连续型随机变量及其密度函数的概念与性质

(3) f(x) = F ¢ x) = (
1 (- ? p (1 + x 2 )
x< +
ì
- 3x
)
, x > 0, x £ 0,
例2
ï ke 设随机变量 X 的概率密度为 f (x) = ï í ï 0, ï î
试确定常数
k，并求其分布函数 F(x)和 P{X>0.1}. 解：由
+?
ò
+
f (x)dx = 1 得
X ~ W (m, , ).
Weibull 分布的分布函数为
F ( x)
x
m


(t )
m 1

( t )m
e

dt 1 e

( x )m

(x )
——位置参数
——尺度参数
m ——形状参数
Weibull 分布概括了许多典型的分布。
本次课小结：
即是说该大学的实录线约为 512 分。 （三） 对数正态分布 定义：若随机变量 X 的概率密度函数为
1 (ln x )2 2 f ( x) 2 x e 2 0
4
基
本 内
容
备 注
其中， ， 0 为常数，则称 X 服从参数为 和 的对数正态分布，记作
（四）Weibull 分布 定义：若随机变量 X 的概率密度函数为
( x ) m ( x )m1 e x f ( x) x 0
m
其中， m, , 0 为常数，则称 X 服从参数为 m, , 的 Weibull 分布，记作
故知，X~N( 450 ,1002 ) 又设该大学实录线为 a，由题设知：

连
续
型
离
散
型
知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
例1 设随机变量 的密度函数为
e− , > ,
() = ൝
≤ .
,
(1) 确定常数 ;
(2) 求{ > . } ; (3) 求 的分布函数().
解 (1)由归一性, 有
+∞
න
−∞
+∞
()d = න
e− d ≈ . .
.
()是分段表
达的, 求 ()
时也分段求.
当 x ≤ 0 时, F(x)=0.


当 x＞0 时, () = න ()d = න e− d = − e− .
−∞
所以

− e− ,
() = ൝
,
> ,
≤ .
知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的
概念与性质
知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
离散型 可能值为离散可列个点,如,次品数.

随机
变量 连续型
可能值为某个区间,如,年降水量.
←分布律
←？
1. 概率密度函数定义
设()是随机变量 的分布函数, 若存
在非负函数 (), 使对任何实数 ,有
知识点2.5
故
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
− = + ,
→−
= + .
→
−
π
+
= − = ,



π
+
= + = .

在概率论和数理统计中，连续型随机变量的概率密度函数是非常重要的概念。

而严格单调函数则是在数学中经常讨论的一个性质。

本文将结合这两个概念，探讨连续型随机变量的严格单调函数的概率密度。

1. 连续型随机变量的概率密度函数我们来回顾一下连续型随机变量的概率密度函数。

在概率论中，概率密度函数是描述一个随机变量在某个取值范围内出现的概率分布的函数。

对于一个连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)表示在区间[a, b]内，X落在某一小区间(dx)内的概率。

概率密度函数具有非负性和积分为1的性质，是描述连续型随机变量概率分布的重要工具。

2. 严格单调函数的性质在数学中，一个函数如果满足对任意的x1, x2 (x1 ≠ x2)，若x1<x2则f(x1)<f(x2)或者若x1<x2则f(x1)>f(x2)，则称该函数是严格单调函数。

严格单调函数具有非常重要的性质，比如在一个区间内只有一个零点、在一个区间内只有一个反函数等。

3. 连续型随机变量的严格单调函数的概率密度假设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)。

如果f(x)是一个严格单调函数，那么我们可以得到一些有趣的结果。

根据严格单调函数的性质，我们可以知道在任意的区间[a, b]内，f(x)的取值是严格单调递增或递减的。

这意味着X落在不同区间内的概率是按照一定的规律递增或递减的。

这对于我们理解连续型随机变量的概率分布有很大的帮助。

4. 个人观点和理解从我个人的观点来看，连续型随机变量的严格单调函数的概率密度是一个非常有意思的话题。

它不仅能帮助我们更深入地理解概率密度函数的特性，还能让我们对随机变量的概率分布有更加直观的认识。

通过研究严格单调函数的概率密度，我们也可以更好地理解随机变量的取值规律和分布特点。

深入研究连续型随机变量的严格单调函数的概率密度对于我们理解概率论和数理统计的基本概念具有重要的意义。

总结：本文通过回顾连续型随机变量的概率密度函数和严格单调函数的性质，探讨了连续型随机变量的严格单调函数的概率密度。

X越落平f在(缓xμ),的值表最附明大 近X取的值值概为越率分越f 散大.;反之21,当σ越大,则y=f(x)的图形
f (x)
0
x
28
连续型随机变量
（2）分布函数
若 X ~ N ， 2 ，则其分布函数为
x
Fx f tdt
1
x (t )2
e 2 2 dt x
2
若 X ~ N 0， 1，则其分布函数为
该乘客候车时间不超过5分钟的概率．
解：设该乘客于7时X 分到达乘到此客7站:3到0,之达X间此服的站从均的匀区时随间间机是[变0,73量:000]
上的均匀分布．其 密 度 函 数 为
f
x
1 30
0 x 30
0 其 它
令：B={候车时间不超过5分钟 },则
PB P10 X 15 P25 X 30
0
x
25
连续型随机变量
密度函数的验证
xdx
只验证
f
x dx
1
x 2
e 2 2 dx 1
2
作变换：u x ， 则 du dx
1
x2
e 2 dx 1
2
则有
见高等 数学 （下） 二重积 分
1
x 2
e 2 2 dx
2
x2
( e 2 dx 2 )
1
1
15
1
30
dx
1
dx
1
10 30
25 30
3
20
连续型随机变量
例 6 设随机变量Y 服从区间 1， 3上的均匀分布，
试求方程 4x 2 4Y x (Y 2) 0 有实根的概率．
解

问：怎样求一般正态分布的概率？
对一般的正态分布 ：X ~ N ( , 2)
其分布函数 F( x)
1
e d t x
(t )2 2 2
2
作变量代换s
t
F(x)
1 2
x
s2
e 2ds
x
即 X ~ N ( , 2) 则 X ~ N ( 0 ,1)
P{a
X
b}
F (b)
222 0.3830
3) 0.6826 4) 0.4981
0.02
-10
-5
a
5
b
x
例1 有一批晶体管，已知每只的使用寿命 X 为 连续型随机变量，其概率密度函数为
f
(
x)
c x2
,
0,
x 1000 其它
( c 为常数)
(1) 求常数 c
(2) 已知一只收音机上装有3只这样的晶体管，
每只晶体管能否正常工作相互独立，求在
使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.
(3) P(X>1.76)= 1 – P(X≤1.76)= 1 – Φ(1.76)
=1 – 0.9608 =0.0392 (4) P(X< – 0.78)= Φ(- 0.78) =1-Φ(0.78)
=1 – 0.7823 =0.2177 (5) P(|X|<1.55)= 2Φ(1.55) – 1 (6) P(|X|>1.55)= 1 – P(|X|<1.55)
即： P( X a) 0, a为任一指定值
事实上 { X a} {a x X a}
x 0
0 P{ X a} P{a x X a} aax f ( x)d x

-?
a b- a
连续型随机变量及概率密度函数
注
蝌 P{c < X ? c l} = c+l f ( x)dx = c+l 1 dx = l
c
c b- a b- a
随机变量 X 落在任一长度为 l 的子区间(c,c + l],(a ? c c + l ? b)
内的可能性是相同的.
均匀分布的分布函数为
2
解 (2)X的分布函数为
ì
0,
ï
ï
ò ï
x x dx = x2 ,
F
(
x
)
=
ï í
ï
蝌 ï
ï
3 x dx + 06
06
x 3
骣 琪 琪 桫2
-
x 2
12 x2
dx = - 3 + 2x - , 4
ï î
1,
x <0 0? x 3 3? x 4
x³ 4
连续型随机变量及概率密度函数
例 1 设随机变量 X 具有概率密度
f
(x)
=
ì ï í
1 5
,0
<
x
<
5，
ï î
0,
其他
ì 0,
ï
蝌 F ( x) =
x
ï f ( x)dx = í
x dt = x ,
-?
ï 05 5
ï î
1,
x£ 0 0< x <5
x³ 5
（2）随机变量 X 的取值不小于 2，即
蝌 ò P{ X ? 2} = +? f ( x)dx = 5 1 dx + ? 0dx 3

分布函数 F(x)
定义： F(x) P X x
性质: 0≤F(x)≤1； F(-∞)=0 , F(+∞)=1。
应用：※ (1) P(a X b) F(b) F(a)
(2) P X c 1 F(c)
(3)P X d F(d)
定义：设函数 Biblioteka (x) 在区间 规定：上连续,
称此函数为 f (x) 在
性质1: 性质2: 性质3:积分可加性
二、概率密度函数的性质
由定义知,概率密度函数 f(x) 具有以下性质:
1.非负性：f (x) 0( x );
2.归一性： f (x)dx 1; [确定待定参数]※
例1：设随机变量X的概率密度函数为
0, x 0或x 1 f (x) kx, 0 x 1
教学重点：连续型随机变量概率密度函数的概念、性 质及其应用，概率密度函数与分布函数间的关系。
基本初等函数的导数公式
基本初等函数的导数公式
不定积分的基本公式
C
xC
1 x1 C ( 1)
1
ln | x | C
ex C
ax C
ln a
不定积分的基本公式
sin x C
cos x C
tan x C cot x C
f (x)dx 1
设有一克金,被碾成沿x轴分布的一片面积为1的金箔
1.概率密度函数的几何解释
[密度函数定义]
x
F (x) f (t)dt
[密度函数求区间概率]
b
P(a X b) f (x)dx a
2.零概率事件与不可能事件是一回事吗？
注: 连续型随机变量取某一确定值的概率为零. 即，不可能事件与零概率事件的关系：

1 dx ba a
b a b
a
b

1．
是密度函数．
故
1 f x b a 0
a xb 其它
12
连续型随机变量
均匀分布的概率背景
如果随机变量X服从区间[a,b]上的均匀分布,则随机变量 X在区间[a,b]上任意一个子区间上取值的概率与该区间的长 度成正比,与该区间的位置无关.
2.指 数 分 布
X ~ E ( ) 记为：
x0 0 说明 指数分布常用于近似表示 “寿命”分布，如： 其分布函数为 F x x x0 1 e 服务时间，某消耗品的寿命，放射性元素的衰变期等，
指数分布在排队论与可靠性理论中有广泛的应用。
16
连续型随机变量
例 7 设打一次电话所用的时间X(分钟)是服从参数为λ=1/10 的指数分布.如果某人刚好在你前面走进公用电话间,求你需 要等待10~20分钟的概率. X(分钟)是服从参数为
0
1
2
x
9
连续型随机变量
Ax 1 0 x 2 例4 设有随机变量X的概率密度函数为 f x 其他 0
求1) A值. 2）X的分布函数. 3）P{1.5<X<2.5}
f ( x )dx 1 解 3) F 2 . 5 F 1 . 5 0 . 0625 1.5 X 2.5 , 有 1)P由密度函数的性质 1 2 2 . 5 2 Af 2dx 1 A Ax 1)X dx2 1 1.5 P .5 1 x 0 . 0625 或 0 ( .5 2 2) X的分布函数
则 P A PX 150
150

f x dx

长度在 10.05 0.12 内为合格品，试求螺栓为合格品 的概率。
解： 根据假设 X～N（10.05,0.062），记 a=10.05-0.12，
b=10.05+0.12,则
P{螺栓为合格品} = P{a X b} (b ) (a )
=Φ(2)-Φ(-2) =2Φ(2)-1
=2×0.9772-1=0.9544
概率密度的性质
特征性质:
1 o f (x) 0
2 o f (x)dx 1
【注】这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某随机变量X 的
概率密度的充要条件
几何意义:
f(x)
面积为1
x
0
其他性质：
1) 对于任意区间(a, b], 有
b
P{a X b} a f ( x)dx
几何意义:
可计算X落在(a, b] 内的概率
3) 对连续型随机变量X , 有
P(a X b) P(a X b)
b
P(a X b) P(a X b) f (x)dx a
几何意义:
f(x)
b
f (x)dx S
a
x
0a
b
例1：设随机变量 X 的概率密度为
f
(
x)
a
cos
x
0
x
2 其它
求 P(0 X )
4
x
x
(3)
F(x)
右连续，即
lim
x x0
F
(
x)
F
(
x0
)
以上三条随机变量的分布函数的特征性质.
离散型随机变量的分布函数
设离散型随机变量 X 的分布律是
P{ X=xk } = pk , k =1,2,3,…

x
e
dt , x
概率论
( x)
( x )
概率论
7. 标准正态分布与一般正态分布的关系 定理1
X 若 X ~ N , , 则 Z ~ N 0 , 1 .
2
标准正态分布的重要性在于，任何一个一 般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准 正态分布.
概率论
例2 在一公共汽车站有甲、乙、丙 3人，分别等1、2、3路公交车，设 每人等车时间（分钟）都服从[0，5] 上的均匀分布，求3人中至少有2人 等车时间不超过2分钟的概率。
概率论
（II）指数分布 1. 含义：随机变量X描述对某一事件发生的 等待时间，各种不会变老的物品寿命。 2. 密度函数：若 r .v. X具有概率密度

x 2
2
Φ(x)
概率论
作业
58页，24，25，26，27，29，30
概率论
3σ准则
由标准正态分布的查表计算可以求得，
当X～N(0,1)时， P{|X| ≤ 1}=2 Φ(1)-1=0.6826 P{|X| ≤ 2}=2 Φ(2)-1=0.9544 P{|X| ≤ 3}=2 Φ(3)-1=0.9974 这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间
内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.
概率论
(2) X ~ N ( , 2 ), 求区间概率
X 若 X ~ N ( , ), 则 Y ~N(0,1)
2
P{ a X
a b Y } b} P{
b a ( ) ( )
概率论
例3 若 r. v. X～N(10,4),求 P{10<X<13}, P{│X-10│<2}. 例4 若 r. v. X～N(μ,σ2), P{X ≤ -1.6}=0.036， P{X ≤ 5.9}=0.758，求 P{X> 0}

第2.4节 连续型随机变量及密度函数
1
连续型随机变量及其概率密度
1.定义 定义
设 X 为随机变量 ， F ( x )为 X 的分布函数, 若存在 非负函数f ( x ), 使对于任意实数 x 有 F ( x) = ∫
x −∞
f (t ) d t ,
则称 X 为连续型随机变量, 其中 f ( x ) 称为 X 的概 率密度函数, 简称概率密度.
为离散型随机变量, 若 X 为离散型随机变量
{ X = a } 是不可能事件 ⇔ P{ X = a} = 0.
离 散 型
4
例1
设随机变量 X 具有概率密度
0 ≤ x < 3, kx, x f ( x) = 2 − , 3 ≤ x ≤ 4, 2 0, 其它. (1) 确定常数 k ; (2) 求 X 的分布函数; 7 (3) 求 P{1 < X ≤ }. 2
的正态分布或高斯分布, 记为
X ~ N ( µ , σ 2 ).
22
正态概率密度函数的几何特征
1 ( 2) 当x = µ时, p( x )取得最大值 ; 2 πσ
(1) 曲线关于 x = µ 对称;
(4) 曲线在 x = µ ± σ 处有拐点;
23
(3) 当 x → ±∞ 时, f ( x) → 0;
x 1 −θ k e , f ( x) = θ 0,
x ≥ 0, x < 0.
1 且已知 P{ X > 1} = , 试求常数 θ 2
10
例
设随机变量 X : 0, 2 F ( x) = Ax + B, 1, x ≤ 0, 0 p x ≤ 1, x > 1.
试求常数A，B以及密度函数f(x)。

不可能事件的概率为零，但概率为零的事件不一定是不可能事件。
同样：
必然事件的概率为1，但概率为1的事件不一定是必然事件。
01
若X是连续型随机变量，
02
{ X=a }是不可能事件，则有
03
若 X 为离散型随机变量,
04
注意
05
连
06
续
07Байду номын сангаас
型
08
离
09
散
10
型
STEP4
STEP3
STEP2
由
得
解得
于是
的概率密度为
设随机变量
具有概率密度
(1)
确定常数
【练习】
解
由
得
解得
于是
的概率密度为
其它
.
设随机变量
具有概率密度
求
的分布函数
【练习】
解
设随机变量
01
具有概率密度
02
03
求
04
解
05
或
06
【练习】
07
例4 设随机变量 K 的概率密度为
于是, 所求的概率为
06
可见
04
试求方程 有实根的概率.
(1) P{ x1＜X ≤x2} = P{ x1≤X ≤x2} = P{ x1＜X ＜x2} = P{ x1≤X ＜x2} = F(x2) －F(x1) =
(2)
点概为零的重要启示
若 A 为不可能事件，则 P (A) = 0 ； 然而 P (A) = 0 时， A 却不尽为不可能事件 .
那么就称该随机变量 X 服从均匀分布，也称 X为均匀分布变量（简称均匀量），并记为

函数的密度函数密度函数的概念密度函数是概率论和统计学中的一个重要概念，用于描述连续随机变量的概率分布。

当随机变量是连续的时候，它的概率分布不能用离散的概率质量函数来表示，而是使用密度函数来描述。

密度函数的定义给定一个连续随机变量X，它的密度函数f(x)满足以下条件： 1. 对于任意的x，f(x) >= 0。

2. f(x)的总面积等于1，即∫f(x)dx = 1。

密度函数与概率的关系密度函数可以用于计算连续随机变量在某个区间内的概率。

如果我们要计算随机变量X在区间[a, b]内的概率，可以通过计算密度函数在该区间上的积分来实现，即P(a <= X <= b) = ∫(a to b)f(x)dx。

密度函数的性质密度函数具有以下性质： 1. 非负性：密度函数的值始终大于等于0，即f(x) >= 0。

2. 归一性：密度函数的总面积等于1，即∫f(x)dx = 1。

3. 概率计算：通过密度函数的积分可以计算随机变量在某个区间内的概率。

4. 概率密度函数的图像：密度函数图像与随机变量的概率分布图像密切相关。

密度函数的应用密度函数的概念和性质在概率论和统计学中有广泛的应用，下面列举几个常见的应用例子： 1. 正态分布：正态分布是概率统计中最常见的分布之一，其密度函数呈钟形曲线，对于许多自然现象和随机变量的分布都可以近似描述为正态分布。

2. 指数分布：指数分布是描述等待时间或寿命的分布，其密度函数呈指数衰减曲线，常用于可靠性分析、排队论等领域。

3. 泊松分布：泊松分布是描述单位时间内随机事件发生次数的概率分布，其密度函数呈现尖峰状，常用于计数型随机变量的分布。

4. 均匀分布：均匀分布是指随机变量在一定区间内取值的概率相等的分布，其密度函数是一个常数。

如何确定密度函数确定一个随机变量的密度函数并不是一件简单的事情，常用的方法包括： 1. 频率法：根据大量独立重复实验的观察数据，估计随机变量的概率分布。

∆x → 0 ∆x → 0
P ( x1 < X ≤ x2 ) = F ( x2 ) − F ( x1 ) = ∫ x 2 f ( x )dx 1
x
3) 对任意 P(X=x)=0. 从而对任意实数 b, (a<b), 对任意x, 从而对任意实数a, P (a ≤ X ≤ b) = P (a < X <与数理统计
第二章
随机变量及其概率分布
定理 : 设F ( x ), f ( x )分别为连续随机变量 X的分布函数 和密度函数 .若f ( x )在点x处连续 , 那么 f ( x ) = F ' ( x ). 由该定理和注8可知 可知,若 注9 由该定理和注 可知 若F(x)除至多可数个点外有连续 除至多可数个点外有连续 导数, 导数 那么密度函数 F ' ( x ) 在F ( x )有连续导数处 f ( x) = 任意取值 其他 由注9给出的密度函数可能会有一定差异 给出的密度函数可能会有一定差异,但不影响 注10 由注 给出的密度函数可能会有一定差异 但不影响 分布函数的表示和事件概率的计算. 分布函数的表示和事件概率的计算 这种现象是概率论研 究中的一种特色, 而称这样的密度函数是几乎处处相等的, 究中的一种特色 而称这样的密度函数是几乎处处相等的 对其简单说明如下: 设有随机变量X及函数 及函数g(x),h(x),若 对其简单说明如下 设有随机变量 及函数 若 P ( X ∈ { x : g( x ) = h( x )}) = 1, 几乎处处相等. 称g(x),h(x)几乎处处相等 几乎处处相等
华东师范大学统计系
概率论与数理统计
第二章
随机变量及其概率分布
3 几个常用的连续型分布 1) 均匀分布 设连续型随机变量X具有密度函数 设连续型随机变量 具有密度函数 1 b− a − 1 b− a , a ≤ x ≤ b, f ( x) = 其他 , 0, a b 则称X在区间 在区间[a, 上服从均匀分布 上服从均匀分布. 则称 在区间 b]上服从均匀分布 记作X ~ U (a , b ) F ( x) 分布函数为： 分布函数为： 0 , 1 x < a,

内容提要
• 一、连续型随机变量及其密度函数 • 二、常见分布
– 1、均匀分布 – 2、指数分布 – 3、正态分布（重点）
一、连续型随机变量及其密度函数
定义 对于随机变量 X ,如果存在非负可积函数 f(x) , x∈( –∞, +∞), 使得对任意a ≤ b, 有
P a X b
a
b
f ( x )dx
则称 X为连续型r.v, 称 f(x)为 X 的概率密度函数, 简称为概率密度或密度函数.
f (x)
1 x x f x lim x f t dt x 0 x
P x X x x lim . x 0 x
o
x
概率密度函数的性质:
且 X R a 并非必然事件
可见，由P{A}=0, 不能推出 A=, 由P{B}=1, 不能推出 B=W, 称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.
3) 与分布函数F(x)的关系
F x P X x

f t dt
x
在 f x 的连续点x处， 满足F x f x
且P a X b
a
b
f t dt
Fb Fa
例1: 设随机变量X具有概率密度
ke3 x f ( x) 0 x0 x0
(1)试确定常数k，(2)求F(x)，(3)并求P{X>0.1}。
解: (1)由于 k=3.

f ( x )dx
连续型 r.v X 的性质
1)
P a X b P a X b
P a X b P a X b
2) 由P{X=a}=0 可推知

分布函数
密度函数
则称X为连续性随机变量，其中函数f (x)称为X的
概率密度函数, 简称概率密度.
连续型随机变量的分布函数一定是连续函数.
3
x
2. 密度函数的性质
用这两条性质判断 F( x) f (t)dt
是否为连续型随机
1
f (x) 0 ;
变量的密度函数
(非负性)
y
f (x)
2 f ( x)dx 1 ; (归一性)
0
3
2
1 2
kx2
3 0
2 x
1 4
x
2
4
3
9 2
k
1 4
,
令 9k 1 1 k 1.
24
6
9
(2)
x
求X的分布函数，F(x) f
0,
x0,
x xdx , 0 x 3
(t )dt
,
f
(
x)
206x,,2x
,
0 x3, 3 x4,
其他.
F ( x)
06
3xdx
x
x
(2 )d x ,
0
0,
o
x 0, 1 ex ,
x 0, 0,
x
x 0,
x 0.
18
(3) 指数分布的背景 电子元件的寿命； 生物的寿命； 电话的通话时间； ……
“寿命”服从指数分 布
指数分布广泛 应用于可靠性 理论和排队论
19
指数分布的重要性质 :“无记忆性”.
对于任意s, t 0 , 有 P{X s t X s} P{(X s t) ( X s)}
证明 Z X 的分布函数为

x
于是当△x( > 0)充分小时, P{x<X≤x+ △x}≈f(x)△ x。这表明f(x)
本身并非概率，但它的大小却决定了X 落入区间[x ,x+△x]内的概
率的大小．即f(x) 反映了点x 附近所分布的概率的“疏密”程度 ――
连续型随机变量的一个重要特征是：连续型随机变量取任意
一个指定值的概率均为零，即P{X =x0}=0．
例7 若X ～N(0，1) ，当α = 0.10、α = 0.05、α = 0.01 时，分别确定u0，使得P{|X|＞u0} = α．
解 P{|X|＞u0} = P{X＜－u0}＋ P{X＞u0} = φ(－u0)＋1－P{X≤－u0} =1－φ(u0) ＋1－ φ(u0) = 2－2 φ(u0) ．
均匀分布的密度函数与分布函数的图形如图．
均匀分布是常见的连续分布之一．例如数值计算中的舍入 误差、在每隔一定时间有一辆班车到来的汽车站上乘客的候车 时间等常被假设服从均匀分布．此外，均匀分布在随机模拟中 亦有广泛应用．
例3 某市每天有两班开往某旅游景点的列车, 发车时间分
别为早上7点30分和8点．设一游客在7 点至8点间任何时刻到达
P{|X|＜2｝=2Φ(2) －1=2×0.9772－1 = 0.9544
P{|X|＜3｝=2Φ(3) －1 = 2×0.9987－1 = 0.9974
对于X ～ N (, 2 )
P{| X | 1} P{ X }
=Φ(1)－Φ(－1) = 0.6826
P{| X | 2} P{ 2 X 2 }
(2)
F(x)
x
f (t)dt
当x＜0 ,
F
(
x)
x