1.1 探索勾股定理 北师大版八年级数学上册培优练(含答案)

1.1探索勾股定理

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的．1．（2019秋•英德市期末）如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面

积为（ ）

A．4B．8C．16D．64

【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形

的面积．

【解析】∵正方形PQED的面积等于225，

∴即PQ2＝225，∵正方形PRGF的面积为289，

∴PR2＝289，又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：

PR2＝PQ2+QR2，

∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，则正方形QMNR的面积为64．

故选：D．2．（2019秋•高新区校级期中）若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为（ ）A．25B．7C．25或7D．25或16

【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，根据勾股定理即可得到结论．

【解析】∵a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，

∴（a﹣3）2＝0，b﹣4＝0，∴a＝3，b＝4，

∴直角三角形的第三边长=32+42=5，或直角三角形的第三边长=42―32=7，

∴直角三角形的第三平方为25或7，

故选：C．3．（2021春•金牛区校级月考）下列三条线段不能组成直角三角形的是（ ）

A．3、4、5B．5、12、13C．8、15、17D．4、5、6

【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即

可．

【解析】A、32+42＝52，故能组成直角三角形，故不符合题意；B、52+122＝132，故能组成直角三角形，故不符合题意；C、152+82＝172，故能组成直角三角形，故不符合题意；D、52+42≠62，故不能组成直角三角形，故符合题意．故选：D．4．（2019秋•滨海县期中）两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼

成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（ ）

A．（a+b）2＝c2B．（a﹣b）2＝c2C．a2+b2＝c2D．a2﹣b2＝c2

【分析】用两种方法求图形面积，一是直接利用梯形面积公式来求；一是利用三个三角形面积之和来

求．

【解析】根据题意得：S=12（a+b）（a+b），S=12ab+12ab+12c2

，∴12（a+b）（a+b）=12ab+12ab+12c2，即（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，

整理得：a2+b2＝c2．故选：C．5．（2020秋•亭湖区校级期中）如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，

大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则ab的值是（ ）

A．10B．8C．7D．5

【分析】根据勾股定理解答即可．

【解析】设大正方形的边长为c，则c2＝a2+b2＝20，小正方形的面积（a﹣b）2＝4，∴20﹣2ab＝4，

解得：ab＝8，

故选：B．6．（2020秋•明溪县期中）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一

个大正方形，已知大正方形面积为25，（x+y）2＝49，用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列选项中正确的是（ ）

A．小正方形面积为4B．x2+y2＝5C．x2﹣y2＝7D．xy＝24【分析】根据勾股定理解答即可．

【解析】根据题意可得：x2+y2＝25，故B错误，

∵（x+y）2＝49，∴2xy＝24，故D错误，

∴（x﹣y）2＝1，故A错误，

∴x2﹣y2＝7，故C

正确；故选：C．7．（2020秋•东港市期中）如图，是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的个大正方形，若大

正方形的面积是17，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，则（a+b）2的值是（ ）

A．13B．25C．33D．144

【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形

斜边的平方17，也就是两条直角边的平方和是17，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正

方形的面积即2ab＝16．根据完全平方公式即可求解．

【解析】根据题意，结合勾股定理a2+b2＝17，

四个三角形的面积＝4×12ab＝17﹣1，

∴2ab＝16，

联立解得：（a+b）2＝17+16＝33．故选：C．

8．（2019秋•昌平区期末）如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（ ）

A．47B．62C．79D．98

【分析】依据每列数的规律，即可得到a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，进而得出x+y的值．

【解析】由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，……

∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，

∴当c＝n2+1＝65时，n＝8

，∴x＝63，y＝16，

∴x+y＝79，

故选：C．9．（2019秋•建湖县期中）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACB，交AB于E，CF平分∠ACD，

且EF∥BC交AC、CF于M、F，若EM＝3，则CE2+CF2的值为（ ）

A．36B．9C．6D．18

【分析】根据角平分线的定义可以证明出△CEF是直角三角形，再根据平行线的性质以及角平分线的定

义证明得到EM＝CM＝MF然后求出EF的长度，然后利用勾股定理列式计算即可求解．

【解析】∵CE平分∠ACB交AB于E，CF平分∠ACD，

∴∠1＝∠2=12∠ACB，∠3＝∠4=12∠ACD，

∴∠2+∠3=12（∠ACB+∠ACD）＝90°，

∴△CEF是直角三角形，

∵EF∥BC，

∴∠1＝∠5，∠4＝∠F，

∴∠2＝∠5，∠3＝∠F，

∴EM＝CM，CM＝MF，

∵EM＝3，

∴EF＝3+3＝6，

在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2＝62＝36．故选：A．

10．（2021春•越秀区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，

其面积分别为S1，S2，S3，且，且S1＝4，S3＝16，则S2

＝（ ）A．20B．12C．25D．23

【分析】根据勾股定理求出AC2，得到答案．

【解析】由勾股定理得，AC2＝AB2﹣BC2＝16﹣4＝12，

则S2＝AC2＝12，故选：B．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2021春•武汉期中）一竖直的木杆在离地面4米处折断，木杆顶端落在地面离木杆底端3米处，木杆

折断之前的高度为　9　米．

【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树

折断之前的高度．

【解析】∵一竖直的木杆在离地面4米处折断，顶端落在地面离木杆底端3米处，∴折断的部分长为42+32=5（米），

∴折断前高度为5+4＝9（米）．

故答案为：9．12．（2021春•隆回县期中）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，且AD＝3，AC＝6，则AB

＝　12　．

【分析】先根据CD⊥AB于D，AD＝3，AC＝6得到∠ACD是30°，再利用同角的余角相等得到∠B＝∠ACD＝30°，所以AB＝2AC＝12．

【解析】∵CD⊥AB于D，AD＝3，AC＝6，

∴∠ACD＝30°，

∵CD⊥AB于D，

∴∠B+∠BCD＝90°，

又∠ACD+∠BCD＝90°，

∴∠B＝∠ACD＝30

°，∵AC＝6，

∴AB＝2AC＝12．

故答案为12．13．（2021•龙泉驿区模拟）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝BC＝13，CD是中线，则CD的长为　

12　．

【分析】由AC＝BC，CD是中线得出△ABC是等腰三角形，CD⊥AB，然后由勾股定理求出CD即可．

【解析】∵AC＝BC，

∴△ABC是等腰三角形，

∵CD是等腰三角形底边上的的中线，

∴CD⊥AB，

∵AB＝10，

∴AD＝5，

∴在Rt△CAD中，

AD=𝐴𝐶2―𝐴𝐷2=132―52=12，故答案为：12．14．（2021春•安宁市校级期中）如图，已知正方形A的面积为25，如果正方形C的面积为169，那么正方

形B的面积为　144　．

【分析】结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面

积差．

【解析】根据题意知正方形的A面积为25，正方形C的面积为169

，则字母B所代表的正方形的面积＝169﹣25＝144．

故答案为：144．15．（2021春•天津期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，

面积分别记为S1，S2，S3，若S3＝9π，则S1+S2等于　9π　．

【分析】根据勾股定理和圆的面积公式，可以得到S1+S2的值，从而可以解答本题．【解析】∵∠ACB＝90°，

∴AC2+BC2＝AB2，

∵S1＝π（𝐴𝐶2）2×12，S2＝π（𝐵𝐶2）2×12，S3＝π（𝐴𝐵2）2×12，

∴S1+S2＝π（𝐴𝐶2）2×12+π（𝐵𝐶2）2×12=π（𝐴𝐵2）2×12=S3，

∵S3＝9π，

∴S1+S2＝9π，故答案为：9π．16．（2021•富阳区二模）有一根长33厘米的木棒（粗细忽略），木箱的长、宽、高分别为24厘米、18厘米、

16厘米，这根木棒理论上　能　（填“能”或“不能”）放进木箱．

【分析】在木箱中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大，根据木箱的长、宽、高可求出最大

距离，然后和木棒的长度进行比较即可．

【解析】设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，

根据题意得：x2＝242+182+162＝1156，

∵332＝1089，1089＜1156，

∴能放进去，

故答案为：能．