《数学期望》PPT课件

于X 和Y 的二元函数，则同样可定义随机变量 Z 的数学期望如下：
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(1)c(rX,Y)已{知 pij},
则 ZgX,Y的数学期望为
E Z E gX ,Y gx i,yj p i.j i, 1j 1
(2)c(tX,Y)已f知 (x,y),
则 ZgX,Y的数学期望为
P { X x } p k 1 , 2 , , kk
若级数 gxk收 敛pk，则 k1 E (Y )E g X gxk pk k1
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例1 设离散型随机变量X 的分布列为
X
-1
0
2
3
1131
P k
8
4
8
4
试计算：E X , E X 2和 E 2 X 1 。
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解 由数学期望的定义可得
E X 1 10123311;1
8 4 8 48
E X 2 1 2 1 0 2 1 2 2 3 3 2 1 3;1 8 4 8 48
E 2 X 1 3 1 1 1 3 3 5 1
84 8 4
7. 4
18
例2 设 X 服从参数为 的泊松分布，试
Ex
x
fxd
x
9
反之，如果积分
x
发f 散x，d则x
称随机变量 X 的数学期望不存在。
例4 设 X 服从 (a,b)区间上的均匀分布， 求 X 的数学期望。
10
解 已知 X 的概率密度为
1
f
x
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
0
, xa,b，
从而
, 其它。
E x xx fd x b ax b 1 a d x 1 2 a b
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例7 求下面已知概率密度的随机变量 X
的数学期望。
（1）f x2co2sx,
x
2
0, 其 它
x ，0 x1
（2）f x2x, 1 x2
0 ,其它
（ 1 ） E (X ) 0 ,(2 )E (X ) 1
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三、 随机变量函数的数学期望
定理 设Y是随机变量X的函数： YgX
(1)X是离散型随机变量，它的分布律为
6
则 X 的数学期望为
n
n
E X k p kk C n kp k1 p n k,
k 0
k 0
n
npC n k 1 1pk11pnk,
k1
np p 1pn 1np
例3 设 X 服从参数为的泊松分布，求EX 。
解 已知泊松分布列为：
7
k
P {X k } e , k0 ,1 ,2 , k !
正好是区间(a,b) 的中点。
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例5 设 X 服从参数为 的指数分布，求
X 的数学期望。
解 已知 X 的概率密度为
f
x
1
e
x
/
0
, ,
从而所求数学期望为
x 0, 0,
x 0,
E X x x fd xx 1ex/dx
0
xdex/ 0
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例6 对服从正态分布 N,2 的随机变量
x xin n i xifi
当 n 时 fi， p(xi)此 , 时， x定 值期望 E(X)
2
2.定义 设离散型随机变量 X 的分布列为
X x 1 x 2 x k
p k p 1 p 2 p k
如果级数 x k 绝 p对k 收敛，即
xk pk
k1
k 1
收敛，则和 x k为 随pk 机变量 X 的数学
e e e
2
20
(2) X是连续型随机变量，它的概率密度为
f (x) 若
gx
fxdx收敛，则有
E Y E g X g x fx d.x
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例3 已知 X 服从 0,2上的均匀分布，计算
YsinX的数学期望。
解 已知 X 的 概率密度为
f
x
1
2
,
0,
x 0,2 ，
其它。
从而
EX k
P{Xk}k
k
e
k0
k! k0
k1
e
e e
k1 k1!
8
二、 连续型随机变量的数学期望
1.定义 设X 为连续型随机变量，概率密度
为f x， 如果积分
x绝fx对d收x敛，即
x
f 收x敛dx，则称积分
xfxdx
的值为连续型随机变量 X 的数学期望或均值，
记为 EX。 即
其分布列为： P { X 1 } p , P { X 0 } 1 p 。
求 X 的数学期望。
5
解 由数学期望定义 X 1
pk p
0 1p
E XP {X1}1P {X0}0 p11p0p.
例2 设 X~Bn,p，求 EX 。
解 已知二项分布的分布列为
P { X k } C n k p k 1 p n k , k 0 , 1 , 2 , , n
k 1
期望或均值，记为 EX，即
EXxk pk
k1
3
通过前面的例子可以看到，随机变量的
均值反映了变量取值的平均水平，是一个数。
如果级数
x不k 绝 p对k 收敛，即
k 1
xk 不 p收k 敛，则称随机变量 X 的数学期望
k 1
不存在。
4
下面我们举例来说明。 例1 对服从（0—1）分布的随机变X ，
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则所求 YsinX的数学期望为：
E Y E siX n sixn fxdx
2
1
0 sinx2dx0.
例4 已知 X 的概率密度如下，求 E[XE(X)]
x ，0 x 1
f x 2 x, 1 x 2
1
0 ,其 它
3
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四.二维随机变量函数的数学期望
如果 X,Y 是二维随机变量，ZgX,Y是关
X ，求其数学期望。
解 已知 X 的概率密度为
fx
1
x2
e 22 ,x,,
2
则所求数学期望为
EX xfxd x
x
ex 2 22d,x
2
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作变换
t
x
，得到
t2
t2
EX
2e2d t
te2d
2
t
20 2
即正态分布 N,2 的第一个参数 就是
随机变量 X 的均值。
计算 YX2 的数学期望。
解 已知 X 的分布律为：
P X kke , k0 ,1 ,2, 0 ,
k !
从而
EYEX2
k
k2 e
k0 k!
k
k
e
k1 k1!
19
ek 1 k11k k11!
e k 1k1k k 1 1!k 1k k 1 1! ek 2k k2 2!k 1k k1 1!
4.1 数学期望
一、离散型随机变量的数学期望
1.引例 某人向目标靶射击十枪，命中靶子的 情况分别为：
环数xi 6
7 8 9 10
ni
1
2 14
2
fi 1/10 2/10 1/10 4/10 2/10
现求平均成绩
1
解：平均成绩为
x( nixi)/n
6 17 28 19 4 1 0 2 10
8.4