高等数学教案 1.2 数列的极限

§1.2 数列的极限

【教学内容】：

1、数列的定义

2、数列极限的定义

3、收敛数列极限的性质

【教学目的】：

1、理解数列的极限概念

2、掌握收敛数列的极限性质：唯一性，有界性

【教学重点】：

收敛数列的性质 极限运算法则

【教学难点】：

数列的极限概念

【教学设计】：

首先介绍古代数学家刘徽的割圆术引入极限思想（10分钟），然后介绍数列的概念及其数列的极限定义——N ε-定义以及利用N ε-定义进行简单数列极限的证明（35分钟）；然后介绍数列极限的性质及性质的证明（35分钟）及其数列极限的四则运算法则（10分钟），最后课堂练习（10分钟）。

【教学过程】：

问题的引入：割圆术问题：

中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中介绍割圆术计算圆周率π。“割之弥细，所失弥少。割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”这句话明确的表达了极限思想。

正六边形的面积1A

正十二边形的面积2A 正162n -⨯形的面积n A

123,,,

,,

n A A A A S ⇒

一、数列的定义

定义:按自然数1,2,3,...编号依次排列的一列数 12,,

,,

n x x x (1)

称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项,n x 称为通项(一般项).数列(1)记为{}n x .例如：

()

()()()

1

1

1

1

123{}234112482{2}11111{}248221111{1}

1114

2 {

}

23n n n n n n n n n n n n n n n n

++--++---+-+-，，，，，； ，，，，； ，，，，，； ，，，，，； ，，，，，

注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取

12,,

,,

.n x x x

2.数列是整标函数().n x f n =

二、数列的极限

问题: 当n 无限增大时, n

x 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确

定?

例如：1

(1),1 1.n n n x n

--=+当无限增大时无限接近于 问题:

“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.

我们来观察⎭⎬⎫

⎩⎨⎧+n n 1的情况。不难发现

n n 1+随着n 的增大，无限制地接近1，亦即n 充分大时，n

n 1

+与1可以任意地接近，即11-+n n 可以任意地小，换言之，当

n 充分大时

11

-+n

n 可以小于预先给定的无论多么小的正数ε。例如，取1001=

ε，由1001001111>⇒<=-+n n n n ，即⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧+n n 1从第101项开始，以后的1

23

4

n

项 ,102103,101102102101==x x 都满足不等式100

1

1<

-n x ，或者说，当100>n 时，有

100111<-+n n 。同理，若取10000

1=ε，由10000100001111>⇒<=-+n n n n ，即⎭

⎬⎫⎩⎨⎧+n n 1从第10001项开始，以后的项 ,1000210003,10001100021000210001==

x x 都满足不等式10000

1

1<

-n x ，或说，当10000>n 时，有10000111<-+n n 。一般地，不论给定的正数ε多么小，总存在一个正整数N ，当N n >时，有ε<-+11

n

n 。这就充分体现了当n 越来越大时，

n

n 1

+无限接近1这一事实。这个数“1”称为当∞→n 时，⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧+n n 1的极限。

定义：设{}n x 为一数列，如果存在常数a ，若对0>∀ε（不论ε多么小），总∃

自然数0>N ，使得当N n >时，不等式ε<-a x n 都成立，那么就称常数a 是数列n x 的极限，或称数列n x 收敛于a ，记为a x n n =∞

→lim ，或a x n →（∞→n ）。如

果不存在这样的常数a ，就说数列{}n x 没有极限，或说数列{}n x 是发散的。

注意：1.;n n x a x a ε-<不等式刻划了与的无限接近

2..N ε与任意给定的正数有关

:N ε-定义lim 0,0,,.n n n x a N n N x a εε→∞

=⇔∀>∃>>-<使时恒有

其中:;∀每一个或任给的 :.∃至少有一个或存在

几何解释：

1

22

N +1N +3

a

,(,),().

n n N x a a N εε>-+当时所有的点都落在内只有有限个至多只有个落在其外例1、 证明数列 ,1

,,34,23,2n n +收敛于1。

证明：对0>∀ε，要使得

ε<=-+n n n 111，只须ε1>n ，所以取⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=ε1N ，当N n >时，有

ε<=-+n

n n 111，所以11

lim =+∞→n n n 。

说明：1、ε是衡量n x 与a 的接近程度的，除要求为正以外，无任何限制。然而，尽管ε具有任意性，但一经给出，就应视为不变。（另外，ε具有任意性，那么

2,2,2

εεε等也具有任意性，它们也可代替ε）

2、N 是随ε的变小而变大的，是ε的函数，即N 是依赖于ε的。在解题中，N 等于多少关系不大，

重要的是它的存在性，只要存在一个N ，使得当N n >时，有ε<-a x n 就行了，而不必求最小的N 。

例2、证明1lim

2

2=+∞

→n

a n n 。 证明：对0>∀ε，因为ε<=-+n

n n 1

11,因为n a n a n n a n a n 2

22222)

(1<++=-+

（此处不妨设0≠a ，若0=a ，显然有1lim

2

2=+∞

→n

a n n ） 所以要使得

ε<-+122n a n ，只须ε

a 2

就行了。 即有ε2a n >. 所以取][2

εa N = ，当N n >时，因为有

ε

a 2

⇒

ε<-+12

2n

a n ，所以1lim

22=+∞→n a n n 。