高考数学 课本例题习题改编 新人教A版选修23

F 炉■象■ r >—可活 1.2 （SB 27 35 > A 蛆 5^+4A1^5X6O-H4X 12=348!AJ 十AJ 十Aj 十N =4+12+24十趴=6心Gs =45S|（2） C^S Q =（3^Q = 1 313 4001 5CH 蜀d L CT 』C ：n . 十 E M £t A ：：!-A ： = （n*l ）A ：-A ：=MA ： = rt T A ：-i i<a±L ）! _ H ! _ （♦+1）—* 项 _ 3T 十】）m 妇 P-i ）「 加 ki ‘ 4. 由于4列火车答不棚同，所以停放的方法与场序有关，有A ； = l 6S0〔种）不同的停法.5. Ai=2+.6. 由于书架是单层的，所以问题相当于00个元素的金排列，有幡种不同的推法.7-可以分三拒完成：第一澄.安排4个音乐节目.共有用衿排法,第二步.安排蹄昭节目，共有Aj 种排法'第三步，安排曲艺节目.共有用种排法，所以不同的排法有A ： ♦ A ：* AJ=288 （神）.&由于IT 个不同元素的全排列共有，H 个.而汜玄％所以由井个不同的数值可以以不同的瑚序彩成其 余的每一行，并且任就两I 行的顺序都不同.I 为使每一行那不重复,m 可以取的髭大值是由.9. H ）由于圆上的任意3点不共线，圆的弦的端点没有廉序，所以共可以画赫,=45《条）不同的弦* {2）由于三角形的厦点没有廉序.所以可成画的圆内接三角形有C\ = 】20 （个L10. （1）凸五边形有$个IK 点，任意2个顶点的连线段中.除凸五也形的过外都是对免段.所以共有 MAtt a-s-5（条）t（跄同H ）的理m 初得对角线为亡一村=知也（条）.本嘶采用问接法更方便.IL 由于四雅人民币的面值都不相同，磁成的画值与顺序无关.所以可以分为四类面傲，分别曲】罪， 金米.3雅，4雅人民币组成，抹有不同的面ifiC!十CI 十U+C1-1S （ft ）.12. （!）由“三个不共线的点确定一个平面七 所晚定的平面勺点的顾序无关.所以共阿浦定的平面敷 是 G =56 F由于四面体由四个匝点唯一确定，而与四个点的顺序无关.所以共可琳定的即面体个数屋 cu=Zia13. （D 由于匮出的人没有地位检异.所以是抿合问魄.不同方法数是Q = 10»<2>由于礼物互不相同.与分送的膜序有关系•所以是排列问题.不同方渣致是.秘=60,<3）由于5个人中每个人都有3种透拎，而且选择的时间肘别人没有馅响，所以是一个"可直宣排列•何购・不同方法数是3s -243,（4）由于只瓷取出元素,而不必等虐顺序,所以可以分两步取元素；第一步.从泰合A 中取.有 法,舞二步，从集皆E 中取,有冗垠法.所以共有取法时:种.■ 第（3）题是“可靠复排列”何JK.怛可以用分步乘楚计牧原理解决.14. 由于只旻选出要做的题目即可，所以是组合问飓，另外，可以分三步分别从第】, 2. 3鹿中选题. 不同的选法*1■数有目，G ・G = M ・h (D (Z) Z. Cl)(3)(4) X (1)is. rtif选出的人的地缺没有弟:岸.所以姑组合问翳，cu a *q-w»W共命2人可以从剩下的T人中任怠选择，所以共有CJ-Z】<W）选注1〈3）用闭接成.在W人透I人的法法中.把外甲和女乙摩不在内的去棹.就得到符合条件的监法数为。

人教A 版选修2-3课本例题习题改编1.原题（选修2-3第二十七页习题1.2A 组第九题）改编1 在正方体1111ABCD A BC D -的各个顶点与各棱的中点共20个点中，任取2点连成直线，在这些直线中任取一条，它与对角线1BD 垂直的概率为_________．解：如图，,,,,,,,,,,,E F G H I J K L M N P Q 分别为相应棱上的中点，容易证明1BD ⊥正六边形EFGHIJ ，此时在正六边形上有2615C =条，直线与直线1BD 垂直；与直线1BD 垂直的平面还有平面ACB 、平面NPQ 、平面KLM 、平面11AC B ，共有直线23412C ⨯=条．正方体1111ABCD ABC D -的各个顶点与各棱的中点共20个点，任取2点连成直线数为2220312(1)166C C -⨯-=条直线（每条棱上如直线,,AE ED AD 其实为一条），故对角线1BD 垂直的概率为151227.166166+= 改编2 考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（A ）175 （B ） 275 （C ）375 （D ）475解：如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意 选两个点连成直线，共有22661515225C C =⨯=种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有//,//,//,AC DB AD CB AE BF //,//,//AF BE CE FD CF ED 共12对，所以所求概率为12422575P ==，选D ． 2.原题（选修2-3第四十页复习参考题A 组第三题）改编1 设集合{1,2,3,4,5,6}S =，定义集合对(,):,,A B A S B S A ⊆⊆中含有3个元素，B 中至少含有2个元素，且B 中最小的元素不小于A 中最大的元素.记满足A B S =的集合对(,)A B 的总个数为m ，满A B ≠∅的集合对A. B. C. D.解：根据题意，m 的个数可以这样取：{1,2,3};{4,5,6},{3,4,5,6}A B ==，故2,m =同样∙ A∙ ∙ ∙ ∙ ∙ BC D EF图4得n 的个数为22,故选.A改编2 把已知正整数n 表示为若干个正整数（至少3个，且可以相等）之和的形式，若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列，则称这些数为n 的一个等差分拆．将这些正整数的不同排列视为相同的分拆．如：(1,4,7)与(7,4,1)为12的相同等差分拆．问正整数30的不同等差分拆有 个．解：分类讨论，当三个数时，有10个；四个数时，有2个；5个数时，有3个；6、10、15、30个数时，各有1个，共19个．3.原题（选修2-3第四十一页复习参考题B 组第1题（3））改编 已知集合{}{}1,2,3,1,2,3,4M N ==，定义映射:f M N →，且点()()()1,(1),2,(2),3,(3)A f B f C f ．若ABC △的外接圆圆心为D ，且()D A D C D B R λλ+=∈，则满足条件的映射有（ ） A.12个； B.10个； C.6个； D.16个；解：设K 为AC 的中点．由()DA DC DB R λλ+=∈，知,,D B K 三点共线，结合题意知AB AC =，于是(1)(3)(2)f f f =≠，这样满足条件的映射有224212C A =种．4.原题（选修2-3第九十五页例1）改编 甲乙两个学校高三年级分别有1100人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了 105名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布统计表，规定考试成绩在[120，150]内为优秀，甲校：乙校：(I )计算,x y 的值;(II)由以上统计数据填写右面22⨯列联表，若按是否优秀来判断，是否有97.5% 的把握认为两个学校的数学成绩有差异.(III)根据抽样结果分别估计甲校和乙校的优秀率；若把频率作为概率，现从乙校学生中人，求优秀学生人数的分布列和数学期望。

2016-2017学年高中数学第三章统计案例练习理新人教A版选修2-3 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第三章统计案例练习理新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第三章 统计案例微测试1 3.1回归分析的基本思想及其初步应用（测试时间:20分钟）一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．给出下列四个命题，其中正确的一个是A ．在线性回归模型中,相关指数20.80R =,说明预报变量对解释变量的贡献率是80%B ．相关系数0.852r =,接近1，表明两个变量的线性相关性很差C ．相关指数2R 用来刻画回归效果,2R 越小，则残差平方和越大,模型的拟合效果越好D ．相关指数2R 用来刻画回归效果，2R 越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好 2．下表是x 和y 之间的一组数据，则y 关于x 的回归直线方程必过A ．点(2,3)B ．点(3,5)C ．点(2.5,4)D ．点(2.5,5)3．下表是某厂14~月份用水量(单位:百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是0ˆ.7yx =-+ a ，则a 等于A ．10.5B ．5.15C ．5.2D ．5.254．四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系,并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且ˆ 2.347 6.423yx =-； ②y 与x 负相关且ˆ 3.476 5.648y x =-+； ③y 与x 正相关且ˆ 5.4378.493yx =+； ④y 与x 正相关且ˆ 4.326 4.578y x =--。

人教版新课标高中数学A版选修2-3答案人教版新课标高中数学A版选修2-3是高中数学课程中的一个重要部分，它涵盖了概率论与统计、数列、极限与导数等重要数学概念。

这些内容对于培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和解决问题的能力都具有重要意义。

以下是该课程部分习题的答案解析，供同学们参考。

1. 概率论与统计在概率论与统计部分，学生需要掌握随机事件的概率计算、条件概率、独立事件以及随机变量的分布等基本概念。

例如，计算两个独立事件同时发生的概率，可以通过以下公式进行：\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \]其中，\( P(A \cap B) \) 表示两个事件同时发生的概率，\( P(A) \) 和 \( P(B) \) 分别表示事件A和事件B发生的概率。

2. 数列数列是高中数学中的一个基础概念，它涉及到等差数列、等比数列以及数列的求和等。

例如，等差数列的通项公式为：\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]其中，\( a_n \) 表示第n项，\( a_1 \) 表示首项，\( d \) 表示公差。

3. 极限与导数极限是微积分的基础，它描述了函数在某一点附近的行为。

例如，函数 \( f(x) \) 在 \( x = a \) 处的极限可以表示为：\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]导数则是描述函数在某一点处变化率的工具。

函数 \( f(x) \) 在\( x = a \) 处的导数表示为：\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \]这些答案仅是课程内容的一小部分，具体的习题答案需要根据具体的题目来确定。

在学习过程中，理解概念和原理比单纯记忆答案更为重要。

通过不断的练习和思考，学生可以更好地掌握这些数学知识，并在实际问题中应用它们。

高中数学必做100题—选修2-3时量：60分钟 班级： 姓名： 计分：（说明：《选修2-3》共精选12题，“◎”为教材精选（或变式），“☆”为《精讲精练.选修2-3》精选）1. 某种产品的广告费用支出x （万元）与销售额y （万元）之间有如下的对应数据：（1）画出散点图； （2）求回归直线方程； （3）据此估计广告费用为9万元时，销售收入y 的值． 参考公式：回归直线的方程a bx y+=ˆ，其中1122211()(),()n n i i i ii i n n ii i i x x y y x y nxy b a y bx x x x nx ====---===---∑∑∑∑.2. 甲乙两个班级均为40人，进行一门考试后，按学生考试成绩及格与不及格进行统计，甲班及格人数为36人，乙班及格人数为24人.（1）根据以上数据建立一个22⨯的列联表；（2）试判断是否成绩与班级是否有关？ （◎P 17 练习改编） 参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++；3. 核糖核酸(RNA)分子是在生物细胞中发现的化学成分.一个RNA 分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链,长链中每个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据.总共有4种不同的碱基,分别用A,C,G,U 表示.在一个RNA 分子中,各种碱基能够以任意次序出现,所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关.假设有一类RNA 分子由100个碱基组成,那么有多少种不同的RNA 分子? ( ◎P 7例6)4. 从1,3,5,7,9中任取3个数字,从0,2,4,6,8中任取两个数字,一共可以组成多少无重复数字的五位数? ( ◎P 28B3)5.求下列各式中指定各项的系数.(1)10211⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 的含5-x 的项; (2)1033212⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的常数项. ( ◎P 37A5)6．(1)求以正方体的顶点为顶点的三棱锥个数; (2)求()+∈-N n x n 21的展开式中各项系数之和. （◎P 41 B1(5,6）)7.在含有5件次品的100件产品中,任取3件,求(1)取到的次品数X 的分布列; (2)至少取到1件次品的概率. （◎P 47 例2）8.从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张,求至少有3张A 的概率. （◎P 49 练习3）9. 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，求X 的数学期望. ( 宁 理6)10. [理]（北京高考.理18）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（1）求合唱团学生参加活动的人均次数；（2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（3）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．11.选修2-3P 97练习．12.标准正态分布密度函数为R x e x f x ∈=-,21)(22π． (1)证明)(x f 是偶函数;(2)求)(x f 的最大值;(3)利用指数函数的性质说明)(x f 的增减性;(4)若X ～N(5,1),求P(6<X<7). （◎P 75 习题A1 B2）1 2 3。

1.2.2组合课时过关·能力提升基础巩固1.的值为()A.72解析:B.36C.30D.42=15+21=36.答案:B2.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案共有()A.16种B.36种C.42种D.60种解析:若选择了2个城市,则有=36种投资方案;若选择了3个城市,则有=24种投资方案,因此共有36+24=60种投资方案.答案:D3.某高校外语系有8名志愿者,其中有5名男生,3名女生,现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作,若要求这3人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有()A.45种B.56种C.90种D.120种解析:用排除法,不同的选法种数为=45.答案:A4.氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一,某肽链由7种不同的氨基酸构成,若只改变其中3种氨基酸的位置,其他4种不变,则不同的改变方法的种数为() A.210 B.126 C.70D.35解析:从7种中取出3种有=35种取法,比如选出a,b,c3种,再都改变位置有b,c,a和c,a,b两种改变方法,故不同的改变方法有2×35=70种.答案:C5.在某次数学测验中,学号i(i=1,2,3,4)的四位同学的考试成绩f(i)∈{90,92,93,96,98},且满足f(1)<f(2)≤f(3)<f(4),则这四位同学的考试成绩的所有可能的情况为()A.9种B.5种C.23种D.15种答案:D6.某书店有11种杂志,2元1本的有8种,1元1本的有3种.小张用10元钱买杂志(每种至多买1本,10元钱刚好用完),则不同买法的种数为.(用数字作答)解析:由已知分两类情况:(1)买5本2元的买法种数为(2)买4本2元的、2本1元的买法种数为-=5可知,右边=()+()=故不同的买法种数为=266.答案:2667.从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为.(用数字作答)解析:若不选0,则可组成没有重复数字的四位数的个数为=72.若选0,则可组成没有重复数字的四位数的个数为=108.则共可组成没有重复数字的四位数的个数为108+72=180.答案:1808.从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人,则不同的安排方案共有种.(用数字作答)解析:第一步安排周六有种方法,第二步安排周日有种方法,故不同的安排方案共有=140种.答案:1409.用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个.(用数字作答)解析:分两种情况:第一类:个位、十位和百位上各有一个偶数,有=90个.第二类:个位、十位和百位上共有两个奇数一个偶数,有=234个,共有90+234=324个.答案:32410.8人排成一排,其中甲、乙、丙3人中有2人相邻,问这3人不同时排在一起的排法有多少种?解:先排甲、乙、丙以外的5人有种排法;再从甲、乙、丙3人中选2人排在一起并插入已排好的5人的6个间隔中有种排法,余下的1人可以插入另外5个间隔中有种排法,由分步乘法计数原理知,共有=21600种排法.11.(1)求证:+2--;(2)解:方程:3--(1)证明由组合数的性质-----=左边.右边=左边,所以原式成立.(2)解:原式可变形为3=5,--即----=5(x-4)(x-5),所以(x-3)(x-6)=5×4×2=8×5.所以x=11或x=-2(舍去负根).经检验,x=11符合题意,所以方程的解为x=11.能力提升15.个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子中至少有一个球,若甲球必须放入A盒,则不同的放法种数是()A.120B.72C.60D.36解析:将甲球放入A盒后分两类:一类是除甲球外,A盒还放其他球,共=24种放法;另一类是A盒中只有甲球,则其他4个球放入另外三个盒中,有=36种放法.故总的放法有24+36=60种.答案:C2.某科技小组有6名学生,现从中选出3人去参加展览,至少有1名女生入选的不同选法有16种,则该小组中的女生人数为()A.2B.3C.4D.5解析:设男生有x人,则女生有(6-x)人.依题意得=16,即x(x-1)(x-2)+16×6=6×5×4.解得x=4,故女生有2人.答案:A3.已知一组曲线y=ax3+bx+1,其中a为2,4,6,8中的任意一个,b为1,3,5,7中的任意一个.现从这些曲线中任取两条,它们在x=1处的切线相互平行的组数为()A.9B.10C.12D.14解析:y'=ax2+b,曲线在x=1处切线的斜率k=a+b.切线相互平行,则需它们的斜率相等,因此按照在x=1处切线的斜率的可能取值可分为五类完成.第一类:a+b=5,则a=2,b=3;a=4,b=1.故可构成两条曲线,有组.第二类:a+b=7,则a=2,b=5;a=4,b=3;a=6,b=1.可构成三条曲线,有组.第三类:a+b=9,则a=2,b=7;a=4,b=5;a=6,b=3;a=8,b=1.可构成四条曲线,有组.第四类:a+b=11,则a=4,b=7;a=6,b=5;a=8,b=3.可构成三条曲线,有组.第五类:a+b=13,则a=6,b=7;a=8,b=5.可构成两条曲线,有组.故共有=14组曲线,它们在x=1处的切线相互平行.答案:D4.考察正方体6个面的中心,甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6个点中任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于()A B C D解析:甲、乙各能连成=15条直线,如图,其中有6对平行线,所求概率P=故选D.答案:D5.如图,一只电子蚂蚁在网格线上由原点O(0,0)出发,沿向上或向右方向爬至点(m,n)(m,n∈N*),记可能的爬行方法总数为f(m,n),则f(m,n)=.解析:从原点O出发,只能向上或向右方向爬行,记向上为1,向右为0,则爬到点(m,n)需m个0和n个1.这样爬行方法总数f(m,n)是m个0和n个1的不同排列方法数.m个0和n个1共占(m+n)个位置,只要从中选取m个放0即可.故f(m,n)=答案:6.如图,工人在安装一个正六边形零件时,需要固定六个位置的螺丝,第一阶段,首先随意拧一个螺丝,接着拧它对角线上的(距离它最远的,下同)螺丝,再随意拧第三个螺丝,第四个也拧它对角线上的螺丝,第五个和第六个以此类推,但每个螺丝都不要拧死;第二阶段,将每个螺丝拧死,但不能连续拧相邻的2个螺丝.则不同的固定方式有种.(用数字作答)答案:28807.在如图所示的四棱锥中,顶点为P,从其他的顶点和各棱中点中取3个,使它们和点P在同一平面内,则不同的取法种数为.(用数字作答)解析:满足要求的点的取法可分为三类:第一类,在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点,有4种取法;第二类,在两个对角面上除点P外任取3点,有2种取法;第三类,过点P的侧棱中,每一条上的三点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面,有4种取法.因此,满足题意的不同取法共有4+2+4=56种.答案:56★8.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,求与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数.解:与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类:第一类,与信息0110恰有两个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选2个位置相同,其他2个不同有=6个信息.第二类,与信息0110恰有一个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选1个位置相同,其他3个不同有=4个信息.第三类,与信息0110没有一个对应位置上的数字相同,即4个位置中对应数字都不同,有=1个信息.由分类加法计数原理知,与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为6+4+1=11.★9.在6名内科医生和4名外科医生中,内科主任和外科主任各1名,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法?(1)有3名内科医生和2名外科医生;(2)既有内科医生,又有外科医生;(3)至少有1名主任参加;(4)既有主任,又有外科医生.解:(1)先选内科医生有种选法,再选外科医生有种选法,故选派方法的种数为=120.(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,易得出选派方法的种数为=246.若从反面考虑,则选派方法的种数为=246.(3)分两类:一是选1名主任有种方法;二是选2名主任有种方法,故至少有1名主任参加的选派方法的种数为=196.若从反面考虑:至少有1名主任参加的选派方法的种数为=196.(4)若选外科主任,则其余可任选,有种选法.若不选外科主任,则必选内科主任,且剩余的四人不能全选内科医生,有种选法.故有选派方法的种数为=191.。

人教A版高中数学选修2-3全册同步课时练习1．1计数原理第一课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理填一填一、分类加法计数原理1．分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．2．分类加法计数原理的推广：完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……在第n类方案中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．二、分步乘法计数原理1．分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．2．分步乘法计数原理的推广：完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．三、分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别1．分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事．2．分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个判一判判断(1．在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(×)2．在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．(√)3．在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(√)4．在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．(×)想一想1.提示：两个计数原理主要解决完成一件事情的方法数问题．2．在实际问题中如何判断到底是用分类加法计数原理还是用分步乘法计数原理？提示：关键在于看这种方法是能完成这件事还是完成这件事的一步，能独立完成这件事用分类加法计数原理，只能完成一步用分步乘法计数原理．3．从甲地到乙地有3班汽车，两班火车，则从甲地到乙地有多少种不同方法？提示：从甲地到乙地，可以选择乘坐汽车和火车两类办法，应用分类加法计数原理，汽车有3种，火车有2种，共有3＋2＝5种方法．4．从甲地到乙地先乘火车，后乘汽车，火车有2趟，汽车有3班，从甲到乙有多少种到达方法？提示：完成从甲地到乙地这件事，分两步，坐火车再坐汽车，分步完成，应用分步乘法计数原理，共有2×3＝6种方法．思考感悟：练一练1.5位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为________．解析：由分类加法计数原理可得，有7＋5＝12种不同的选法．答案：122．一个科技小组有3名男同学，5名女同学，从中任选1名同学参加学科竞赛，不同的选派方法共有________种．解析：任选1名同学参加学科竞赛，有两类方案：第一类，从男同学中选取1名参加学科竞赛，有3种不同的选法；第二类，从女同学中选取1名参加学科竞争，有5种不同的选法．由分类加法计数原理得，不同的选派方法共有3＋5＝8(种)．答案：83．在平面直角坐标系内，若点P(x，y)的横、纵坐标均在{0,1,2,3}内取值，则不同的点P有________个．解析：确定点P的坐标分两步，即分布确定点P的横坐标与纵坐标．第一步，确定横坐标，从0,1,2,3四个数字中选一个，有4种方法；第二步，确定纵坐标，从0,1,2,3四个数字中选一个，也有4种方法．根据分步乘法计数原理，所有不同的点P的个数为4×4＝16.答案：164．人们习惯把最后一位是6的多位数叫作“吉祥数”，则无重复数字的四位吉祥数(首位不能是零)共有________个．解析：第一步，确定千位，除去0和6，有8种不同的选法；第二步，确定百位，除去6和千位数字外，有8种不同的选法；第三步，确定十位，除去6和千位、百位上的数字外，有7种不同的选法．故共有8×8×7＝448个不同的“吉祥数”．答案：448知识点一分类加法计数原理1.2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是()A．8 B．15C．16 D．30解析：运用分类加法计数原理可得，不同选法的种数是5＋3＝8.答案：A2．在一宝宝面前摆着4件学习用品，3件生活用品，4件娱乐用品，若他只抓其中的一件物品，则他抓的结果有________种．解析：抓物品的不同结果分三类，由分类加法计数原理，得共有4＋3＋4＝11(种)．答案：3.现有套，那么不同的配法种数为()A．7 B．12C．64 D．81解析：要完成配套需分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12(种)不同的配法．答案：B4．某乒乓球队里有男队员6人，女队员5人，从中选取男、女队员各一人组成混合双打队，不同的组队总数有()A．11种B．30种C．56种D．65种解析：先选1男有6种方法，再选1女有5种方法，故共有6×5＝30种不同的组队方法．故选B项．5.的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？解析：分三类：(1)选出的是高一、高二学生，有5×6＝30(种)选法；(2)选出的是高一、高三学生，有5×4＝20(种)选法；(3)选出的是高二、高三学生，有6×4＝24(种)选法．由分类加法计数原理，可得共有N＝30＋20＋24＝74(种)不同的选法．6．现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？解析：(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法．所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．(2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长．所以，共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5 040(种)．(3)分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．所以，共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．7．某单位职工义务献血，在体验合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？解析：从O型血的人中选1人有28种不同的选法；从A型血的人中选1人有7种不同的选法；从B型血的人中选1人有9种不同的选法；从AB 型血的人中选1人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理，有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理，有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．基础达标 一、选择题1．一楼到二楼有4个通道，二楼到三楼有2个通道，则从一楼到三楼的不同走法有( )A ．2种B ．4种C ．6种D ．8种解析：根据分步乘法计数原理，从一楼到三楼的不同走法有4×2＝8(种)．故选D 项． 答案：D2．甲、乙两个班级分别有29名、30名学生，从两个班中选一名学生，则( )A ．有29种不同的选法B ．有30种不同的选法C ．有59种不同的选法D ．有29×30种不同的选法解析：从两个班中选一名学生，可以从甲班中选，也可以从乙班中选，分两类，利用分类加法计数原理得不同的选法有29＋30＝59(种)．答案：C3．已知x ∈{1,2,3,4}，y ∈{5,6,7,8}，则xy 可表示不同值的个数为( )A ．16B ．4C ．8D ．15解析：完成xy 这件事分两步走，第一步：从集合{1,2,3,4}中选一个数，共有4种选法；第二步：从集合{5,6,7,8}中选一个数，共有4种选法，共有4×4＝16种选法．其中3×8＝4×6，所以xy 可表示的不同值的个数为15.答案：D4．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )A ．56B ．65C.5×6×5×4×3×22D ．6×5×4×3×2 解析：每位同学都有5种选择，则6名同学共有56种不同的选法，故选A 项．答案：A5．已知集合M ＝{1，－2,3}，N ＝{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，可得直角坐标系中第一、二象限不同点的个数是( )A ．18B ．16C ．14D ．10解析：分两类：第一类M 中取横坐标，N 中取纵坐标，共有3×2＝6(个)第一、二象限的点；第二类M 中取纵坐标，N 中取横坐标，共有2×4＝8(个)第一、二象限的点．综上可知，共有6＋8＝14(个)不同的点．答案：C6．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()A．3 B．4C．6 D．8解析：以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9.以2为首项的等比数列为2,4,8.以4为首项的等比数列为4,6,9.把这4个数列的顺序颠倒，又得到4个数列，所以所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8(个)．答案：D7．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有()A．24种B．16种C．12种D．10种解析：完成该任务可分为四类，从每一个方向的入口进入都可作为一类，如图，从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12种不同的行车路线，故选C 项．答案：C二、填空题8．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有________种．解析：有2个面不相邻即有一组对面，所以3个面中有2个面不相邻的选法有3×4＝12(种)．答案：129．甲有3本不同的书，乙去借阅，并且至少借1本，则不同借法的种数为________．(用数字作答)解析：由题意知可分为三类：第一类，借一本，共有3种方法；第二类，借两本，共有3种方法；第三类，借三本，共有1种方法．所以不同借法的种数为3＋3＋1＝7.答案：710．直线方程Ax＋By＝0，若从0,1,2,3,5,7这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B的值，则可表示________条不同的直线．解析：若A或B中有一个为零时，有2条；当AB≠0时，有5×4＝20条，则共有20＋2＝22(条)，即所求的不同的直线共有22条．答案：2211．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2，…，9}且P Q，把满足上述条件的一对有序整数(x，y)作为一个点，这样的点的个数是________．解析：当x＝2时，y可取3,4,5,6,7,8,9，共有7个点．当x＝y时，y可取3,4,5,6,7,8,9，共有7个点．所以这样的点的个数为7＋7＝14.答案：1412．将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有________种．解析：由题意知本题是一个分类计数问题，第一格填2，则第二格有A13，第三、四格自动对号入座，不用排列；第一格填3，则第三格有A13，第二、四格自动对号入座，不用排列；第一格填4，则第四格有A13，第二、三格自动对号入座，不用排列；根据分类计数原理知共有3A13＝9.答案：9三、解答题13．某节目中准备了两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？解析：抽奖过程分三步完成，考虑到幸运之星可分别出现在两个信箱中，故可分两种情形考虑，分两大类：(1)幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，再在两箱中各定一名幸运伙伴有30×29×20＝17 400种结果．(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400种结果．因此共有不同结果17 400＋11 400＝28 800种．14．用1,2,3,4四个数字组成可有重复数字的三位数，这些数从小到大构成数列{a n }．(1)这个数列共有多少项？(2)若a n ＝341，求n 的值．解析：(1)由题意，知这个数列的项数就是由1,2,3,4四个数字组成的可有重复数字的三位数的个数．由于每个数位上的数都有4种取法，由分步乘法计数原理，得满足条件的三位数的个数为4×4×4＝64，即数列{a n }共有64项．(2)比341小的数分为两类：第一类，百位上的数是1或2，有2×4×4＝32个三位数；第二类，百位上的数是3，十位上的数可以是1,2,3中的任一个，个位上的数可以是1,2,3,4中的任一个，有3×4＝12个三位数，所以比341小的三位数的个数为32＋12＝44，因此341能力提升15.某出版社的7还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法？解析：首先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”“只会印刷”“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准．下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类：第一类：2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步乘法计数原理知共有3×1＝3种选法．第二类：2人中被选出一人，有2种选法．若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步乘法计数原理知共有2×3×1＝6种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步乘法计数原理知共有2×3×2＝12种选法．再由分类加法计数原理知共有6＋12＝18种选法．第三类：2人全被选出，同理共有16种选法．所以共有3＋18＋16＝37种选法．16．某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场得3分；平一场得1分；负一场得0分．一球队打完15场，积分33分．若不考虑顺序，问该队胜、负、平的情况共有多少种．解析：总积分的来源分为胜、平、负3类，可以考虑用分类加法计数原理．设该队胜x 场，平y 场，则负(15－x －y )场，其中x ，y ∈N .由题意，得3x ＋y ＝33，又因为y ＝33－3x ≥0，所以x ≤11且x ＋y ≤15，所以有如下三种情况：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝11，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝10，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝6. 故该队胜、负、平的情况共有3种．第二课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用填一填1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别和联系(1)联系：分类加法计数原理与分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题．(2)区别：分类加法计数原理针对的是分类问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事．分步乘法计数原理针对的是分步问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成之后才算做完这件事．2．应用两个计数原理解决计数问题的标准(1)分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到步骤完整，步与步之间要相互独立，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到总数.判一判判断(1．一个科技小组中有4名女同学，5名男同学，从中任选一名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法9种．(√)2．一个科技小组中有4名女同学，5名男同学若从中选任一名女同学和一名男同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法20种．(√)3．某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任星期一早晨升旗任务，安排方法共有14种．(√)4．在一次运动会上有四项比赛，冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有43种．(×)5．3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有35种．(×) 6．有三只口袋装有小球，一只装有5个白色小球，一只装有6个黑色小球，一只装有7个红色小球，若每次从中取两个不同颜色的小球，共有36种不同的取法．(×) 7．由1,2,3,4想一想1.的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？某同学解答如下：每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×2＝6种不同的信号；每次升3面旗可组成3×2×1＝6种不同的信号，根据分类加法计数原理知，共有不同信号3＋6＋6＝15种．他解答的对么，问题出在哪里？提示：每次升起2面或3面旗时，颜色可以相同．每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×3＝9种不同的信号；每次升3面旗可组成3×3×3＝27种不同的信号；根据分类加法计数原理得，共可组成：3＋9＋27＝39种不同的信号．审题时要细致，把题意弄清楚．本题中没有规定升起旗子的颜色不同，故既要考虑升起旗子的面数，又要考虑其颜色，不可偏废遗漏．2．甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，则不同的冠军获得情况有34还是43种？提示：要完成的“一件事”是“争夺3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生”．可先举例说出其中的一种情况，如数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军分别是甲、甲、丙，可见研究的对象是“3门学科”，只有3门学科各产生1名冠军，才完成了这件事，而4名同学不一定每人都能获得冠军，故完成这件事分三步．第1步，产生第1个学科冠军，它一定被其中1名同学获得，有4种不同的获得情况；第2步，产生第2个学科冠军，因为夺得第1个学科冠军的同学还可以去争夺第2个学科的冠军，所以第2个学科冠军也是由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况；第3步，同理，产生第3个学科冠军，也有4种不同的获得情况．由分步乘法计数原理知，共有4×4×4＝43＝64种不同的冠军获得情况．此类问题是一类元素允许重复选取的计数问题，可以用分步乘法计数原理来解决，关键是明确要完成的一件事是什么．也就是说，用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题时，哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据．思考感悟：练一练1.(a1＋a2)(b1＋b2)(c123A．9 B．12C．18 D．24解析：由分步乘法计数原理得，完全展开后的项数为2×2×3＝12.答案：B2．某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有()A．6种B．7种C．8种D．9种解析：可按女生人数分类：若选派一名女生，有2×3＝6种；若选派2名女生，则有3种．由分类加法计数原理，共有9种不同的选派方法．答案：D3．小张正在玩“QQ农场”游戏，他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物)，若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植方案共有________种．解析：当第一块地种茄子时，有4×3×2＝24种不同的种法；当第一块地种辣椒时，有4×3×2＝24种不同的种法，故共有48种不同的种植方案．答案：484．如图所示，从点A沿圆或三角形的边运动到点C，则不同的走法有________种．解析：由A直接到C有2种不同的走法，由A经点B到C有2×2＝4种不同的走法．因此由分类加法计数原理共有2＋4＝6种不同走法．答案：6知识点一 选取与分配问题1.3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？解析：由题意9人中既会英语又会日语的“多面手”有1人．则可分三类：第一类：“多面手”去参加英语时，选出只会日语的一人即可，有2种选法；第二类：“多面手”去参加日语时，选出只会英语的一人即可，有6种选法；第三类：“多面手”既不参加英语又不参加日语，则需从只会日语和只会英语中各选一人，有2×6＝12种方法．故共有2＋6＋12＝20种选法．2．有4位老师在同一年级的4个班级中各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是( )A ．11B ．10C ．9D ．8解析：法一：设四个班级分别是A ，B ，C ，D ，它们的老师分别是a ，b ，c ，d ，并设a 监考的是B ，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a 监考C ，D 时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．这样，由分类加法计数原理知共有3＋3＋3＝9种不同的安排方法．法二：让a 先选，可从B ，C ，D 中选一个，即有3种选法．若选的是B ，则b 从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，根据分步乘法计数原理知，共有3×3×1×1＝9种不同安排方法．答案：C 知识点二 组数问题3.从lg a －lg b 的不同值的个数是( )A ．9B ．10C ．18D ．20解析：lg a －lg b ＝lg a b ，lg a b 有多少个不同值，只要看a b不同值的个数即可．分两步分别取出a ，b ；第1步，从5个数中取出1个数作为a ，有5种取法；第2步，从剩下的4个数中取出1个数作为b ，有4种取法．根据分步乘法计数原理，共有5×4＝20(种)取法．由于13＝39，31＝93，故lg a －lg b 的不同值的个数为20－2＝18. 答案：C4．用0,1,2,3,4五个数字，(1)可以排出多少个三位数字的电话号码？(2)可以排成多少个三位数？(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？解析：(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125种．(2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100种．(3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12种排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18种排法．因而有12＋18＝30种排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.知识点三涂色问题5.如图，用4种不同的颜色涂图中的矩形A，B，C，D，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有()A BCDA.72种B．48种C．24种D．12种解析：法一：先分两类．一是四种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有两种涂法，D有一种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用三种颜色，这时A，B，C 的涂法有4×3×2＝24(种)，D只要不与C同色即可，故D有两种涂法．故不同的涂法共有24＋24×2＝72(种)．故选A.法二：分步先给A涂4种方法，再给B涂3种，再给C涂2种，最后涂D有3种方法，完成4步，完成涂色共有4×3×2×3＝72种，故选A项．答案：A6．如图所示，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法种数为() A．96 B．84C．60 D．48解析：依次种A，B，C，D 4块，当C与A种同一种花时，有4×3×1×3＝36种种法；当C与A所种的花不同时，有4×3×2×2＝48种种法．由分类加法计数原理知，不同的种法种数为36＋48＝84.知识点四计数原理在几何中的应用7.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有()A．24对B．30对C．48对D．60对解析：如图，在上底面中选B1D1，四个侧面中的面对角线都与它成60°，共8对，同样A1C1对应的也有8对，下底面也有16对，共有32对；左右侧面与前后侧面中共有16对．所以全部共有48对．答案：C8．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，a，b∈M，P(a，b)表示平面上的点．(1)P可表示平面上多少个不同的点？(2)P可表示平面上多少个第二象限内的点？(3)P可表示多少个不在直线y＝x上的点？解析：(1)确定一点坐标分两步，先确定横坐标有6种方法，再确定纵坐标有6种方法，所以共有6×6＝36种不同坐标．(2)确定a有3种，确定b有两种，根据分步计数原理，第二象限内点的个数是3×2＝6.(3)点P(a，b)在直线y＝x上的充要条件是a＝b.因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y＝x上的点有6个．结合(1)可得不在直线y＝x上的点共有36－6＝30(个)．基础达标一、选择题1．由数字0,1,2,3,4可组成无重复数字的三位数的个数是()A．60B．48C．24 D．10解析：分3步．第一步：首位数有4种不同的选法；第二步：十位数字有4种不同的选法；第三步：个位数字有3种不同的选法．由分步乘法计数原理知可以组成无重复数字的三位数的个数是4×4×3＝48.故选B项．答案：B2．如图所示，电路中有4个电阻和一个电流表，若没有电流通过电流表，其原因仅因电阻断路的可能性共有()A．9种B．10种C．11种D．12种解析：分两类：第1类，R1断路时，若R4断路，R2，R3有4种可能，若R4不断路，则R2，R3至少有一个断路，有3种可能，故R1断路时有7种可能．第2类，R1不断路时，R4必断路，此时，R2，R3共有4种可能，则共有4＋7＝11种可能．故选C项．答案：C3．(a1＋a2＋a3＋a4)·(b1＋b2)·(c1＋c2＋c3)展开后共有不同的项数为()A．9 B．12C．18 D．24解析：由分步乘法计数原理得共有不同的项数为4×2×3＝24.故选D项．答案：D4．我们把各位数之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有()A．18个B．15个C．12个D．9个解析：依题意知，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4,0,0组成3个数，分别为400,040,004；由3,1,0组成6个数，分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成3个数，分别为220,202,022；由2,1,1组成3个数，分别为211,121,112，共计3＋6＋3＋3＝15个．答案：B。

人教A版高中数学选修2-3全册课时同步作业1、分类加法计数原理与分步乘法计数原理2、分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用3、排列与排列数公式4、排列的应用5、组合与组合数公式6、组合的应用7、二项式定理8、“杨辉三角”与二项式系数的性质9、离散型随机变量10、离散型随机变量的分布列11、条件概率12、事件的相互独立性13、独立重复试验与二项分布14、离散型随机变量的均值15、离散型随机变量的方差16、正态分布17、回归分析的基本思想及其初步应用1、分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、题组对点训练对点练一分类加法计数原理的应用1．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车2班，轮船3班，某人从甲地到乙地，共有不同的走法种数为( )A．13 B．16C．24 D．48解析：选A 由分类加法计数原理可知，不同走法种数为8＋2＋3＝13.2．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )A．40 B．16C．13 D．10解析：选C 分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．3．某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有( )A ．3种B ．6种C ．7种D ．9种解析：选C 分3类：买1本好书，买2本好书和买3本好书，各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7(种)．4．椭圆x 2m ＋y 2n＝1的焦点在y 轴上，且m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，则满足题意的椭圆的个数为________．解析：因为焦点在y 轴上，所以0＜m ＜n ，考虑m 依次取1,2,3,4,5时，符合条件的n 值分别有6,5,4,3,2个，由分类加法计数原理知，满足题意的椭圆的个数为6＋5＋4＋3＋2＝20.答案：205．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？解：法一：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数为8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36.法二：按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理，满足条件的两位数的个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36.对点练二 分步乘法计数原理的应用6．如图，一条电路从A 处到B 处接通时，可构成线路的条数为( )A ．8B ．6C ．5D ．3解析：选B 从A 处到B 处的电路接通可分两步：第一步，前一个并联电路接通有2条线路；第二步，后一个并联电路接通有3条线路．由分步乘法计数原理知电路从A 处到B 处接通时，可构成线路的条数为2×3＝6，故选B.7．给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A ，B ，后两个字符用a ，b ，c (允许重复)，则不同编号的书共有( )A ．8本B ．9本C ．12本D ．18本解析：选D 完成这件事可以分为三步．第一步确定首字符，共有2种方法；第二步确定第二个字符，共有3种方法；第三步确定第三个字符，共有3种方法．所以不同编号的书共有2×3×3＝18(本)，故选D.8．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有( )A．30个B．42个C．36个D．35个解析：选C 要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)有6种方法，第二步确定a 有6种方法，故由分步乘法计数原理知共有6×6＝36个虚数．9．某班元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为________．解析：将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有6×7＝42种插入方法．答案：4210．某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，问可以配成多少种不同的套餐？解：完成一荤一素一汤的套餐分三步：第一步，配一个荤菜有6种选择；第二步，配一个素菜有5种选择；第三步，配一个汤有3种选择．根据分步乘法计数原理，共可配成6×5×3＝90种不同的套餐．对点练三两个计数原理的综合应用11．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？解：从O型血的人中选1人有28种不同的选法；从A型血的人中选1人有7种不同的选法；从B型血的人中选1人有9种不同的选法；从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理．有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理．有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．12．某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息．(1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？(2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？解：(1)小明爸爸选凳子可以分两类：第一类，选东面的空闲凳子，有8种坐法；第二类，选西面的空闲凳子，有6种坐法．根据分类加法计数原理，小明爸爸共有8＋6＝14种坐法．(2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：第一步，小明先就坐，从东西面共8＋6＝14个凳子中选一个坐下，共有14种坐法；(小明坐下后，空闲凳子数变成13)第二步，小明爸爸再就坐，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，共13种坐法．由分步乘法计数原理，小明与爸爸分别就坐共有14×13＝182种坐法．二、综合过关训练1．某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有( )A．27种B．36种C．54种D．81种解析：选C 小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，所以由分步乘法计数原理知，共有2×3×3×3＝54种不同的报名方法，故选C.2．有5列火车停在某车站并排的5条轨道上，若火车A不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有( )A．96种B．24种C．120种D．12种解析：选A 先排第1道，有4种排法，第2,3,4,5道各有4,3,2,1种，由分步乘法计数原理知共有4×4×3×2×1＝96种停车方法．3．将3封不同的信投到4个不同的邮箱，则不同的投法种数为( )A．7 B．12C．81 D．64解析：选D 第一步，第一封信可以投到4个邮箱，有4种投法；第二步，第二封信可以投到4个邮箱，有4种投法；第三步，第三封信可以投到4个邮箱，有4种投法．根据分步乘法计数原理，得不同的投法的种数为4×4×4＝64，选D.4．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A．3 B．4C．6 D．8解析：选D 以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9.以2为首项的等比数列为2,4,8.以4为首项的等比数列为4,6,9.把这4个数列的顺序颠倒，又得到4个等比数列，∴所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8(个)．5．定义集合A与B的运算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}．若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B的元素个数为( )A．34B．43C．12 D．以上都不对解析：选C 由分步乘法计数原理可知，A*B中有3×4＝12个元素．6．3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多1张，则所有分法的种数是________．解析：第一步，分第1张电影票，有10种分法；第二步，分第2张电影票，有9种分法；第三步，分第3张电影票，有8种分法，共有10×9×8＝720种分法．答案：7207．已知集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，问：(1)有多少个不同的数对？(2)其中m>n的数对有多少个？解：(1)∵集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，先选出m有5种结果，再选出n有5种结果，根据分步乘法计数原理知共有5×5＝25个不同的数对．(2)在(1)中的25个数对中m>n的数对可以分类来解．当m＝2时，n＝1，有1个数对；当m＝4时，n＝1,3，有2个数对；当m＝6时，n＝1,3,5，有3个数对；当m＝8时，n＝1,3,5,7，有4个数对；当m＝10时，n＝1,3,5,7,9，有5个数对．综上所述共有1＋2＋3＋4＋5＝15个数对．8．现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？解：(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14种不同的选法．(2)分为三步：国画、油画、水彩画分别有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70种不同的选法．(3)分为三类：第一类，一幅选自国画，一幅选自油画．由分步乘法计数原理知，有5×2＝10种不同的选法；第二类，一幅选自国画，一幅选自水彩画．由分步乘法计数原理知，有5×7＝35种不同的选法；第三类，一幅选自油画，一幅选自水彩画．由分步乘法计数原理知，有2×7＝14种不同的选法．所以共有10＋35＋14＝59种不同的选法．2、分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用一、题组对点训练对点练一组数问题1．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A．243 B．252C．261 D．279解析：选B 由分步乘法计数原理知，用0,1，…，9十个数字组成三位数(可用重复数字)的个数为9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648，则组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.故选B.2．由数字1,2,3,4组成的三位数中，各位数字按严格递增(如“134”)或严格递减(如“421”)顺序排列的数的个数是( )A．4 B．8C．16 D．24解析：选B 由题意分析知，严格递增的三位数只要从4个数中任取3个，共有4种取法；同理严格递减的三位数也有4个，所以符合条件的数的个数为4＋4＝8.3．由1,2,3,4,5,6,7,8,9可以组成多少个无重复数字的三位偶数与三位奇数？解：当个位上的数是偶数时，该三位数就是偶数．可分步完成：第一步，先排个位，个位上的数只能取2,4,6,8中的1个，有4种取法；第二步，排十位，从剩余的8个数字中取1个，有8种取法；第三步，排百位，从剩余的7个数字中取1个，有7种取法．所以可以组成无重复数字的三位偶数的个数为4×8×7＝224.当个位上的数是奇数时，该三位数就是奇数．可分步完成：第一步，先排个位，个位上的数只能取1,3,5,7,9中的1个，有5种取法；第二步，排十位，从剩余的8个数字中取1个，有8种取法；第三步，排百位，从剩余的7个数字中取1个，有7种取法．所以可以组成无重复数字的三位奇数的个数为5×8×7＝280.对点练二涂色问题4．如图所示，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案最多有( )A．180种B．240种C．360种D．420种解析：选D 区域2,3,4,5地位相同(都与其他4个区域中的3个区域相邻)，故应先种区域1，有5种种法，再种区域2，有4种种法，接着种区域3，有3种种法，种区域4时应注意：区域4与区域2同色时区域4有1种种法，此时区域5有3种种法；区域4与区域2不同色时区域4有2种种法，此时区域5有2种种法，故共有5×4×3×(3＋2×2)＝420种栽种方案．故选D.5.如图所示，“中国印”被中间的白色图案分成了5个区域，现给它着色，要求相邻区域不能用同一颜色，如果只有4种颜色可供使用，那么不同的着色方法有( )A．120种B．72种C．48种D．24种解析：选B 以所选颜色的种数为标准，可分两类进行：第一类，用3种颜色有4×3×2＝24(种)；第二类，用4种颜色有4×3×2×2＝48(种)．∴共有24＋48＝72种不同的方法，故选B.6.用6种不同颜色的彩色粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔．问：该板报有多少种书写方案？解：第一步，选英语角用的彩色粉笔，有6种不同的选法；第二步，选语文学苑用的彩色粉笔，不能与英语角用的颜色相同，有5种不同的选法；第三步，选理综视界用的彩色粉笔，与英语角和语文学苑用的颜色都不能相同，有4种不同的选法；第四步，选数学天地用的彩色粉笔，只需与理综视界的颜色不同即可，有5种不同的选法，共有6×5×4×5＝600种不同的书写方案．对点练三抽取(分配)问题7．某乒乓球队里有6名男队员，5名女队员，从中选取男、女队员各一名组成混合双打队，则不同的组队方法的种数为( )A．11 B．30C．56D．65解析：选B 先选1名男队员，有6种方法，再选1名女队员，有5种方法，故共有6×5＝30种不同的组队方法．8．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有( ) A．4种B．5种C．6种D．7种解析：选A 共有4种方法．列举如下：1,4,5；2,4,4；2,3,5；3,3,4.9．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7个会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？解：“完成一件事”指“从9人中选出会英语与日语的各1人”，故需分三类：①既会英语又会日语的不当选；②既会英语又会日语的按会英语当选；③既会英语又会日语的按会日语当选．既会英语又会日语的人数为7＋3－9＝1，仅会英语的有6人，仅会日语的有2人．先分类后分步，从仅会英、日语的人中各选1人有6×2种选法；从仅会英语与英、日语都会的人中各选1人有6×1种选法；从仅会日语与英、日语都会的人中各选1人有2×1种选法．根据分类加法计数原理，共有6×2＋6×1＋2×1＝20种不同选法．二、综合过关训练1．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A．24 B．18C．12 D．9解析：选B 分两步：第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路径．故选B.2．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．18C．12 D．6解析：选B ①当从0,2中选取2时，先排2，再排1,3,5中选出的两个数，共有2×3×2＝12个奇数．②当从0,2中选取0时，必须排在十位，只要从1,3,5中选出两个数排在个位、百位即可，共有3×2＝6个奇数．由分类加法计数原理，知共有12＋6＝18个奇数．3.一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，则不重复(除交汇点O外)的不同游览线路有( )A．6种B．8种C．12种D．48种解析：选D 每个景区都有2条线路，所以游览第一个景点有6种选法，游览第二个景点有4种选法，游览第三个景点有2种选法，故共有6×4×2＝48种不同的游览线路．4．用0,1,2,3,4,5六个数字组成无重复数字的四位数，比3 542大的四位数的个数是( )A．360 B．240C．120 D．60解析：选C 因为3 542是能排出的四位数中千位为3的最大的数，所以比3 542大的四位数的千位只能是4或5，所以共有2×5×4×3＝120个比3 542大的四位数．5．用数字1,2组成一个四位数，则数字1,2都出现的四位偶数有________个．解析：由四位数是偶数，知最后一位是2.在四位数中，当出现1个1时，有1 222,2 122,2 212，共3个，当出现2个1时，有1 122,1 212,2 112，共3个，当出现3个1时，只有1 112这1个四位偶数，故数字1,2都出现的四位偶数有3＋3＋1＝7(个)．答案：76．直线方程Ax＋By＝0，若从0,1,2,3,5,7这六个数字中每次取两个不同的数作为系数A、B的值，则方程表示不同直线的条数是________．解析：若A＝0，则B从1,2,3,5,7中任取一个，均表示直线y＝0；同理，当B＝0时，表示直线x＝0；当A≠0且B≠0时，能表示5×4＝20条不同的直线．故方程表示直线的条数是1＋1＋20＝22.答案：227.有4种不同的作物可供选择种植在如图所示的4块试验田中，每块种植一种作物，相邻的试验田(有公共边)不能种植同一种作物，共有多少种不同的种植方法？解：法一：第一步：种植A试验田有4种方法；第二步：种植B试验田有3种方法；第三步：若C试验田种植的作物与B试验田相同，则D试验田有3种方法，此时有1×3＝3种种植方法．若C试验田种植的作物与B试验田不同，则C试验田有2种种植方法，D试验田也有2种种植方法，共有2×2＝4种种植方法．由分类加法计数原理知，有3＋4＝7种种植方法．第四步：由分步乘法计数原理有N＝4×3×7＝84种不同的种植方法．法二：(1)若A、D种植同种作物，则A、D有4种不同的种法，B有3种种植方法，C 也有3种种植方法，由分步乘法计数原理，共有4×3×3＝36种种植方法．(2)若A、D种植不同作物，则A有4种种植方法，D有3种种植方法，B有2种种植方法，C有2种种植方法，由分步乘法计数原理，共有4×3×2×2＝48种种植方法．综上所述，由分类加法计数原理，共有N＝36＋48＝84种种植方法．8．用1,2,3,4四个数字组成可有重复数字的三位数，这些数从小到大构成数列{a n}．(1)这个数列共有多少项？(2)若a n＝341，求n的值．解：(1)由题意，知这个数列的项数就是由1,2,3,4四个数字组成的可有重复数字的三位数的个数．由于每个数位上的数都有4种取法，由分步乘法计数原理，得满足条件的三位数的个数为4×4×4＝64，即数列{a n}共有64项．(2)比341小的数分为两类：第一类，百位上的数是1或2，有2×4×4＝32个三位数；第二类，百位上的数是3，十位上的数可以是1,2,3中的任一个，个位上的数可以是1,2,3,4中的任一个，有3×4＝12个三位数．所以比341小的三位数的个数为32＋12＝44，因此341是这个数列的第45项，即n＝45.3、排列与排列数公式一、题组对点训练对点练一排列概念的理解1．下列问题是排列问题的是( )A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？D ．从1,2,3,4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？解析：选B 排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有B 中的问题是与顺序相关的，其他问题都与顺序无关，所以选B.2．从3个不同的数字中取出2个：①相加；②相减；③相乘；④相除；⑤一个为被开方数，一个为根指数．则上述问题为排列问题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 排列与顺序有关，故②④⑤是排列． 对点练二 利用排列数公式进行计算或证明 3．已知A 2n ＝132，则n 等于( ) A ．11 B ．12 C ．13D ．14解析：选B A 2n ＝n (n －1)＝132，即n 2－n －132＝0， 解得n ＝12或n ＝－11(舍去)． 4．A 312－A 310的值是( ) A ．480 B ．520 C ．600D ．1 320解析：选C A 312＝12×11×10＝1 320， A 310＝10×9×8＝720， 故A 312－A 310＝1 320－720＝600. 5．下列等式中不成立的是( ) A ．A 3n ＝(n －2)A 2n B.1nA n n ＋1＝A n －1n ＋1C ．n A n －2n －1＝A nn D.nn －mA m n －1＝A mn解析：选B A 中，右边＝(n －2)(n －1)n ＝A 3n 成立；C 中，左边＝n ×(n －1)× (2)n ×(n －1)×(n －2)×…×2×1＝A n n 成立；D 中，左边＝nn －m ×(n －1)！(n －m －1)！＝n ！(n －m )！＝A mn 成立；经验证只有B 不正确．6．计算下列各题： (1)A 66；(2)2A 58＋7A 48A 88－A 59；(3)若3A 3n ＝2A 2n ＋1＋6A 2n ，求n .解：(1)A 66＝6！＝6×5×4×3×2×1＝720.(2)2A 58＋7A 48A 88－A 59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5＝1.(3)由3A 3n ＝2A 2n ＋1＋6A 2n ，得3n (n －1)(n －2)＝2(n ＋1)n ＋6n (n －1)． 因为n ≥3且n ∈N *， 所以3n 2－17n ＋10＝0. 解得n ＝5或n ＝23(舍去)．所以n ＝5.对点练三 简单的排列问题7．若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同工作，则选派方案共有( )A ．180种B ．360种C ．15种D ．30种解析：选B 问题为6选4的排列即A 46＝360.8．由数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位偶数的个数是( ) A ．12 B ．24 C ．36D ．48解析：选D 从2,4中取一个数作为个位数字，有2种取法，再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有A 34种，由分步乘法计数原理知组成无重复数字的四位偶数的个数为2×A 34＝48.9．沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备的不同的火车票的种数为( )A ．15B ．30C ．12D ．36解析：选B 只需分析每两个大站之间需要的火车票的种数即可．对于两个大站A 和B ，从A 到B 的火车票与从B 到A 的火车票不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此，每张火车票对应从6个不同元素(大站)中取出2个不同元素(起点站和终点站)的一种排列，所以问题归结为求从6个不同元素中每次抽出2个不同元素的排列数，故不同的火车票有A 26＝6×5＝30(种)．10．将A 、B 、C 、D 四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A 不排在第一，B 不排在第二，C 不排在第三，D 不排在第四．试写出他们四人所有不同的排法．解：由于A 不排在第一，所以第一只能排B 、C 、D 中的一个，据此可分为三类．由此可写出所有的排法为：BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA.11．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示多少种不同的信号？解：第1类，挂1面旗表示信号，有A13种不同方法；第2类，挂2面旗表示信号，有A23种不同方法；第3类，挂3面旗表示信号，有A33种不同方法．根据分类加法计数原理，可以表示的信号种数为A13＋A23＋A33＝3＋3×2＋3×2×1＝15.二、综合过关训练1．89×90×91×…×100可表示为( )A．A10100B．A11100C．A12100D．A13100解析：选C 最大数为100，共有12个连续整数的乘积，由排列数公式的定义可以得出．2．与A310·A77不相等的是( )A．A910B．81A88C．10A99D．A1010解析：选B A310·A77＝10×9×8×7！＝A910＝10A99＝A1010，81A88＝9A99≠A1010，故选B.3．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有( )A．12种B．24种C．48种D．120种解析：选B ∵同学甲只能在周一值日，∴除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，∴5名同学值日顺序的编排方案共有A44＝24(种)．4．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从2,3,4,5,6,9这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有( ) A．120个B．80个C．40个D．20个解析：选C 由题意知可按十位数字的取值进行分类：第一类，十位数字取9，有A25个；第二类，十位数字取6，有A24个；第三类，十位数字取5，有A23个；第四类，十位数字取4，有A22个．所以“伞数”的个数为A25＋A24＋A23＋A22＝40.故选C.5．由0,1,2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝对值等于7的四位数的个数是________．解析：当十位数字为0，千位数字为7时，四位数的个数是A28；当十位数字与千位数字为1,8或8,1时，四位数的个数是A28A22；当十位数字与千位数字为2,9或9,2时，四位数的个数是A28A22.故所求的四位数的个数是A28＋A28A22＋A28A22＝280.答案：2806.有3名大学毕业生，到5家公司应聘，若每家公司至多招聘1名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案．(用数字作答) 解析：将5家公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题，所以不同的招聘方案共有A35＝5×4×3＝60(种)．答案：607．有三张卡片，正面分别写着1,2,3三个数字，反面分别写着0,5,6三个数字，问这三张卡片可组成多少个三位数？解：先排列三张卡片，有A33×2×2×2种排法，0排在首位的个数为A22×2×2，则这三张卡片可以组成A33×2×2×2－A22×2×2＝40个三位数．8．某国的篮球职业联赛共有16支球队参加．(1)每队与其余各队在主客场分别比赛一次，共要进行多少场比赛？(2)若16支球队恰好8支来自北部赛区，8支来自南部赛区，为增加比赛观赏度，各自赛区分别采用(1)中的赛制决出赛区冠军后，再进行一场总冠军赛，共要进行多少场比赛？解：(1)任意两队之间要进行一场主场比赛及一场客场比赛，对应于从16支球队任取两支的一个排列，比赛的总场次是A216＝16×15＝240.(2)由(1)中的分析，比赛的总场次是A28×2＋1＝8×7×2＋1＝113.4、排列的应用一、题组对点训练对点练一数字排列问题1．用数字1,2,3,4,6可以组成无重复数字的五位偶数有( )A．48个B．64个C．72个D．90个解析：选C 有A13A44＝72个无重复数字的五位偶数．2．用0,1,2,3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数为________．解析：因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”，故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，其个数为A33＝6.答案：63．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数．(1)可组成多少个不同的四位数？(2)可组成多少个不同的四位偶数？(3)在所有的四位数中按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数为多少？解：(1)法一(直接法)：A15·A35＝300(个)．法二(间接法)：A46－A35＝300(个)．(2)法一(直接法)：因为0为特殊元素，故先考虑0.若0在个位有A35个；0不在个位时，从2,4中选一个放在个位，再从余下的四个数中选一个放在首位，有A12·A14·A24，故有A35＋A12·A14·A24＝156个不同的四位偶数．法二：(间接法)：从这六个数字中任取四个数字组成最后一位是偶数的排法，有A13·A35个，其中第一位是0的有A12·A24个．故适合题意的有A13·A35－A12A24＝156个不同的四位偶数．(3)1在首位的数的个数为A35＝60.2在首位且0在第二位的数的个数为A24＝12.2在首位且1在第二位的数的个数为A24＝12.以上四位数共有84个，故第85个数是2 301.对点练二排队问题4．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A．3×3! B．3×(3！)3C．(3！)4D．9!解析：选C 利用“捆绑法”求解．满足题意的坐法种数为A33(A33)3＝(3！)4.5．4名男生和4名女生并坐一排照相，女生要排在一起，不同排法的种数为( ) A．A88B．A55A44C．A44A44D．A58解析：选B 因为4名女生要排在一起，所以先将4名女生捆绑与其他4名男生一起排列，然后再将4名女生排列，共有A55A44种排法．6．6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有( )A．120种B．240种。

典题精讲【例1】 用1、2、3、4、5、6这六个数字可组成多少个无重复数字且不能被5整除的五位数？思路分析:组成符合条件的五位数可分两步，首先确定个位数字，然后再确定其他各位数字；或按是否含有5这个特殊的数字，分为两类;或由所有1—6这6个数组成的五位数，去掉1—6这6个数组成可被5整除的五位数.解法一：不能被5整除，末位只能从1、2、3、4、6五个数字中选1个，有15A 种方法；再从余下5个数字中选4个放在其他数位,有45A 种方法.由乘法原理，所求五位数有15A 45A =600(个). 解法二：不含有数字5的五位数有55A 个；含有数字5的五位数，末位不选5有14A 种方法，其余数位有45A 种选法，含有5的五位数有14A 45A 个.因此可组成不能被5整除的无重复数字的五位数有55A +14A 45A =600(个). 解法三：由1—6组成的无重复数字的五位数有56A 个，其中能被5整除的有45A 个.因此，所求的五位数共有56A -45A =720-120=600(个).绿色通道：若从最高位数字开始考虑，则问题就无法解决.被5整除的数，个位数字必须是0或5，因此，被5整除的问题，一般从个位数字开始考虑.变式训练1 用0、1、2、3、4、5这六个数字可组成多少个无重复数字且能被5整除的五位数？思路解析:分为两类：一类是个位数字为0，再从余下的5个数字中选4个放在其余数位上有45A 种方法；另一类是个位数字为5，由于0不能放在首位，所以在1、2、3、4中选一个数放在首位有4种方法，然后从余下的4个数中选3个放在中间三个数位上有34A 种方法，此时有434A 种方法.故由加法原理可得能被5整除的五位数有45A +434A =216(个).答案:216.变式训练2 用0、1、2、3、4、5这六个数字可组成多少个无重复数字的五位偶数？思路解析:分为两类：一类是个位数字为0，再从余下的5个数字中选4个放在其余数位上有45A 种方法；另一类是个位数字为2或4，由于0不能放在首位，所以余下4个数中选一个数放在首位有4种方法，然后余下的4个数选3个放在中间三个数位上有34A ，此时有2×4×34A 种方法.故由加法原理可得五位偶数有45A +2×4×34A =312(个).答案:312.【例2】 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有( )A.140种B.84种C.70种D.35种思路解析:取出的3台电视机中要求至少有甲型与乙型各1台，它包括两种可能：2台甲型与1台乙型、1台甲型与2台乙型，所以可用分类原理和分步原理来解决，另外也可以用间接法解决.方法一：从4台甲型电视机中取2台和5台乙型电视机中取1台有24C ·15C 种取法；从4台甲型电视机中取1台和5台乙型电视机中取2台有14C ·25C 种取法.所以共有24C ·15C +14C ·25C =70(种)，故应选C.方法二：从所有的9台电视机中取3台有39C 种取法，其中全部为甲型的有34C 种取法，全部为乙型的有35C 种取法，则至少有甲型与乙型各1台的取法共有39C -34C -35C =70(种)，故应选C.答案:C黑色陷阱：解决这类问题最容易出现的错误就是产生重复，比如首先从4台甲型电视机与乙型电视机中各取1台，有14C ·15C 种取法，再在剩下的7台电视机中任取1台，有17C 种取法，所以不同的取法共有14C ·15C ·17C =140种.这种看起来很不错的解法实际上是错误的，因为它产生了重复.避免产生重复的方法就是“先分类后分步”.变式训练1 假设200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有( )A.319723C C 种B.（4197135200C C C -）种C.319823C C 种D.（319723C C +219733C C ）种思路解析:已知200件产品中有3件次品，197件合格品，则至少有2件次品的抽法为2件次品、3件合格品或3件次品、2件合格品，所以其抽法有219733319723C C C C +. 答案:D变式训练2 某计算机商店有6台不同的品牌机和5台不同的兼容机,从中选购5台,且至少有品牌机和兼容机各2台,则不同的选购方法有( )A.1 050种B.700种C.350种D.200种思路解析:分两类:(1)从6台不同的品牌机中选3台和从5台不同的兼容机中选2台;(2)从6台不同的品牌机中选2台和从5台不同的兼容机中选3台.所以不同的选购方法有36C 25C +26C 35C =350(种).答案:C【例3】（1）写出从5个元素a,b,c,d,e 中任取三个元素的所有组合,并求出其组合数. 思路分析:考虑画出如下树形图,注意按给出字母从左到右的顺序来考虑.C=10（个）. 解：根据树形图，所有组合为abc,abd,abe,acd,ace,ade,bcd,bce,bde,cde.组合数为35（2）将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B 不排在第二，C不排在第三，D不排在第四.试写出他们四人所有不同的排法.思路分析:由于A不排在第一，所以第一只能排B，C，D中的一个.据此可分为三类，作树图可得解:所有的排法为BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA. 绿色通道：写符合条件的组合或排列要运用树图,利用它可以具体列出各种情况,从而避免重复或遗漏,能把抽象问题具体化,使解题思路明朗.其中排列的树形图与组合的树形图是有区别的,排列的树形图中其元素不能重复出现但可任意排列,而组合的树形图中其元素也不能重复出现,但元素出现的次序一般按照从左到右的顺序来考虑,否则容易出现重复或遗漏.变式训练1 a,b,c,d四人排成一列，a不在排头，d不在排尾，写出所有的排列.思路分析:作出树图.图中，有4层分枝的树叶，对应一个合要求的排列，共有14个.解:badc,bcda,bdac,bdca,cadb,cbda,cdab,cdba,dabc,dacb,dbac,dbca,dcab,dcba.变式训练2 利用树图，写出用数字1、2组成的所有四位数.（数字可以重复）思路分析:因为每个数位上的数字只可能是1或2，所以在树图中，每个分枝都只有两个分叉，左边写1右边写2，经过四次分叉即可写出全部的四位数.图中，共有16片“树叶”，对应着16个四位数.解:1 111，1 112，1 121，1 122，1 211，1 212，1 221，1 222，2 111，2 112，2 121，2 122，2 211，2 212，2 221，2 222.【例4】 三个女生和五个男生排成一排,（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？思路分析:（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，排成一排有66A 种不同排法.对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有33A 种不同的排法，因此共有66A ·33A =4 320（种）不同的排法.（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空当.这样共有4个空当，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于五个男生排成一排有55A 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有36A 种方法，因此共有55A ·36A =14 400（种）不同的排法.（3）方法一：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有25A 种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有66A 种排法，所以共有25A ·66A =14 400(种)不同的排法.方法二：（间接法）3个女生和5个男生排成一排共有88A 种不同的排法，从中扣除女生排在首位的13A ·77A 种排法和女生排在末位的13A ·77A 种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来，由于两端都是女生有23A ·66A 种不同的排法，所以共有88A -213A ·77A +23A ·66A =14 400种不同的排法. 方法三：（元素分析法）从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排入，有36A 种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余5个位置又都有55A 种不同的排法，所以共有36A ·55A =14 400种不同的排法. （4）方法一：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，这样可有15A ·77A 种不同的排法；如果首位排女生，有13A 种排法，这时末位就只能排男生，有15A 种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余6位都有66A 种不同的排法，这样可有13A ·15A ·66A 种不同排法.因此共有15A ·77A +13A ·15A ·66A =36 000种不同的排法.方法二：3个女生和5个男生排成一排有88A 种排法，从中减去两端都是女生排法23A ·66A 种，就能得到两端不都是女生的排法种数.因此共有88A -23A ·66A =36 000种不同的排法. 解:(1)66A ·33A =4 320(种).(2)55A ·36A =14 400(种).(3)25A ·66A =14 400(种)或88A -213A ·77A +23A ·66A =14 400(种)或55A ·36A =14 400(种).(4)15A ·77A +13A ·15A ·66A =36 000(种)或88A -23A ·66A =36 000(种).绿色通道：解决排列、组合应用问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法. 若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置，有两个以上约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其他条件.若以元素为主，需先满足特殊元素要求再处理其他的元素.间接法也称做排除法或排异法，有时用这种方法解决问题来得简单、明快.捆绑法、插入法对于有的问题的确是适用的好方法，要认真搞清在什么条件下使用. 变式训练1 某小组6个人排队照相留念.(1)若分成两排照相,前排2人,后排4人,有多少种不同的排法?(2)若分成两排照相,前排2人,后排4人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排,有多少种不同的排法?(3)若排成一排照相,甲、乙两人必须在一起,有多少种不同的排法?(4)若排成一排照相,其中有3名男生3名女生,且男生不能相邻,有多少种不同的排法?解:(1)分两排照相实际上与排成一排照相一样,只不过把第3—6个位子看成是第二排而已,所以实际上是6个元素的全排列问题.故有66A =720种.先确定甲的排法,有12A 种;再确定乙的排法,有14A 种;最后确定其他人的排法,有44A 种,因为这是分步的问题,所以用乘法原理,有12A ·14A ·44A =2×4×24=192种不同排法.采用“捆绑法”,即先把甲、乙两人看成一人,这样有55A 种不同排法,然后甲、乙两人之间再排队,有22A 种排法,因为是分步问题,应当用分步计数原理,所以有55A ·22A =120×2=240种排法.(4)采用“插入法”,把3个女生的位子拉开,在两端和她们之间放进4张椅子,如___________女___________女___________女___________,再将3个男生放到这4个位子上,就保证任何两个男生都不会相邻了.这样,男生有34A 种排法,女生有33A 种排法,因为是分步问题,应当用乘法原理,所以共有34A ·33A =24×6=144种排法.变式训练2 5名男生、2名女生站成一排照相.（1）两名女生要在两端，有多少种不同的站法？（2）两名女生都不站在两端，有多少不同的站法？（3）两名女生不相邻，有多少种不同的站法？ （4）女生甲要在女生乙的右方，有多少种不同的站法？解:（1）两端的两个位置，女生任意排，中间的五个位置男生任意排:22A ·55A =240（种）.（2）中间的五个位置任选两个排女生，其余五个位置任意排男生:25A ·55A =2 400（种）.（3）把男生任意全排列，然后在六个空中（包括两端）有顺序地插入两名女生:26A ·55A =3 600（种）.（4）七个位置中任选五个排男生,问题就已解决，因为留下两个位置女生排法是既定的:57A =2 520（种）.【例5】 解方程:(1)3A x 8=4·19-x A ;(2)x x C C 751071=. 思路分析:利用排列数公式和组合数公式,消掉m n m n C A ,,转化为x 的代数方程再求解；同时注意排列数或组合数的方程或不等式中未知数的取值范围;对于排列数或组合数公式的两种形式能合理运用:一般连乘形式用于求值,而阶乘形式常用于化简和证明.解:(1)由排列数公式,原方程可化为)!10(!94)!8(!83x x -⨯=-⨯, 化简得x 2-19x+78=0,解得x 1=6,x 2=13.因为x≤8且x-1≤9,x ∈N *,所以原方程的解是x=6.(2)由组合数公式,原方程可化为!710)!7(!7!6)!6(!!5)!5(!•-=---x x x x x x . 化简得6-(6-x)=10)6)(7(x x --,解得x 1=2,x 2=21. 因为x≤5且x≤6,x≤7,x ∈N *,所以原方程的解是x=2.变式训练1 解方程:2213623x x x A A A +=+.解：由排列数公式,得3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1).因为x≥3,所以3(x-1)(x-2)=2(x+1)+6(x-1),3x 2-17x+10=0.解之,得x=5,x=32,所以x=5. 变式训练2 解不等式:64n n C C >.解：由组合数公式,原方程可化为)!6(!6!)!4(!4!->-n n n n . 化简得n 2-9n-10＜0,解得-1＜n ＜10.因为n≥6,n ∈N *,所以不等式的解集为{6,7,8,9}.问题探究问题1:在解决排列和组合问题中都用到“树图”,它起到什么作用?导思:树图法虽然在解决排列和组合问题中不是用的很多或许有时根本不去理会它,但是它在教材中还是占有一定的比例去介绍,对教材前后内容的联系起着铺垫的作用,是解决排列和组合问题的基础方法.虽然解决排列和组合问题的方法很多,但都是一些技巧性较强、适用性很窄的方法,从而会让学生感到做题无从选择、举棋不定.树图法虽操作啰嗦,但适应性很广泛,思路明确清晰,有利于我们打开困惑,找出规律,为解题开拓新的局面.对此我们应不能低估其作用,而片面追求各种各样的技巧性方法.探究: “树”是图论中的一个概念,它指的是一个连通的无圈图.“树图”就是“数”的图形,好象一颗树一样,从树干上长出几个主枝,主枝又可分叉长出分枝,分枝再分叉成小分枝……最后一次分枝出的小分枝我们称为“树叶”.利用树图可以把排列组合问题直观化、形象化、具体化,起到了“数形结合”中“形”的作用,从而很容易不遗漏、不重复地写出所有的排列或组合,一般适用于数字不太大的情况.若对于数字较大的排列组合问题,先缩减数字,用树图帮助我们思考,找出规律,也不失为一种较好的方法.问题2：计数原理中学过两种方法：加法与乘法原理，但是在解决排列组合过程中发现有些计数问题中会出现除法，这是何故呢？导思:由此启发我们想到：对于某些比较生疏或困难的问题，可以采用这种补充一个步骤，使它变为已学过的熟悉的问题，反过来再用除法求原问题的解,即原问题+补充一个步骤=熟悉的问题，若原问题方法数为x ，补充步骤的方法数为y,熟悉的问题方法数为z,根据乘法原理：x·y=z,所以x=yz ,即原问题的方法数=补充步骤的方法数熟悉问题的方法数. 探究: 其实在组合数mn C 的计算中就出现了除法：m n m mm n C A A =.这是因为把组合问题补充上一个排序步骤后，就变成了排列问题.根据分步乘法计数法m n A =m n C ·m mA ,所以m n m m m n C A A =.。

人教版高中数学全套教材例题习题改编 人教A 版必修1课本例题习题改编1.原题(必修1第七页练习第三题（3））判断下列两个集合之间的关系：A={}{}|410|20,x x x N B x x m m N ++∈==∈是与的公倍数，， 改编 已知集合4x x M xN N **⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭且10，集合40x N x Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭，则（ ）A ．M N =B ．N M ⊆C ．20x MN x Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭D ．40x MN x N *⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭解：{}20,M x x k k N *==∈， {}40,N x x k k Z ==∈，故选D .2.原题（必修1第十二页习题1.1B 组第一题）已知集合A={1，2}，集合B 满足A ∪B={1，2}，则这样的集合B 有 个.改编1 已知集合A 、B 满足A ∪B={1，2}，则满足条件的集合A 、B 有多少对？请一一写出来．解：∵A ∪B={1，2}，∴集合A ，B 可以是：∅，{1，2}；{1}，{1，2}；{1}，{2}；{2}，{1，2}；{2}，{1}；{1，2}，{1，2}；{1，2}，{1}；{1，2}，{2}；{1，2}，∅．则满足条件的集合A 、B 有9对.改编2 已知集合A 有n 个元素，则集合A 的子集个数有 个，真子集个数有 个 解：子集个数有2n个，真子集个数有21n-个 改编3 满足条件{}{}1,21,2,3A =的所有集合A 的个数是 个解：3必须在集合A 里面，A 的个数相当于2元素集合的子集个数，所以有4个. 3.原题（必修1第十三页阅读与思考“集合中元素的个数”）改编 用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义⎩⎨⎧<-≥-=*C(B)C(A)当C(A),C(B)C(B)C(A)当C(B),C(A)B A ,若{}{}02)ax ax)(x (x x B ,1,2A 22=+++==，且1B A =*,则由实数a 的所有可能取值构成的集合S = .解：由{}2C(A)1,2A ==得，而1B A =*，故3C(B)1C(B)==或．由02)ax ax )(x (x 22=+++得02)ax (x 0ax )(x 22=++=+或．当1C(B)=时，方程02)ax ax )(x(x 22=+++只有实根0x =，这时0a =．当3C(B)=时，必有0a ≠，这时0ax )(x 2=+有两个不相等的实根a x 0,x 21-==，方程02)ax (x 2=++必有两个相等的实根，且异于a x 0,x 21-==，有0,8a Δ2=-=∴22a ±=，可验证均满足题意，∴{}22,0,22-=S ．4.原题（必修1第二十三页练习第二题）改编1 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是解：先分析小明的运动规律，再结合图象作出判断.距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，后段比前段下降得快， 答案选C ．改编 2 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是 （ ）解：汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s 与t 的函数图象上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的．答案：A ．5.原题（必修1第二十四页习题1.2A组第七题）画出下列函数的图象：（1）F(x)=改编设函数D(x)= 则下列结论错误的是()A．D(x)的值域为{0,1} B．D(x)是偶函数C．D(x)不是周期函数D．D(x)不是单调函数解：由已知条件可知,D(x)的值域是{0,1},选项A正确;当x是有理数时,-x也是有理数,且D(-x)=1,D(x)=1,故D(-x)=D(x),当x是无理数时,-x也是无理数,且D(-x)=0,D(x)=0,即D(-x)=D(x),故D(x)是偶函数,选项B正确;当x是有理数时,对于任一非零有理数a,x+a是有理数,且D(x+a)=1=D(x),当x是无理数时,对于任一非零有理数b,x+b是无理数,所以D(x+b) =D(x)=0,故D(x)是周期函数,（但不存在最小正周期）,选项C不正确;由实数的连续性易知,不存在区间I,使D(x)在区间I上是增函数或减函数，故D(x)不是单调函数,选项D正确. 答案：C ．6.原题（必修1第二十四页习题 1.2A组第十题）改编已知集合{}{}1,2,3,1,2,3,4A B==．定义映射:f A B→，则满足点(1,(1)),(2,(2)),(3,(3))A fB fC f构成ABC∆且=AB BC的映射的个数为.解：从A到B的映射有3464=个，而其中要满足条件的映射必须使得点A、B、C不共线且=AB BC，结合图形可以分析得到满足(3)(1)(2)f f f=≠即可，则满足条件的映射有114312m C C=⋅=个．7.原题（必修1第二十五页习题1.2B组第二题）画出定义域为{}38,5x x x-≤≤≠且，值域为{}12,0y y y-≤≤≠的一个函数的图像，（1）将你的图像和其他同学的比较，有什么差别吗？（2）如果平面直角坐标系中点P（x,y）的坐标满足38x-≤≤，12y-≤≤，那么其中哪些点不能在图像上？改编若函数()y f x=的定义域为{}38,5x x x-≤≤≠，值域为{}12,0y y y-≤≤≠，则()y f x=的图象可能是（）A B C D解：根据函数的概念，任意一个x只能有唯一的y值和它对应，故排除C；由定义域为1,x0,x⎧⎨⎩为有理数，为无理数，0,x01,x>0;≤⎧⎨⎩，{}38,5x x x -≤≤≠排除A 、D,选B.8.原题（必修1第二十五页习题1.2B 组第三题）函数[x]f(x)=的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，4]5.3[-=-；2]1.2[=；当(]35.2，　-∈x 时，写出函数f(x)的解析式，并作出函数的图象．改编 1 对于任意实数x ，符号[x]表示x 的整数部分，即[x]是不超过x 的最大整数，例如2[2]=；2]1.2[=；3]2.2[-=-．函数[x]y =叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用，则]26[log ]3[log ]2[log ]1[log 3333++++ 的值为 ． 解：由题意得，∵130=， ３１=3，９２=3，２73３=．∴原式中共有２个０，６个１，１８个２，故原式＝422181602=⨯+⨯+⨯． 改编2已知函数f (x )=x -[x ],其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数.若关于x的方程f (x )=kx +k 有三个不同的实根, 则实数k的取值范围是 .111111111111A.[1,)(,]B.(1,][,)C.[,)(,1]D.(,][,1)243243342342- -⋃ - -⋃ - -⋃ - -⋃解：画出f(x)的图象(如右图), 与过定点(-1, 0)的直线y=kx+k=k(x+1) 有三个不同的公共点, 利用数形结合的办法, 可求得直线斜率k 的取值范围为111(1,][,)243- -⋃ . 答案：B ．改编 3对于任意实数x ，符号[]x 表示x 的整数部分，即[]x 是不超过x 的最大整数．这个函数[]x 叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么，（1）[]2log 1+[]2log 2+[]2log 3+[]2log 4+……+[]2log 1024= （2）设()[][],1,3f x x x x ⎡⎤=⋅∈⎣⎦，则()f x 的值域为 解：（1）[]2log 1=0，[]2log 2=[]2log 3=1，[]2log 4=[]2log 5=[]2log 6=[]2log 7=2，[]2log 8=[]2log 9=……=[]2log 15=3，[]2log 16=[]2log 17=……=[]2log 31=4，……[]2log 512=[]2log 512=……=[]2log 1023=9，[]2log 1024=10，则原式=234912223242++92+10⨯+⨯+⨯+⨯⨯，用“错位相减法”可以求出原式的值为8204.（2）[)[]()[)[]()1,21,1;2,2.52,4x x f x x x f x ∈==∈==时，时，；[)[]()[]()2.5,32,5;33,9x x f x x x f x ∈=====时，时，；故[]1,3x ∈时()f x 的值域为{}1,4,5,9答案：（1）8204； （2）{}1,4,5,9． 改编4 函数()[][]2,2f x x x x ⎡⎤=∈-⎣⎦，的值域为 .解：当[)2,1x ∈--时，[]2x =-，(]()[]22,4,2{2,3,4}x f x x -∈=-∈；当[)1,0x ∈-时，[]1x =-，(]()[]0,1,{01}x f x x -∈=-∈，；当[)0,1x ∈时，[]0x =，()0f x =；当[)1,2x ∈时，[]1x =，()[]=1f x x =；当=2x 时，()[]4=4f x =；∴值域为{0,12,3,4}，.答案：{0,12,3,4}，.9.原题（必修1第三十六页练习第１题（３））判断下列函数的奇偶性：x1x f(x )2+=．改编 关于函数0)(x x1x lg f(x)2≠+=，有下列命题：①其图象关于y 轴对称；②当0x >时，f(x)是增函数；当0x <时，f(x)是减函数；③f(x)的最小值是lg2；④f(x)在区间),2(),0,1(+∞-上是增函数；⑤f(x)无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是 ．解： 0)(x x 1x lg f(x)2≠+=为偶函数，故①正确；令x 1x u(x)2+=，则当0x >时，x1x u(x)+=在)1,0(上递减，在),1[+∞上递增，∴②错误；③④正确；⑤错误．答案：①③④．10.原题（必修1第三十九页复习参考题B组第三题）已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并证明你的判断.改编 已知定义在[-2, 2]上的偶函数f (x )在区间[0, 2]上是减函数, 若f (1-m )<f (m ), 则实数m 的取值范围是 .解：由偶函数的定义, (1)(|1|)()(||)f m f m f m f m -=-⎧⎨=⎩, 又由f (x )在区间[0, 2]上是减函数, 所以10|||1|2m m m ≤<- ≤2⇒ -1≤<.答案：12m -1≤<.11.原题（必修1第四十四页复习参考题A 组第四题）已知集合A={x|2x =1}，集合B={x|ax=1}，若B ⊆A ，求实数a 的值.改编 已知集合A={x|x-a=0}，B={x|ax-1=0}，且A∩B=B ，则实数a 等于 。