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概率论GL9[1].4多元线性回归

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概率论与数理统计(9.4 多元线性回归)

概率论与数理统计(9.4 多元线性回归)

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引进矩阵记号
Y
y1
y2
，X
M
1
1 M
x11 x21 M
L L M
x1p
x2 p M
，
0
1
M
，e
1
2
，
M
yn
1 xn1 L xnp
p
n
则模型可表示成矩阵的形式：
Y X e ， i ~ N (0, 2 ) ， e ~ N (0, 2En ) ，
即得正规方程组的解为 9.9
0.575 0.55
1.15
于是得到回归方程为Yˆ 9.9 0.575x1 0.55x2 1.15x3 ．
2020年6月18日星期四
9
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二、β的最小二乘估计
多项式回归模型的一般形式为
Y 0 1x 2x2 L pxp ， ~ N (0, 2 ) ， 其中 0 , 1,L , p ， 2 是与 x 无关的未知参数．若令
0 , 1,L , p 为 待 定 系 数 ． 称 数 据 xi1, xi2,L , xip , yi ，
i 1, 2,L , n 为容量为 n 的一个子样观测值(Sub-sample observations)．特殊地，取 p 1，则模型就是一元线 性回归模型．
2020年6月18日星期四
4
11
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习题A
2020年6月18日星期四
12
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《概率论与数理统计》
*****大学理学院数学系
伯努利（Bernoulli） 柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)

多元线性回归

多元线性回归

36
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§5.4 回归方程的显著性检验
2019/11/5
中国人民大学六西格玛质量管理研究中心
37
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§5.4 回归方程的显著性检验
2019/11/5
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§5.4 回归方程的显著性检验
2019/11/5
中国人民大学六西格玛质量管理研究中心
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§5.2 多元回归参数的估计
2019/11/5
中国人民大学六西格玛质量管理研究中心
17
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§5.2 多元回归参数的估计
2019/11/5
中国人民大学六西格玛质量管理研究中心
18
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§5.4 回归方程的显著性检验
在一元线性回归中，回归系数显著性的t检验与回归方 程显著性的F检验是等价的，而在多元线性回归中，这 两种检验不同。
2019/11/5
中国人民大学六西格玛质量管理研究中心
43
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§5.4 回归方程的显著性检验
2019/11/5
中国人民大学六西格玛质量管理研究中心
27
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§5.3 参数估计量的性质
2019/11/5
中国人民大学六西格玛质量管理研究中心
28
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§5.3 参数估计量的性质
性质4 Gauss-Markov定理
2019/11/5
中国人民大学六西格玛质量管理研究中心
29

最新文档-第6讲 多元线性回归分析-PPT精品文档

最新文档-第6讲 多元线性回归分析-PPT精品文档
1. 线性关系检验通过后，对各个回归系数有选择地 进行一次或多次检验
2. 究竟要对哪几个回归系数进行检验，通常需要在 建立模型之前作出决定
3. 对回归系数检验的个数进行限制，以避免犯过多 的第一类错误(弃真错误)
4. 对每一个自变量都要单独进行检验
5. 应用 t 检验统计量
模型的统计检验
我们研究的模型是：Y= 0+ 1X1+ 2X2+u 1.参数估计值的分布
（ii）计算 t 统计量
j=0
j=0，1，2
（iii）给定显著性水平 ，查自由度为n-3的t分布表， 得到临界值
t (n3) 2
（iv）判断：
t （a）若 | t | >
(n3)
2
则在1- 水平下拒绝原假设H0 ，即 j对应的变量xj是
显著的；
t （b）若 | t | <
(n3)
系数 。

（3）校正的判定系数即用自由度进行平均，用 “单位”拟合误差进行比较，从而提高了可比性。
（4）虽然非校正的判定系数总为正数，但校正 的判定系数可能为负数。
• 我们很容易可以得到 调整的R2 ，
• (1 – R2)(n – 1) / (n – k – 1), • 大部分的软件会同时给出 R2 和 调整的R2。 • 可以通过比较调整的R2 来比较两个模型（同一个
2 1 i
2 2 i 1 i 2 i2
1
2 ]
V( aˆr ) 1
x 2[
u
2
x x ( xx) 1 i
2
2 i
2 2 i1 i
2] 2 i
V( aˆr ) 2
x 2[

《多元线性回归》PPT课件

《多元线性回归》PPT课件

ˆ 0.7226 0.0003 15674 103 .172 1 ˆ β ˆ 0 . 0003 1 . 35 E 07 39648400 0 . 7770 2
x11 x x 1n x k1 x kn
假设6：回归模型是正确设定的
§3.2
多元线性回归模型的参数估计
一、普通最小二乘估计 二、参数估计量的性质 三、样本容量问题
参数估计的任务和方法
1、估计目标：回归系数βj、随机误差项方差б2 2、估计方法：OLS、ML或者MM * OLS：普通最小二乘估计 * ML：最大似然估计
E(X(Y Xβ )0
矩条件
*矩条件和矩估计量*
1、 E(X(Y Xβ ) 0 称为原总体回归方程的一组矩条件，表明了
原总体回归方程所具有的内在特征。
2、如果随机抽出原总体的一个样本，估计出的样本回归方程：
ˆ 能够近似代表总体回归方程的话，则应成立： ˆ X Y
1 ˆ)0 X (Y Xβ n
第三章
多元线性回归模型
§ 3.1 多元线性回归模型
§ 3.2 多元线性回归模型的参数估计 § 3.3 多元线性回归模型的统计检验 § 3.4 多元线性回归模型的预测 § 3.5 可线性化的多元非线性回归模型 § 3.6 受约束回归
§3.1
多元线性回归模型
一、模型形式 二、基本假定
一、模型形式
Yi 0 1 X 1i 2 X 2 i ... k X ki i 0 j X ji i
#参数估计的实例
例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消费支出例中，

多元线性回归模型多元线性回归模型

多元线性回归模型多元线性回归模型


2

i E(i )
假设3，E(X’)=0，即
E


X 1i i





X 1i E(i )



0
X Ki i X Ki E(i )
假设4，向量 有一多维正态分布，即
μ~ N(0, 2I)
XY XXβˆ 0
得到： 于是：
XY XXβˆ
βˆ (XX)1 XY
例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消费支出例中，
1 X 1
(
X
'
X
)


1 X1
1 X2

1 Xn

1 1
X 2
Xn



多元线性回归模型:表现在线性回归模型中的 解释变量有多个。
一般表现形式：
Yi 0 1X1i 2 X 2i k X ki i i=1,2…,n
其中:k为解释变量的数目，j称为回归参数
（regression coefficient）。
习惯上：把常数项看成为一虚变量的系 数，该虚变量的样本观测值始终取1。于是： 模型中解释变量的数目为（k+1）
ˆk
在离差形式下，参数的最小二乘估计结果为
βˆ (xx)1 xY
ˆ0 Y ˆ1 X1 ˆk X k
⃟随机误差项的方差的无偏估计
可以证明，随机误差项的方差的无偏估
计量为：
ˆ 2
ei2 ee
n k 1 n k 1
*二、最大或然估计
由此得到正规方程组

多元线性回归分析简介

多元线性回归分析简介
ˆ j 表示 j , j 0,1, , p 的估计值。
称
y ˆ0 ˆ1x1 ˆp xp
为 y 关于 x 的多元线性经验回归方程（函数），它表示 p+1 维空间中的一个超平面（经验回归平面）。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
引进矩阵的形式：
设
y
y1
y2
，
X
1
1
x11 x21
有平方和分解公式 SS=SSR+SSE
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
定理 4.5＇在 p 元回归分析问题中， SSR 与 SSE 相互独立，
且1
2
SSE
~
2(n
p
1)
；在原假设 H0 成立时，有
12ຫໍສະໝຸດ SSR~2(p)
。
因此取检验统计量 F=
SSR / p
H0成立时
F(p,n-p-1)
SSE / n p 1
（ xi1, , xip , yi ）（ i 1,2,, n ）到回归平面
y ˆ0 ˆ1x1 ˆp xp 的距离的大小。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
一元回归分析中旳结论全部能够推广到多 元旳情形中来。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
定理 4.2＇ 在 p 元回归分析问题中，（1） ˆ 服从 p+1 维正态分
min
0 ,1 , , p
Q(0,
1,
,p)
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
定理 4.1＇在 p 元回归分析问题中， 的最小
二乘估计量为 ˆ X X 1 X Y 。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
误差方差的估计：

多元线性回归方法介绍

多元线性回归方法介绍回归分析主要研究因变量与自变量的关系，因变量是随机变量，自变量是因素变量，是可以加以控制的变量。

多元回归分析一般解决以下问题：第一，确定因变量与多个因素变量之间联系的定量表达式，通常称为回归方程式或数学模型，并确定它们联系的密切程度；第二，通过控制可控变量的数值，借助于球而出的数学模型来预测或控制因变量的取值和精度；第三，进行因素分析，从影响因变量变化的因素中寻找出哪些因素对因变量的影响最为显著，哪些因素不显著，以区别主要因素和次要因素。

在操作过程中，需要列出影响Y 的多个因素与Y 之间的关系方程。

一般地，设因变量Y 于k 个自变量X1,X2,……,XK线性相关：Y=B0+ B1X1+ B2X2+ … + B k X k+ε（1）其中Y 为可观察的随机变量，X1，X2，…，Xk为可观察的一般变量，B0，B1，B2，…，Bk为待定模型参数，其中B0为截距，ε为不可观测的随机误差。

有n组独察的样本数据（yi,x i1,…,xik），i=1，2，…，n，带入方程（1）中，有：y i= b0+ b1x i1+ b2x i2+ … + b k x ik+ e i i=1,2,…, n其中n 个随机变量ei相互独立且服从同一正态分布Nor（0，σ2）。

根据最小二乘原则，求B0，B1，B2，…，Bk的估计值b0，b1，…，bk，使上式的误差平方和∑(ei)2=∑[y i-(b0+b1x i1+b2x i2+…+b k x ik)]2最小，为此，分别将上式对b0，b1，…，bk求偏导数，令其等于0，当x1，x2，…，xk相互独立时，由极值原理，可求出总体回归系数矩阵B 总体=[B0，B1，B2，…，Bk]T的估计值矩阵B样本=[b0，b1，…，bk]T：B样本=（XTX）-1XTX进而得到回归方程：y=b0+b1x1+b2x2+…+b k x k 本文将依据上述原理对后面的变量关系进行回归分析。

《多元线性回归》课件


案例三：销售预测
总结词
利用多元线性回归模型预测未来销售情况，为企业制定 生产和销售计划提供依据。
详细描述
选取影响销售业绩的因素，如市场需求、竞争状况、产 品定价等，建立多元线性回归模型。通过分析历史销售 数据，预测未来销售趋势。在实际应用中，需要考虑市 场变化和不确定性因素，对模型进行动态调整和优化。
市场分析
在市场营销领域，多元线性回归可用于分析消费 者行为、市场趋势等，为企业制定营销策略提供 支持。
多元线性回归的基本假设
线性关系
自变量与因变量之间存在线性 关系，即随着自变量的增加或 减少，因变量也按一定比例变
化。
无多重共线性
自变量之间不存在多重共线性 ，即自变量之间没有高度的相 多元线性回归的 案例分析
案例一：股票价格预测
总结词
通过分析历史股票数据，利用多元线性回归 模型预测未来股票价格走势。
详细描述
选取多个影响股票价格的因素，如公司财务 指标、宏观经济指标、市场情绪等，建立多 元线性回归模型。通过训练数据拟合模型， 并使用测试数据评估模型的预测精度。在实 际应用中，需要考虑市场变化、政策影响等
特点
多元线性回归具有简单易用、可解释性强等优点，适用于探 索多个变量之间的相互关系，并能够提供可靠的预测结果。
多元线性回归的应用场景
1 2 3
经济预测
通过对多个经济指标进行多元线性回归分析，可 以预测未来的经济走势，为政策制定提供依据。
医学研究
在医学领域，多元线性回归常用于研究疾病发生 与多个风险因素之间的关系，为疾病预防和治疗 提供参考。
用于检验自变量与因变量之间是否存在线性关系。常用的方法包括散点图、趋 势线等。如果数据点在散点图上呈现一条直线，或者趋势线与水平线接近平行 ，则可以认为自变量与因变量之间存在线性关系。

第二节多元线性回归

第二节 多元线性回归在许多实际问题中， 常常会遇到要研究一个随机变量与多个变量之间的相关关系，例如，某种产品的销售额不仅受到投入的广告费用的影响，通常还与产品的价格、消费者的收入状况以及其它可替代产品的价格等诸多因素有关系. 研究这种一个随机变量同其他多个变量之间的关系的主要方法是运用多元回归分析. 多元线性回归分析是一元线性回归分析的自然推广形式，两者在参数估计、显著性检验等方面非常相似. 本节只简单介绍多元线性回归的数学模型及其最小二乘估计.一、多元线性回归模型设影响因变量Y 的自变量个数为P ，并分别记为,21,,,p x x x 所谓多元线性模型是指这些自变量对Y 的影响是线性的，即p p x x x Y 22110，),0(~2 N其中p ,,,,210 ，2 是与p x x x ,,,21 无关的未知参数，称Y 为对自变量,21,,,p x x x 的线性回归函数.记n 组样本分别是),,,,(21i ip i i y x x x ),,2,1(n i ，则有n np p n n n p p p p x x x y x x x y x x x y 2211022222211021112211101, 其中n ,,,21 相互独立，且),0(~2 N i ，n i ,,2,1 ，这个模型称为多元线性回归的数学模型. 令Y =n y y y21, X =np n n p p x x x x x x x x x212222*********,p 10,n 21 则上述数学模型可用矩阵形式表示为 X Y其中 是n 维随机向量，它的分量相互独立。

X 称为设计矩阵或资料矩阵。

二、多元线性回归模型的基本假定1.解释变量是确定性的变量，不是随机变量，设计矩阵中要求列向量不能有密切的线性相关性，也称为多重共线性；2. 随机误差项具有0均值和同方差，且随机误差项相互独立，即：j i j i n i E j i i 0),cov(,2,10)(2 3.正态分布条件： 2(0,)N I :，其中I 表示单位矩阵。

第八章：多元线性回归模型-PPT精选文档



表示： 各变量 X值固定（即给定）时 Y的平均响 应（即均值）。
j也被称为偏回归系数，表示在其他解释变
量保持不变的情况下，X j每变化1个单位时，Y的 均值E(Y)的变化; 或者说j给出了X j的单位变化对Y均值的 “直接”或“净”（不含其他变量）影响。
用来估计总体回归函数的样本回归函数为：
§3.2 多元线性回归模型的估计
一、普通最小二乘估计
*二、最大或然估计(Maximum Likelihood) *三、矩估计（Moment Method)
四、参数估计量的性质
* 五样本容量问题
六、估计实例
说 明
（注：参数有两类：结构参数和分布参数，分布参数是 指随机误差项的均值和方差） 估计方法： 3大类方法：OLS、ML或者MM – – 在经典模型中多应用OLS 在非经典模型中多应用ML或者MM
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Y X X X i 0 1 1 i 2 2 i ki ki


ˆ ˆ ˆ ˆ X X X e 其随机表示式: Y i 0 1 1 i 2 2 i ki ki i
ei称为残差或剩余项(residuals)，可看成是 总体回归模型中随机扰动项i的近似替代。
n
Q
ˆ ˆ ˆ ˆ ( Y ( X X X )) i 0 1 1 i 2 2 i k k i
i 1
n
2
• 于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：
ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) SY S( 0 1 1i 2 2i k ki i ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) X SY X S( 0 1 1i 2 2i k ki 1i i 1i ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) X SY X S( 0 1 1i 2i 2i k ki 2i i 2i ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) X SY X S( 0 1 1i 2 2i k ki ki i ki
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1 2 p 1 2 p
是x1 , x2 ,, x p的线性函数的情况。
即，多元线性回归模型： Y b0 b1 x1 b2 x2 bp x p , ~ N 0, 2
概 率 论 与 数 理 统 计
其中 b0 , b1 , b2 ,, bp , 都是未知参数。
4020
4427 2660 2088 2605
假设误差服从正态分布N 0, 2 , 试建立Y与X1，X 2 之间的线性回归方程。
概 率 论 与 数 理 统 计
选取模型：Y b0 b1x1 b2 x2 , ~ N (0, )
2
1 1 X 1 1
yi 1 1 y1 i x y x21 xn1 y2 i i1 i x2 p xnp yn x y ip i i
设X X 可逆，则B的最小二乘估计为：
概 率 论 与 数 理 统 计
地区 i 1 2 3 4
表1.1.2 化妆品销售的调查数据 销售（箱） 人数（千人） 人均收入（元） Yi Xi1 Xi2 162 274 2450 120 223 131 180 375 205 3254 3802 2838
5
6 7
67
169 81
86
265 98
2347
2
设进行n n p 次独立观测,
得到样本 xi1 , xi 2 ,, xip , yi , i 1, 2, , n.
即有 yi b0 b1 xi1 b2 xi 2 ... bp xip i ,
1 , 2 ,, n独立同 ~ N 0, , i 1, 2,..., n.
i i i
i1 2 i1
x x x
ip
xip xi1
i i1 ip i 2 x ip i
概 率 论 与 数 理 统 计
1 x11 X Y x 1p
于是正规方程的矩阵形式为 X T XB X T Y，
162 274 120 180 ... 103 157 212 370
2450 3254 Y ... 2088 2605
b0 B b 1 b2
2259 3626 15 X X 2259 394107 647107 3626 647107 1067614
ˆ ,b ˆ ,b ˆ ,..., b ˆ , 使得Q达到最小. 要求b 0 1 2 p




概 率 论 与 数 理 统 计
化简得：nb0 b1 xi1 ... bp xip yi i 1 i 1 i 1 n n n n 2 b0 xi1 b1 xi1 ... bp xi1 xip xi1 yi i 1 i 1 i 1 i 1 ... n n n n 2 b0 xip b1 xip xi1 ... bp xip xip yi . i 1 i 1 i 1 i 1 称为正规方程。
1 1 1 1 x x x 11 21 n1 1 因为X X x x x 1 np 1p 2 p
概 率 论 与 数 理 统 计
n xi1 i xip i
x x
概 率 论 与 数 理 统 计
Байду номын сангаас
第九章 方差分析及回归分析
§4 多元线性回归
§4
多元线性回归
在实际问题中，影响Y（因变量）的因素（自变量） x1, x2 ,, xp共p个. 概 往往不止一个，设有 率 论 建立这p个因素与Y的依赖关系将具有更广泛的 与 应用价值. 数 设对于自变量x , x ,, x 的一组确定值，随机变量Y 1 2 p 理 统 有它的分布。若E (Y )存在，则它是x1 , x2 ,, x p的函数， 计 记为（ x , x ,, x ）。这里讨论的是（ x , x , , x ）
1 ˆ B X X X Y
ˆ b ˆ x ... b ˆ x ——p元回归方程。 ˆ b y 0 1 1 p p
例6 某公司在各地区销售一种特殊化妆品。该公司观测了 15 个城市在某月内对该化妆品的销售量Y及各地区适合使 用该化妆品的人数X1和人均收入X2，得到数据如下：
由回归方程可知，若固定人均收入不变，则人数每增加1 千人，销售量增加0.496箱；若固定人数不变，收入每增 加1元，销售量增加0.0092箱。
多元线性回归也可以像一元线性回归一样，检验模型 的回归效果是否显著。所不同的是，在模型的回归效果显 著的情况下，还要检验每个自变量对因变量的效应是否显 著，不显著就要剔除，通常用逐步回归法可以使回归方程 变得简洁、明确、显著。在此基础上可以对给定点处对应 的Y进行点预测和区间预测。所有这些都可以通过SAS软件 实现。
n n n
概 率 论 与 数 理 统 计
1 1 引入矩阵：X 1
x11 x1 p b0 y1 x b x21 2 p y 1 2 ，Y ,B b xn1 xnp y n p x11 x1 p x x21 2 p xn1 xnp
2
要求b0 , b1 ,bp的最小二乘估计。
令Q yi b0 b1 xi1 bp xip
i 1
n
2
概 率 求Q分别关于b0 , b1, b2 ,..., bp的偏导数, 并令它们等于零。 论 n Q 与 2 yi b0 b1 xi1 bp xip 0 数 b0 i 1 理 n Q 统 2 yi b0 b1 xi1 bp xip xij 0 j 计 i 1 j 1, 2,..., p.
概 率 论 与 数 理 统 计
44428 X Y 7096619 11419181
3.4526 1 ˆ 正规方程的解：B X X X Y 0.4960 0.0092
概 率 论 与 数 理 统 计
ˆ 3.4526 0.4960x1 0.0092x2 . 于是回归方程为：y
3782 3008
化妆品销售的调查数据（续） 地区 i 销售（箱） Yi 人数（千人） Xi1 人均收入 （元）Xi2
概 率 论 与 数 理 统 计
8 9 10
192 116 55
330 195 53
2450 2137 2560
11
12 13 14 15
252
232 144 103 212
430
372 236 157 370