导数复习

导数的概念及几何意义知识集结知识元导数及其几何意义知识讲解1．导数及其几何意义【知识点的知识】1、导数的定义如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f （x）的导函数，简称导数，记为f′（x）；如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数．2、导数的几何意义函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）＝．【典型例题分析】题型一：根据切线方程求斜率典例1：已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3 B．2 C．1 D．解：设切点的横坐标为（x0，y0）∵曲线的一条切线的斜率为，∴y′＝﹣＝，解得x0＝3或x0＝﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3故选A．题型二：求切线方程典例2：已知函数其图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1，则它在点（﹣3，f（﹣3））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x﹣3 B．y＝﹣2x+3 C．y＝2x﹣3 D．y＝2x+3解：∵图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1∴f（1）＝2+1＝3∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3∴（﹣3，f（﹣3））即为（﹣3，3）∴在点（﹣3，f（﹣3））处的切线过（﹣3，3）将（﹣3，3）代入选项通过排除法得到点（﹣3，3）只满足A故选A．【解题方法点拨】（1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．（2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．（3）注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，（4）显然f′（x0）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）＜0，切线与x轴正向的夹角为钝角；f（x0）＝0，切线与x轴平行；f′（x0）不存在，切线与y轴平行．例题精讲导数及其几何意义例1.'已知函数，其中a>0．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：-3<f（x1）+f（x2）<-2．'例2.'求下列函数的导数（1）y=2x3-3x2-4；（2）y=xlnx；（3）．'例3.'已知函数f（x）=ax3-x2（a>0），x∈[0，+∞）．（1）若a=1，求函数f（x）在[0，1]上的最值；（2）若函数y=f'（x）的递减区间为A，试探究函数y=f（x）在区间A上的单调性．'导数的计算知识讲解1．导数的运算【知识点的知识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（x n）′＝nx n﹣1（n∈R）③（sin x）′＝cos x④（cos x）′＝﹣sin x⑤（e x）′＝e x⑥（a x）′＝（a x）*lna（a＞0且a≠1）⑦[log a x）]′＝*（log a e）＝（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[]′＝．3、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．例题精讲导数的计算例1.已知函数f（x）=2lnx+x，则f'（1）的值为___．例2.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=e x f′（1）+3lnx，则f′（1）=___．例3.函数f（x）=sin x+e x（e为自然对数的底数），则f′（π）的值为______。

导数的专题复习-最经典最全
导数是微积分中的重要概念，它具有广泛的应用。

本文将对导数进行专题复，总结其中最经典、最全的内容。

1. 导数的定义
导数是描述函数在某一点处变化率的概念。

在数学上，函数
f(x)在点x=a处的导数表示为f'(a)，它可以通过极限的概念进行定义。

2. 导函数的计算
导数的计算有多种方法，常用的包括求导法则、链式法则、隐函数求导法等。

这些方法能够帮助我们求出各种类型函数的导数，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。

3. 导数的性质
导数具有一些重要的性质，包括：
- 导数存在性：函数在某一点处可导的条件；
- 可导性与连续性的关系：函数可导的充分必要条件；
- 导数的代数运算：导数与求导函数的和差、乘积、除法的关系；
- 高阶导数：对导数的导数的概念。

4. 导数的应用
导数在科学和工程的领域中具有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：
- 函数的最大值与最小值问题：利用导数可以求解函数的极值问题；
- 曲线的切线与法线：导数可以帮助我们确定曲线在某一点处的切线和法线；
- 运动学中的速度与加速度：导数可以描述物体在运动过程中的速度和加速度。

总结：
本文对导数进行了最经典、最全的复习，内容涵盖了导数的定义、导函数的计算、导数的性质以及导数的应用。

通过学习导数，我们可以更好地理解函数的变化规律，并运用它们解决实际问题。

导数复习————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：ﻩ第三章导数目录一．本章知识结构二．学习内容与要求(一)学习目标:(二)本章知识精要(1）导数的概念(2）常见函数的导数(3）导数的运算(４）函数的单调性(５)函数的极值(６)函数的最大值与最小值三.学习方法与指导(一)学习方法点拨1．导数的概念:2.曲线的切线３．导数运算4.函数的单调性5．可导函数的极值６.函数的最大值与最小值(二）典型例题讲解1.导数的概念2．几种常见函数的导数3.函数和、差、积、商的导数４．复合函数的导数、对数函数与指数函数的导数５.函数的单调性和极值6.函数的最大值和最小值(三)能力培养与测试参考答案四.全国各地高考数学卷导数应用题型集锦ﻬ一．本章知识结构二．学习内容与要求 (一)学习目标：(１）了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线的切线等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导数的概念。

(2）熟记函数ｙ=c (ｃ为常数)，ｙ=ｘm ，y =si ｎx ，ｙ=ｃos x ,y =e x ,y =a ｘ,y =ｌn x ,y ＝ｌo ｇa x 的导数公式；掌握两个函数四则运算的求导法则,了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数;（３)会从几何直观了解可导函数的单调性与其导数的关系;掌握函数极值的定义,了解可导函数的极值点的必要条件与充分条件,会求一些实际问题（一般指单峰函数)的最大值和最小值。

(二）本章知识精要(1）导数的概念:1.导数的定义:对函数y =f (x ）,在点x =x ０处给自变量x 以增量∆x ,函数y 相应有增量∆y =f (x 0+∆ｘ)-f （x 0），若极限0000()()lim lim x x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆存在，则此极限称为ｆ(ｘ）在点ｘ＝x 0处的导数，记为ｆ ’(x 0)，或ｙ’｜0x x =；2.导函数：如果函数y =f (x ）在区间(a ,b )内每一点都可导，就说y ＝f (x )在区间(a ,b )内可导.即对于开区间（a ,b )内每一个确定的ｘ0值，都相对应着一个确定的导数f ’（x 0)，这样在开区间(a ,b ）内构成一个新函数,把这一新函数叫做f (x )在(a ，b )内的导函数.简称导数.记作f ’(x )或y ’．即ｆ ’(x )＝y ’=0lim x ∆→y x ∆∆=0()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆。

导数知识点总结复习导数知识点总结复习导数知识点总结复习经典例题剖析考点一：求导公式。

例1.f(x)是f(x)13x2x1的导函数，则f(1)的值是。

3考点二：导数的几何意义。

例2.已知函数yf(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y1x2，则f(1)f(1)。

2，3)处的切线方程是。

例3.曲线yx32x24x2在点(1点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。

考点三：导数的几何意义的应用。

例4.已知曲线C：yx33x22x，直线l:ykx，且直线l与曲线C相切于点x0,y0x00，求直线l的方程及切点坐标。

点评：本小题考查导数几何意义的应用。

解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。

函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。

考点四：函数的单调性。

例5.已知fxax3xx1在R上是减函数，求a的取值范围。

32点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。

对于高次函数单调性问题，要有求导意识。

第1页考点五：函数的极值。

例6.设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取得极值。

（1）求a、b 的值；（2）若对于任意的x[0，3]，都有f(x)c2成立，求c的取值范围。

点评：本题考查利用导数求函数的极值。

求可导函数fx的极值步骤：①求导数f"x；②求f"x0的根；③将f"x0的根在数轴上标出，得出单调区间，由f"x 在各区间上取值的正负可确定并求出函数fx的极值。

考点六：函数的最值。

例7.已知a为实数，fxx24xa。

求导数f"x；（2）若f"10，求fx在区间2,2上的最大值和最小值。

点评：本题考查可导函数最值的求法。

求可导函数fx在区间a,b上的最值，要先求出函数fx在区间a,b上的极值，然后与fa和fb进行比较，从而得出函数的最大最小值。

第2页考点七：导数的综合性问题。

例8.设函数f(x)ax3bxc(a0)为奇函数，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x6y70垂直，导函数（1）求a，b，c的值；f"(x)的最小值为12。

导 数一、导数的基本知识 1、导数的定义：)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000。

2、导数的公式： 0'=C （C 为常数) 1')(-=n n nx x （R n ∈) xx e e =')(a a a x x ln )('= xx 1)(ln '= exx a a log 1)(log '=x x cos )(sin '= x x sin )(cos '-=3、导数的运算法则： [()()]f x g x '+ =()()f x g x ''+ [()()]()()f x g x f x g x '''-=-[()]()af x af x ''= [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+ 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''-'= 4、掌握两个特殊函数 （1）对勾函数()bf x ax x=+( 0a > ,0b >) 其图像关于原点对称（2）三次函数32()f x ax bx cx d =+++(0)a ≠导 数导数的概念 导数的运算导数的应用导数的定义、几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值函数的最值 常见函数的导数导数的运算法则 比较两个的代数式大小导数与不等式讨论零点的个数求切线的方程导数的基本题型和方法1、、导数的意义：（1）导数的几何意义：0()k f x '= （2）导数的物理意义:()v s t '=2、、导数的单调性：（1）求函数的单调区间;()0()b]f x f x '≥⇔在[a,上递增 ()0()b]f x f x '≤⇔在[a,上递减（2）判断或证明函数的单调性; ()f x c ≠ （3)已知函数的单调性，求参数的取值范围。