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思维导引12讲

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北京名师状元国际教育 名师面对面 顺利上重点 精品五人班

教务 86543067 人大附校区 86307303 中关村 82522461 世纪城 51987208

傲城 84920977 万柳 82860261 天秀62827601 茉莉园 82409188

◇第12讲◇行程问题（Ⅱ）

【内容概述】

具有时钟形式的行程问题，综合性较强的行程问题，运动过程中通常包括变速、转向或依据某种规律，解题时要注意发挥图示的辅助作用，并需要恰当选择关键点分段加以考虑，与设计优化方案相结合的行程问题。

【典型问题】

◈挑◈战级数：★★

北京市第十一届“迎春杯”数学竞赛·决赛第二题第4题

1.有一座时钟现在显示10时整，那么经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？

【分析与解】在10点时，时针所在位置为刻度10，分针所在位置为刻度12；当两针重合时，分针必须追上50个小刻度，设分针速度为“1”，有时针速度为“121”，于是需要时间：50÷（1-121）=54116.

所以，再经过54116分钟，时针与分针第一次重合。

第二次重合显然为12点整，所以再经过（12-10）×60-54116=65115分钟，时针与分针第二次重合。

评注：标准的时钟，每隔65115分钟，时针与分针重合一次。

我们来熟悉一下常见钟表（机械）的结构：

一般时钟的表盘大刻度有12个，即为小时数；小刻度有60个，即为分钟数。

所以时针一圈需要12小时，分针一圈需要60分钟（1小时），时针的速度为分针速度的121。如果设分针速度为单位“1”，那么时针的速度为“121”。

◈挑◈战级数：★★★

2. 8时到9时之间时针和分针在“8”的量变，并且两针所形成的射线到“8”的距离相等。问这时是8时多少分？

【分析与解】 8点整的时候，时针较分针顺时针方向多40格，设在满足题意时，时针走过x格，那么分针走过40-x格，所以时针、分针共走过x+(40-x)=40格

于是，所需时间为40÷（1+121）=361312分钟，即在8点361312分钟为题中所求时刻。

◈挑◈战级数：★★★

3.某人下午六时多外出买东西，出门时看手表，发现表的时针和分针的夹角为110，7时前回家时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是110。那么此人外出多少分钟？

【分析与解】如下示意图，开始分针在时针左边110位置，后来追至时针右边110位置。

北京名师状元国际教育 名师面对面 顺利上重点 精品五人班

教务 86543067 人大附校区 86307303 中关村 82522461 世纪城 51987208

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图未画

于是，分针追了110+110=220，对应6220格。

所需时间为6220÷（1-121）=40分钟。所以此人外出40分钟。

评注：通过上面的例子，看到有时是将格数除以（1+121），有时是将格数除以（1-121），这是因为有时格数是时针、分针共同走过的，对应速度和；有时格数是分针追上时针的，对应速度差。

对于这个问题，大家还可以将题改为：“9点多钟出去，9点多钟回来，两次的夹角都是110”，答案还是40分钟。

◈挑◈战级数：★★★★

第十三届“迎春杯”数学竞赛·决赛第四题第1题

4.甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，6小时候相遇在C点，如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点16千米。甲车原来每小时行多少千米？

【分析与解】方法一：（12+16）÷5=5.6小时，1÷5.6=285。

AB=5÷（285-61）=420（千米），420÷6=70（千米）

甲车原来每小时走70×161212=30（千米）

方法二：设甲、乙两人原来的速度分别为x千米/时，y千米/时，那么AC=6x，BC=6y，

在第二、三次相遇中利用甲、乙两人所用时间相等，可得方程组：

5126126yyxx

x=30

yyxx1665166，交叉相乘，解得 y=40

即甲原来的速度是每小时30千米。

方法三：设第一次改变速度，甲、乙相遇在D点，第二次改变速度，甲、乙相遇在E点

在第二次相遇中，假设走满6小时，甲走到了C点，乙则走到了F点，FC长： 5×6=30（千米）FD=30-12=18（千米）

所以乙提速5千米/时后，甲、乙速度比为DC：DF=12：18=2：3.

图未画

同样的，在第三次相遇中，假设走满6小时，乙走到了C点，甲则走到了G点，CG长：5×6=30（千米），EG长：30-16=14（千米），所以甲提速5千米/时后，甲、乙速度比为EG：CE=14：16=7：8. 北京名师状元国际教育 名师面对面 顺利上重点 精品五人班

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设甲原来速度为x千米/小时，乙原来速度为y千米/小时，则

325yx

30x

875yx，

解得 40y。即甲原来的速度为每小时30千米。

◈挑◈战级数：★★★

1995年全国小学数学奥林匹克·决赛B卷第12题

5.甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，而且甲比乙速度快。两人出发后1小时，甲与乙在离山顶600米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？

【分析与解】将上山甲、乙速度分别记为a、b；则下山时甲、乙速度为1.5a、1.5b。

图未画

用h表示山顶到山脚的距离，

由右图知bhahah5.15.0，即有4b=3a。

由左图知：bhaah6005.1600，即：75.06005.1600hh；得h=3600米。

即山顶到山脚的距离为3600米。

再变回到“甲下山速度是上山速度的1.5倍”。由1小时后，甲距山脚还有3600-600=3000米知，甲到山脚还需3000÷（4000×1.5）=0.5小时。

所以甲自出发到回到山脚共用1+0.5=1.5小时。

◈挑◈战级数：★★★

第十届“迎春杯”数学竞赛·决赛第二题第9题

6.男、女两名田径运动员在长110米的斜坡上练习跑步（坡顶为A，坡底为B）。两人同时从A点出发，在A，B之间不停地往返奔跑。已知男运动员上坡速度是每秒3米，下坡速度是每秒5米，女运动员上坡速度是每秒2米，下坡速度是每秒3米，那么两人第二次迎面相遇的地点离A点多少米？

【分析与解】开始下山时，男运动员的速度大于女运动员的速度，有男运动员到达坡底B所需时间为110÷5=22秒，此时女运动员才跑了22×3=66米。

现在女运动员的速度不变，还是每秒3米，而男运动员将从B上坡到A，速度变为每秒3米，男、女运动员的距离为110-66=44米，所以当男运动员再跑44÷（3+3）×3=22米后男女运动员第一次迎面相遇，相遇点距B地22米，如图所示。（本题4图所标注数字均是距坡底B的距离数）

B 22 第一次相遇 110 A

◆ ● ◆

男 女 北京名师状元国际教育 名师面对面 顺利上重点 精品五人班

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傲城 84920977 万柳 82860261 天秀62827601 茉莉园 82409188

所以当女运动员到达坡底B时，男运动员又跑了22米，即到达距B地44米的地方，如下图所示。

B 44 110 A

◆

● ◆

女 男

2 3

此后，女运动员从坡底B上坡到A，速度变为每秒2米，男运动员的速度还是每秒3米，所以当男运动员再跑110-44=66米到达坡顶A时，女运动员才跑了66÷3×2=44米，即距离坡底B地44米的地方，如下图所示。

B 44 110 A

◆ ● ◆

女 男

2 5

这时，女运动员的速度不变还是每秒2米，而男运动员的速度变为每秒5米，男、女运动员相距110-44=66米，所以当男、女运动员第二次相遇时，男运动员又跑了66÷（5+2）×5=4771米，如下图所示.

B 第二次相遇

7440 110 A

◆ ● ◆

女 男

2 5

即第二次相遇的地点距A点4771米。

◈挑◈战级数：★★

7.某人沿电车线路行走，每12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来。假设两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔。

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一年级数学思维第11-22讲(举一反三)

一年级数学思维第11-22讲(举一反三)

第11讲 小兔吃萝卜

【典型例题】

【B1】爷爷家有12个萝卜，爷爷要给家里的每只小兔喂一个萝卜，喂到最后，还剩下3个萝卜。问：爷爷家一共养了多少只兔？

【试一试】老师拿来20本书，发给教室里的小朋友每人一本，还剩下4本。教室里共有多少个小朋友？

【B2】学校买来20根跳绳，参加跳绳比赛的同学每人一根，结果还差4根。问：参加跳绳比赛的小朋友共有多少人？

【试一试】老师拿来20本书，发给教室里的小朋友每人一本，还缺6本。教室里共有多少个小朋友？

【B3】小亮参加旅游，和旅游团每一个人合照一次相，他一共照了19次相。这个旅游团共有多少人？

【试一试】聪聪去参加数学竞赛，和每一位竞赛选手握了一次手，他一共握了21次。参加数学竞赛的一共有多少人？

【A1】有两根同样长的绳子，用去一些后，第一根绳子还剩4米，第二根绳子还剩6米。哪根绳子用去的多？多几米？

【试一试】有两根同样的彩带，用去一些后，第一根彩带还剩10米，第二根彩带还剩8米。哪根用去的多？多几米？

【A2】小华买了一支铅笔和一个卷笔刀共用去3元钱；小莉买一支同样的铅笔和一盒蜡笔用去5元钱，一个卷笔刀和一盒蜡笔哪个贵？贵几元？

【试一试】琪琪买一本书和一支铅笔共花去8元钱；亮亮买了同样的一本书和一副三角板共花去9元钱。一支铅笔和一副三角板哪个贵？贵多少？

课 外 作 业

家长签名：

1、幼儿园小班共有25个小朋友，阿姨要给每个小朋友发一个苹果，发到最后，多出3个苹果。问：共有多少个苹果？

2、同学们做了25朵花，送给幼儿园小班的小朋友每人一朵，结果少了3朵，幼儿园小班共有多少个小朋友？

3、小刚去参加乒乓球赛，与每位参赛队员都要打一场，小刚一共打了15场。参赛的队员共有多少人？ 4、小象、小猪、袋鼠、小马四个小动物参加跳远比赛，小象跳了7米，小猪跳了2米，袋鼠跳了13米，小马跳了10米，谁跳得最远？

第一部第二章-名著《钢铁是怎样炼成的》阅读导引思维导图内容概括原文批注阅读训练

第一部第二章-名著《钢铁是怎样炼成的》阅读导引思维导图内容概括原文批注阅读训练

第一部第二章——名著《钢铁是怎样炼成的》

阅读导引+引言+思维导图+内容概括+情节梳理+原文批注+知识精练

1918年，红军战士进城了。布尔加科夫要处理存放的武器的问题，于是大家都赞同把武器发给老百姓，这样老百姓就能保护自己。保尔没有抢到枪，心情很失落，但他机灵地把小男孩的枪抢过来了。后来德国军队进城来了，要求把所有武器交出来，否则枪决。保尔的枪被哥哥发现了，是哥哥就把它毁了。有一次，保尔溜进列辛斯基家的花园，把德国中尉的手枪偷走了。他偷偷地藏在了老砖厂，没有任何人知道。而

这时列辛斯基家会发生什么状况呢？保尔又是否会脱离这次危险呢？请认真阅读！

《钢铁是怎样炼成的》通过描写主人公保尔，柯察金的生活经历，展现了从1915年到1930年前后苏俄广阔的历史画面和人民艰苦卓绝的斗争生活，歌颂了青年一代在斗争中献身革命的大无畏精神，展示了他们的成长历程和精神风貌。同时，这是一部带有自传性质的小说，它赞扬了在绝望中仍坚强不屈、勇敢向命运挑战的精神。

尼古拉·奥斯特洛夫斯基（1904-1936）出生于乌克兰一个贫穷的工人家庭。他只念过三年书，但十分好学，阅读了许多进步的文学作品。十月革命后，苏维埃政权面临协约国的武装干涉，他于1919年加入共青团，并参加红军奔赴前线。1920年在战斗中负重伤，转业到工厂从事共青团工作。第二年秋天，他又响应团的号召，到博亚卡尔修筑铁路，恶劣的气候使他患上了伤寒病和风湿症。1924年，他加入布尔什维克。1927年，全身瘫痪的他并不为命运所屈服，而是用笔做武器，继续战斗。在双目失明、脊椎硬化的极度困难条件下，开始了长篇小说《钢铁是怎样炼成的》的写作。1932年起，小说陆续发表。这部作品感动了那个时代千千万万的青年读者，他们把这本书看成是自己生活的教科书。1935年，苏联政府授予他“列宁勋章”。

《钢铁是怎样炼成的》以主人公保尔•柯察金的生活经历为线索，描写保尔•柯察金经历第一次世界大战、十月革命、国内战争和国民经济恢复时期的严峻生活。

【思维导引】数学三年级 第11讲 鸡兔同笼问题一(学生版)

【思维导引】数学三年级 第11讲 鸡兔同笼问题一(学生版)

第11讲 鸡兔同笼问题一

内容概述

学会求解已知“头数和与腿数和”的典型鸡兔同笼问题，以及与其结构相同的问题。熟练掌握假设法，并理解逐步调整的思想，初步了解其他类型的鸡兔同笼问题，例如已知“头数差与腿和和”，或者已知“头数的倍数关系与腿数和”的问题，并学会分组的方法。

典型问题

兴趣篇

1. 一只鸡有 1 个头 2 条腿，一只兔子有 1 个头 4 条腿，如果笼子里的鸡和兔子共有 10 个头和 26 条腿，你知道鸡和兔子各有几只吗？

2. 停车场上的自行车和三轮车一共有 24 辆，其中每辆自行车有 2 个轮子，每辆三轮车有 3 条轮子，所有自行车和三轮车一共有 56 个轮子。请问：有多少辆自行车？有多少辆三轮车？

3. 晨星小学有 30 间宿舍，其中大宿舍每间住 6 人，小宿舍每间住 4 人。如果这些宿舍一共可以住 168 人， 那么有几间大宿舍？

4. 理想小学 150 名教师参加新年联欢会，其中有一个趣味游戏，要求男老师人一组，又教师 3 人一组，结果共分了 62 组，恰好分完。请问：女教师有多少人，男教师有多少人？

5. 阿奇的存钱罐里有 5 角和 1 元的硬币共 25 枚，总钱数为 19 元。这两种硬币各有多少枚？

6. 张老师给幼儿园两个班的孩子分水果，大班每人分 2 个苹果和 5 个桔子，小班每人分得 2 个苹果和 3 个桔子，张老师一共分出了 80 个苹果和 158 个桔子。请问：小班有多少个孩子？

7. 鸡兔同笼，鸡和兔的数量一样多，共有 48 条腿，求鸡和兔各有几只。

8. 动物园里，鸵鸟和斑马生活在同一片草地上，斑马的数量是鸵鸟的 3 倍，斑马和鸵鸟一共有 140 条腿， 求斑马和鸵鸟各有几只。

9. 阿奇去参加奥运知识竞赛抢答，按规定每答对一题得 5 分，答错一题倒扣 1 分。阿奇抢答 10 道题后， 共得到 26 分。请问：阿奇答对了几道题？

10. 货运公司运送 50 箱玻璃仪器，合同规定每箱运费 20 元，但如果有捐坏，被损坏的那一箱不仅不给运费，还要赔偿 60 元，货运公司最后只得到了 760 元，请求出损坏了多少箱？

数学思维训练导引(四年级)

数学思维训练导引(四年级)

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第1讲 整数计算综合

内容概述

熟练运用已学的各种方法解决复杂的整数四则运算问题；学会利用加减抵消、分组计算方法处理各种数列的计算问题。学会处理“定义新运算”的问题，初步体会用字母表示数。

典型问题

兴趣篇

1. 计算：(1) 121×32÷8; (2) 4×(250÷8) (3) 25×83×32×125

2. 计算：(1) 56×22+56×33+56×44 (2) 222×33+889×66.

3. 计算：(1) 37×47+36×53 (2) 123×76－124×75。

4. 计算：100－99+98－97+96－95+…+12－11+10.

5. 计算：50+49－48－47+46+45－44－43+…－4－3+2+1.

6. 计算：(1+3+5+7+…+199+201) －(2+4+6+8+…+198+200).

7. 计算：1+2+3+4+…+48+49+50+49+48+…+4+3+2+1.

8. 下面是一个叫做“七上八下”的数字游戏。游戏规则是：对一个给定的数，按照由若干个7和8组成的口令进行一连串的变换。口令“7”是指在这个数中插入一个数字，使得新生成的数尽量大；口令“8”是指将这个数中的一个数字去掉，也要使新生成的数尽量大。例如：给出的数是1995，口令是“8→7，”在第一个口令“8”发出后变成995，在第二个口令“7”发出后变成9995。

如果给出数“6595”以及口令“8→7→8→7→8→8”，问：变换后依次得到的6个数的和是多少？

9. 规定运算“”为：ab= (a+1) ×(b－1), 请计算：(1)810; (2) 108.

10. 规定运算“☺”为：a☺b=a×b－(a+b), 请计算：

(1) 5☺8; (2) 8☺5; (3) (6☺5)4; (4)6☺ (54)

拓展篇

1. 计算：(1)72×27×88÷(9×11×12); (2) 31×121－88×125÷(1000÷121).