高中数学 第八章 平面解析几何 知识汇总

高中数学解析几何知识点总结一、平面解析几何在平面解析几何中，我们主要研究平面上的点、直线、圆、曲线等几何对象。

平面解析几何的基本思想是用代数方法研究几何问题，通过建立坐标系和引入坐标变量的方法，将几何问题转化为代数问题进行研究。

在平面解析几何中，有一些重要的知识点需要掌握，下面我们将逐一进行讲解。

1. 坐标系坐标系是平面解析几何的基本工具，它通过数轴的方式将平面上的点和几何对象进行了定位。

常见的坐标系有直角坐标系和极坐标系两种。

直角坐标系是由水平轴和垂直轴组成的，水平轴称为x轴，垂直轴称为y轴。

平面上的每个点通过它的横坐标x和纵坐标y来确定，就可以唯一确定一个点的位置。

例如，点A(x,y)表示了点A在坐标系中的位置。

极坐标系是以原点O和一条射线作为坐标轴，用点到原点的距离r和与射线的夹角θ来表示点的位置。

在极坐标系中，点的坐标表示为(r,θ)。

2. 直线的方程在直角坐标系中，直线可以用方程y=ax+b或者y=kx+b来表示，其中a、b、k为常数。

当a≠0时，直线的方程为y=ax+b，a称为直线的斜率，b称为直线的截距；当a=0时，直线的方程为y=b，其斜率为0，直线与y轴平行。

另外，直线还可以用斜截式、截距式、两点式等来表示，学生需要灵活掌握不同表示方法，并能够相互转化。

3. 圆的方程在平面解析几何中，圆是一个重要的几何对象，它的方程可以用不同的形式表示。

在直角坐标系中，圆的方程一般写为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中（a，b）为圆心的坐标，r为圆的半径。

4. 曲线的方程除了直线和圆之外，学生还需要学习其他曲线的方程，如抛物线、椭圆、双曲线等。

这些曲线都有各自的方程形式，在解析几何中有着重要的应用。

5. 解析几何的基本性质和定理在学习平面解析几何时，学生还需要掌握一些基本的性质和定理，如两点间的距离公式、直线的斜率公式、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等。

高中数学中的平面解析几何知识点总结平面解析几何是高中数学的重要组成部分，它将代数与几何巧妙地结合在一起，通过建立坐标系，用代数方法研究几何图形的性质。

下面我们来详细总结一下这部分的重要知识点。

一、直线1、直线的倾斜角直线倾斜角的范围是0, π)，倾斜角α的正切值叫做直线的斜率，记为 k ＝tanα。

当倾斜角为 90°时，直线的斜率不存在。

2、直线的方程（1）点斜式：y y₁＝ k(x x₁)，其中(x₁, y₁)是直线上的一点，k 是直线的斜率。

（2）斜截式：y ＝ kx ＋ b，其中 k 是斜率，b 是直线在 y 轴上的截距。

（3）两点式：（y y₁)／（y₂ y₁) ＝（x x₁)／（x₂ x₁)，其中(x₁, y₁)，（x₂, y₂)是直线上的两点。

（4）截距式：x/a ＋ y/b ＝ 1，其中 a 是直线在 x 轴上的截距，b 是直线在 y 轴上的截距。

（5）一般式：Ax ＋ By ＋ C ＝ 0（A、B 不同时为 0）3、两条直线的位置关系（1）平行：两条直线斜率相等且截距不相等，即 k₁＝ k₂且 b₁ ≠ b₂。

（2）垂直：两条直线斜率的乘积为－1，即 k₁k₂＝－1（当一条直线斜率为 0，另一条直线斜率不存在时也垂直）。

4、点到直线的距离公式点 P(x₀, y₀)到直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的距离 d ＝｜Ax₀＋ By₀＋ C| ／√（A²＋ B²)二、圆1、圆的方程（1）标准方程：（x a)²＋（y b)²＝ r²，其中(a, b)是圆心坐标，r是半径。

（2）一般方程：x²＋ y²＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0（D²＋ E² 4F ＞ 0），圆心坐标为(D/2, E/2)，半径 r ＝√（D²＋ E² 4F) ／ 22、直线与圆的位置关系（1）相交：圆心到直线的距离小于半径，d ＜ r。

高中数学中的平面解析几何知识点总结高中数学中的平面解析几何是一个重要的知识板块，它将代数与几何巧妙地结合在一起，为我们解决几何问题提供了全新的思路和方法。

下面就让我们一起来详细梳理一下平面解析几何的相关知识点。

一、直线1、直线的方程点斜式：若直线过点\（（x_0,y_0)＼），斜率为\（k\），则直线方程为\（y y_0 ＝ k(x x_0)＼）。

斜截式：若直线斜率为\（k\），在\（y\）轴上的截距为\（b\），则直线方程为\（y ＝ kx ＋ b\）。

两点式：若直线过点\（（x_1,y_1)＼）和\（（x_2,y_2)＼），则直线方程为\（＼frac{y y_1}｛y_2 y_1} ＝＼frac{x x_1}｛x_2 x_1}＼）。

截距式：若直线在\（x\）轴、＼（y\）轴上的截距分别为\（a\）、＼（b\）（＼（a\neq 0\），＼（b\neq 0\）），则直线方程为\（＼frac{x}｛a} ＋＼frac{y}｛b} ＝ 1\）。

一般式：＼（Ax ＋ By ＋ C ＝ 0\）（＼（A\）、＼（B\）不同时为\（0\））。

2、直线的位置关系平行：两条直线\（y_1 ＝ k_1x ＋ b_1\）和\（y_2 ＝ k_2x ＋ b_2\）平行，当且仅当\（k_1 ＝ k_2\）且\（b_1 ＼neq b_2\）；对于一般式直线\（A_1x ＋ B_1y ＋ C_1 ＝ 0\）和\（A_2x ＋ B_2y ＋ C_2 ＝ 0\）平行，当且仅当\（A_1B_2 A_2B_1 ＝ 0\）且\（A_1C_2 A_2C_1 ＼neq0\）。

垂直：两条直线\（y_1 ＝ k_1x ＋ b_1\）和\（y_2 ＝ k_2x ＋ b_2\）垂直，当且仅当\（k_1k_2 ＝－1\）；对于一般式直线\（A_1x ＋ B_1y ＋ C_1 ＝ 0\）和\（A_2x ＋ B_2y ＋ C_2 ＝ 0\）垂直，当且仅当\（A_1A_2 ＋ B_1B_2 ＝ 0\）。

高等数学第八章解析几何（数学第八章平面解析几何）
双曲线的定义：
2.双曲线的标准方程
双曲线与椭圆的比较
以F1,F2所在直线为某轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平
面直角坐标系某Oy，此时双曲线的焦点分别为F1（-c,0）,F2（c,0）设
P（某,y）是双曲线上一点，则，(，PF1，-，PF2，)，=2a,因为，PF1，
=√(〖(某c)〗^2y^2),，PF_2，=√(〖(某-c)〗^2y^2),所以√(〖(某c)〗^2y^2)-√((某-c)^2y^2)=±2a①
且②与①右边同时取正号或负号，①②整理得
将③式平方再整理得〖c^2-a〗^2/a^2 某^2-y^2= 〖c^2-a〗^2 ④因
为c>a>0，所以〖c^2-a〗^2>0设〖c^2-a〗^2=b^2且b>0,则④可化为某
^2/a^2 -y^2/b^2 =1 (a>0，b>0) 求双曲线的标准方程：与求椭圆的标准
方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法
求出a,b的值.若焦点位置不确定,可按焦点在某轴和y轴上两种情况讨论
求解,此方法思路清晰,但过程复杂.若双曲线过两定点,可设其方程为m某
² ny²=1(mn<0),通过解方程组即可确定m,n,避免了讨论,从而简化求解过程.双曲线的几何性质
(1)双曲线与椭圆的六个不同点:
(2)等轴双曲线：是实轴和虚轴等长的双曲线,它的渐近线方程是
y=±某,离心率为√2.(3)共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为
虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线
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第八章 解析几何【知识网络】【知识点梳理】 一、直线和圆1．倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为_________. (3)范围：直线倾斜角的取值范围是 .斜率：（1）倾斜角α=90°时，斜率__________；α≠90°时，斜率k =tanα .（2）在右侧作出简图：正切函数k =tanα,α∈[0,π2)∪(π2,π) 此函数的增区间为___________________（3）直线的方向向量坐标：若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则直线P 1P 2的方向向量P 1P 2→的坐标为________________. 若直线l 的斜率为k ，它的一个方向向量的坐标为(x ，y )，则k ＝ ，特别地，(1， )是l 的一个方向向量. 故斜率k =y 2−y 1x 2−x 1(x 1≠x 2).2. 斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围) α＝0°斜率(范围)k ＝0例1． 直线（a +1）x −y +1=0的倾斜角的范围为_______________ 3．直线五种方程：名称 方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式 (x 0，y 0)是直线上一定点，k 为斜率斜截式k 为_____，b 是直线的_______“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．（2）求直线方程时要防止由于零截距和无斜率造成丢解；例2．过点()4,3−，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程_______________ 4．两直线平行和垂直①若斜率存在l 1:y=k 1x ＋b 1 ,l 2：y=k 2x ＋b 2,则l 1∥l 2⇔k 1=k 2，且b 1≠b 2； l 1⊥l 2⇔______________ ②若l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1=0, l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2=0,则l 1⊥l 2⇔_______________； 两直线平行，⇔____________________③与l ：Ax ＋By ＋C=0平行的直线可设为________________,垂直的直线可设为___________________例3．已知两条直线(3)453,2(5)8m x y m x m y ++=−++=，当两条直线平行时______________________;当两条直线相交时______________________ 当两条直线垂直时______________________5．距离问题：已知1122(,),(,)A x y B x y ，AB =__________________，,A B 中点的坐标________ l:Ax +By +C =0，则A 到l 的距离为_________________ 两条平行直线间的距离：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d ＝_______________. 6．对称性问题：点（a ,b ）关于直线Ax ＋By ＋C ＝0对称点问题：如：点（1，2）关于直线x ＋3y ＋1＝0对称点为_____________ 【对称常用结论】(1)点(x 0，y 0)关于直线y ＝x 的对称点为_____________，关于直线y ＝－x 的对称点为_____________. (2)点(x 0，y 0)关于直线x ＝a 的对称点为_____________，关于直线y ＝b 的对称点为_____________. (3)点(x 0，y 0)关于点(a ，b)的对称点为_____________. (4)点(x 0，y 0)关于直线y =x +m 的对称点是______________ (5)点(x 0，y 0)关于直线y =−x +m 的对称点是______________ 7．常见直线系方程：(1)过定点(x 1，y 1)的直线系方程：y －y 1＝k (x －x 1)和x ＝x 1.(2)平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：_________________________. (3)垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：_________________________.(4)过两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程：_________________________.8.圆的方程(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. (2)圆的标准方程：我们把方程____________________称为圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的标准方程.当a ＝b ＝0时，方程为___________________，表示以原点O 为圆心，r 为半径的圆.(3)圆的一般方程：对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，配方得到：______________________________.①当____________________时，该方程表示以______________为圆心，_______________为半径的圆，该方程叫做圆的一般方程.②当________________ 时，该方程表示_______________________； ③当_________________时，该方程不表示任何图形.注：Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆⇔A=C ≠0且B=0且D 2+E 2－4AF>0；（4）已知A （11,y x ）B （22,y x ）以AB 为直径的圆的方程是_________________________________ （5）圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为（三角换元）：{x =___________________y =___________________；例4．（1）052422=+−++m y mx y x 表示圆的充要条件是（2）对于任意实数k ，方程222(2)20x y kx k y k +++−−=所表示的曲线恒过两定点，则这两定点的坐标9. 点与圆的位置关系已知圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，点P (x 0，y 0)，设d ＝|PC |＝（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2.位置关系 d 与r 的大小关系图示 点P 的坐标特点 点在圆外(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2点在圆上点在圆内10. 直线与圆的位置关系:设圆的半径为r (r >0)，圆心到直线的距离为d ，则直线与圆的位置关系如下表所示. 位置 关系 图示 公共点 个数 几何 特征 直线、圆的方程组成的方程组的解 相离相切1 d ＝r两组相同 实数解相交例5．(1)若直线1ax by +=与圆221x y +=相交，则点(,)P a b 与圆的位置关系___________(2)求过原点且与圆22(1)(2)1x y −+−=相切的直线方程________________________ 例6．(1)已知圆)0()5(:222>=++r r y x C 和直线053:=++y x l . 若圆C 与直线l 没有公共点，则r的取值范围是______________________11. 圆与圆的位置关系位置 关系 图示(R >r )公共点 个数 几何特征(O 1O 2＝d )两个圆的方程组成的方程组的解外离外切1 d ＝R ＋r两组相同 实数解 相交两组不同 实数解 内切两组相同 实数解 内含例7．集合A ＝｛（x ，y ）|x 2＋y 2＝4｝，B ＝｛（x ，y ）|(x －3)2＋(y －4)2＝r 2｝，其中r ＞0，若A ∩B 中有且仅有一个元素，则r 的值是___________ .12.相交弦直线方程：把两圆x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋C 1=0与x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋C 2=0方程相减即得相交弦所在直线方程_____________________________________；过两曲线交点的曲线系方程为f 1（x,y)＋λf 2(x,y)=0例8．两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y −+−=相交于,A B 两点，直线AB 方程__________________.13.圆上动点到某条直线（或某点）的距离的最大、最小值的求法（过圆心）例9．已知圆：，过圆外一点作圆的切线（为切点），当点在直线上运动时，则四边形P AOB 的面积的最小值为 ．O 922=+y x P PB PA ,B A ,P 0102=+−y x14. 【常用结论】与切线、切点弦有关结论:二、圆锥曲线 （一）椭圆：1、椭圆的定义：平面内到定点21,F F 的_________________为定值（定值______||21F F ）的点的轨迹。

高中数学解析几何知识点总结一、基本概念1. 点、直线和平面•点：在平面上，点是最基本的几何对象，可以用坐标表示。

在空间中，点可以用三维坐标表示。

•直线：由无数个点连成的无限延伸的轨迹，可以由两个不重合的点唯一确定。

•平面：由无数点在同一平面上组成。

2. 基本图形•线段：连接两点的线段，有起点和终点，可以用线段的长度表示。

•射线：一个起点和一个终点在同一条直线上的线段，有起始点但没有终结点。

•角：由两条半直线和公共端点组成，以顶点为中心点，夹在两条半直线之间。

二、坐标系与向量1. 坐标系•笛卡尔坐标系：直角坐标系，是一个由两条垂直的坐标轴组成的平面，用于表示点的位置。

•极坐标系：以一个点为极点，在此点设一根射线作为极轴，并规定每一个点到该射线的距离和与该射线正方向所成角度来表示该点的坐标。

2. 向量•向量的定义：向量是有大小和方向的量，表示一段膨胀或者收缩的箭头。

•向量的运算：向量可以做加法和乘法运算，具备平移、缩放和旋转的特性。

•向量的表示：向量可以用有序数组、列矩阵或坐标表示。

三、直线与圆1. 直线的方程•点斜式方程：通过已知点和斜率来表示直线的方程。

•斜截式方程：通过截距和斜率来表示直线的方程。

•两点式方程：通过两个已知点来表示直线的方程。

•一般式方程：直线的一般方程为Ax + By + C = 0。

2. 圆的方程•标准方程：圆的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径长度。

•一般方程：圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0。

四、曲线与曲面1. 二次曲线•椭圆：由平面上到两个定点的距离之和为常数的点的轨迹组成。

•抛物线：由平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离相等的点的轨迹组成。

•双曲线：有两个定点F1和F2称为焦点，对于任意一点P的到两个焦点的距离之差是常数。

2. 二次曲面•椭球面：由空间中到两个定点的距离之和为常数的点的轨迹组成。

•抛物面：由空间中到一个定点的距离与到一条定直线的距离相等的点的轨迹组成。

高中数学平面解析几何知识点归纳高中数学中的平面解析几何知识点，是一个非常重要的数学分支，它是几何学和代数学的结合体，通过坐标系将几何图形与数学函数相联系，以此研究代数与几何的关系。

本文将对高中数学平面解析几何知识点进行归纳和整理。

1. 坐标系坐标系是平面解析几何的基础，无论是平面上的直线、圆、抛物线还是双曲线，都必须通过坐标系进行描述和计算。

坐标系分为直角坐标系和极坐标系两种，其中直角坐标系是更为常见和普遍的。

直角坐标系是按照某一条直线切分的，其中直线被称为坐标轴。

通常我们会使用x轴和y轴作为坐标轴，而每个点的坐标可以表示为（x,y）的形式。

其中，x轴表示横坐标，用x表示；y轴表示纵坐标，用y表示。

在平面直角坐标系中，点（x,y）表示平面中一点到x轴和y轴的距离分别为x和y的点。

2. 直线直线是平面解析几何中最常见的几何图形，它可以用一系列数学公式来表示。

对于直线L，我们可以通过它在x和y轴的截距来表示，设它在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则可以表示为y=kx+b。

此外，直线的倾斜角也可以用直线斜率来表示，斜率即为直线L上任意一点的纵坐标与横坐标的比值，也就是k=y/x。

另外，如果知道直线上的一点以及直线的斜率，则可以使用点斜式来表示直线公式，即y-y1=k(x-x1)。

3. 圆圆是平面解析几何中的第二个重要几何图形，它的公式可以表示为(x-a)²+(y-b)²=r²。

其中，a、b为圆心的坐标，r为圆的半径。

除了这种基本的标准式之外，还有其他的几个公式表示圆。

例如，要表示以坐标轴上的点为圆心的圆，则可以使用扩展式，如(x-a)(x+b)+(y-c)(y+d)=r²。

4. 双曲线双曲线也是平面解析几何中的重要几何图形，它的公式可以表示为(x/a)²-(y/b)²=1。

其中，a和b为常数，双曲线交x轴与y轴分别在两个点上，这两个点分别是左、右两个焦点。