【数学】江西省九江市2015届高三第一次高考模拟统一考试(理).docx

江西省九江市2015届高三数学第一次高考模拟统一考试试题 文 新人教A 版本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．全卷满分150分，时间120分钟．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、设集合{x y A ==，(){}ln 3x y x B ==-，则A B =（ ）A ．{}2x x ≥- B ．{}3x x ≤ C ．{}23x x -<≤ D ．{}23x x -≤< 2、设复数21iz i-=+，则z =（ ） A ．1322i - B ．1322i + C ．13i - D ．13i +3、已知双曲线2214x y a -=的渐近线方程为y = ）A ．2 B ．3 C ．53 D ．34、已知3tan 5α=-，则sin 2α=（ ） A ．1517 B ．1517- C ．817- D ．817 5、已知单调递增的等比数列{}n a 中，2616a a ⋅=，3510a a +=，则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ） A ．2124n -- B ．1122n -- C ．21n - D ．122n +- 6、在区间[]0,2π上任取一个数x ，则使得2sin 1x >的概率为（ ） A ．16 B ．14 C ．13 D ．237、在如下程序框图中，输入()0xf x xe =，若输出的()i f x 是()8xx e +，则程序框图中的判断框应填入（ ）A ．6i ≤B ．7i ≤C ．8i ≤D ．9i ≤ 8、已知函数()()s i n 2fx xϕ=+（ϕπ<）的图象向左平移6π个单位后得到()c o s 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则ϕ的值为（ ）A ．23π-B ．3π-C ．3π D ．23π9、若实数x ，y 满足2x y a -≤≤（()0,a ∈+∞），且2z x y =+的最大值为10，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 10、如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为（ ）A ．．C ．．11、过抛物线28y x =的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交抛物线的准线于C ，若F 6A =，C F λB =B ，则λ的值为（ ）A ．34 B ．32C ．3 12、设函数()f x 是定义在R 上周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有()()0f x f x --=，当[]1,0x ∈-，()()12x f x x e -+=．若()()log a g x f x x =-在()0,x ∈+∞有且仅有三个零点，则a 的取值范围为（ ）A ．[]3,5B ．[]4,6C ．()3,5D ．()4,6 第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22-24题为选考题，学生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、已知()1,0a =，()2,3b =，则()()2a b a b -⋅+= ．14、在C ∆AB 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222a b c b c =++，a =S 为C ∆AB的面积，则cosC S B 的最大值为 ．15、已知矩形CD AB 的顶点都在半径为2的的球O 的球面上，且3AB =，C B =D E 垂直于平面CD AB ，交球O 于E ，则棱锥CD E -AB 的体积为 ． 16、已知函数()212ln 2f x x ax x =+-，若()f x 在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，11a =，其前n 项和n S 满足4242n Nn S S S +++=+（n +∈N ）．()1求数列{}n a 的通项公式； ()2令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18、（本小题满分12分）某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩平均分（采用百分制），剔除平均分在30分以下的学生后，共有男生300名，女生200名．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，按性别分为1估计男、女生各自的成绩平均分（同一组数据用该组区间中点值作代表），从计算结果看，判断数学成绩与性别是否有关；()2规定80分以上为优分（含80分），请你根据已知条件作出22⨯列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”．()()()()()22n ad bc a b c d a c b d -K =++++．19、（本小题满分12分）如图，直三棱柱C C '''AB -A B 中，C C 5A =B =，6'AA =AB =，D 、E 分别为AB 和'BB 上的点，且D D λA BE=='B EB ． ()1求证：当1λ=时，C 'A B ⊥E ；()2当λ为何值时，三棱锥CD 'A -E 的体积最小，并求出最小体积．20、（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，右焦点为)F，A 、B 是椭圆C的左、右顶点，D 是椭圆C 上异于A 、B 的动点，且D ∆A B 面积的最大值为12．()1求椭圆C 的方程；()2求证：当点()00,x y P 在椭圆C 上运动时，直线:l 002x x y y +=与圆:O 221x y +=恒有两个交点，并求直线l 被圆O 所截得的弦长L 的取值范围．21、（本小题满分12分）设函数()()21ln 2f x x a b x ab x =-++（其中e 为自然对数的底数，a e ≠，R b ∈），曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程为212y e =-． ()1求b ；()2若对任意1,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()f x 有且只有两个零点，求a 的取值范围．请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 是O 的直径，CD 是O 的切线，C 为切点，D CD A ⊥交O 于点E ，连接C A 、C B 、C O 、C E ，延长AB 交CD 于F ．()1证明：C C B =E ；()2证明：CF C ∆B ∆EA ．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为1x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2sin 1sin θρθ=-．()1写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程；()2若点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值，并求出P 点的坐标．24、（本大题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x x a =---．()1当2a =时，解不等式()12f x ≤-； ()2若存在实数a ，使得不等式()f x a ≥成立，求实数a 的取值范围．九江市2015年第一次高考模拟统一考试 数 学（文科）参考答案及评分标准一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 解：{|2}A x x =≥-，{|3}B x x =< {|23}A B x x ∴=-≤<，故选D.2. 解:2(2)(1)13131(1)(1)222i i i i z i i i i ----====-++- 故选A. 3. 解:443a = 3a ∴=，半焦距c ==e ∴==故选D. 4. 解：222232()2sin cos 2tan 155sin 2=3sin cos tan 117()15ααααααα⨯-===-++-+，故选B. 5. 解:26=16a a ⋅，35+=10a a ，35=16a a ∴⋅，35+=10a a ，32a ∴=，58a =2q ∴= 112a = 11(12)122122n n n S --∴==-- 故选B. 6. 解：2sin 1x >，[0,2]x π∈ 5[,]66x ππ∴∈ 516623P πππ-∴== 故选C.7. 解：1i =时，1()(1)x f x x e =+；2i =时，2()(2)x f x x e =+；3i =时，3()(3)x f x x e =+；…；8i =时，8()(8)x f x x e =+，结束，故选B.8. 解：由题意得()=sin[2()]6g x x πϕ++ 又2()cos(2)=sin(2)63g x x x ππ=++2+=233k ππϕπ∴+即=23k πϕπ+，k Z ∈ ϕπ< =3πϕ∴ 故选C.9. 解：依题意，得实数,x y 满足20200x y x y y a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤≤⎩，画出可行域如图所示，其中(2,0)A ，(2,)B a a +，(2,)C a a -max 2(2)10z a a ∴=++= 解得2a = 故选B.10. 解：直观图如图所示四棱锥P ABCD -PAD01602PAB PAD PBD ABC S S S S ∆∆∆∆====⨯=故此棱锥的表面积为 A.11. 解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，3(2,)C x -,则126x +=，解得14x =，1y =直线AB的方程为2)y x =-，令2x =-，得(2,C --联立方程组282)y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，解得(1,B -，123BF ∴=+=，9BC = 3λ∴=故选D.12. 解：2(1)()x f x x e-+=在[10]-，依题意得log 31log 51a a <⎧⎨>⎩，35a ∴<<，故选C.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 解：2(0,3)a b -=-，(3,3)a b +=，(2)()9a b a b ∴-⋅+=-.14. 解：222a b c bc =++ 2221cos 22b c a A bc +-∴==- 23A π∴=设ABC ∆外接圆的半径为R ，则22sin a R A === 1R ∴= 1cos sin cos cos 2S B C bc A B C B C ∴+=+=+sin cos )B C B C B C =+=-，故cos S B C +15. 解：如图所示，BE 过球心O ，2DE ∴==1323E ABCD V -∴=⨯=.16. 解：1()20f x x a x '=+-≥在1[2]3，恒成立，即12a x x ≥-+在1[2]3，max 18()3x x -+= 823a ∴≥ 即43a ≥.三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 解:(1)4242n nn S S S +++=+，4228n n n S S S ++∴+=+ 4228n n n n S S S S +++∴-=-+ 43218n n n n a a a a ++++∴+=++………2分数列{}n a 为等差数列，设公差为d 48d ∴= 即2d =………4分 又1=1a 21n a n ∴=-………6分(2)()()111111()212+12212+1n n n b a a n n n n +===--- ………9分111111[(1)()()]2335212+1n T n n ∴=⋅-+-++-- 11(1)22121nn n =-=++………12分 18.解:(1)=450.05+550.15+650.3+750.25+850.1+950.15=71.5x ⨯⨯⨯⨯⨯⨯男 ……2分=450.15+550.10+650.125+750.25+850.325+950.05=71.5x ⨯⨯⨯⨯⨯⨯女………4分从男、女生各自的成绩平均分来看，并不能判断数学成绩与性别有关………5分(2)由频数分布表可知：在抽取的100学生中，“男生组”中的优分有15（人），“女生组”中的优分有15（人），据此可得22⨯列联表如下：………8分 可得()2210015251545 1.7960403070K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ ………10分因为1.79 2.706<，所以没有90%的把握认为“数学成绩与性别有关”………12分 19. 证明：(1)1λ= .D E ∴分别为AB 和BB '的中点 又AA AB '=，且三棱柱ABC A B C '''—为直三棱柱.∴平行四边形ABB A ''为正方形，DE A B '∴⊥………2分AC BC =，D 为AB 的中点，CD AB ∴⊥，且三棱柱ABC A B C '''—为直三棱柱. CD ∴⊥平面ABB A '' CD A B '∴⊥………4分又CDDE D = A B '∴⊥平面CDE CE Ü平面CDE A B CE '∴⊥………6分(2)设=BE x ，则AD x =，6DB x =-，6B E x '=-.由已知可得C 到面A DE '距离即为ABC ∆的边AB所对应的高4h ==………8分 ()13A CDE C A DE AA D DBE AB E ABB A V V S S S S h '''''''--∆∆∆∴==---⋅四边形 ()11=[363(6)36]32x x x x h -----⋅ 22(636)3x x =-+22[(3)27]3x =-+(06x <<) ………10分∴当3x =时，即1λ=时，A CDE V '-有最小值为18………12分∴圆心O 到直线00:=2l x x y y +的距离d ==1=<(20016x ≤≤)∴直线00:2l x x y y +=与圆221O x y +=：恒有两个交点…………8分L==…………10分2016x≤≤27991616x∴≤+≤L≤≤…………12分21. 解:(1)()()()()ab x a x bf x x a bx x--'=-++=………2分()0f e'=，a e≠b e∴=………3分(2)由（1）得21()()ln2f x x a e x ae x=-++，()()()x a x ef xx--'=①当1ae≤时，由()>0f x'得x e>；由()0f x'<得1x ee<<.此时()f x在1(,)ee上单调递减，在()e+∞，上单调递增.2211()()ln022f e e a e e ae e e=-++=-<，242221112()()2(2)(2)(2)()0222f e e a e e ae e e e a e e ee=-++=--≥-->（或当x→+∞时，()0f x>亦可）∴要使得()f x在1[,)e+∞上有且只有两个零点，则只需2111()ln2a ef aee e e e+=-+222(12)2(1)2e e e ae--+=≥，即22122(1+)eae e-≤…6分②当1a ee<<时，由()>0f x'得1x ae<<或x e>；由()0f x'<得a x e<<.此时()f x在(,)a e上单调递减，在1(,)ae和()e+∞，上单调递增. 此时222111()ln ln0222f a a ae ae a a ae ae e a=--+<--+=-<，∴此时()f x在[)e+∞，至多只有一个零点，不合题意………9分③当a e>时，由()0f x'>得1x ee<<或>x a，由()0f x'<得e x a<<，此时()f x在1(,)ee和()a+∞，上单调递增，在(,)e a上单调递减，且21()02f e e=-<，∴()f x在1[,)e+∞至多只有一个零点，不合题意.综上所述，a 的取值范围为2212(]2(1+)e e e --∞,………12分 22. 证明：(1)CD 为O 圆的切线，C 为切点，AB 为O 圆的直径 OC CD ∴⊥……1分 又AD CD ⊥ OC AD ∴// OCA CAE ∴∠=∠………3分又OC OA = OAC OCA ∴∠=∠ OAC CAE ∴∠=∠ BC CE ∴=………5分(2)由弦切角定理可知，FCB OAC ∠=∠ =FCB CAE ∴∠∠四边形ABCE 为圆O 的内接四边形 180ABC CEA ∴∠+∠=………8分又+=180ABC FBC ∠∠ FBC CEA ∴∠=∠ BCF EAC ∴∆∆∽………10分23. 解(1)由1x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，得1x y -=………1分∴直线的极坐标方程为:cos sin 1ρθρθ-=(cos cos sin sin )144ππθθ-=cos()14πθ+=………3分 2sin 1sin θρθ=- 2sin cos θρθ∴= 2cos sin ρθθ∴= 2(cos )sin ρθρθ∴= 即曲线C 的普通方程为2y x =………5分(2)设00(,)P x y ，200y x =P ∴到直线的距离d ………8分∴当012x =时，min d = ∴此时11()24P ， ∴当P 点为11(,)24时，P ………10分 24. 解:(1)2a = 1(2)()3252(23)1(3)x f x x x x x x ≤⎧⎪∴=---=-<<⎨⎪-≥⎩………1分1()2f x ∴≤-等价于2112x <⎧⎪⎨≤-⎪⎩或152223x x ⎧-≤-⎪⎨⎪<<⎩或3112x ≥⎧⎪⎨-≤-⎪⎩………3分 解得1134x ≤<或3x ≥，所以不等式的解集为11{|}4x x ≥………5分 (2)由不等式性质可知()3(3)()=3f x x x a x x a a =---≤----………8分 ∴若存在实数x ，使得不等式()f x a ≥成立，则3a a -≥，解得32a ≤ ∴实数a 的取值范围是3(,]2-∞………10分。

2015年江西省新八校联考高考数学一模试卷(理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．对于集合A={x|x=2k+1，k∈N}和集合B=｛x|x=a*b，a，b∈A｝，若满足B⊆A，则集合B 中的运算“*"可以是（）A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法2．复数z为纯虚数，若（2﹣i)z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为（）A．﹣B．2 C．﹣2 D．3．下列关于命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0"B．“a=2”是“函数f（x）=log a x在区间（0,+∞）上为增函数”的充分不必要条件C．若命题P：∃n∈N,2n＞1000,则﹣P：∀n∈N,2n≤1000D．命题“∃x∈(﹣∞,0），2x＜3x”是真命题4．数列{a n}{中，已知a1=1，a2=2，a n+1=a n+a n+2（n∈N+），则a7=()A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．25．已知函数f（x）=sin(2x+)，则要得到函数f（x）的图象只需将函数g（x）=sin2x的图象(）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度6．已知不等式组的解集记为D，则对∀（x，y）∈D使得2x﹣y取最大值时的最优解是（）A．（2，1) B．（2,2）C．3 D．47．从0，1，3,4,5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位奇数，这样的三位数共有（）A．24个B．30个C．36个D．48个8．执行如图所示的程序框图，若输出的值为105，则输入的n（n∈N+）值可能为(）A．5 B．6 C．7 D．89．已知12sinα﹣5cosα=13，则tanα=（）A．﹣B．﹣C．±D．±10．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0,b＞0）的左、右焦点,若在双曲线的右支上存在点P，满足|PF2｜=｜F1F2|，且原点O到直线PF1的距离等于双曲线的实半轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．4x±3y=0 B．3x±5y=0 C．3x±4y=0 D．5x±3y=011．某四面体的三视图如图所示，且四个顶点都在一个球面上，则球面的表面积为(）A．B．5πC．7πD．12．已知函数f（x）=，则关于x的方程f（2x2+x)=k（2＜k≤3)的根的个数不可能为（)A．6 B．5 C．4 D．3二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置上）13．（x+a)10的展开式中，x7的系数为15,则a=．14．在平面直角坐标系中,,分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，平面内三点A，B，C满足，=+2，=3+m．若A,B,C三点构成以∠B为直角的直角三角形，则实数m的值为．15．观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…照此规律,第n个等式为．16．在△ABC中，设AD为BC边上的高,且AD=BC，b，c分别表示角B,C所对的边长，则+的最大值是．三、解答题（本大题共5小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知等比数列｛a n｝的公比q＞1,前n项和为S n，S3=7，且a1+3，3a2，a3+4成等差数(3n﹣2)其中n≥2，n∈N+，且b1=1．列,数列｛bn}满足关系式b n（3n﹣5）=b n﹣1（1）求数列｛a n}及{b n}的通项公式;（2）设A=｛a1，a2，…a10｝，B=｛b1，b2，…b50｝,C=A∪B,求集合C中所有元素之和．18．为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为100分)作为样本(样本容量为n)进行统计．按照［50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90,100]的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在［50,60），[90,100]的数据）．（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值;（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取4名学生参加“中国汉字听写大会”,设随机变量X表示所抽取的4名学生中得分在［80，90)内的学生人数，求随机变量X的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2,PC＜2，E是PB的中点．（1）求证：平面EAC⊥平面PBC；（2）若直线PA与平面EAC所成角的正弦值为,求平面PAC与平面ACE夹角的余弦值．20．如图,在平面直角坐标系xoy中，椭圆+=1(a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，｜AB｜+｜CD|=5．（1）求椭圆的方程；（2）求由A,B，C,D四点构成的四边形的面积的取值范围．21．已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），x＞0,a∈R是常数．（1）求函数y=f(x)的图象在点（1,f（1））处的切线方程；（2）若函数y=f（x）图象上的点都在第一象限，试求常数a的取值范围；（3）证明:∀a∈R，存在ξ∈（1,e），使f′（ξ）=．四、选做题请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

江西省南昌市2015届高三第一次模拟测试 数 学（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知i 为虚数单位，则复数12iz i +=在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2、若集合{}1381x x A =≤≤，(){}22log 1x xx B =->，则AB =（ ）A ．(]2,4B ．[]2,4C ．()[],00,4-∞ D ．()[],10,4-∞-3、如图，在正四棱柱1111CD C D AB -A B 中，点P 是面1111C D A B 内一点，则三棱锥CD P -B 的正视图与侧视图的面积之比为（ ）A ．1:1B ．2:1C ．2:3D ．3:2 4、已知过定点()2,0P 的直线l与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当∆AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为（ ）A ．150B ．135C ．120D ．不存在5、已知实数x ，y 满足1040x y x y y m +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，若目标函数2z x y =+的最大值与最小值的差为2，则实数m 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12-6、在C ∆AB 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若1c =，45B =，3cos 5A =，则b 等于（ ）A ．53B ．107C ．57 D．7、以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线C 的一条渐近线倾斜角为3π，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．2或 C． D ．28、如图所示程序框图，其功能是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 9、给出下列命题：①若()523450123451x a a x a x a x a x a x -=+++++，则1234532a a a a a ++++=②α，β，γ是三个不同的平面，则“γα⊥，γβ⊥”是“//αβ”的充分条件③已知1sin 63πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则7cos 239πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭ 其中正确命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 10、如图，(),x y M M M ，(),x y N N N 分别是函数()()s i n f x xωϕ=A +（0A >，0ω>）的图象与两条直线1:l y m =，2:l y m =-（0m A ≥≥）的两个交点，记S x x NM=-，则()S m 图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 11、设无穷数列{}n a ，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（无论多小），总存在正整数N ，使得n >N 时，恒有n a ε-A <成立，就称数列{}n a 的极限为A ．则四个无穷数列：①(){}12n-⨯；②()()11111335572121n n ⎧⎫⎪⎪+++⋅⋅⋅+⎨⎬⨯⨯⨯-+⎪⎪⎩⎭；③231111112222n -⎧⎫++++⋅⋅⋅+⎨⎬⎩⎭；④{}231222322n n ⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，其极限为2共有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个12、设函数()()()222ln 2f x x a x a =-+-，其中0x >，R a ∈，存在0x 使得()045f x ≤成立，则实数a 的值为（ ）A ．15B ．25C ．12 D ．1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、a ，b ，c ，d 四封不同的信随机放入A ，B ，C ，D 4个不同的信封里，每个信封至少有一封信，其中a 没有放入A 中的概率是 ． 14、已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 90∠BA =，侧面11CC B B 的面积为2，则直三棱柱111C C AB -A B 外接球表面积的最小值为 ．15、已知三角形C AB 中，C AB =A ，C 4B =，C 120∠BA =，3C BE =E ，若P 是C B 边上的动点，则AP⋅AE 的取值范围是 ．16、已知函数(),01lg ,0ax f x x x x ⎧≤⎪=-⎨⎪>⎩，若关于x 的方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17、（本小题满分12分）已知等差数列{}na的前n项和为nS，11a=，36S=，正项数列{}nb 满足1232n Snbb b b⋅⋅⋅=．()1求数列{}na，{}nb的通项公式；()2若n nb aλ>对n*∈N均成立，求实数λ的取值范围．18、（本小题满分12分）某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布()280,σN（满分为100分），已知()750.3P X<=，()950.1P X≥=，现从该市高三学生中随机抽取三位同学．()1求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[)80,85，[)85,95，[]95,100各有一位同学的概率；()2记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[]75,85的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望ξE．19、（本小题满分12分）如图，CA是圆O的直径，B、D是圆O上两点，C2C2CD2A=B==，PA⊥圆O所在的平面，13BM=BP．()1求证：C //M 平面D PA ；()2若C M 与平面C PA所成角的正弦值为时，求AP 的值．20、（本小题满分12分）已知圆:E 221924x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭经过椭圆C :22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点1F 、2F ，且与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且1F ，E ，A 三点共线．直线l交椭圆C 于M ，N 两点，且λMN =OA （0λ≠）．()1求椭圆C 的方程；()2当三角形AMN 的面积取到最大值时，求直线l 的方程．21、（本小题满分12分）已知函数()()2ln 12xf x ax x =+-+（0a >）．()1当12a =时，求()f x 的极值；()2若1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f x 存在两个极值点1x ，2x ，试比较()()12f x f x +与()0f 的大小；()3求证：()12!n n en ->（2n ≥，n ∈N ）．请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图所示，PA 为圆O 的切线，A 为切点，PO 交圆O 于B ，C 两点，20PA =，10PB =，C ∠BA 的角平分线与C B 和圆O 分别交于点D 和E ．()1求证：C C AB⋅P =PA⋅A ； ()2求D A ⋅AE 的值．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的参数方程为x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．()1曲线C 在点()1,1处的切线为l ，求l 的极坐标方程；()2点A 的极坐标为4π⎛⎫ ⎪⎝⎭，且当参数[]0,t π∈时，过点A 的直线m 与曲线C 有两个不同的交点，试求直线m 的斜率的取值范围．24、（本大题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()f x x x a=-（R a ∈）．()1若2a =，解关于x 的不等式()f x x <；()2若对任意的(]0,4x ∈都有()4f x <，求a 的取值范围．江西省南昌市2015届高三第一次模拟测试 数学（理）参考答案及评分标准二、填空题13. 34 14. π4 15.210[,]33- 16),0()0,1(+∞- 三、解答题17. （Ⅰ）解：等差数列}{n a ，11=a ，63=S ，1=∴d ，故n a n = ………3分⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅--)2(2)1(211321321 n n S n Sn b b b b b b b b ，)2()1(÷得n a S S n n n n b 2221===--)2(≥n ， 222111===S b ,满足通项公式，故nn b 2= ………7分（Ⅱ）设n na b >λ恒成立n n 2>⇒λ恒成立，设n n c c n c n n nn 2121+=⇒=+ 当2≥n 时，1<n c ，}{n c 单调递减， ………10分21)(1max ==∴c c n ，故21>λ. ………12分18. 解：（Ⅰ）(8085)1(75)0.2P X P X ≤<=-≤=，(8595)0.30.10.2P X ≤<=-=，所以所求概率330.20.20.10.024P A =⨯⨯⨯=； ………6分（每个结果各2分） （Ⅱ）(7585)12(75)0.4P X PX ≤≤=-<=， 所以ξ服从二项分别(3,0.4)B ，3(0)0.60.216P ξ===，2(1)30.40.60.432P ξ==⨯⨯=，………8分 2(2)30.40.60.288P ξ==⨯⨯=，3(3)0.40.064P ξ===，………10分所以随机变量ξ的分布列是30.4 1.2E ξ=⨯=（人）. ………12分19. 解：（Ⅰ）作AB ME ⊥于E ,连接CE , ME ∴∥AP …①AC 是圆O 的直径，222===CD BC AC ，BC AB DC AD ⊥⊥∴,, 030=∠=∠∴CAD BAC , ………2分 060=∠=∠DCA BCA ,3==AD AB=,3331==BA BE 33tan ==∠BC BE BCE , CAD ECA BCE ∠==∠=∠∴030EC ∴∥AD …②，………4分由①②，且E CE ME = ,∴平面MEC ∥平面PAD ,⊆CM 平面MEC , ⊄CM 平面PAD∴CM ∥ 平面PAD ………6分（Ⅱ）依题意，如图以A 为原点，直线AB ，AP 分别为x,z 轴建立空间坐标系，设a AP =)0,23,23(),,0,0(),0,1,3(),0,0,3(),0,0,0(D a P C B A设面PAC 的法向量为),,(z y x =，设CM 与平面PAC 所成角为θ⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅==⋅030y x az AP n设3=x ，)0,3,3(-=∴， ………8分CM +=+=)3,1,33(a --=∴55123993122||sin 22=+=++⨯===∴a a θ ………10分3=∴a ………12分20．（Ⅰ）解：如图圆E 经过椭圆C 的左右焦点12,F F,1,,F E A 三点共线, ∴1F A 为圆E 的直径, 212AF F F ∴⊥2219(0)24x +-=,2±=∴x ,2=∴c ………2分 189||||||2212122=-=-=F F AF AF ,4||||221=+=AF AF a222a b c =+，解得2,a b ==， ………4分∴椭圆C 的方程22142x y +=， ………5分（Ⅱ）点A的坐标(0)MN OA λλ=≠，， ………6分故设直线的方程为y x m =+22142y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2220x m ∴+-=，设1122(,),(,)M x y N x y2221212,2,2480x x x x m m m ∴+==-∆=-+>，22m ∴-<< ………8分21||||MN x x =-==点A到直线的距离d =2214|||22AMNm m S MN d m ∆-+=⋅==≤= (10)分当且仅当224m m -=，即m =，直线的方程为y x =± ………12分21.解：（Ⅰ）22)211ln()(+-+=x x x x f ，定义域2020211->⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+x x x ，22')2(2)2(421)(+-=+-+=x x x x x f ，)2,2(-∴递减，),2(+∞递增故12ln )2()(-==f x f 极小值，没有极大值. ………3分（Ⅱ）22)1ln()(+-+=x x ax x f ，),1(+∞-∈a x ，222')2)(1()1(4)2(41)(++--=+-+=x ax a ax x ax a x f ………4分)1,21(∈a ，)41,0()1(∈-∴a a ， a a a a )1(21--<-∴ 0)1(42=--a ax ，a a a x )1(2-±=∴ ………5分aa a aa a a a a a x f x f 2121421214])1(21ln[])1(21ln[)()(21+-----+-----+-+=+2212442()()ln[(12)]ln[(12)]22121a f x f x a a a a -+=-+=-+---设12-=a t ，当)1,21(∈a 时，)1,0(∈t ，22ln )()()(221-+==+∴t t t g x f x f 设当)1,0(∈t 时，22ln 2)(-+=t t t g ，0)1(222)(22'<-=-=t t t t t g ………7分)(t g 在)1,0(∈t 上递减，0)1()(=>g t g ，即0)0()()(21=>+f x f x f 恒成立综上述)0()()(21f x f x f >+ ………8分（Ⅲ）当)1,0(∈t 时，022ln 2)(>-+=t t t g 恒成立，即011ln >-+t t 恒成立设n t 1=),2(N n n ∈≥，即011ln >-+n n ，n n ln 1>-∴1ln 2,2ln 3,3ln 4,,1ln n n ∴>>>->123(1)ln 2ln 3ln 4ln ln 234n n n ∴++++->++++=⨯⨯⨯⨯=()!ln n>-∴2)1(nn ()!ln n ∴),2(!2)1(N n n n e n n ∈≥>- ………12分22.解：（Ⅰ）∵ PA 为圆O 的切线, ,PAB ACP ∴∠=∠又P ∠为公共角,PCA PAB ∆∆∽ AB PC PA AC ⋅=⋅ …………4分（2）∵PA 为圆O 的切线,BC 是过点O 的割线,2,PA PB PC ∴=⋅ ………6分 40,30PC BC ∴== 又∵022290,900CAB AC AB BC ∠=∴+==又由（Ⅰ）知12AB PA AC AB AC PC ==∴==连接EC ,则,CAE EAB ∠=∠ADB ACE ∆∆∽， ………8分AC ADAE AB =AD AE AB AC 360⋅=⋅== ………10分23.解：（Ⅰ）,,x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩222=+∴y x 点(1,1)C 在圆上，故切线方程为2=+y x ………2分2cos sin =+∴θρθρ，切线的极坐标方程：2)4sin(=+πθρ………5分（Ⅱ）2)2(+-=x k y 与半圆)0(222≥=+y y x 相切时21|22|2=+-kk0142=+-∴k k 32-=∴k ，32+=k （舍去）……….8分设点)0,2(-B222202-=+-=AB K ,故直线m 的斜率的取值范围为]22,32(--. ………10分 24．解：（Ⅰ）当2a =时，不等式()f x x <即|2|x x x -<显然0x ≠，当0x >时，原不等式可化为： |2|1121x x -<⇒-<-<13x ⇒<<……2分 当0x <时，原不等式可化为：|2|121x x ->⇒->或21x -<-3x ⇒>或1x < ∴0x < ………4分综上得：当2a =时，原不等式的解集为{|130}x x x <<<或 ………5分 （Ⅱ）∵对任意(0,4]x ∈都有()4f x < 即4()4x x a -<-<⇒(0,4]x ∀∈，44x a x x x -<<+恒成立 ……….6分设4(),(0,4]g x x x x =-∈，4()p x x x =+，(0,4]x ∈,则对任意(0,4]x ∈， 44x a x x x -<<+恒成立⇔max min ()()g x a p x <<，(0,4]x ∈ ………7分∵24'()1,g x x =+当(0,4]x ∈时'()0g x > ∴函数()g x 在(0,4]上单调递增，∴max ()(4)3g x g == ………8分又∵24'()1p x x =-＝2(2)(2)x x x -+，∴()p x 在(0,2]上递减,]4,2[上递增∴min ()(2)4p x p ==. ………9分故)4,3(∈a ………10分。

江西省九江市数学高三下学期理数第一次模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高三下·平谷模拟) 已知集合，，则为（）．A .B .C .D .2. （2分） (2017高二下·陕西期末) （1+i）（2+i）=（）A . 1﹣iB . 1+3iC . 3+iD . 3+3i3. （2分） (2019高一上·纳雍期中) 下列函数中，在其定义域内既为奇函数且又为增函数的是（）A .B .C .D .4. （2分）在等差数列中a3＋a4＋a5＝12，为数列的前项和，则S7＝（）A . 14B . 21C . 28D . 355. （2分） (2018高二上·长安期末) 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（）A . 月接待游客逐月增加B . 年接待游客量逐年增加C . 各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D . 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳6. （2分） (2018高二上·淮北月考) 已知点P是抛物线上的-个动点，则点P到点A(0, 1)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为（）A . 2B .C .D .7. （2分）若命题p：a>0，q：方程表示双曲线，则p是q的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分） (2020高一上·大庆期末) 定义在R上的偶函数满足且在上是减函数，又是锐角三角形的两个内角，则（）A .B .C .D .9. （2分）在中，若分别为角的对边，且，则有（）A . a,c,b成等比数列B . a,c,b成等差数列C . a,b,c成等差数列D . a,b,c成等比数列10. （2分）(2018·凯里模拟) 函数的最小值为（）A . 3B . 4C . 6D . 811. （2分）为正方体，下列结论错误的是（）A . 平面B .C . 平面D .12. （2分）把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M为“两次所得点数均为奇数”，N为“至少有一次点数是5”，则P（N|M）=（）A .B .C .D .二、填空题 (共3题；共3分)13. （1分） (2016高三上·兰州期中) 已知a＞0，x，y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1，则a=________．14. （1分） (2019高二下·荆门期末) 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为________.15. （1分）设函数g（x）=x2﹣6（x∈R），，则f（1）=________，f（x）的值域是________．三、双空题 (共1题；共1分)16. （1分） (2017高二上·江苏月考) 已知互不重合的直线，互不重合的平面，给出下列四个命题，其中错误的命题是________.①若，，则②若，，则③若，，则④若，，则四、解答题 (共7题；共40分)17. （5分） (2015高二下·九江期中) 已知点P（x，y）是圆x2+y2=2y上的动点，（1）求2x+y的取值范围；（2）若x+y+a≥0恒成立，求实数a的取值范围．18. （5分）(2018·中山模拟) 中山某学校的场室统一使用“欧普照明”的一种灯管，已知这种灯管使用寿命（单位：月）服从正态分布，且使用寿命不少于个月的概率为，使用寿命不少于个月的概率为 .（1）求这种灯管的平均使用寿命；（2）假设一间课室一次性换上支这种新灯管，使用个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下（中途不更换），求至少两支灯管需要更换的概率.19. （5分）(2017·沈阳模拟) 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，△ABC和△ABB1都是边长为2的正三角形．（Ⅰ）过B1作出三棱柱的截面，使截面垂直于AB，并证明；（Ⅱ）求AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值．20. （5分）(2018·河北模拟) 已知椭圆的上顶点为点，右焦点为 .延长交椭圆于点，且满足 .（1）试求椭圆的标准方程；（2）过点作与轴不重合的直线和椭圆交于两点，设椭圆的左顶点为点，且直线分别与直线交于两点，记直线的斜率分别为，则与之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，试说明理由.21. （5分）(2017·江苏) 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1 ，过点F2作直线PF2的垂线l2 ．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若直线l1 ， l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．22. （10分） (2017高二下·曲周期末) 在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）， .（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线？（Ⅱ）设曲线与曲线的交点为，，，当时，求的值.23. （5分）设集合A={x||x﹣a|＜2}，B={x|}，若A⊆B．求实数a的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共3题；共3分)13-1、14-1、15-1、三、双空题 (共1题；共1分) 16-1、四、解答题 (共7题；共40分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、23-1、。