北师大版七年级数学下册练习题《平方差公式》典型例题

平方差公式【目标导航】1．知道平方差公式的结构特征；2．知道平方差公式是多项式乘法的特殊情况；3．会正确运用平方差公式进行计算．【问题探究】一．探究计算下列多项式的积，你能发现什么规律？(1) (x +1)(x - 1)= ;(2) (m +2)(m - 2)= ;(3) （2011江苏连云港）分解因式：x 2－9＝_ ▲ ．(4) (a +b )(a -b )= .语言表述（4）式：．这个公式叫做（乘法的）平方差公式二．平方差公式的几何解释：三．例题例１先判断下列各式满足平方差公式的结构特征，然后运用平方差公式计算：(1) (3x +2)(3x -2);(2) (b +2a )(2a -b );(3) (-x +2y )(-x -2y ).例２运用平方差公式计算：(1) 102×98 (2)52115312⨯ 例3计算：(1)(2x-y)(y+2x)-2(3x-2y)(-2y-3x)-(-2x-3y)(2x-3y)(2)))()((22y x y x y x ++-(3))161)(41)(21)(21(42a a a a +++-(4) （2011江苏无锡）a(a-3)+(2-a)(2+a)【课堂操练】一.填空1．（2011常州市）分解因式：______92=-x212．(-a -b )(a -b )=3．（2011广东株洲）当x=10，y=9时，代数式x 2-y 2的值是4．=+---)21)(21(b b 5．(x -1) =21x -6．(a +b ) =22a b -二.判断:７.(0.5a-0.1)(0.5a+0.1)=1.025.02-a８.(a-b)(a+b)4422)(b a b a -=+９.2222)1()1()1(-=--a a a 10.y x y x y x y x y x --=+++884422))()(( 11.22)())((c b a c b a c b a -+=+--++ 12.5523233333)()())((b a b a b a b a -=-=-+三.选择13.下列各式:①(x-2y)(2y+x) ② (x-2y)(-x-2y) ③(-x-2y)(x+2y) ④ (x-2y)(-x+2y)其中能用平方差公式计算的是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④14.等式)43(22y x --( )=44916x y -中括号内应填入下式中的( )A.2243y x -B.2234x y -C.2243y x --D.2243y x +15.若52022-=+=-y x y x 且,则x -y 的值是( )A.5B.4C.-4D.以上都不对16.计算)())()((4422b a b a b a b a +-++-等于( )A.42aB.42bC.42a -D.42b -17.))((n m n m b a b a +-等于( )A.n m b a22- B.22n m b a - C.n m b a 22+ D.m n a b 22-2218.)43)(34()23)(32(y x x y x y y x +--+-的计算结果为( )A 221325x y - B.22213y x +C.222513y x -D.222513y x +四.应用平方差公式计算:19. 59.8×60.220. 2001×1999 21. 74197320⨯ 22. (1-mn )(mn +1) 23. )5675)(752.1(x y y x ---24. （2011福建福州）分解因式:225x -25.（2011浙江省舟山）分解因式：822-x【课后巩固】五.运用平方差公式计算：（1）2004×2002-22003（2）1.03×0.97 （3）2222482521000- （4）20062004200520052⨯- 六．计算： （5）)14)(21)(12(2++-a a a（6）)214)(214(22+-y x y x（7）)237)(237(22y x y x --- （8）)9)(3)(3(2+-+x x x（9）)2)(2())((y x y x y x y x +-++-+（10）(x +2y )(x -2y )-(x -4y )(x +4y )+(6y -5x )(5x +6y )七．先化简,再求值:（11）（2011宁波市）先化简，再求值：（a ＋2）(a －2)＋a (1－a )，其中a ＝5(12)．(x +2)(2-x )+x (x +1) 其中x =－1．(13)．(2011浙江绍兴)先化简，再求值：2(2)2()()()a a b a b a b a b -++-++，其中1,12a b =-=. 八．（1４）如果0)5()3(42=+-+-+y x y x ,求22y x -的值.(15)．解不等式组:(3)(3)(2)1(25)(25)4(1)x x x x x x x x +--->⎧⎨---<-⎩ ① ② 【课外拓展】（16）．填空：(a -b +c )( a +b -c )=( )2-( )2(3a -4b +5c )(-3a -4b +5c )= ( )2- ( )2(1７)．观察下列等式：① 4×2=32－12；② 4×3=42－22；③ 4×4=52－32；④ （ ）×（ ）=（ ）2－（ ）2；……则第4个等式为 ；第n 个等式为 ．（n 是正整数）（1８）．平方差公式的特征：左边为两个数的和乘以这两个数的差．右边为这两个数的平方差．公式的常见变形:位置变化:)2132)(3221(a b b a -+ 符号变化:(-3x -2y )(3x -2y )指数变化:))((2121+-+--+n m n m b a b a系数变化:(4a+4b )(a-b )因数变化:309×291较复杂的变化:(3x +2y -1)(3x -2y +1)(19)．运用平方差公式计算：22222212979899100-++-+-)12()12)(12)(12(3242++++)10011()2511)(1611)(911)(411(----- 参考答案：【问题探究】一．探究1.（1）x ²－1； （2）m ²－4；（3）【答案】（x －3）（x ＋3）； （4）a ²－b ²；两数和与两数差的相乘，等于完全相同的项的平方减去绝对值相同而符号相反的项的平方所得的差.二．平方差公式的几何解释：图1（1）的阴影部分的面积为22a b -；图1（2）的阴影面积为()()a b a b +-；（2）比较两个图形，有()()a b a b +-=22a b -，此即为“平方差公式”从而验证了平方差公式(a ＋b )(a －b )= a ²－b ².三．例题例1(1) 解：原式=9 x ²－4（2）解：原式=(x －3)2＋3(x －3)= 4a ²－b ²（3）解：原式=(2x +3)(2x －3)= x ²－4y ²例２（1）解：原式=(100+2) ×(100－2)= 100²－2²=9996（2）解：原式=(12＋35)(12－35) =1431625例3 （1）= 4x²－y²－2(4x²－9y²)－2(9y²－4x²)=26x ²－18y ²（2）解：原式= x 4－y 4（3）解：原式=(1－4a ² ) (1+4a ² ) (1+16 a 4 )=1－256a 8（4）【答案】解：原式=a ²－3a ＋4－a 2＝－3a ＋4【课堂操练】1. (x +3) (x －3)2. b ²－a ²3. 194. b ²－145. (-1－x )6. (-a +b )二、判断题7.（错误）8. （ 正确）9. （ 正确）10. （ 错误 ）11. （ 错误 ）12. （ 错误 ）三、选择题13.A 14.A 15.C 16.D 17.A 18.C四、计算：19. 解：原式=(60+0.2) ×(60－0.2)= 60²－0.2²=3599.620. 解：原式=(2000+1) ×(2000－1)= 2000²－1²=3999999921. 解：原式=(20+37) ×(20－37) = 20²－(37)² =399404922. 解：原式=1－m ²23. 解：原式=(57y ) ² －(1.2x )²= 2549y ²－2536x ²24.解：原式= (x +5) (x －5)25. 解：原式=2（x+2）(x-2)【课后巩固】（1）解：原式=（2003+1）（2003－1）－2003²=-1（2）解：原式=(1+0.03) ×1－0.03)=0.91（3）解：原式=1000²(250+248)(250-248)=1（4）解：原式=2005 2005²－ (2005+1)(2005-1)=2005六、（5）解：原式= 16 a 4－1（6）解：原式= 16 y ²x 4－14（7）解：原式= 94y ²x 4 －49 （8）解：原式= x 4 －81（9）解：原式= x 2 －y 2+4y 2-x 2=3 y ²（10）解：原式= x 2 -4y 2-x 2+16y 2+36y 2－25x 2=48y ²－25 x ²七（11）解：原式＝a 2－4＋a －a 2＝a －4当a ＝5时，原式＝5－4＝1（12）解：原式=4－x ²+ x ²+x =4+x当x =－1时，原式＝4－1＝3（13）原式=4a ²－b ²当a=1 2,b =1时，原式=0. 八（14）解：因为(x +y －3) ²+(x －y +5) 4=0.所以x +y －3=0，x －y +5=0，故x =－1， y =4x ²－y ²= (x +y ) +(x －y )= －15（15）解：解不等式①得x>5;解不等式②得x>254所以原不等式组的解集为x>254【课外拓展】（16）a ²－（b －c ）²(5c －4b ²)－（3a ）²（17）4×5=62－424×n =(n +1)2－(n +1)2；（18）解：原式=（23b +12a ）－（23b +12a ） =49b ²－14a ² 解：原式=(-2y -3x )(-2y +3x )=4y ²－9x ²解：原式=a 2(m -1)－b 2(n +2)解：原式=4(a+b )(a-b )=4a ²－b ²解：原式=(300+9) ×(300－9)= 300²－9²=59919解：原式=(3x)²－(2y －1)²= 9x ²－4y ²+4y -1（19）解：原式= (100+99) ×(100－99)+ (98+97)(98+97)+…+(2+1)(2-1) =5050解：原式=（2-1）（2+1）（22+1）…（232+1）=264-1.解：原式=(1+12)(1-12)(1+13)(1-13)(1+14)(1-14)…(1+110)(1-110) =32×12×43×23×54×34×…×1110×910=1120。

《平方差公式》典型例题例1 下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？（1）)23)(32(m n n m --； （2）)54)(45(xz y z xy --+-；（3）))((c b a a c b ---+； （4）)831)(318(3223x y x xy x +-．（5）))((z y x z y x ++-+-例2 计算：（1）)32)(32(y x y x -+；（2）)53)(53(b a b a ---；（3）))((2332x y y x ---；（4）)543)(534(z y x z x y +--+．例3 计算)3)(3(y xy xy y +---．例4 利用平方差公式计算 ：（1）1999×2001； （2）31393240⨯．例5 计算：(a -2b )(2a -b )-(2a -b )(b +2a )例6 计算：（1）)32)(311()32)(23(2)2)(2(y x y x x y y x x y y x -------+-（2）))()(()()(2222y x y x y x y x y x ++---+例7 计算：(x 2+4)(x -2)(x +2)例8 填空(1)(a+d)·( )=d 2-a 2(2)(-xy-1)·( )=x 2y 2-1例9 计算)12()12)(12)(12(242++++n参考答案例1 分析：两个多项式相乘，只有当这两个多项式各分为两部分之后，它们的一部分完全相同，而另一部分只有符号不同，才能够运用平方差公式．解：（1）两个二项式的两项分别是m 2，n 3-和m 2-，.3n 两部分的符号都不相同，没有完全相同的项，所以不能用平方差公式．（2）这两个二项式的两项分别是xy 5-，z 4和xz 5-，y 4，所含字母不相同，没有完全相同的项，所以不能用平方差公式．（3）b 与b -，a -与a ，c 与c -，没有完全相同的项，不能用平方差公式．（4）两个二项式中，38x 完全相同，但231xy -与y x 231-除去符号不同外，相同字母的指数不同，所以不能用平方差公式．（5）x 与x -，y 与y -，只有符号不同，z 完全相同，所以可以用平方差公式．可用平方差公式．例2 分析：在应用乘法公式进行实际问题的计算时，多项式的系数、指数、符号、相对位置不一定符合公式的标准形式，但只要对题目的结构特征进行认真观察，就可以发现这几个题目都可以应用平方差公式进行计算．解： （1）原式22)3()2(y x -=2294y x -=（2）原式)53)](53([b a b a -+-=222222925)259(])5()3[(a b b a b a -=--=--=或原式)35)(35(a b a b --+-=22)3()5(a b --=22925a b -= （3）原式))((3232y x y x --+-=642322)()(y x y x -=--=（4）原式)]54(3)][54(3[z y x z y x ---+=22222222540169)254016(9)54)(54()3(z yz y x z yz y x z y z y x -+-=+--=---=说明：1）乘法公式中的字母b a ,，可以表示数，也可以表示字母，还可以表示一个单项式或多项式；2）适当添加括号，将有利于应用乘法公式，添加括号的方法不同，一题可用多种解法，得出相同的结果；3）一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目，加以调整，使它变化为符合公式标准的形式．例3 分析：本题有四种思路，①它属于多项式乘法可以直接用法则计算．②若将原式整理为)3)](3([xy y xy y -+-可用平方差公式计算．③观察两因式中，都有xy 3-，又有互为相反数的两项，y 和y -，也可以直接用平方差公式计算，可得22)3(y xy --．④可变形为)]3)[(3(xy y xy y +----，得])3([22xy y ---． 解： )3)(3(y xy xy y +---)3)](3([xy y xy y -+-=])3([22xy y ---=2229y x y +-=或)3)(3(y xy xy y +---])3][()3[(y xy y xy +---=22)3(y xy --= 2229y y x -=说明：根据平方差公式的特征，一般常见的变形有位置变化，如))((a b b a +-+．符号变化，系数变化，还有一些较复杂的变形，如))((d b c a d c b a ++---+-，两因式中都有c b -，并且d a --与d a +互为相反数，因此，可以凑成平方差公式的结构特征，即)]())][(()[(d a c b d a c b ++-+--．例4 分析：运用平方差公式可使与例2类似的计算题变得十分简便．运用平方差公式计算两个有理数的积时，关键是要将其写成平方差法：（1）观察法．如第（1）题适合此法；（2）平均数法．如第（2）题中，.40280231393240==+=a 解：（1）1999×2001=2212000)12000)(12000(-=+-（2）31393240⨯)3240)(3240(-+= .951599941600)32(4022=-=-= 说明：在进行有理数运算时适当运用平方差公式会使运算简便．例5 分析：前两个相乘的多项式不符合平方差公式特征，只能用“多项式乘多项式”；后两个多项式相乘可以用平方差公式，算出的结果一定要打上括号，再进行下面的计算.解：(a -2b )(2a -b )-(2a -b )(b +2a )=2a 2-ab -4ab +2b 2-［(2a )2-b 2］ 打括号=2a 2-5ab +2b 2-(4a 2-b 2)=2a 2-5ab +2b 2-4a 2+b 2=-2a 2-5ab +3b 2说明：当进行计算时，用平方差公式计算出的结果一定要打上括号再与其他项进行加、减、乘、除等运算！例6 分析：（1）中的)32)(23(),2)(2(x y y x x y y x ---+-都可以利用平方差公式计算，)32)(311(y x y x --可以利用多项式乘法法则计算．（2）中的22)()(y x y x -+可以逆用幂的运算法则，写成2)])([(y x y x -+再计算．解：（1）原式)93922()23()23(2)]2)(2[(22y xy x y x y x y x y x +---⋅++-+= xy y y xy x y x y x 39189392281842222222+-=-+--+-=（2）原式))(()])([(22222y x y x y x y x +---+=224444222244422224422222)())(()()(y x y yx y y x y x x y x y x y x y x y x -=+-+--=----=---=说明：（1）平方差公式积适用于))((b a b a -+类型的多项式乘法，其中a 、b 可以是数，也可以是单项式或多项式．（2）逆用幂的运算法则，222)])([()()(y x y x y x y x -+=-+是常用的解题技巧．（3）此题中的第（1）题先利用乘法的交换律及结合律合理变形后，可连续运用平方差公式；第（2）题先利用加法结合律，把两个因式变为“两数的和与这两数的差”的形式，进而利用平方差公式计算．这些都是常用的解题技巧．例7 分析：由于运用平方差公式可简化运算，因此可以利用乘法结合律先将可用平方差公式进行计算的部分先计算，而且平方差公式可以连用.解：(x 2+4)(x -2)(x +2)=(x 2+4)［(x -2)(x +2)］=(x 2+4) (x 2-4) 用公式计算后的结果要打括号=（x 2）2-42=x 4-16例8 分析：根据平方差公式右边a 2-b 2中被减数中的a 代表相同的项，而减数中的b 在等式左边中应是互为相反数的两项.（1）中d 2-a 2中的d 在两个二项式中皆为正，而a 在第一个多项式中为正，则在第二个多项式中应为负.(2)中含xy 的项为a ，即相同的项，而含1的项为b ,即互为相反的项.解：（1）2~2~~~~~)()(a d a d d a -=-⋅+====== （2）~~~~~~~~~~~~1)1()1(-=+-⋅--================xy xy xy 例9 分析：在式子前面添上)12(-，便可反复运用平方差公式，以达到简化运算的目的．解：原式)12()12)(12)(12)(12(242++++-=n.14121)2()12()12)(12)(12(22222422-=-=-=+++-=⨯n n n n 说明：添加)12(-极富枝巧性，这是一个典型解法，领会好本题将会在今后解决类似问题时受益．。

平方差公式、完全平方公式 2、22巩固平方差公式例1下列各式哪些可以利用平方差公式计算：（1）()()a b a c +- （2）()()x y y x +-+（3）()()33ab x x ab --- （4）()()m n m n --+ 例2：利用平方差公式计算：（1）()()22x x +- （2）()()1313a a +-例3：计算（1）()()22a a b a b a b +-+ （2）()()()2525223x x x x -+-⋅-例4：填空（1）()()242a a -=+ （2）()()2255x x -=- （3）()()22m n -= （4）()()221413-=例5：计算（1）()()33a b a b +-++ （2）()()2277m n m n +---题型一 应用平方差公式进行计算（1）()()2323a b a b +- （2）()()3232m n m n ---（3）()()2121x x +- （4）()()2332b a a b ---（5）()()22a b a b b +-+ （6）()()()22a b a b a b+-+题型二 平方差公式的几何意义1、如图，在边长为()1a cm +的正方形纸片中，剪去一个边长为()1a cm -的小正方形（1a >），将余下部分拼成一个矩形（不重叠无缝隙），求该矩形的长、宽以及面积。

2.在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）．把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形（如图），通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（ ） A. a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ） B.（a+b ）2=a 2+2ab+b2C.（a ﹣b ）2=a 2﹣2ab ﹣b 2D.a 2﹣ab=a （a ﹣b ）3.张如图1的长为a ，宽为b （a ＞b ）的小长方形纸片，按图2方式不重叠地放在矩形ABCD 内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S ，当BC 的长度变化时，按照同样的放置方式，S 始终保持不变，则a ，b 满足（ ） A. a=2b B. a=3b C. a=4b D. a=b4.图1是一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿图中的虚线剪成四个小长方形， 再按图2围成一个正方形；(1) 图2的大正方形的边长是：___________；(2) 中间小正方形（阴影部分）的边长是：________________； (3) 用两种不同的方法求图2阴影部分的面积；(4) 比较两种方法，得到的等量关系为：________________________________；2m2n5．如图1,在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形,把余下的部分剪拼成一长方形（如图2）,通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,则这个等式是（ ）A ．,B ．C ．, D ．6．如图，在边长为2a 的正方形中央剪去一边长为（a+2）的小正方形（a ＞2），将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（ ）A ．a 2+4,B ．2a 2+4a,C ．3a 2﹣4a ﹣4,D ．4a 2﹣a ﹣2题型三 运用平方差公式计算（1）19972003⨯ （2）6674⨯ ①题型四 逆用平方差公式（1）()()2222x y x y +-- （2）()()22m n m n +--题型五．拓展提高1、计算：（1）()()a b c a b c -+-- （2）()()22x y x y +--（3）()()()()()42222121224x x x x x x -+---++ （4）222524-2.化简：(a ＋1)2－(a －1)2＝（ ） A. 2 B. 4 C. 4a D. 2a 2＋2 3.下列多项式乘法中不能用平方差公式计算的是（ ）A.（x 2﹣2y ）（2x+y 2） B.（a 2+b 2）（b 2﹣a 2） C.（2x 2y+1）2x 2y ﹣1） D.（a 3+b 3）（a 3﹣b 3） 4．下列各题中，能用平方差公式的是（ ）A ．（1+a ）（a+1）B ．（ x+y ）（﹣y+x ）C ．（x 2﹣y ）（x+y 2） D ．（x ﹣y ）（﹣x+y ） 5．下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ） A ． （x ﹣y ）（﹣x+y ） B ．（﹣x+y ）（﹣x ﹣y ） C ．（﹣x ﹣y ）（x ﹣y ） D ．（x+y ）（﹣x+y ）6．可以运用平方差公式运算的有（ ）个①)21)(21(x x --+-；②(12)(12)x x -+；③)2)(2(b ab b ab ---；④(c)()a b a b c +--+； A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．已知a ﹣b =1，则a 2﹣b 2﹣2b 的值为___8．已知 （x ﹣a ）（x+a ）=x 2﹣9，那么a= ．9.计算：241(21)(21)(41)()16x x x x +-++10.计算2432(21)(21)(21)(21)+++⋅⋅⋅+11.计算2222210099989721-+-+⋅⋅⋅+-.12．定义：如果一个数的平方等于－1，记为，数叫做虚数单位．我们把形如（, 为有理数或无理数）的数称为复数，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似.例如：计算，计算＝____.完全平方公式的变形及推广：（1）()()[]()222b a b a b a +=+-=--； ()()[]()222b a b a b a -=--=+-；（2）()()22a b b a -=+-； ()()[]22c b a c b a +-=--；（3）()()ab b a ab b a b a 222222+-=-+=+； ()()ab b a b a 422-+=-题型一、完全平方公式的应用1、计算（1）（－21ab 2－32c ）2； （2）（x －3y －2）（x ＋3y －2）；练习1、(1)（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）； （2）、（x －２y ）（x ＋２y ）－（x ＋２y ）2；（3）（２a ＋１）2－（１－２a ）2； （4）（３x －y ）2－（２x ＋y ）2＋５x （y －x ）.2.下列各式与（x ﹣ ）2相等的是（ ）A. x 2﹣ B. x 2﹣x+ C. x 2+2x+ D. x 2﹣2x+ 3．下列等式一定成立的是（ ）A ．（1﹣b ）2=1﹣b+b 2B ．（a+3）2=a 2+9C ．（x+）2=x 2++2D ．（x ﹣3y ）2=x 2﹣9y 4．下列各式中，能够成立的等式是（ ）．A ．B ．C ．D ．5．（ ）A ．B ．C ．D ．6．计算：2()a b --等于（ ）A ．22b a +B ．222b ab a +-C ．22b a -D ．222b ab a ++7．一个正方形的边长为 ，若边长增加 ，则新正方形的面积又增加了（ ）． A ． B ．C ．D ．以上都不对题型二、配完全平方式1、若k x x ++22是完全平方式，则k = 2、.若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是3、如果4a 2－N ·ab ＋81b 2是一个完全平方式，则N = 4、如果224925y kxy x +-是一个完全平方式，那么k =5.要使x 2－６x ＋a 成为形如（x －b ）2的完全平方式，则a ，b 的值（ ） Ａ.a ＝９，b ＝９ Ｂ.a ＝９，b ＝３ Ｃ.a ＝３，b ＝３ Ｄ.a ＝－３，b ＝－２6.若x 2＋mx ＋４是一个完全平方公式，则m 的值为（ ）Ａ.２ Ｂ.２或－２ Ｃ.４ Ｄ.４或－４ 7．若249x mx -+是一个完全平方式，则常数m 的值为 ( )A ．-14B ． ±14C ．-7D ．±7 8．若一个多项式的平方的结果为 ，则（ ）A ．B ．C ．D ．题型三、公式的逆用1．（2x －______）2＝____－4xy ＋y 2． 2． （3m 2＋_______）2＝_______＋12m 2n ＋________． 3．x 2－xy ＋________＝（x －______）2． 4． 49a 2－________＋81b 2＝（________＋9b ）2． 5．代数式xy －x 2－41y 2等于－（ ）2 6.若（x －y ）2＋Ｎ＝x 2＋xy ＋y 2，则Ｎ为（ ）Ａ.xy Ｂ０ Ｃ.２xy Ｄ.３xy 7.若22()()x y M x y +-=-，则M 为（ ） A ．2xy B ．2xy ± C ．4xy D ．4xy ±题型四、配方思想1、若a 2+b 2－2a +2b +2=0,则a2004+b2005=_____.2、已知0136422=+-++y x y x ，求y x =_______. 3、已知222450x y x y +--+=，求21(1)2x xy --=_______. 4．已知：2268250x y x y +-++=，则_______x y +=； 5、已知x 、y 满足x 2十y 2十45＝2x 十y ，求代数式y x xy +=_______.6．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ． 7.若2226100,x x y y -+++=求,x y 的值。

北师大版数学七年级下册第一章1.5平方差公式课时练习一、选择题1.（2x+1）（2x-1）等于（）A．4x2-1 B．2x2-1 C．x2-1 D．2x2+1答案：A解析：解答：（2x+1）（2x-1）=4x2-1，故A项正确.分析：根据平方差公式可完成此题.2.（x+5y）（x-5y）等于（）A．x2-5y2 B．x2-y2 C．x2-25y2 D．25x2-y2答案：C解析：解答：（x+5y）（x-5y）=x2-25y2 ，故C项正确.分析：根据平方差公式可完成此题.3.（m+5）（m-5）等于（）A．m2-5 B．m2-y2 C．m2-25 D．25m2-5答案：C解答：（m+5）（m-5）=m2-25，故C项正确.分析：根据平方差公式可完成此题.4.（x+6y）（x-6y）等于（）A．x2-6y2 B．x2-y2 C．x2-36y2 D．36x2-y2答案：C解析：解答：（x+5y）（x-5y）=x2-25y2 ，故C项正确. 分析：根据平方差公式可完成此题.5.（2x+y2 ）（2x-y2 ）等于（）A．x2-y4 B．x2-y2 C．4x2-y4 D．4x2-y2答案：C解析：解答：（2x+y2 ）（2x-y2 ）=4x2-y4 ，故C项正确. 分析：根据平方差公式可完成此题.6.下面计算正确的是（）A.(a+b)(a-b)=2a+2bB.b5 + b5 = b10C.x5·x5=x25D.(y-z)(y+z)=y2-z2解析：解答:A项计算等于a2-b2；B项计算等于2b5；C项计算等于x10 ;故D项正确.分析：根据平方差公式与同底数幂的乘法法则可完成此题.7.下面计算错误的是（）A.(y-z)(y+z)=y2-z2B.(m-n)(m+n)=n2-mC.x5·x20 = x25D.y3·y5=y8答案：B.解析：解答: B项为(m-n)(m+n)=m2-n2；故B项错误.分析：根据平方差公式与同底数幂的乘法法则可完成此题.8.(2y-3z)(2y+3z)等于（）A. y2-z2B.2y2-3z2C.4y2-9z2 D．y2-z2答案：C解析：解答：(2y-3z)(2y+3z)=4y2-9z2，故C项正确.分析：根据平方差公式可完成此题.9. (y+3z)(3z-y)等于（）A.y2-z2B.y2-9z2C. 9z2-y2 D．y2-z2答案：C解析：解答：(y+3z)(3z-y)=9z2-y2，故C项正确.分析：根据平方差公式可完成此题.10. (x+3ab)(x-3ab)等于（）A.x2-9a2b2B.x2-9ab2C. x2-ab2 D．x2-a2b2答案：A解析：解答：(x+3ab)(x-3ab)=x2-9a2b2，故A项正确. 分析：根据平方差公式与积的乘方法则可完成此题.11. (c+a2b2)(c-a2b2)等于（）A.c-ab2B. c2-a4b4C.c2-ab2 D．c2-a2b2答案：B解析：解答：(c+a2b2)(c-a2b2)=c2-a4b4，故B项正确. 分析：根据平方差公式与积的乘方法则可完成此题.12. [c+（a2)2][c-（a2)2]等于（）A .c-a2 B..c2-a8 C.c2-a2 D．c2-a4答案：B解析：解答：[c+（a2)2][c-（a2)2]=c2-a8，故B项正确.分析：根据平方差公式与幂的乘方法则可完成此题.13. [（c2)2+（a2)2][（c2)2-（a2)2]等于（）A .c-a2 B..4c2-a8 C.c8-a8 D．c2-a4答案：C解析：解答：[（c2)2+（a2)2][（c2)2-（a2)2]=c8-a8，故C项正确.分析：根据平方差公式与幂的乘方法则可完成此题.14. [（c·c2)+（a·a2)][（c·c2)-（a·a2)]等于（）A .c3-a3 B.c2-a8 C.c5-a5 D．c6-a6答案：D解析：解答：[（c·c2)+（a·a2)][（c·c2)-（a·a2)]=c6-a6，故D 项正确.分析：先由同底数幂的乘法法则计算出c·c2=c3 和a·a2=a3 ，再根据平方差公式与幂的乘方法则可完成此题.15.（d+f）·（d-f）等于（）A .d3-f3 B.d2-f 2 Cd5-f5 D．d6-f6答案：B解析：解答：（d+f）·（d-f）=d2-f 2，故B项正确. 分析：根据平方差公式可完成此题.二、填空题16．（5+x2）（5-x2）等于；答案：25-x4解析：解答：（5-x2）（5-x2）=25-x4分析：根据平方差公式与幂的乘方法则可完成此题. 17．（-x+2y）（-x-2y）等于；答案：x2-4y2解析：解答：（-x+2y）（-x-2y）=x2-4y2分析：根据平方差公式与积的乘方法则可完成此题.18.（-a-b）（a-b）等于；答案：b2-a2解析：解答：（-a-b）（a-b）=b2-a2分析：根据平方差公式可完成此题.19.102×98等于；答案：9996解析：解答：102×98=（100+2）×（100-2）=10000-4=9996分析：根据平方差公式可完成此题.20.（a+2b+2c）（a+2b-2c）等于；答案：（a+2b）2-4c2解析：解答：（a+2b+2c）（a+2b-2c）=（a+2b）2-4c2分析：根据平方差公式可完成此题.三、计算题21.（a-b）（a+b）（a2+b2）答案：a4-b4解析：解答：解：（a-b）（a+b）（a2+b2）=（a2-b2）（a2+b2）=a4-b4分析：根据平方差公式可完成此题.22.（3a-b）（3a+b）-（a2+b2）答案：8a2-2b2解析：解答：解：（3a-b）（3a+b）-（a2+b2）=9a2-b2-a2-b2）=8a2-2b2分析：先根据平方差公式计算，再合并同类项法则可完成此题.23.（a-b）（a+b）-（a2+b2）答案：-2b2解析：解答：解：（a-b）（a+b）-（a2+b2）=a2-b2-a2-b2=-2b2分析：先根据平方差公式计算，再合并同类项法则可完成此题.24.2（a-b）（a+b）-a2+b2答案：a2-b2解析：解答：解：2（a-b）（a+b）-a2+b2=2a2-2b2-a2+b2=a2-b2分析：先根据平方差公式计算，再合并同类项法则可完成此题.25.（3a-b）（3a+b）-（2a-b）（2a+b）答案：5a2解析：解答：解：（3a-b）（3a+b）-（2a-b）（2a+b）=9a2-b2-4a2+b2=5a2分析：先根据平方差公式计算，再合并同类项法则可完成此题.一、选择题1.（2x-1）2等于（）A．4x2-4x+1 B．2x2-2x+1 C．2x2-1 D．2x2+1答案：A解析：解答：（2x-1）2=4x2-4x+1 ，故A项正确.分析：根据完全平方公式可完成此题.2.（x+5y）2等于（）A．x2-5y2 B．x2+10x+25y2 C．x2+10xy+25y2 D．x2+x+25y2 答案：C解析：解答：（x+5y）2=x2+10xy+25y2 ，故C项正确.分析：根据完全平方公式可完成此题.3.（m-5）2 等于（）A．m2-5 B．m2-52 C．m2-10m+25 D．25m2-5答案：C解析：解答：（m-5）2 =m2-10m+25，故C项正确.分析：根据完全平方公式可完成此题.4.（x+5y）2 等于（）A．x2-5y2 B．x2-10y+5y2 C．x2+10xy+25y2 D．x2-y+25y2答案：C解析：解答：（x+5y）2 =x2+10xy+25y2 ，故C项正确.分析：根据完全平方公式可完成此题.5.（2x-y2 ）2 等于（）A．2x2-4xy2+y4 B．4x2-2xy2+y4 C．4x2-4xy2+y4 D．4x2-xy2+y4 答案：C解析：解答：（2x+y2 ）2 =4x2-4xy2+y4 ，故C项正确.分析：根据完全平方公式可完成此题.6.下面计算正确的是（）A.(a+b)(a-b)=2a+2bB.b5+b5 =b10C.x5 .x5= x25D.(y-z)2=y2-2yz+z2答案：D解析：解答:A项计算等于a2-b2；B项计算等于2b5；C项计算等于x10 ;故D项正确.分析：根据完全平方公式与同底数幂的乘法法则可完成此题.7.下面计算错误的是（）A.(y-z).(y+z)=y2-z2B.(m-n)2=n2-m2C.(y+z)2=y2+2yz+z2D.(y-z)2=y2-2yz+z2答案：B.解析：解答: B项为(m-n)2=m2-2mn+n2；故B项错误.分析：根据完全平方公式与平方差公式可完成此题.8.(2y-3z)2 等于（）B.4y2-12yz+z2 B..y2-12yz+9z2C.4y2-12yz+9z2 D．.4y2-6yz+9z2 答案：C解析：解答：(2y-3z)2=4y2-12yz+9z2，故C项正确.分析：根据完全平方公式可完成此题.9 (3z-y)2 等于（）A.9z2-y+y2B.9z2-yz+y2C. 9z2-6yz+y2 D．3z2-6yz+y2A.答案：C解析：解答：(3z-y)2 =9z2-6yz+y2，故C项正确.分析：根据完全平方公式可完成此题.10 (x+3ab)2 等于（）A.x2+6xab+9a2b2B.x2+6ab+9a2b2C.x2+xab+9a2b2D．x2+6xab+a2b2答案：A解析：解答：(x+3ab)2 =x2+6xab+9a2b2，故A项正确.分析：根据完全平方公式与积的乘方法则可完成此题.11 (c-a2b2)2等于（）A .c-ab2 B..c2-2a2b2c+a4b4 C.c-a2b2c+a4b4 D．c2-2abc+a4b 答案：B解析：解答：(c-a2b2)2=c2-2a2b2c+a4b4 ，故B项正确.分析：根据完全平方公式与积的乘方法则可完成此题.12 [c-（a2)2]2等于（）A.c-a2B.c2 -2a4c+a8C.c2 -a2 D．c2-a4答案：B解析：解答：[c-（a2)2]2=c2-2a4c+a8 ，故B项正确.分析：根据完全平方公式与幂的乘方法则可完成此题.13. [（c2)2+（a2)2]2等于（）A .c8+2ac4+a8 B.c8+2a4c+a8 C.c8+2a4c4+a8 D．c8+a4c4+a8 答案：C解析：解答：[（c2)2+（a2)2]2=c8+2a4c4+a8 ，故C项正确. 分析：根据完全平方公式与幂的乘方法则可完成此题.14.（c+a)2等于（）A.c3 -a3B.a2+2ac+c2C.c5-a5 D．c2-2ac+a2答案：B解析：解答：（c+a)2=a2+2ac+c2，故B项正确.分析：根据完全平方公式与幂的乘方法则可完成此题.15.（d+f）2等于（）A .d3-f3 B.d2+2df+f 2 C.d2-2f+f 2 D．d2-df+f 2答案：B解析：解答：（d+f）2=d2 -2df+f 2 ，故B项正确.分析：根据完全平方公式可完成此题.二.填空题.1．（5-x2）2等于；答案：25-10x2+x4解析：解答：（5-x2）2=25-10x2+x4分析：根据完全平方公式与幂的乘方法则可完成此题. 2．（x-2y）2等于；答案：x2-8xy+4y2解析：解答：（x-2y）2=x2-8xy+4y2分析：根据完全平方公式与积的乘方法则可完成此题.3.（3a-4b）2等于；答案：9a2-24ab+16b2解析：解答：（3a-4b）2=9a2-24ab+16b2分析：根据完全平方公式可完成此题.4.1022等于；答案：10404解析：解答：1022=（100+2）2=10000+400+4=10404分析：根据完全平方公式可完成此题.5.（2b-2c）2等于；答案：4b2-8bc+4c2解析：解答：（2b-2c）2=4b2-8bc+4c2分析：根据完全平方公式可完成此题.三、计算题6.982+（a-b）2答案：9604+a2+2ab2+b2解析：解答：解：982+（a-b）2=（100-2）2+a2+2ab2+b2=10000-400+4+a2+2ab2+b2=9604+a2+2ab2+b2分析：根据完全平方公式可完成此题.7.（3a-b）（3a+b）-（a+b）2答案：8a2-2b2-2ab解析：解答：解：（3a-b）（3a+b）-（a+b）2=9a2-b2-a2-b2-2ab=8a2-2b2-2ab 分析：先根据完全平方公式与平方差公式分别计算，再合并同类项法则可完成此题.8.（a-b）2 -3（a2+b2）答案：-2a2-2ab-2b2解析：解答：解：（a-b）2-（a2+b2）=a2-2ab+b2-3a2-3b2=-2a2-2ab-2b2分析：先根据完全平方公式计算，再合并同类项法则可完成此题.9.2（a2+b2）-（a+b）2答案：a2-2ab+b2解析：解答：解：（a-b）（a+b）-a2+b2=2a2-2b2-a2-2ab-b2=a2-2ab+b2分析：先根据完全平方公式计算，再合并同类项法则可完成此题.10.（3a-b）（3a+b）-（2a-b）2答案：5a2+4ab-2b2解析：解答：解：（3a-b）（3a+b）-（2a-b）2=9a2-b2-4a2+4ab-b2=5a2+4ab-2b2分析：先根据完全平方公式与平方差公式分别计算，再合并同类项法则可完成此题.。

第06讲平方差公式和完全平方公式(10类热点题型讲练)1.理解并掌握平方差公式和完全平方公式的推导和应用；2.理解平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算；3.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法.知识点01平方差公式平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b²公式的几种变化：①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²；（-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a²②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b²a b-③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²=44④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c²a b-⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²=44⑥公式逆运算：a²-b²=(a+b)(a-b)知识点02完全平方公式完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍.即完全平方和(a +b )²=a ²+2ab +b ²完全平方差(a -b )²=a ²-2ab +b ²（1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍（2）公式的变化：①a ²+b ²=(a +b )²-2ab ；②a ²+b ²=(a -b )²+2ab ；③(a +b )²=(a -b )²+4ab ；④(a -b )²=(a +b )²-4ab ⑤(a +b )²-(a -b )²=4ab知识点03平方差和完全平方差区别平方差公式:(a +b )(a -b )=a ²-b ²完全平方差公式：(a -b )²=a ²-2ab +b ²平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍题型01判断是否可用平方差公式运算.【例题】下列各式中不能用平方差公式计算的是（）1．下列能使用平方差公式的是（）A ．()()33x x ++B ．()()x y x y -+-C ．()()55m n m n +--D ．()()33m n m n +-2．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A ．()()22x y x y -+B ．()()x y x y -+-C ．()()b a b a -+D ．()()x y y x ---题型02运用平方差公式进行运算.【变式训练】题型03利用平方差公式进行简便运算.【例题】（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）用简便方法计算：(1)498502⨯(2)2202220232021-⨯【变式训练】题型04平方差公式与几何图形.【例题】（2023上·江苏泰州·七年级靖江市靖城中学校联考期中）图1、图2分别由两个长方形拼成．(1)图1中图形的面积为22a b -，图2中图形的面积为(2)由（1）可以得到等式：．(3)根据你得到的等式解决下列问题：①计算：2268.531.5-．②若42m n +=，求()()()222212121m m n n --+++-【变式训练】（2）请写出图①、图②、图③验证的乘法公式为：______；【应用探究】（3）利用（2）中验证的公式简便计算：4995011⨯+；（4）计算：22222111111111123420232024⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(1)上述操作能验证的公式是______（请选择正确的一个）．A ．()2a ab a a b +=+B ．()()22a b a b a b -=-+C ．()2222a ab b a b -+=-(2)请应用上面的公式完成下列各题：①已知22424a b -=，26a b +=，则2a b -=______；②计算：222222229897.1.....43009921-+-++-+-；③计算：()()()()()2222222221212.....4321223n n n n n -+-+-+----+≥题型05运用完全平方公式进行运算【例题】（2023上·河南信阳·八年级校考阶段练习）用乘法公式计算(1)2()x y z ++(2)()()2323x y x y -+-+【变式训练】1．（2023上·八年级课时练习）计算：(1)()27x y +；(2)()245a b -+；(3)()22m n --；(4)()()2323x y x y +--．2．（2023上·八年级课时练习）计算：(1)()()22x y z x y z +--+；(2)()2523a b c +-；(3)()()532536a b c a b c +--+．题型06利用完全平方公式进行简便运算【变式训练】1．用简便算法计算(1)2201720162018-⨯(2)2220220219698⨯++题型07通过对完全平方公式变形求值【例题】（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）已知：3a b +=-，2ab =，求下列各式的值：(1)22a b +；(2)2()a b -．【变式训练】1．已知4m n -=-，2mn =，求下列代数式的值．(1)22m n +(2)()()11m n +-题型08求完全平方式中的字母系数题型09完全平方式在几何图形中的应用【例题】（2023上·江苏·九年级专题练习）我们已经学习了乘法公式()2222a b a ab b ±=±+的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式245x x ++的最小值．解答如下：解：()2224544121x x x x x ++=+++=++，()220x +≥，∴当2x =-时，()22x +的值最小，最小值是0，∴()2211x ++≥，∴当()220x +=时，()221x ++的值最小，最小值是1，∴245x x ++的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题．(1)知识再现：当x =______时，代数式2415x x -+的最小值是______；(2)知识运用：若2615y x x =-+-，当x =______时，y 有最______值（填“大”或“小”），这个值是______；(3)知识拓展：若25100x x y -+++=，求y x +的最小值．【变式训练】1．例：求代数式245x x +-的最小值.解： ()22245444529x x x x x +-=++--=+-，()220x +≥，∴()2299x +-≥-，∴当2x =-时，代数式245x x +-有最小值9-，(1)代数式241-+有最（填大或小）值，这个值x x(2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为①用含x的式子表示花圃的面积；题型10完全平方公式在几何图形中的应用【例题】现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：【变式训练】2．如图①，正方形ABCD是由两个长为一、单选题A ．12B ．11C ．10D ．9二、填空题9．（2023上·黑龙江牡丹江·八年级统考阶段练习）设四个推断：①**a b b a =；②()222**a b a b =；③(-的序号是．10．（2023上·甘肃兰州·七年级兰州市第五十五中学校考开学考试）对于任意的代数式定一种新运算：a a c db b dc =-．根据这一规定，计算三、解答题11．（2023上·江苏南通·八年级校联考期中）计算：(1)()243x y -；(2)()()11x y x y +++-；(3)()()()22322x y x y x y +-+-；(4)()()325x y xy -⋅．12．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）利用乘法公式计算下列各题(1)()()22m n m n ---(2)()23x y -+(3)2210397+16．（2023上·安徽阜阳·八年级统考阶段练习）如图，图1为边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形，图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．(1)设图1中阴影部分的面积为1S ，图2中阴影部分的面积为2S ，则1S =______，2S =______（请用含a ，b 的代数式表示，只需表示，不必化简）．(2)以上结果可以验证哪个乘法公式？这个乘法公式是______(3)运用（2）中得到的公式，计算：()()()()24821212121+⨯+⨯+⨯+．17．（2023上·甘肃武威·八年级校考期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A 种纸片是边长为a 的正方形，B 种纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为b 、宽为a 的长方形，并用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图2的大正方形．(1)观察图2，请你写出下列三个代数式：2()a b +，22a b +，ab 之间的等量关系；(2)若要拼出一个面积为()()2a b a b ++的矩形，则需要A 号卡片多少张，B 号卡片多少张，C 号卡片多少张．(3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：5a b +=，2211a b +=，求ab 的值；②已知22(2021)(2023)20x x -+-=，求2022x -的值．18．（2023上·河南周口·八年级校考期中）若x 满足()()604020x x --=，求()()226040x x +--的值．解：设60x a -=，40x b -=，则20ab =，604020a b x x +=-+-=．∴()()226040x x +--22a b =+。

《平方差公式和完全平方公式》习题1一、选择题1．下列各式中能用平方差公式计算的是( )A ．(a +3b )(3a ﹣b )B ．(3a ﹣b )(3a ﹣b )C ．(3a ﹣b )(﹣3a +b )D ．(3a ﹣b )(3a +b )2．下列乘法公式的运用，不正确的是( )A ．22(2)(2)4a b a b a b +-=-B ．2(23)(32)94a a a -++=-C ．22(32)4912x x x -=+-D ．22(13)961x x x --=-+3．已知，则a 2－b 2－2b 的值为 A ．4 B ．3 C ．1 D ．0 4．化简(a+b+c)2－(a －b+c)2的结果为( )A ．4ab+4bcB ．4acC ．2acD ．4ab －4bc5．为了应用乘法公式计算(x －2y ＋1)(x ＋2y －1)，下列变形中正确的是 ( )A ．[x －(2y ＋1)]2B ．[x －(2y －1)][x ＋(2y －1)]C ．[(x －2y)＋1][(x －2y)－1]D ．[x ＋(2y －1)]26．下面有4道题，小明在横线上面写出了答案： ①22()()a b b a a b +-=-+，②()()253a a a -÷-=-，③202020191333⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，④若a ﹣b =2，则2244a b b --=．他写对答案的题是( ) A ．①② B ．①②③ C ．①②④D ．②③④ 7．在计算(2x y +) (2y x -+)时，最佳的方法是( )A ．运用多项式乘多项式法则B ．运用平方差公式C ．运用单项式乘多项式法则D ．运用完全平方公式8．式子22(8)(6)x x +--(其中x 为整数)一定能被( )整除．A ．48B ．28C ．8D ．69．计算2(1)(1)(1)a a a -++的结果是( )A ．41a -B ．41a +C ．2412a a -+D ．2412a a ++ 10．若219x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则21x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．711．如图(1)，边长为m 的正方形剪去边长为n 的正方形得到①、②两部分，再把①、②两部分拼接成图(2)所示的长方形，根据阴影部分面积不变，你能验证以下哪个结论( )A ．(m ﹣n)2＝m 2﹣2mn+n 2B ．(m+n)2＝m 2+2mn+n 2C ．(m ﹣n)2＝m 2+n 2D ．m 2﹣n 2＝(m+n)(m ﹣n)12．已知3a b +=，2ab =则22a b +的值等于( )A ．11B ．9C ．5D ．1313．若多项式9x 2﹣mx +16是一个完全平方式，则m 的值为( )A ．±24B ．±12C ．24D ．1214．4张长为a ，宽为b(a ＞b)的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为(a ＋b)的正方形，图中空白部分的面积为S 1，阴影部分的面积为S 2，若S 1＝S 2，则a ，b 满足的关系式是( )A ．a ＝1.5bB ．a ＝2bC ．a ＝2.5bD ．a ＝3b二、填空题15．已知x+y=8，xy=12，则22x xy y -+的值为_______.16．计算 ()()()()241111a a a a -+++=________ 17．对于任意实数，规定的意义是a bc d =ad-bc ．则当x 2-3x+1=0时，1321x x x x +-- =______．18．如图，正方形纸片甲、丙的边长分别是a、b，长方形纸片乙的长和宽分别为a和b(a＞b)．现有这三种纸片各6张，取其中的若干张(三种图形都要取到)拼成一个新的正方形，拼成的不同正方形的个数为_____．三、解答题19．先化简，再求值：(2x+3)(2x﹣3)﹣(x﹣2)2﹣3x(x﹣1)，其中x=1，y=﹣3．20．街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向增加2米东西向减少2米，改造后得到一块长方形的草坪．(1)求改造后的长方形草坪的面积．(2)改造后的图形的面积是增大了还是缩小了?请说明理由．21．请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式进行简便计算:(1)2999(2)20182-2017⨯201922．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如22831=-，221653=-，222475=-，则8、16、24这三个数都是奇特数．(1)32和2020这两个数是奇特数吗？若是，表示成两个连续奇数的平方差形式．(2)设两个连续奇数是21n -和21n (其中n 取正整数)．由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？23．设,a b 是实数，定义关于※的一种运算如下：()()22a b a b a b =+--※．例如()()2223232324=+--=※ ()1求()21-※的值；()2①乐于思考的小慧发现4a b ab =※，你能说明理由吗?②小慧猜想()a b c a c b c +=+※※※，你认为她的猜想成立吗?请说明理由．24．仔细观察下列等式：第1个：52﹣12=8×3第2个：92﹣52=8×7第3个：132﹣92=8×11第4个：172﹣132=8×15…(1)请你写出第6个等式：；(2)请写出第n个等式，并加以验证；(3)运用上述规律，计算：8×7+8×11+…+8×399+8×403．25．若m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，求m、n的值．解：∵m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，∴(m2-2m n＋n2)＋( )＝0，即( )2＋( )2＝0．根据非负数的性质，∴m＝n＝(1)完善上述解答过程，然后解答下面的问题：(2)设等腰三角形ABC的三边长a、b、c，且满足a2＋b2－4a－6b＋13＝0，求△ABC的周长．26．阅读理解：若x 满足(30)(10)160x x --=，求()()223010x x -+-的值．解：设30,10x a x b -=-=，则(30)(10)160x x ab --==，(30)(10)20a b x x +=-+-=222222(30)(10)()220216080x x a b a b ab -+-=+=+-=-⨯= 归纳方法：首先，利用换元进行式子简化，再利用和(差)是定值，积是定值的特点与其平方和之间的关系进行转化．解决问题：(1)若x 满足(2020)(2016)2x x --=，则22(2020)(2016)x x -+-= ；(2)若x 满足22(2021)(2018)2020x x -+-=，求(2021)(2018)x x --的值；(3)如图，在长方形ABCD 中，AB =20，BC =12，点 E 、F 是BC 、CD 上的点，且BE =DF =x ，分别以FC 、CE 为边在长方形ABCD 外侧作正方形CFGH 和CEMN ，若长方形CEPF 的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为 平方单位．答案一、选择题1．D ．2．D.3．C ．4．A.5．B ．6．C ．7．B ．8．B ．9．A ．10．B ．11．D ．12．C ．13．A ．14．D二、填空题15．28.16．8 1.a -17．118．3三、解答题19．解：(2x+3)(2x ﹣3)﹣(x ﹣2)2﹣3x(x ﹣1)=4x 2﹣9﹣x 2+4x ﹣4﹣3x 2+3x=7x ﹣13，当x=1时，原式=7﹣13=﹣6．20．(1)设原来的正方形的边长为a ，则新的长方形的边长为22a a +-，， ∴改造后的长方形草坪面积为2(2)(2)4a a a +-=-；(2)原来正方形草坪面积为：2a22(4)4a a --=∴改造后的长方形草坪面积比原来的正方形草坪面积减少24m ．21．解：(1)9992=(1000-1)2=10002-2×1000×1+1=1000000-2000+1=998001；(2)20182-2017×2019=20182-(2018-1)(2018+1)=20182-20182+1=1．22．(1)∵22831=-，221653=-，222475=-，则8、16、24这三个数都是奇特数 ∴奇特数是8的整数倍，即8n(n 是正整数)∵22329784=-=⨯∴32是奇特数，∵2020不是8的整数倍∴2020不是奇特数，故答案为：是，不是(2)两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数，理由如下：∵(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n ×2=8n ；∴由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数．23．解：()1根据题中的新定义得：原式()()221212198=-+---=-=-； ()()()2222222224a b a b a b a ab b a ab b ab =+--=++-+-=①※；②成立，理由为：()()444a b c c a b ac bc +=+=+※44a c b c ac bc +=+※※，则()a b c a c b c +=+※※※．24．(1)根据式子的特点，可知第6个等式是：252﹣212=8×23．故答案为：252﹣212=8×23；(2)第n 个等式是：(4n +1)2﹣(4n ﹣3)2=8(4n ﹣1)．验证：左边=(4n +1)2﹣(4n ﹣3)2=16n 2+8n +1﹣16n 2+24n ﹣9=32n ﹣8=8(4n ﹣1)=右边；(3)8×7+8×11+…+8×399+8×403=92﹣52+132﹣92+…+4012﹣3972+4052﹣4012=4052﹣52=(405+5)(405﹣5)=410×400=164000．25．解：(1)完善例题的解题过程：∵m 2－2mn ＋2n 2－8n ＋16＝0，∴(m 2-2m n ＋n 2)＋( n 2-8n+16 )＝0，即( m-n )2＋( n-4 )2＝0，∴m ＝n ＝ 4 ；(2)∵a 2＋b 2－4a －6b ＋13＝0，∴22(44)(69)0a a b b -++-+=，∴22(2)(3)0a b -+-=，∴20a -=且30b -=，∴23a b ==，，∵等腰△ABC 的三边长为：a 、b 、c ，∴当c a =时，三边分别为：2、2、3，此时能围成三角形，△ABC 的周长=2+2+3=7； 当c b =时，三边分别为：2、3、3，此时能围成三角形，△ABC 的周长=2+3+3=8； 综上所述，等腰△ABC 的周长为7或8.26．(1)设2020x a -=，2016x b -=，则202020164a b x x +=-+-=，2ab =， ∴2222(2020)(2016)x x a b -+-=+()22a b ab =+- 2422=-⨯12=，故答案为：12；(2)设2021x a -=，2018x b -=，则202120183a b x x +=-+-=，222020a b +=， ∵()2222a b a ab b +=++，即2320202ab =+，∴20112ab =-∴(2021)(2018)x x --ab =20112=-；(3)∵BE=DF =x ，∴12EC x =-，20FC x =-，依题意得：()()1220160x x --=，设12x a -=，20x b -=，则20128b a x x -=--+=，160ab =， CEMN CFGH S S S =+阴影正方形正方形()()221220x x =-+-()()221220x x =-+-22b a =+()22b a ab =-+282160=+⨯384=，故答案为：384．。

北师大版数学七年级下册1.5《平方差公式》精选练习一、选择题1.下列运算正确的是( )A.a2•a3=a6B.(﹣a+b)(a+b)=b2﹣a2C.(a3)4=a7D.a3+a5=a82.计算：(a+2)(a-2)的结果是( )A.a2+4B.a2-4C.2a-4D.2a3.若M(3x-y2)=y4-9 x2，则代数式M应是 ( )A.-(3 x+y2)B.y2-3xC.3x+ y2D.3 x- y24.计算(x+5y)(x-5y)等于( )A.x2-5y 2B.x2-y 2C.x2-25y 2D.25x2-y 25.计算(x+6y)(x-6y)等于( )A.x2-6y 2B.x2-y 2C.x2-36y 2D.36x2-y 26.下面计算正确的是( )A.(a+b)(a-b)=2a+2bB.b5 + b5=b10C.x5·x5 = x25D.(y-z)(y+z)=y2-z27.计算(2y-3z)(2y+3z)等于( )A.y2-z2B.2y2-3z2C.4y2-9z2D.y2-z28.计算(x+3ab)(x-3ab)等于( )A.x2 -9a2b2B.x2 -9ab2C.x2 -ab2D.x2 -a2b29.计算[c+(a2)2][c-(a2)2]等于( )A.c -a2B.c2 -a8C.c2 -a2D.c2 -a410.计算[(c·c2)+(a·a2)][(c·c2)-(a·a2)]等于( )A.c3 -a3B.c2 -a8C.c5 -a5D.c6 -a611.计算[(c2)2+(a2)2][(c2)2-(a2)2]等于( )A.c -a2B.4c2 -a8C.c8 -a8D.c2 -a412.计算(a4+b4)(a2+b2)(b-a)(a+b)的结果是( )A.a8-b8B.a6-b6C.b8-a8D.b6-a6二、填空题13.计算：(x+y-z) (x-y-z)=( ) 2-( ) 2.14.计算：(-3x+6 y2)(-6y2-3x)= .15.计算：(5+x2)(5-x2)等于；16.计算：(-a-b)(a-b)等于；17.计算：(a+2b+2c)(a+2b-2c)等于；18.观察下列各式：(a-1)(a+1)=a2-1，(a-1)(a2+a+1)=a3-1，(a-1)(a3+a2+a+1)=a4-1…根据前面各式的规律计算：(a-1)(a4+a3+a2+a+1)=_____；22012+22011+…+22+2+1=_____.三、计算题19.计算：(3a-b)(3a+b)-(2a-b)(2a+b)20.计算：2(a-b)(a+b)-a2+b221.计算：(a-b)(a+b)-(a2+b2)22.计算：(3a-b)(3a+b)-(a2+b2)四、解答题23.某农村中学进行校园改造建设，他们的操场原来是正方形，改建后变为长方形，长方形的长比原来的边长多5米，宽比原来的边长少5米，那么操场的面积是比原来大了，还是比原来小了呢?相差多少平方米?24.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20这三个数都是神秘数.(1)28和2012这两个数是神秘数吗?为什么?(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗?为什么?参考答案25.答案为：B；26.答案为：B27.答案为：A28.答案为：C29.答案为：C30.答案为：D31.答案为：C32.答案为：A33.答案为：B34.答案为：D35.答案为：C36.答案为：C37.答案为：x-zy38.答案为：9x2-36y239.答案为：25-x440.答案为：b2-a241.答案为：(a+2b)2-4c242.答案为：a5-1 22013-143.解：(3a-b)(3a+b)-(2a-b)(2a+b)=9a2-b2-4a2+b2=5a244.解：2(a-b)(a+b)-a2+b2=2a2-2b2-a2+b2=a2-b245.解：(a-b)(a+b)-(a2+b2)=a2-b2-a2-b2=-2b246.解：(3a-b)(3a+b)-(a2+b2)=9a2-b2-a2-b2)=8a2-2b247.解：设操场原来的边长为x米，则原面积为x2平方米，改建后的面积为(x+5)( x-5)平方米，根据题意，得 (x+5)( x-5)- x2=(x2-52)- x2=-25.答：改建后的操场比原来的面积小了25平方米.48.解：(1)找规律：4=4×1=22-02，12=4×3=42-22，20=4×5=62-42，28=4×7=82-62，…，2012=4×503=5042-5022，所以28和2012都是神秘数.(2)(2k+2) 2-(2 k) 2=4(2 k +1)，因此由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数.(3)由(2)知，神秘数可以表示成4(2k+1)，因为2 k +1是奇数，因此神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数.另一方面，设两个连续奇数为2 n +1和2 n -1，则(2 n +1) 2-(2n-1) 2=8n，即两个连续奇数的平方差是8的倍数.因此，两个连续奇数的平方差不是神秘数.。

1.5平方差公式1．若M(3x-y2)＝y4-9 x2，则代数式M应是( )A．-(3 x+y2) B．y2-3x C．3x+ y2D．3 x- y22．( )(1-2x)＝1—4 x2．3．(-3x+6 y2)(-6 y2-3 x)＝．4．(x-y+z)( )＝z2-( x-y)2．5．(4 x m-5 y2) (4 x m+5y2)＝．6．(x+y-z) (x-y-z)＝( ) 2-() 2．7．(m+n+p+q) (m-n-p-q)＝( ) 2-() 2．8．计算．(1)(0.25 x -)(0.25 x +0.25)；(2)(x-2 y)(-2y- x)-(3x+4 y)(-3 x +4 y)；(3)(2 a+ b-c-3d) (2 a-b-c+3d)；(4) ( x-2)(16+ x4) (2+x)(4+x2)．9．某农村中学进行校园改造建设，他们的操场原来是正方形，改建后变为长方形，长方形的长比原来的边长多5米，宽比原来的边长少5米，那么操场的面积是比原来大了，还是比原来小了呢?相差多少平方米?10．化简．(1)( x- y)( x+ y) ( x2+ y2) ( x4+ y4)·…·(x16+ y16)；(2)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)．11．先化简，再求值．(a2 b-2 ab2- b3)÷b-(a+b)(a-b)，其中a＝，b＝-1．12．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22-02，12＝42-22，20＝62-42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．(1)28和2012这两个数是神秘数吗?为什么?(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗?为什么?参考答案1．A 2．1+2x3．9x2-36y24．z-x+y5．16 x2m-25 y46．x-z y7．m n+p+q 8．(1)x2-．(2)8 x2-l2 y2．(3)(2 a-c)2-( b-3 d)2．(4) x8-256．9．解：设操场原来的边长为x米，则原面积为x2平方米，改建后的面积为(x+5)( x-5)平方米，根据题意，得(x+5)( x-5)- x2＝(x2-52)- x2＝-25．答：改建后的操场比原来的面积小了25平方米．10．解：(1)原式=( x2- y2)( x2+ y2)( x4+ y4).....(x16+ y16)=( x4- y4)( x4+ y4).. (x16)y16)＝…＝x32- y32．(2)原式＝(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)÷(22-1)＝(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)÷(22-1)＝(28-1)(28+1)(216+1)÷(22-1)＝(28-1) (28+1) (216+1)÷(22-1)＝(216-1) (216+1)÷(22-1)＝(232-1)÷(22-1)=(232-1)．11．解：(a2b-2 ab2- b3)÷b-( a+ b)·(a- b)= a2-2ab- b2-( a2- b2)= a2-2 ab- b2=-2 ab.当a=，b=-l时，原式＝1．12．解：(1)找规律：4=4×1＝22-02，12＝4×3＝42-22，20＝4×5＝62-42，28=4×7＝82-62，…，2012=4×503＝5042-5022，所以28和2012都是神秘数．(2)(2k+2)2-(2 k) 2＝4(2 k +1)，因此由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数．(3)由(2)知，神秘数可以表示成4(2k+1)，因为2 k +1是奇数，因此神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数．另一方面，设两个连续奇数为2 n +1和2 n -1，则(2 n +1) 2-(2n-1) 2=8n，即两个连续奇数的平方差是8的倍数．因此，两个连续奇数的平方差不是神秘数．。

完全平方和平方差公式习题【模拟试题】一. 选择题：1. 下列四个多项式：22b a +，22b a -，22b a +-，22b a --中，能用平方差公式分解因式的式子有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. )23)(23(y x y x -+-是下列哪个多项式分解因式的结果（ ）A. 2249y x -B. 2249y x +C. 2249y x --D. 2249y x +-3. 下列各式中，能运用完全平方公式分解因式的是（ ） A. 22b a + B. 2242b ab a ++ C. 422b ab a +- D. 22412b ab a +- 4. 如果k x x +-322是一个完全平方公式，则k 的值为（ ） A. 361 B. 91 C. 61 D. 31 5. 如果22259b kab a ++是一个完全平方式，则k 的值（ ）A. 只能是30B. 只能是30-C. 是30或30-D. 是15或15-6. 把9)6(6)6(222+---x x 分解因式为（ ）A. )3)(3(-+x xB. 92-xC. 22)3()3(-+x xD. 2)3(-x7. 162-a 因式分解为（ ）A. )8)(8(+-a aB. )4)(4(+-a aC. )2)(2(+-a aD. 2)4(-a8. 1442+-a a 因式分解为（ ）A. 2)2(-aB. 2)22(-aC. 2)12(-aD. 2)2(+a9. 2222)(4)(12)(9y x y x y x ++-+-因式分解为（ ）A. 2)5(y x -B. 2)5(y x +C. )23)(23(y x y x +-D. 2)25(y x -10. 把2222)())((2)(c a b c b c a ab c b a -++--+分解因式为（ ）A. 2)(b a c +B. 22)(b a c -C. 2)(b a c +D. 22)(b a c +二. 填空题：1. 把36122+-x x 因式分解为______。

平方差公式测试时间：90分钟总分：1001.下列各式中，能运用平方差公式进行计算的是A. B. C. D.2.计算结果是A. 1B.C. 2019D.3.下列算式能用平方差公式计算的是A. B. C. D.4.下列式子可以用平方差公式计算的是A. B. C. D.5.下列运算正确的是A. B. C. D.6.下列各式能用平方差公式计算的是( )A. B. C. D.7.与之积等于的因式为A. B. C. D.8.计算的结果是A. B. C. D.9.如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数称为“智慧数”，按你的理解，下列4个数中不是“智慧数”的是A. 2019B. 2019C. 2019D. 201910.下列计算不正确的是A. B. C. D.二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.如果，，那么______ ．12.已知，且，则______．13.计算：______．14.计算：______ ．15.若，，则______ ．16.______ ．17.如果，，，那么______ ．18.如果，，那么______ ．19.______ ．20.计算：______ ．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）21.先化简，再求值：，其中，．22.简便计算：．23.计算：．24.解答下列各题：计算：解方程：．四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）25.如果一个正整数数能写成两个连续非负偶数的平方差，我们就把这个数叫做奇异数例如，，4和12就是奇异数，两个连续正偶数分别用和k表示是非负整数．小雷说一个奇异数一定是4的倍数，你能说出其中的理由吗？小华说：“不是所有的4倍1 / 4数都是奇异数”你认为她的说法对吗？若认为正确，举出一个不是奇异数的4的倍数．如果一个正整数数能写成两个连续非负奇数的平方差，我们就把这个数叫做美丽数若一个美丽数一定是m的倍数，______ ；的倍数一定______ 填是或不是美丽数；是否存在一个正整数，它既是奇异数，又是美丽数？若存在，写出一个这样的数；若不存在，简要说明理由．26.填空：______ ；______ ；______ ．猜想：______ 其中n为正整数，且．利用猜想的结论计算：．答案和解析【答案】1. B2. B3. D4. B5. D6. C7. C8. B9. A10. D11. 212.13.14.15. 416.17.18. 319.20. 389732621. 解：，，，，当，时，原式．22. 解：．23. 解：原式．24. 解：原式；去分母得：，解得：，经检验是增根，分式方程无解．25. 8；是26. ；；；【解析】1. 解：能运用平方差公式进行计算的是，故选B利用平方差公式的结构特征判断即可．此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．2. 解：原式，故选B．原式变形后，利用平方差公式化简，计算即可得到结果．此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．3. 解：，故选D利用平方差公式的结构特征判断即可．此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．4. 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用注意公式中的a与b的确定是解题的关键根据平方差公式计算式子的特点是：两个二项式相乘，有一项相同，另一项互为相反数，即可解答．【解答】解：，故错误；B.，正确；C.，故错误；D.，故错误；故选B．5. 解：A、，此选项错误；B、，此选项错误；C、，此选项错误；D、，此选项正确；故选：D．根据整式的乘法、加法法则及完全平方公式和平方差公式逐一计算可得．本题主要考查同底数幂的乘法、整式的加法及完全平方公式和平方差公式，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．6. 解：A、B、D都不是平方差公式；C、，故C正确；故选：C．根据两数和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差，可得答案．本题考查了平方差公式，利用了平方差公式．7. 解：A、，故本选项错误；B、；故本选项错误；C、，故本选项正确；D、，故本选项错误．故选C．根据平方差公式与完全平方公式求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．此题考查了平方差公式与完全平方公式注意掌握平方差公式：，完全平方公式：．8. 解：，，，．故选B．根据题目的特点多次使用平方差公式即可求出结果．本题考查了平方差公式，关键在于多次利用公式进行计算．9. 解：设k是正整数，，除1以外，所有的奇数都是智慧数；，除4以外，所有能被4整除的偶数都是智慧数，与2019都是奇数，，，2019与2019都是“智慧树”，2019不是“智慧树”，故选A设k是正整数，根据平方差公式得到；，利用“智慧数”定义判断即可．此题考查了平方差公式，弄清题中“智慧树”的新定义是解本题的关键．10. 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键利用平方差公式的结构特征判断即可．【解答】解：，正确；B.，正确；C.，正确；D.，错误，故选D．11. 解：，故答案为：2．根据平方差公式：代入计算即可．本题考查的是平方差公式的运用，掌握平方差公式：两数和与差的积等于这两个数的平方差是解题的关键．12. 解：，，，．故答案为：．根据平方差公式得到，再将代入计算即可求解．考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．13. 解：原式．故答案是：．利用平方差公式计算后面两项，然后根据单项式乘以多项式的计算法则进行计算．本题考查了平方差公式和单项式乘多项式形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．14. 解：原式，故答案为：．原式利用平方差公式计算即可得到结果．此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．15. 解：，，，，故答案为4．根据平方差公式进行计算即可．本题考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．16. 解：，故等答案为：．根据平方差公式得出即可．本题考查了平方差公式，能熟记公式是解此题的关键．17. 解：，，，，，，．故答案为：．直接利用已知结合平方差公式将原式变形，进而求出答案．此题主要考查了平方差公式，熟练应用平方差公式是解题关键．18. 解：根据平方差公式得，，把，代入得，原式，；故答案为3．利用平方差公式，对分解因式，然后，再把，代入，即可解答．本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键公式：．19. 解：，故答案为：两数之和与两数之差的乘积等于两数的平方差．此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．20. 解：．故答案为：3897326．每两个数为一组，逆运用平方差公式计算，然后再根据求和公式列式计算，最后再加上即可．本题考查了平方差公式，每两个数为一组，逆运用平方差公式展开是解题的关键，本题运算量较大，计算时要认真仔细．21. 根据完全平方公式和平方差公式展开后合并同类项，再根据多项式除以单项式法则进行计算即可．本题主要考查对整式的加减、除法，完全平方公式，平方差公式等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键．22. 根据平方差公式的运用，可把103看成是，把97看成是，即可得出结果．本题考查了平方差公式的运用，难度适中．23. 原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．24. 原式利用多项式乘以多项式，以及平方差公式计算即可得到结果；分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，多项式乘多项式，以及平方差公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．25. 解：由题意得：，所以奇异数一定是4的倍数；说法正确的偶数倍不是奇异数，如不是奇异数；；因为，k为整数，故答案为：8；是，故答案为：是；不存在因为奇异数一定是4的奇数倍，而美丽数是8的倍数，即是4的偶数倍，所以不存在既是奇异数又是美丽数的数．根据“奇异数”的定义，只需看能否把和2k这两个数写成两个连续偶数的平方差即可判断；运用平方差公式进行计算，进而判断即可；运用平方差公式进行3 / 4计算，进而判断即可．此题主要考查了平方差公式的应用，此题是一道新定义题目，熟练记忆平方差公式是解题关键．26. 解：；；；故答案为：，，；由的规律可得：原式，故答案为：；．法二：根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可；根据的规律可得结果；原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果．此题考查了多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．。

北师大版平方差公式练习题精选（完整版）.docB, (3b+2) (3b-2) =3b 2-4D. (x+2) (x-3) =X 2-610. 两个正方形的边长之和为5,边长之差为2,那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是11. 计算:(a+2) (a 2+4) (a 4+16) (a-2).平方差公式练习题精选(含答案)一、基础训练1. 下列运算中，正确的是()A. (a+3) (a -3) =a 2-3 C. (3m-2n) (-2n~3m) =4n 2-9m 2 2. 在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是()A. (x+1) (1+x)B. (— a+b) (b~ — a)C. (-a+b) (a~b)D. (x?-y) (x+y 2)2 23. 对于任意的正整数n,能整除代数式(3n+l) (3n-l) - (3~n) (3+n)的整数是() A. 3 B. 6 C. 10 D. 94.若(x-5) 2=x 2+kx+25,则 k=()A. 5B. 一5C. 10D. TO5. 9.8X10. 2=;6. a 2+b 2= (a+b) 2+ —= (a-b) 2+7. (x-y+z) (x+y+z) =; 8. (a+b+c) 2=.1 , 1 ,9. ( — x+3) - ( — x -3)= . 2 210. (1) (2a-3b) (2a+3b) ； (2) (-p 2+q) (-p 2-q);(3) (x~2y) '； (4) (~2x~—v)2 '11. (1) (2a~b) (2a+b) (4a 2+b 2)；1、利用平方差公式计算： (1) (m+2) (m~2) (2) (l+3a) (l-3a) (3) (x+5y)(x-5y) (4) (y+3z) (y-3z)2、利用平方差公式计算 (1) (5+6x)(5-6x) (2) (ab+8)(ab-8) (3) (m+n) (m~n) +3n 2 5. 利用平方差公式计算 (1 ) 803X7976. 若 x 2—y 2=30，且 x A. 5 B. 67. (—2x+y) ( —2x —y)8. (-3x 2+2y 2) ( ) =9x-4y ,.y=-5,则x+y 的值是(C. —6 平方差公式 3利用平方差公式计算(1) (1) (-— x-y) (-—x+y)4 4(2) (x-2y) (x+2y)(3) (~m+n)(-m-n)(4) (-4k+3)(-4k-3)4、利用平方差公式计算(1) (a+2) (a-2)(2)(3a+2b)(3a-2b)(3) (-x+1) (-x-1)(2) 398X402D. -5(2) (x+y-z) (x-y+z) - (x+y+z) (x-y-z) .A. 1B. 7 若 a-b=2, a-c=l, A. 10 B. 9 的值为( | 5x~2y | A. 25x 2-4y B. 9C. 2D. 1* I 2y-5x |的结果是()B. 25x 2-20xy+4y 2C. 25x 2+20xy+4y 2D. -25x 2+20xy-4y17. 若 a 2+2a=l,贝lj (a+1) 2=.三、综合训练18. (1)已知a+b=3, ab=2,求a 2+b 2；(2)若已知a+b=10, a 2+b 2=4, ab 的值呢？解不等式(3x-4) 2> (-4+3x) (3x+4).完全平方公式1利用完全平方公式计(1) ( — x+ — y)2(2) (-2m+5n)(3) (2a+5bT 2利用完全平方公式计算: (4) (4p-2q)(2) (1.2m-3n)(3) (—a+5b) 23 ?(4) (--x--y)2(1) (3x-2y)2+(3x+2y) (a+b)2- (a~b)2 (5)(x-y+z)(x+y+z) (2)4(x-l) (x+D- (2x+3)2 (4)(a+b-c)2(6) (mn-1)2 — (mn-1) (mn+1)12. 有一块边长为m 的正方形空地，想在中间位置修一条“十”字型小路，小路的宽为n,试求剩余的空地面积；用两种方法表示出来，比较这两种表示方法，验证了什么公式？二、能力训练13. 如果x 2+4x+k 2恰好是另一个整式的平方，那么常数k 的值为()A. 4C. -2D. ±214. 已知a+-=3,则疽+二，则a+的值是()4先化简,再求值：(x+y)2-4xy,.其中x=12, y=9o5己知x 尹0且x+—=5,求F +」■的值.二、完全平方式1、若必+2尤+ R 是完全平方式，则k=2、.若x —7是一个完全平方式，那么』/是3、如果4疽一"?湖+81莎是一个完全平方式，则K4、如果25x 2-fcxy + 49y 2是一个完全平方式，那么# =三、公式的逆用1. (2x — ) 2= —\xy-\~y .2. (3ni + ) ' = ___________ +12/〃〃+ ____3. x —xy+= (%—) 2.4. 49疽一+81/?2= (+9Z?)5、代数式xy —x —— y 等于( )2 四、配方思想1、若疽+力2_2研2所2=0,则/。

1.7 平方差公式【课内四基达标】1.填空题(1)(-x-y)(x-y)＝( )2-( )2(2)(x 3-3)(3+x 3)(9+x 6)( )＝x 24-6561(3)［(a+2b)m+1+32(2a-b)n ］［(a+2b)m+1-32(2a-b)n ］＝ (4)(21x+32y)(-32y+21x)＝ (5)(2-m+n)(2+m-n)-(1-m+n)(1+m-n)＝2.判断(正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”)(1)(2b+3a)(2b-3a)＝4b 2-3a( )(2)(2x 2-y)(-2x 2-y)＝4x 2-y 2( ) (3)(31p-21q)(21p+31q)＝91p 2-41q 2( ) (4)(71x 2+5y 2)(71x 2-5y 2)＝49x 2-25y 2( ) 3.选择题(1)在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是( )A.(x+1)(1+x)B.(21a+b)(b-21a) C.(-a+b)(a-b) D.(x 2-y)(x+y 2)(2)计算(0.7x+0.2a)(-0.2a+0.7x)，结果等于( )A.0.7x 2-0.2a 2B.0.49x 2-0.4a 2C.0.49x 2-0.14ax-0.04a 2D.0.49x 2-0.04a 2(3)用平方差公式计算(x-1)(x+1)(x 2+1)的结果正确的是( )A.x 4-1B.x 4+1C.(x-1)4D.(x+1)4(4)在下列各式中，运算结果是x 2-36y 2的是( )A.(-6y+x)(-6y-x)B.(-6y+x)(6y-x)C.(x+4y)(x-9y)D.(-6y-x)(6y-x)4.用简便方法计算(1)132×128 (2)743×8415.计算(1)(a+2)(a 4+16)(a 2+4)(a-2) (2)(-65x-0.7y)( 65x-0.7y) (3)(3x m +2y n +4)(3x m +2y n -4)(4)(a+b-c)(a-b+c)-(a-b-c)(a+b+c)(5)(x 3+x 2+x+1)(x 3-x 2+x-1)-(x 3+x 2+x+2)(x 3-x 2+x-2)【能力素质提高】1.若S ＝12-22+32-42+……+992-1002+1012，则S 被103除得到的余数是2.若A ＝(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)，则A －1996的末位数字是( )A.0B.1C.7D.93.计算：(3m 2+5)(-3m 2+5)-m 2(7m+8)(7m-8)-(8m)24.解方程(2x+1)(2x-1)+3(x+2)(x-2)＝(7x+1)·(x-1).5.(a 2+ab+b 2)(a 2-ab+b 2)(a-b)(a+b)，其中a=2,b=-1.【渗透拓展创新】已知：(-4x+3y)(-3y-4x)与多项式M 的差是16x 2+27y 2-5xy ，求M.【中考真题演练】 (513x 3-617y 2)(-513x 3 -617y 2)参考答案【课内四基达标】1.(1)y,x (2)81+x 12 (3)(a+2b)2m+2-94(2a -b)2n (4)21x 2-94y 2 (5)3 2.(1)× (2)× (3)× (4)×3.(1)B (2)D (3)A (4)D4.(1)16896 (2)63615 5.(1)a 8-256 (2)0.49y 2-3625x 2 (3)9x 2m +12x m y n +4y 2-16 (4)4bc (5)2x 2+3【能力素质提高】1.提示S ＝1+(32-22)+(52-42)+…+(992-982)+(1012-1002)＝1+(2+3)+(4+5)+…+(98+99)+(100+101)＝2102101 ＝5151＝103×50+1 2.D 3.-58m 4+25 4.x ＝2 5.63；提示：原式＝a 6-b 6【渗透拓展创新】5xy-36y 2【中考真题演练】36289y 4-25169x 6。

For personal use only in study and research; not for commercial use平方差公式1、利用平方差公式计算： 3利用平方差公式计算（1）(m+2) (m-2) （1）(1)(-41x-y)(-41x+y) (2)(1+3a) (1-3a) (2)(x-2y)(x+2y)(3) (x+5y)(x-5y) (3)(-m+n)(-m-n)(4)(y+3z) (y-3z) (4)(-4k+3)(-4k-3)2、利用平方差公式计算 4、利用平方差公式计算（1）(5+6x)(5-6x) (1)(a+2)(a-2)(2)(ab+8)(ab-8) (2)(3a+2b)(3a-2b)(3)(m+n)(m-n)+3n 2 (3)(-x+1)(-x-1)5、利用平方差公式计算（1）803×797 （2）398×4026．若x 2－y 2=30，且x －y=－5，则x+y 的值是（ ）A ．5B ．6C ．－6D ．－57．（－2x+y ）（－2x －y ）=______．8．（－3x 2+2y 2）（______）=9x 4－4y 4．9．（a+b －1）（a －b+1）=（_____）2－（_____）2．10．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____．11．计算：（a+2）（a 2+4）（a 4+16）（a －2）．平方差公式练习题精选(含答案)一、基础训练1．下列运算中，正确的是（ ）A ．（a+3）（a-3）=a 2-3B ．（3b+2）（3b-2）=3b 2-4C ．（3m-2n ）（-2n-3m ）=4n 2-9m 2D ．（x+2）（x-3）=x 2-62．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）A ．（x+1）（1+x ）B ．（12a+b ）（b-12a ） C ．（-a+b ）（a-b ） D ．（x 2-y ）（x+y 2） 3．对于任意的正整数n ，能整除代数式（3n+1）（3n-1）-（3-n ）（3+n ）的整数是（ ）A ．3B ．6C ．10D ．94．若（x-5）2=x 2+kx+25，则k=（ ）A ．5B ．-5C ．10D ．-105．9.8×10.2=________; 6．a 2+b 2=（a+b ）2+______=（a-b ）2+________．7．（x-y+z ）（x+y+z ）=________; 8．（a+b+c ）2=_______．9．（12x+3）2-（12x-3）2=________． 10．（1）（2a-3b ）（2a+3b ）； （2）（-p 2+q ）（-p 2-q ）； （3）（x-2y ）2； （4）（-2x-12y ）2． 11．（1）（2a-b ）（2a+b ）（4a 2+b 2）；（2）（x+y-z ）（x-y+z ）-（x+y+z ）（x-y-z ）．12．有一块边长为m 的正方形空地，想在中间位置修一条“十”字型小路，•小路的宽为n ，试求剩余的空地面积；用两种方法表示出来，比较这两种表示方法，•验证了什么公式？二、能力训练13．如果x 2+4x+k 2恰好是另一个整式的平方，那么常数k 的值为（ ）A ．4B ．2C ．-2D ．±214．已知a+1a =3，则a 2+21a，则a+的值是（ ） A ．1 B ．7 C ．9 D ．11 15．若a-b=2，a-c=1，则（2a-b-c ）2+（c-a ）2的值为（ ）A ．10B ．9C ．2D ．116．│5x-2y │·│2y-5x │的结果是（ ）A ．25x 2-4y 2B ．25x 2-20xy+4y 2C ．25x 2+20xy+4y 2D ．-25x 2+20xy-4y2 17．若a 2+2a=1，则（a+1）2=_________．三、综合训练18．（1）已知a+b=3，ab=2，求a 2+b 2；（2）若已知a+b=10，a 2+b 2=4，ab 的值呢？19．解不等式（3x-4）2>（-4+3x ）（3x+4）．完全平方公式1利用完全平方公式计算：（1）（21x+32y)2 (2)(-2m+5n)2 (3)（2a+5b)2(4)(4p-2q)2 2利用完全平方公式计算：（1）(21x-32y 2)2 (2)(1.2m-3n)2 (3)(-21a+5b)2 (4)(-43x-32y)2 3 (1)(3x-2y)2+(3x+2y)2(2)4(x-1)(x+1)-（2x+3)2 (a+b)2-(a-b)2 (4)(a+b-c)2(5)(x-y+z)(x+y+z) (6)(mn-1)2—（mn-1)(mn+1)4先化简，再求值：(x+y)2-4xy,其中x=12,y=9。

乘法公式一平方差公式知识点1 平方差公式22+-=-a b a b a b()()平方差公式的特点：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.在利用平方差公式进行计算时，先判断式子能否利用平方差公式计算，如果可以，再根据22+-=-进行乘法计算．a b a b a b()()【典例】例1下列各式，不能用平方差公式计算的是（）A．（a+b﹣1）（a﹣b+1）B．（﹣a﹣b）（﹣a+b）C．（a+b2）（b2﹣a）D．（2x+y）（﹣2x﹣y）【方法总结】本题考查了平方差公式，能熟记平方差公式是解题的关键，注意：平方差公式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．例2若a2﹣b2＝10，a﹣b＝2，则a+b的值为（）A．5B．2C．10D．无法计算【方法总结】本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．例3计算：（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）．【方法总结】本题考查平方差公式、单项式乘多项式，掌握运算法则和公式是解题的关键．例4课堂上，老师让同学们计算（3a﹣b）（3a+b）﹣a（4a﹣1）．（3a﹣b）（3a+b）﹣a（4a﹣1）＝3a2﹣b2﹣4a2﹣a＝﹣a2﹣b2﹣a左边是小朱的解题过程．请你判断其是否正确？如果有错误，请写出正确的解题过程．【方法总结】本题考查平方差公式，单项式乘多项式，以及整式的加减，掌握平方差公式的结构特征以及去括号、合并同类项是得出正确答案的前提．【随堂练习】1．下列各式中，能用平方差公式计算的是（）A．（a+b）（﹣a﹣b）B．（a+b）（a﹣b）C．（a+b）（a﹣d）D．（a+b）（2a﹣b）2．若a2﹣b2＝﹣，a+b＝﹣，则a﹣b的值为．3．化简：（1﹣2m）（2m+1）﹣（3+4m）（6﹣m）．知识点2 利用平方差公式进行数的运算在一些计算中，有时利用平方差公式，会使计算量大大减少；例如98×102，可以利用平方差公式化成98×102=（100-2）×（100+2）=100²-2²=9996．【典例】例1用乘法公式计算：100×99．【方法总结】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键．例2计算：20092﹣2010×2008；【方法总结】本题考查了多项式乘多项式、平方差公式，熟记多项式乘多项式的运算法则、平方差公式是解题的关键．【随堂练习】1．利用公式计算：101×99﹣9722．用乘法公式简算：（1）199×201；（2）20132﹣2014×2012．知识点3 平方差公式—几何背景平方差公式的证明方法有很多种，其中几何法证明是最常见的一种，也是初中阶段最容易理解的一种．【典例】例1为庆祝中国共产党的百年华诞，某校要进行美化校园，各班同学设计热爱祖国的板报．八年一班学生在设计板报时，在黑板中间画一个半径为R的大圆，然后挖去半径为r的四个小圆，分别作为热爱中国共产党、热爱人民、认同中华文化和继承革命传统四个学习区域．请计算当R＝7.8cm，r＝1.1cm时剩余部分的面积．（结果保留π）【方法总结】此题考查了利用平方差公式几何背景解决实际问题的能力，关键是能根据图形准确列式并运用平方差公式进行解决．例2将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），解答下列问题：（1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：S1＝，S2＝；（不必化简）（2）由（1）中的结果可以验证的乘法公式是；（3）利用（2）中得到的公式，计算：20212﹣2020×2022．【方法总结】此题考查了平方差公式几何背景的应用能力，关键是能根据图形准确列式验证平方差公式，并能利用所验证公式解决相关问题．【随堂练习】1．如图所示，有一个狡猾的地主，把一块边长为a米的正方形土地租给马老汉栽种．过了一年，他对马老汉说：“我把你这块地的一边减少5米，另一边增加5米，继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”马老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．同学们，你们觉得马老汉有没有吃亏？请说明理由．2．学校有一块边长为（2a+b）米的正方形草坪，经统一规化后，南北方向要缩短2b米，而东西方向要加长2b米，请回答下列问题：（1）改造后的长方形草坪的面积是多少平方米？（2）改造后的长方形草坪的面积比改造前的面积增加了还是减少了？增加或减少了多少平方米？3．（1）如图1所示，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2所示的一个长方形，则它的面积是；（2）由（1）可以得到一个公式：；（3）利用你得到的公式计算：20212﹣2022×2020．综合运用1．下列算式中不能利用平方差公式计算的是（）A．（x+y）（x﹣y）B．（x﹣y）（﹣x﹣y）C．（x﹣y）（﹣x+y）D．（x+y）（y﹣x）2．计算：（x﹣2）（x+2）﹣6x（x﹣3）+5x2．3．用乘法公式计算：99×101．4．利用公式计算：20152﹣2014×2016．5．利用乘法公式计算：①计算：（2+1）•（22+1）•（24+1）•（28+1）；②计算：（3+1）•（32+1）•（34+1）•（38+1）；③计算：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．6．探究下面的问题：（1）如图甲，在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图乙的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是（用式子表示），即乘法公式中的公式．（2）运用你所得到的公式计算：①10.3×9.7；②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．7．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是．（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2+ab＝a（a+b）C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（2）运用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：①已知9x2﹣4y2＝18，3x﹣2y＝3．求3x+2y的值．②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）。