第二讲_二_圆锥曲线的参数方程_第三课时_抛物线的参数方程 (1)

方程是xy＝＝abstaecn
φ， φ
(φ 为参数)．
2．抛物线的参数方程
(1)抛物线 y2参数)． (2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与
原点连线的斜率的倒数．
双曲线、抛物线参数方程的基本问题
[例 1] (1)双曲线xy＝＝62se3ctαan α， (α 为参数)的焦点坐标是
＝(sec2 θ＋2 2sec θ＋2＋tan2θ)(sec2 θ－2 2sec θ＋2＋tan2θ) ＝( 2sec θ＋1)2( 2sec θ－1)2 ＝(2sec2 θ－1)2. 又|OP|2＝sec2 θ＋tan2θ＝2sec2 θ－1， 由此得|F1P|·|F2P|＝|OP|2.
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
_______．
x＝tan t，
(2)将方程y＝11－ ＋ccooss
2t 2t
(t 为参数)化为普通方程是_______．
[思路点拨] (1)可先将方程化为普通方程求解；
(2)利用代入法消去 t.
[解析] (1)将xy＝＝62se3ctαan α， 化为3y62 －1x22＝1， 可知双曲线焦点在 y 轴，且 c＝ 36＋12＝4 3， 故焦点坐标是(0，±4 3)． (2)由 y＝11－＋ccooss 22tt＝22csions22tt＝tan2t， 将 tan t＝x 代入上式，得 y＝x2，即为所求方程． [答案] (1)(0，±4 3)；(2)y＝x2
的距离是8，那么P到它的左焦点距离是________．
解析：由双曲线参数方程可知a＝1，
故P到它左焦点的距离|PF|＝10或|PF|＝6.
答案：10或6

(3)点 P 在椭圆x42＋y2＝1 上，则点 P 到直线 l：x＋2y＝0 的距 离的最大值为________．
【思路探索】 对于(1)可先求出椭圆的普通方程，再求其参
数方程；对于(2)(3)可利用椭圆的参数方程，求解．
【解析】
2a＝10， (1)由题意得ac＝35，
得ac＝＝35.， 又椭圆的焦
6 3.
题型二 双曲线的参数方程及其应用
(1) 双 曲 线 x＝co5s θ， (θ 为 参 数 ) 的 离 心 率 为 y＝4tan θ
________，渐近线方程为________；
(2)将参数方程xy＝ ＝tt＋ －11tt ，
(t 为参数)化为普通方程为____；
(3)设 M 为双曲线 x2－y2＝1 上任意一点，M0(0,2)，则|MM0| 的最小值是________．
[名 师 点 拨] 若 点 M 在 抛 物 线 y2 ＝ 2px(p>0) 上 ， 可 根 据 参 数 方 程 设 M(2pt2,2pt)，从而把点的坐标转化为与参数 t 有关的问题求解．
(2019·江南十校联考)已知曲线 M 的参数方 程为xy＝ ＝c2osisnα2α－－23si3nsiαn，αcos α (α 为参数)，曲线 N 的极坐标方程 为 ρcosθ＋π4＝m.
解析：与普通方程 x2＋y－1＝0 等价的含义是指将参数方程 转化为普通方程时，形式一致，且 x、y 的变化范围对应相同．
选项 A 化为普通方程为 x2＋y－1＝0，x∈[－1,1]与 x∈R 不 符；
选项 B 化为普通方程为 x2＋y－1＝0，x∈[0，＋∞)，y∈(－∞， 1]与 x∈R 不符；
点在 x 轴上，b2＝a2－c2＝16，∴椭圆的方程为2x52 ＋1y62 ＝1，其参

是椭圆的参
数方程.
2 .在椭圆的参数方程中，常数a、
b分别是椭圆的长半轴长和短半
轴长. a>b
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
焦点在X
轴
x
y
a cos, b sin .
焦点在Y轴xy
bcos, asin.
知识归纳
椭圆的标准方程: x2 y2 1 a2 b2
，
3
。
b
22
说明：
o B A' x
⑴ 这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
⑵ 双曲线的参数方程可以由方程x2 y2 1 与三角恒等式
sec2 1 tan2 相比较而得到a2，所b2以双曲线的参数
方程
的实质是三角代换.
例2、如图，设M
为双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同y,
点M的纵坐标与点B的纵坐标相同.
A
而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
B O
M
Nx
设∠XOA=φ
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b ＞0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆 的交点，过点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作 BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时 点M的轨迹参数方程.
0)任意一点，O为原点，
过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点。
探求平行四边形MAOB的面积，由此可以发现什么结论？
解：双曲线的渐近线方程为：y b x.
a 不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为（asec,btan）,
y

|4－0－2| 由题意知圆心(4,0)到直线的距离 d＝ 2 ＝ 2， 即半径 r＝ 2.
解析 答案
反思与感悟 在解决问题时，根据题目特征，合理选择使用参数方程还 是普通方程，所以熟练进行参数方程和普通方程的互化，是解题的必备 技能.
跟踪训练4
x＝tan t，
将方程 1－cos 2t (t为参数)化为普通方程是_y_＝__x_2_.
解 设等轴双曲线C的普通方程为x2－y2＝a2(a>0)，
依题意，得2a＝2，所以a＝1，
所以
x2－y2＝1，化为参数方程为yx＝＝tsaenc
φ， φ
(φ 为参数).
解答
(2)已知点P(0,1)，点Q在双曲线C上，求|PQ|的最小值.
解答
反思与感悟 双曲线的参数方程中，常用的三角函数关系式为sin2φ ＋cos2φ＝1⇒1＋tan2φ＝co1s2φ ＝sec2φ⇒sec2φ－tan2φ＝1.
解答
反思与感悟 本类题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决求轨迹 方程问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便.
跟踪训练 2 已知点 A 在椭圆1x424＋3y62 ＝1 上运动，点 B(0,9)，点 M 在线段
AB 上，且||MAMB||＝12，试求动点 M 的轨迹方程.
解 由题意知B(0,9)，设A(12cos α，6sin α)，M(x，y)，
梳理 (1)椭圆的参数方程 普通方程
ax22＋by22＝1 (a>b>0)
参数方程 x＝acos φ， y＝bsin φ (φ为参数)
(2)φ是点M(acos φ，bsin φ)的 离心角 .
知识点二 双曲线的参数方程
思考 1
化简co1s