第八章 分离变量法
lxx
txu
xxuttlututlx
xu
a
tu
0)()0,(
),()0,(00),(,0),0(0,0
22
2
22
对于这样的定解问题，我们将介绍分离变量法求解，首先回忆高数中我们如何处理的求解的，高数中
处理微分或重积分是把函数分成单元函数
分离变量法的思路：对于二阶线性微分方程变换成单元函数来求解，也就是通过分离变量法把x、t
两个变量分开来，即把常微分方程变化为两个偏微分方程来求解。
分离变量法的思想：先求出具有分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理做出这些解的线性
组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数（叠加后这些特解满足边界条件不满足初始条件，再由初始条
件确定通解中的未知的数）。
叠加原理：线性偏微分方程的解的线性组合仍是这个方程的解。
特点：（1）数学上
解的唯一性来做作保证。
（2）物理上
由叠加原理作保证。
例：有界弦的自由振动
1.求两端固定的弦的自由振动的规律
lxx
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xxuttlututlx
xu
a
tu
0)()0,(
),()0,(00),(,0),0(0,0
22
2
22
第一步：分离变量（建立常微分方程定解问题）
令)()(),(tTxXtxu
这个思想可从实际的物理现象可抽象出来，比如我现在说话的声音，它的振幅肯定随时间变化，但到
达每个同学的位置不同，振幅又是随位置变化，可把声音分成两部分，一部分认为它随时间变化，一部分
随位置变化。
第二步：代入方程
（偏微分就可写成微分的形式，对于u有两个变量，但对于X、T都只有一个变量）
)()()()(2
tTxXatTxX
变形得
)()(
)()(
2
tTatT
xXxX
=
左边与t无关，右边与x无关，左右两边相互独立，要想相等，必定等于一个常数。由于x, t 是相互
独立的变量，上式必然等于同一常数。
数学物理方程考点
一. 分离变量法：知识点见课本1618PP
1.已知初边值问题：
20000,0,000,sin2ttxxxxxltttuauxltuuxuul
（1） 求此问题的固有函数（特征函数）与固有值（特征值）；
（2） 求此初边值问题的解。
解：（1）令 (,)()()uxtXxTt （1.1），其中(,)uxt不恒零，将其代入方程得到：
''2''()()()()0XxTtaXxTt
将该式分离变量并令比值为有： ''''2()()()()TtXxaTtXx 则有：
''2()()0TtaTt （1.2） ''()()0XxXx （1.3）
由原初边值问题的边界条件知： 方程（1.3）满足边界条件 '(0)0,()0XXl （1.4）
()I当0时，方程（1.3）的通解为 12()xxXxCeCe，由边界条件（1.4）知： 121200xxCCCeCe 1200CC
()0Xx 由（1.1）知：(,)0uxt，0应舍去；
()II当0时，方程（1.3）的通解为 12()XxCCx，由边界条件（1.4）知：
1200CC 同理0应舍去；
()III当>0时，则方程的通解为： 12X()cossinxCxCx
由边界条件(0)0X知：10C 即 2()sinXxCx
又由'()0Xl 知：2cos0Cl ， 令20C，则cos0l 即 2nln ，所以固有值为 2(21),0,1,2nnnlL
1 《数学物理方程》习题精练5
(椭圆型方程的边值问题)
内容 1.分离变量法
2.调和函数的性质与极值原理
3.Dirichlet问题的Green函数法
1. 分离变量法
(1)Poisson方程边值问题的“特解法”
Poisson方程描述稳恒场的分布情况，对于Poisson方程的边值问题，虽不像波动方程和热传导方程那样有所谓的Duhamel原理，但若能找到Poisson方程的一个特解，常可把它转化成Laplace方程的边值问题来求解，这便是所谓的“特解法”.
今有边值问题
(*)DyxyxuDyxyxfuuDyyxx),( ),,(),( ),,(
设),(yxw是Poisson方程的一个解(特解)，),(yxu是所给边值问题的解.令
),(),(),(yxwyxvyxu，
则),(yxv满足如下的边值问题
(**)DyxwyxvDyxvvDDyyxx),( ,),(),( ,0
亦即),(yxv是域D上的调和函数.这样，就把Poisson方程的边值问题(*)转化成Laplace方程的边值问题(**).对于特殊的区域D，我们还可以用分离变量法来求解(**).
例1 求解Poisson方程的边值问题
.0)( ,222222ayxyyxxuayxxyuu
解 ①先寻求Poisson方程的一个特解),(yxw.
显然，xyxyyx)](121[33，于是得到一个特解为
cossin121)(121)(121),(42233xyyxxyyxyxw.
题目：欧拉公式和齐次微分方程分离变量法
一、概述
欧拉公式是数学中著名的公式之一，它建立了数学中三大常数e、π和i之间的通联，对数学、物理等领域都有着广泛的应用。而齐次微分方程分离变量法是微分方程中的一种解法，通过将方程中的变量分离，可以求得微分方程的解。
二、欧拉公式
1. 欧拉公式的定义
欧拉公式是数学中的一个重要公式，它可以表示为：
e^(iπ) + 1 = 0
这个公式将自然对数e、圆周率π和虚数单位i通联在了一起，展现出了数学上的美妙和神秘。
2. 欧拉公式的意义和应用
欧拉公式不仅仅是一种数学上的奇特关系，它还在物理学、工程学、电子学等领域有着广泛的应用。在量子力学中，欧拉公式是描述波函数的基本公式之一；在信号处理中，欧拉公式可用于分析和合成信号；在控制理论中，欧拉公式可以用于复频域控制系统分析等方面。
三、齐次微分方程分离变量法
1. 齐次微分方程的定义 齐次微分方程是指方程中只含有未知函数及其导数，不含有自变量的微分方程。齐次微分方程通常具有以下形式：
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
其中M(x, y)和N(x, y)是同次齐次函数。
2. 分离变量法的基本思想
分离变量法是求解微分方程的一种常用方法，它的基本思想是将微分方程中的变量分离开来，从而可以对两边进行分别积分，最终得到微分方程的解。
3. 分离变量法的具体步骤
（1）对微分方程进行整理，将含有y的项移到一侧，含有x的项移到另一侧；
（2）对两边同时进行积分，将变量分离；
（3）对两边分别积分，得到微分方程的解。
四、欧拉公式和齐次微分方程分离变量法的关联
1. 欧拉公式与常微分方程
欧拉公式在常微分方程的解法中有着重要的意义，通过欧拉公式可以导出常微分方程的解，对于一些复杂的微分方程，欧拉公式可以提供一种简单的解法。
2. 分离变量法与欧拉公式的结合 在一些特殊的微分方程中，可以应用欧拉公式来进行变换，从而使得微分方程能够更容易地求解。通过结合欧拉公式和分离变量法，可以解决一些复杂的微分方程问题。
