人教版初中九年级数学上册《二次函数的图像》教案

22.1 二次函数的图像和性质教学目标：1．熟练掌握二次函数的有关概念．2．熟练掌握二次函数y＝ax2的性质和图象．3．掌握并灵活应用二次函数y＝ax2＋k,y＝a(x－h)2,y＝a(x－h)2＋k的性质及图象．4．掌握并灵活应用二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质及其图象．5．能根据条件运用适当的方法确定二次函数解析式．教学重难点：图形和性质的应用,及两种形式的转化,解析式求解知识点一：二次函数的概念例题．下列函数中,二次函数是（）A．y=﹣4x+5B．y=x（2x﹣3）C．y=（x+4）2﹣x2D．y=【分析】根据二次函数的定义,逐一分析四个选项即可得出结论．【解答】解：A、y=﹣4x+5为一次函数；B、y=x（2x﹣3）=2x2﹣3x为二次函数；C、y=（x+4）2﹣x2=8x+16为一次函数；D、y=不是二次函数．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的定义,牢记二次函数的定义是解题的关键．变式1．圆的面积公式S=πR2中,S与R之间的关系是（）A．S是R的正比例函数B．S是R的一次函数C．S是R的二次函数D．以上答案都不对【分析】根据二次函数定义：一般地,形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数,a≠0）的函数,叫做二次函数可直接得到答案．【解答】解：圆的面积公式S=πr2中,S和r之间的关系是二次函数关系,故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数的定义,关键是掌握二次函数的形式．变式2．下列函数中,y关于x的二次函数的是（）A．y=x3+2x2+3B．y=﹣C．y=x2+x D．y=mx2+x+1【分析】根据二次函数的定义求解即可．【解答】解：A、是三次函数,故A不符合题意；B、最高次是不是2,故B不符合题意；C、是二次函数,故C符合题意；D、m=0时是一次函数,故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了二次函数的定义,利用二次函数的定义是解题关键．知识点二：二次函数y＝ax2的性质和图象（1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0,0）,然后以原点为中心对称地选取x值,求出函数值,列表．②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．④在画抛物线时,取的点越密集,描出的图象就越精确,但取点多计算量就大,故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时,要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时,还可以根据它的对称性,先用描点法描出抛物线的一侧,再利用对称性画另一侧．例题．下列图象中,是二次函数y=x2的图象的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数y=x2的图象的特点即可得到结论．【解答】解：二次函数y=x2的图象是开口向上,顶点在原点的一条抛物线,故A符合题意,故选：A．【点评】本题考查了二次函数的图象,熟练正确二次函数的图象的特点是解题的关键．变式1．如图所示四个二次函数的图象中,分别对应的是①y=a1x2；①y=a2x2；①y=a3x2,则a1,a2,a3的大小关系是（）A．a1＞a2＞a3B．a1＞a3＞a2C．a3＞a2＞a1D．a2＞a1＞a3【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．【解答】解：如图所示：①y=a1x2的开口小于①y=a2x2的开口,则a1＞a2＞0,①y=a3x2,开口向下,则a3＜0,故a1＞a2＞a3．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数的图象,正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．变式2．下列图象中,当ab＞0时,函数y=ax2与y=ax+b的图象是（）A．B．C．D．【分析】根据直线直线y=ax+b经过的象限得到a＞0,b＜0,与ab＞0矛盾,则可对A进行判断；根据抛物线y=ax2开口向上得到a＞0,而由直线y=ax+b经过第二、四象限得到a＜0,由此可对B进行判断；根据抛物线y=ax2开口向下得到a＜0,而由直线y=ax+b经过第一、三象限得到a＞0,由此可对C进行判断；根据抛物线y=ax2开口向下得到a＜0,则直线y=ax+b经过第二、四象限,并且b＜0,得到直线与y轴的交点在x轴下方,由此可对D进行判断．【解答】解：A、对于直线y=ax+b,得a＞0,b＜0,与ab＞0矛盾,所以A选项错误；B、由抛物线y=ax2开口向上得到a＞0,而由直线y=ax+b经过第二、四象限得到a＜0,所以B选项错误；C、由抛物线y=ax2开口向下得到a＜0,而由直线y=ax+b经过第一、三象限得到a＞0,所以C选项错误；D、由抛物线y=ax2开口向下得到a＜0,则直线y=ax+b经过第二、四象限,由于ab＞0,则b＜0,所以直线与y 轴的交点在x轴下方,所以D选项正确．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线,顶点式为y=a（x﹣）2+,顶点坐标为（﹣,）；当a＞0,抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0,c）．也考查了一次函数的性质．知识点三：二次函数y＝ax2＋k的性质和图象例题．函数y=+1与y=的图象的不同之处是（）A．对称轴B．开口方向C．顶点D．形状【分析】根据a相同,可得函数图象的形状相同、开口方向相同,根据a、b相同,可得函数图象的对称轴相同．【解答】解：由二次函数y=+1与y=中a、b均相同,可知其形状、开口方向、对称轴相同,只有顶点坐标不同,故选：C．【点评】本题考查了二次函数的图象,利用了函数图象与a、b、c的关系,a相同函数的形状相同,开口方向相同．变式1．在直角坐标系中,函数y=3x与y=﹣x2+1的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】已知一次函数、二次函数解析式,可根据图象的基本性质,直接判断．【解答】解：①一次函数y=3x的比例系数k=3＞0,①y随x的增大而增大,排除A、C；因为二次函数y=﹣x2﹣1的图象的顶点坐标应该为（0,1）,故可排除B；故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象及正比例函数的图象,应该识记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限,以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．变式2．在同一坐标系中,一次函数y=ax+b与二次函数y=bx2+a的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负,再与二次函数y=bx2+a的图象相比较看是否一致．【解答】解：A、由抛物线可知,图象与y轴交在负半轴a＜0,由直线可知,图象过一,三象限,a ＞0,故此选项错误；B、由抛物线可知,图象与y轴交在正半轴a＞0,二次项系数b为负数,与一次函数y=ax+b中b ＞0矛盾,故此选项错误；C、由抛物线可知,图象与y轴交在负半轴a＜0,由直线可知,图象过二,四象限a＜0,故此选项正确；D、由直线可知,图象与y轴交于负半轴,b＜0,由抛物线可知,开口向上,b＞0矛盾,故此选项错误；故选：C．【点评】此题考查了抛物线和直线的性质,用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法,难度适中．知识点四：二次函数y＝a(x－h)2的性质及图象例题．与函数y=2（x﹣2）2形状相同的抛物线解析式是（）A．y=1+B．y=（2x+1）2C．y=（x﹣2）2D．y=2x2【分析】抛物线的形状只是与a有关,a相等,形状就相同．【解答】解：y=2（x﹣2）2中,a=2．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象,抛物线的形状与a的关系,比较简单．变式1．在平面直角坐标系中,函数y=﹣x+1与y=﹣（x﹣1）2的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】已知两函数解析式,分别求出它们经过的象限,开口方向,逐一判断即可．【解答】解：①y=﹣x+1的图象过第一、二、四象限,y=﹣（x﹣1）2的开口向下,顶点在点（1,0）,①同时符合条件的图象只有选项D．故选：D．【点评】本题考查了一次函数与二次函数的图象,解答此题只要大致画出一次函数和二次函数的图象,就可以直接找出问题的答案．变式2．同一坐标系中,抛物线y=（x﹣a）2与直线y=a+ax的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】可先根据一次函数的图象判断a、b的符号,再判断二次函数图象与实际是否相符,判断正误．【解答】解：A、由一次函数y=a+ax的图象可得：a＜0或a＞0,此时二次函数y=（x﹣a）2的顶点（a,0）,a ＜0,矛盾,故错误；B、由一次函数y=a+ax的图象可得：a＜0,此时二次函数y=（x﹣a）2的顶点（a,0）,a＞0,矛盾,故错误；C、由一次函数y=a+ax的图象可得：a＜0或a＞0,此时二次函数y=（x﹣a）2的顶点（a,0）,a＜0,矛盾,故错误；D、由一次函数y=a+ax的图象可得：a＞0,此时二次函数y=（x﹣a）2的顶点（a,0）,a＞0,故正确；故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象和一次函数的图象,应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限,以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．变式3．函数y=a（x﹣1）2,y=ax+a的图象在同一坐标系的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】利用a＞0对照坐标中的二次函数图象及一次函数图象判定即可．【解答】解：当a＞0时,二次函数的开口向上,对称轴为x=1,一次函数在第一,二,三象限,所以B选项正确．故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数图象及一次函数图象,解题的关键是利用a＞0来判定二次函数图象及一次函数图象的正误．知识点五：二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质及图象例题．抛物线y=﹣2（x﹣3）2+5的顶点坐标是（）A．（3,﹣5）B．（﹣3,5）C．（3,5）D．（﹣3,﹣5）【分析】根据抛物线的顶点式,可直接得出抛物线的顶点坐标．【解答】解：①抛物线的解析式为y=﹣2（x﹣3）2+5,①抛物线的顶点坐标为（3,5）．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的顶点式,从顶点式可以直接得出抛物线的顶点．变式1．如图,平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数图象得出顶点位置,进而根据各选项排除即可．【解答】解：根据二次函数顶点坐标位于第三象限,只有选项D的顶点符合要求,故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数图象,根据图象得出顶点位置是解题关键．变式2．二次函数y=（x+1）2﹣2的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】分别根据抛物线的开口方向、对称轴的位置及抛物线与y轴的交点位置逐一判断可得．【解答】解：在y=（x+1）2﹣2中由a=1＞0知抛物线的开口向上,故A错误；其对称轴为直线x=﹣1,在y轴的左侧,故B错误；由y=（x+1）2﹣2=x2+2x﹣1知抛物线与y轴的交点为（0,﹣1）,在y轴的负半轴,故D错误；故选：C．【点评】本题考查了对二次函数的图象和性质的应用,注意：数形结合思想的应用,主要考查学生的观察图象的能力和理解能力．知识点六：二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质及其图象个单位,再向上或向下平移| |个单位得到的4ac−b24ab2a例题．用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y=（x﹣4）2+7B．y=（x﹣4）2﹣25C．y=（x+4）2+7D．y=（x+4）2﹣25【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案．【解答】解：y=x2﹣8x﹣9=x2﹣8x+16﹣25=（x﹣4）2﹣25．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式,正确配方是解题关键．变式1．将二次函数y=x2+x﹣1化为y=a（x+h）2+k的形式是（）A．y=B．y=（x﹣2）2﹣2C．y=（x+2）2﹣2D．y=（x﹣2）2+2【分析】运用配方法把原式化为顶点式即可．【解答】解：y=x2+x﹣1=（x+2）2﹣2．故选：C．【点评】本题考查的是二次函数的三种形式,正确运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．变式2．已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图,关于该函数在所给自变量的取值范围内,下列说法正确的是（）A．有最大值2,有最小值﹣2.5B．有最大值2,有最小值1.5C．有最大值1.5,有最小值﹣2.5D．有最大值2,无最小值【分析】直接利用利用函数图象得出函数的最值．【解答】解：①二次函数的图象（0≤x≤4）如图,关于该函数在所给自变量的取值范围内,①x=1时,有最大值2,x=4时,有最小值﹣2.5．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数的最值,利用数形结合分析是解题关键．变式3．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论中错误的是（）A．函数有最小值B．c＜0C．当﹣1＜x＜2时,y＞0D．当x＜时,y随x的增大而减小【分析】观察可判断函数有最小值；由抛物线可知当﹣1＜x＜2时,可判断函数值的符号；由抛物线与y轴的交点,可判断c的符号；由抛物线对称轴和开口方向可知y随x的增大而减小,可判断结论．【解答】解：A、由图象可知函数有最小值,故正确；B、由抛物线与y轴的交点在y的负半轴,可判断c＜0,故正确；C、由抛物线可知当﹣1＜x＜2时,y＜0,故错误；D、由图象可知在对称轴的左侧y随x的增大而减小,故正确；故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象的性质,解析式的系数的关系．关键是掌握各项系数与抛物线的性质之间的联系．变式4．当a≤x≤a+1时,函数y=x2﹣2x+1的最小值为1,则a的值为（）A．﹣1B．2C．0或2D．﹣1或2【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值,结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1,即可得出关于a的一元一次方程,解之即可得出结论．【解答】解：当y=1时,有x2﹣2x+1=1,解得：x1=0,x2=2．①当a≤x≤a+1时,函数有最小值1,①a=2或a+1=0,①a=2或a=﹣1,故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值,利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值是解题的关键．变式5．二次函数y=2x2﹣8x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时,它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时,它的图象位于x轴的上方,则m的值为（）A．8B．﹣10C．﹣42D．﹣24【分析】根据抛物线顶点式得到对称轴为直线x=2,通过顶点坐标位置特征求出m的范围,将A选项剔除后,将B、C、D选项带入其中,并根据二次函数对称性和增减性特点判断是否合理．【解答】不如先通过顶点坐标位置特征求出m的范围,将A选项剔除后,将B、C、D选项带入其中,并根据二次函数对称周两侧图象增减性特点令x=﹣2时y值小于零和x=6时y值大于零去取舍各位合理．忘菁优网老师能够采纳．解：①抛物线y=2x2﹣8x+m=2（x﹣2）2﹣8+m的对称轴为直线x=2,而抛物线在﹣2＜x＜﹣1时,它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时,它的图象位于x轴的上方,①m＜0,当m=﹣10时,则y=2x2﹣8x﹣10,令y=0,则2x2﹣8x﹣10=0,解得x1=﹣1,x2=5,则有当﹣2＜x＜﹣1时,它的图象位于x轴的上方；当m=﹣42时,则y=2x2﹣8x﹣42,令y=0,则2x2﹣8x﹣42=0,解得x1=﹣3,x2=7,则有当6＜x＜7时,它的图象位于x轴的下方；当m=﹣24时,则y=2x2﹣8x﹣24,令y=0,则2x2﹣8x﹣24=0,解得x1=﹣2,x2=6,则有当﹣2＜x＜﹣1时,它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时,它的图象位于x轴的上方；故选：D．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及抛物线的轴对称性：求二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数,a≠0）与x轴的交点坐标,令y=0,即ax2+bx+c=0,解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．①=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：①=b2﹣4ac＞0时,抛物线与x轴有2个交点；①=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点；①=b2﹣4ac＜0时,抛物线与x轴没有交点．知识点七：二次函数的系数与抛物线的特征之间的关系例题．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A（3,0）,二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列结论正确的是（）A．b2＜4ac B．ac＞0C．2a﹣b=0D．a﹣b+c=0【分析】根据抛物线与x轴有两个交点有b2﹣4ac＞0可对A进行判断；由抛物线开口向上得a＞0,由抛物线与y轴的交点在x轴下方得c＜0,则可对B进行判断；根据抛物线的对称轴是x=1对C选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1,0）,所以a﹣b+c=0,则可对D选项进行判断．【解答】解：①抛物线与x轴有两个交点,①b2﹣4ac＞0,即b2＞4ac,所以A选项错误；①抛物线开口向上,①a＞0,①抛物线与y轴的交点在x轴下方,①c＜0,①ac＜0,所以B选项错误；①二次函数图象的对称轴是直线x=1,①﹣=1,①2a+b=0,所以C选项错误；①抛物线过点A（3,0）,二次函数图象的对称轴是x=1,①抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1,0）,①a﹣b+c=0,所以D选项正确；故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线,当a＞0,抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0,c）；当b2﹣4ac＞0,抛物线与x 轴有两个交点；当b2﹣4ac=0,抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0,抛物线与x轴没有交点．变式1．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,下列结论：①abc＞0；①2a+b＞0；①b2﹣4ac＞0；①a﹣b+c＞0,其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号,由抛物线与y轴的交点判断c的符号,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断．【解答】解：①①抛物线对称轴是y轴的右侧,①ab＜0,①与y轴交于负半轴,①c＜0,①abc＞0,故①正确；①①a＞0,x=﹣＜1,①﹣b＜2a,①2a+b＞0,故①正确；①①抛物线与x轴有两个交点,①b2﹣4ac＞0,故①正确；①当x=﹣1时,y＞0,①a﹣b+c＞0,故①正确．故选：D．【点评】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系,二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．变式2．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,OA=OC,则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或不等式：①=﹣1；①ac+b+1=0；①abc＞0；①a﹣b+c＞0．其中正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】此题可根据二次函数的性质,结合其图象可知：a＞0,﹣1＜c＜0,b＜0,再对各结论进行判断．【解答】解：①=﹣1,抛物线顶点纵坐标为﹣1,正确；①ac+b+1=0,设C（0,c）,则OC=|c|,①OA=OC=|c|,①A（c,0）代入抛物线得ac2+bc+c=0,又c≠0,①ac+b+1=0,故正确；①abc＞0,从图象中易知a＞0,b＜0,c＜0,故正确；①a﹣b+c＞0,当x=﹣1时y=a﹣b+c,由图象知（﹣1,a﹣b+c）在第二象限,①a﹣b+c＞0,故正确．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质,重点是学会由函数图象得到函数的性质．变式3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示,下列结论：①abc＜0；①2a﹣b＜0；①b2＞（a+c）2；①点（﹣3,y1）,（1,y2）都在抛物线上,则有y1＞y2．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】观察图象判断出a、b、c的符号,即可得出结论①正确,利用对称轴公式x＜﹣1,可得结论①正确；判断出﹣b＜a+c＜b,可得结论①正确,利用图象法可以判断出①错误；【解答】解：①抛物线开口向上,①a＞0,①﹣＜0,①b＞0,①抛物线交y轴于负半轴,①c＜0,①abc＜0,故①正确,①﹣＜﹣1,a＞0,①b＞2a,①2a﹣b＜0,故①正确,①x=1时,y＞0,①a+b+c＞0,①a+c＞﹣b,①x=﹣1时,y＜0,①a﹣b+c＜0,①a+c＜b,①b2＞（a+c）2,故①正确,①点（﹣3,y1）,（1,y2）都在抛物线上,观察图象可知y1＜y2,故①错误．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）,二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时,抛物线向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0）,对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0,c）．抛物线与x轴交点个数由①决定：①=b2﹣4ac＞0时,抛物线与x轴有2个交点；①=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点；①=b2﹣4ac＜0时,抛物线与x轴没有交点．变式4．如图,二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限,且过点（0,1）和（﹣1,0）,下列结论：①ab＜0,①b2＞4,①0＜a+b+c＜2,①0＜b＜1,①当x＞﹣1时,y＞0．其中正确结论的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】利用抛物线开口方向得a＜0,利用对称轴在y轴的右侧得b＞0,则可对①进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征得c=1,a﹣b+c=0,则b=a+c=a+1,所以0＜b＜1,于是可对①①进行判断；由于a+b+c=a+a+1+1=2a+2,利用a＜0可得a+b+c＜2,再根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（1,0）和（2,0）之间,则x=1时,函数值为正数,即a+b+c＞0,由此可对①进行判断；观察函数图象得到x＞﹣1时,抛物线有部分在x轴上方,有部分在x轴下方,则可对①进行判断．【解答】解：①由抛物线开口向下,①a＜0,①对称轴在y轴的右侧,①b＞0,①ab＜0,所以①正确；①点（0,1）和（﹣1,0）都在抛物线y=ax2+bx+c上,①c=1,a﹣b+c=0,①b=a+c=a+1,而a＜0,①0＜b＜1,所以①错误,①正确；①a+b+c=a+a+1+1=2a+2,而a＜0,①2a+2＜2,即a+b+c＜2,①抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1,0）,而抛物线的对称轴在y轴右侧,在直线x=1的左侧,①抛物线与x轴的另一个交点在（1,0）和（2,0）之间,①x=1时,y＞0,即a+b+c＞0,①0＜a+b+c＜2,所以①正确；①x＞﹣1时,抛物线有部分在x轴上方,有部分在x轴下方,①y＞0或y=0或y＜0,所以①错误．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）,当a＞0时,抛物线向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0）,对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y 轴交点,抛物线与y轴交于（0,c）；抛物线与x轴交点个数由①决定：①=b2﹣4ac＞0时,抛物线与x轴有2个交点；①=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点；①=b2﹣4ac＜0时,抛物线与x轴没有交点．变式5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图,给出下列四个结论：①b2﹣4ac＞0；①4a﹣2b+c＜0；①3b+2c＜0；①m（am+b）＜a﹣b（m≠﹣1）,其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：①抛物线与x轴有两个交点,①①＞0,①正确；①由于对称轴为x=﹣1,①（1,0）关于直线x=﹣1的对称点为（﹣3,0）,（0,0）关于直线x=﹣1的对称点为（﹣2,0）,当x=﹣2时,y=0,①4a﹣2b+c=0,故①错误；①由题意可知：=﹣1,①2a=b,当x=1时,y＜0,①a+b+c＜0,①+b+c＜0,①3b+2c＜0,故①正确；①由于该抛物线的顶点横坐标为﹣1,此时y=a﹣b+c是最大值,①am2+bm+c＜a﹣b+c（m≠﹣1）,①m（am+b）＜a﹣b（m≠﹣1）,故①正确；故选：B．【点评】本题考查二次函数的图象,解题的关键是根据图象判断a、b、c的大小关系,本题属于中等题型．知识点八：用待定系数法确定二次函数的解析式例题．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（1,0）,B（﹣1,0）,C（0,﹣2）．求此抛物线的函数解析式和顶点坐标．【分析】将各点代入抛物线解析式,利用待定系数法求出a,b,c的值即可．把函数的解析式化成顶点式即可求得．【解答】解：把点A（1,0）、B（﹣1,0）、C（0,﹣2）的坐标分别代入y=ax2+bx+c得：解得：①二次函数的解析式为y=2x2﹣2①抛物线y=2x2﹣2顶点坐标为（0,﹣2）【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式,正确解方程组得出是解题关键．变式1．已知二次函数的顶点坐标为（1,4）,且其图象经过点（﹣2,﹣5）,求此二次函数的解析式．【分析】设顶点式y=a（x﹣1）2+4,然后把（﹣2,﹣5）代入求出a的值即可．【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4,把（﹣2,﹣5）代入得a（﹣2﹣1）2+4=﹣5,解得a=﹣1,所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解．一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解．变式2．已知：二次函数图象的顶点坐标是（3,5）,且抛物线经过点A（1,3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点,且抛物线与y轴的交点是C点,求①ABC的面积．【分析】（1）设顶点式y=a（x﹣3）2+5,然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式；（2）利用抛物线的对称性得到B（5,3）,再确定出C点坐标,然后根据三角形面积公式求解．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2+5,将A（1,3）代入上式得3=a（1﹣3）2+5,解得a=﹣,①抛物线的解析式为y=﹣（x﹣3）2+5,（2）①A（1,3）抛物线对称轴为：直线x=3①B（5,3）,令x=0,y=﹣（x﹣3）2+5=,则C（0,）,①ABC的面积=×（5﹣1）×（3﹣）=5．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解．一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解．变式3．二次函数y=2x2+bx+c的图象经过点（2,1）,（0,1）．（1）求该二次函数的表达式及函数图象的顶点坐标和对称轴；（2）若点P（3+a2,y1）,Q（4+a2,y2）在抛物线上,试判断y1与y2的大小．（写出判断的理由）【分析】（1）利用待定系数法求得即可；（2）先求得P、Q所处的位置,然后根据抛物线的性质即可判断．【解答】解：（1）二次函数y=2x2+bx+c的图象经过点（2,1）,（0,1）．①解得b=﹣4,c=1所以该二次函数的表达式是y=2x2﹣4x+1．①y=2x2﹣4x+1=2（x﹣1）2﹣1,①该二次函数图象的顶点坐标为（1,﹣1）,对称轴为直线x=1；（2）①4+a2＞3+a2＞1,①P、Q都在对称轴的右边,又①2＞0,函数的图象开口向上,在对称轴的右边y随x的增大而增大,①y1＜y2．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质．变式4．已知一个二次函数的图象经过A（0,﹣3）,B（1,0）,C（m,2m+3）,D（﹣1,﹣2）四点,求这个函数解析式以及点C的坐标．【分析】设一般式y=ax2+bx+c,把A、B、D点的坐标代入得,然后解法组即可得到抛物线的解析式,再把C（m,2m+3）代入解析式得到关于m的方程,解关于m的方程可确定C点坐标．【解答】解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,把A（0,﹣3）,B（1,0）,D（﹣1,﹣2）代入得,解得,①抛物线的解析式为y=2x2+x﹣3,把C（m,2m+3）代入得2m2+m﹣3=2m+3,解得m1=﹣,m2=2,①C点坐标为（﹣,0）或（2,7）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解．一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解．变式5．已知抛物线y1=﹣x2+mx+n,直线y2=kx+b,y1的对称轴与y2交于点A（﹣1,5）,点A与y1的顶点B的距离是4．（1）求y1的解析式；（2）若y2随着x的增大而增大,且y1与y2都经过x轴上的同一点,求y2的解析式．【分析】（1）根据题意求得顶点B的坐标,然后根据顶点公式即可求得m、n,从而求得y1的解析式；（2）分两种情况讨论：当y1的解析式为y1=﹣x2﹣2x时,抛物线与x轴的交点（0,0）或（﹣2,0）,y2经过（﹣2,0）和A,符合题意；当y1=﹣x2﹣2x+8时,解﹣x2﹣2x+8=0求得抛物线与x轴的交点坐标,然后根据A的坐标和y2随着x的增大而增大,求得y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣4,0）,然后根据待定系数法求得即可．【解答】解：（1）①抛物线y1=﹣x2+mx+n,直线y2=kx+b,y1的对称轴与y2交于点A（﹣1,5）,点A与y1的顶点B的距离是4．①B（﹣1,1）或（﹣1,9）,①﹣=﹣1,=1或9,解得m=﹣2,n=0或8,①y1的解析式为y1=﹣x2﹣2x或y1=﹣x2﹣2x+8；（2）①当y1的解析式为y1=﹣x2﹣2x时,抛物线与x轴交点是（0.0）和（﹣2.0）,①y1的对称轴与y2交于点A（﹣1,5）,。

课时2-22.1-二次函数的图象-教学设计教学准备1.教学目标知识和能力使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b、y＝a(x－h)2 的图象。

过程和方法理解二次函数y＝ax2＋b、y＝a(x－h)2的性质及它与函数y＝ax2的关系。

情感态度价值观师生互动，学生动手操作，体验成功的喜悦2.教学重点/难点教学重点：会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b、y＝a(x－h)2 图象，理解二次函数y＝ax2＋b、y＝a(x－h)2 的性质，理解其与函数y＝ax2的相互关系.教学难点：正确理解二次函数y＝ax2＋b、y＝a(x－h)2 的性质，理解抛物线y＝ax2＋b与抛物线y＝ax2的关系.3.教学用具多媒体4.标签教学过程一、提出问题，引入新知1．二次函数y＝2x2的图象是__抛物线__，它的开口向_向上_，顶点坐标是_（0，0）_；对称轴是__y轴___，在对称轴的左侧，y随x的增大而__减小__，在对称轴的右侧，y随x的增大而_增大__，函数y＝2x2与x＝_0__时，取最__小__值，其最__小_值是_0__。

2．二次函数y＝2x2＋1、y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?二、分析问题，解决问题新知探究一、问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究?(画出函数y＝2x2和函数y＝2x2的图象，并加以比较)问题2：你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗?教学要点1．先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y＝2x2的图象。

2．教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值，为什么不必单独列出函数y＝2x2＋1的对应值表，并让学生画出函数y＝2x2＋1的图象．3．教师写出解题过程，同学生所画图象进行比较。

解：（1）列表：（2）描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。

（3）连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y＝2x2和y＝2x2＋1的图象。

人教版数学九年级上册22.1《二次函数的图象和性质（4）》教案一. 教材分析人教版数学九年级上册第22.1节《二次函数的图象和性质（4）》是本册教材中的重要内容，主要让学生掌握二次函数的图象和性质。

通过本节课的学习，学生能够进一步理解二次函数的图象和性质，提高解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图象和性质有一定的了解。

但部分学生对一些概念的理解仍不够深入，需要通过本节课的学习进一步巩固。

同时，学生需要掌握如何运用二次函数的图象和性质解决实际问题。

三. 教学目标1.让学生掌握二次函数的图象和性质。

2.培养学生运用二次函数的图象和性质解决实际问题的能力。

3.提高学生的数学思维能力和团队合作能力。

四. 教学重难点1.重点：二次函数的图象和性质。

2.难点：如何运用二次函数的图象和性质解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等多种教学方法，引导学生主动探究、积极思考，提高学生的学习兴趣和参与度。

六. 教学准备1.准备相关案例和问题，用于引导学生进行实践操作。

2.准备多媒体教学设备，用于展示二次函数的图象和性质。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的主题，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师利用多媒体展示二次函数的图象和性质，引导学生观察和分析，让学生对二次函数的图象和性质有更直观的认识。

3.操练（10分钟）学生分组进行实践操作，运用二次函数的图象和性质解决实际问题。

教师巡回指导，帮助学生解决操作过程中遇到的问题。

4.巩固（10分钟）教师选取部分学生的作业进行点评，让学生加深对二次函数的图象和性质的理解。

5.拓展（10分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生进行深入思考，提高学生的数学思维能力。

6.小结（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，强调二次函数的图象和性质的重要性。

7.家庭作业（5分钟）教师布置适量的家庭作业，让学生巩固所学知识。

关于二次函数的图像与性质的数学教案（9篇）二次函数的图像与性质的数学教案篇1【学问与技能】1.会用描点法画函数y=ax2(a＞0)的图象，并依据图象熟悉、理解和把握其性质.2.体会数形结合的转化，能用y=ax2(a＞0)的图象和性质解决简洁的实际问题.【过程与方法】经受探究二次函数y=ax2(a＞0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象讨论函数的阅历，培育观看、思索、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图，同学之间沟通争论，到达对二次函数y=ax2(a＞0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性.【教学重点】1.会画y=ax2(a＞0)的图象.2.理解，把握图象的性质.【教学难点】二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程.一、情境导入，初步熟悉问题 1 请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么外形呢?问题2 如何用描点法画一个函数图象呢?【教学说明】①略；②列表、描点、连线.二、思索探究，猎取新知探究1 画二次函数y=ax2(a＞0)的图象.画二次函数y=ax2的图象.【教学说明】①要求同学们人人动手，按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象，同学们画好后相互沟通、展现，表扬画得比拟标准的同学.②从列表和描点中，体会图象关于y轴对称的特征.③强调画抛物线的三个误区.误区一:用直线连结，而非光滑的曲线连结，不符合函数的变化规律和进展趋势.误区二：并非对称点，存在漏点现象，导致抛物线变形。

误区三:无视自变量的取值范围，抛物线要求用平滑曲线连点的同时，还需要向两旁无限延长，而并非到某些点停顿.二次函数的图像与性质的数学教案篇2一学习目标1、把握二次函数的图象及性质；2、会用二次函数的图象与性质解决问题；学习重点：二次函数的性质；学习难点：二次函数的性质与图像的应用；二学问点回忆：函数的性质函数函数图象a0a0性质三典型例题：例 1：已知是二次函数，求m的值例 2：（1）已知函数在区间上为增函数，求a的范围；（2）知函数的单调区间是，求a；例 3：求二次函数在区间[0，3]上的最大值和最小值；变式：（1）已知在[t，t+1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式。

人教版数学九年级上册26.1.3《二次函数的图象》教学设计3一. 教材分析《二次函数的图象》是人教版数学九年级上册第26.1.3节的内容，这部分教材是在学生已经掌握了二次函数的定义、性质的基础上，引导学生学习二次函数的图象，通过观察、分析、归纳，让学生进一步理解二次函数的图象与二次函数的性质之间的关系，提高学生分析问题、解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次函数的基本知识，具备了一定的观察、分析、归纳的能力。

但学生对二次函数的图象的认识还不够深入，需要通过本节课的学习，进一步理解和掌握。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握二次函数的图象的特点，理解二次函数的图象与二次函数的性质之间的关系。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神。

四. 教学重难点1.重点：二次函数的图象的特点，二次函数的图象与二次函数的性质之间的关系。

2.难点：二次函数的图象的变换。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生观察、分析、归纳，提高学生分析问题、解决问题的能力。

六. 教学准备1.教师准备：熟备课件，了解学生的学习情况，准备相关的问题和案例。

2.学生准备：预习课本，了解二次函数的基本知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式，引导学生回顾二次函数的基本知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过课件展示二次函数的图象，让学生观察、分析，引导学生发现二次函数的图象的特点。

3.操练（10分钟）教师提出问题，让学生结合二次函数的图象，分析二次函数的性质。

学生通过小组合作，共同探讨，归纳出二次函数的图象与二次函数的性质之间的关系。

4.巩固（10分钟）教师通过出示一些具体的例子，让学生运用所学知识，分析、解决问题。

5.拓展（10分钟）教师引导学生思考：二次函数的图象会发生哪些变换？让学生结合图象，分析、归纳出二次函数的图象的变换规律。

二次函数的图像和性质教学目标1.会用描点法画函数y=ax2(a＞0)的图象2.掌握二次函数的图象及性质；教学重点会画y=ax2(a＞0)的图象.教学难点理解图像性质一、认知准备：1.正比例函数、一次函数、反比例函数的图象分别是什么?2.画函数图象的方法和步骤是什么?(学生口答)你会作二次函数y=ax2的图象吗?你想直观地了解它的性质吗?本节课我们一起探索。

二、思考探究，获取新知如何画y=ax2+bx+c图象，你可以归纳为哪几步？学生回答、教师点评：一般分为三步：1.先用配方法求出y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标.2.列表，描点，连线画出对称轴右边的部分图象.3.利用对称点，画出对称轴左边的部分图象.请同学们作函数y=x2的图象.一般步骤----列表，描点，连线下面就请大家按上面的步骤作出y=x2的图象.(1)列表：x -3 -2 -1 0 1 2 3y 9 4 1 0 1 4 9(2)在直角坐标系中描点.(3)用光滑的，曲线连接各点，便得到函数y=x2的图象. y=x2的图象的性质.师：二次函数y=-x2的图象是什么形状?先想一想，然后作出它的图象.它与二次函数y=x2的图象有什么关系?与同伴进行交流.大家讨论之后系统地总结出y=x2的图象的所有性质.当堂练习：按照画图象的.步骤作出函数y=-x2的图象.y=-x2的图象，并让学生总结：形状是___________，只是它的开口方向____________，它与y=x2的图象形状________，方向________，这两个图形可以看成是__________对称.试着让学生讨论y=-x2的图象的性质.并尝试比较y=x2与y=-x2的图象，比较异同点.三、小试牛刀1：已知二次函数（）的图像经过点（-2，-3）。

（1）求a 的值，并写出这个二次函数的解析式。

（2）说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。

2、函数y＝x2的图象叫做______，对称轴是______，顶点是______．3．抛物线y＝ax2的顶点是______，对称轴是______．当a＞0时，抛物线的开口向______；四、总结1.会画二次函数y=ax2的图象，知道它的图象是一条抛物线2.知道二次函数y=ax2的性质：a:开口方向:a>0，抛物线开口向上，a〈0，抛物线开口向下b:顶点坐标是(0，0)c:对称轴是y轴d:最值：a>0，当x=0时，y的最小值=0，a〈0，当x=0时，y的最大值=0e:增减性：a>0时，在对称轴的左侧(X<0=，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧(x>0)，y随x的增大而增大，a 〈0时，在对称轴的左侧(X<0)，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧(x>0)，y随x的增大而减小。

22.1- 二次函数的图象 - 教课方案 - 教课方案教课准备1.教课目的1．从实质情形中让学生经历探究剖析和成立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描绘变量之间的数目关系．2．理解二次函数的观点，掌握二次函数的形式．3．会成立简单的二次函数的模型，并能依据实质问题确立自变量的取值范围．2.教课要点 /难点要点二次函数的观点和分析式．难点本节“合作学习”波及的实质问题有的较为复杂，要修业生有较强的归纳能力．3.教课器具4.标签教课过程一、创建情境，导入新课问题 1 现有一根 12 m 长的绳索，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学以为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？问题 2好多同学都喜爱打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？如何计算篮球达到最高点时的高度？这些问题都能够经过学习二次函数的数学模型来解决，今日我们学习“二次函数”(板书课题 )．二、合作学习，探究新知请用适合的函数分析式表示以下情形中的两个变量y 与 x 之间的关系：(1)圆的半径x(cm) 与面积 y(cm2) ；(2)王先生计入银行 2 万元，先存一个一年按期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年按期，设一年按期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y 元；(3)拟建中的一个温室的平面图如图，假如温室外头是一个矩形，周长为120 m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x (m) ，栽种面积为 y(m2) ．(一 )教师组织合作学习活动：1．先个体探究，试试写出y 与 x 之间的函数分析式．2．上述三个问题先易后难，在个体探究的基础上，小组进行合作沟通，共同商讨．(二 )上述三个函数分析式拥有哪些共同特点？让学生充足发布建议，提出各自见解．教师归纳总结：上述三个函数分析式经化简后都拥有(a， b， c 是常数， a≠0)的形式．板书：我们把形如(此中 a，b， c 是常数， a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic function) ，称 a 为二次项系数， b 为一次项系数， c 为常数项．请讲出上述三个函数分析式中的二次项系数、一次项系数和常数项．三、做一做1．以下函数中，哪些是二次函数？=2．分别说出以下二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：3．若函数为二次函数，则m 的值为 ________．四、讲堂小结五、作业部署教材第 41 页第1，2题二次函数y＝ax2 的图象和性质讲堂小结反省提升，本节课你有什么收获？。

二次函数的图象和性质（第2课时）教学目标1．能够利用描点法画形如y＝ax2(a≠0)的二次函数图象．2．通过观察图象能够说出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象特征和性质．3．在由具体的二次函数图象归纳总结二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质的过程中，进一步体会由特殊到一般和数形结合的思想．教学重点会用描点法画具体的形如y＝ax2(a≠0)的二次函数图象，并由具体图象归纳总结出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质．教学难点通过对a的取值分类讨论，总结出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质，特别是|a|的大小对抛物线开口大小的影响．教学过程知识回顾1．一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．2．画出一次函数y＝x＋1的图象．【答案】（1）列表：（2）描点、连线．3．一次函数的图象是一条直线，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x 的增大而减小．【设计意图】通过复习已经学过的有关函数的知识，为引出“二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质”作铺垫．新知探究一、探究学习【思考】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象又是什么样的呢？【师生活动】教师提示：结合图象讨论性质是数形结合地研究函数的重要方法．我们将从最简单的二次函数y＝x2开始，逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质．【问题】仿照前面的画法，画出二次函数y＝x2的图象．【师生活动】教师提示：可以用描点法画出二次函数y＝x2的图象．学生根据提示独立思考，并作图．解：（1）在y＝x2中，自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：（2）描点：根据表中x，y的数值在坐标平面中描点(x，y)．（3）连线：用平滑曲线顺次连接各点，就得到y＝x2的图象．教师提问：1．观察所画图象，你能说一下它的形状特征吗？学生分小组讨论，并派代表发言．教师分析：从图象可以看出，二次函数y＝x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上．这条曲线叫做抛物线y＝x2．教师总结：二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象叫做抛物线y＝ax2＋bx＋c．教师提问：2．在所画出的抛物线y＝x2上分别取点(2，4)，(3，9)，并找到它们关于y 轴的对称点，你发现了什么？学生思考并回答：点(2，4)，(3，9)关于y轴的对称点(－2，4)，(－3，9)也在抛物线y ＝x 2上．教师追问：在所画出的抛物线y ＝x 2上任取一点(m ，m 2)，它关于y 轴的对称点(－m ，m 2)也在抛物线y ＝x 2上吗？学生分小组讨论，并派代表发言．教师总结：在抛物线y ＝x 2上任取一点(m ，m 2)，因为它关于y 轴的对称点(－m ，m 2)也在抛物线y ＝x 2上，所以抛物线y ＝x 2关于y 轴对称．抛物线y ＝x 2与它的对称轴的交点(0，0)叫做抛物线y ＝x 2的顶点，它是抛物线y ＝x 2的最低点．每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．教师提问：3．观察所画出的二次函数y ＝x 2的图象，在对称轴的左右两侧，抛物线有什么特点？学生思考并回答：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升．教师总结：二次函数y ＝x 2的图象：当x ＜0时，y 随x 的增大而减小；当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．【设计意图】通过提出问题“二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象又是什么样的”，激发学生的求知欲，引导学生利用数形结合的方法研究函数的图象和性质．进而让学生利用已学过的描点法画出二次函数y ＝x 2的图象，通过小组交流让学生充分发表意见，总结自己观察出的图象的特征和函数性质，为讨论一般二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象和性质作铺垫．二、典例精讲【例题】在同一直角坐标系中，画出函数212y x ＝，y ＝2x 2的图象．【师生活动】教师提出问题，学生独立思考并作图． 【答案】解：分别列表，再画出它们的图象．【设计意图】通过例题的练习与讲解，巩固学生对描点法画函数图象的应用，为探究二次函数y ＝ax 2(a ＞0)的图象和性质作铺垫．三、探究学习【思考】（1）函数212y x ＝，y ＝2x 2的图象与函数y ＝x 2（图中的虚线图形）的图象相比，有什么相同点和不同点？【师生活动】教师提出问题，学生观察所作图象思考并尝试回答．教师总结：相同点：（1）抛物线的开口向上；（2）对称轴是y 轴；（3）顶点是原点，顶点是抛物线的最低点；（4）当x ＞0时，y 随x 的增大而增大；当x ＜0时，y 随x 的增大而减小．不同点：开口大小不同，a 越大，抛物线的开口越小．【思考】（2）当a ＞0时，二次函数y ＝ax 2的图象有什么特点？ 【师生活动】教师提示，学生尝试总结归纳． 【答案】二次函数y ＝ax 2(a ＞0)的图象与性质如下．【探究】（1）在同一直角坐标系中，画出函数y ＝－x 2，212y x ＝－，y ＝－2x 2的图象，并考虑这些抛物线有什么相同点和不同点．【师生活动】教师提示：可以参照讨论“函数212y x ＝，y ＝2x 2，y ＝x 2的图象的相同点和不同点”的方法来思考．学生按照提示先在同一直角坐标系中，画出函数图象，再分小组讨论，并派代表回答．教师总结：相同点：（1）抛物线的开口向下；（2）对称轴是y 轴；（3）顶点是原点，顶点是抛物线的最高点；（4）当x ＞0时，y 随x 的增大而减小；当x ＜0时，y 随x 的增大而增大．不同点：开口大小不同，a 越小，抛物线的开口越小．【探究】（2）当a ＜0时，二次函数y ＝ax 2的图象有什么特点？ 【师生活动】教师提出问题，学生大胆思考并尝试回答．【答案】二次函数y ＝ax 2(a ＜0)的图象与性质如下．【归纳】一般地，抛物线y ＝ax 2的对称轴是y 轴，顶点是原点．当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2的开口向下，顶点是抛物线的最高点．对于抛物线y ＝ax 2，|a |越大，抛物线的开口越小．二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象与性质【设计意图】通过对a 的取值分类讨论，总结出二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象和性质，在由具体的二次函数图象归纳总结出二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象和性质的过程中，让学生进一步体会由特殊到一般和数形结合的思想．课堂小结板书设计一、二次函数y＝ax2(a＞0)的图象与性质二、二次函数y＝ax2(a＜0)的图象与性质三、二次函数y＝ax2(a≠0)的图象与性质课后任务完成教材第32页练习．。

人教版数学九年级上册22.1《二次函数的图象和性质（5）》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册22.1《二次函数的图象和性质（5）》这一节主要介绍了二次函数的顶点坐标、开口方向与系数的关系。

教材通过实例引导学生探究二次函数的图象和性质，培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。

本节课的内容是对前面所学知识的进一步拓展和深化，有助于学生更好地理解二次函数的本质。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图象和性质有一定的了解。

但部分学生对二次函数的顶点坐标、开口方向与系数之间的关系理解不深，运用不够熟练。

因此，在教学过程中，教师需要关注这部分学生的学习需求，通过实例讲解、练习巩固等方式，帮助他们更好地掌握知识。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次函数的顶点坐标、开口方向与系数之间的关系，能够运用这些知识解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生探究二次函数图象和性质的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探究、积极思考的精神。

四. 教学重难点1.重点：二次函数的顶点坐标、开口方向与系数之间的关系。

2.难点：如何运用二次函数的性质解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二次函数的图象和性质，让学生在实际情境中感受和理解知识。

2.启发式教学法：引导学生观察、分析、归纳二次函数的性质，培养学生的思考能力和解决问题的能力。

3.小组合作学习：鼓励学生分组讨论、交流，提高学生的合作意识和团队精神。

六. 教学准备1.教学课件：制作详细的课件，展示二次函数的图象和性质。

2.实例素材：准备一些与生活相关的实例，用于引导学生探究二次函数的性质。

3.练习题：准备一些针对性的练习题，帮助学生巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入二次函数的图象和性质，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）展示二次函数的图象和性质，引导学生观察、分析，归纳出二次函数的顶点坐标、开口方向与系数之间的关系。

1,设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm,先取x的一些值,算出矩形的另2,2 . x的值是否可以任意取有限定范围吗3 .我们发现,当AB的长(x)确定后,矩形的面积(y)也随之确定,y是x的函数,试写出这个函数的关系式,对于1.,可让学生根据表中给出的AB的长,填出相应的BC的长和面积,然后引导学生观察表格中数据的变化情况, 提出问题：(1)从所填表格中,你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜测？让学生思考、交流、发表意见,达成共识：当AB的长为5cm, BC的长为10m时,围成的矩形面积最大；最大面积为50M.对于2,可让学生分组讨论、交流,然后各组派代表发表意见.形成共识, x的值不可以任意取,有限定范围,其范围是0 vx <10.对于3,教师可提出问题,(1)当AB=xm时,BC长等于多少m?(2)面积y等于多少？并指出y=x(20 — 2x)(0 v x v 10)就是所求的函数关系式.二、提出问题某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售,一天可销出约100件.该店想通过降低售价、增加销售量的方法来提升利润,经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加10件.将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大？在这个问题中,可提出如下问题供学生思考并答复：1 .商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系？2 .如果不降低售价,该商品每件利润是多少元？一天总的利润是多少元？3 .假设每件商品降价x元,那么每件商品的利润是多少元？一天可销售约多少件商品？4 .x的值是否可以任意取？如果不能任意取,请求出它的范围,5 .假设设该商品每天的利润为y元,求y与x的函数关系式.一、提出问题1,同学们可以回想一下,一次函数的性质是如何研究的？(先画出一次函数的图象,然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)2.我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢？如果可以,应先研究什么？(可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质,应先研究二次函数的图 象)3. 一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么 ？二、范例例1、画二次函数y=x 2的图象.解：(1)列表：在x 的取值范围内列出函数对应值(2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为 点的坐标,在平面直角坐标系中描点(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点,得到函数提问：观察这个函数的图象,它有什么特点 ？让学生观察,思考、讨论、交流,归结为：它有一条对称轴,且对称轴和图象 有一点交点.抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线.顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.三、做一做1 .在同一直角坐标系中,画出函数y=x 2与y=-x 2的图象,观察并比拟两个图象,你发现有什么共同点？又有什么区别 ？2 .在同一直角坐标系中,画出函数 y=2x 2与y=-2x 2的图象,观察并比拟这两个函数的图象,你能发现什么？3 .将所画的四个函数的图象作比拟,你又能发现什么 ？在学生画函数图象的同时,教师要指导中下水平的学生,讲评时,要引导学生 讨论选几个点比拟适宜以及如何选点.两个函数图象的共同点以及它们的区别,可分组讨论.交流,让学生发表不同的意见,达成共识,两个函数的图象都是抛物线, 都关于y 轴对称,顶点坐标都是(0 , 0),区别在于函数 y=x 2的图象开口向上,函数 y=-x 2的图象开口向下.四、归纳、概括函数 y=x 2、y=-x 2、y=2x 2、y=-2x 2是函数 y=ax 2的特例,由函数 y = x 2、y=-x 2、y = 2x 2、y=-2x 2的图象的共同特点,可猜测：函数y=ax 2的图象是一条 ,它关于 对称,它的顶点坐标是 .如果要更细致地研究函数 y=ax 2图象的特点和性质,应如何分类？为什么 ？让学生观察y = x 2、y=2x 2的图象,填空；当a>0时,抛物线y=ax 2开口,在对称轴的左边,曲线自左向右 ;在对称轴的右边,曲线自左向右 , 是抛物线上位置最低的点. 图象的这些特点反映了函数的什么性质 ？ 先让学生观察下列图,答复以下问题；(1)X A 、内大小关系如何？是否都小于0?(2)y A 、y B 大小关系如何？(3)X C 、X D 大小关系如何？是否都大于0？(4)y C 、y D 大小关系如何？(X A <X B ,且 X A <0, X B <0; y A >y B ； X C <X ),且 X C >0, X D >0, y c <y D )其次,让学生填空.x … -3 —2 —1 0 1 2 3 … y…9 4 1 0 1 4 9…2 一y=x 的图象,如图所不.-4 -3-a-] 0 2 3 4表:(2)(3)连线：用光滑曲线顺次连接各点,得到函数y=2x2和y=2x2+1的图象.(图象略)问题3:当自变量x取同一数值时,这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上,相应的两个点之间的位置又有什么关系？教师引导学生观察上表,当x依次取一3, —2, —1, 0, 1, 2, 3时,两个函数的函数值之间有什么关系,由此让学生归纳得到, 当自变量x取同一数值时,函数y=2x2+1的函数值都比函数y = 2x2的函数值大1.教师引导学生观察函数y = 2x2+1和y=2x2的图象,先研究点(一1, 2)和点(一1, 3)、点(0, 0)和点(0 , 1)、点(1 , 2)和点(1 , 3)位置关系,让学生归纳得到：反映在图象上,函数y=2x2 + 1的图象上的点都是由函数y = 2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位.问题4:函数y = 2x2+ 1和y= 2x2的图象有什么联系？由问题3的探索,可以得到结论：函数y=2x2+1的图象可以看成是将函数y =2x2的图象向上平移一个单位得到的.问题5:现在你能答复前面提出的第2个问题了吗？让学生观察两个函数图象,说出函数y = 2x2+ 1与y= 2x2的图象开口方向、对称轴相同,但顶点坐标不同,函数y = 2x2的图象的顶点坐标是(0 , 0),而函数y =2x2+1的图象的顶点坐标是(0 , 1).问题6:你能由函数y=2x2的性质,得到函数y=2x2+1的一些性质吗？完成填空：当x 时,函数值y随x的增大而减小；当x 时,函数值y随x的增大而增大,当x 时,函数取得最值,最值y=.以上就是函数y = 2x2+1的性质.三、做一做问题7:先在同一直角坐标系中画出函数y=2x2—2与函数y=2x2的图象,再作比拟,说说它们有什么联系和区别？教学要点1 .在学生画函数图象的同时,教师巡视指导；2 .让学生发表意见,归纳为：函数y=2x2—2与函数y = 2x2的图象的开口方向、对称轴相同,但顶点坐标不同.函数y=2x2—2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向下平移两个单位得到的.问题8:你能说出函数y=2x2—2的图象的开口方向,对称轴和顶点坐标,以及这个函数的性质吗？教学要点1 .让学生口答,函数y = 2x2—2的图象的开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标是(0 , —2);2 .分组讨论这个函数的性质,各组选派一名代表发言,达成共识：当x<0时, 函数值y随x的增大而减小；当x>0时,函数值y随x的增大而增大,当x=0时,函数取得最小值,最小值y = — 2.问题9:在同一直角坐标系中. 函数y = —：x2+2图象与函数y = —^x2的图象有 3 3什么关系？2 .让学生分组讨论,交流合作,各组选派代表发表意见,达成共识：函数 y =2(x — 1)2与y=2x 2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数 y=2(x 一 1)2的图象可以看作是函数 y = 2x 2的图象向右平移1个单位得到的,它的对称轴是直 线x=1,顶点坐标是(1 , 0).问题4：你可以由函数 y = 2x 2的性质,得到函数 y = 2(x —1)2的性质吗？ 教学要点1 .教师引导学生回忆二次函数 y=2x 2的性质,并观察二次函数 y = 2(x —1)2的图象； 2 .让学生完成以下填空：当x 时,函数值y 随x 的增大而减小；当x 时,函数值y 随x 的增大而增大；当 x =时,函数取得最 值y =. 三、做一做 问题5:你能在同一直角坐标系中画出函数 y=2(x + 1)2与函数y=2x 2的图象,并比 较它们的联系和区别吗？教学要点1 .在学生画函数图象的同时,教师巡视、指导；2 .请两位同学上台板演,教师讲评；3 .让学生发表不同的意见,归结为：函数 y=2(x+1)2与函数y=2x 2的图象开口方向相同,但顶点坐标和对称轴不同；函数y=2(x+1)2的图象可以看作是将函数y= 2x2的图象向左平移1个单位得到的.它的对称轴是直线 x= - 1,顶点坐标是(一 1,0).问题6;你能由函数y=2x2的性质,得到函数 y=2(x + 1)2的性质吗？ 教学要点让学生讨论、交流,举手发言,达成共识：当 xv — 1时,函数值y 随x 的增大 而减小；当x>- 1时,函数值y 随x 的增大而增大；当 x = - 1时,函数取得最小 值,最小值y= 0.1 21 2 问题7：函数y= —g(x+2)图象与函数y= —gx 的图象有何关系？问题8:你能说出函数y= — \(x + 2)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗 3 问题9:你能得到函数 y = ；(x+2)2的性质吗？、提出问题1 .在同一直角坐标系内,画出二次函数 y = -2x 2, y=—；x 2—1的图象,并答复：(1)两条抛物线的位置关系.(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标. (3)说出它们所具有的公共性质.2 .二次函数y=2(x — 1)2的图象与二次函数 y = 2x 2的图象的开口方向、对称轴以 及顶点坐标相同吗？这两个函数的图象之间有什么关系 ？二、分析问题,解决问题问题1:你将用什么方法来研究上面提出的问题？(画出二次函数y = 2(x — 1)2和二次函数y=2x 2的图象,并加以观察)问题2:你能在同一直角坐标系中, 画出二次函数y=2x 2与y = 2(x —1)2的图象吗？教学要点1 .让学生完成列表.2 .让学生在直角坐标系中画出图来： 问题3:现在你能答复前面提出的问题吗 教学要点 1.教师引导学生观察画出的两个函数图象. 根据所画出的图象,完成以下填空：3 .教师巡视、指导.。

人教版数学九年级上册22.1《二次函数的图象和性质（1）》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册第22.1节《二次函数的图象和性质（1）》是本册教材的重要内容，主要介绍二次函数的一般形式、图象特点以及一些基本性质。

通过本节内容的学习，学生可以掌握二次函数的基本知识，为后续学习二次函数的应用打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本概念和一次函数的性质，具备一定的函数知识基础。

但二次函数相对复杂，学生对其理解和掌握可能存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生通过观察、思考、探索等方式，自主发现和总结二次函数的性质。

三. 教学目标1.理解二次函数的一般形式和图象特点。

2.掌握二次函数的顶点坐标、开口方向和判别式的概念。

3.能够运用二次函数的性质解决一些实际问题。

四. 教学重难点1.二次函数的一般形式和图象特点。

2.二次函数的顶点坐标、开口方向和判别式的理解与应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、探索等方式自主学习。

2.利用多媒体课件辅助教学，直观展示二次函数的图象和性质。

3.注重数学语言的训练，引导学生规范表达。

六. 教学准备1.多媒体课件。

2.相关练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，引导学生思考如何用数学模型来描述这些问题。

例如，抛物线运动、物体抛掷等。

从而引出二次函数的概念。

2.呈现（10分钟）利用多媒体课件，呈现二次函数的一般形式和图象特点。

引导学生观察并总结二次函数的性质。

3.操练（10分钟）让学生通过计算器或者绘图软件，自己动手绘制一些二次函数的图象，并观察其性质。

同时，教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生运用所学的二次函数知识解决问题。

教师及时批改并给予反馈，帮助学生巩固所学知识。

5.拓展（10分钟）引导学生思考二次函数在实际生活中的应用，例如抛物线射门、跳水运动等。

人教版数学九年级上册26.1.4《二次函数的图象》教学设计4一. 教材分析人教版数学九年级上册26.1.4《二次函数的图象》是本节课的主要内容。

教材从学生已有的知识出发，通过实例引入二次函数的图象，使学生感受二次函数图象的特点，培养学生的数形结合思想。

教材通过分析二次函数的图象与二次函数的性质之间的关系，让学生理解二次函数的图象是研究二次函数性质的重要工具。

二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了二次函数的定义、标准式、顶点式等基本知识，但对二次函数的图象的认识还不够深入。

本节课需要学生能够通过观察图象，理解二次函数的性质，提高学生的数形结合能力。

三. 教学目标1.理解二次函数的图象的含义，掌握二次函数的图象与二次函数的性质之间的关系。

2.能够通过观察二次函数的图象，分析二次函数的性质，提高学生的数形结合能力。

3.培养学生的自主学习能力，提高学生的合作交流能力。

四. 教学重难点1.重点：理解二次函数的图象的含义，掌握二次函数的图象与二次函数的性质之间的关系。

2.难点：能够通过观察二次函数的图象，分析二次函数的性质，提高学生的数形结合能力。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探索二次函数的图象与性质之间的关系。

2.采用小组合作交流法，培养学生的合作交流能力，提高学生的自主学习能力。

3.利用多媒体辅助教学，直观展示二次函数的图象，帮助学生更好地理解二次函数的性质。

六. 教学准备1.准备多媒体教学课件，包括二次函数的图象、性质等内容的展示。

2.准备相关的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入二次函数的图象的概念，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）利用多媒体展示几个二次函数的图象，让学生观察并总结二次函数图象的特点。

3.操练（15分钟）让学生通过观察图象，分析二次函数的性质，引导学生运用数形结合的思想。

4.巩固（10分钟）让学生分组讨论，分享各自对二次函数图象与性质之间关系的理解，加深学生对知识点的掌握。

22.1二次函数的图象和性质22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质（第1课时）一、教学目标【知识与技能】1.能画出二次函数y=ax2+k的图象；2.掌握二次函数y=ax2与y=ax2+k图象之间的联系；3.掌握二次函数y=ax2+k的图象及其性质.【过程与方法】通过画二次函数y=2x2+1与y=2x2-1的图象，感受它们与y=2x2的联系，并由此得到y=ax2与y=ax2+k的图象及性质的联系和区别.【情感态度与价值观】在通过类比的方法获取二次函数y=ax2+k的图象及其性质过程中，进一步增强学生的数形结合意识，体会通过探究获得知识的乐趣.二、课型新授课三、课时第1课时，共3课时。

四、教学重难点【教学重点】1.二次函数y=ax2与y=ax2+k的图象之间的联系；2.二次函数y=ax2+k的图象及其性质.【教学难点】二次函数y=ax2+k的性质的基本应用.五、课前准备课件、三角尺、铅笔等六、教学过程（一）导入新课这个函数的图象是如何画出来呢？（出示课件2）（二）探索新知探究一二次函数y=ax2+k图象的画法在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2,y=x2+1,y=x2-1的图象.（出示课件4）学生自主操作，画图，教师加以巡视，纠正画图过程中可能出现的失误，并引导他们进行分析，发现规律，获得感性认识.1.列表：x…-3-2-10123…y=x2…9410149…y=x2+1…105212510…y=x2-1…830-1038…2.描点，连线：（出示课件5）教师问：抛物线y=x2、y=x2+1、y=x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？（出示课件6）学生独立思考并整理.抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=x2向上x=0（0,0）y=x2+1向上x=0(0，1)y=x2-1向上x=0(0，-1)出示课件7：例在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2+1，y=2x2-1的图象.学生自主操作，画图，教师加以巡视.解：先列表：x…-2-1.5-1-0.500.51 1.52…y=2x2+1…9 5.53 1.51 1.53 5.59…y=2x2-1…7 3.51-0.5-1-0.51 3.57…然后描点画图：（出示课件8）教师问：抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？（出示课件9）学生独立思考并整理.抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=2x2+1向上x=0（0,1）y=2x2-1向上x=0（0，-1）探究二二次函数y=ax2+k的性质教师归纳：（出示课件10）二次函数y=ax2+k(a＞0)的性质：开口方向：向上.对称轴：x=0.顶点坐标：（0，k）.最值：当x=0时，有最小值，y=k.增减性：当x＜0时，y 随x 的增大而减小；当x＞0时，y 随x 的增大而增大.出示课件11：在同一坐标系中，画出二次函数212y x =-，2122y x =-+，2122y x =--的图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标.学生自主操作，画图，并整理.解：如图所示.抛物线开口方向对称轴顶点坐标y =12-x 2向下x =0（0,0）y =12-x 2+2向下x =0（0,2）y =12-x 2-2向下x =0（0，-2）出示课件12：在同一坐标系内画出下列二次函数的图象：231x y -=；23121--=x y ；23122+-=x y .学生自主操作，画图，教师巡视加以指导.出示课件13，14：根据图象回答下列问题:(1)图象的形状都是;(2)三条抛物线的开口方向_______;(3)对称轴都是__________;(4)从上而下顶点坐标分别是_____________________;(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________;(6)函数的增减性都相同：____________________________.学生独立思考并口答.⑴抛物线；⑵向下；⑶直线x=0；⑷(0，2)，(0，0)，(0，-2)；⑸高；大；y=2，y=0，y=-2；⑹对称轴左侧y随x增大而增大,对称轴右侧y随x增大而减小师生共同归纳：二次函数y=ax2+k（a≠0）的性质（出示课件15）y=ax2+k a＞0a＜0开口方向向上向下对称轴y轴（x=0）y轴（x=0）顶点坐标（0,k）（0,k）出示课件16：已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________.学生独立思考后，师生共同解答.解：由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.教师归纳：方法总结：二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数．出示课件17：抛物线y=−2x2+3的顶点坐标是________,对称轴是________，在________侧，y随着x的增大而增大；在________侧，y随着x的增大而减小.学生口答：（0,3）；y轴；对称轴左；对称轴右探究三二次函数y=ax2+k的图象及平移出示课件18：从数的角度探究：出示课件19：从形的角度探究：观察图象可以发现，把抛物线y=2x2向_____平移1个单位长度，就得到抛物线_____；把抛物线y=2x2向_____平移1个单位长度，就得到抛物线y=2x2-1.学生观察图象并解答：上；y=2x2+1；下师生共同归纳：二次函数y=ax2与y=ax2+k（a≠0）的图象的关系（出示课件20）二次函数y=ax2+k的图象可以由y=ax2的图象平移得到：当k>0时,向上平移k个单位长度得到.当k<0时,向下平移k个单位长度得到.教师强调：上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减.出示课件21：二次函数y＝－3x2＋1的图象是将()A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到学生独立思考并口答：D出示课件22：想一想：教师问1.二次函数y=ax2+k图象的画法分几步？学生答：第一种方法：平移法，分两步，即第一步画y=ax2的图象；第二步把y=ax2的图象向上（或向下）平移︱k︱单位.第二种方法：描点法，分三步即列表、描点和连线.教师问2.抛物线y=ax2+k中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？学生答：a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.（三）课堂练习（出示课件23-27）1.将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是．2.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线．3.填表：函数开口方向顶点对称轴有最高（低）点y=3x2y=3x2＋1y=-4x2－54.已知点（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，点(-m,n)___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.5.若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k____.6.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：⑴抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.（2）函数y=-x2+1，当x_____时，y随x的增大而减小；当x_____时，函数y有最大值，最大值y是_____，其图象与y轴的交点坐标是_____，与x轴的交点坐标是_____.（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.7.对于二次函数y=(m+1)x m2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大，则m=____.8.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2），则a=____.9.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______.参考答案：1.y=x2+22.y=2x2－43.函数开口方向顶点对称轴有最高（低）点y=3x2向上（0,0）y轴有最低点y=3x2＋1向上（0,1）y轴有最低点y=-4x2－5向下（0,-5）y轴有最高点4.在5.=2；＞2；＜26.⑴向下平移1个单位.⑵>0；=0；1；(0,1)；(-1,0),(1,0)⑶开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.7.28.-29.8（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看.（五）课前预习预习下节课（22.1.3第2课时）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本课时教学重点在于培养学生的比较能力，旨在希望学生通过对比发现函数图象的性质，从而进一步增强学生的数形结合意识，体会通过探究获得知识的乐趣.。

人教版数学九年级上册26.1.3《二次函数的图象》教学设计1一. 教材分析人教版数学九年级上册26.1.3《二次函数的图象》是本册教材的重要内容，主要让学生了解二次函数的图象特征，掌握二次函数图象的画法，并能运用二次函数图象解决实际问题。

本节课的内容对于学生来说，既有新鲜感，又有一定难度，需要教师细致讲解，引导学生逐步掌握。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，对函数的概念、定义、性质等有了初步了解，但对于二次函数的图象，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要教师通过生动的实例，让学生感受二次函数图象的直观性，同时，引导学生运用已有的知识储备，理解并掌握二次函数图象的特点。

三. 教学目标1.让学生了解二次函数图象的形状、开口方向、对称轴等基本特征。

2.引导学生掌握二次函数图象的画法，并能运用图象解决实际问题。

3.培养学生的空间想象能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.二次函数图象的基本特征。

2.二次函数图象的画法。

3.运用二次函数图象解决实际问题。

五. 教学方法1.采用直观演示法，让学生通过观察实例，感受二次函数图象的直观性。

2.运用讲解法，引导学生理解二次函数图象的基本特征。

3.采用实践操作法，让学生动手画出二次函数图象，巩固所学知识。

4.运用问题驱动法，激发学生的思考，提高学生解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的实例，用于引导学生观察二次函数图象的特征。

2.准备二次函数图象的课件，用于讲解和展示。

3.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出二次函数图象的概念，激发学生的兴趣。

示例：某商店进行打折活动，商品的原价可以看作是二次函数的横坐标，打折后的价格可以看作是二次函数的纵坐标，请画出该商店打折活动的价格图象。

2.呈现（10分钟）利用课件，展示二次函数图象的实例，引导学生观察并总结二次函数图象的基本特征。

课时 2-22.1-二次函数的图象-教课方案教课准备1.教课目的知识和能力1．使学生理解函数y=a(x － h)2 ＋ k 的图象与函数y=ax2 的图象之间的关系。

2．会确立函数y=a(x － h)2 ＋ k 的图象的张口方向、对称轴和极点坐标。

过程和方法让学生经历函数y=a(x － h)2 ＋k 性质的探究过程，理解函数y=a(x － h)2 ＋ k 的性质。

教课重点y=a(x－确立函数y=a(x － h)2 ＋ k 的图象的张口方向、对称轴和极点坐标，理解函数h)2 ＋ k 的图象与函数y=ax2 的图象之间的关系，理解函数y=a(x － h)2 ＋ k 的性质2.教课重点 / 难点正确理解函数y=a(x － h)2 ＋ k 的图象与函数y=ax2 的图象之间的关系以及函数y=a(x －h)2 ＋ k 的性质3.教课器具多媒体4.标签教课过程一、提出问题，新课引入1．函数 y=2x2＋ 1 的图象与函数 y=2x2 的图象有什么关系 ?( 函数 y=2x2＋1 的图象能够当作是将函数y=2x2 的图象向上平移一个单位获得的 )2．函数 y=2(x － 1)2 的图象与函数 y=2x2 的．图象有什么关系 ?( 函数 y=2(x －1)2 的图象能够当作是将函数 y=2x2 的图象向右平移 1 个单位获得的，见 P10 图 23.2.3)3．函数 y=2(x － 1)2 ＋1 图象与函数 y=2(x － 1)2 图象有什么关系 ?函数 y=2(x －1)2 ＋ 1 有哪些性质 ?二、试一试你能填写表格吗 ?问题 2：从上表中，你能分别找到函数 y=2(x －1)2 ＋1 与函数 y=2(x －1)2 、y=2x2 图象的关系吗 ?问题 3：你能发现函数y=2(x －1)2 ＋1 有哪些性质 ?关于问题 2 和问题 3，教师可组织学生疏组议论，相互沟通，让各组代表讲话，完成共鸣；函数 y＝2(x －1)2 ＋ 1 的图象能够当作是将函数 y=2(x －1)2个单位获得的，也能够当作是将函数 y=2x2 的图象向右平移移1 个单位获得的。