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【红对勾】高考新课标数学(文)大一轮复习课时练：2-11导数的应用——单调性(含答案解析)

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课时作业14 导数的应用——单调性一、选择题1．函数f(x)＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：f′(x)＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f′(x)>0，解得x>2，故选D. 答案：D2．(2016·山东日照模拟)如果函数y ＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f(x)在区间⎝⎛⎭⎫－3，－12内单调递增； ②函数y ＝f(x)在区间⎝⎛⎭⎫－12，3内单调递减； ③函数y ＝f(x)在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f(x)有极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f(x)有极大值．则上述判断中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④⑤D ．③解析：当x ∈(－3，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，①错；当x ∈⎝⎛⎭⎫－12，2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x ∈(2,3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，②错；当x ＝2时，函数y ＝f(x)有极大值，④错；当x ＝－12时，函数y ＝f(x)无极值，⑤错．故选D.答案：D3．若函数y ＝a(x 3－x)的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－33，33，则实数a 的取值范围是( )A ．a>0B ．－1<a<0C ．a>1D ．0<a<1解析：y′＝a(3x 2－1)，解3x 2－1<0，得－33<x<33. ∴f(x)＝x 3－x 在(－33，33)上为减函数． 又y ＝a(x 3－x)的单调递减区间为(－33，33)， ∴a>0. 答案：A4．(2016·上海闸北月考)对于R 上可导的任意函数f(x)，若满足1－x≤0，则必有( )A ．f(0)＋f(2)>2f(1)B ．f(0)＋f(2)≤2f(1)C ．f(0)＋f(2)<2f(1)D ．f(0)＋f(2)≥2f(1)解析：当x<1时，f′(x)<0，此时函数f(x)递减，当x>1时，f′(x)>0，此时函数f(x)递增，∴当x ＝1时，函数f(x)取得极小值同时也取得最小值，所以f(0)>f(1)，f(2)>f(1)，则f(0)＋f(2)>2f(1)，故选A.答案：A5．已知函数f(x)的导函数图象如图所示，若△ABC 为锐角三角形，则下列结论一定成立的是( )A ．f(sinA)>f(cosB)B ．f(sinA)<f(cosB)C ．f(sinA)>f(sinB)D ．f(cosA)<f(cosB)解析：因为△ABC 为锐角三角形，所以0<A<π2，0<B<π2，A ＋B>π2，故A>π2－B.因为y＝sinx 在x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时单调递增，所以1>sinA>sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cosB>0.因为x ∈(0,1)时，f′(x)>0，故函数f(x)在x ∈(0,1)时单调递增，故f(sinA)>f(cosB)，选A.答案：A6．(2016·河南郑州一模)设函数f′(x)＝x 2＋3x －4，则y ＝f(x ＋1)的单调递减区间为( ) A ．(－4,1)B ．(－5,0)C ．(－32，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫－52，＋∞ 解析：由f′(x)＝x 2＋3x －4，令f′(x)<0，即x 2＋3x －4<0，解得－4<x<1，所以函数f(x)的单调递减区间为(－4,1)，所以y ＝f(x ＋1)的单调递减区间为( －5,0)．答案：B7．(2016·山西长治调研)已知函数f(x)＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值，则c 的取值范围为( )A ．c<14B ．c≤14C ．c≥14D ．c>14解析：由题意得f′(x)＝x 2－x ＋c ，若函数f(x)有极值，则Δ＝1－4c>0，解得c<14.f(x)在区间D 内有极值，则f′(x)在区间D 内有变号零点；本题中f′(x)＝x 2－x ＋c 有两个不相等的实根．答案：A8．(2016·四川成都模拟)函数f(x)是定义域为R 的函数，对任意实数x 都有f(x)＝f(2－x)成立．若当x≠1时，不等式(x －1)·f′(x)<0成立，设a ＝f(0.5)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫43，c ＝f(3)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b>a>cB ．a>b>cC ．c>b>aD ．a>c>b解析：因为对任意实数x 都有f(x)＝f(2－x)成立，所以函数的图象关于x ＝1对称，又由于若当x≠1时，不等式(x －1)·f′(x)<0成立，所以函数在(1，＋∞)上单调递减，所以b ＝f ⎝⎛⎭⎫43>a ＝f(0.5)＝f ⎝⎛⎭⎫32>f(3)＝c.本题解题关键是由(x －1)f′(x)<0，得出x>1时f′(x)<0，函数在(1，＋∞)上单调递减． 答案：A9．若f(x)＝－12x 2＋bln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1)解析：f′(x)＝－x ＋bx ＋2≤0在(－1，＋∞)上恒成立，即b≤x(x ＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，又x(x ＋2)＝(x ＋1)2－1>－1，∴b≤－1，故选C.答案：C10．(2016·山东德州模拟)已知函数y ＝f(x)的图象关于y 轴对称，且当x ∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0成立，a ＝20.2·f(20.2)，b ＝log π3·f(log π3)，c ＝log 39·f(log 39)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b>a>cB ．c>a>bC ．c>b>aD ．a>c>b解析：因为函数y ＝f(x)关于y 轴对称，所以函数y ＝xf(x)为奇函数．因为[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)，且当x ∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0，所以函数y ＝xf(x)在(－∞，0)上单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf(x)单调递减. 因为1<20.2<2,0<log π3<1，log 39＝2，所以0<log π3<20.2<log 39，所以b>a>c ，选A.答案：A 二、填空题11．函数y ＝x －2sinx 在(0,2π)内的单调增区间为________．解析：∵y′＝1－2cosx ，∴由⎩⎪⎨⎪⎧y′>0，0<x<2π，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2cosx>0，0<x<2π，得π3<x<5π3.∴函数y ＝x －2sinx 在(0,2π)内的增区间为⎝⎛⎭⎫π3，5π3. 答案：⎝⎛⎭⎫π3，5π312．若函数f(x)＝x 3＋ax －2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：f′(x)＝3x 2＋a ，f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数， 则f′(x)＝3x 2＋a≥0在(1，＋∞)上恒成立， 即a≥－3x 2在(1，＋∞)上恒成立，∴a≥－3. 答案：[－3，＋∞)13．(2016·郑州质检)设函数f(x)是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有2f(x)＋xf′(x)>x 2，则不等式(x ＋2 014)2f(x ＋2 014)－4f(－2)>0的解集为________．解析：由2f(x)＋xf′(x)>x 2，x<0得2xf(x)＋x 2f′(x)<x 3，∴[x 2f(x)]′<x 3<0.令F(x)＝x 2f(x)(x<0)，则F′(x)<0(x<0)，即F(x)在(－∞，0)上是减函数，因为F(x ＋2 014)＝(x ＋2 014)2f(x ＋2 014)，F(－2)＝4f(－2)，所以不等式(x ＋2 014)2f(x ＋2 014)－4f(－2)>0即为F(x ＋2 014)－F(－2)>0，即F(x ＋2 014)>F(－2)，又因为F(x)在(－∞，0)上是减函数，所以x ＋2 014<－2，∴x<－2 016.答案：(－∞，－2 016)14．(2016·怀化模拟)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫e x ＋x22，－x ，b ＝(1，t)，若函数f(x)＝a·b 在区间(－1,1)上存在增区间，则实数t 的取值范围为________．解析：f(x)＝e x＋x 22－tx ，x ∈(－1,1)，f′(x)＝e x ＋x －t ，∵函数f(x)＝a·b 在区间(－1,1)上存在单调递增区间，∴f′(x)＝e x ＋x －t>0在区间( －1,1)上有解，即t<e x ＋x 在区间(－1,1)上有解，而在区间(－1,1)上e x ＋x<e ＋1，∴t<e ＋1.答案：(－∞，e ＋1) 三、解答题15．(2016·湖南永州质检)已知函数f(x)＝e x 2－1e x －ax(a ∈R)．(1)当a ＝32时，求函数f(x)的单调区间．(2)若函数f(x)在[－1,1]上为单调函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝32时，f(x)＝e x 2－1e x －32x ，f′(x)＝12e x [(e x )2－3e x ＋2]＝12ex (e x －1)(e x－2)， 令f′(x)＝0，得e x ＝1或e x ＝2，即x ＝0或x ＝ln2； 令f′(x)>0，则x<0或x>ln2； 令f′(x)<0，则0<x<ln2.∴f(x)的增区间是(－∞，0]，[ln2，＋∞), 减区间是(0，ln2)． (2)f′(x)＝e x 2＋1e x －a ，令e x ＝t ，由于x ∈[－1,1]，∴t ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e .令h(t)＝t 2＋1t ⎝⎛⎭⎫t ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ， h′(t)＝12－1t 2＝t 2－22t2，∴当t ∈⎣⎡⎭⎫1e ，2时，h′(t)<0，函数h(t)为单调减函数； 当t ∈(2，e]时，h′(t)>0，函数h(t)为单调增函数． 故h(t)在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的极小值点为t ＝ 2. 又h(e)＝e 2＋1e <h(1e )＝12e ＋e ，∴2≤h(t)≤e ＋12e.∵函数f(x)在[－1,1]上为单调函数，①若函数f(x)在[－1,1]上单调递增，则a≤t 2＋1t对t ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 恒成立，所以a≤2；②若函数f(x)在[－1,1]上单调递减，则a≥t 2＋1t 对t ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 恒成立，所以a≥e ＋12e . 综上可得a 的取值范围是(－∞，2]∪⎣⎡⎭⎫e ＋12e ，＋∞. 16．已知函数f(x)＝lnx ＋ke x (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值； (2)求f(x)的单调区间． 解：(1)由f(x)＝lnx ＋kex ，得f′(x)＝1－kx －xlnxxe x，x ∈(0，＋∞)．由于曲线y ＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x 轴平行，所以f′(1)＝0, 因此k ＝1. (2)由(1)得f′(x)＝1xe x(1－x －xlnx)，x ∈(0，＋∞)． 令h(x)＝1－x －xlnx ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h(x)>0；当x ∈(1，＋∞)时，h(x)<0. 又e x >0，所以x ∈(0,1)时，f′(x)>0； x ∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.因此f(x)的单调递增区间为(0,1), 单调递减区间为(1，＋∞)．。

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【红对勾】高考新课标数学(文)大一轮复习课时练：3-1任意角、弧度制及任意角的三角函数(含答案解析)

【红对勾】高考新课标数学(文)大一轮复习课时练：3-1任意角、弧度制及任意角的三角函数(含答案解析)

第三章 三角函数、解三角形课时作业16 任意角、弧度制及任意角的三角函数一、选择题1．若α是第三象限的角，则π－α2是( ) A ．第一或第二象限的角B ．第一或第三象限的角C ．第二或第三象限的角D ．第二或第四象限的角解析：由已知，得2kπ＋π<α<2kπ＋32π(k ∈Z)． ∴－kπ＋π4<π－α2<－kπ＋π2(k ∈Z)． ∴π－α2是第一或第三象限的角． 答案：B2．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P ⎝⎛⎭⎫sin π8，cos π8，则sin ⎝⎛⎭⎫2α－π12＝( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32解析：∵tanα＝cos π8sin π8＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－π8cos ⎝⎛⎭⎫π2－π8＝tan 3π8，∴α＝3π8＋kπ，k ∈Z ，sin ⎝⎛⎭⎫2α－π12＝sin 2π3＝32. 答案：D3．若点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动23π弧长到达Q 点，则Q 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32 B.⎝⎛⎭⎫－32，－12 C.⎝⎛⎭⎫－12，－32 D.⎝⎛⎭⎫－32，12 解析：Q(cos 2π3，sin 2π3)，即Q(－12，32)． 答案：A4．三角形ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sinA －cosB ，cosA －sinC)，则sinθ|sinθ|＋cosθ|cosθ|＋tanθ|tanθ|的值是( ) A ．1B ．－1C ．3D ．4解析：因为三角形ABC 是锐角三角形，所以A ＋B>90°，即A>90°－B ，则sinA>sin(90°－B)＝cosB ，sinA －cosB>0，同理cosA －sinC<0，所以点P 在第四象限，θ是第四象限角，sinθ|sinθ|＋cosθ|cosθ|＋tanθ|tanθ|＝－1＋1－1＝－1，故选B. 答案：B5．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4解析：设此扇形的半径为r ，弧长是l ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2r ＋l ＝6，12rl ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2. 从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1. 答案：C6．设集合M ＝{x|x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z}，N ＝{x|x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z}，那么( ) A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M∩N ＝∅解析：方法1：由于M ＝{x|x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z}＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}， N ＝{x|x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z}＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}， 显然有M ⊆N ，故选B.方法2：由于M 中，x ＝k 2·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数； 而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B.答案：B7．若π4<θ<π2，则下列不等式成立的是( ) A ．sinθ>cosθ>tanθB ．cosθ>tanθ>sinθC ．sinθ>tanθ>cosθD ．tanθ>sinθ>cosθ解析：∵π4<θ<π2， ∴tanθ>1，sinθ－cosθ＝2sin(θ－π4)． ∵π4<θ<π2，∴0<θ－π4<π4， ∴sin(θ－π4)>0，∴sinθ>cosθ. 答案：D8．(2016·济南四校联考)已知角x 的终边上一点坐标为⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6，则角x 的最小正值为( )A.5π6B.11π6C.5π3D.2π3解析：因为角x 终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32，在第四象限，所以角x 是第四象限角，又tanx ＝－3212＝－3，所以角x 的最小正值为5π3. 答案：C9．已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是( )A ．若α，β是第一象限的角，则cos α>cosβB ．若α，β是第二象限的角，则tanα>tanβC ．若α，β是第三象限的角，则cosα>cosβD ．若α，β是第四象限的角，则tanα>tanβ解析：由三角函数线可知选D.答案：D10．已知锐角θ的终边上有一点P(sin10°，1＋sin80°)，则锐角θ＝( )A ．85°B ．65°C ．10°D ．5°解析：∵已知锐角θ的终边上有一点P(sin10°，1＋sin80°)，由任意角的正切函数的定义，可得ta nθ＝1＋sin80°sin10°＝＋2cos80° ＝＋2cos 240°－sin 240°＝cos40°＋sin40°cos40°－sin40°＝1＋tan40°1－tan40°＝tan(45°＋40°)＝tan85°， ∴锐角θ＝85°.故选A.答案：A二、填空题11．已知角α的终边落在直线y ＝－3x(x<0)上，则|sinα|sinα－|cosα|cosα＝________. 解析：因为角α的终边落在直线y ＝－3x(x<0)上，所以角α是第二象限角，因此sinα>0，cosα<0，故|sinα|sinα－|cosα|cosα＝sinαsinα－－cosαcosα＝1＋1＝2. 答案：212．(2016·北京模拟)已知角α的终边经过点P(m ，－3)，且cosα＝－45，则m 等于________． 解析：∵角α的终边经过点P(m ，－3)，∴r ＝m 2＋9，又cosα＝－45，∴cosα＝m m 2＋9＝－45， ∴m ＝－4.答案：－413．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为________．解析：设扇形的半径为R ，则12R 2α＝2，12R 2×4＝2， R 2＝1，∴R ＝1，∴扇形的周长为2R ＋α·R ＝2＋4＝6.答案：614．若0≤θ≤2π，则使tanθ≤1成立的角θ的取值范围是________．答案：[0，π4]∪(π2，54π]∪(32π，2π] 三、解答题15．如图所示，角α终边上一点P 的坐标是(3,4)，将OP 绕原点旋转45°到OP′的位置，试求点P′的坐标．解：设P′(x ，y)，sinα＝45，cosα＝35， ∴sin(α＋45°)＝7210，cos(α＋45°)＝－210. ∴x ＝5cos(α＋45°)＝－22，y ＝5sin(α＋45°)＝722. ∴P′⎝⎛⎭⎫－22，722 16．已知角α终边经过点P(x ，－3)(x≠0)，且cosα＝23x ，求sinα，tanα的值． 解：∵P(x ，－3)(x≠0)．∴P 到原点的距离r ＝x 2＋3.又cosα＝23x ， ∴cosα＝x x 2＋3＝23x ， ∵x≠0，∴x ＝±62，∴r ＝322. 当x ＝62时，点P 坐标为⎝⎛⎭⎫62，－3. 由三角函数定义，有sinα＝－63，tanα＝－2； 当x ＝－62时，点P 坐标为⎝⎛⎭⎫－62，－3. ∴sinα＝－63，tanα＝ 2.。

2024年高考数学一轮复习(新高考版)《导数与函数的单调性》课件

2024年高考数学一轮复习(新高考版)《导数与函数的单调性》课件

第二部分
探究核心题型
第三部分
课时精练
第
一 部 分
落实主干知识
知识梳理
1.函数的单调性与导数的关系
条件
函数y＝f(x)在区间 (a，b)上可导
恒有 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)＝0
结论 f(x)在区间(a，b)上_单__调__递__增__ f(x)在区间(a，b)上_单__调__递__减__ f(x)在区间(a，b)上是_常__数__函__数__
题型二 含参数的函数的单调性
例2 已知函数f(x)＝(2－a)x－ln x－1，a∈R. (1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的单调递增区间；
当 a＝1 时，f(x)＝x－ln x－1，则 f′(x)＝1－1x＝x－x 1(x>0)， 当x>1时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递增区间为(1，＋∞).
知识梳理
2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的 定义域 ； 第2步，求出导数f′(x)的 零点 ； 第 3 步 ， 用 f′(x) 的 零 点 将 f(x) 的 定 义 域 划 分 为 若 干 个 区 间 ， 列 表 给 出 f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
综上，当－2<a<0 时，g(x)的单调递减区间为0，12，－1a，＋∞， 单调递增区间为12，－1a； 当a＝－2时，g(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间； 当 a<－2 时，g(x)的单调递减区间为0，－1a，12，＋∞，单调递增 区间为－1a，12.
思维升华
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进 行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数 为零的点和函数的间断点.
第18讲 利用导数研究函数的单调性(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第18讲 利用导数研究函数的单调性(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习


3. 已知函数单调性求参数的值或参数的范围
(1)函数 y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，可转化为 f′(x)≥0 在(a，b)上恒成立，且在(a，b)的任意子区间上不
恒为_0；也可转化为(a，b)⊆增区间． 函数 y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，可转化为 f′(x)≤0 在(a，b)上恒成立，且在(a，b)的任意子区间上不恒 为_0；也可转化为(a，b)⊆减区间． (2)函数 y＝f(x)的增区间是(a，b)，可转化为(a，b)＝增区间，也可转化为 f′(x)＞0 的解集是(a，b)；
6、函数 f(x)＝x3－6x2 的单调递减区间为________．
【答案】(0,4)
【解析】：f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，
由 f′(x)<0，得 0<x<4，
∴函数 f(x)的单调递减区间为(0,4)．
7、(多填题)已知函数 f(x)＝x3＋mx2＋nx－2 的图象过点(－1，－6)，函数 g(x)＝f′(x)＋6x 的图象关于 y 轴对
∴h(x)在(2，3)递增，h(x)>h(2)＝3，
∴实数 a 的取值范围为 a≤3；
②由题意得 g′(x)＝x2－ax＋2<0 在(－2，－1)上有解，∴a<x＋2在(－2，－1)上有解， x
【答案】D
【解析】
函数
f(x)＝－2lnx－x－3的定义域为(0，＋∞)，且 x
f′(x)＝－2x－1＋x32＝－x2＋x22x－3，解不等式
f′(x)>0，即 x2＋2x－3<0，由于 x>0，解得 0<x<1.因此，函数 y＝f(x)的单调递增区间为(0，1).故选 D.
3、函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d 的图像如图，则函数 y＝ax2＋3bx＋c的单调递增区间是( ) 23
【红对勾】高考新课标数学(文)大一轮复习真题演练：2-12导数与函数的极值、最值(含答案解析)

【红对勾】高考新课标数学(文)大一轮复习真题演练：2-12导数与函数的极值、最值(含答案解析)

高考真题演练 函数的极值，最值1．(2013·安徽卷)若函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f(x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0的不同实根个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 解析：f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，则x 1，x 2为f′(x)＝0的两不等根．即3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0的解为f(x)＝x 1或f(x)＝x 2.不妨设x 1<x 2，则f(x)＝x 1有两解，f(x)＝x 2只有一解．故原方程共有3个不同实根．答案：A2．(2013·湖北卷)已知a 为常数，函数f(x)＝x(lnx －ax)有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，则( )A ．f(x 1)>0，f(x 2)>－12B ．f(x 1)<0，f(x 2)<－12C ．f(x 1)>0，f(x 2)<－12D ．f(x 1)<0，f(x 2)>－12解析：f′(x)＝lnx －2ax ＋1，依题意知f′(x)＝0有两个不等实根x 1，x 2.即曲线y 1＝1＋lnx 与y 2＝2ax 有两个不同交点，如图．由直线y ＝x 是曲线y ＝1＋lnx 的切线，可知：0<2a<1，且0<x 1<1<x 2.∴a ∈⎝⎛⎭⎫0，12. 由0<x 1<1，得f(x 1)＝x 1(lnx 1－ax 1)<0，当x 1<x<x 2时，f′(x)>0，当x>x 2时，f′(x)<0，∴f(x 2)>f(1)＝－a>－12，故选D. 答案：D3．(2014·课标卷Ⅱ)设函数f(x)＝3sinπx m.若存在f(x)的极值点x 0满足x 20＋[f(x 0)]2<m 2，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：f′(x)＝3πm cos πx m ， ∵f(x)的极值点为x 0，∴f′(x 0)＝0，∴3πm cos πx 0m＝0， ∴πm x 0＝kπ＋π2，k ∈Z. ∴x 0＝mk ＋m 2，k ∈Z. 又∵x 20＋[f(x 0)]2<m 2，∴⎝⎛⎭⎫mk ＋m 22＋⎣⎡⎦⎤3sin ⎝⎛⎭⎫kπ＋π22<m 2，k ∈Z. 即m 2⎝⎛⎭⎫k ＋122＋3<m 2，k ∈Z. ∵m≠0，∴⎝⎛⎭⎫k ＋122<m 2－3m 2，k ∈Z.又∵存在x 0满足x 20＋[f(x 0)]2<m 2， 即存在k ∈Z 满足上式，∴m 2－3m2>⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫k ＋122min ， ∴m 2－3m 2>⎝⎛⎭⎫122，∴m 2－3>m 24， ∴m 2>4，∴m>2或m<－2，故选C.答案：C导数的综合应用4．(2015·课标卷Ⅰ)设函数f(x)＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a<1，若存在唯一的整数x 0使得f(x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－32e ，1 B.⎣⎡⎭⎫－32e ，34 C.⎣⎡⎭⎫32e ，34D.⎣⎡⎭⎫32e ，1 解析：由f(x 0)<0， 即ex 0(2x 0－1)－a(x 0－1)<0得ex 0(2x 0－1)<a(x 0－1)．当x 0＝1时，得e<0，显然不成立，所以x 0≠1.若x 0>1，则a>ex 00－x 0－1.令g(x)＝e x －x －1， 则g′(x)＝2xe x ⎝⎛⎭⎫x －32－2， 当x ∈⎝⎛⎭⎫1，32时，g′(x)<0，g(x)为减函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，g′(x)>0，g(x)为增函数， 要满足题意，则x 0＝2，此时需满足g(2)<a≤g(3)，得3e 2<a≤52e 3，与a<1矛盾，所以x 0<1. 因为x 0<1，所以a<ex 00－x 0－1.易知，当x ∈(－∞，0)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，当x ∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，要满足题意，则x 0＝0，此时需满足g(－1)≤a<g(0)，得32e≤a<1(满足a<1)，故选D. 答案：D5．(2014·陕西卷)如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A ．y ＝1125x 3－35xB ．y ＝2125x 3－45x C ．y ＝3125x 3－x D ．y ＝－3125x 3＋15x 解析：根据题意知，所求函数在(－5,5)上单调递减，对于A, y ＝1125x 3－35x ， ∴y′＝3125x 2－35＝3125(x 2－25)， ∴∀x ∈(－5,5)，y′<0，∴y ＝1125x 3－35x 在(－5,5)内为减函数，同理可验证B 、C 、D 均不满足此条件，故选A. 答案：A6．(2013·辽宁卷)设函数f(x)满足x 2·f′(x)＋2xf(x)＝e x x ，f(2)＝e 28，则x>0时，f(x)( ) A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值解析：令F(x)＝x 2·f(x)，则f′(x)＝2－x 4＝e x x ·x 2－x 4＝e x －x 3. 令h(x)＝e x －2F(x)，则h′(x)＝e x －2e x x ＝e x －x .当0<x<2时，h′(x)<0，h(x)在(0,2)上为减函数．当x>2时，h′(x)>0，h(x)在(2，＋∞)上为增函数，故h(x)≥h(2)在x ∈(0，＋∞)上恒成立．h(2)＝e 2－2×F(2)＝e 2－2[22×f(2)]＝e 2－2⎝⎛⎭⎫4×e 28＝0， 即h(x)≥h(2)＝0在x ∈(0，＋∞)上恒成立，则f′(x)＝e x－x3≥0在x∈(0，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，∴f(x)在(0，＋∞)上无极值，故选D. 答案：D。