2014中考第33讲_与圆有关的计算

知识点一、正多边形和圆1、各边相等，也相等的多边形是正多边形。

2、每一个正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫正多边形的；外接圆的半径叫正多边形的；一般用字母R表示，每边所对的圆心角叫；可用用α表示，α=，中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的；用r表示。

3、每一个正n边形都被它的半径分成n个全等的三角形，被它的半径和边心距分成个全等的三角形。

【谈重点】正多边形的有关计算，一般是放在一个等腰三角形或一个直角三角形中进行，根据半径、边心距、边长、中心角等之间的边角关系作计算，以正三角形、正方形和正六边形为主。

知识点二、弧长与扇形面积计算⊙O的半径为R，弧长为L，圆心角为n0，扇形的面积为S扇，则有如下公式：L=S扇= =【谈重点】1、以上几个公式都可进行变形，2、原公式中涉及的角都不带单位3、扇形的两个公式可根据已知条件灵活进行选择4、圆中的面积计算常见的是求阴影部分的面积，常用的方法有：⑴已知规则图形面积的和与差⑵割补法⑶等积变形法⑷平移法⑸旋转法等知识点三、圆柱和圆锥1、如图：设圆柱的高为h,底面半径为R则有：⑴S圆柱侧=⑵S圆柱全=⑶V圆柱=2、如图：设圆锥的母线长为l，底面半径为R，高为h，则有：⑴S圆锥侧= 、⑵S圆锥全=⑶V圆锥=考点一：正多边形和圆例题1（2013•绵阳）如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（）2014年中考总复习——与圆有关的计算A．6mm B．12mm C．63mm D．43mm对应训练1．（2013•天津）正六边形的边心距与边长之比为（）A．3：3 B．3：2 C．1：2 D．2：2考点二：圆周长与弧长例题2（2013•黄冈）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l 作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为。

对应训练2．（2013•遵义）如图，将边长为1cm的等边三角形ABC沿直线l向右翻动（不滑动），点B从开始到结束，所经过路径的长度为（）A．32πcm B．（2+32π）cm C．43πcm D．3cm考点三：扇形面积与阴影部分面积例题3（2013•重庆）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆与对角线AC交于点E，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）对应训练3．（2013•乐山）如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为．考点四：圆的综合题例题4（2013•攀枝花）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．（1）求证：PB与⊙O相切；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC=12，tan∠F=12，求cos∠ACB的值．对应训练4．（2013•枣庄）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求证：AC2=AD•AB；（3）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．【随堂练习】1．（2013•滨州）若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（ ）A ．6，32B ．3 2，3C ．6，3D ．62，322．（2013•聊城）已知一个扇形的半径为60cm ，圆心角为150°，用它围成一个圆锥的侧面，那么圆锥的底面半径为 cm ．3．（2013•泰安）如图，AB ，CD 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点O 1，O 2，O 3，O 4分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，若⊙O 的半径为2，则阴影部分的面积为（ ）A ．8B ．4C ．4π+4D ．4π-44．（2013•济南）如图，扇形AOB 的半径为1，∠AOB=90°，以AB 为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．4πB ．π-12C ．12D ．4π + 125．（2013•许昌一模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆O交BC于D，AC于E，连接AD、BE交于点M，过点D作DF⊥AC于F，DH⊥AB于H，交BE于G，下列结论：①BD=CD；②DF是⊙O的切线；③∠DAC=∠BDH；④DG=12BM．成立的个数（）A．1个B．2个C．3个D．4个【中考过关训练】一、选择题1．（2013•乌鲁木齐）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．πB．2πC．3πD．4π2．（2013•黄石）已知直角三角形ABC的一条直角边AB=12cm，另一条直角边BC=5cm，则以AB为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是（）A．90πcm2B．209πcm2C．155πcm2D．65πcm23．（2013•台州）如图，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为（0，6），BC的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2，中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为（）A．3 B．3C．4 D．34．（2013•襄阳）如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E、B，E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为23π，则图中阴影部分的面积为（）A．9πB．39πC．33322π-D．33223π-二、填空题5．（2013•凉山州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为．6．（2013•长春）如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上，点B在反比例函数kyx=位于第一象限的图象上，则k的值为．7．（2013•遵义）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E为BC边上的一点，以A为圆心，AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC的延长于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，则AF的长为（结果保留根号）．8．（2013•玉林）如图，△ABC是⊙O内接正三角形，将△ABC绕点O顺时针旋转30°得到△DEF，DE 分别交AB，AC于点M，N，DF交AC于点Q，则有以下结论：①∠DQN=30°；②△DNQ≌△ANM；③△DNQ的周长等于AC的长；④NQ=QC．其中正确的结论是．（把所有正确的结论的序号都填上）三、解答题9．（2013•荆门）如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，交AD于点F，切点为E．（1）求证：OF∥BE；（2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC与H（图2），问是否存在点P，使△EFO∽△EHG（E、F、O与E、H、G为对应点）？如果存在，试求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由．10．（2013•莱芜）如图，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交于⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM=PN．（1）当点M在⊙O内部，如图一，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程；（2）当点M在⊙O外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由；（3）当点M在⊙O外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积．11．（2013•黄石）已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为⊙O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D．（1）如图（1），若AD是⊙O1的直径，AC是⊙O2的直径，求证：AC=CD；（2）如图（2），若C是⊙O1外一点，求证：O1C丄AD；（3）如图（3），若C是⊙O1内的一点，判断（2）中的结论是否成立？资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除----完整版学习资料分享----。

考点21.与圆有关的计算（精讲）【命题趋势】从近年各地中考来，与圆相关的计算考查频率还是比较高，主要结合圆周角和圆心角相关知识围绕计算正多边形相关知识、弧长、扇形面积、不规则图形的面积及圆锥相关知识命题，题型主要以选填题为主，难度不大。

预测2024年各地中考还会延续这种命题趋势，并也有可能出现创新型题目。

【知识清单】1：正多边形的相关概念与计算（☆☆）1）正多边形的相关概念正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形。

正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。

正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。

正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

2）正多边形的常用公式（R n 为正多边形外接圆的半径）边长：1802sin n n a R n ︒=⋅；周长：n n P na =；边心距：180cos n n r R n ︒=⋅；面积：12n n n S a r n =⋅⋅；内角度数：()2180n n -⋅︒；外角/中心角度数：360n ︒；边长、半径、边心距的关系：2224n n n a r R ⎛⎫+= ⎪⎝⎭。

注意：正多边形的内切圆与外接圆为同心圆.2：弧长、扇形面积、圆锥的相关计算（☆☆☆）1)设⊙O 的半径为R，n°圆心角所对弧长为，n 为弧所对的圆心角的度数，则（1）弧长公式：π180n R l =；（2）扇形面积公式：2π360n R S =扇形或12S lR =扇形．（3）圆锥侧面积公式：S圆锥侧=πrl（其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）（4）圆锥全面积公式：S圆锥全=πrl+πr2（圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积）注：圆锥的相关公式难以记忆，建议牢记圆锥与侧面展开图的图形形式，并理解侧面展开图与扇形之间的关系。

相关公式在解题过程中进行推导。

中考数学复习考点知识与题型归类解析33---与圆的有关计算一、选择题8.（2020·苏州）如图，在扇形OAB 中，已知90AOB ∠=︒，OA =过AB 的中点C 作CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ，则图中阴影部分的面积为（ ）A.1π-B.12π-C.12π-D.122π- {答案}B {解析}本题考查了不规则图形面积的计算，连接OC ，由题意得∠DOC=∠BOC=45°，四边形OECD 为正方形,OC=2,由特殊角的三角函数得OE=OD=1,S 阴影=S 扇形OAB-S 正方形CEOD=290(2)360π⨯-12=2π-1，因此本题选B ．9．（2020·聊城）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点M ，连接OC ，DB ，如果OC ∥DB ，OC ＝23，那么图中阴影部分的面积是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π{答案}B{解析}借助圆的性质，利用等积转化求解阴影部分的面积．由垂径定理，得CM ＝DM ，∵OC ∥DB ，∴∠C ＝∠D ，又∵∠OMC ＝∠BMD ，∴△OMC ≌△BMD(ASA)，∴OM ＝BM ＝21OB ＝21OC ，∴cos ∠COM ＝OC OM ＝21，∴∠COM ＝60°．∴S 阴影＝S 扇形BOC ＝360)32(602⋅π＝2π． 10．（2020·聊城）如图，有一块半径为1m ，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）A ．41mB ．43mC ．415mD ．23m {答案}C{解析}先利用弧长公式求得圆锥的底面半径，再利用勾股定理求圆锥的高．设圆锥形容器底面圆的半径为r ，则有2πr ＝180190⋅π，解得r ＝41，则圆锥的高为22)41(1-＝415(m)．9．（2020·乐山）在△ABC 中，已知∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1．如图所示，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°后得到△AB ′C ′，则图中阴影部分面积为（ ）A ．π4B ．π－32C ．π－34D ．32π{答案}B{解析}先求出AC、AB，再根据S阴影＝S扇形CAC′－S△AB′C′－S扇形DAB′求解即可．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，∴AC＝2BC＝2，∴AB＝AC2－BC2＝3；由旋转得，∴AB＝A′B′＝3，BC＝B′C′＝1，∠CAC′＝90°，∴∠CAB′＝60°，∴S阴影＝S扇形CAC′－S△AB′C′－S扇形DAB′＝90⋅π⋅22 360－12×3×1－90⋅π⋅(3)2360＝π－32．(2020·南充）3.如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB=2，当风车转动90°时，点B 运动路径的长度为（）A.πB.2πC.3πD.4π{答案}A{解析}点B的运动路径的长度是以点A为圆心，AB为半径的弧长，由题意知半径为2，圆心角为90°，∴点B的运动路径的长度是902180π⨯=π，故选A．（2020·德州）10.如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为A. 4πB. 4πC. 8πD. 4π{答案}A{解析}如图，设正六边形的中心为0，连接OA ，OB. 由题意得△AOB 是等边三角形，边长为4，∴142AOB S ∆=⨯⨯=，∴6个弓形的面积和是24616ππ⋅-⨯=-，∴阴影部分的面积是2162(16121642πππππ⨯⋅--=-+=.8.（2020·达州）如图，在半径为5的⊙O 中，将劣弧AB 沿弦AB 翻折，使折叠后的弧AB 恰好与OA 、OB 相切，则劣弧AB 的长为（ ）A.53πB. 52πC. 54πD.56π{答案}B{解析}由“折叠后的弧AB 恰好与OA 、OB 相切”可知：∠OAB=∠OBA=45°，所以∠AOB=90°，劣弧AB 的长=90π×5180=52π． 6．（2020·泰州）如图，半径为10的扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 为AB 上一点，CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ．若CDE ∠为36︒，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．10πB ．9πC ．8πD ．6π{答案} A{解析}本题考查了由于△CDE 与△COD 同底等高，面积相等，因此阴影部分面积与扇形BOC 面积相等．而∠COB ＝∠CDE ＝36°，根据扇形面积公式可求得阴影部分面积为10π．（2020·山西）8．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘）通过测量得到AC ＝BD ＝12cm ，，两点之间的距离为4cm ，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是（ ）A ．80πcm 2B ．40πcm 2C ．24 πcm 2D ．2πcm 2第9题图{答案}B{解析}本题考查阴影面积的计算．由题意得OA ＝16cm ，OC ＝CD ＝4cm ，根据扇形面积公式，得S 阴影＝S 大扇形AOB －S 小扇形COD ＝26016360π⋅⋅－2604360π⋅⋅＝40πcm 2．故选B. 9.（2020·株洲）如图所示，点A 、B 、C 对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA 绕点C 按顺时针方向旋转，当点A 首次落在矩形BCDE 的边BE 上时，记为点1A ，则此时线段CA 扫过的图形的面积为（ ）A. 4πB. 6C. D. 83π {答案}D {解析}求线段CA 扫过的图形的面积，即求扇形ACA 1的面积.由题意，知AC=4,BC=4-2=2,∠A 1BC=90°.由旋转的性质，得A 1C=AC=4.在Rt △A 1BC 中，cos ∠ACA 1=1BC A C =12.∴∠ACA 1=60°.∴扇形ACA 1的面积为2460360π⨯⨯=83π. 即线段CA 扫过的图形的面积为83π. 故选：D（2020·包头）9、如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，点,C D 在直径AB 的两侧．若::2:7:11AOC AOD DOB ∠∠∠=，4CD =，则CD 的长为（ ）A ．2πB ．4π C．2 D{答案}D {解析}∵AB 是直接，∠AOD ：∠ DOB=7:11，∴∠AOD=70°.又∵∠COA ：∠ AOD=2：7，∴∠=20°，∴∠COD=90°. ∵CD=4，∴OC =∴90222180CD π==.故选D. 6．（2020·咸宁）如图，在O 中，2OA =，45C ∠=︒，则图中阴影部分的面积为（）A.2πB. πC. 22π- D. 2π-O DC BA{答案}D{解析}本题考查了圆周角定理，扇形面积计算，∵∠C=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，∴S 阴影=S 扇形OAB-S △OAB=29021223602π⋅⋅-⨯⨯=2π-，因此本题选D ． 13．（2020·毕节）如图，己知点C ，D 是以AB 为直径的半圆的三等分点，弧CD 的长为 13π，则图中阴影部分的面积为（ ） A ． 6π B ． 316π C ． 24π D ． 12π{答案}A ，{解析}本题考查弧长公式，扇形面积，阴影面积 ．解：∵点C ，D 是以AB 为直径的半圆的三等分点，∴∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝60°．∵OC ＝OD ，∴△COD 是等边三角形．∴∠CDO ＝60°．∴CD ∥AB ．∴S △COD ＝S △CAD ．∵弧CD 的长为13π∴13π＝60180r π⋅⋅．∴r ＝1． ∴S 阴影＝扇形COD ＝2601360π⋅⋅＝6π． 故选A ．10．（2020·淄博）如图，放置在直线l 上的扇形OAB ．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA ＝2，∠AOB ＝45°，则点O 所经过的最短路径的长是（ ）A ．2π+2B ．3πC ．5π2D ．5π2+2 【解析】如图，点O 的运动路径的长=OO 1̂的长+O 1O 2+O 2O 3̂的长=90⋅π⋅2180+45⋅π⋅2180+90⋅π⋅2180 =5π2，故选：C ．9. （2020·攀枝花） 如图，直径6AB =的半圆，绕B 点顺时针旋转30︒，此时点A 到了点A '，则图中阴影部分的面积是（ ）A. 2π B. 34π C. π D. 3π {答案}D{解析}整个图形的面积可拆分为扇形ABA '的面积加上旋转后的半圆的面积，也可拆分为阴影部分的面积加上旋转前的半圆的面积，所以可知阴影部分的面积为扇形ABA '的面积.13．（2020·云南）如图，正方形ABCD 的边长为4，以点A 为圆心，AD 为半径，画圆弧DE 得到扇形DAE （阴影部分，点E 在对角线AC 上）．若扇形DAE 正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆椎的底面圆的半径是（ ）A ．B ．1C ．D ．{答案} D ．{解析}设圆椎的底面圆的半径为r ，根据题意可知：AD ＝AE ＝4，∠DAE ＝45°，∴2πr ＝，解得r ＝．所以该圆椎的底面圆的半径是．11． （2020•呼和浩特）如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，以D 为圆心，BD 长为半径画一A弧，交AC于点E，若∠A＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BDE的面积为．【解析】∵∠A＝60°，∠B＝100°，∴∠C＝20°，又∵D为BC的中点，∵BD＝DC＝BC＝2，DE＝DB，∴DE＝DC＝2，∴∠DEC＝∠C＝20°，∴∠BDE＝40°，∴扇形BDE的面积＝，故答案为：．6．（2020•宁夏）如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝，以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．1﹣B．C．2﹣D．1+【解析】连接CD，如图，∵AB是圆C的切线，∴CD⊥AB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝×＝2，∴CD＝AB＝1，∴图中阴影部分的面积＝S△ABC ﹣S扇形ECF＝××﹣＝1﹣．故选：A．9．（2020•遂宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A 的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E，若CD＝，则图中阴影部分面积为（）A．4﹣B．2﹣C．2﹣πD．1﹣【解析】连接OD，过O作OH⊥AC于H，如图，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠B＝∠CAB＝45°，∵⊙O与BC相切于点D，∴OD⊥BC，∴四边形ODCH为矩形，∴OH＝CD＝，在Rt△OAH中，∠OAH＝45°，∴OA＝OH＝2，在Rt △OBD 中，∵∠B ＝45°， ∴∠BOD ＝45°，BD ＝OD ＝2， ∴图中阴影部分面积＝S △OBD ﹣S 扇形DOE ＝×2×2﹣＝2﹣π．故选：B ．二、填空题14.(2020·宁波)如图，折扇的骨柄长为27cm ，折扇张开的角度为120°，图中AB 的长为 cm(结果保留π).{答案}18π{解析}本题考查了扇形弧长的计算，根据弧长公式计算即可：l＝12027180π⨯＝18πcm. 13．（2020·温州）若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为 ．{答案}34π{解析}本题考查了弧长公式180n r l π=.∵n ＝45°，r ＝3，∴45331801804n r l πππ⨯⨯===，因此本题答案为34π．14．（2020·嘉兴）如图，在半径为2的圆形纸片中，剪一个圆心角为90º的最大扇形（阴影部分），则这个扇形的面积为 ；若将此扇形围成一个无底的圆锥（不计接头），则圆锥底面半径为 ．{答案}π，12{解析}本题考查了圆周角、扇形面积公式以及圆锥等知识，如图，由∠AO´B ＝90°知AB 为⊙O 的直径，AB ＝22，所以O´A ＝O´B ＝2，所以S ＝22902360360n r πππ⨯⨯==，根据围成圆锥时扇形的弧长转化为圆锥的底面圆（设底面圆的半径为1r ）的周长得到：19022180r ππ⨯⨯=，解得1r ＝12．因此本题答案为π，12。