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22.2（2）平行四边形的性质教案教学目标：1.经历平行四边形性质定理3、定理4的探索过程，从中感受转化、分类的思想方法；2.掌握平行四边形的性质定理3、定理4，并能综合运用平行四边形的概念和性质定理解决有关计算、证明问题.教学重难点：平行四边形的性质定理3、定理4，综合运用平行四边形的性质定理解决简单的计算、证明问题.教学过程：一、复习回顾忆一忆：平行四边形有哪些性质？二、新课导入试一试如图1，在ABCD中，对角线AC、BD相较于点O.猜想：OA与OC、OB与OD有何数量关系？并证明你的结论.猜想结论：证明：平行四边形性质定理3：符号表达式：∵∴在ABCD中，对角线AC、BD相较于点O.观察：平行四边形是图形，A DO图1B点O是 .平行四边形性质定理4：试一试：如图2，在直角坐标平面内，ABCD的对角线的交点正好与坐标原点重合，且点A、B的坐标分别为（3,2），（-2,1），则点C、D的坐标分别是、 .三、尝试练习1．已知，如图3，ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF.求证：∠BAE=∠DCF.2．已知：如图4，ABCD中，对角线AC、BD相较于点O，EF过点O且与边AB、CD分别交于点E、F.求证：OE=OF.图2图3图4上述问题中，若直线EF过点O且与边AD、CB的延长线分别交于点E、F（如图5所示），结论成立吗？若直线EF绕点O旋转到如图6所示的位置时，上述结论成立吗？四、反馈练习1.已知，如图7，ABCD，AD=7cm，AC=12cm，BD=8cm，△AOD的周长是，△AOD和△AOB的面积关系是，理由 .2. 如图8，在ABCD中，E为CD的中点，联结BE并延长，交AD的延长线于点F，（1）求证： E是BF的中点，D是AF的中点；（2）若AB=2BE，求证：BD⊥AF.五、课堂小结分享：你在今天的学习过程中收获了什么？图6图5图7图8六、作业布置练习册22.2（2）七、拓展延伸1．如果一个平行四边形的一边长是10cm，一条对角线长是8cm，则它的另一条对角线x的取值范围是．2.如图9，在ABCD中，AD=2AB，延长AB至点F，延长BA至点E，使AB=AE=BF,联结EC，FD交于点O.求证： FD⊥EC.图9。
知识精要一、特殊的平行四边形1、矩形：有一个内角是直角的平行四边形。
2、菱形：有一组邻边相等的平行四边形。
3、正方形：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形。
二、性质定理图形性质定理判定定理矩形1、四个角都是直角；2、两条对角线相等。
1、有三个内角是直角的四边形。
2、对角线相等的平行四边形。
菱形1、四条边都相等；2、对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角。
1、四条边都相等的四边形。
2、对角线互相垂直的平行四边形。
正方形1、四个角都是直角，四条边都相等；2、对角线相等，且互相垂直，每条对角线平分一组内角。
1、一组邻边相等的矩形；2、有一个内角是直角的菱形。
三、梯形（一）梯形的有关概念1、四边形的演变与汇总2、 梯形：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形注：（1）梯形是特殊的四边形。
（2）有且只有一组对边平行。
3、 梯形中平行的两边叫做梯形的底，短边为上底，长边为下底，与位置无关，不平行的两边叫做梯形的腰，梯形两底之间的距离叫做梯形的高，它是一底上的一点向另一底作的垂线段的长度。
4、 梯形的分类梯形⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧等腰梯形直角梯形特殊梯形一般梯形：（1）直角梯形：有一个角为直角的梯形为直角梯形 （2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形（二）梯形的性质1. 一般梯形的性质：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，则∠A+∠B=︒180，∠C+∠D=︒1802. 直角梯形具有的特征在直角梯形ABCD 中，若AD ∥BC ，∠B=︒90，则∠A=︒90，∠C+∠D=︒180 3. 等腰梯形具有的性质（1）性质定理1：等腰梯形同一底上的两个内角相等 （2）性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等（3）等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，等腰梯形的对称轴是两底中点所在的直线。
4. 等腰梯形的判定 （1）利用定义：（2）判定定理l ：同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形（3）判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形热身练习：1. 如图，矩形的周长为24cm ，一边中点与对边两顶点边线成直角，则矩形的两邻边分别为4 cm 和8 cm 。
板块一：多边形1、多边形的有关概念（1）多边形：由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接所组成的封闭图形； （2）多边形的边：组成多边形的每一条线段；（3）多边形的顶点：相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点； （4）多边形的内角：多边形相邻两边所成的角；（5）多边形的对角线：连接多边形的两个不相邻顶点的线段. 2、多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于（n －2）·180°.3、多边的外角：由多边形的一个内角一边和另一边的反向延长线组成的角.4、多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°【例题1】 【基础、提高】 一个正多边形，它的一个外角等于它的相邻内角的14，则这个多边形是（ ） A.正十二边形 B.正十边形 C.正八边形 D. 正六边形【尖子】设凸（4n +2 ）边形A 1A 2A 3…A 4n +2(n 为正整数)的每个内角都是30°的整数倍，且∠A 1＝∠A 2＝∠A 3＝90°，那么n ＝ .【例题2】 设A 1、A 2，…，A 23依次是面积为1的正二十三边形的顶点，考虑由连续的若干个顶点连成的凸多边形，如四边形A 3A 4A 5A 6、七边形A 22A 23A 1A 2A 3A 4A 5等，求所有这样的凸多边形的面积之和.板块二：平行四边形第三讲 平行四边形强化（一） 平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
（二） 平行四边形性质定理1：如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。
简记为：平行四边形的对边相等。
平行四边形性质定理2：如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。
简记为：平行四边形的对角相等。
平行四边形性质定理3：如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。
简记为：平行四边形的两条对角线互相平分。
平行四边形性质定理4：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
学科教师辅导讲义教学目标1了解平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系，了解四边形的不稳定性。
2理解并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念和特征3灵活应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的基本特征进行简单的数学说理和推理和推理教学内容一、知识回顾矩形、菱形、正方形1、菱形的性质：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．、菱形的性质：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．③具有平行四边形所有性质．③具有平行四边形所有性质．2．菱形的判定：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形．．菱形的判定：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形．③四条边都相等的四边形是菱形．③四条边都相等的四边形是菱形．3．矩形的性质：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质． 4．矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．．矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形．5．正方形的性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．．正方形的性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．6．正方形的判定：①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形．．正方形的判定：①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形．③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形．③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形．课前练习: 1 1．已知平行四边形．已知平行四边形ABCD 的周长是28cm 28cm，，CD-AD=2cm CD-AD=2cm，那么，那么AB=______cm AB=______cm，，BC=______cm BC=______cm．． 2．菱形的两条对角线分别是6cm 6cm，，8cm 8cm，则菱形的边长为，则菱形的边长为，则菱形的边长为_______________，一组对边的距离为，一组对边的距离为，一组对边的距离为_______________ 3．在菱形ABCD 中，∠中，∠ADC=120ADC=120ADC=120°，则°，则BD BD：：AC 等于等于________ ________4．已知正方形的边长为a ，则正方形内任意一点到四边的距离之和为，则正方形内任意一点到四边的距离之和为_______________．． 5．矩形ABCD 被两条对角线分成的四个小三角形的周长之和是86cm ，对角线长是13cm ，则矩形ABCD 的周长是的周长是6．如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开，可以拼出不同形状的四边形，．如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开，可以拼出不同形状的四边形， 请写出其中两个不同的四边形的名称：请写出其中两个不同的四边形的名称： ．7．如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD ，BC 边的中点，将C 点折叠至MN 上，落在P 点的位置，折痕为BQ ，连结PQ ，则PQ =8．如图，梯形ABCD 中，1AD BC AB CD AD ===∥，，60B Ð=，直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，P 为MN 上一点，那么PC PD +的最小值为的最小值为 ．9．如图，．如图，OBCD OBCD 是边长为1的正方形，∠的正方形，∠BOx=60BOx=60BOx=60°，则点°，则点C 的坐标为的坐标为________________________ＭＤ ＱＣＮＢＡ10．如图，把正方形ABCD 沿着对角线AC 的方向移动到正方形D C B A ¢¢¢¢的位置，它们的重叠部分的面积是正方形ABCD 面积的一半，若AC ＝2，则正方形移动的距离A A ¢是D ¢C ¢B ¢A ¢第3题图题图DCBA二、例题讲解 矩形例1．如图，已知矩形ABCD 的纸片沿对角线BD 折叠，使C 落在C ’处，BC BC’’边交AD 于E ，AD=4，CD=2 （1）求AE 的长的长 （2）△BED 的面积的面积巩固练习：1．如图，矩形ABCD 中，中，AD=9AD=9AD=9，，AB=3AB=3，将其折叠，使其点，将其折叠，使其点D 与点B 重合，折痕为EF 求求DE 和EF 的长。
22.2(3)平行四边形的判定教学目标：1. 掌握平行四边形的两个判定定理的内容，知道两个判定定理的条件。
2. 理解平行四边形的两个判定定理的推导过程及证明依据。
3. 运用平行四边形的两个判定定理和定义解决一些平行四边形判定的几何问题。
4. 知道证明一个四边形是平行四边形可以用定义或判定定理。
重点、难点：重点：平行四边形的判定定理。
难点：在几何问题中运用适当的平行四边形判定定理进行说理证明。
教学过程：一、复习旧知1. 结合图形，说说平行四边形的性质有哪些？2. 演示、观察、猜测：已知一个平行四边形ABCD，在保持各边长不变的情况下，改变各个角的角度，那么在变化过程中，四边形ABCD是否还是平行四边形？今天我们主要学习如何判定一个四边形是平行四边形。
思考：我们现在有什么方法判定一个四边形是平行四边形？∵AB//CD，AD//BC∴四边形ABCD是平行四边形二、探索新知由前面的演示，我们可以猜测“如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形。
”那么这个命题是真命题吗？如果是真命题，如何证明？已知：如图，四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC求证：四边形ABCD是平行四边形证明：联结AC在△ABC 和△CDA 中⎪⎩⎪⎨⎧===CA AC DA BC CD AB∴△ABC ≌△CDA∴∠1=∠2，∠3=∠4∴AB//CD ，AD//BC∴四边形ABCD 是平行四边形通过证明，也得到了这个命题是真命题，因此可用来判定一个四边形是平行四边形。
平行四边形判定定理1：如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形。
简述为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
几何语言表示：∵AB=CD ，AD=BC ∴四边形ABCD 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）试一试：已知：如图，四边形ABCD 中，AB//CD ，AB=CD求证：四边形ABCD 是平行四边形（独立思考1分钟）证明：联结AC∵AB//CD∴∠1=∠2在△ABC 和△CDA 中 ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CA AC CD AB 21∴△ABC ≌△CDA∴BC=AD又∵AB=CD∴四边形ABCD 是平行四边形这题的条件是从四边形的边的方面来考虑的，给出的是一组对边平行且相等，得到的结论是这个四边形是平行四边形，因此，我们可以归纳出平行四边形的第二个判定定理。
矩形（一）矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
（二）矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角。
矩形性质定理2：矩形的两条对角线相等。
（三）矩形判定定理1：三个角是直角的四边形是矩形。
矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。
菱形（一）菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
（二）菱形性质定理1：菱形的四条边都相等。
菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
（三）菱形判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形。
菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（四）菱形的面积：菱形的面积等于它的两条对角线的积的一半。
正方形（一）正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
（二）正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等。
正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直，每条对角线平分一组对角。
（三）正方形判定定理1：有一个角是直角的菱形是正方形。
正方形判定定理2：有一组邻边相等的矩形是正方形。
特殊的平行四边形之间的关系有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等有一个角是直角平行四边形矩形菱形正方形第四讲特殊平行四边形强化【例题1】【基础、提高】菱形的一边和等腰直角三角形的直角边相等，若菱形的一角为60°，则菱形和等腰直角三角形的面积比是.ABCD绕A点按顺时针方向旋转60°得到正方形AB'C'D'，则前后两正方形重叠部分面积为.【例题2】【基础、提高】平行四边形各角的平分线相交成的四边形一定是（）（A）梯形（B）菱形（C）矩形（D）正方形【尖子】下列命题中正确的是（）（A）对角线相等且互相垂直的四边形是正方形（B）对角线互相垂直的四边形是菱形（C）对角线相等的四边形是矩形（D）对角线互相平分的四边形是平行四边形.【例题3】【基础、提高】将一张正方形纸片按如图所示的方式二次折叠，折叠后再按图所示沿MN裁剪，则可得（）（A ）多个等腰直角三角形（B ）一个等腰直角三角形和一个正方形 （C ）四个相同的正方形 （D ）两个相同的正方形D CBACBACBANMD CBA【尖子】已知平面直角坐标系内有三点A （2，4）、B （－2，2）、C （4，0），若再给一点P （x ，y ），使以这四点为顶点的四边形是平行四边形，那么点P 的坐标不可能是（ ） （A ）（7，2） （B ）（0，－2） （C ）（－4，6） （D ）（8，2）【例题4】 【基础、提高】已知菱形的两条对角线长为a 与b ，求这个菱形的高.【尖子】矩形的一条对角线长为20，对角线与一条边的夹角为15°，求这个矩形的面积.【例题5】 【基础、提高】如图，已知正方形ABCD 的对角线BD 上有一点F ，边AB 上有一点E ，使得CF ⊥FE ，求AEDF的值.ABCE D F【尖子】在正方形ABCD 中，P 、Q 分别为BC 、CD 上的点，∠PAQ ＝45°，且△CPQ 的周长为20，求正方形的周长.QP DCBA【例题6】 【基础、提高】OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OA ＝10，OC ＝6（1）如图，在AB 上取一点M ，使得△CBM 沿CM 翻折后，点B 落在x 轴上，记作B ′．求点B ′的坐标；（2）求折痕CM 所在直线的解析式x【尖子】如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E 、F 分别是边AD 、CD 上的两个动点，且满足AE ＋CF ＝2，（1）求证：△BDE ≌ △BCF ；（2）判断△BEF 的形状，并说明理由；（3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.FDECBA【例题7】 【基础、提高】如图，将边长为24厘米的正方形ABCD 折叠，使得点A 落在边CD 上的点E ，然后压平得折痕FG ，若FG 的长为25厘米，求线段CE 的长.G FED CB A【尖子】在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为CD 上的点，且AF =BC +CF . 求证：∠BAF =2∠BAEFEDCBA【例题8】 【基础、提高】正方形边长等于1，通过它的中心引一条直线，求正方形的四个顶点到这条直线的距离平方和的取值范围.ONMDCBA【尖子】设M 、N 分别为正方形ABCD 的边AD 、CD 的中点，且CM 与BN 交于P ，求证：PA =ABNMPDCBA【例题9】 【基础、提高】已知两个正方形ABCD 、AKLM （顶点均按照顺时针方向排列），求证：这两个正方形的中心和BM 、DK 的中点组成一个正方形.MLKBDCA【尖子】M 是正方形ABCD 内一点，若2222AB MA MB -=，∠CMD =90°，求∠MCDMDCBA【例题10】 【基础、提高】O 是正方形ABCD 的两对角线的交点，P 是BD 上异于O 的任一点，PE ⊥AD于E ，PF ⊥AB 于F ，G 是EO 的延长线和BC 的交点，求∠OFGOGFE PA BCD【尖子】K 是正方形ABCD 的边AB 的中点，点L 分对角线AC 的比为AL : LC = 3， 证明：∠KLD =90°. KLDCBA【例题11】 【基础、提高】已知：正方形ABCD 中，E 、F 分别在BC 、CD 上，AG ⊥EF 于G ，若∠EAF =45°，求证AG =AB ，反之，若AG =AB ，则∠EAF =45°GD FE CA【尖子】在梯形ABCD 中，AD //BC （BC >AD ），∠D =90°，BC =CD =12，E 在边CD 上， ∠ABE =45°，若AE =10，求CE 的长.DEC BA【例题12】 【基础、提高】在边长为1的菱形ABCD 的边上依次截取点E 、F 、G 、H ，使得AE ＝AH ＝CF＝CG . 若∠A ＝120°，AE ＝x ，四边形EFGH 的面积为y（1）求y 与x 之间的函数关系式.（2）当x 为何值时，四边形EFGH 为正方形?HGFDECB A【尖子】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 上高，AP 平分∠CAB 交BC 于P ，作PQ ⊥AB ，Q 为垂足，连结EQ ，若CP ＝m ， （1）求四边形CEQP 的周长； （2）当∠B ＝30°时，求在Rt △ABC 的周长.PQ EDCBA【练习1】 如图，正方形ABCD ，E 、F 、G 、H 依次是各边上的点，且EG ⊥FH ，求证：EG ﹦FHGE FHDCBA【练习2】 如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上（端点除外）的一个动点，过点O 作直线MN //BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ，连结AE 、AF ，那么当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论。
特殊的平行四边形（提高）【学习目标】1. 理解矩形、菱形、正方形的概念.2. 掌握矩形、菱形、正方形的性质定理与判定定理.3. 了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系.【要点梳理】要点一、矩形、菱形、正方形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形.要点二、矩形、菱形、正方形的性质矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.菱形的性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；3.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.正方形的性质：1.正方形四个角都是直角，四条边都相等.2.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.3.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点三、矩形、菱形、正方形的判定矩形的判定：1. 有三个角是直角的四边形是矩形.2. 对角线相等的平行四边形是矩形.3. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.菱形的判定：1. 四条边相等的四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3. 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.要点诠释：前一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.后两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，正方形的判定：1.有一组邻边相等的矩形是正方形.2.有一个内角是直角的菱形是正方形.要点四、特殊平行四边形之间的关系要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.【典型例题】类型一、矩形的性质和判定1、如图所示，已知四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ．【思路点拨】(1)矩形的四个内角都等于90°，利用条件△PBC和△QCD都是等边三角形，容易求得∠PBA和∠PCQ度数；(2)利用(1)的结论以及矩形的性质进一步证明△PAB≌△PQC(SAS)，从而证得PA＝PQ．【答案与解析】证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°．∵△PBC和△QCD是等边三角形，∴∠PBC＝∠PCB＝∠QCD＝60°，∴∠PBA＝∠ABC－∠PBC＝30°，∠PCD＝∠BCD－∠PCB＝30°．∴∠PCQ＝∠QCD－∠PCD＝30°，故∠PBA＝∠PCQ＝30°(2)∵四边形ABCD是矩形，∴ AB＝DC．∵△PBC和△QCD是等边三角形，∴ PB＝PC，QC＝DC＝AB．∵ AB＝QC，∠PBA＝∠PCQ，PB＝PC．∴△PAB≌△PQC，∴ PA＝PQ．【总结升华】利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论作论据即可．举一反三：【变式】如图所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，点A落在点A'处．(1)求证：B E BF '=；(2)设AE ＝a ，AB ＝b ，BF ＝c ，试猜想a b c 、、之间有何等量关系，并给予证明．【答案】证明：(1)由折叠可得B FE BFE '∠=∠．∵ AD ∥BC ， ∴ B EF BFE B FE ''∠=∠=∠，∴ B E B F ''=，∴ B E BF '=．(2)猜想222a b c +=．理由：由题意，得A E AE a '==，A B AB b ''==．由(1)知B E BF c '==．在A B E ''△中，∵ 90A '∠=°，A E a '=，A B b ''=，B E c '=，∴ 222a b c +=．2、如图所示，在△ABC 中，点O 是AC 边上一动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交 ∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ．(1)试证明EO ＝FO ；(2)当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？简要说明理由．【思路点拨】(1)根据条件证明△OEC 与△OCF 都是等腰三角形，即OE ＝OC ，OF ＝OC ，所以EO ＝FO ．(2)由(1)OE ＝OC ＝OF ，只要OA ＝OC ，即点O 为AC 的中点，则四边形AECF 是矩形．【答案与解析】证明：(1)因为MN ∥BC ，CE ，CF 分别是∠BCA 、∠BCA 外角的平分线，所以∠CEO ＝∠ECO ，∠CFO ＝∠FCO ，所以OE ＝OC ，OF ＝OC ，所以EO ＝FO ．(2)当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形．由(1)知EO ＝FO ，又因为AO ＝CO ，所以四边形AECF 为平行四边形．因为OE ＝OC ，所以AC ＝EF ，所以四边形AECF 是矩形．【总结升华】对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是对平行四边形、矩形判定的综合应用.举一反三：【变式】已知ABCD的对角线AC，BD相交于O，△ABO是等边三角形，AB＝4cm，求这个平行四边形的面积.【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形.∴△ABO≌△DCO又∵△ABO是等边三角形∴△DCO也是等边三角形，即AO＝BO＝CO＝DO∴AC＝BD∴ABCD为矩形.∵AB＝4cm，AC＝AO＋CO∴AC＝8cm在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝cmcm∴矩形ABCD的面积为：AB·BC＝162类型二、菱形的性质和判定3、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°．求∠CEF的度数．【思路点拨】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AEF为等边三角形，从而∠AEF＝60°．【答案与解析】解：连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．又∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．又∵∠EAF＝∠BAC＝60°∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF．∴ AE＝AF．∴△AEF为等边三角形．∴∠AEF＝60°．又∵∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，∴∠CEF＝18°．【总结升华】当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．在求角的度数时，一定要注意已知角与所求角之间的联系．4、矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别交于E、F两点．(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形，并证明你的结论．【答案与解析】(1)证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，BO＝OD，∴∠BEO＝∠DFO，∠EBO＝∠FDO（两直线平行，内错角相等），∴△BOE≌△DOF(AAS)．(2)当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．证明：由(1)知，△BOE≌△DOF，∴ OE＝OF．又∵矩形ABCD中，OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．又∵ EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．【总结升华】要证明四边形是菱形，先证明这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直的特征证明该平行四边形是菱形.举一反三：【变式】已知，在△ABC中，AB＝AC＝a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P，交AB于Q.⑴求四边形AQMP的周长；⑵M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.【答案】解：（1）∵MQ∥AP，MP∥AQ，∴四边形AQMP是平行四边形∴QM ＝AP又∵AB ＝AC ，MP ∥AQ ，∴∠2＝∠C ，△PMC 是等腰三角形，PM ＝PC∴QM ＋PM ＝AP ＋PC ＝AC ＝a∴四边形AQMP 的的周长为2a（2）M 位于BC 的中点时，四边形AQMP 为菱形.∵M 位于BC 的中点时,易证△QBM 与△PCM 全等,∴QM ＝PM,∴四边形AQMP 为菱形.类型三、正方形的性质和判定5、如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 分别在OD 、OC 上，且DE ＝CF ，连接DF 、AE ，AE 的延长线交DF 于点M ．求证：AM⊥DF．【思路点拨】根据DE=CF ，可得出OE=OF ，继而证明△AOE≌△DOF，得出∠OAE=∠ODF，然后利用等角代换可得出∠DME=90°，即得出了结论．【答案与解析】证明：∵ABCD 是正方形，∴OD＝OC ，又∵DE＝CF ，∴OD－DE ＝OC －CF ，即OE ＝OF ，在Rt △AOE 和Rt △DOF 中，AO DO AOD DOF OE OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOE≌△DOF，∴∠OAE＝∠ODF，∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM，∴∠ODF＋∠DEM＝90°，即可得AM⊥DF．【总结升华】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是通过全等的证明得出∠OAE＝∠ODF，利用等角代换解题．举一反三：【变式】如图四边形ABCD 是正方形，点E 、K 分别在BC ，AB 上，点G 在BA 的延长线上，且CE ＝BK ＝AG ．以线段DE 、DG 为边作DEFG ．(1)求证：DE ＝DG ，且DE ⊥DG ．(2)连接KF，猜想四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴ DC＝DA，∠DCE＝∠DAG＝90°．又∵ CE＝AG，∴△DCE≌△DAG，∴∠EDC＝∠GDA，DE＝DG．又∵∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠ADE＋∠GDA＝90°，∴ DE⊥DG．(2)四边形CEFK为平行四边形．证明：设CK，DE相交于M点，∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，∴ AB∥CD，AB＝CD，EF＝DG，EF∥DG；∵ BK＝AG，∴ KG＝AB＝CD．∴四边形CKGD为平行四边形．∴ CK＝DG＝EF，CK∥DG∥EF∴四边形CEFK为平行四边形．6、如图所示，已知矩形ABCD的各内角平分线AQ、DF、BE、CH分别交BC、AD于点Q、F、E、H，试证明它们组成的四边形MNPO是正方形．【思路点拨】矩形的各内角平分线将每个内角分成45°，它们和矩形的边组成了等腰直角三角形，所以围成的图形为矩形，再证明一组邻边相等，得出结论．【答案与解析】解：∵四边形ABCD为矩形，∴ AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，∴∠1＝∠2＝12∠DAB＝45°，∠3＝∠4＝12∠ABC＝45°，∴∠OMN＝∠AMB＝90°．同理∠MNP＝90°，∠NPO＝90°，∴四边形MNPO为矩形．又∵∠2＝∠4，∠5＝∠6，AD＝BC，∴△AOD≌△BNC，∴ AO＝BN．又∵∠1＝∠3，∴ AM＝BM，∴ AO－AM＝BN－BM，即MN＝MO．∴矩形MNPO为正方形．【总结升华】(1)灵活运用角平分线的性质，等腰直角三角形的性质及判定，矩形的判定方法和正方形的判定方法．(2)本题解题思路：矩形＋邻边相等 正方形．。
