解斜三角形

1 2 sin B sin C = a 2 sin A
求证：a = b cos C + c cos B(课本18页第三题).
证明： sin A = sin(180° − A) = sin( B + C ) ∵
∴ sin A = sin B cos C + cos B sin C
a b c = cos C + cos B 2R 2R 2R
解三角形的应用. 解三角形的应用.
南偏西50°相距12海里 海里B处 例2、我舰在敌岛 南偏西 °相距 海里 处， 、我舰在敌岛A南偏西 发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里 海里/ 发现敌舰正由岛沿北偏西 °的方向以 海里 时的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰 小时追上敌舰， 时的速度航行，我舰要用 小时追上敌舰，则需 C 要的速度大小为 。
B D A C
分析：在四边形ABCD中欲求AB长 分析：在四边形ABCD中欲求AB长，只能去解三 ABCD中欲求AB 角形， AB联系的三角形有 ABC和 ABD， 联系的三角形有△ 角形，与AB联系的三角形有△ABC和△ABD，利 用其一可求AB AB。 用其一可求AB。
略解：Rt △ACD中，AD=1/cos30o ACD中
基本概念和公式.
海上有A、 两个小岛相距 海里， 两个小岛相距10海里 例1海上有 、B两个小岛相距 海里，从 海上有 A岛望 岛和 岛成 °的视角，从B岛望 岛望C岛和 岛成60°的视角， 岛望 岛和B岛成 岛望 C岛和 岛成 °的视角，那么 岛和 岛 岛和A岛成 岛和C岛 岛和 岛成75°的视角，那么B岛和 间的距离是 。
B间的距离？ 间的距离？
B A
想一想： 如何测定河两岸两点A、 想一想： 如何测定河两岸两点A

解斜三角形的一般思路分析解斜三角形的一般思路是通过添加辅助线（如作高），将斜三角形转化为直角三角形来解.本文试就几种情况下辅助线的作法列举几例加以剖析.一、等腰三角形：对于等腰三角形，一般是作底边(或腰)上的高, 将问题转化为直角三角形来解.例1.⑴等腰三角形的顶角为30°，腰长为4，则三角形的面积为_____;解：如图1，作高BD，则可得BD =2，从而，S△ABC =×4×2 = 4；⑵等腰三角形的顶角为120°，腰长为4，那么三角形的面积为___;解：如图2，作高AD，则可得S△ABC = ×4√3×2 =4√3二、对于含有30°、45、60°角的斜三角形，可通过作高，将原三角形分割成含有已知特殊角的直角三角形（注意不要将条件中的特殊角分割.）例2.已知△ABC中,∠B=60°,AB=6，BC=8，则△ABC的面积是（）(A)12√3; (B)12; (C) 24√3; (D) 12√2解：如图3，过A作AD⊥BC于D，则AD = AB·sinB = 6·sin60°= 6×= 3√3那么S△ABC = ×8×3√3 = 12√3 .故，选（A）.例3.在△ABC中，若∠B=30°,AB=2√3，AC=2，则△ABC的面积S是____.解：△ABC的顶点除B外，A、C有两种可能，如图4、5所示.⑴如图4，过A作AD⊥BC于D.在Rt△ABD中,∠B=30°，∴ AD = AB = √3 ，∴ BD = 3；在Rt△ACD中，由勾股定理可得：CD2 = AC2－AD2=22－(√3)2= 1，∴ CD = 1，CD = AC，∴∠CAD=30°，∠C=60°，∴△ABC为Rt△.∴ S =×2√3 ×2 = 2√3 .⑵如图5，作CD⊥AB于D，设CD=x,BC=2x,BD=2x·cos30°=√3x,从而AD = 2√3 －√3 x,在Rt△ACD中，AD2+CD2 =AC2，那么可得：x2－3x +2 = 0, ∴x1 = 1 , x2 =2 (舍去)，,于是S =×2√3×1 =√3 .解法2：仿例6，做AD⊥BC于D，列方程求解.评注：本题起点低，着手易，通过画图，容易发现两种情况，体现了分类讨论的思想，克服了思维定势的影响，培养了学生分析问题解决问题的能力.例4.求sin15°·sin75°的值（数形结合）解：如图6，作Rt△ACD，使∠ACD = 30°,∠D = 90°,令AD = 1, 则AC = 2，CD =√3 ,延长DC到B,使CB=CA,则∠ABC=∠BAC=15°,那么在Rt△ABD中，sin15°= sin∠B==== ，sin 75°= sin∠BAD== ,∴sin15°·sin75°= ·= .三、当条件中三角形的边长为某些勾股数组中的数时，可通过作高将三角形分割(或添补)成以这些数为边的直角三角形.例5.如图7,△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.解：过点A作AD⊥BC于D，设BD=x,则CD=14－x, 设AD = y,那么,Rt△ABD和Rt△ACD中，分别由勾股定理可得解此方程组得∴ S△ABC = ×14×12 = 84 . 故，选（A）.例6.已知：如图8，△ABC中,AB =17，AC =10 ，BC=9，求S△ABC. （第七届希望杯初二试题）略解：如图，设AD = x,CD = y,则:解得∴ S△ABC = ×9×8 =36 .例7.如图9,在△ABC中，AB = 5cm,AC = 3cm ,D是BC的中点，且AD⊥AC，求AD的长.略解：延长AD至E，使DE = AD，设AD = DE = x，则(2x)2 + 32 = 52 ,解得x = 2，即AD = 2.四、对于四边形，其一般方法也是将其割（补）成直角三角形例8.如图10,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=2,BC=2√3,CD=5,AD=3,则四边形ABCD的面积为____;提示：分割图形：在△ABC和△中分别运用勾股定理和勾股定理的逆定理，可得S四边形ABCD =2√3+6例9.如图11,在四边形ABCD中,∠A= 60°,∠B=∠D=90°,AB=2,CD =1,求BC和AD的长.答：AD=4－√3,BC=2√3－2.解略.例10.如图12，在四边形ABCD中，AB=，CD =2√3, AD=3－√3, ∠A=135°,∠D=120°,求BC 边的长.解法1：分别过点B、C 向AD作垂线（略）；解法2：过点C 作CE⊥AD于E，连结AC.则∠CDE =60°，∴∠DCE =30°，由CD=2√3，∴ CE = 3，DE =√3∴ AE = AD + DE =（3－√3）+√3 = 3，∴ AE = CE，∴∠CAE= 45°，那么△ACE为等腰直角三角形又∠A=135°，∴∠BAC=90°，附练习题1.等腰三角形的顶角为120°，底边长为6，则三角形的面积为_____;2.如图13，在△ABC中，已知∠B=30°,∠C=45°，AB = 8，求S△ABC.3.已知：如图14，在ABCD中，AB= AD = 8，∠A=60°，∠D =150°，四边形ABCD的周长为32，求BC和CD的长.4.已知：如图15，△ABC中，D是BC上一点，若∠B = 45°，AD=5，AC=7，DC=3，求AB的长.5.如图16，在△ABC中，AB=5，AC=7，∠B= 60°.求BC的长.答案：1. ;2. 8+ 8;3. BC =10, CD =6;4.5. 8。

§5-10-1解斜三角形的应用目的：要求学生利用数学建模思想，结合正弦定理、余弦定理和解任意三角形的知识解决实践中的有关问题。

例1、自动卸货汽车的车厢采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度，已知车厢的最大仰角为60o ，油泵顶点B 与车箱支点A 之间的距离为1.95米，AB 与水平线之间的夹角为6︒20’，AC 长为1.40米，计算BC 的长． 注意：引导学生分析题意，分清已知与所求，会将实际问题转化为解三角形问题． 分析：这个问题在△ABC 中，已知AB=1.95m ，AC=1.40m ，∠CAB=60o +6o 20`=66o 20`，求BC 的长．即解斜三角形中，已知两边和夹角，求其它的问题，故需使用余弦定理．解：由余弦定理，得：BC 2=AB 2+AC 2-2AB·ACcosA= 1.952+1.402-2×1.95×1.40×cos66o 20`=3.571∴BC≈1.89m答：顶杆BC 的长约为1.89米．例1`、[变题] 假定自动卸货汽车装有一车货物，货物与车箱的底部的滑动摩擦系数为0.3，油泵顶点B 与车箱支点A 之间的距离为1.95米，AB 与水平线之间的夹角为6︒20’，AC 长为1.40米，求货物开始下滑时BC 的长。

解：设车箱倾斜角为θ，货物重量为mg ， θμμcos mg N f == 当θθμsin cosmg mg ≤即θμtan ≤时货物下滑 ∴ θμtan =，∴ θtan 3.0=，∴'42163.0arctan ==θ，∴ ∠BAC='0223'206'4216 =+在△ABC 中: BAC cos AC AB 2AC AB BC 222∠⋅-+= 787.10'0223cos 40.195.1240.195.122=⨯⨯⨯-+=∴ 28.3BC =AB C θA B C θ例2、如图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB 绕C 点旋转时，连杆AB 的传递，活塞作直线往复运动．当曲柄在CB o 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A 在A o 处．设连杆AB 长为340mm ，曲柄CB 长为85mm ，曲柄自CB o 按顺时针方向旋转80o ，求活塞移动的距离(即连杆的端点A 移动的距离A o A)(精确到1mm)分析：因为A o A=A o C-AC ，又知A o C=AB+BC=340+85=425mm ，所以只要求出AC的长，问题就解决了．在△ABC 中，已知两边和其中一边的对角，可有正弦定理求出(也可由余弦定理求)解法1、在△ABC 中，由正弦定理可得： 2462.034080sin BC A sin o =⋅= ∵ BC<AB ∴ A 为锐角，可得：A=14o 15`∴ B=180o -(A+C)=85o 45` 由正弦定理得：m m 3.3449848.0`1585sin 340C sin B sin AB AC o =⨯=⋅= ∴ A o A=A o C-AC=(AB+BC)-AC=(340+85)-344.3=80.7≈81mm解法2、△ABC 中，由余弦定理得：AB 2=AC 2+BC 2-2AC·BC·cosC∴ 3402=AC 2+852-2AC·85·cos80o解得：AC=344.3mm∴ A o A=A o C-AC=(AB+BC)-AC=(340+85)-344.3=80.7≈81mm答：活塞移动的距离约为81m m ．例3、某人在塔的正东方向沿南偏西60o 的方向前进40米以后，望见塔在东北方向，若沿途测得它的最大仰角为30o ，求塔高．分析：欲使仰角最大，则需离塔最近，作TC ⊥AB ，则在C 处看塔仰角最大，只需求出TC 长即可，然后在Rt △DTC 中解出DT 的长A o CB oA B解：由题意知：∠A=30o ，∠ATB=135o ，由正弦定理得：TAB sin TB ATB sin AB ∠=∠，即：o o 30sin TB 135sin 40=，解得TB=220 ∴ TC=TB×sin15o =220×)232(5426-=- 在Rt △DTC 中，∠C=30o ，∴ TD=TCtan30o =)33(310-(米) 答：塔高)33(310-米． 例4、我方缉私艇观察到走私船在它的北偏东60o 的方向，且相距50海里，此时走私船向北逃窜，我方船速食走私船的3倍，则我方应采取什么方向前进才能追上走私船？此时走私船行驶了多少海里？解：设∠CAB =θ，且走私船行驶BC=x 海里，则我方缉私艇行驶AC=3x 海里，且∠ABC=120o 由正弦定理，可得：ABC sin AC sin BC ∠=θ ∴ o 120sin x 3sin x =θ，解得：θ=30o ∴ 我方应沿北偏东30o 方向行驶又∵ θ=C=30o∴ BC=AB=50，故此时走私船行驶了50海里．例5、如图，河对岸有两目标A 、B ，在岸边去相距3千米的C 、D 两点，并测得∠ACB=75∠BCD=45∠ADC=30∠ADB=45，求目标AB 之间的距离．解：△ACD 中，AC=CD=3△BDC 中，(正)BC=226+ △ABC 中，(余)AB=5AB C练、我舰在敌岛A 南50︒西相距12 nmile 的B 处，发现敌舰正由岛沿北10︒西的方向以10nmile/h 的速度航行，问：我舰需要以多大速度，沿什么方向航行才能用功小时追上敌舰？解：在△ABC 中：AB=12 AC=10×2=20 ∠BAC=40︒+80︒=120︒BAC AC AB AC AB BC ∠⋅-+=cos 2222784)21(20122201222=-⨯⨯⨯-+= BC=28 即追击速度为14mile/h又：∵△ABC 中，由正弦定理：ABC B AC sin sin = ∴1435sin sin ==BC A AC B ∴1435arcsin =B ∴我舰航行方向为北)1435arcsin 50(- 东。

解斜三角形（导学案）§1．1．1正弦定理课堂学习目标：1． 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2． 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

知识梳理：1． 内角和定理：在ABC ∆中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -cos 2A B +=sin 2C 2. 面积公式: （1）1()2a a S a h h a = 表示边上的高； （2）111sin sin sin ()2224abc S ab C ac B bc A R R====为外接圆半径； （3）1()()2S r a b c r =++为内切圆半径。

3．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === 形式二：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; sinA=2a R ,sinB=2b R ,sinC=2c R; 形式三：a:b:c=sinA: sinB: sinC; 和 sin sin sin sin a b c a A B C A ++=++ 二、基础检测：1. 在ABC ∆中，A 、B 的对边分别是 a b 、，且A=30 4,a b ==，那么满足条件的ABC ∆ （ B ）A 、 有一个解B 、有两个解C 、无解D 、不能确定2、在C ∆AB 中，已知8a =，60B = ，75C = ，则b 等于（ ）A ．B ．C ．D ．323 3、在C ∆AB 中，5a =，3b =，120C = ，则sin sin A B的值是（ ） A ．53 B ．35 C ．37 D ．574、在C ∆AB 中，若2sin b a =B ，则A 等于（ ）A ．30 或60B ．45 或60C ．60 或120D ．30 或1505、在C ∆A B 中，若()()()cos cos cos 1C C A-B ⋅B-⋅-A =，则C ∆A B 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．顶角为120 的等腰三角形6、一个三角形的两个内角分别为30 和45 ，如果45 角所对的边长为8，那么30 角所对的边长是（ ）A ．4B ．C ．D ．7、在C ∆AB 中，1a =，b =30A = ，则B 等于（ ）A ．60B ．60 或120C ．30 或150D ．1208、在C ∆AB 中，45B = ，60C = ，1c =，则最短边的长等于（ ）A ．B ．C ．12D 9、在C ∆AB 中，若sin cosa b A B=，则B 的值为（ ）A ． 30B ． 45C ． 60D ． 9010、在C ∆AB 中，6=a ，30B = ， 120=C ，则C ∆AB 的面积是（ ）A ．9B ．18C ．39D ．31811、在C ∆AB 中，若60A = ，16=b ，此三角形面积3220=S ，则a 的值是（）A ．620B ．75C ．51D ．4912、在C ∆AB 中，若12+=+c b ，45C = ，30B = ，则（ ）A ．2,1==c bB ．1,2==c bC ．221,22+==c b D ．22,221=+=c b13、在C ∆AB 中，60A = ，a =4b =，那么满足条件的C ∆AB （ ）A ．不存在B ．唯一存在C ．有2个D ．不确定14、在C ∆AB 中，若60A = ，a =sin sin sin a b cC ++A +B +等于（ ）A ．2B ．12C D15、在C ∆AB 中，60A = ，1b =，C S ∆AB ，则sin sin sin a b c C++=A+B+（ ）A ．3B ．3C ．3D ．16、在C ∆AB 中，若cos cos cos a b c C ==A B ，则C ∆AB 是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形17、在C ∆AB 中，若::1:2:3C A B =，则::a b c =________________．18、在C ∆AB 中，2a =，b =4πA =，则B =______________．19、在C ∆AB 中，已知12a b +=，60A = ，45B = ，则a =_________，b =________．20、在C ∆AB 中，已知a =2b =，60A = ，则这样的三角形有_______个．21、在C ∆AB 中，已知12C B =，60A = ，45B = ，则C A = _．22、在C ∆AB 中，已知8a =，6b =，且C S ∆AB =C =________．23、在C ∆AB 中，已知a =4b =，30A = ，则sin B =________． 24、在C ∆AB 中，周长为7.5cm ，且sin :sin :sin 4:5:6C A B =，下列结论：①::4:5:6a b c =；②::a b c =；③2a cm =， 2.5b cm =，3c cm =；④::4:5:6C A B =．其中成立的序号依次是___________．25、在C ∆AB 中，已知10c =，45A = ，30C =，求a ，b 和B ．26、C ∆AB 中，c =45A = ，a =b 和B 、C ．三、典例分析：1. 在ΔABC 中，（1）若o ,求a 及C 的值；（2）若A=600，a=7,b=5,求边C 。