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第2章人寿保险的精算现值选择题1．30岁的人购买保额为1000元的特殊的35年期两全保险，已知条件如下：（1）在其购买保险时，其两个孩子的年龄分别是3岁和6岁；（2）特殊约定为：如果被保险人死亡时两个孩子的年龄都小于11岁，那么给付额为3000元；如果被保险人死亡时只有一个孩子的年龄小于11岁，那么给付额为2000元；（3）在被保险人死亡时立即给付保险金；（4）μ30＋t=0.04，t≥0；（5）δ=0.06；（6）35E30=0.0302。
则此保单的趸缴纯保费为（）元。
[2008年真题]A．638B．766C．777D．796E．800【答案】D【解析】由题意可知，该保险相当于保额1000元的35年期两全保险＋1000元保额的8年期定期保险（5-8年内被保险人只有一个孩子小于11岁）＋1000元保额的5年期定期保险（5年内两个孩子都小于11岁），故此保单的趸缴保险费为：=796（元）2．30岁的人购买两年期定期保险，保险金在被保险人死亡的年末给付，保单年度t 的保额为bt ，已知条件为：q30=0.1，b2=10－b1，q31=0.6，i=0 ，Z表示给付现值随机变量，则使得Var（Z）最小的b1的值为（）。
[2008年真题]A．0.0B．5.0C．6.8D．8.6E．8.9【答案】C【解析】v=1，由题意得：Pr [K（30）=0]=q30=0.1，Pr [K（30）=1]=p30q31=（1－0.1）×0.6=0.54，所以E（Z）=b1×0.1＋（10－b1）×0.54，E（Z）2= ×0.1＋（10－b12）×0.54，故Var（Z）=E（Z2）－（E（Z））2= －6.048b1＋24.84。
故当b1=6.048/（2×0.4464）=6.8时，Var（Z）最小。
3．50岁的人购买保险金在死亡时给付的特殊的递增型终身寿险，Z表示给付现值随机变量，已知：b t=1＋0.1t，v t=（1＋0.1t）－2，t p50·μ（50＋t）=0.02 ，0≤t<50则Var（Z）的值为（）。
习题第一章人寿保险一、n年定期寿险【例4.1】设有100个40岁的人投保了1000元5年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为3%。
I、如果各年预计死亡人数分别为1、2、3、4、5人，计算赔付支出；II、根据93男女混合表，计算赔付支出。
解：I表4 -死亡赔付现值计算表1000 （1 1.03 2 1.03^ 3 1.03’ 4 1.03 5 1.03 冷=13468.48 （元）则每张保单未来赔付的精算现值为134.68元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。
解：II表4乞死亡赔付现值计算表1根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为：2 J_2J3 _4_51000 ^（q 4^<1.03 +1|q 4^<1.03 +2|q 4^<1.03 +3^4^1.03 +4|q4^1.03 ）=912486（元）则每张保单未来赔付的精算现值为91.25元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。
【例4.2】某人在40岁时投保了 10000元3年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末， 利率为5%。
根据93男女混合表计算：I 、单位趸缴纯保费；II 、单位赔付现值期望的方差；III 、（总）趸缴纯保费； 解：I 、单位趸缴纯保费为，2A I 0：3| 二"V ■ k 〔q 40 =(vq 40 v 1|q 40 ■ v 2040)=(vq 40 ■ v P 40q 41v 2 P 40q 42)k =00.00165 丄(1 —0.00165)x0.001812 丄(1 —0.00165)x(1 —0.001812)x 0.001993 "[1.05 1.0521.053= 0.00492793 (元)。
II 、单位赔付现值期望的方差为，2A 40:3| - (A 40：3|)v")k|q 40 - (A 40：3|)= (v q 40 v 1|q 40v2|q 40)〜(Al 0：3)=°.00444265k=0III 、趸缴纯保费为，10000 A 4°3 =49.28 （元）【例4.3】某人在50岁时投保了 100000元30年期定期寿险，利率为 8%假设xl x =1000（1），计算趸缴纯保费。
第17章准备金评估Ⅰ一、计算题：1．假设10年期定期寿险，保额为递增型，即DB t=10000t，t=1,2，…，10（1）若毛保费为均衡保费，求NP；（2）若前5年的毛保费是后5年毛保费的1/2,求NP t；（3）取x=30岁，利率4%，利用中国经验生命表（1990-1993）CL1（男表）换算表计算（1）和（2）中NP的值；（4）取x=30岁，利率4%，利用中国经验生命表（2000-2003）CL1换算表计算（1）和（2）中NP的值；（5）比较（3）和（4）计算结果的差异，体会死亡率变化对净保费的影响。
解：（5）由（3）和（4）的计算结果可以看出，在同样的利率假设情况下，用经验生命表（1990-1993）计算的均衡净保费明显高于用经验生命表（2000-2003）计算的结果。
其原因是科技进步、医疗水平提高、环境卫生改善，导致了人类寿命持续延长，由此引发的寿险行业经验生命表中死亡率的改善降低了定期寿险的净保费，提高了年金产品的趸缴纯保费。
2．假设单位保额的n年期两全保险，缴费期为h年，修正责任准备金的期限等于缴费期，试推导第t年末（1≤t≤h）的修正责任准备金。
解：设为第一年净保费，为续年净保费，为均衡净保费，根据总保费不变的原则有：3．设某n年期两全保险，保额为1000元，费用分布为：第一年：保费的75%及固定费用50元；续年：保费的10%及固定费用10元。
求第五年PPM准备金的表达形式。
解：设其毛保费为G，根据均衡原理有：4．已知某终身寿险有如下资料:（1）毛保费等于15.0；（2）准备金计算法:一年定期修正法；（3）预定利率等于2.5%。
表1求在31岁出单情况下每千元保额的续年保费和第三年度末的责任准备金。
解：在一年定期修正法下，31岁出单情况下每千元保额的续年保费为:同时第三年度末的责任准备金为:5．假设某一寿险公司在未来五年内，每年均售出一份终身寿险保单。
被保险人全为男性，购买保单时年龄为35岁，保单死亡给付同为10万元，在这五年中没有保单失效或被保险人死亡。
第10章 多种状态转换模型1．某个三状态的马尔可夫链的转移概率由图10-1确定。
图10-1（1）给出转移概率矩阵P 。
（2）假设初始状态向量为计算状态向量（3）如果在时刻10的状态为1，计算在时刻12时处于状态1的概率。
（4）如果在时刻2的状态为2，计算状态向量（5）给出该过程的状态等价类，并说明状态的常返或非常返性。
（6）对非常返状态i ，计算（7）设过程的初始状态为2，计算过程处于状态2的期望次数。
（8）设过程的初始状态为2，计算过程能够到达状态0的概率。
解:（1）由图10-1可知概率转移矩阵P 为：（2）因为,由知： 220P ππ=（3）因为，由得：。
（4）因为，由得：。
（5）从图10-1可以看出，状态0和状态1相通，且状态0和状态1都无法到达状态2，因此该过程的状态等价类为{0，1}和{2}；0,1为常返，2为非常返。
（6）由于状态2与状态0,1不相通，因此。
（7）因为，所以。
（8）因状态2一定可以达到状态0，故。
2．某城市每天内的天气有雨和晴两种状况。
雨天和晴天的变化构成一个马尔可夫链。
如当天是雨天，那么下一天还是雨天的可能性是40％。
如当天是晴天，那么下一天还是晴天的可能性是80％。
（1）给出转移概率矩阵P 。
（2）如当天是雨天，计算三天后是雨天的概率有多大?（3）计算长期来说雨天的概率（即很久以后的某天是雨天的概率）。
（4）随机选择很久以后的不同的两天，那么两天都是雨天的概率有多大?220.750.250111741,0.50.503331212120.250.250.5π⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=,=,, ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭21210P ππ=()2120.750.2500,100.50.500.250.250.5π⎛⎫ ⎪=,=⎪ ⎪⎝⎭242P ππ=()240.750.2500,010.50.500.250.250.5π⎛⎫ ⎪=,=⎪ ⎪⎝⎭20.5r =（5）随机选择很久以后的相邻的两天，那么两天都是雨天的概率有多大（6）若保险人同意对一年以后举行婚礼的某天不会有雨承保。
