2019-2020年高三三模数学试卷（理科） 含答案
注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚； 2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.
一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若集合，集合，则 ． 2．函数的反函数是 ．
3．过点且与直线垂直的直线的方程 ．
4．已知数列为等比数列，前项和为，且，，则此数列的公比 ． 5．如果复数满足（是虚数单位），则的最大值为 1 ． 6．函数的单调增区间为 （） ．
7．行列式4
23
5
411
2
k
---中第行第列元素的代数余子式的值为，则实数= ． 8．设是双曲线
的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的周长 24 ．
9．设、、、是球面上的四个点，且在同一个平面内，，球心到该平面的距离是球半径的倍，则球的体积是 ．
10．掷两颗骰子得两数，则事件“两数之和为”的概率为 ． 11．数列中，且，则数列前项的积等于 ． 12．若均为平面单位向量,且，则 ．（用坐标表示）
13．在极坐标系中，动点从出发，沿极轴方向作匀速直线运动，速度为3米/秒，同时极轴绕极点按逆时针方向作等角速度旋转，角速度为2米/秒．则动点的极坐标方程 ． 14．记符号表示集合中最小的数．已知无穷项的正整数数列满足，令
{}()m i n |,k n b n a k k *=≥∈N ，若，
则12201214......a a a b b b +++++++= 294 ．
二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.
15．二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是 （ D ） A ．系数行列式 B ．比例式
C ．向量不平行
D ． 直线111222,a x b y c a x b y c +=+=不平行
16．用符号表示不小于的最小整数，如，．则方程在上实数解的个数为
（ D ）A．0 B．1 C．2
D．3
17．已知为椭圆的左顶点．如果存在过点的直线交椭圆于两点，使得，则的取值范围为（ C ）
A．B．C．D．
18．在圆锥中，已知高=2，底面圆的半径为，为母线上一点；根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（ B ）
①圆的面积为；
②椭圆的长轴为；
③双曲线两渐近线的夹角为；
④抛物线中焦点到准线的距离为．
A．1 个B．2 个C．3个D．4个
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分.
如图，正方形所在平面与圆所在平面相交于，为圆的直径，线段为圆的弦，垂直于圆所在平面．
（1）求证：平面；
（2）设异面直线与所成的角为且，将（及其内
部）绕所在直线旋转一周形成一几何体，求该几
何体的体积．
解：（1）证明：因为为圆的直径，所以，即…………
2分
又因为垂直于圆所在平面，所以………………………………………4分
又所以平面…………………………………………………………5分
（2）由题意知，将（及其内部）绕所在直线旋转一周形成一几何体的体积是两圆锥的体积之差．
因为异面直线与所成的角为，且，所以，……………7分
又因为，所以，在中，，………………………9分
在中，，，所以…………………………10分
所以该几何体的体积π
π
π
3
4
3
1
3
1
2
2=
⋅
⋅
-
⋅
⋅
=AE
DE
AE
CE
V……………………12分20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.
如图在半径为的圆形的材料中，要截出一个“十字形”,其为一正方形的四角截掉全等的
小正方形所形成的图形．（为圆心）
（1）若要使截出的“十字形”的边长相等（）（图）,此时边长为多少？
（2）若要使截出的“十字形”的面积为最大（图），此时为多少？（用反三角函数表示）
图（1） 图
（2）
解：（1）当“十字形”的边长相等时，过作交于，作⊥交于．设该“十字形”的边长为，则，． 在中，由勾股定理得，()2
5
2532
2
=
⇒=+x x x …………………………5分 所以，边长………………………………………………………………………6分 （2）过作交于，作⊥交于．设∠，则5cos ,5sin OM DM θθ==． ，．…………………………………………8分 所以，“十字形”的面积为
2222
(2)4()100cos 100(cos sin )S OM NM θθθ=-=--
1
))2
θϕ=+- （ 其中或） …………………………………10分 所以，当时， ………………………………………12分 此时，5
5
2arccos
2
2-=
=∠π
θDOE 或 ……………………………14分 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分. 设函数对任意，都有，其中为常数．当时，． （1）设，在时的解析式及其值域； （2）设，求在时的值域．
解：（1）当时，于是，又
所以即……………………………………3分 即在时的值域为…6分
（2）由于 )2,2[)2,2[)2,2[)2,1[),1[1
3
2
2
+=∞+n n
只研究函数在值域即可……………………………………7分 对于得
