一个不等式的推广0305

2 m + 1m2 + m m + r nmm + r n+m 4 1 n 第 5 期3141( p + r - p ) n=21-m .≥4212V 3 = 9 (3 V ) 3 ,笔者将此命题再作如下推广 :22224 1即 S 1 + S 2 + S 3 + S 4 ≥9 (3 V ) 3 .当且仅当 a = b = c = d = e = f 时等号成立.1. 对于任何自然数 n ,存在自然数 m ,使得命题 4设四面体的四个侧面面积为( - 1) - n=+ m .S 1 、S 2 、S 3 、S 4 ,体积为 V , t ∈R 且 t ≥2. 则2. 对于任何自然数 p 、n ,存在自然数 m ,t t t t 2 - t7 t2 t使得S 1 + S 2 + S 3 + S 4 ≥2 ×3 6 V 3 . ④证明 :据文[ 1 ]引理 2 及不等式 ③,得( p + 1 - p )- n= m + 1 + m .t+ S t2 + S t42+ S t21t2 1 3. 对于任何自然数 n 、p 、r ,存在自然数m ,使得n≥ S 1 + S 2 + S 3 + S4 24( p + r -p )- n= m + r rn1 1 9 (3 V )3 2172下面证明推广 3. ≥4= 2×3 6 V 3 . 证明 : 因为 (p + r -) n(t t t t 17 2 t - n故 S 1 + S 2 + S 3 + S 4 ≥4 2×3 6 V3p )= 1 ,而由文[ 1 ]知2 - t7 t 2 t( p + r -p ) n=- m .= 2×3 6 V 3 .当且仅当 a = b = c = d = e = f 时等号成立.注 :命题 1 由李永利先生给出 ,命题 2～4 由庞耀辉先生给出.参考文献 :[1]] 冀金梁. Weisenb öck 不等式的三维推广[J ] . 中等数学 , 2001 (1) .[2 ] 王卓琦. 关于四面体的一个不等式[J ] . 福建中学数所以 , (p + r -p )- n=1 =.-r由推广 3 易得如下推论 :对于任何自然数 n 、p 、r , 存在自然数m ,使得学 ,1990 (1) .( p + r + p ) n=参考文献 :+ m .一个命题的再推广曾 令 辉(湖南省醴陵市渌江中学 ,412205)文[ 1 ]将命题 :对任何自然数 n ,存在自然数 m ,使得(- 1) n=-作如下推广 :1. 对任何自然数 p 、n ,存在自然数 m ,使1 4 8 3 m + r nm + 1p p + r -m + r nm + r nS 2 3 4p + 1 [ 1 ] 刘国斌. 一个命题的推广[J ] . 中等数学 ,2001 (4) .一个不等式的推广张 树 生(江西省宁都县固厚中学 ,342814)文[ 1 ]给出了下面一个三角形不等式 : 设 △ABC 的三边长分别为 a 、b 、c ,则1 ≤ a2 + b 2 + c 21得3( a + b + c )2< 2,①( -p ) n=-m . 当且仅当 a = b = c 时等号成立.2. 对任何自然数 n 、p 、r ,存在自然数 m ,使得本文将不等式 ①推广为 :设 △ABC 的三边长分别为 a 、b 、c . 对于m + 1a a 2 2 3( ) 22任意正整数 n , n > 1 ,有2000 (1) .中 等 数 学1 ≤ a n + b n + c n1[3 ] 杨开清 ,胡兆祥. 一个充要条件及其应用[J ] . 数学通3n - 1( a + b + c )n< 2n - 1 , ②报 ,1995 (9) .当且仅当 a = b = c 时等号成立.证明 :根据文[ 2 ] ,有1a n+ b n+ c n≥ a + b + cn∑ 2 的下界估计a3 3,当且仅当 a = b = c 时等号成立. 由此易知第一个不等式成立 ,取等号的条件也成立.唐 新 来(安徽省巢湖市炯炀中学 ,238072)下面证明第二个不等式 ,这等价于 1文[ 1 ] 1给出 ∑a 2 的上界估计 ,即设 a 、b 、a n +b +c n<2n - 1( a + b + c ) n.③c 为 △ABC 的三边长 , R 、r 分别表示 △ABC用数学归纳法.当 n = 2 时 ,由式 ①知式 ③成立. 设 n =k , k ∈N , k > 1 时 ,不等式 ③成立 ,有a k+ b k+ c k<1 ( a + b + c ) k. 2k - 1 的外接圆、内切圆半径 ,则有1( R 2 + r 2 ) 2 + Rr (2 R - 3 r ) 2∑ 2 ≤ . ①a R r 16 R - 5 r 文[ 2 ]将 ①式加强为 1 1则 a k + 1 + b k + 1 + c k + 1< a k( b + c ) + b k( c + a ) + c k( a + b ) ∑ 2 ≤ 2 .②a4 r1 kk本文给出 ∑ 2 的下界估计= a [ ( a + b + c ) - a ] + b [ ( a + b + c ) - b ] + c k[ ( a + b + c ) - c ] = ( a + b + c ) ( a k+ b k+ c k)a11∑ 2 ≥2 Rr . ③2 22 22 2- ( a k + 1 + b k + 1 + c k + 1 ) .故 a k + 1 + b k + 1 + c k + 1证明 : ∑1= b c + a c + a ba 2b 2 c2<1 ( a + b + c ) ( a k + b k + c k) 2 ( bc ) ( ac ) + ( ac ) ( ab ) + ( bc ) ( ab )≥a 2b 2 c2 < 1 ( 2k a + b + c ) k + 1 . =c + a + b .abc这说明 n = k + 1 时 ,不等式 ③也成立. 因此 , ②中第二个不等式也成立. 注 :文[ 3 ] 中证明了 : 使不等式 ( a + b +c ) 3≥k ( a 3 + b 3 + c 3 ) 对任意三角形都成立的由三角形中的恒等式 a + b + c = 2 p (其中 p 为半周长) , abc = 4 Rrp 代入上式即得 ③.有趣的是由 ②和 ③可得k 的取值范围是 k ≤4 ,且原不等式中等号不2 r ≤ 1≤R .成立. 显然 , ②中第二个不等式也是这一结果2 r ∑1 a2的推广.参考文献:[ 1] O. Bottema 等著. 几何不等式[ M] . 单译. 北京:北这里又出现了欧拉不等式的一个隔离. 参考文献:1 ( )京大学出版社,1991.[2 ] 张建群. 一个不等式的推广及应用[ J ] . 数学通报, [ 1] 张. ∑a2的上界估计[J ] . 中等数学,2000 2 . [ 2 ] 庞如兰. 一个不等式的加强[J ] . 中等数学,2003 (1) .。

不等式的证明方法及其推广摘要：在初等代数和高等代数中，不等式的证明都占有举足轻重的位置。

初等代数中介绍了许多具体的而且相当有灵活性和技巧性的证明方法，例如换元法、放缩法等研究方法；而高等代数中，可以利用的方法更加灵活技巧。

我们可以利用典型的柯西不等式的结论来证明类似的不等式；除此还可以利用导数，微分中值定理，泰勒公式，积分中值定理等有关的知识来证明不等式；在正定的情况下，也可以用判别式法；掌握了定积分化为重积分的内容之后，对于某类不等式，也可以将定积分化为重积分，再证明所求的不等式。

由此我们可以看到，不等式的求解证明方法并不唯一，但是初等数学里的不等式，都可以用高等数学的知识来解决，解答更为简洁。

所以，高等数学对初等数学的教学和学习具有重要的指导意义。

本文归纳和总结了一些求解证明不等式的方法与技巧，突出了不等式的基本思想和基本方法，便于更好地了解各部分的内在联系，从总体上把握证明不等式的思想方法；注重对一些著名不等式的推广及应用的介绍。

关键词：不等式；证明方法1 引言1．1 研究的背景首先，我们要从整个数学，特别是现代数学在21世纪变得更加重要来认识不等式的重要性。

美国《数学评论》2000年新的分类中，一级分类已达到63个，主题分类已超过5600多个，说明现代数学已形成庞大的科学体系，并且仍在不断向纵深化发展。

它在自然科学、工程技术、国防、国民经济(如金融、管理等)和人文社会科学(如语言学、心理学、历史、文学艺术等)以至我们的日常生活中的应用都在不断深化和发展。

它为我们提供了理解信息世界的一种强有力的工具，它也是新世纪公民的文化和科学素质的重要组成部分。

而不等式在数学中又处于独特的地位。

美国《数学评论》在为匡继昌的《常用不等式》第2版写的长篇评论中指出:“不等式的重要性，无论怎么强调都不会过分。

”这说明不等式仍然是十分活跃又富有吸引力的研究领域。

再者不等式的求解和证明一直是高考的热点和难点。

近年来高考虽然淡化了单纯的不等式证明的证明题。

不等式的推广及应用
第1题证明不等式.
人教版《高中数学第二册》（上）P
11
利用该不等式可以简捷巧妙地解答其它一些不等式问题.本文简单介绍它的应用及推广，供大家在教学中参考.
一、不等式的应用
例1 设c是直角三角形斜边的长，两直角边长为a和b,求证
证明：∵
例2 填空：设的最小值为 .
当且仅当.
例3 设A、B、C、D为空间中的四点，
求证：
证明：如图，取BD的中点E，连结AE和EC，则在△ABD和△BCD中，根据中线的性质，有
二、不等式的推广及应用
不等式可以推广成如下命题：
如果：
=a n时取“=”号）.
证明：
例4 （外森比克不等式）已知三角形的边长为a,b,c，其面积为S，求证
，并指出何时等号成立.
证明：由海伦公式，
例5 试确定的所有实数解.
解：由
取“=”号.
所以，原方程组有唯一实数解
三、不等式的再推广及应用
不等式还可以再推广，这就是著名的Holder不等式.
如果
（当且仅当时取“=”号）.
证明从略.
例6 求证：
证明：由Holder不等式，得
例7 设A、B、C为△ABC的三个内角，n为自然数，求证
证明：由不等式，得
当且仅当时取“=”号.
例8 已知，求证
证明：由H lder不等式，得
事实上，我们称M m(=为n个正数
的m次幂平均．关于幂平均有下面的定理：
如果为正数，，那么
（）（当且仅当a1=a2=…=a n时取“=”号）．
证明从略．
据定理，有Ｍ２（）Ｍ１（）（当且仅当
时取“=”号），即
）（）（当
且仅当时取“=”号），即为不等式.。

一道不等式例题的推广及应用高中数学必修第二册（上）第12页例3：2233,,ab b a b a b a b a +>+≠则有都是正数，且若 （1）文[1]对（1）式进行指数推广，笔者认为可以进一步推广为: 引理 则有且同号都是正数，若,,,R l k b a ∈ k l l k l k l k b a b a b a +≥+++ 当且仅当b a =时取到等号。

证明：因为 0))((≥--=--+++l l kk k l l k l k l k b a b a b a b a b a 所以 k l l k l k l k b a b a b a +≥+++ 证毕。

下面我们考虑对其项数推广。

注意到引理的结构，两边同时加上lk lk ba +++，则可得k l l k l k l kb a b a b a +≥+++)(2+l k l k b a +++即，))(()(2l l k k l k l k b a b a b a ++≥+++，所以有：定理 :,,1,则有且同号、且若R l k N i n i R a i ∈∈≤<∈+)(1111∑∑∑===+≥n i l i n i k i ni lk i a a n a 时取等号当且仅当n a a a === 21证明：因为∑∑=+=+=nj l k j n i lk i a a 11所以∑∑∑∑∑∑=+=+====+++++=+=+nj l k j n i lk i n j n i n j n i lk j lk i lk j lk i a n a n na a a a 111111)()(∑=+=ni l k i a n 12 （2）由引理及∑∑∑∑======nj l j ni l i n i n j k j k i a a a a 1111,所以∑∑∑∑∑∑∑=======+++=+≥+ni l i kj n j n i ki lj nj n i kj li lj ki n j n i lk j lk i a a a a a a a a a a 1111111)()()(∑∑∑∑∑∑=======+=ni l i n i ki n i li n j kj n i ki n j lj a a a a a a 1111112 （3）时等号取到即当且仅当n j i a a a a a ==== 21结合（2）（3）可得定理成立。

一道不等式的推广及证明
推广不等式与证明是数学中一个重要的概念。

在数学教学中，推广不等式一般是通过一系列的不等式组合而成的。

一个典型的例子是“谢尔宾斯基不等式”，它被认为是现代初等数学计算方法中一个重要的结果。

本文将介绍如何推广谢尔宾斯基不等式并对其证明。

谢尔宾斯基不等式是由俄国数学家莫里斯·谢尔宾斯基在会议世纪会议年代提出的，其中包括以下两个不等式：
a + b≤(a+b)2/2
b2≤2ab
谢尔宾斯基不等式被用于分析不同程度的不等式，因此可以将其扩展到更多不等式。

首先，可以将前面的不等式组合起来形成新的不等式：
a + b≤(a+b)2/2+2ab
然后，可以用谢尔宾斯基不等式的基本原理来证明它的正确性。

令x = a + b，则上式可重写为：
x≤x2/2+2ax
让y=2a，则可将该不等式重写为：
x≤x2/2+xy
根据谢尔宾斯基不等式的基本原理，当y≤x时，
x2/2+xy≤x*x/2，所以我们可以得出结论：
当y≤x时，x≤x2/2+xy 成立
完成推广后，可以使用谢尔宾斯基不等式来证明上面得出的结论。

首先，可以将不等式改写为：
x−y≤x2/2
按照谢尔宾斯基不等式可以得出结论：
x≤(x−y)2/2 成立
由于x - y < x就是我们所假设的前提，因此上式等式也一定成
立。

所以，可以对我们的推广结论进行证明。

本文讲述了如何推广谢尔宾斯基不等式，并证明其正确性。

通过推广谢尔宾斯基不等式，可以得出一系列新的不等式，并且可以通过谢尔宾斯基不等式的基本原理来证明这些不等式的正确性。

基本不等式公式推广【一个不等式的商榷及推广】在文［1］中，笔者提出了一个不等式：若a、b、x、y∈R+，μ、λ∈R+且μ＞λ，则aμxλ+bμyλ≥a+bμx+y λ〔1〕当且仅当ax=by时等号成立.以及在文［2］中，以不等式〔1〕为基础拓展出的相关命题，围绕着“μ-λ=1〞这个条件而展开的，受约束条件的限制，使不等式〔1〕及其相关命题在在应用上受到限制.如今本文对不等式〔1〕再进行推广，以广大它的应用范围.定理1 若a、b、x、y∈R+，μ、λ∈R+且μ≥λ，则aμxλ+bμyλ≥2λ－μ+1a+bμx+yλ(2)当且仅当ax=by时等号成立.在证明定理1前需要如下引理：引理1 若x、λ＞0，则xλ+λ-1≥λx，当且仅当x=1时等号成立.引理2 若a、b∈R+，n∈N，则a n+b n≥2a+b2n.定理的证明：欲证明不等式〔2〕须证明如下式子:aa+bμx+yxλ+ba+bμx+yyλ≥2λ-u+1(3)设aa+b=p，ba+b=q，x+yx=γ，x+yy=s 则p+q=1， 1γ+1s=1于是不等式〔3〕转化为：pμγλ+qμsλ≥2λ-u+1由引理1知：pγμ+μ-1≥μpγ两边同时除以γμ－λ得：pμγλ+μ－1γμ－λ≥μpγ1－μ－λ (4)当且仅当pγ=1时等号成立.同理可得qμsλ+μ－1sμ－λ≥μqs1－μ－λ〔5〕当且仅当qs=1时等号成立.由〔4〕+〔5〕得: pμγλ+qμsλ≥μpγ1－μ－λ+μqs1－μ－λ-μ－1γμ－λ-μ－1sμ－λ=pμ－λ+qμ－λ又μ≥λ，μ-λ≥0，再由引理2则pμγλ+qμsλ≥2p+q2μ－λ=2λ－μ+1 命题得证.针对不等式〔2〕中，指数μ与λ之间的关系定量分析，同样有一些优美的结论.命题1 若μ=λ时，则aμxλ+bμyλ≥2a+bμx+yλ〔6〕下面举例说明这个不等式在分式不等式中的应用：例1 已知x、y都是正数，求证yx+xy≥2.［3］例2 若a1、a2、…a n同号，a=∑ni=1a i，则∑ni=1a i2a－a i≥n2n－1〔1982年西德数学竞赛题〕.例3 若0＜a i＜1〔i=1,2，…，n〕，证明∑ni=111－a i≥n1－(a1a2…a n)1n〔数学通报2021年11月号问题1765〕.命题2 若μ=λ+1时，则aμxλ+bμyλ≥a+bμx+y λ〔7〕值得一提的是，不等式〔7〕与不等式〔1〕有本质的一致性，它们是不等式〔2〕的一个特例.对于不等式〔7〕的例证可以参考文［1］-［2］,在此就不一一陈述.命题3 若μ=λ+k〔k∈N且k＞1〕时，则aμxλ+bμyλ≥21－ka+bμx+yλ〔8〕例4 若a、b、c是ΔABC的边长，2p=a+b+c，n∈N，求证：a nb+c+b na+c+c na+b≥23n－2pn－1〔第28届IMO预选题〕例5 若x i、y i∈R+〔i=1,2，…，n〕，则x31y1+x32y2+…+x3ny n≥1n·(x1+x 2+…+x n)3(y1+y2+…+y n)〔《中等数学》1999年6期“数学奥林匹克问题〞高84〕.例6 设a i＞0〔i=1,2，…，n〕，k＞0，n≥3且m、n∈N,求证：a m1a2+a3+…+ka n+a m2a3+a4+…+ka1+…+a m na1+a2+…kq n-1≥(a1+a2+…+a n)m －1nm－2(n－2+k)［4］定理2 若a、b、x、y∈R+，λ≤μ＜－1，则aμxλ+bμyλ≥2λ－μ+1a+bμx+yλ〔9〕证明：因μ＜-1，λ＜-1，令μ=－p ，λ=－q，则p＞1，q＞1aμxλ+bμyλ=a－px－q+b－py－q=x qa p+y qb p≥2λ－μ+1(x+y)q(a+b)p=2－μ+λ+1(x+y)－λ(a+b)－μ=2λ－μ+1(a+b)μ(x+y)λ命题成立.定理3 若a、b、x、y∈R+，－1＜λ≤μ＜0，则aμxλ+bμyλ≤2λ－μ+1a+bμx+yλ〔10〕纵观不等式〔2〕，不难发觉就不等式的条件是有肯定差异的，比方指数的取值范围〔－∞,－1〕、〔－1,0〕，〔0,+∞〕三个区间，分别满足对应的定理2、定理3和定理1，这既彰显了此不等式内在的优越性和可塑性，同时使得不等式讨论更具完备性.此外，对于定理1-3、命题1-3都满足不等式在肯定条件下推广更为一般化的形式.推广1 若x i、y i∈R+〔i=1,2，…，n〕，μ≥λ＞0或λ≤μ＜－1，则推广2 若x i、y i∈R+〔i=1,2，…，n〕，－1＜λ≤μ＜0，则当且仅当x1y1=x2y2=…=x ny n时等号成立.有兴趣的读者请自行证明.。

一个不等式的再推广与证明今天我们来讨论一个有趣的数学问题一个不等式的再推广与证明。

一个不等式便是数学中最常用的思维框架，这种框架可用来表达数学系统中的关系。

本文将重点介绍如何对一个不等式进行推广及如何对其进行证明。

首先，我们来看一个比较典型的不等式，即平方差不等式：若a ≤b≤c，则a+b≥2bc。

这个不等式表明，当一个数组中的三个数是连续的，b是a和c中间的那个数时，它们的平方和大于2bc的。

从上述的示例中可以得出结论，一般来说，只要a≤b≤c，就会有a+b≥2bc的不等式成立。

我们来证明这个结论：设a、b、c三个数满足a≤b≤c，那么由于a和c在b的两边，可以得出结论，a+b ≥ac+bc，而ac+bc=2bc，所以得出最终的结论：a+b≥2bc。

经过上述的证明，我们可以发现，只要a≤b≤c，就会有a+b≥2bc的不等式成立。

而有时候，我们也可以将这个不等式进行推广，使它适应更多的情况。

例如，我们可以将上述的不等式推广到n个数的情况：若a1≤a2≤…≤an，那么a1+a2+…+an≥2(a1a2+a2a3+…+an-1an)。

为了证明上述结论，我们需要做一些准备工作，即用归纳法，使此结论适用于n=1，2，3，…，n的情况。

由于对于n=1的情况显然成立，所以我们只需要证明n=k时此结论成立，即a1+a2+…+ak≥2(a1a2+a2a3+…+ak-1ak)，并且当n=k+1时此结论也成立，即a1+a2+…+ak+ak+1≥2(a1a2+a2a3+…+ak-1ak+akak+1)。

首先，我们令S1=a1+a2+…+ak，S2=2(a1a2+a2a3+…+ak-1ak)，S3=2(a1a2+a2a3+…+ak-1ak+akak+1)，那么我们只需要证明S1≥S2，S1+ak+1≥S3。

首先，我们证明S1≥S2：由于a1≤a2≤…≤ak，所以可以推算出a1+a2+…+ak≥2a1a2+2a2a3+…+2ak-1ak，即S1≥S2。

不等式的推广和应用摘要：文章以不等式为研究对象，穿插了中学数学里许多方面的重要内容，归纳总结出了不等式的建立方法、推广方向和各种应用中的解题思想和方法。

中学生在了解不等式的相关知识之后，也会对相应方面的数学知识有更加深入的认知，特别是中学数学里涉及到不等式的解题方法。

关键词：中学数学 ;不等式; 建立 ;推广 ;应用前言：不等式在中学数学中占有极重要的的低位，从最开始学习的均值不等式，到后来的柯西不等式，从最开始的利用放缩法来解决比较问题，到后来的求极值或者是最值问题，甚至是线性规划中的运用，都离不开不等式的妙用。

而且，据经验来看，掌握一些基本不等式的用法，在很多情形中就可以简化计算量。

因此，此次研究不等式的推广和简单应用，对中学生来说借鉴作用的。

在本文中，我们主要分为三个部分，在第一部分，我们主要是利用中学的知识，简介一些建立不等式的方法，也会提一些中学中没有的但是又比较著名而且基本的一些不等式，可以拓展一下中学生的眼界，增加对不等式的了解；在第二部分里，归纳总结出了出了中学中常用的一些不等式的推广方法，并且对每种方法都详加阐述，用有形的文字来传达无形但深刻的思想方法；在第三部分里，我们将介绍一些不等式的应用，主要是中学里应用到不等式的一些题型，进一步的来了解不等式的作用。

为了使读者便于理解，在每一部分，都列举了一些例子，来进行具体的解说。

总而言之，这篇论文主要是利用中学的思想解决中学里的不等式的建立、推广和应用问题,当然，笔者所述的目的是希望借此让中学生对不等式的建立、推广、应用有种意识，这样碰到类似的问题的时候，潜意识里会更容易想到这些方法的。

一、建立不等式的基本方法【1】建立不等式的方法主要有基本不等式、数学归纳法、抽屉原理法、几何法、图论法、向量法、复数法、判别式发、凸性函数法、单调方法、中值定理法、极值法、确界法和収缩法、 方法、恒等式法等等，这些方法，读者基本上可以从名字就可以有个了解，所以就不再一一赘述。

关于不等式∑∑≥ij i jx x 1（n x j=∑）的推广与加强参赛队员：徐子卿指导老师：戴中元参赛学校：华东师范大学第二附属中学省份:上海市目录摘要： (1)一、原不等式 (3)二、不等式的推广（未知数） (3)三、不等式的推广（次数） (9)四、不等式的推广（形式） (13)五、不等式的推广（参数） (16)六、不等式的猜想 (16)七、参考文献 (16)关于不等式∑∑≥ij i jx x 1（n x j=∑）的推广与加强摘要：本文借助计算机软件Free GraCalc，对∑∑≥ij i jx x 1（n x j=∑）不等式在不同次数、不同元数的情况下进行了一系列的推广与加强，并引入了一系列参数；同时对其次数、元数进行了一般化的处理，得到了一些结论，这些结论在高次不等式证明、函数求极值的问题上会有一定的应用。

创新之处：对于∑∑≥ij i jx x 1（n x j=∑）不等式进行了推广，将该不等式的形式推广到多元高次的情况下，并得到了该不等式在一般形式下的成立范围。

通过对该不等式的观察，笔者提出与其形式相似的不等式。

闪光之处：笔者推广后的结论可以应用在证明高次不等式以及求值域上。

The Enhancement,Extension and Analogueof The Inequality∑∑≥ij i jx x 1（n x j=∑）This paper presents the generalization,enhancement and analogy ofthe inequality ∑∑≥ij i jx x 1（n x j=∑）based on an computer softwarecalled Free GraCalc.It draws conclusions on different conditions of exponent and number of elements.We also introduce parameters to the inequality and generalize the exponential properties of the inequality.The conclusions can be applied to problems involving higher-order inequalities and functions or finding extreme values of functions.Keywords:Inequality,generalization,analogy,derivation,mathematics software关于不等式∑∑≥ij i jx x 1（n x j=∑）的推广与加强一、原不等式已知0,,2>=+b a b a ，则222211b a b a +≤+.证：原不等式为222211ba b a +≤+,两边同时乘22b a 得：1112222≤⇔+≤+ab b a b a ，再加上：2=+b a ，显然成立.二、不等式的推广（未知数）原不等式的已知条件是n 个数的和为n ，下面证明该命题额加强形式：已知条件为n 个数的和小于等于n .1.1已知0,,,3>≤++c b a c b a ，则222222111c b a c b a ++≤++.证：不妨设c b a ≥≥，则2≤+c b ,令222222111),,(c b a cb ac b a f ---++=,首先，对于两个正实数c b ,，当c b +为定值且小于等于2时：01114)(222≥-∴=+≤cb c b bc ,()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=--+∴116211111222222222c b c b c b c b c b c b ,当且仅当c b =时等号取到.22222223232312311),,(⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-≥∴a a a a a a c b a f ,下面证明：023*********)(2222≥⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=a a a a a a a g ,()33233316)'(a a a a g --+-=,()33486)(44''--+=a a a g ,先证明当30<<a 时，0)(''≥a g ,显然()44348,6a a -均大于0,且31<≤a 时()3)13(4834844≥-≥-a ，10<<a 时，664≥a ,∴结论成立.由上述结论可知')(a g 单调递增0)(0)1('≥∴=a g g ,0)(0)1()(min ≥∴==∴a g g a g ,综上所述：得证2.已知4≤+++d c b a ，则222222221111d c b a dc b a +++≥+++.证：不妨设d c b a ≥≥≥,421122≥++ab ba,∴只需证明4)(4211222222222-+++=-++++≥+d c b a ab d c b a d c ,记12≤∴+=A dc A ,记4)24(11),(22222+----+=d c A dc d c f ,42)24(2),(222+---=∴A A AA A f ,)2(211),(),(222222A d c Ad c A A f d c f -+--+=-∴化简得：[]()0)2()(2)()(822)(2)(),(),(2222222222222222≥-++-≥+-+++-=-d c d c d c d c d c d c d c cd d c d c d c d c A A f d c f ,又0)13()1(42)24(2),(),(23222≥+--=+---=≥A A A A A A A A f d c f ,∴可以证明得：222222221111d c b a dc b a +++≥+++,3.已知5≤++++ed c b a ，则222222222211111e d c b a ed c b a ++++≥++++,证：不妨设e d c b a ≥≥≥≥，则有4≤+++e d c b ,设e d c b a k ++++=,令222222222211111),,,,(e d c b a ed c b ae d c b af -----++++=,由2的证明不难看出，当e d c b +++为定值且小于等于4时,222222221111e d c b ed c b ----+++的最小值当且仅当e d c b ===时取到,令2222441),(b a b a b a g --+=,),(),,,,(b a g e d c b a f ≥∴,又4a kb -≤4)()(641)4,(),(2222a k a a k a a k a g b a g ----+=-≥∴,令4)()(641)(2222a k a a k a a h ----+=,当5=k 时，()20322910)5(4)1(54)5()5(641)(2342222222--+----=----+=a a a a a a a a a a a a h ,令20322910)(234--+-=a a a a a m ,3258304)(23'-+-=a a a a m ,0)('=a m 时，解得44113,44113,1321+=-==x x x ,⎦⎤⎢⎣⎡-∈∴44113,1a 时，)(a f 单调递增,⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈44113,44113a 时，)(a f 单调递减,⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈5,44113a 时，)(a f 单调递增,而032)1(,016.944113(>-=<-≈-m m ,故)(a m 在51<≤a 时小于0，0)(≥∴a h ，等号当且仅当1=a 时取到,当5≠k 时，令kex k d x k c x k b x k a x 5,5,5,5,554321=====,则554321=++++x x x x x ,()2524232221225242322212222222222225111112511111x x x x x k x x x x x k e d c b a e d c b a ++++≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⇔++++≥++++∴162554>∴<kk ,()(),111115625,11111625,1111111111625,111116252543214425242322214425242322212524232221252423222144252423222125242322214⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++-≥++++-+++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-=++++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++∴x x x x x k k x x x x x k k x x x x x x x x x x x x x x x k k x x x x x x x x x x k 设xx m 1)(=，则043)(5.2''>=-x x m ,由Jensen 不等式：⎪⎭⎫⎝⎛++++≥++++55)()()()()(5432154321x x x x x m x m x m x m x m x m ,4425432144625111115625kkxxxxxkk-≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++-∴,5<∴k上式显然成立，且等号条件为54321xxxxx====即edcba====.n=6,7,8时，证明过程与n=5相同，在此不详细说明.由上述说明可以发现当nxxn=+...1时不等式成立，则nxxn<+...1时，不等式也肯定成立.下面附上n=6,7,8时，h(a)的函数图像.n=6，5)6()6(1251)(2222aaaaah----+=,且0)1(=h,n=7,6)7()7(2161)(2222aaaaah----+=,且0)1(=h,n=8,7)8()8(3431)(2222a a a a a h ----+=,且0)1(=h ,4.已知9=++++++++i h g f e d c b a 则：222222222222222222111111111ih g f e d c b a i h g f e d c b a ++++++++≤++++++++,()()8995121)(2222----+=a a a a a h ,[])721288918()1(9)9(81)(234222--+----=a a a a a a a a h ,即考虑721288918)(234--+-=a a a a a f 在91<≤a 的正负性,411325,10)64252)(1(2)(2'±=⇒=+--=a a a a a f ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈∴411325,1a 时，)(a f 单调递增,⎦⎤⎢⎣⎡+-∈411325,411325a 时，)(a f 单调递减,⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈9,411325a 时，)(a f 单调递增,而0576)9(,02.51)411325(<-=<-≈-f f ,故)(a f 在91<≤a 时小于0，0)(≥∴a h ，等号当且仅当1=a 时取到,综上所述：得证.4.下面说明：若10=+++++++++j i h g f e d c b a 则222222222222222222221111111111j i h g f e d c b a j i h g f e d c b a +++++++++≤+++++++++不成立,()()910107291)(2222---+-=a a a a a h ,()9209202101458)(33'+---=a a a a h ,下图为')(a h 的图像,当a=5,b=3其余全等于0.25时取到反例,下面说明当元数大于10时，该类型不等式均不成立,取1...,25.0...,2,51211104321=========n x x x x x x x x ，则n x i =∑,而∑∑≥221i ix x ，∴得证.三、不等式的推广（次数）该部分证明方法和2.3相同，所以不详细叙述。

一个不等式的简证、推广及其它不等式在数学中是一个非常重要的概念，不等式定义了一种不同的数学表达式，用来描述不同类型的数据之间的联系。

本文将介绍一个不等式的简证、推广及其它相关的内容。

首先，要简要证明一个不等式，需要分类讨论两种不同的情况：一个是假设某个未知的不等式变量取两个不同值时，其结果仍保持不等式成立；另一个则是假设该未知变量只取一个特定值时，其结果仍保持不等式成立。

简要证明过程中，可利用数学归纳法对不等式进行简要证明。

归纳法中，可以通过不断地添加新的成立条件来证明某个不等式。

在添加新的条件时，需要考虑到当未知变量取两个不同的值时，不等式可以维持原有的成立性。

在简要证明不等式后，可以进行推广，即可以推广证明某个不等式，例如可以证明一个不等式对于所有未知变量作用域内的值都成立。

通常，推广的实现需要基于归纳法，即可以根据未知变量取不同值的情况，比较不等式的左右两侧的表达式的值，从而得出不等式成立的结论。

此外，还可以从不等式的结果中推测出其它更强的结论，例如可以指出在某一条件下，某一不等式的右侧的表达式的值会受到某一变量的限制。

当变量取特定值时，不等式的结果也会受到相应的限制。

另外，还可以利用数学分析技术对某一不等式进行复杂分析，例如可以利用三角不等式对某一复杂不等式进行求值，从而找出未知变量取值的范围，以及对应变量取不同值时，不等式的结果是什么。

通过以上内容，可以看出，不等式在数学中有着重要的应用，在简要证明、推广及其它分析方面都占据着重要的地位。

不等式的简要证明可以使用数学归纳法，推广可以利用归纳法确定不等式的成立性；而复杂分析则可以利用数学分析技术，如三角不等式等，从而求出未知变量取值范围及其对不等式结果的影响。

本文仅仅介绍了一个不等式的简要证明、推广及其它，其它种类更多、更复杂的不等式研究也应该进行深入研究，使数学的知识得到更加丰富的体现。

一个代数不等式的加强和推广
张俊杰;刘海槐
【期刊名称】《中学数学教学》
【年(卷),期】2011(000)004
【摘要】《中等数学》数学奥林匹克问题高中229问题如下：rn设a，b，c〉0，且abc=1，求证：rn1/a＋1/b＋1/c＋ 3/a＋b＋c≥4
【总页数】1页(P58-58)
【作者】张俊杰;刘海槐
【作者单位】华南师范大学数学科学学院,510631;华南师范大学数学科学学
院,510631
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.一个代数优美不等式的证明和推广 [J], 王炜
2.对一个代数不等式的再加强与推广 [J], 边欣
3.对一个代数不等式的另证、加强与推广 [J], 卫福山
4.一个代数不等式的加强与一组几何不等式 [J], 杨正义
5.一个代数不等式的加强与推广 [J], 黄恒
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一个推广不等式取等号的充要条件
惠州人
【期刊名称】《中等数学》
【年(卷),期】1999(000)005
【摘要】文[1]将1998年全国高中数学联赛加试第二题推广为: 设
x₁,x₂,…,x_n,y₁,y<s ub>2</sub>,…,y+_n∈[a,b]（0&lt;a&lt;b）,且求证: 但“等号成立的充要条件存在不存在,还需作为一个问题进行探求”.本文参照文[2]的方法得出,式（1）取等号的充要条件是:
【总页数】2页(P22-23)
【作者】惠州人
【作者单位】陕西师范大学数学系 710062
【正文语种】中文
【中图分类】G634.605
【相关文献】
1.Sylvester不等式等号成立的一个充要条件 [J], 韩光辉
2.Frobenius不等式中等号成立的充要条件 [J], 马建荣;刘三阳;张鹏鸽
3.GA-凸函数的若干不等式等号成立的充要条件 [J], 陈少元;宋振云
4.一个不等式取等号的充要条件及其应用 [J], 李仁杰;
5.取等号--活用基本不等式的一个着眼点 [J], 楼益平
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