三角形的初步认识习题第一章.docx

《第1章三角形的初步认识》一、填空题1．已知三角形的两边分别为4和9，则此三角形的第三边可能是（）A．4 B．5 C．9 D．132．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数等于（）A．50° B．30° C．20° D．15°3．如图所示，△ACB≌A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（）A．20° B．30° C．35° D．40°4．长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种5．尺规作图是指（）A．用直尺规范作图B．用刻度尺和圆规作图C．用没有刻度的直尺和圆规作图D．直尺和圆规是作图工具6．如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A=（）A．50° B．40° C．70° D．35°7．如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（）A．45° B．54° C．40° D．50°8．一副三角板如图叠放在一起，则图中∠α的度数为（）A．75° B．60° C．65° D．55°9．如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置，连接EC，满足EC∥AB，则∠BAD的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．50°10．如图所示，△ABC与△BDE都是等边三角形，AB＜BD．若△ABC不动，将△BDE绕点B旋转，则在旋转过程中，AE与CD的大小关系为（）A．AE=CD B．AE＞CD C．AE＜CD D．无法确定二、认真填一填11．若三角形的两边长分别为3、4，且周长为整数，这样的三角形共有个．12．如图，在△ABC和△DEF中，已知：AC=DF，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要的条件可以是．（只填写一个条件）13．若△ABC≌△DEF，且∠A=110°，∠F=40°，则∠E= 度．14．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则∠A= ，∠C= ．15．如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC；则∠DAE= ．16．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADC的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S△ABC=6，则S1﹣S2的值为．17．如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点P处，已知∠1+∠2=100°，则∠A的大小等于度．18．如图，△ABC中，∠BAC=100°，EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，如果BC=12cm，那么△FAN的周长为cm，∠FAN= ．三、解答题19．如图，点A、C、D、B 四点共线，且AC=DB，∠A=∠B，∠E=∠F．求证：DE=CF．20．如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE．（1）从图中任找两组全等三角形；（2）从（1）中任选一组进行证明．21．如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=110°．（1）画出下列图形：①BC边上的高AD；②∠A的角平分线AE．（2）试求∠DAE的度数．22．作图，如图已知三角形ABC内一点P（1）过P点作线段EF∥AB，分别交BC，AC于点E，F（2）过P点作线段PD使PD⊥BC垂足为D点．23．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF，求证：∠CAF=∠B．24．如图，点D为锐角∠ABC内一点，点M在边BA上，点N在边BC上，且DM=DN，∠BMD+∠BND=180°．求证：BD平分∠ABC．25．如图，在长方形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，点E是CD的中点，动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若设点P运动的时间是t秒，那么当t取何值时，△APE的面积会等于10？26．（14分）课本拓展旧知新意：我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？1．尝试探究：（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？2．初步应用：（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1=130°，则∠2﹣∠C= ；（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案．3拓展提升：（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由）《第1章三角形的初步认识》参考答案与试题解析一、填空题1．已知三角形的两边分别为4和9，则此三角形的第三边可能是（）A．4 B．5 C．9 D．13【考点】三角形三边关系．菁优网版权所有【分析】根据三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和求得第三边的取值范围，再进一步选择．【解答】解：根据三角形的三边关系，得第三边大于5，而小于13．故选C．【点评】本题考查了三角形的三边关系，即三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和，此题基础题，比较简单．2．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数等于（）A．50° B．30° C．20° D．15°【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】首先根据平行线的性质得到∠2的同位角∠4的度数，再根据三角形的外角的性质进行求解．【解答】解：根据平行线的性质，得∠4=∠2=50°．∴∠3=∠4﹣∠1=50°﹣30°=20°．故选：C．【点评】本题应用的知识点为：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．两直线平行，同位角相等．3．如图所示，△ACB≌A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（）A．20° B．30° C．35° D．40°【考点】全等三角形的性质．菁优网版权所有【分析】根据全等三角形性质求出∠ACB=∠A′CB′，都减去∠A′CB即可．【解答】解：∵△ACB≌A′CB′，∴∠ACB=∠A′CB′，∴∠ACB﹣∠A′CB=∠A′CB′﹣∠A′CB，∴∠ACA′=∠BCB′，∵∠BCB′=30°，∴∠ACA′=30°，故选B．【点评】本题考查了全等三角形性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等．4．长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种【考点】三角形三边关系．菁优网版权所有【专题】常规题型．【分析】要把四条线段的所有组合列出来，再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的组数．【解答】解：四根木条的所有组合：9，6，5和9，6，4和9，5，4和6，5，4；根据三角形的三边关系，得能组成三角形的有9，6，5和9，6，4和6，5，4．故选：C．【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．5．尺规作图是指（）A．用直尺规范作图B．用刻度尺和圆规作图C．用没有刻度的直尺和圆规作图D．直尺和圆规是作图工具【考点】作图—尺规作图的定义．菁优网版权所有【分析】根据尺规作图的定义作答．【解答】解：根据尺规作图的定义可知：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．故选C．【点评】尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．6．如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A=（）A．50° B．40° C．70° D．35°【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．菁优网版权所有【分析】根据数据线的内角和定理以及角平分线的定义，可以证明．【解答】解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线，∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB），=180°﹣2（∠DBC+∠BCD）∵∠BDC=180°﹣（∠DBC+∠BCD），∴∠A=180°﹣2（180°﹣∠BDC）∴∠BDC=90°+∠A，∴∠A=2（110°﹣90°）=40°．故选B．【点评】注意此题中的∠A和∠BDC之间的关系：∠BDC=90°+∠A．7．如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（）A．45° B．54° C．40° D．50°【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．菁优网版权所有【分析】根据三角形的内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠ADE=∠BAD．【解答】解：∵∠B=46°，∠C=54°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣46°﹣54°=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC=×80°=40°，∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD=40°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键．8．一副三角板如图叠放在一起，则图中∠α的度数为（）A．75° B．60° C．65° D．55°【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．菁优网版权所有【分析】因为三角板的度数为45°，60°，所以根据三角形内角和定理即可求解．【解答】解：如图，∵∠1=60°，∠2=45°，∴∠α=180°﹣45°﹣60°=75°，故选A．【点评】本题利用三角板度数的常识和三角形内角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．9．如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置，连接EC，满足EC∥AB，则∠BAD的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．50°【考点】旋转的性质．菁优网版权所有【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACB=∠CAB，根据旋转的性质可得AC=AE，∠BAC=∠DAE，再根据等腰三角形两底角相等列式求出∠CAE，然后求出∠DAB=∠CAE，从而得解．【解答】解：∵CE∥AB，∴∠ACB=∠CAB=75°，∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AED，∴AC=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠CAE=180°﹣70°×2=40°，∵∠CAE+∠CAD=∠DAE，∠DAB+∠CAD=∠BAC，∴∠DAB=∠CAE=40°．故选C．【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记各性质并求出∠DAB=∠CAE是解题的关键．10．如图所示，△ABC与△BDE都是等边三角形，AB＜BD．若△ABC不动，将△BDE绕点B旋转，则在旋转过程中，AE与CD的大小关系为（）A．AE=CD B．AE＞CD C．AE＜CD D．无法确定【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．菁优网版权所有【分析】本题可通过证△ABE和△CBD全等，来得出AE=CD的结论．两三角形中，已知了AB=BC、BE=BD，因此关键是证得∠ABE=∠CBD；由于△ABC和△BED都是等边三角形，因此∠EBD=∠ABC=60°，即∠ABE=∠CBD=120°，由此可得证．【解答】解：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，∴AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=60°；∴∠ACB+∠CBE=∠EBD+∠CBE=120°，即：∠ABE=∠CBD=120°；∴△ABE≌△CBD；∴AE=CD．故选A．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，当出现两个等边三角形时，一般要利用等边三角形的边和角从中找到一对全等三角形．二、认真填一填11．若三角形的两边长分别为3、4，且周长为整数，这样的三角形共有 5 个．【考点】三角形三边关系；一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有【分析】设第三边的长为x，根据三角形的三边关系的定理可以确定x的取值范围，进而得到答案．【解答】解：设第三边的长为x，则4﹣3＜x＜4+3，所以1＜x＜7．∵x为整数，∴x可取2，3，4，5，6．故答案为5．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．12．如图，在△ABC和△DEF中，已知：AC=DF，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要的条件可以是AB=DE ．（只填写一个条件）【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有【专题】开放型．【分析】根据“SSS”添加条件．【解答】解：若加上AB=DE，则可根据“SSS”判断△ABC≌△DEF．故答案为AB=DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定：判定方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”．13．若△ABC≌△DEF，且∠A=110°，∠F=40°，则∠E= 30 度．【考点】全等三角形的性质．菁优网版权所有【分析】根据全等三角形的性质得出∠D=∠A=110°，∠C=∠F=40°，进而得出答案．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠A=110°，∠F=40°，∴∠D=∠A=110°，∠C=∠F=40°，∴∠DEF=180°﹣110°﹣40°=30°．故答案为：30；【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，利用其性质得出对应角相等是解题关键．14．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则∠A= 30°．，∠C= 90°．．【考点】三角形内角和定理．菁优网版权所有【分析】有三角形内角和180度，又知三角形内各角比，从而求出．【解答】解：由三角形内角和180°，又∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∴∠A=180°×=30°，∠C=180°×=90°．故填：30°，90°．【点评】本题考查三角形内角和定理，结合已知条件，从而很容易知道各角所占几分之几．而解得．15．如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC；则∠DAE= 10°．【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．菁优网版权所有【分析】根据∠B=60°，∠C=40°可得∠BAC的度数，AE平分∠BAC，得到∠BAE和∠CAE 的度数，利用外角的性质可得∠AED的度数，再根据垂直定义，得到直角三角形，在直角△ABD中，可以求得∠DAE的度数．【解答】解：∵∠C=40°，∠B=60°，∴∠BAC=180°﹣40°﹣60°=80°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE=40°，∴∠AED=80°，∵AD⊥BC于D，∴∠ADC=90°，∴∠DAE=180°﹣80°﹣90°=10°，故答案为：10°．【点评】本题主要考查角平分线的定义和垂直的定义，外角性质，三角形内角和定理，综合利用各定理及性质是解答此题的关键．16．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADC的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S△ABC=6，则S1﹣S2的值为 1 ．【考点】三角形的面积．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】根据等底等高的三角形的面积相等求出△AEC的面积，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出△ACD的面积，然后根据S1﹣S2=S△ACD﹣S△ACE计算即可得解．【解答】解：∵BE=CE，∴S△ACE=S△ABC=×6=3，∵AD=2BD，∴S△ACD=S△ABC=×6=4，∴S1﹣S2=S△ACD﹣S△ACE=4﹣3=1．故答案为：1．【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，等高的三角形的面积的比等于底边的比，需熟记．17．如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点P处，已知∠1+∠2=100°，则∠A的大小等于50 度．【考点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有【分析】根据已知求出∠ADP+∠AEP=360°﹣（∠1+∠2）=260°，根据折叠求出∠ADE+∠AED=×260°=130°，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵∠1+∠2=100°，∴∠ADP+∠AEP=360°﹣（∠1+∠2）=260°，∵将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点P处，∴∠ADE=∠ADP，∠AED=∠AEP，∴∠ADE+∠AED=×260°=130°，∴∠A=180°﹣（∠ADE+∠AED）=50°，故答案为：50．【点评】本题考查了三角形的内角和定理和折叠的性质的应用，注意：三角形的内角和等于180°，题目比较好，难度适中．18．如图，△ABC中，∠BAC=100°，EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，如果BC=12cm，那么△FAN的周长为12 cm，∠FAN= 20°．【考点】线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有【分析】由EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，可得AF=BF，AN=CN，即可得△FAN的周长等于BC；又由∠BAC=100°，求得∠BAF+∠CAN=∠B+∠C=180°﹣∠BAC=80°，继而求得答案．【解答】解：∵EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，∴AF=BF，AN=CN，∴△FAN的周长为：AF+FN+AN=BF+FN+CN=BC=12cm；∴∠BAF=∠B，∠CAN=∠C，∵△ABC中，∠BAC=100°，∴∠BAF+∠CAN=∠B+∠C=180°﹣∠BAC=80°，∴∠FAN=∠BAC﹣（∠BAF+∠CAN）=20°．故答案为：12，20°．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．三、解答题19．如图，点A、C、D、B 四点共线，且AC=DB，∠A=∠B，∠E=∠F．求证：DE=CF．【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有【专题】证明题．【分析】根据条件可以求出AD=BC，再证明△AED≌△BFC，由全等三角形的性质就可以得出结论．【解答】证明：∵AC=DB，∴AC+CD=DB+CD，即AD=BC，在△AED和△BFC中，∴△AED≌△BFC．∴DE=CF．【点评】本题考查了线段的数量关系，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明△AED≌△BFC是解答本题的关键．20．如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE．（1）从图中任找两组全等三角形；（2）从（1）中任选一组进行证明．【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有【专题】证明题．【分析】（1）根据题目所给条件可分析出△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB；（2）根据AB∥CD可得∠1=∠2，根据AF=CE可得AE=FC，然后再证明△ABE≌△CDF 即可．【解答】解：（1）△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB；（2）∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∵AF=CE，∴AF+EF=CE+EF，即AE=FC，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS）．【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．21．如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=110°．（1）画出下列图形：①BC边上的高AD；②∠A的角平分线AE．（2）试求∠DAE的度数．【考点】作图—复杂作图．菁优网版权所有【分析】（1）利用直角三角板一条直角边与BC重合，沿BC平移使另一直角边过A 画BC边上的高AD即可；再根据角平分线的做法作∠A的角平分线AE；（2）首先计算出∠BAE的度数，再计算出∠BAD的度数，利用角的和差关系可得答案．【解答】解：（1）如图所示：（2）在△ABC中，∠BAC=180°﹣11°﹣40°=30°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠BAC=15°，在Rt△ADB中，∠BAD=90°﹣∠B=50°，∴∠DAE=∠DAB﹣∠BAE=35°．【点评】此题主要考查了复杂作图，以及角的计算，关键是正确画出图形．22．作图，如图已知三角形ABC内一点P（1）过P点作线段EF∥AB，分别交BC，AC于点E，F（2）过P点作线段PD使PD⊥BC垂足为D点．【考点】作图—基本作图．菁优网版权所有【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线平行线的方法作图即可；（2）利用直角三角板，一条直角边与BC重合，沿BC平移，使另一条直角边过点P 画垂线即可．【解答】解：如图所示：．【点评】此题主要考查了基本作图，关键是掌握利用直尺做平行线的方法．23．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF，求证：∠CAF=∠B．【考点】线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有【专题】证明题．【分析】EF垂直平分AD，则可得AF=DF，进而再转化为角之间的关系，通过角之间的平衡转化，最终得出结论．【解答】证明：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∠ADF=∠DAF，∵∠ADF=∠B+∠BAD，∠DAF=∠CAF+∠CAD，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠CAF=∠B．【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．24．如图，点D为锐角∠ABC内一点，点M在边BA上，点N在边BC上，且DM=DN，∠BMD+∠BND=180°．求证：BD平分∠ABC．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．菁优网版权所有【专题】证明题．【分析】在AB上截取ME=BN，证得△BND≌△EMD，进而证得∠DBN=∠MED，BD=DE，从而证得BD平分∠ABC．【解答】解：如图所示：在AB上截取ME=BN，∵∠BMD+∠DME=180°，∠BMD+∠BND=180°，∴∠DME=∠BND，在△BND与△EMD中，，∴△BND≌△EMD（SAS），∴∠DBN=∠MED，BD=DE，∴∠MBD=∠MED，∴∠MBD=∠DBN，∴BD平分∠ABC．【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．25．如图，在长方形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，点E是CD的中点，动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若设点P运动的时间是t秒，那么当t取何值时，△APE的面积会等于10？【考点】一元一次方程的应用；三角形的面积．菁优网版权所有【专题】几何动点问题．【分析】分为三种情况讨论，如图1，当点P在AB上，即0＜t≤4时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可；如图2，当点P在BC上，即4＜t≤7时，由S△APE=S﹣S△PCE﹣S△PAB建立方程求出其解即可；如图3，当点P在EC上，即7＜t≤9四边形AECB时，由S△APE==10建立方程求出其解即可．【解答】解：如图1，当点P在AB上，即0＜t≤4时，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=6，AB=CD=8．∵AP=2t，∴S△APE=×2t×6=10，∴t=．如图2，当点P在BC上，即4＜t≤7时，∵E是DC的中点，∴DE=CE=4．∵BP=2t﹣8，PC=6﹣（2t﹣8）=14﹣2t．∴S=（4+8）×6﹣×（2t﹣8）×8﹣（14﹣2t）×4=10，解得：t=7.5＞7舍去；当点P在EC上，即7＜t≤9时，PE=18﹣2t．∴S△APE=（18﹣2t）×6=10，解得：t=．总上所述，当t=或时△APE的面积会等于10．【点评】本题考查了矩形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用．解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键．26．课本拓展旧知新意：我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？1．尝试探究：（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？2．初步应用：（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1=130°，则∠2﹣∠C= 50°；（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案∠P=90°﹣∠A ．3拓展提升：（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由）【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．菁优网版权所有【专题】探究型．【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠DBC+∠ECB ，再利用三角形内角和定理整理即可得解；（2）根据（1）的结论整理计算即可得解；（3）表示出∠DBC+∠ECB ，再根据角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB ，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解；（4）延长BA 、CD 相交于点Q ，先用∠Q 表示出∠P ，再用（1）的结论整理即可得解．【解答】解：（1）∠DBC+∠ECB=180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB=360°﹣（∠ABC+∠ACB ）=360°﹣（180°﹣∠A ）=180°+∠A ；（2）∵∠1+∠2=∠180°+∠C ，∴130°+∠2=180°+∠C ，∴∠2﹣∠C=50°；（3）∠DBC+∠ECB=180°+∠A ，∵BP 、CP 分别平分外角∠DBC 、∠ECB ，∴∠PBC+∠PCB=（∠DBC+∠ECB ）=（180°+∠A ），在△PBC 中，∠P=180°﹣（180°+∠A ）=90°﹣∠A ；即∠P=90°﹣∠A ；故答案为：50°，∠P=90°﹣∠A ；（4）延长BA、CD于Q，则∠P=90°﹣∠Q，∴∠Q=180°﹣2∠P，∴∠BAD+∠CDA=180°+∠Q，=180°+180°﹣2∠P，=360°﹣2∠P．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键．。

第1章一、选择题(每小题3分，共30分)(第1题)1．如图，已知MB ＝ND ，∠MBA ＝∠NDC ，则下列条件中不能判定△ABM ≌△CDN 的是(B ) A. ∠M ＝∠N B. AM ＝CN C. AB ＝CD D. AM ∥CN2．已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是(C ) A. 5 B. 6 C. 12 D. 163．如图，图中∠1的度数为(D ) A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°(第3题)(第4题)4．如图，把一块含有45°角的直角三角尺的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数为(C )A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°(第5题)5．如图，在余料ABCD 中，AD ∥BC ，现进行如下操作：以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA ，BC 于点G ，H ；再分别以点G ，H 为圆心，大于12GH 长为半径画弧，两弧在∠ABC 内部相交于点O ，画射线BO ，交AD 于点E .若∠A ＝96°，则∠EBC 的度数为(B )A. 45°B. 42°C. 36°D. 30°6．如图，已知∠1＝∠2，AE ⊥OB 于点E ，BD ⊥OA 于点D ，AE ，BD 的交点为C ，则图中的全等三角形共有(C )A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对, (第6题)) ,(第7题))7．如图，BE ⊥AC 于点D ，且AD ＝CD ，BD ＝E D.若∠ABC ＝72°，则∠E 等于(B ) A ．18° B ．36° C ．54° D ．72°【解】 可证△ADB ≌△CDE ，△ABD ≌△CBD ，∴∠E ＝∠ABD ＝12∠ABC ＝36°.(第8题)8．如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别是100，110，120，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ∶S △BOC ∶S △CAO ＝(C )A ．1∶1∶1B ．9∶10∶11C ．10∶11∶12D ．11∶12∶13【解】 利用角平分线的性质定理可得△ABO ，△BOC ，△CAO 分别以AB ，BC ，AC 为底时，高线长相等，则它们的面积之比等于底之比．9．如图，BF 是∠ABD 的平分线，CE 是∠ACD 的平分线，BF 与CE 交于点G .若∠BDC ＝140°，∠BGC ＝110°，则∠A 的度数为(B )A. 70°B. 80°C. 50°D. 55° 【解】 连结B C.∵∠BDC ＝140°，∴∠DBC ＋∠DCB ＝40°. 又∵∠BGC ＝110°，∴∠GBC ＋∠GCB ＝70°. ∴∠GBD ＋∠GCD ＝30°. ∴∠ABD ＋∠ACD ＝60°.∴∠ABC ＋∠ACB ＝100°.∴∠A ＝80°.,(第9题)) ,(第10题))10．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的外角平分线，P 是AD 上异于A 的任意一点，设PB ＝m ，PC ＝n ，AB ＝c ，AC ＝b ，则m ＋n 与b ＋c 的大小关系是(A )A. m ＋n ＞b ＋cB. m ＋n ＜b ＋cC. m ＋n ＝b ＋cD. 无法确定(第10题解)【解】 如解图，在BA 的延长线上取一点E ，使AE ＝AC ，连结ED ，EP .∵AD 是∠BAC 的外角平分线， ∴∠CAD ＝∠EA D. 在△ACP 和△AEP 中，∵⎩⎨⎧AC ＝AE ，∠CAP ＝∠EAP ，AP ＝AP ，∴△ACP ≌△AEP (SAS )．∴PC ＝PE . 在△PBE 中，PB ＋PE ＞AB ＋AE ， 即PB ＋PC >AB ＋A C.∵PB ＝m ，PC ＝n ，AB ＝c ，AC ＝b ， ∴m ＋n ＞b ＋c .二、填空题(每小题3分，共30分)11．如图，已知△ABC 的周长为3 cm ，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，将△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点A ′处，且点A ′在△ABC 外部，则图中阴影部分图形的周长为__3__cm.,(第11题)) , (第12题))12．如图，在△ABC 中，AB >AC ，按以下步骤作图：分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N ；作直线MN 交AB 于点D ；连结C D.若AB ＝8，AC ＝4，则△ACD 的周长为12．13．已知三角形的三边长分别为3，5，x ，则化简式子|x －2|＋|x －9|＝__7__． 【解】 提示：2＜x ＜8.(第14题)14．如图，在△ABC 中，已知∠1＝∠2，BE ＝CD ，AB ＝5，AE ＝2，则CE ＝__3__． 【解】 在△ABE 和△ACD 中，∵⎩⎨⎧∠1＝∠2，∠A ＝∠A ，BE ＝CD ，∴△ABE ≌△ACD (AAS )． ∴AC ＝AB ＝5.∵AE ＝2，∴CE ＝3.15．如图，在4×5的网格中，每个小正方形的边长都为1，在图中找两个格点D 和E ，使∠ABE ＝∠ACD ＝90°，并使AC ＝DC ，AB ＝EB ，则四边形BCDE 的面积为__3__．,(第15题)),(第15题解))【解】 如解图，四边形BCDE 的面积为8－3－32－12＝3.(第16题)16．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△ABO ≌△ADO .有下列结论：①AC ⊥BD ；②CB ＝CD ；③△ABC ≌△ADC ；④AD ＝C D.其中正确结论的序号是①②③．【解】 ∵△ABO ≌△ADO ，∴∠AOB ＝∠AOD ，AB ＝AD ，∠BAO ＝∠DAO . ∵∠AOB ＋∠AOD ＝180°， ∴∠AOB ＝∠AOD ＝90°， ∴AC ⊥BD ，故①正确．在△ABC 和△ADC 中，∵⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC (SAS )， ∴CB ＝CD ，故②③正确．AD 与CD 不一定相等，故④错误． 综上所述，正确结论的序号是①②③.(第17题)17．如图，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的交点为G .若S △ABC ＝12，则图中阴影部分的面积是__4__．【解】 ∵△ABC 的三条中线AD ，BE ，CF 交于点G ， ∴S △ABD ＝S △ACD ，S △AFG ＝S △BFG ， S △AGE ＝S △CGE ，S △BDG ＝S △CDG ， ∴S △ABG ＝S △ACG .∴S △BFG ＝S △CGE .同理，S △BFG ＝S △BDG ，∴图中6个小三角形的面积都相等．∴S 阴影＝13S △ABC ＝4.18．如图，已知长方形纸片的一条边经过直角三角形纸片的直角顶点，若长方形纸片的一组对边与直角三角形的两条直角边相交成∠1，∠2，则∠2－∠1＝90°．(第18题)(第18题解)【解】 如解图．∵AB ∥DC ，∴∠2＝∠3.∵∠3＋∠4＝180°，∴∠2＝180°－∠4. 又∵∠1＋∠4＝90°，即∠1＝90°－∠4.∴∠2－∠1＝180°－∠4－(90°－∠4)＝90°.(第19题)19．如图，在△ABC 中，∠A ＝52°，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点D 1，∠ABD 1与∠ACD 1的平分线交于点D 2……依此类推，∠BD 5C 的度数是56°．【解】 ∵∠A ＝52°， ∴∠ABC ＋∠ACB ＝128°.∵BD 1，CD 1分别平分∠ABC 和∠ACB ，∴∠D 1BC ＋∠D 1CB ＝12(∠ABC ＋∠ACB )＝64°.∴∠D 1＝180°－64°＝116°.同理，∠D 2＝180°－64°－12×64°＝84°……∴∠D 5＝180°－64°－12×64°－⎝ ⎛⎭⎪⎫122×64°－⎝ ⎛⎭⎪⎫123×64°－⎝ ⎛⎭⎪⎫124×64°＝56°.20．如图，图①是一块边长为1，周长记为P 1的等边三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为12的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的等边三角形纸板(即边长为前一块被剪掉等边三角形纸板边长的12)后得到图③……记第n (n ≥3)块纸板的周长为P n ，则P n －P n－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1．(第20题)【解】 ∵P 1＝3，P 2＝212，P 3＝234，P 4＝278，∴P 4－P 3＝18＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124－1……故P n －P n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.三、解答题(共40分) 21．(6分)如图，△ABC ≌△A 1B 1C 1，AD ，A 1D 1分别是△ABC 和△A 1B 1C 1的角平分线．求证：AD ＝A 1D 1.(第21题)【解】 ∵△ABC ≌△A 1B 1C 1，∴AB ＝A 1B 1，∠B ＝∠B 1，∠BAC ＝∠B 1A 1C 1.∵AD ，A 1D 1分别是△ABC 和△A 1B 1C 1的角平分线，∴∠BAD ＝12∠BAC ，∠B 1A 1D 1＝12∠B 1A 1C 1.∴∠BAD ＝∠B 1A 1D 1. 在△ABD 与△A 1B 1D 1中，∵⎩⎨⎧∠BAD ＝∠B 1A 1D 1，AB ＝A 1B 1，∠B ＝∠B 1，∴△ABD ≌△A 1B 1D 1(ASA )． ∴AD ＝A 1D 1.(第22题)22．(6分)如图，在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 边上，且BE ＝BD ，连结AE ，DE ，C D.(1)求证：△ABE ≌△CB D.(2)若∠CAE ＝27°，∠ACB ＝45°，求∠BDC 的度数． 【解】 (1)∵∠ABC ＝90°， ∴∠CBD ＝90°＝∠AB C. 在△ABE 和△CBD 中，∵⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBD ，BE ＝BD ，∴△ABE ≌△CBD (SAS )． (2)∵△ABE ≌△CBD ， ∴∠AEB ＝∠CD B.∵∠AEB 为△AEC 的外角，∴∠AEB ＝∠CAE ＋∠ACB ＝27°＋45°＝72°， ∴∠BDC ＝72°.(第23题)23．(6分)如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的．若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，求∠α的度数．【解】∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，∴∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°.设BE与CD的交点为F.∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，∴△ABE≌△ABC≌△AD C.∴∠2＝∠ABE，∠3＝∠AC D.∴∠FBC＝2∠2＝2×25°＝50°，∠FCB＝2∠3＝2×15°＝30°.∵∠α是△FBC的一个外角，∴∠α＝∠FBC＋∠FCB＝50°＋30°＝80°.24．(6分)如图，已知BD，CE是△ABC的高线，点F在BD上，BF＝AC，点G在CE的延长线上，CG＝A B.求证：AG⊥AF.(第24题)【解】∵BD，CE是△ABC的高线，∴∠BEC＝∠CDB＝90°.∵∠EHB＝∠DHC，∴∠EBH＝∠DCH.又∵BF＝CA，AB＝GC，∴△ABF≌△GCA(SAS)．∴∠BAF＝∠G.∵∠AEG＝90°，∴∠G＋∠GAE＝90°，∴∠BAF＋∠GAE＝90°，即∠GAF＝90°，∴AG⊥AF.(第25题)25．(6分)如图，已知BE，CF分别是△ABC中AC，AB边上的高线，在BE的延长线上取点P，使PB＝AC，在CF的延长线上取点Q，使CQ＝A B.求证：AQ⊥AP.【解】∵BE，CF分别是△ABC中AC，AB边上的高线，∴∠AEB＝∠AFC＝90°，∴∠ABP＋∠EAF＝90°，∠ACQ＋∠EAF＝90°，∴∠ABP＝∠ACQ.在△ABP 和△QCA 中，∵⎩⎨⎧PB ＝AC ，∠ABP ＝∠QCA ，AB ＝QC ，∴△ABP ≌△QCA (SAS )． ∴∠APB ＝∠QA C.∴∠APB ＋∠PAE ＝∠QAC ＋∠PAE ， 即180°－∠AEP ＝∠PAQ . ∴∠PAQ ＝90°，即AQ ⊥AP .26．(10分)旧知新意：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？(1)尝试探究： 如图①，∠DBC 与∠ECB 分别为△ABC 的两个外角，试探究∠A 与∠DBC ＋∠ECB 之间的数量关系． (2)初步运用：如图②，在△ABC 纸片中剪去△CED ，得到四边形ABDE .若∠1＝130°，则∠2－∠C ＝50°．小明联想到了曾经解决的一个问题：如图③，在△ABC 中，BP ，CP 分别平分外角∠DBC ，∠ECB ，则∠P与∠A 有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案：∠P ＝90°－12∠A ．(3)拓展提升：如图④，在四边形ABCD 中，BP ，CP 分别平分外角∠EBC ，∠FCB ，则∠P 与∠A ，∠D 有何数量关系？(第26题)【解】 (1)∠DBC ＋∠ECB ＝(180°－∠ABC )＋(180°－∠ACB )＝360°－(∠ABC ＋∠ACB )＝360°－(180°－∠A )＝180°＋∠A.(2)∵∠1＋∠2＝180°＋∠C ， ∴130°＋∠2＝180°＋∠C ， ∴∠2－∠C ＝50°.∵∠DBC ＋∠ECB ＝180°＋∠A ，BP ，CP 分别平分外角∠DBC ，∠ECB ，∴∠PBC ＋∠PCB ＝12(∠DBC ＋∠ECB )＝12(180°＋∠A )，∴∠P ＝180°－(∠PBC ＋∠PCB )＝180°－12(180°＋∠A )＝90°－12∠A ，即∠P ＝90°－12∠A.(第26题解)(3)如解图，延长BA ，CD 相交于点Q ，则∠P ＝90°－12∠Q ，∴∠Q ＝180°－2∠P ，∴∠BAD ＋∠CDA ＝180°＋∠Q ＝180°＋180°－2∠P ＝360°－2∠P .。

第1章三角形的初步知识1．1认识三角形第1课时三角形的有关概念及三边关系01基础题知识点1三角形及相关概念1．(1)如图，点D在△ABC内，写出图中所有除△ABC外的三角形：△ABD，△ACD，△BCD；(2)在△ACD中，∠ACD所对的边是AD；在△ABD中，边AD所对的角是∠ABD．知识点2三角形内角和定理2．(温州校级期中)在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠C的度数是( B )A．40°B．60°C．80°D．100°3．如图，一个长方形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是( C )A．30°B．60°C．90°D．120°第3题图第4题图4．(南三县期末)一副三角板如图叠放在一起，则图中∠α的度数为( A )A．75°B．60°C．65°D．55°知识点3三角形按角的大小分类5．(诸暨期末)在△ABC中，若∠A＝35°，∠B＝55°，则△ABC为( C )A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．任意三角形6．如图，图中有6个三角形，其中，△ABC，△ACD是锐角三角形，△ACE，△ABE，△ADE是直角三角形，△ABD是钝角三角形．知识点4三角形的三边关系7．(萧山区四校联考)在下列长度的四根木棒中，能与4 cm、9 cm长的两根木棒钉成一个三角形的是( C ) A．4 cm B．5 cm C．9 cm D．13 cm8．(盐城中考)若a，b，c为△ABC的三边长，且满足|a－4|＋b－2＝0，则c的值可以为( A )A．5 B．6C．7 D．89．如图，从点A 到点D 有三条路线：A —B —D ，A —C —D ，A —D ，其中最短的路线是A －D ． 10．(1)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，那么BC 边的长度应满足什么条件？(2)如果一个三角形的两边长分别为5 cm ，7 cm ，第三边的长为x cm ，且x 是一个奇数，求三角形的周长； (3)如果三角形的三边为连续整数，且周长为24 cm ，求它的最短边长．解：(1)1<BC<7.(2)三角形的周长为15 cm 或17 cm 或19 cm 或21 cm 或23 cm . (3)它的最短边长为7 cm .02 中档题11．若a ，b ，c 是三角形的三边长，则化简：|a －b －c|＋|a ＋c －b|－|c －a －b|＝( B )A ．3a －b －cB ．－a －b ＋3cC ．a ＋b ＋cD ．a －3b ＋c12．(盐城中考)一个等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若∠1＝60°，则∠2的度数为( B )A ．85°B ．75°C ．60°D ．45°13．(义乌模拟)如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框(形状不限)，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为3、4、5、7，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为( D )A ．6B ．7C ．8D ．9第13题图 第14题图14．(温州八中期中)如图，△ABC 中，∠DBC ＝13∠ABC ，∠DCB ＝13∠ACB ，∠A ＝45°，则∠BDC ＝135°．15．在农村电网改造中，四个自然村分别位于如图所示的A ，B ，C ，D 处，现计划安装一台变压器，使到四个自然村的输电线路的总长最短，那么这个变压器安装在AC ，BD 的交点E 处，你知道为什么吗？解：另任取一点E′(异于点E)，分别连结AE′，BE ′，CE ′，DE ′，在△BDE′中，DE′＋BE′>DB.在△ACE′中，AE′＋CE′>AC.∴AE′＋BE′＋CE′＋DE′>AC＋BD，即AE＋BE＋CE＋DE最短．16．(杭州期中改编)若三角形的周长为18，且三边都是整数，则满足条件的三角形有多少个？分别写出三角形的三边长．解：满足条件的三角形共有7个．三边长分别是8，8，2；8，7，3；8，6，4；8，5，5；7，7，4；7，6，5；6，6，6.03综合题17．观察并探求下列各问题：(1)如图1，在△ABC中，点P为边BC上一点，则BP＋PC<AB＋AC(填“>”“<”或“＝”)；(2)将(1)中的点P移到△ABC内，得图2，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由；(3)将(2)中的点P变为两个点P1，P2，得图3，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．解：(2)△BPC的周长<△ABC的周长．理由如下：延长BP交AC于点M.在△ABM中，BP＋PM<AB＋AM，在△PMC中，PC<PM＋MC，两式相加，得BP＋PC<AB＋AC，∴BP＋PC＋BC<AB＋AC＋BC，即△BPC的周长<△ABC的周长．(3)四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长，理由如下：分别延长BP1，CP2交于点M.由(2)知，BM＋CM<AB＋AC.又∵P1P2<P1M＋P2M，∴BP1＋P1P2＋P2C<BM＋CM<AB＋AC.∴BP1＋P1P2＋P2C＋BC<AB＋AC＋BC，即四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长．第2课时三角形的重要线段01基础题知识点1三角形的角平分线1．在△ABC中，∠B＝60°，AD是△ABC的角平分线，∠DAC＝31°，则∠C的度数为( D ) A．62°B．60°C．92°D．58°2．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论正确的个数为( B )①AD平分∠BAF；②AF平分∠DAC；③AE平分∠DAF；④AE平分∠BAC.A．1 B．2 C．3 D．4第2题图第3题图3．(邵阳中考)如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是( C )A．45°B．54°C．40°D．50°知识点2三角形的中线4．如图所示，点D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，则下列说法不正确的是( C )A．DE是△BCD的中线B．BD是△ABC的中线C．AD＝DC，BD＝ECD．在△CDE中，∠C的对边是DE5．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线．(1)若BC＝6 cm，则CD＝3cm；(2)若CD＝a cm，则BC＝2a cm；(3)若S△ABD＝8 cm2，则S△ACD＝8cm2.第5题图第6题图6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，已知AB＝7 cm，AC＝5 cm，则△ABD和△ACD的周长差为2cm.知识点3三角形的高线7．(杭州上城区期中)下列各图中，正确画出AC边上的高的是( D )8．如图，△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，图中线段可以作为△ABC的高的有( B )A．2条B．3条C．4条D．5条第8题图第9题图9．(嘉兴桐乡实验中学期中)如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝110°，AD是BC边上高线，AE平分∠BAC，则∠DAE的度数为40°．10．(温州新城学校初中部月考)如图，在△ABC中，高BD，CE相交于点H，若∠BHC＝110°，则∠A等于70°．02中档题11．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，把△ABC沿直线AC翻折180°，使点B 落在点B′的位置，则线段AC具有性质( D )A．是∠BAB′的平分线B．是边BB′上的高C．是边BB′上的中线D．以上三种线重合第11题图第12题图12．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，则∠ADB的度数为( D ) A．40°B．60°C．80°D．100°13．(绵阳中考)如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE、CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC ＝(C)A．118°B．119°C．120°D．121°第13题图第14题图14．(温州永嘉县岩头中学期中)如图，在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝8 cm2，则阴影部分△AEF的面积为1cm2.15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD将△ABC的周长分成为12 cm和15 cm两部分，求三角形的底边BC的长．解：①当AB ＋AD ＝15 cm 时， ∵D 是AC 的中点， ∴AD ＝12AC ＝12AB .∴AB ＋AD ＝AB ＋12AB ＝15，解得AB ＝10 cm.∴AC ＝10 cm.∴BC ＝15＋12－10×2＝7(cm)．此时能构成三角形，且底边长为7 cm ； ②当AB ＋AD ＝12 cm 时，∴AB ＋AD ＝AB ＋12AB ＝12，解得AB ＝8 cm.∴AC ＝8 cm.∴BC ＝15＋12－8×2＝11(cm)．此时能构成三角形，且底边长为11 cm. 综上，底边BC 的长为7 cm 或11 cm.16．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点P 是BC 边上任意一点，PF ⊥AB 于点F ，PE ⊥AC 于点E ，BD 为△ABC 的高线，BD ＝8，求PF ＋PE 的值．解：连结PA.∵S △ABC ＝S △APB ＋S △APC ， ∴12AC·BD ＝12AB·PF ＋12AC·PE. ∵AB ＝AC ， ∴BD ＝PF ＋PE. ∴PF ＋PE ＝8.03 综合题17．(嵊州校级期中)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC. (1)若∠BAC ＝80°，∠C ＝30°，求∠DAE 的度数； (2)若∠B ＝80°，∠C ＝40°，求∠DAE 的度数；(3)探究：小明认为如果只知道∠B －∠C ＝40°，也能得出∠DAE 的度数？你认为可以吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．解：(1)∵∠BAC ＝80°，∠C ＝30°，∴∠B ＝70°. ∵AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＝20°. ∵AE 平分∠BAC ， ∴∠BAE ＝12∠BAC ＝40°.∴∠DAE ＝∠BAE －∠BAD ＝40°－20°＝20°. (2)∵∠B ＝80°，AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＝10°. ∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝12∠BAC ＝12(180°－∠B －∠C)＝12×60°＝30°.∴∠DAE ＝∠BAE －∠BAD ＝30°－10°＝20°. (3)能求得∠DAE ＝12(∠B －∠C)＝20°.理由：∵AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＝90°－∠B. ∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝12∠BAC ＝12(180°－∠B －∠C)．∴∠DAE ＝∠BAE －∠BAD ＝12(180°－∠B －∠C)－(90°－∠B)＝12(∠B －∠C)＝20°.1.2定义与命题第1课时定义与命题01基础题知识点1定义1．下列语句中，属于定义的是( C )A．两点之间线段最短B．三人行，必有我师焉C．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线D．两条直线相交，只有一个交点2．下列语句中，属于定义的是( D )A．两点确定一条直线B．同角或等角的余角相等C．两直线平行，内错角相等D．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度3．下列语句中，属于定义的有( B )①含有未知数的等式称为方程；②三角形内角和等于180°；③等式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2称为两数和的完全平方公式；④如果a，b为实数，那么(a－b)2＝a2－2ab＋b2.A．1个B．2个C．3个D．4个知识点2命题4．(杭州萧山区期中)下列语句是命题的是( C )A．作直线AB的垂线B．在线段AB上取点CC．同旁内角互补D．垂线段最短吗？5．下列语句中，不是命题的是( A )A．延长线段ABB．自然数也是整数C．两个锐角的和一定是直角D．同角的余角相等6．下列语句中，是命题的是( C )①钝角大于90°；②两点之间，线段最短；③明天可能要下雪；④同旁内角不互补，两直线不平行；⑤作∠ACB 的角平分线．A．①②③B．①②⑤C．①②③④D．①②④7．下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题？(1)若a<b，则－b<－a；(2)三角形的三条高交于一点；(3)在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B吗？(4)两点之间线段最短；(5)解方程x2－2x－3＝0；(6)1＋2≠3.解：(1)(2)(4)(6)是命题，(3)(5)不是命题．知识点3命题的条件和结论8．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是( D )A．垂直B．两条直线C．同一条直线D．两条直线垂直于同一条直线9．写出下列命题的条件和结论．(1)如果a2＝b2，那么a＝b；(2)同角或等角的补角相等；(3)同旁内角互补，两直线平行．解：(1)条件：a2＝b2；结论：a＝b.(2)条件：两个角是同角或等角的补角；结论：这两个角相等．(3)条件：同旁内角互补；结论：两直线平行．10．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式．(1)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；(2)绝对值相等的两个数一定相等；(3)每一个有理数都对应数轴上的一个点．解：(1)在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行．(2)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数一定也相等．(3)如果一个数是有理数，那么这个数一定对应着数轴上的一个点．02中档题11．下列语句中，是命题的是( A )①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2；②对顶角相等吗？③画线段AB＝CD；④如果a>b，b>c，那么a>c；⑤直角都相等．A．①④⑤B．①②④C．①②⑤D．②③④12．“所谓按行排序就是根据一行或几行中的数据值对数据清单进行排序，排序时Excel将按指定行的值和指定的‘升序’或‘降序’排列次序重新设定行．”这段话是对名称按行排列进行定义．13．指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：(1)对顶角相等；(2)同角的余角相等；(3)三角形的内角和等于180°；(4)角平分线上的点到角的两边距离相等．解：(1)条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”．可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．(2)条件是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”．可以改写成“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”．(3)条件是“三个角是一个三角形的三个内角”，结论是“这三个角的和等于180°”．可以改写成“如果三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180°”．(4)条件是“一个点在一个角的平分线上”，结论是“这个点到这个角的两边距离相等”．可以改写成“如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等”．14．用语言叙述这个命题：如图，AB∥CD，EF交AB于点G，交CD于点H，GM平分∠BGH，HM平分∠GHD，则GM⊥HM.解：两条平行线间的同旁内角的角平分线互相垂直．15．观察下列给出的方程，找出它们的共同特征，试给出名称，并作出定义．x3＋x2－3x＋4＝0；x3＋x－1＝0；x3－2x2＋3＝x；y3＋2y2－5y－1＝0.解：共同特征：都是整式方程，均含有一个未知数，未知数的最高次数均为3；名称：一元三次方程；定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数为3的整式方程是一元三次方程．第2课时真假命题及定理01基础题知识点1真命题和假命题1．下列命题中的真命题是( C )A．锐角大于它的余角B．锐角大于它的补角C．钝角大于它的补角D．锐角与钝角之和等于平角2．在同一平面内，下列命题中，属于假命题的是( A )A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥cB．若a∥b，b∥c，则a∥cC．若a⊥c，b⊥c，则a∥bD．若a⊥c，b∥a，则b⊥c3．下面给出的四个命题中，假命题是( D )A．如果a＝3，那么|a|＝3B．如果x2＝4，那么x＝±2C．如果(a－1)(a＋2)＝0，那么a－1＝0或a＋2＝0D．如果(a－1)2＋(b＋2)2＝0，那么a＝1或b＝－24．已知四个命题：①若一个数的相反数等于它本身，则这个数是0；②若一个数的倒数等于它本身，则这个数是1；③若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是1；④若一个数的绝对值等于它本身，则这个数是正数．其中真命题有( A )A．1个B．2个C．3个D．4个5．请在横线上填上适当的词，使所得到的命题是假命题：相等的角是答案不唯一，如：对顶角(或直角或平角等)．知识点2举反例6．(嵊州期末)对于命题“如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是( C ) A．∠1＝50°，∠2＝40°B．∠1＝50°，∠2＝50°C．∠1＝∠2＝45°D．∠1＝40°，∠2＝40°7．(杭州萧山区戴村期中)已知命题A：任何偶数都是8的整数倍．在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是( D )A．2k B．15C．24 D．428．(温州新城学校初中部月考)可以用来证明命题“如果a，b是有理数，那么|a＋b|＝|a|＋|b|”是假命题的反例可以是a＝－1，b＝3(答案不唯一)．知识点3基本事实和定理9．下列不是基本事实的是( C )A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行10．下列说法中，正确的是( B )A．定理是假命题B．基本事实不需要证明C．定理不一定都要证明D．所有的命题都是定理11．“定义、定理、基本事实、命题、真命题、假命题”它们之间的关系恰好可以用下图表示，请指出A，B，C，D，E，F分别与它们中的哪一个对应．解：A表示命题，B表示假命题，C表示真命题，D，E，F分别表示定义、定理、基本事实中任意一个．02中档题12．下列命题中，是假命题的是( C )A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行B．对顶角相等C．互补的角是邻补角D．邻补角是互补的角13．对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥c；④a∥c；⑤b⊥c，以其中的两个论断为条件，一个论断为结论，写出一个真命题．解：答案不唯一，如：如果a∥b，b∥c，那么a∥c.14．(杭州萧山区四校联考期中)请判断下列命题的真假性，若是假命题，请举反例说明．(1)若a＞b，则a2＞b2；(2)两个无理数的和仍是无理数；(3)若三条线段a，b，c满足a＋b＞c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形．解：(1)是假命题，例如：0＞－1，但02＜(－1)2.(2)是假命题，例如：－2和2是无理数，但－2＋2＝0，和是有理数．(3)是假命题，例如：三条线段a＝3，b＝2，c＝1满足a＋b＞c，但这三条线段不能够组成三角形．15．如图，已知∠ACE＝∠AEC，CE平分∠ACD，则AB∥CD，用推理的方法说明它是一个真命题．解：∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠ECD.∵∠ACE＝∠AEC，∴∠ECD＝∠AEC.∴AB∥CD.∴它是一个真命题．16．如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两条边，且∠ABC＝45°.图1图2(1)图1中∠DEF＝45°，图2中∠DEF＝135°；(2)请观察图1、图2中∠DEF分别与∠ABC有怎样的关系，请你归纳出一个命题．解：图1中∠DEF＝∠ABC，图2中∠DEF＋∠ABC＝180°.命题：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．1.3证明第1课时证明的含义及表述格式01基础题知识点1证明的定义1．下列能作为证明依据的是( D )A．已知条件B．定义和基本事实C．定理和推论D．以上三项都可以2．通过观察你能肯定的是( C )A．图形中线段是否相等B．图形中线段是否平行C．图形中线段是否相交D．图形中线段是否垂直知识点2证明过程的书写3．如图，直线a∥b，直线c与a，b都相交，∠1＝55°，则∠2＝( A )A．55°B．35°C．125°D．65°第3题图第4题图4．如图，下面推理正确的是( B )A．∵∠1＝∠2，∴AB∥CDB．∵∠1＋∠2＝180°，∴AB∥CDC．∵∠3＝∠4，∴AB∥CDD．∵∠1＋∠4＝180°，∴AB∥CD5．如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝20°，∠COD＝100°，则∠C的度数是( C ) A．80°B．70°C．60°D．50°第5题图第6题图6．(海宁新仓中学期中)如图，FE∥ON，OE平分∠MON，∠FEO＝28°，则∠MFE＝56度．7．如图所示，已知∠1＝∠2＝∠3＝60°，则∠4＝120°．第7题图第8题图8．如图所示，点B，C，D在同一条直线上，CE∥AB，∠ACB＝90°，如果∠ECD＝36°，那么∠A＝54°．9．已知：如图，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，交AB于点G，交CA延长线于点E，∠1＝∠2.求证：AD平分∠BAC.填写分析和证明中的空白．分析：要证明AD平分∠BAC，只要证明∠BAD＝∠CAD，而已知∠1＝∠2，所以应联想这两个角分别和∠1、∠2的关系，由已知BC的两条垂线可推出AD∥EF，这时再观察这两对角的关系已不难得到结论．证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，∴AD∥EF(在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行)．∴∠BAD＝∠1(两直线平行，内错角相等)，∠CAD＝∠2(两直线平行，同位角相等)．∵∠1＝∠2(已知)，∴∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC(角平分线的定义)．10．如图，已知AB∥CD，∠B＝40°，∠D＝40°，求证：BC∥DE.证明：∵AB∥CD，∴∠C＝∠B＝40°.∵∠D＝40°，∴∠C＝∠D.∴BC∥DE.02中档题11．如图所示，已知直线a∥b，∠1＝40°，∠2＝60°，则∠3等于( A )A．100°B．60°C．40°D．20°第11题图第12题图12．将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，那么AC∥DE；③如果∠2＝30°，那么BC∥AD；④如果∠2＝30°，那么∠4＝∠C.其中正确的有( B )A．①②③B．①②④C．③④D．①②③④13．已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，求证：∠BDC＋∠DGF＝180°.证明：∵∠1＝∠ACB(已知)，∴DE∥BC(同位角相等，两直线平行)．∴∠2＝∠DCF(两直线平行，内错角相等)．∵∠2＝∠3(已知)，∴∠3＝∠DCF(等量代换)．∴CD ∥FG(同位角相等，两直线平行)．∴∠BDC ＋∠DGF ＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．14．如图，已知BE ∥CF ，BE ，CF 分别平分∠ABC ，∠BCD.求证：AB ∥CD.证明：∵BE ，CF 分别平分∠ABC ，∠BCD(已知)， ∴∠1＝12∠ABC ，∠2＝12∠BCD(角平分线的定义)．∵BE ∥CF(已知)，∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等)． ∴12∠ABC ＝12∠BCD ， 即∠ABC ＝∠BCD.∴AB ∥CD(内错角相等，两直线平行)．03 综合题15．阅读：如图1，∵CE ∥AB ，∴∠1＝∠A ，∠2＝∠B.∴∠ACD ＝∠1＋∠2＝∠A ＋∠B.这是一个有用的事实，请用这个事实，在图2中的四边形ABCD 内引一条和边平行的直线，求出∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D 的度数．解：过点D 作DE ∥AB 交BC 于点E. 则∠DEB ＝∠C ＋∠EDC. ∵DE ∥AB ，∴∠A ＋∠ADE ＝180°，∠B ＋∠DEB ＝180°.∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠ADC ＝∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠EDC ＋∠ADE ＝∠A ＋∠ADE ＋∠B ＋∠DEB ＝360°.第2课时 三角形内角和定理的推论01 基础题知识点1 几何命题的证明1．证明命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”是真命题．解：已知：如图，AB ∥CD ，EF ⊥AB 于M ，交CD 于点N. 求证：EF ⊥CD. 证明：∵AB ∥CD ， ∴∠AMN ＋∠CNM ＝180°. ∵EF ⊥AB ，∴∠AMN ＝90°. ∴∠CNM ＝90°. ∴EF ⊥CD.2．证明命题“两条平行线被第三条直线所截，得到的一组同旁内角的角平分线互相垂直”是真命题 .解：已知：如图，AB ∥CD ，EF 交AB 于点G ，交CD 于点H ，GM 平分∠BGH ，HM 平分∠DHG. 求证：GM ⊥HM. 证明：∵AB ∥CD ，∴∠BGH ＋∠DHG ＝180°.∵GM 平分∠BGH ，HM 平分∠DHG ， ∴∠MGH ＝12∠BGH ，∠GHM ＝12∠DHG.∴∠MGH ＋∠GHM ＝12(∠BGH ＋∠DHG)＝12×180°＝90°.∴∠M ＝180°－∠MGH －∠GHM ＝180°－90°＝90°.∴GM ⊥HM.知识点2 三角形内角和定理的推论3．(甘孜中考)如图，在△ABC 中，∠B ＝40°，∠C ＝30°，延长BA 至点D ，则∠CAD 的大小为( C )A ．110°B ．80°C ．70°D ．60°第3题图 第4题图4．(金华六校联考)如图，AD 是∠CAE 的平分线，∠B ＝30°，∠DAE ＝65°，那么∠ACD 等于( B )A ．60°B ．80°C ．65°或80°D ．100°5．(嵊州校级期中)如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C ＝90°，∠B ＝45°，∠E ＝30°，则∠BFD 的度数是( A )A ．15°B ．25°C．30°D．10°第5题图第6题图6．(嘉兴桐乡实验中学期中)如图所示，∠A，∠1，∠2的大小关系是( B )A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠AC．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠17．(丽水中考)如图，在△ABC中，∠A＝63°，直线MN∥BC，且分别与AB，AC相交于点D，E，若∠AEN＝133°，则∠B的度数为70°．8．(嵊州期末)如图，在△ABC中，E点是AB上的一点，DE⊥AB交AC的延长线于D点，已知∠B＝28°，∠D ＝46°，求∠BCD的度数．解：∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°.∵∠D＝46°，∴∠A＝44°.∴∠BCD＝∠A＋∠B＝44°＋28°＝72°.9．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是∠ABC的平分线，∠BDC＝87°，求∠A的度数．解：∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABC＝2∠CBD＝2∠ABD.∵∠CBD＋∠C＋∠BDC＝180°，∠ABC＝∠C，∴3∠ABD＋87°＝180°.∴∠ABD＝31°.∵∠CDB＝∠A＋∠ABD，∴∠A＝87°－31°＝56°.02中档题10．(恩施中考)如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD的值为( B ) A．20°B．30°C．40°D．70°第10题图 第11题图11．如图，∠1、∠2、∠3分别是△ABC 的3个外角，则∠1＋∠2＋∠3＝360°．12．如图所示，△ABC 中，点D ，E 分别是AC ，BD 上的点，且∠A ＝65°，∠ABD ＝∠DCE ＝30°，则∠BEC 的度数是125°．第12题图 第13题图13．如图所示，已知∠BDC ＝142°，∠B ＝34°，∠C ＝28°，则∠A ＝80°．14．(温州校级期中)如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是2∠A ＝∠1＋∠2．15．如图，在△ABC 中，∠ADB ＝100°，∠C ＝80°，∠BAD ＝12∠DAC ，BE 平分∠ABC ，求∠BED 的度数．解：∵∠ADB ＝100°，∠C ＝80°，∴∠DAC ＝∠ADB －∠C ＝100°－80°＝20°. ∵∠BAD ＝12∠DAC ，∴∠BAD ＝12×20°＝10°.在△ABD 中，∠ABC ＝180°－∠ADB －∠BAD ＝180°－100°－10°＝70°， ∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝12∠ABC ＝12×70°＝35°.∴∠BED ＝∠BAD ＋∠ABE ＝10°＋35°＝45°.16．(温州新城学校初中部月考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BE 平分∠ABC ，AF 平分外角∠BAD ，BE 与FA 交于点E ，求∠E 的度数．解：设∠ABC ＝x °，∵∠BAD 是△ABC 的外角，∠C ＝90°，∴∠BAD ＝∠ABC ＋∠C ＝90°＋x °. ∵AF 平分外角∠BAD ，∴∠BAF ＝12∠BAD ＝12(90°＋x °)．∵BE 平分∠ABC ， ∴∠ABE ＝12∠ABC ＝12x °.∴∠E ＝∠BAF －∠ABE ＝12(90°＋x °)－12x°＝45°.03 综合题17．图中的两个图形是五角星和它的变形．(1)如图1是一个五角星，求证：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝180°；(2)图1中的点A 向下移到BE 上时(如图2)，五个角的和(即∠CAD ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E)有无变化？证明你的结论．解：(1)证明：∵∠1＝∠C ＋∠E ，∠2＝∠B ＋∠D ， ∠1＋∠2＋∠A ＝180°，∴∠C ＋∠E ＋∠B ＋∠D ＋∠A ＝180°.(2)无变化．∵∠1＝∠C ＋∠E ，∠2＝∠B ＋∠D ，∠1＋∠3＋∠2＝180°， ∴∠C ＋∠E ＋∠B ＋∠D ＋∠CAD ＝180°.1.4全等三角形01基础题知识点1全等图形及全等三角形1．在下列各组图形中，是全等的图形是( C )2．如图，把△ACB沿着AB翻转，点C与点D重合，请用符号表示图中所有的全等三角形．解：△ACE≌△ADE；△BCE≌△BDE；△ABC≌△ABD.知识点2全等三角形的对应元素3．如图所示，图中的两个三角形能完全重合，下列写法正确的是( B )A．△ABE≌△AFBB．△ABE≌△ABFC．△ABE≌△FBAD．△ABE≌△FAB4．已知：如图，△ABD与△CDB全等，∠ABD＝∠CDB，写出其余的对应角和各对对应边．解：∠A与∠C，∠ADB与∠CBD是对应角；BD与DB，AD与CB，AB与CD是对应边．知识点3全等三角形的性质5．如图所示，△ABC≌△CDA，并且AB＝CD，那么下列结论错误的是( D )A．∠1＝∠2B．CA＝ACC．∠D＝∠BD．AB＝BC6．已知△ABC≌△A′B′C′，若∠A＝50°，∠B′＝80°，则∠C的度数是( C ) A．30°B．40°C．50°D．607．如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x＝20．8．如图，已知△AOC≌△BOD.求证：AC∥BD.证明：∵△AOC≌△BOD，∴∠A＝∠B.∴AC∥BD.9．如图，△ABD≌△EBC，AB＝3 cm，BC＝4.5 cm，点A，B，C在一条直线上．(1)求DE的长；(2)判断AC与BD的位置关系，并说明理由．解：(1)∵△ABD≌△EBC，∴AB＝EB，BD＝BC.∴DE＝BD－BE＝4.5－3＝1.5(cm)．(2)AC⊥BD.理由：∵△ABD≌△EBC，∴∠ABD＝∠EBC.又∵∠ABD＋∠EBC＝180°，∴∠EBC＝90°.∴AC⊥BD.02中档题10．如图，△ABC≌△AED，那么图中相等的角有( C )A．3对B．4对C．5对D．6对第10题图第11题图11．如图，已知△ABC≌△DEF，DF∥BC，且∠B＝60°，∠F＝40°，点A在DE上，则∠BAD的度数为( B ) A．15°B．20°C．25°D．30°12．如图，已知△ACF≌△DBE，∠A＝∠D，∠E＝∠F，AD＝11 cm，BC＝7 cm，则AB的长为2cm.第12题图第13题图13．如图，在△ABC中，∠B＝25°，现将△ABC绕其顶点C顺时针旋转30°后，得△EDC，则∠BFD的度数为55°．14．如图，将长方形纸片ABCD(AD>AB)沿AM折叠，使点D落在BC上(与点N重合)，如果AD＝18.4 cm，∠DAM ＝40°，求AN的长和∠NAB的度数．解：∵沿AM折叠后，点D与点N重合，∴△ADM≌△ANM.∴AN＝AD＝18.4 cm，∠MAN＝∠MAD＝40°.∵四边形ABCD是长方形，∴∠DAB＝90°.∴∠NAB＝∠BAD－∠MAN－∠MAD＝10°.15．(温州新城学校初中部月考)如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD＝35°，∠B＝∠D＝20°，∠EAB＝105°，求∠BFD和∠BED的度数．解：∵△ABC≌△ADE，∴∠CAB＝∠EAD.又∵∠CAD＝35°，∠EAB＝105°，∠EAD＋∠DAC＋∠CAB＝∠EAB＝105°，∴∠EAD＝∠DAC＝∠CAB＝35°.∴∠DFB＝∠DAB＋∠B＝70°＋20°＝90°，∠BED＝∠BFD－∠D＝90°－20°＝70°.03综合题16．已知，如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE.(1)试说明BD＝DE＋CE；(2)△ABD满足什么条件时，BD∥CE?解：(1)∵△BAD≌△ACE，∴BD＝AE，AD＝CE.∵AE＝AD＋DE，∴AE＝CE＋DE.∴BD＝CE＋DE.(2)△ABD满足∠ADB＝90°时，BD∥CE，理由如下：∵∠ADB＝90°，∴∠BDE＝180°－90°＝90°.又∵△BAD≌△ACE，∴∠CEA＝∠ADB＝90°.∴∠CEA＝∠BDE.∴BD∥CE.微课堂1．5 三角形全等的判定第1课时 三角形全等的判定(SSS )01 基础题 知识点1 利用“SSS ”证明三角形全等1．如图，下列三角形中，与△ABC 全等的是 ( C )A ．①B ．②C ．③D ．④2．如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，BE ＝CE ，则由“SSS ”可以判定 ( C )A ．△ABD ≌△ACDB ．△BDE ≌△CDEC ．△ABE ≌△ACED ．以上都不对第2题图 第3题图3．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB ＝AD ，BC ＝DC.将仪器上的点A 与∠PRQ 的顶点R 重合，调整AB 和AD ，使它们分别落在角的两边上，过点A ，C 画一条射线AE ，AE 就是∠PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC ≌△ADC ，则说明这两个三角形全等的依据是SSS ． 4．如图，点C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE.求证：△ACD ≌△CBE.证明：∵点C 是AB 的中点， ∴AC ＝CB.在△ACD 和△CBE 中，⎩⎨⎧AD ＝CE ，CD ＝BE ，AC ＝CB ，∴△ACD ≌△CBE(SSS )．知识点2 “SSS ”与全等三角形性质的综合运用5．如图所示，在△ABC 中，AD ＝ED ，AB ＝EB ，∠A ＝80°，则∠BED ＝80°． 6．(海宁新仓中学期中)如图，AF ＝DB ，BC ＝EF ，AC ＝ED ，求证：CB ∥EF.证明：∵AF ＝DB ， ∴AF ＋FB ＝DB ＋FB ， 即AB ＝DF.在△ACB 和△DEF 中，⎩⎨⎧AB ＝DF ，AC ＝DE ，BC ＝FE ，∴△ACB ≌△DEF(SSS )． ∴∠ABC ＝∠DFE. ∴CB ∥EF.知识点3 三角形的稳定性7．如图所示，不具有稳定性的是( B )8．下列生产和生活：①用人字架来建筑房屋；②用窗钩来固定窗扇；③在栅栏门上斜钉着一根木条；④商店的推拉活动防盗门等．其中，用到三角形的稳定性的有( C )A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种知识点4 用尺规作已知角的平分线9．已知∠α(如图)，用直尺和圆规作∠α的平分线．解：如图所示．02 中档题10．如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，BE ＝CD ，∠2＝110°，∠BAE ＝60°，下列结论错误的是( C )A ．△ABE ≌△ACDB ．△ABD ≌△ACEC ．∠ACE ＝30°D ．∠1＝70°第10题图 第11题图11．(临海期末)王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？( B )A ．0根B ．1根C ．2根D ．3根 12．如图所示，△ABC 是不等边三角形，DE ＝BC ，以D 、E 为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC 全等，这样的三角形最多可以画出( B )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个 13．在学习了利用尺规作一个角的平分线后，爱钻研的小燕子发现，只用一把刻度尺也可以作出一个角的平分线．她是这样作的(如图)：(1)分别在∠AOB 的两边OA ，OB 上各取一点C ，D ，使得OC ＝OD ；(2)连结CD ，并量出CD 的长度，取CD 的中点E ；(3)过O ，E 两点作射线．则OE 就是∠AOB 的平分线．请你说出小燕子这样作的理由．解：在△OCE 和△ODE 中，∵OC ＝OD ，CE ＝DE ，OE ＝OE ，∴△OCE ≌△ODE(SSS )．∴∠COE ＝∠DOE(全等三角形的对应角相等)． ∴OE 就是∠AOB 的平分线． 故小燕子这样作是正确的．14．如图，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，求证：∠3＝∠1＋∠2.证明：在△ABD 和△ACE 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，∴△ABD ≌△ACE(SSS )．∴∠BAD ＝∠1，∠ABD ＝∠2. ∵∠3＝∠BAD ＋∠ABD ，∴∠3＝∠1＋∠2.15．如图，C ，F 是线段BE 上的两点，△ABF ≌△DEC ，且AC ＝DF.(1)你在图中还能找到几对全等的三角形？并说明理由； (2)∠ACE ＝∠BFD 吗？试说明你的理由．解：(1)还能找到2对全等三角形，分别是△ACF≌△DFC，△ABC≌△DEF.理由如下：∵△ABF≌△DEC，∴AB＝DE，BF＝EC，AF＝DC(全等三角形的对应边相等)．∴BF＋FC＝EC＋FC，即BC＝EF.在△ACF和△DFC中，∵AC＝DF，AF＝DC，FC＝CF(公共边)，∴△ACF≌△DFC(SSS)．在△ABC和△DEF中，∵AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF(SSS)．(2)∠ACE＝∠BFD.理由如下：∵△ABC≌△DEF，∴∠ACB＝∠DFE(全等三角形的对应角相等)．∵∠ACB＋∠ACE＝180°，∠DFE＋∠BFD＝180°，∴∠ACE＝∠BFD(等角的补角相等)．03综合题16．如图，已知AD＝BC，AC＝BD.求证：∠DAO＝∠CBO.证明：连结AB，在△ABD和△BAC中，∵AD＝BC，BD＝AC，AB＝BA，∴△ABD≌△BAC(SSS)．∴∠ABD＝∠BAC，∠BAD＝∠ABC.∴∠BAD－∠BAC＝∠ABC－∠ABD，即∠DAO＝∠CBO.微课堂第2课时三角形全等的判定(SAS)01基础题知识点1利用“SAS”证明三角形全等1．下图中的两个三角形全等的是( C )A．③④B．②③C．①②D．①④2．(温州八中期中)如图，AB＝DB，BC＝BE，欲证△ABE≌△DBC，则需补充的条件是( D )A．∠A＝∠DB．∠E＝∠CC．∠A＝∠CD．∠1＝∠2知识点2“SAS”与全等三角形性质的综合运用3．如图所示，在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，BD＝CF，BE＝CD，则∠EDF的度数是( A )A．50°B．80°C．40°D．30°4．(嵊州期末)如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC＝EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC＝DF.求证：(1)△ABC≌△DEF；(2)AB∥DE.证明：(1)∵AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，∴∠ACB＝∠DFE＝90°.在△ABC和△DEF中，⎩⎨⎧BC ＝EF ，∠ACB ＝∠DFE ，AC ＝DF ，∴△ABC ≌△DEF(SAS )． (2)∵△ABC ≌△DEF ，∴∠B ＝∠DEF. ∴AB ∥DE.知识点3 线段垂直平分线的性质定理5．如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段PA ＝5，则线段PB 的长度为 ( B )A ．6B ．5C ．4D ．3第5题图 第6题图6．如图，在△ABC 中，边AB ，AC 的垂直平分线相交于点P ，则PB 与PC 的关系是( B )A ．PB>PCB ．PB ＝PC C ．PB<PCD ．PB ≠PC知识点4 利用“SAS ”判定三角形全等解决实际问题7．(金华四中期末)如图，为了测量一池塘的宽AB ，在岸边找到一点C ，连结AC ，在AC 的延长线上找一点D ，使得DC ＝AC ，连结BC ，在BC 的延长线上找一点E ，使得EC ＝BC ，测出DE ＝60米，试问池塘的宽AB 为多少？请说明理由．解：AB ＝60米．理由如下： 在△ABC 和△DEC 中，⎩⎨⎧AC ＝DC ，∠ACB ＝∠DCE ，BC ＝EC ，∴△ABC ≌△DEC(SAS )． ∴AB ＝DE ＝60米．则池塘的宽AB 为60米．02 中档题8．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ，连结AC ，BD 交于点O ，则图中的全等三角形共有( C )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对。

浙教版初中数学八年级上册第一章基础练习一、单选题1．如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（ ）A．AC=BD B．∠CAB=∠DBA C．∠C=∠D D．BC=AD2．如图，E，B，F，C四点在一条直线上，EB=CF，∠A=∠D，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF 的是（ ）A．AB=DE B．DF∥AC C．∠E=∠ABC D．AB∥DE3．若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是（ ）A．14B．10C．3D．24．一把含45°角的三角尺和一把直尺按如图所示的方式摆放，若∠1=20°，则∠2的度数为（ ）A．15°B．20°C．25°D．40°5．如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（ ）A．∠B=∠E，BC=EF B．BC=EF，AC=DFC．∠A=∠D，∠B=∠E D．∠A=∠D，BC=EF6．如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法：①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA、OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于1DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C；2③作射线OC，则射线OC就是∠AOB的平分线．以上用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是（ ）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS7．如图，已知△ABC，AB<BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA＋PC＝BC，则下列选项中，正确的是（ ）A．B．C．D．8．下列命题中，是假命题的是（ ）A．相等的角是对顶角B．垂线段最短C．两直线平行，同旁内角互补D．两点确定一条直线9．如图，已知△ABC(AB＜BC＜AC)，用尺规在AC上确定一点P，使PB+PC＝AC，则下列选项中，一定符合要求的作图痕迹是( )A．B．C．D．10．如果一个三角形的两个内角都小于30°，那么这个三角形的形状是（ ）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定11．下列命题错误的是（ ）A．经过三个点一定可以作圆B．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心C．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等D．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等二、填空题12．如图：AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，则∠1+∠2= .13．如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上，∠1=35°，则∠2= ．14．如图，AB=CD，AD与BC交于点O，在不添加任何辅助线的前提下要使△AOB≌△COD，则需添加条件 .15．如图，在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点．若S△BFC=1，则S△ABC= ．16．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是 ．17．如图，△ABC中，AC=8，BC=6，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则△BCD的周长是 18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=15cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为 cm．19．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，则∠B= ．20．已知CD垂直平分AB，若AC=4cm，AD=5cm，则四边形ADBC的周长是 cm．21．在△ABC中，AB=AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是 （写出一个即可）三、解答题22．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，P为AD延长线上一点，PE⊥BC于E，已知∠ACB=80°，∠B=24°，求∠P的度数．23．如图，AC=AB，AE=AD，B、E、D共线，∠1=∠2，求证：AE平分∠CED．24．已知：如图，AB=DC，AB∥DC，求证：AD=BC.25．如图，A,B两点分别位于一个假山的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离：现在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到点D，使CD=AC，连接BC并延长到点E，使CE=CB；连接DE并测量出它的长度. DE=8m，求AB的长度.26．如图，在△ABC中，D是BC上一点，F是BA延长线上一点，连接DF交AC于点E，且∠B=42°，∠C=59°，∠DEC=47°，求∠F度数．27．已知，AC⊥CE，AC=CE，∠ABC=∠EDC=900，证明：BD=AB+ED.28．如图，在ΔABC中，AD是高，∠DAC=10°，AE是ΔABC外角∠MAC的平分线，交BC的延长线于点E，BF平分∠ABC交AE于点F，若∠ABC=46°，求∠AFB的度数。