， 得()26k x k Z ππ=-∈，则0k =时，6x π=-. 故答案为D. 【点睛】确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝2M m -，b ＝2M m +；(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πω；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝2π；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝32π.7．已知四边形ABCD 中，2AB AD ==，120BAD ︒∠=，O 为平面上一点，且满足OA OC OB OD +=+，则四边形ABCD 的面积为（ ）A B ．C ．D ．4【答案】B【解析】根据向量的减法运算得出BA CD =，进而得出边形ABCD 为菱形，求出ABDS，即可得出四边形ABCD 的面积.【详解】由BA OB OD OC -=-得出BA CD =，且2AB AD == 则四边形ABCD 为菱形即四边形ABCD 为2sin12022ABDS S AD AB ==⋅︒=⨯=故选：B 【点睛】本题主要考查了向量减法的应用，涉及了三角形面积公式，属于基础题.8．已知函数()))f x x x ωϕωϕ=+-+是R 上的奇函数，则tan ϕ=（ ）A B ．±C D ．【答案】C【解析】利用辅助角公式化简函数解析式，结合(0)0f =得出,3k k Z πϕπ=+∈，即可得出tan ϕ的值.【详解】())))3f x x x x πωϕωϕωϕ=++=+-因为函数()f x 是R 上的奇函数，所以(0)0f =即,33k k k Z ππϕπϕπ-=⇒=+∈，则tan ta t n =an 33k πππϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=故选：C 【点睛】本题主要考查了已知正弦型函数的奇偶性求参数的正切值，属于常考题.9．在ABC ∆中，D 为AC 的中点，E 为线段BD 上一点，且满足3BD DE =-，若AE AB AC λμ=+，则2λμ+=（ ）A ．1B ．12C ．13D ．14【答案】B【解析】根据向量的加减法得出1133AE AB AC =+，进而得出,λμ的值，即可得出答案. 【详解】由3BD DE =-知，点E 是线段BD 上靠近点D 的三等分点 则()222112333233BE BD AD AB AC AB AC AB ⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭ 12113333AE AB BE AB AC AB AB AC ∴=+=+-=+则11,33λμ==2611132λμ∴+=+=故选：B 【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，属于常考题.10．已知,,2παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，10sin α=，cos 5β=-，则αβ+=（ ） A ．34πB ．54π C ．74π D ．54π或74π【答案】C【解析】由平方关系得出cos α，sin β的值，求出cos()αβ+，根据,αβ的范围得出αβ+. 【详解】cos α==，sin β==cos()cos cos sin sin αβαβαβ⎛∴+=⋅-⋅== ⎝⎭,,2παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(,2)αβππ∴+∈cos()0αβ+>，3(,2)2παβπ∴+∈ 则74αβπ+= 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用三角函数值求角，属于常考题. 11．若不共线向量a ，b 满足||||a b a +=，则（ ） A ．|2||2|a a b >+ B ．|2||2|a a b <+C ．|2||2|b a b >+D ．|2||2|b a b <+【答案】A【解析】利用向量的运算得出22||a b b ⋅=-，利用作差法比较22|2||2,|a a b +的大小以及22|2|,|2|b a b +的大小，即可得出答案. 【详解】||||a b a +=，222||2||||a a b b a ∴+⋅+=，即22||a b b ⋅=- 222222|2||2|4||2||||||0a a b a b b b b b -+=-⋅-=-=>即22|2|2|2||2|a a b a a b >+⇒>+2222222|2||2|4||4||4||5||4||b a b b a a b b b a =-+=--⋅--由于||a ，||b 的大小未知，则|2|,|2|b a b +的大小不确定 故选：A 【点睛】本题主要考查了向量的运算，涉及不等式性质的应用，属于中档题.12．已知函数22()2sin cos sin (0)24x f x x x ωπωωω⎛⎫=⋅--> ⎪⎝⎭在区间52,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间(0,)π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ）A ．13,25⎛⎤⎥⎝⎦B ．13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,25⎛⎫⎪⎝⎭D ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A【解析】化简函数解析式，由正弦函数的单调性以及性质，列出相应不等式，即可得出ω的取值范围. 【详解】21cos 2cos 21sin 4222x x xπωωπω⎛⎫ ⎪⎝+-⎛⎫-=⨯=+ ⎝⎭⎭⎪ 222()2sin cos sin sin (1sin )sin sin 24x f x x x x x x x ωπωωωωωω⎛⎫∴=⋅--=+-= ⎪⎝⎭由2222,2222k k k x k x k Z πππππππωπωωωω-+≤≤+⇒-+≤≤+∈ 得到()f x 含原点的单调递增区间为,22ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x 在区间52,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 52,,6322ππππωω⎡⎤⎡⎤∴-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故有635222ππωππω⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得35ω，又0>ω，所以305ω<(0,),(0,)x x πωωπ∈∴∈函数()f x 在区间(0,)π上恰好取得一次最大值，并且函数sin y x =在区间5,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上只有一个最高点 ∴5152222ππωπω<≤⇒<≤ 综上，13,25ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选： A 【点睛】本题主要考查了由正弦型函数的单调性以及最值求参数范围，属于中档题.二、填空题13．若平面向量,a b 满足||1a =，||||3ab a b +=-=，则||b =__________.【解析】利用向量的模长公式即可求解. 【详解】||||a b a b +=-2222||2||||2||a a b b a a b b ∴+⋅+=-⋅+，即0a b ⋅= 22||||2||3a b a a b b +=+⋅+=，解得||2b =【点睛】本题主要考查了求向量的模长，属于基础题. 14．已知,αβ均为锐角，若cos α=，1tan()7αβ-=-，则tan β=_________.【答案】3【解析】先求出tan α，再由两角差的正切公式即可得出答案. 【详解】sin tan 2cos ααα===12tan tan()7tan tan(())321tan tan()17ααββααβααβ+--∴=--===+⋅-- 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式化简求值，属于中档题. 15．若P 是ABC ∆内部一点，且满足2PA PB CB +=，则ABP ∆与ABC ∆的面积比为_______. 【答案】13【解析】利用向量的加法运算得出PA PB CP +=，取AB 的中点为O ，进而得出点P 为ABC ∆的重心，根据重心的性质即可得出答案. 【详解】2PA PB CB PA PB CB BP CP +=⇒+=+=取AB 的中点为O ，则2PA PB PO += 即2PO CP =，则点P 为ABC ∆的重心根据重心的性质可得，点P 到AB 的距离是点C 到AB 的距离的13则13ABP ABC S S ∆∆= 故答案为：13【点睛】本题主要考查了根据向量关系判断三角形的重心，属于常考题.16．若函数()sin2f x x x π=-+在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=______.【答案】2π【解析】令sin )2(g x x x =-，利用定义证明函数()g x 为奇函数，由奇函数的性质即可得出答案. 【详解】令sin )2(g x x x =-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ ()()()sin 2sin 2sin 2()g x x x x x x x g x -=-+=-+=--=-，所以函数()g x 为奇函数即函数()g x 在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值满足min max ()()0g x g x += 所以min max ()()2g M m x g x πππ+++=+= 故答案为：2π 【点睛】本题主要考查了奇函数的应用，属于常考题.三、解答题17．求下列各式的值.（1）cos 20cos 40cos80︒︒︒； （24cos80︒︒+. 【答案】（1）18（2）1 【解析】（1）利用二倍角的正弦公式化简即可； （2）先切化弦，再利用两角差的正弦公式化简即可. 【详解】解：（1）原式1sin160sin 20cos20cos40cos8018sin 20sin 208︒︒===；4sin10︒+=（2）原式()2sin 30102sin 20cos10cos10︒︒︒︒︒︒︒+-+==cos10cos10︒︒= 1=【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，涉及了二倍角的正弦公式以及两角差的正弦公式，属于常考题.18．已知ABC ∆的内角分别为A 、B 、C ，且满足(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=⋅.（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，求sin sin A C +的取值范围.【答案】（1）3B π=；（2）32⎛ ⎝. 【解析】（1）逆用两角和的正弦公式化简，整理得出1cos 2B =，即可得出B ； （2）根据3B π=以及锐角三角形内角的范围，得出,62A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由三角形内角和以及辅助角公式得出sin s n i 6n A C A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，最后根据正弦函数的性质得出sin sin A C +的取值范围. 【详解】（1）由(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=⋅得2sin cos sin cos sin cos sin()sin A B C B B C B C A =+⋅=+=，又ABC ∆中sin 0A >，得1cos 2B =，从而3B π=； （2）由（1）知，23A C π+=故23sin sin sin sin cos 3226sin C A A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 又ABC ∆为锐角三角形，故,62A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即2,363A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭362A πππ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即326A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭从而sin sin A C +的取值范围为32⎛⎝.【点睛】本题主要考查了两角和的正弦公式的应用以及利用正弦函数的性质求最值，属于常考题.19．已知12,e e 是平面上两个不共线的向量且124AB ke e =-，12CD e ke =-+，122BD e e =+.（1）若AB ，CD 方向相反，求k 的值；（2）若A ，C ，D 三点共线，求k 的值.【答案】（1）2k =；（2）1k =或2-.【解析】（1）由向量共线得出存在R λ∈，使得AB CD λ=，得出12124()ke e e ke λ-=-+，列出方程组，即可得出k 的值；（2）根据三点共线得出存在R μ∈，使得AD CD μ=，得出1212(1)2()k e e e ke μ+-=-+，列出方程组，即可得出k 的值.【详解】解：（1）由题意知，//AB CD ，则存在R λ∈，使得AB CD λ=，即12124()ke e e ke λ-=-+，从而4k k λλ=-⎧⎨-=⎩，得2λ=±，又,C AB D 方向相反，则2,2k λ=-=； （2）由题意知，12(1)2AD AB BD k e e =+=+-，由A ，C ，D 三点共线得，存在R μ∈，使得AD CD μ=，即1212(1)2()k e e e ke μ+-=-+，从而12k k μμ+=-⎧⎨-=⎩，得1k =或2-. 【点睛】本题主要考查了根据向量共线求参数范围以及根据三点共线求参数，属于常考题.20．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移56π个单位后得到函数()g x 的图象，设函数()()()h x g x f x =-. （1）求函数()h x 的单调递增区间；（2）若263g πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()h α的值. 【答案】（1）511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）23. 【解析】（1）根据平移变换得出()g x 的解析式，化简得出()h x 的解析式，根据正弦函数的单调减区间得出函数()h x 的单调递增区间；（2）由263g πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭得22sin 233πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再由()sin 23h παα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，结合诱导公式即可得出答案. 【详解】解：（1）由题意知，5()sin 2sin 263g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从而1()sin 2sin 2sin 2sin 23223h x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令3222,232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈ 则函数()h x 的单调递增区间为511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由263g πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭得22sin 233πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 从而22()sin 2sin 2333h ππααα⎛⎫⎛⎫=--=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【点睛】 本题主要考查了求正弦型函数的单调性以及诱导公式的应用，属于常考题.21．已知函数2()sin 22sin f x a x x m =--，其中,a m R ∈.（1）若a =()y f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，求m 的值； （2）若2a =，且12,x x 是函数()y f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的两个零点，求()12cos x x +的值.【答案】（1）1m =-；（2. 【解析】（1）将函数()f x 的解析式化为()2sin 216f x x m π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，再结合正弦函数的性质，得出1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，最后由函数()y f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，得出m 的值；（2）由12,x x 是函数()y f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的两个零点，得出12,x x 关于函数()y f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的对称轴对称，求出函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的对称轴，根据对称性得出122x x πϕ+=-，再计算()12cos x x +的值即可.【详解】解：（1）当a =()2cos212sin 216f x x x m x m π⎛⎫=+--=+-- ⎪⎝⎭ 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 故max ()212f x m =--=，得1m =-；（2）因为12,x x 是函数()y f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的两个零点 所以12,x x 关于函数()y f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的对称轴对称而当2a =时，())1f x x m ϕ=+--，其中cosϕ=，sin ϕ= 由2,2x k k Z πϕπ+=+∈得，函数()y f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的对称轴为42x πϕ=- 由对称性可知，122x x πϕ+=-则()12cos cos sin 2x x πϕϕ⎛⎫+=-==⎪⎝⎭. 【点睛】 本题主要考查了根据正弦型函数的最值求参数以及对称性的应用，属于中档题.22．已知函数21()cos2sin 12sin 22x f x x x ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭，其中x ∈R . （1）求使得1()2f x ≥的x 的取值范围；（2）若函数3()24g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且对任意的12,[0,]x x t ∈，当12x x <时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求正实数t 的最大值.【答案】（1）,,4k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦；（2）4π. 【解析】（1）化简函数()f x 的解析式，利用正弦函数的性质解不等式即可；（2）构造函数()()()h x f x g x =-，由单调性的定义得出()h x 在区间[0,]t 上为增函数，结合正弦函数的单调性，得出正实数t 的最大值.【详解】解：（1）由题意得，21()cos212sin sin 22224x f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令12242x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，得sin 242x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭ 即3222444k x k πππππ+≤+≤+，故x 的取值范围为,,4k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦（2）由题意得，()()()()1122f x g x f x g x -<-令3()()()222424h x f x g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222x x x x ⎫⎫=++⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭sin 2x =即()()12h x h x <故()h x 在区间[0,]t 上为增函数 由22222k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈得出，44k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈则函数()h x 包含原点的单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦即4t π≤ 故正实数t 的最大值为4π.【点睛】本题主要考查了解正弦不等式以及正弦型函数单调性的应用，属于中档题.。

六安一中2019～2020年度高一年级第一学期期末考试数学试卷满分：150分 时间：120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1. 与35°角终边相同的角是（ ） A. 35︒-B. 335°C. 395°D. 345︒-2. 给出下列四个说法：①若||0a =，则0a =；②若||||a b =，则a b =或a b =-；③若//a b ，则||||a b =；④若//a b ，//b c ，则//a c .其中错误的说法有（ ） A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知α为第四象限角，则2α所在象限是（ ） A. 第一或第二象限B. 第二或第三象限C. 第一或第四象限D. 第二或第四象限4. 已知扇形的周长是10，圆心角是3弧度，则扇形的面积是（ ） A. 6πB. 16πC. 6D. 165. 已知函数()cos 46f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ） A. ()f x 的最小正周期为π B. ()f x 的图象关于直线6x π=-对称C. ()f x 的单调递减区间为,()224212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D. ()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称 6. 函数1()sin cos 536f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（ ） A. 65-B. 1-C.35D. 15-7. 若(sin )4cos2f x x =+，则(cos )f x =（ ） A. 4cos2x +B. 4cos2x -C. 4sin2x -D. 4sin2x +8. 在ABC ∆中，已知D 是AB 边上的一点，若2AD DB =，23CD CA CB λ=+，则λ=（ ） A. 23-B. 13-C.13 D.239. 已知O 是三角形ABC 内部一点，且20OA OB OC ++=，则AOB ∆的面积与ABC ∆的面积之比为（ ） A.12B.13C.14D.1510.化简：)sin80tan10sin50︒︒︒-⋅=（ ） A. 1B. 2C. 3D. 411. 设函数()cos (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()4f x f π⎛≤⎫⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为（ ） A.193B.223C.253D.28312. 将函数3sin 46y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =的图象的一条对称轴是直线（ ）A. 6x π=B. 3x π=C. 2x π=D. 4x π=二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 如果点(sin ,cos )P θθ位于第二象限，那么角θ所在的象限是第______象限.14. 已知1e ，2e 不共线，1212,42a e e b e e λ=+=-，并且,a b 共线，则λ=________. 15.已知cos 2βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos 2αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且0,22βπα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则2αβ+的值为__________.16. 设0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，且2sin 2cos 220m m θθ+--<恒成立，则m 的取值范围为_______.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知α是第三象限角，11sin(2)cos()cos cos 22()9cos()sin(3)sin()sin 2f πππαπααααππαπαπαα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫----+ ⎪⎝⎭.的（1）化简()f α；（2）已知()f α=，求cos sin αα-值.18. 计算下列各式的值.（1）已知1cos sin ,[0,]5αααπ-=-∈，求sin 24απ⎛⎫+⎪⎝⎭值；（2）若54αβπ+=，求(1tan )(1tan )αβ++的值. 19. 计算下列各式的值.（1）已知3sin()cos cos()sin 5αβαβαα---=，β是第四象限角，求5sin 4πβ⎛⎫-⎪⎝⎭的值. （2）求22sin 11cos 41sin11cos41︒︒︒︒++的值.20. 已知函数()cos()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象如下图所示.（1）若()f x 的图像向左平移6π个单位后，得到()g x 的图像，求()g x 的解析式； （2）若方程()30f x m -=在13,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有三个不同实根，求m 的取值范围.21.已知函数2()sin cos (0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π. （1）求()f x 的单调递减区间； （2）若()f x 在,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上最大值为32，求m 的范围. 22. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆交于A 、B 两点.已知A 、B. 的的（1）求tan()αβ-的值； （2）求2αβ+的值.六安一中2019～2020年度高一年级第一学期期末考试数学试卷满分：150分 时间：120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1. 与35°角终边相同的角是（ ） A. 35︒- B. 335°C. 395°D. 345︒-【答案】C 【解析】 【分析】确定是否相差360°的整数倍即可．【详解】观察四个选项只有395°=35°+360°， 故选：C.【点睛】本题考查终边相同的角，掌握终边相同角的表示方法是解题关键．360k βα=⋅︒+（k Z ∈）是与α终边相同的角．2. 给出下列四个说法：①若||0a =，则0a =；②若||||a b =，则a b =或a b =-；③若//a b ，则||||a b =；④若//a b ，//b c ，则//a c .其中错误的说法有（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的概念判断．【详解】①只有零向量的模是0，因此应有0a =，不是0，错； ②模相等的向量方向不确定，不一定相同或相反，错；③两向量平行，只要方向相同或相反或有一个为零向量，模不作要求，错； ④当0b =时，,a c 不一定共线，错． 故选：D ．【点睛】本题考查向量的概念，掌握向量的定义是解题关键． 3. 已知α为第四象限角，则2α所在象限是（ ） A. 第一或第二象限 B. 第二或第三象限C. 第一或第四象限D. 第二或第四象限【答案】D 【解析】 【分析】用不等式表示出α的范围，计算出2α的范围，然后可得其所在象限． 【详解】α为第四象限角，则222k k ππαπ-<<，∴,42k k k Z παππ-<<∈，k 为偶数时，2α在第四象限，k 为奇数时，2α在第二象限． 故选：D ．【点睛】本题考查象限角的概念，解题关键是掌握象限角的表示方法． 4. 已知扇形的周长是10，圆心角是3弧度，则扇形的面积是（ ） A. 6π B. 16πC. 6D. 16【答案】C 【解析】【分析】由扇形周长求出半径，再由面积公式计算． 【详解】设半径为R ，则扇形弧长为102R -，∴1023R R -=，2R =，213262S =⨯⨯=． 故选：C ．【点睛】本题考查扇形面积公式和弧长公式，属于基础题． 5. 已知函数()cos 46f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ） A. ()f x 的最小正周期为π B. ()f x 的图象关于直线6x π=-对称C. ()f x 的单调递减区间为,()224212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D. ()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦函数的性质判断． 【详解】()f x 的周期是242T ππ==，A 错； ()cos[4()]cos()06662f ππππ-=-⨯-+=--=不是最值，6x π=-不是对称轴，B 错；由2426k x k ππππ-≤+≤得7,224224k k x k Z ππππ-≤≤-∈，不是,()224212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，C 错；由于()06f π-=，因此(,0)6π-是()f x 的对称中心，D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查余弦型复合函数的性质，掌握余弦函数性质是解题关键． 6. 函数1()sin cos 536f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（ ）A. 65-B. 1-C.35D. 15-【答案】A 【解析】 【分析】用诱导公式化简后根据正弦函数性质可得． 【详解】11()sin cos sin cos 5365323f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1sin n 53si 3x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6sin()53x π=+，最小值为65-． 故选：A ．【点睛】本题考查正弦函数的最值，考查诱导公式，诱导公式的应用是解题关键． 7. 若(sin )4cos2f x x =+，则(cos )f x =（ ） A. 4cos2x + B. 4cos2x -C. 4sin2x -D. 4sin2x +【答案】B 【解析】 【分析】用诱导公式转化．【详解】()()cos sin 4cos 24cos 24cos 222f x f x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=+-=+-=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 故选：B .【点睛】本题考查求函数解析式，掌握诱导公式是解题关键．本题也可以先求出()f x ，再求解． 8. 在ABC ∆中，已知D 是AB 边上的一点，若2AD DB =，23CD CA CB λ=+，则λ=（ ） A. 23-B. 13-C.13 D.23【答案】C 【解析】 【分析】用向量的线性运算表示即可． 【详解】∵2AD DB =，∴2212()3333CD CA AD CA AB CA CB CA CA CB =+=+=+-=+．因此13λ=． 故选C ．【点睛】本题考查向量的线性运算，掌握线性运算法则是解题关键．本题可直接由向量共线定理得出结论，由,,A D B 三点共线可得213λ+=，13λ=．9. 已知O 是三角形ABC 内部一点，且20OA OB OC ++=，则AOB ∆的面积与ABC ∆的面积之比为（ ） A.12B.13C.14D.15【答案】C 【解析】 【分析】作出OA OC +，根据向量加法的平行四边形法则可得O 在中线BM 上且是中线的中点．由此可得． 【详解】如图，设OA OC +OD =，∵20OA OB OC ++=，∴2OD OB =-，设AC 与OD 交于点M ，则M 平分,AC BD ，∴OM OB =-，O 是BM 中点， ∴1124AOB AMB ABC S S S ∆∆∆==．比值为14．故选：C ．【点睛】本题考查平面向量加法的平行四边形法则，考查向量数乘的意义．掌握向量加法的平行四边形法则是解题关键． 10.化简：)sin80tan10sin50︒︒︒-⋅=（ ） A 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】切化弦，通分，并把sin80︒化为cos10︒，逆用两角差的正弦公式可得．【详解】)sin80tan10sin50︒︒︒-⋅=sin10cos1011)sin10)cos10sin 5022sin 50︒︒⋅=︒-︒⋅︒︒︒2(sin 60cos10cos60sin10)2sin 502sin 50sin 50︒︒-︒︒︒===︒︒．故选：B ．【点睛】本题考查三角函数化简求值．考查同角间的三角函数关系、诱导公式、两角差的正弦公式，在三角函数化简中切化弦是常用方法． 11. 设函数()cos (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()4f x f π⎛≤⎫⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为（ ） A.193B.223C.253D.283【答案】B 【解析】 【分析】已知条件说明()4f π是函数最大值，根据余弦函数性质求出ω的表达式，可得最小正数．【详解】∵()4f x f π⎛≤⎫⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，∴()4f π是函数的最大值， ∴246k ππωπ⨯+=，283k ω=-，k Z ∈，其中最小的正数为222833-=． 故选：B ．【点睛】本题考查余弦函数的性质，掌握余弦函数的最值是解题关键． 12. 将函数3sin 46y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =的图象的一条对称轴是直线（ ）A. 6x π=B. 3x π=C. 2x π=D. 4x π=【答案】C 【解析】 【分析】的的由图象变换得()g x 的表达式，然后求出()g x 的对称轴方程，比较可得．【详解】由题意()3sin[2()]3sin(2)3cos 2662g x x x x πππ=--=-=-，由2x k =π得2k x =π，k Z ∈，四个选项中只有C 符合． 故选：C ．【点睛】本题考查三角函数的图象变换，考查余弦函数的性质，掌握余弦函数的对称性是解题关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 如果点(sin ,cos )P θθ位于第二象限，那么角θ所在的象限是第______象限. 【答案】四. 【解析】 【分析】由点所在象限得出三角函数的正负，再由三角函数定义得出角所在象限．【详解】由题意sin 0cos 0θθ<⎧⎨>⎩，∴θ在第四象限，故答案为：四．【点睛】本题考查三角函数的定义，掌握各象限角的三角函数值的符号是解题关键． 14. 已知1e ，2e 不共线，1212,42a e e b e e λ=+=-，并且,a b 共线，则λ=________. 【答案】-2. 【解析】 【分析】由向量共线的条件求解．【详解】∵,a b 共线，∴存在实数k ，使得a kb =，即121212(42)42e e k e e ke ke λ+=-=-，又1e ，2e 不共线，∴412k k λ=⎧⎨=-⎩，解得122k λ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩．故答案为：2-．【点睛】本题考查向量共线的条件，考查平面向量基本定理，掌握向量共线的条件是解题关键． 15.已知cos 2βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos 2αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且0,22βπα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则2αβ+的值为__________.【答案】4π． 【解析】【分析】 求出sin()2βα-和sin()2αβ-，再由两角和余弦公式求得cos 2αβ+，然后可得角的大小．【详解】∵cos 2βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos 2αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且0,22βπα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴sin()25βα-==sin()2αβ-=， ∴cos cos[()()]cos()cos()sin()sin()2222222αββαβαβααβαβαβ+=-+-=-----5105102=⨯-⨯=， 又由0,22βπα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭得(0,)2αβπ+∈，∴2αβ+4π=． 故答案为：4π． 【点睛】本题考查已知三角函数值求角．一般要求角可先这个角的某个三角函数值，最好先确定这个角的范围，选用在此范围内三角函数是单调的函数求函数值后再确定角的大小．16. 设0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，且2sin 2cos 220m m θθ+--<恒成立，则m 的取值范围为_______. 【答案】1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】令cos t θ=，问题转化为22210t mt m -++>对[0,1]t ∈恒成立，结合二次函数的性质分类讨论可得． 【详解】当[0,]2πθ∈时，cos [0,1]θ∈，令cos t θ=，则[0,1]t ∈，不等式2sin 2cos 220m m θθ+--<化这212220t mt m -+--<，即22210t mt m -++>对[0,1]t ∈恒成立，记2()221f t t mt m =-++，(1)20f +>，(0)210f m =+>，12m >-， 因此0m ≤或m 1≥时，由(0)0(1)0f f >⎧⎨>⎩得102m -<≤或m 1≥， 当01m <<时，2min ()210f t m m =-++>恒成立，即01m <<， 综上12m >-． 故答案为：1(,)2-+∞．【点睛】本题考查余弦函数性质，考查不等式恒成立问题，解题关键是转化与化归，即换元后转化一元二次不等式在某区间上恒成立，从而转化为研究二次函数的性质．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知α是第三象限角，11sin(2)cos()cos cos 22()9cos()sin(3)sin()sin 2f πππαπααααππαπαπαα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫----+ ⎪⎝⎭. （1）化简()f α；（2）已知()f α=，求cos sin αα-的值.【答案】（1）tan α-；（2）12【解析】【分析】（1）用诱导公式化简()f α；（2）由正切值求出角α，然后计算sin ,cos αα即得． 【详解】（1）11sin(2)cos()cos cos 22()9cos()sin(3)sin()sin 2f πππαπααααππαπαπαα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫----+ ⎪⎝⎭ (sin )(cos )(sin )(sin )(cos )sin sin cos αααααααα----=-⋅tan α=-．（2）由（1）()tan f αα=-=tan α=∵α是第三象限角，∴(21)3k παπ=++，k Z ∈，则sin sin[(21)]sin 332k ππαπ=++=-=- 1cos cos[(21)]cos 332k ππαπ=++=-=-，∴1cos sin 2αα-=． 【点睛】本题考查诱导公式，考查三角函数求值，对特殊角的三角函数值，可以由函数值求出角，再求其他函数值．诱导公式比较多，掌握诱导公式是本题解题关键．18. 计算下列各式的值.（1）已知1cos sin ,[0,]5αααπ-=-∈，求sin 24απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）若54αβπ+=，求(1tan )(1tan )αβ++的值. 【答案】（1）725-；（2）2. 【解析】【分析】 （1）结合平方关系求出sin ,cos αα，然后由二倍角公式求出sin 2,cos 2αα，再由两角和的正弦公式求值． （2）计算5tan()tan 14παβ+==，由两角和的正切公式展开变形可求得结论． 【详解】（1）221cos sin 5sin cos 1αααα⎧-=-⎪⎨⎪+=⎩∴4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3sin 54cos 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍去） ∴24sin 22sin cos 25ααα==，27cos 22cos 125αα=-=-，∴sin 2sin cos cos2sin 44450παααππ⎛⎫+=⋅+⋅= ⎪⎝⎭（2）∵54αβπ+= ∴5tan()tan14a βπ+== ∴tan tan 11tan tan αβαβ+=-⋅ ∴tan 1ta an an t n t αβαβ+=-⋅∴(1tan )(1tan )1tan tan tan tan 2αβαβαβ++=+++⋅=【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查二倍角公式和两角和的正弦与正切公式，三角函数恒等变形的公式较多，解题时要根据条件特别是已知角和未知角之间的关系选用恰当的公式，注意公式选用顺序． 19. 计算下列各式的值.（1）已知3sin()cos cos()sin 5αβαβαα---=，β是第四象限角，求5sin 4πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. （2）求22sin 11cos 41sin11cos41︒︒︒︒++的值.【答案】（1）10；（2）34. 【解析】【分析】（1）已知等式变形后用两角差的正弦公式直接求出sin()β-，即得sin β，再求出cos β，还是由两角差的正弦公式求值．（2）把41︒看作是1130︒+︒，由两角和的余弦公式展开后化简计算即可．详解】（1）3sin()cos cos()sin 5αβαβαα---=即3sin()cos cos()sin 5αβααβα---=∴3sin[()]5αβα--=∴3sin()5β-= ∴3sin 5β=- ∵β为第四象限，∴4cos 5β=∴555sin sin cos cos sin 44410βπβπβπ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭ （2）()()22sin 11cos 1130sin11cos 1130︒︒︒︒︒︒++++ 22sin (cos11cos30sin11sin 30)sin11cos11cos30sin11sin 311)0(︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒=+-+-222231111cos 11sin 11cos11sin11cos11sin 11442s 22in ︒︒︒︒︒︒︒︒++-+-= 221133si 11n cos 44=+ 34= 【点睛】本题考查两角差的正弦公式和两角和的余弦公式，考查同角间的三角函数关系，掌握两角和与差的正弦余弦公式是解题关键．20. 已知函数()cos()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如下图所示.（1）若()f x 的图像向左平移6π个单位后，得到()g x 的图像，求()g x 的解析式； （2）若方程()30f x m -=在13,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有三个不同的实根，求m 的取值范围. 【答案】（1）2()cos 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）103m ≤<. 【解析】【分析】 （1）由五点法求得()f x 的解析式，再由图象得()g x 的解析式；（2）把23x π+作为一个整体，求出它的取值范围，结合余弦函数的图象可得结论．【详解】（1）15263T ππ=- ∴T π= 2wππ= ∴2w = 把,13π⎛⎫- ⎪⎝⎭代入可得3πϕ= ∴()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴2()cos 2cos 2633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ （2）13612x ππ-<≤ 13236x ππ- 135023632x ππππ+≤+=()3f x m =有三个不同的实根，由5cos ([0,])2y x x π=∈与直线3y m =有三个不同的交点得：031m ≤< ∴103m ≤<． 【点睛】本题考查由三角函数图象求解析式，考查三角函数的图象变换，考查方程根的分布问题．由图象求解析式的关键是掌握“五点法”，方程根的分布问题可通过数形结合思想求解．21. 已知函数2()sin cos (0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π.（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若()f x 在,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，求m 的范围. 【答案】（1）5,()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）,3π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】【分析】 （1）由二倍角公式降幂，再由两角差的正弦公式化函数式为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的性质求解；（2）求出26x π-的范围，结合正弦函数的性质可得m 的范围．【详解】（1）1cos 2()22x f x x ωω-=+112cos 222x x ωω=-+ 21sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ∵T π= ∴22ππω= ∴1ω= ∴21()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ()f x 的减区间，即为sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的减区间 ∴2322262k x k πππππ+≤-≤+ ∴36622222k x k ππππππ++≤≤++∴536k x k ππππ+≤≤+ ∴单调递减区间为5,()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ （2）3x m π-≤≤2223x m π-≤≤ 522666x m πππ-≤-≤- 由正弦函数性质可得262m ππ-≥246m π≥ 3m π≥∴m 的范围为,3π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查二倍角公式和两角差的正弦公式，考查正弦函数的性质．掌握正弦函数性质是解题关键． 22. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆交于A 、B 两点.已知A 、B 的纵坐标分别为10.（1）求tan()αβ-的值；（2）求2αβ+的值.【答案】（1）139；（2）324αβπ+=. 【解析】【分析】 （1）由正弦函数定义求出sin ,sin αβ，由平方关系求出cos ,cos αβ，由商数关系tan ,tan αβ，最后由两角差的正切公式求值；（2）求出tan 2β，再得tan(2)αβ+，由角的范围可得角．【详解】（1）由题意sin α=sin β= ∴αβ、均为锐角∴cos α=，cos β= ∴tan 7α=，1tan 2β=∴tan tan 13tan()1tan tan 9αβαβαβ--==+⋅ （2）2122tan 42tan211tan 314βββ⨯===-- 47tan tan 23tan(2)141tan tan 2173αβαβαβ+++===--⋅-⨯ ∵03πα<< 02πβ<< ∴3022αβπ<+< ∴324αβπ+= 【点睛】本题考查三角函数的定义，考查同角间的三角函数关系及两角和的正切公式．掌握两角和的正切公式是解题关键．。