岩质边坡平面滑动的模糊可靠度分析

第26卷增刊 岩 土 力 学 V ol.26 Supp. 2005年5月 Rock and Soil Mechanics May 2005收到修改稿日期：2005-01-14作者简介：王广月，男，1963年生，教授，主要从事岩土力学和地基基础教学与研究工作。

E-mail: lj75@文章编号：1000－7598－(2005)增刊－283－04岩质边坡平面滑动的模糊可靠度分析王广月，刘 健，王有志（山东大学 土建与水利学院，济南 250061）摘 要：综合考虑了边坡平边滑动的随机性和模糊性。

根据工程实际确定结构功能函数的概率密度函数及表征边坡稳定性的隶属函数，提出了边坡失稳的模糊概率和边坡稳定性模糊可靠度的计算方法，并计算了模糊可靠度的置信区间，具有一定的实际意义。

关 键 词：边坡；平面滑动；模糊可靠度；置信区间 中图分类号：TU 437 文献标识码：AAnalysis of fuzzy reliability for plane sliding of slopeWANG Guang-yue, LIU Jian, WANG You-zhi（School of Civil Engineering, Shandong University, Jinan 250061, China ）Abstract: Randomness and fuzziness of plane sliding of slopes are considered comprehensively. Associating with real project condition, probability density function for performance function and membership function of the slope are set up. Then a practical method to calculate fuzzy failure probability and fuzzy reliability of slope’s stability is put forward. At the same time, confidence interval of fuzzy reliability is calculated.Key words: slope; plane sliding; fuzzy reliability; confidence interval1 前 言岩质边坡的稳定性分析是岩土工程中一个非常重要的问题。

在实际工程中，有些边坡的稳定性主要受大型软弱结构面的控制。

当岩质边坡的主要结构面平行于坡面，结构面倾角小于坡角且大于其内摩擦角时，易发生平面破坏。

这种情况下，衡量边坡的可靠性即成为计算这个平面型软弱结构面的可靠度。

所谓事件的随机性，是指事件发生的条件不充分，使得在条件与事件之间不能出现必然的因果关系，从而事件的出现与否表现出不确定性。

如岩体的粘聚力与内摩擦角等都可以看作是随机变量，而边坡的失稳可以看作是随机过程，可采用以可靠度理论为基础的设计方法来研究。

“模糊”是人们表达含糊的概念、观点和态度时使用的一个词。

所谓模糊性是指边界不清楚，即在质上没有确切的含义，在量上没有明确的界限，是一种划分上的不确定性。

模糊性产生的根源在于客观事物的差异存在着中间过渡，“亦此亦彼”的现象。

例如，边坡的平面滑动就是一个模糊概念，在失稳与稳定之间存在一个模糊过渡区。

因此，本文将边坡的平面滑动看作一个模糊概率事件，同时考虑边坡失稳的随机性和模糊性两种不确定性因素，利用概率理论与模糊数学建立分析边坡稳定性的方法，使其更符合客观实际。

2 可靠度分析在结构可靠度分析与设计中，为了正确描述结构的工作状态，必须明确规定结构安全、耐久、适用和结构失效的界限，这样的界限称为结构的极限状态。

结构的极限状态实质上是结构工作状态的一个阈值，若超过这一阈值，则结构处于不安全、不耐久或不适用的状态；若没有超过这一阈值，则结构处于安全、耐久、适用的状态。

如果用随机向量岩 土 力 学 2005年),,,(21n X X X X L =表示结构的基本随机变量，用g(ゴ)表示描述结构工作状态的函数，称为结构功能函数，则结构的工作状态可用下式表示[1]：⎪⎩⎪⎨⎧>=<=可靠状态极限状态失效状态,0 ,0 ,0)(X g Z (1)如果用R 表示结构的抗力，用S 表示结构上的作用（荷载）效应，则结构的功能函数可表示为S R S R g Z −==) ,( (2)在边坡稳定性分析中，R 为抗滑力，S 为滑动力。

当边坡发生平面滑动时，如图1所示的岩质边坡，AB 为潜在滑动面，对于潜在滑体ABCD ，抗滑力与滑动力分别为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==−=−=+=−−+=; cot cot 121; 21 ; csc )(21; csc )( ; cos sin ;tan )sin cos (222ww w w αβγγβγβββφββH Z H W Z v Z H Z u Z H A v W S v u W cA R (3) 式中 c 为边坡岩石的粘聚力(kPa)；w γ为水的重度（kN /m 3）；γ为岩体的重度（kN /m 3）；α为坡角；β为结构面倾角；φ为结构面摩擦角；W 为滑体所受的重力（kN ）。

图1 边坡剖面Fig. 1 Cross-section of the slope在计算分析中，结构功能函数为非线性函数，若n X X X ,,,21L 是结构中n 个相互独立的随机变量，其平均值为), , 2 , 1(n i i X L =µ，标准差为i X σ),2,1(n i L =。

将功能函数),,,(21n X X X g Z L = 在随机变量的平均值处展开为泰勒级数，即L L +−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+=∑=)( ),,,(121i n X i ni iX X X X X gg Z µµµµµ(4)Z 的平均值和方差可表示为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂=−===∑= )](E [E ; ) , , ,()(E 2212221i n X n i i Z X X X Z X g Z Z g Z σσµµµµµL (5) 因此，可靠度指标可表示为212),,,(21in X n i i X X X Z Z X g g σµµµσµβµ∑=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂==L (6) 结构的失效概率可表示为∫−Φ==<=Fz Z f Z P P )(d )()0(f β (7)式中 F 为结构的失效域；f (z)为结构功能函数的 概率密度函数。

3 模糊可靠度计算由于事物本身存在着中间过渡现象及对事物划分标准边界的不清晰，一个元素只是在一定程度上属于一个集合，描述这种程度的就是模糊数学中的隶属函数。

当考虑边坡由“完全失稳”到“完全稳定”之间的中间过渡性时，引入可以表征边坡稳定性的隶属函数)(A Z µ[2]。

隶属函数的形式通常可以采用模糊统计试验的由于边坡的失稳既具有模糊性又具有随机性，[3]∫+∞∞−=z Z Z f P d )()(ˆA fµ (8)当A µ表示失效程度时，A µ接近于0时，失效的可能性小；当A µ=0.5时,处于最模糊状态，可作为传统分析时的极限平衡状态；当A µ=1时，失效的可能性大。

当)(A Z µ采用降半梯形分布时[4]：284增刊 王广月等：岩质边坡平面滑动的模糊可靠度分析 0 , Z ≥b=)(A Z µa b Zb −−, a <Z <b (9) 1 , Z ≤a由于结构的功能函数具有随机性，可用其均值进行模拟。

由式（2）可得：)(E )(E )(E S R Z −= (10)当边坡处于极限平衡状态时，E(Z )=0，即E(R )=E(S )，此时，)(A Z µ= 0.5；一般一级边坡以平面滑动法计算的稳定安全系数K 取为1.35[2]，可认为当K ≥2时，)(A Z µ=0，此时，E(R ) = 2E(S )，E(Z ) = E(R )－E(S )=E(S )。

将Z 用均值E(Z )模拟，代入式（9） 中ab Zb Z −−=)(A µ，可得：0 ， Z ≥E(S )=)(A Z µ)(E 2)(E S ZS −，－E(S )< Z < E(S ) (11)1 ， Z ≤－E(S )在计算分析中，功能函数中基本随机变量的多少直接关系到求解的复杂程度。

通过对影响边坡稳定的一些参数进行敏感性分析，可近似选择随机变量的个数而又不影响分析问题的精度[6]。

可视结构面的倾角、滑动体的几何尺寸等为常量，将结构面处的抗剪指标c ，φ等作为随机正态变量，简化假设R ，S 也服从正态分布，则Z 服从正态分布，其概率密度函数为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=221exp π21)(z z z z z f σµσ (12) 将式(11)、式（12）代入式（8）即可求得边坡平面滑动的模糊概率fˆP，边坡失稳的模糊可靠度为 )ˆ1(ˆf1P −Φ=−β (13) 4 模糊可靠度置信区间结构功能函数的概率密度函数中的z u 和z σ必然存在误差，为安全起见，应求出模糊可靠度的置信区间和置信度，尤其是模糊可靠度的下限值及其置信度，以便工程人员判断边坡的可靠程度。

设总体Z 的概率分布中参数θ未知，对于给定值)10(<<αα，若由样本确定2个统计量θ和θ，使αθθθ−=<<1)(P 成立，则称α为置信水平，α−1为置信度，随机区间) ,(θθ为θ的 α−1置信区间。

θ和θ分别称为θ的置信下限和置信上限。

并记θθ−=L 为置信区间长度[7]。

由于模糊可靠度与随机变量概率密度函数中的分布参数有关，可以用概率统计方法求出概率密度函数中分布参数的上下限，再分别将其代入公式求得模糊可靠度β)的置信上限β和置信下限β，就可求出置信区间) ,(ββ。

对于服从正态分布的随机变量，当方差2σ为已知时，均值u 的置信度为α−1的置信区间为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−n u X n u X αααα22 , (14) 当方差2σ为未知时，均值u 的置信度为α−1 的置信区间为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−n s t X n s t X 22 ,αα (15) 式中 n 为样本容量；X 为完全样本均值；∑==ni ix n X 11（i x 为样本观测值）；2αu 为标准正态分布的分位数，⎟⎠⎞⎜⎝⎛−Φ=−2112ααu ;s 为样本均方差, 21)(11X x n s ni i −−=∑=; 2αt 为服从自由度1−=n m 的t 分布的双侧分位数。