2019届江苏省四校高三下学期期初调研检测数学(理)试题(word版)

届高三入学调研考试卷理科数学（四）注意事项：．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

．选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共小题，每小题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．．已知全集，集合，，则（）．．．．．下列命题错误的是（）．命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程无实数根，则”．若为真命题，则，至少有一个为真命题．“”是“”的充分不必要条件．若为假命题，则，均为假命题．设，则“”是直线“与直线垂直”的（）．充要条件．充分而不必要条件．必要而不充分条件．既不充分也不必要条件．已知函数，则（）．．．．．已知函数在上是增函数，函数是减函数，则是的（）．必要不充分条件．充分不必要条件．充要条件．既不充分也不必要条件．若，，，则下列结论正确的是（）．．．．．函数的零点在区间（）内．．．．．过点作曲线的切线，则切线方程为（）．．．．．若函数在区间上是减函数，则的取值范围是（）．．．．．已知函数是定义在上的奇函数，且函数在上单调递增，则实数的值为（）．．．．．若函数有两个零点，则实数的取值范围是（）．．．．此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号．已知偶函数的导函数为，且满足，当时，，则使得成立的的取值范围是（）．．．．二、填空题：本大题共小题，每小题分．．集合，，若“”是“”的充分条件，则实数取值范围是．．不等式的解集是．．若函数的值域为，则的取值范围是．．设函数，若存在唯一的正整数，使得，则的取值范围是．三、解答题：本大题共小题，共分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．．（分）已知集合，．（）若，，求实数的取值范围；（）若，且，求实数的取值范围．．（分）设：实数满足，：实数满足．（）当时，若为真，求实数的取值范围；（）当时，若是的必要条件，求实数的取值范围．．（分）计算：（）；（）．．（分）函数的定义域为．（）当时，求函数的值域；（）若函数在定义域上是减函数，求的取值范围；（）求函数在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时的值．．（分）已知函数．（）若函数在点处切线的斜率为，求实数的值；（）求函数的单调区间；（）若函数在上是减函数，求实数的取值范围．．（分）设函数，其中，．（）当时，讨论函数的单调性；（）若函数仅在处有极值，求的取值范围；（）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．届高三入学调研考试卷理科数学（四）答案一、选择题：本大题共小题，每小题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．．【答案】【解析】由题意得，，∴，∴．故选．．【答案】【解析】对于，利用逆否命题的定义即可判断出正确；对于，若为真命题，则，一真一假或，都为真，所以，至少有一个为真命题，正确；对于，当时，；当得或，不一定是．“”是“”的充分不必要条件，正确；对于，若为假命题，则，至少有一个为假命题，不表示，一定都是假命题，则错误．故选．．【答案】【解析】若，则两条直线分别为、，两直线斜率的乘积为，故两条直线相互垂直；若两条直线相互垂直，则，故或，故“”是两条直线相互垂直的充分不必要条件，选．．【答案】【解析】，，故选．．【答案】【解析】函数在上是增函数，；函数是减函数，，，，即是的必要不充分条件，故选．．【答案】【解析】因为，，，所以，故选．．【答案】【解析】令，则函数在递增，则，，函数的零点在区间，故选．．【答案】【解析】由，得，设切点为，则，∴切线方程为，∵切线过点，∴，解得：．∴切线方程为，整理得：．故选．．【答案】【解析】，函数在区间上是减函数，在区间上恒成立，即在上恒成立，又在上单调递减，，故．故选．．【答案】【解析】函数是定义在上的奇函数，函数，则，若函数在上单调递增，则，，故选．．【答案】【解析】由题意可得，即，函数有两个零点，则函数与的图象有两个交点，作出图象，如图所示：则，即．故选．．【答案】【解析】根据题意，设函数，当时，，所以函数在上单调递减，又为偶函数，所以为偶函数，又，所以，故在的函数值大于零，即在的函数值大于零．故选．二、填空题：本大题共小题，每小题分．．【答案】【解析】，当时，，因为“”是“”的充分条件，所以，．故填．．【答案】【解析】原不等式可以化为，所以，故或者，不等式的解集为，故填．．【答案】【解析】∵，在的值域，要使值域为，最大值必须大于等于，即满足，解得：．故答案为．．【答案】【解析】设，，则，当时，，当或时，，在，上单调递增，在上单调递减，当时，取得极小值，作出与的函数图象如图：显然当时，在上恒成立，即无正整数解，要使存在唯一的正整数，使得，显然，，即，解得．故答案为．三、解答题：本大题共小题，共分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．．【答案】（）；（）．【解析】（），，①若，则，∴；②若，则∴；综上．（），∴，∴．．【答案】（）；（）．【解析】（）当时，：，：或．因为为真，所以，中至少有一个真命题．所以或或，所以或，所以实数的取值范围是．（）当时，：，由得：：或，所以：，因为是的必要条件，所以，所以，解得，所以实数的取值范围是．．【答案】（）；（）．【解析】（）原式．（）原式．．【答案】（）；（）；（）见解析．【解析】（）函数，所以函数的值域为．（）若函数在定义域上是减函数，则任取，且都有成立，即，只要即可，由，，故，所以，故的取值范围是．（）当时，函数在上单调增，无最小值，当时取得最大值；由（）得当时，在上单调减，无最大值，当时取得最小值；当时，函数在上单调减，在上单调增，无最大值，当时取得最小值．．【答案】（）；（）单调递减区间是，单调递增区间是；（）．【解析】（），而，即，解得．（）函数的定义域为．①当时，，的单调递增区间为；②当时，．当变化时，，的变化情况如下：由此可知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是．（），于是．因为函数在上是减函数，所以在上恒成立，即在上恒成立．又因为函数的定义域为，所以有在上恒成立．于是有，设，则，所以有，，当时，有最大值，于是要使在上恒成立，只需，即实数的取值范围是．．【答案】（）在，内是增函数，在，内是减函数；（）；（）．【解析】（）．当时，．令，解得，，．当变化时，，的变化情况如下表：所以在，内是增函数，在，内是减函数．（），显然不是方程的根．为使仅在处有极值，必须恒成立，即有．解此不等式，得．这时，是唯一极值．因此满足条件的的取值范围是．（）由条件可知，从而恒成立．当时，；当时，．因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．为使对任意的不等式在上恒成立，当且仅当，即，在上恒成立，所以，因此满足条件的的取值范围是．。

2019届江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）高三第三次调研考试数 学 理 科(满分160分，考试时间120分钟)2019．5一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合U ＝{－1，0，2，3}，A ＝{0，3}，则∁U A ＝________．2. 已知复数z ＝a ＋i1＋3i(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为________．3. 右图是一个算法流程图．若输出y 的值为4时，则输入x 的值为________．4. 已知一组数据6，6，9，x ，y 的平均数是8，且xy ＝90，则该组数据的方差为________．5. 一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白色的概率为________．6. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0，则不等式f(x)＞f(－x)的解集为____________．7. 已知数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n .若a 3－a 2＝4，a 4＝16，则S 3的值为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右准线与两条渐近线分别交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为ab4，则该双曲线的离心率为________．9. 在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝3 cm ，BC ＝1 cm ，CD ＝2 cm.将此直角梯形绕AB 边所在的直线旋转一周，由此形成几何体的体积为________cm 3.10. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝sin 2x 与y ＝18tan x 在(π2，π)上交点的横坐标为α，则sin 2α的值为________．11. 如图，在正六边形ABCDEF 中，若AD →＝λAC →＋μAE →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．(第11题)(第12题)12. 如图，有一壁画，最高点A 处离地面6 m ，最低点B 处离地面3.5 m ．若从离地高2 m 的C 处观赏它，则离墙________m 时，视角θ最大．13. 已知函数f(x)＝x 2－2x ＋3a ，g(x)＝2x －1.若对任意x 1∈[0，3]，总存在x 2∈[2，3]，使得|f(x 1)|≤g(x 2)成立，则实数a 的值为________．14. 在平面四边形ABCD 中，∠BAD ＝90°，AB ＝2，AD ＝1.若AB →·AC →＋BA →·BC →＝43CA →·CB →，则CB ＋12CD 的最小值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，a(sin A －sin B)＝(c －b)(sin B ＋sin C)．(1) 求角C 的值；(2) 若a ＝4b ，求sin B 的值．16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，平面BPC ⊥平面DPC ，BP ＝BC ，点E ，F 分别是PC ，AD 的中点．求证：(1) BE ⊥CD ； (2) EF ∥平面PAB.(本小题满分14分) 17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点为A(0，3)，圆O：x2＋y2＝a24经过点M(0，1)．(1) 求椭圆C的方程；(2) 过点M作直线l1交椭圆C于P，Q两点，过点M作直线l1的垂线l2交圆O于另一点N.若△PQN的面积为3，求直线l1的斜率．南通风筝是江苏传统手工艺品之一．现用一张长2 m，宽1.5 m的长方形牛皮纸ABCD 裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边AB，AD上取点E，F，将三角形AEF沿直线EF翻折到A′EF处，点A′落在牛皮纸上，沿A′E，A′F裁剪并展开，得到风筝面AEA′F，如图1.(1) 若点E恰好与点B重合，且点A′在BD上，如图2，求风筝面ABA′F的面积；(2) 当风筝面AEA′F的面积为 3 m2时，求点A′到AB距离的最大值．已知数列{a n }满足(na n －1－2)a n ＝(2a n －1)a n －1(n ≥2)，b n ＝1a n－n(n ∈N *)．(1) 若a 1＝3，求证：数列{b n }是等比数列；(2) 若存在k ∈N *，使得1a k ，1a k ＋1，1a k ＋2成等差数列．①求数列{a n }的通项公式；②求证：ln n ＋12a n ＞ln(n ＋1)－12a n ＋1.已知函数f(x)＝ax 21＋ln x(a ≠0)，e 是自然对数的底数．(1) 当a ＞0时，求f(x)的单调增区间；(2) 若对任意的x ≥12，f(x)≥2e b －1(b ∈R )，求b a的最大值；(3) 若f(x)的极大值为－2，求不等式f(x)＋e x ＜0的解集.2019届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知a ，b ，c ，d ∈R ，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －20 b 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1c d 1.若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线y ＝2x ＋1，求曲线C 的方程．B. (选修44：坐标系与参数方程)在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B 的极坐标分别为(4，π2)，(22，5π4)，曲线C 的方程为ρ＝r(r>0)．(1) 求直线AB 的直角坐标方程；(2) 若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值．C.(选修45：不等式选讲)已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2＋4x ＋|a －1|＋|a|＝0有实根，求a 的取值范围．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 现有一款智能学习APP，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示．文章学习积分 1 2 3 4 5概率1919191612视频学习积分 2 4 6概率161312(1) 现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；(2) 现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．(1) 求2P2－Q2的值；(2) 化简nP n－Q n.2019届高三模拟考试试卷(南通、泰州、徐州等苏北七市联考)数学参考答案及评分标准1. {－1，2}2. －33. －14. 1455. 12 6. (－2，0)∪(2，＋∞) 7. 14 8. 2 9. 7π310. －158 11. 43 12. 6 13. －13 14. 26215. 解：(1) 在△ABC 中， 因为a(sin A －sin B)＝(c －b)(sin B ＋sin C)，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C，所以a(a －b)＝(b ＋c)(c －b)，(3分) 即a 2＋b 2－c 2＝ab.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ，得cos C ＝12.(5分)因为0<C<π，所以C ＝π3.(7分)(2) (解法1)因为a ＝4b 及a 2＋b 2－c 2＝ab ，得c 2＝16b 2＋b 2－4b 2＝13b 2，即c ＝13b.(10分)由正弦定理c sin C ＝b sin B ，得13b 32＝b sin B，所以sin B ＝3926.(14分)(解法2)由正弦定理a sin A ＝bsin B，得sin A ＝4sin B.由A ＋B ＋C ＝π，得sin(B ＋C)＝4sin B.因为C ＝π3，所以12sin B ＋32cos B ＝4sin B ，即7sin B ＝3cos B ．(11分)因为sin 2B ＋cos 2B ＝1，解得sin 2B ＝352.在△ABC 中，因为sin B>0，所以sin B ＝3926.(14分)16. 证明：(1) 在△PBC 中，因为BP ＝BC ，点E 是PC 的中点，所以BE ⊥PC.(2分) 因为平面BPC ⊥平面DPC ，平面BPC ∩平面DPC ＝PC ，BE 平面BPC ， 所以BE ⊥平面PCD.(5分) 因为CD平面DPC ，所以BE ⊥CD.(7分)(2) 如图，取PB 的中点H ，连结EH ，AH. 在△PBC 中，因为点E 是PC 的中点，所以HE ∥BC ，HE ＝12BC.(9分)又底面ABCD 是平行四边形，点F 是AD 的中点，所以AF ∥BC ，AF ＝12BC.所以HE ∥AF ，HE ＝AF ，所以四边形AFEH 是平行四边形，所以EF ∥HA.(12分)因为EF 平面PAB ，HA 平面PAB ，所以EF ∥平面PAB.(14分) 17. 解：(1) 因为椭圆C 的上顶点为A(0，3)，所以b ＝ 3.又圆O ：x 2＋y 2＝14a 2经过点M(0，1)，所以a ＝2.(2分)所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2) 若直线l 1的斜率为0，则PQ ＝463，MN ＝2，所以△PQN 的面积为463，不合题意，所以直线l 1的斜率不为0.(5分)设直线l 1的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋1消y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0.设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＝－4k －26·2k 2＋13＋4k 2，x 2＝－4k ＋26·2k 2＋13＋4k 2，所以PQ ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝1＋k 2||x 1－x 2＝46·1＋k 2·2k 2＋13＋4k 2.(8分)由题可知，直线l 2的方程为y ＝－1kx ＋1，即x ＋ky －k ＝0，所以MN ＝21－k 21＋k 2＝21＋k 2.(11分)所以△PQN 的面积S ＝12PQ ·MN ＝12×46·1＋k 2·2k 2＋13＋4k 2·21＋k 2＝3，解得k ＝±12，即直线l 1的斜率为±12.(14分)18. 解：(1) (解法1)建立如图所示的直角坐标系，则B(2，0)，D(0，32)，直线BD 的方程为3x ＋4y －6＝0.(2分) 设F(0，b)(b>0)，因为点F 到AB 与BD 的距离相等，所以b ＝|4b －6|5，解得b ＝23或b ＝－6(舍去)．(4分)所以△ABF 的面积为12×2×23＝23m 2，所以四边形ABA′F 的面积为43 m 2.答：风筝面ABA′F 的面积为43m 2.(6分)(解法2)设∠ABF ＝θ，则∠ABA′＝2θ.在直角三角形ABD 中，tan 2θ＝AD AB ＝34，(2分)所以2tan θ1－tan 2θ＝34，解得tan θ＝13或tan θ＝－3(舍去)． 所以AF ＝ABtan θ＝23.(4分) 所以△ABF 的面积为12×2×23＝23 m 2，所以四边形ABA′F 的面积为43m 2. 答：风筝面ABA′F 的面积为43m 2.(6分) (2) (解法1)建立如图所示的直角坐标系．设AE ＝a ，AF ＝b ，A ′(x 0，y 0)，则直线EF 的方程为bx ＋ay －ab ＝0.因为点A ，A ′关于直线EF 对称，所以⎩⎨⎧y 0x 0＝a b ，bx 02＋ay 02－ab ＝0， 解得y 0＝2a 2b a 2＋b 2.(10分) 因为四边形AEA′F 的面积为3，所以ab ＝3，所以y 0＝23a 3a 4＋3＝23a ＋3a3. 因为0<a ≤2，0<b ≤32，所以233≤a ≤2.(12分) 设f(a)＝a ＋3a 3，233≤a ≤2，则f′(a)＝1－9a 4＝（a 2＋3）（a ＋3）（a －3）a 4. 令f′(a)＝0，得a ＝3或a ＝－3(舍去)．列表如下：a [233，3) 3 (3，2] f′(a) － 0＋ f(a) 单调递减 极小值 单调递增当a ＝3时，f(a)取得极小值，即最小值433， 所以y 0的最大值为32，此时点A′在CD 上，a ＝3，b ＝1. 答：点A′到AB 距离的最大值为32m ．(16分)(解法2)设AE ＝a ，∠AEF ＝θ，则AF ＝atan θ.因为四边形AEA′F 的面积为3，所以AE·AF ＝3，即a 2tan θ＝3，所以tan θ＝3a 2.过点A′作AB 的垂线A′T ，垂足为T ，则A′T ＝A′E ·sin 2θ＝AE·sin 2θ＝asin 2θ(10分)＝a·2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝a·2tan θtan 2θ＋1＝a·2×3a 23a 4＋1＝23a ＋3a 3. 因为0<AE ≤2，0<AF ≤32，所以233≤a ≤2.(12分) (下同解法1)19. (1) 证明：由(na n －1－2)a n ＝(2a n －1)a n －1，得1a n ＝2a n －1＋2－n ， 得1a n －n ＝2⎣⎡⎦⎤1a n －1－（n －1），即b n ＝2b n －1. 因为a 1＝3，所以b 1＝1a 1－1＝－23≠0，所以b n b n －1＝2(n ≥2)， 所以数列{b n }是以b 1为首项，2为公比的等比数列．(4分)(2) ①解：设1a 1－1＝λ，由(1)知b n ＝2b n －1， 所以b n ＝2b n －1＝22b n －2＝…＝2n －1b 1，即1a n－n ＝λ·2n －1， 所以1a k＝λ·2k －1＋k.(6分) 因为1a k ，1a k ＋1，1a k ＋2成等差数列，则(λ·2k －1＋k)＋(λ·2k ＋1＋k ＋2)＝2(λ·2k ＋k ＋1)， 所以λ·2k －1＝0，所以λ＝0，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n.(10分) ②证明：要证ln n ＋12a n >ln(n ＋1)－12a n ＋1， 即证12(a n ＋a n ＋1)>ln n ＋1n ，即证1n ＋1n ＋1>2ln n ＋1n. 设t ＝n ＋1n ，则1n ＋1n ＋1＝t －1＋t －1t ＝t －1t ，且t>1， 从而只需证：当t>1时，t －1t>2ln t ．(12分) 设f(x)＝x －1x －2ln x(x>1)，则f′(x)＝1＋1x 2－2x ＝(1x－1)2>0， 所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)>f(1)＝0，即x －1x>2ln x. 因为t>1，所以t －1t>2ln t ，所以原不等式得证．(16分) 20. 解：(1) f(x)的定义域为(0，e －1)∪(e －1，＋∞)．由f′(x)＝2ax （1＋ln x ）－ax 2·1x （1＋ln x ）2＝2ax （12＋ln x ）（1＋ln x ）2，(2分) 令f′(x)>0，因为a>0，得x>e －12. 因为e －12>e －1，所以f(x)的单调增区间是(e －12，＋∞)．(4分) (2) 当a<0时，f(1)＝a<0<2e b －1，不合题意；当a>0时，令f′(x)<0，得0<x<e －1或e －1<x<e －12，所以f(x)在区间(0，e －1)和(e －1，e －12)上单调递减． 因为12∈(e －1，e －12)，且f(x)在区间(e －12，＋∞)上单调递增， 所以f(x)在x ＝e －12处取极小值2a e ，即最小值为2a e.(6分) 若x ≥12，f(x)≥2e b －1，则2a e≥2e b －1，即a ≥e b . 不妨设b>0，则b a ≤b e b .(8分) 设g(b)＝b e b (b>0)，则g′(b)＝1－b eb . 当0<b<1时，g ′(b)>0；当b>1时，g ′(b)<0，所以g(b)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g(b)≤g(1)，即b e b ≤1e， 所以b a 的最大值为1e.(10分) (3) 由(2)知，当a>0时，f(x)无极大值．当a<0时，f(x)在(0，e －1)和(e －1，e －12)上单调递增，在(e －12，＋∞)上单调递减， 所以f(x)在x ＝e －12处取极大值，所以f(e －12)＝2a e＝－2，即a ＝－e.(12分) 设F(x)＝f(x)＋e x ，即F(x)＝e x －ex 21＋ln x， 当x ∈(0，e －1)，1＋ln x<0，所以F(x)>0；当x ∈(e －1，＋∞)，F ′(x)＝e x －ex （1＋2ln x ）（1＋ln x ）2， 由(2)知ex ≤e x ，又1＋2ln x ≤(1＋ln x)2，所以F′(x)≥0，且F(x)不恒为零，所以F(x)在(e －1，＋∞)上单调递增．不等式f(x)＋e x <0，即为F(x)<0＝F(1)，所以e －1<x<1，即不等式的解集为(e －1，1)．(16分)2019届高三模拟考试试卷(南通、泰州、徐州等苏北七市联考)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解： 由题意，得AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －20 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1c d 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －2d ac －2bd b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 所以a ＝1，b ＝1，c ＝2，d ＝0，即矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－20 1.(5分) 设P(x ，y)为曲线C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换作用下变为点P′(x′，y ′)，则 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x －2y ，y ′＝y.(8分) 由已知条件可知P′(x′，y ′)满足y ＝2x ＋1，整理得2x －5y ＋1＝0，所以曲线C 的方程为2x －5y ＋1＝0.(10分)B. 解：(1) 分别将A(4，π2)，B(22，5π4)转化为直角坐标，即A(0，4)，B(－2，－2)， 所以直线AB 的直角坐标方程为3x －y ＋4＝0.(4分)(2) 曲线C 的方程为ρ＝r(r>0)，其直角坐标方程为x 2＋y 2＝r 2.又直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，即直线与圆相切，所以圆心到直线AB 的距离为432＋12＝2105，即r 的值为2105.(10分) C. 解：因为关于x 的方程x 2＋4x ＋|a －1|＋|a|＝0有实根，所以Δ＝16－4(|a －1|＋|a|)≥0，即|a －1|＋|a|≤4.(4分)当a ≥1时，2a －1≤4，得1≤a ≤52； 当0<a<1时，1≤4，恒成立，即0<a<1；当a ≤0时，1－2a ≤4，得－32≤a ≤0. 综上，所求a 的取值范围是－32≤a ≤52.(10分) 22. 解：(1) 由题意，获得的积分不低于9分的情形有因为两类学习互不影响，所以概率P ＝19×12＋16×12＋12×13＋12×12＝59， 所以每日学习积分不低于9分的概率为59.(4分) (2) 随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3. 由(1)知每个人积分不低于9分的概率为59，则 P (ξ＝0)＝(49)3＝64729；P(ξ＝1)＝C 13(59)(49)2＝240729； P (ξ＝2)＝C 23(59)2(49)＝300729；P(ξ＝3)＝(59)3＝125729. 所以随机变量ξ的概率分布列为(8分)所以E(ξ)＝0×64729＋1×240729＋2×300729＋3×125729＝53. 所以随机变量ξ的数学期望为53.(10分) 23. 解：(1) 由题可知P 2＝1C 04－1C 14＋1C 24－1C 34＋1C 44＝53，Q 2＝－1C 14＋2C 24－3C 34＋4C 44＝103， 所以2P 2－Q 2＝0.(2分)(2) 设T ＝nP n －Q n ，则T ＝(n C 02n －n C 12n ＋n C 22n －…＋n C 2n 2n )－(－1C 12n ＋2C 22n －3C 32n ＋…＋2n C 2n 2n) ＝n C 02n －n －1C 12n ＋n －2C 22n －n －3C 32n ＋…＋－n C 2n 2n①.(6分) 因为C k 2n ＝C 2n －k 2n ，所以T ＝n C 2n 2n －n －1C 2n －12n ＋n －2C 2n －22n －n －3C 2n －32n＋…＋－n C 02n ＝－n C 02n －1－n C 12n ＋2－n C 22n －3－n C 32n ＋…＋n C 2n 2n②， ①＋②，得2T ＝0，即T ＝nP n －Q n ＝0，所以nP n －Q n ＝0.(10分)。

绝密★启用前江苏省扬州中学2019届高三毕业班下学期质量检测数学试题2019年4月1．本试卷共160分，考试时间120分钟；2．答题前，请务必将自己的姓名学校、考试号写在答卷纸的规定区域内；3．答题时必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，作图可用2B 铅笔．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.设集合{}2|230A x Z x x =∈--<，{}1,0,1,2B =-，则A B = .2. 在复平面内，复数11i-对应的点位于第 象限. 3. “a b >”是“ln ln a b >”的 条件.(填:充分不必要，必要不充分,充分必要,既不充分也不必要) 4．将某选手的7个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,现场作的7个分数的茎叶图如图,则5个剩余分数的方差为 .5．某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个,则数学建模社团被选中的概率为_________.6.执行如图所示的程序框图,输出的s 值为 .7.已知焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线的倾斜角为6p ,且其焦点到渐近线的距离为2,则该双曲线的标准方程为 .8．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ,2O ,过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形,则该圆柱的表面积为 .9. 设四边形ABCD 为平行四边形,6AB =,4AD =．若点,M N 满足 3BM MC =,2DN NC =,则AM NM ⋅= ． 10.若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数,则a 的最大值是 ．11. 已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点,则a 的4取值范围是 ．12．已知公差为d 的等差数列{}n a 满足0d >,且2a 是14a a 、的等比中项；记2n n b a =(*)n N ∈,则对任意的正整数n 均有121112nb b b ++⋅⋅⋅+<,则公差d 的取值范围是 ． 13.已知点Q(0,5),若P,R 分别是O: 224x y +=和直线34y x =上的动点, 则QP QR +的最小值为 ． 14.用max {,,}a b c 表示,,a b c 中的最大值, 已知实数,x y 满足01x y ≤≤≤,设M=max {,1,2}xy xy x y x y xy --++-,则M 的最小值为 ．二、解答题（本大题共6小题,共计90分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15. 已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P （3455-，-）． （1）求tan2α的值；（2）若角β满足sin （α+β）=513,求cos β的值．16. 如图,在斜三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AAC C 是菱形,1AC 与1A C 交于点O ,E 是棱AB 上一点,且//OE 平面11BCC B .（1）求证：E 是AB 的中点；（2）若11AC A B ⊥,求证: 1AC CB ⊥.。

（共 10 页）（共 10 页）江苏省四校（南师附中、天一中学、海门中学、淮阴中学）2019届高三数学下学期期初调研检测试题6. 从 3 个男生、2 个女生中随机抽取 2 人，则抽中的 2 人不全是男生的概率是 ▲ .7. 已知正四棱锥的体积为4，底面边长为 2，则该正四棱锥的侧棱长为 ▲ ．3注意事项8．若将函数 y ＝cos x － 3sin x 的图象向左平移 m (m ＞0)个单位后，所得图象关于 y 轴对称，则实考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共 4 页，包含填空题(第 1 题～第 14 题，共 14 题)、解答题(第 15 题～第 20 9. 数 m 的最小值为 ▲ ． 函数 f (x )＝a ·e x －e －x 在 x ＝0 处的切线与直线 y ＝2x －3 平行，则不等式 f (x 2－1)＋f (1－x )＜0 题，共 6 题)两部分。

本次考试时间为 120 分钟。

考试结束后，只要将答题卡交回。

的解集为 ▲ ． 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在10. 首项为7 的数列{a n }满足：(n ＋1)a n ＋1－(n ＋2)a n ＝0，则 a 2019－a 2018 的值为 ▲ ． 答题卡上，并用 2B 铅笔把答题卡上考试证号对应数字框涂黑，如需改动，请用橡皮 擦干净后，再正确涂写。

3．答题时，必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。

4．如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

→ → 11. 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB ＝2，AD ＝1， AB · AC ＝5，则 cos ∠CAB ＝ ▲ ．(第 11 题)参考公式：1．锥体的体积公式为：V ＝1Sh ，其中 S 是锥体的底面积，h 是锥体的高；3n － －2．一组数据 x 1，x 2，…，x n 的方差为： s 2 ＝1 n ∑ (x i － x )2，其中 x 是数据 x 1，x 2，…，x n 的 i ＝113. 在平面直角坐标系 xOy 中， M ，N 是两定点，点 P 是圆 O ：x 2＋y 2＝1 上任意一点，满足： 平均数． 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．置．上．．1．已知集合 A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3，4，5}，则 A ∩B ＝ ▲ ．PM ＝2PN, 则 MN 的长为 ▲ ．2．已知复数 z 满足(1－i)z ＝3＋i(i 为虚数单位)，则 z ＝ ▲ ．3. 一组数据 96， 98， 100，102， 104 的方差为 ▲ .4. 一个算法的伪代码如下图所示，执行此算法，已知输出值 y 为 2，则输入值 x 为 ▲ ．Read xIf x ≤0 Theny ← e x二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤．Else y ← x 2＋1End If Print y(第 4 题)5．已知双曲线x 2－y 2＝1(a ＞0)的一个焦点坐标为(2，0)，则它的离心率为 ▲ ．（共 10 页） （共 10 页）n 16．（本小题满分 14 分）如图，在直四棱柱 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，已知点 M 为棱 BC 上异于 B ，C 的一点. （1）若 M 为 BC 中点，求证：A 1C //平面 AB 1M ；（2）若平面 AB 1M ⊥平面 BB 1C 1C, 求证：AM ⊥BC ．18．（本小题满分 16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：x 2＋y 2＝1(a ＞b ＞0)，过左焦点 F (－ 3，0)的直线 l 与椭a 2b 2 圆交于 A ，B 两点．当直线 l ⊥x 轴时，AB ＝1． （1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若点 P 在 y 轴上，且ΔPAB 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线 AB 的方程．（第16 题）17.（本小题满分 14 分）如图，l 1 是经过城市 O 与城郊小镇 A 的东西方向公路，城市 O 与小镇 A 相距 8 3km ，l 2 是经过 城市 O 的南北方向的公路．现准备在城市 O 的西北区域内选址 P ，建造开发区管委会，并开发19．（本小题满分 16 分）已知函数 f (x )＝ln x ＋m （m ∈R ）的极大值为 1．x （第 18 题）三角形区域 PAO 与 PBO ．其中，AB 为计划修建的经过小镇 A 和管委会 P 的绕城公路(B 在 l 2 上，且位于城市 O 的正北方向)，PO 为计划修建的管委会 P 到城市 O 的公路，要求公路 PO 与公路PA 的总长为 16km(即 PO ＋PA ＝16)．设∠BAO ＝θ．（1）记 PA ＝f (θ)，求 f (θ)的函数解析式，并确定θ的取值范围； （2）当开发的三角形区域 PAO 的面积最大时，求绕城公路 AB 的长．（1）求 m 的值；（2）设函数 g (x )＝x ＋1，当 x 0＞1 时，试比较 f (x 0)与 g (x 0)的大小，并说明理由；e x（3）若 b ≥ 2 ，证明：对于任意 k ＜0，直线 y ＝kx ＋b 与曲线 y ＝f (x )有唯一公共点．e20．（本小题满分 16 分）已知 q 为常数，正．项．数列{a n }的前 n 项和 S n 满足：S n ＋(a n －S n )q ＝1，n ∈N *．（1）求证：数列{a n }为等比数列；（）若 ∈ ，且存在 ∈ ，使得 － 为数列 中的项． 2 q N * tN * 3a t ＋2 4a t ＋1{a n } （第 17 题）① 求 q 的值； ② 记 b ＝log a n ＋1列．a n＋2，求证：存在无穷多组正整数数组(r，s，k)，使得b r，b s，b k 成等比数（共 4 页）（共 4 页）2019 届期初数学学科调研测试试卷数学 II （附加题）【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作．答．，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C 的方程为 x 2＝2py (p ＞0)，过点 P (m ，0)(m ≠0)的直线 l 与抛→ → → →物线 C 交于 A ，B 两点，与 y 轴交于点 Q ，设 PA ＝λ QA ， PB ＝μ QB (λ，μ∈R )．（1）当 Q 为抛物线 C 的焦点时，直线 l 的方程为 y ＝1x ＋1，求抛物线 C 的标准方程；3（2）求证：λ＋μ为定值．21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 共 3 小题，请．选．定．其．中．两．小．题．，并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．． 若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修 4-2：矩阵与变换] （本小题满分 10 分）－1 123．（本小题满分 10 分）（第 22 题）已知 m ∈R ，矩阵 A ＝（1）求实数 m ；的一个特征值为－2． m 0 设集合 M ＝{1，2，3，…，m }，集合 A ，B 是 M 的两个不同子集，记|A ∩B |表示集合 A ∩B 的元 素个数．若|A ∩B |＝n ，其中 1≤n ≤m －1，则称(A , B )是 M 的一组 n 阶关联子集对(（A ，B ）与（B ，（2）求矩阵 A 的逆矩阵 A －1．B ．[选修 4-4：坐标系与参数方程] （本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P 是曲线 E : {x ＝cos θ， y ＝2＋2cos θ（θ为参数）上的一 点．以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，以 C 为圆心的圆的极坐标方程为ρ＝ 2cos θ，求线段 PC 长的最大值．C ．[选修 4-5：不等式选讲] （本小题满分 10 分）已知 x ＞0，求证：x 3＋y 2＋3≥3x ＋2y ．A ）看作同一组关联子集对)，并记集合 M 的所有 n 阶关联子集对的组数为 a n ．（1）当 m ＝3 时，求 a 1，a 2；（2）当 m ＝2019 时，求{a n }的通项公式，并求数列{a n }的最大项．江苏省海门中学2019 年期初数学学科调研测试试卷一、填空题数学I参考答案（2）过B 作BP ⊥B1M ,垂足为P平面AB1M ⊥平面B1BCC1平面AB1M 平面B1BCC1 =B1MBP ⊂平面BB1C1C∴BP ⊥平面AB1M1. {2，3}2.1+2i3.84.15.2336.7107. 38.2π39.(0，1) 10.7211. 5714AM ⊂平面AB1M12. (－∞，－e]∪[e，＋∞) 13.3 14. 2＋ 3∴BP ⊥AM直四棱柱ABCD -A B C D 中,BB ⊥平面ABCDe e 2 5二、解答题1 1 1 1 1AM ⊂平面ABCD15.（1）因为cos B＝－5，B∈(0，π)，∴BB1 ⊥AM5所以sin B＝1－cos2B＝1－(－5)2＝2 5．5 5在三角形ABC 中，sin A＝sin(π－(B＋C))＝sin(B＋C)＝sin(B＋π)＝sin B cosπ＋cos B sinπ．4 4 4故sin A＝2 5× 2＋(－5)× 2＝10．又BP BB1 =BBP, BB1 ⊂平面BB1C1C∴AM ⊥平面BB1C1C又BC ⊂平面BB1C1C∴AM ⊥BC ．…………………14 分5 2 5 2 108×1017.解：（1）如图，在∆PAO 中，设PA =x ，l则因为PO +PA = 16 ，所以PO = 16 -x，由正弦定理知AC ＝BC ，所以BC＝AC·si n A＝ 10 ＝2 2. …………………6 分又因为AO = 8 3 ，∠BAO =θ，sin B sin A sin B 255所以由余弦定理得：x2 3)2⨯8 3x cosθ= (16 -x)2 ，……（2）在三角形ABC 中，cos A＝cos(π－(B＋C))＝－cos(B＋π)＝－cos B cosπ＋sin B sinπ，解得x ………4 分l ∙∙4 4 4 2 -3cosθ1 A O故cos A＝5× 2＋2 5× 2＝310．当∠POA =π时，(8 3)2 + (16 -x)2 =x2 ，解得x = 14 ，（第17 题）5 2 5 2 10 2因为cos2A＝2cos2A－1＝2(3 10)2－1＝4,此时，cosθ=．105sin2A＝2sin A cos A＝2×3 10× 10＝3，14 7π10105设0 <α<，且cosα=2，则结合P 位于城市O 的西北区域内，B 在l2 上，7因此cos(2A＋π)＝cos2A cosπ－sin2A sinπ＝4×2－3× 2＝2．…………………14 分π4 4 45 2 5 2 10 且位于O 北，得α<θ<，216．证明：（1）连接A1B 交AB1 于N（共 10 页）（共 10 页）∵直四棱柱 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， AA 1B 1B 为平行四边形综上，公路 PA 段长关于θ 的函数解析式为 PA = 4，θ 的取值范围为 (α,π) ，2∴ N 为 A 1B 的中点 π其中， 0 < α< ，且 cos α = ………………………6 分又 M 为 BC 中点 ∴ MN // A 1C 又 A 1C ⊄ 平面 AB 1M 2 （2）由（1） PA = 7，α < θ < π ，结合 AO 3 ， ∠BAO = θ ， 2MN ⊂ 平面 AB 1M ∴ A 1C //平面 AB 1M .…………………6 分得开发的三角形区域 PAO 面积： S (θ) = 1AO ⋅ PA sin θ2 = 1sin θ 24e1 m2（2） ∆PAB 为P 为直角顶点的等腰直角三角形，设AB 中点为M ，∴AB = 2PM （2）f(x0)－g(x0)＝ln x0＋1－x0＋1＝1(ln x0＋1－x0（ⅰ）直线AB 与x 轴垂直，AB =1，OF = 3 ,x0不合题意，舍.2⎨22=，α<θ<π．⎧2 3cosθ2⎪∆≥0⎪所以S'(θ)=θ-θ)] 则⎪x +x-k2=⎪1 21+4k2=，α<θ<π．⎪ 12k 2- 4x x(2 cosθ)2 2⎪1⋅⎩=21+4k2由S'(θ) = 0 ，得θ=π，因为cosπ=<3，所以π>α，∴AB =| x -2x6 6 27 61 2 1 2 1 2) 4(1+k2 )=1+4kAB 中点为M 的横坐标为1+4k-k21+4k2所以，当θ=π时，[S(θ)]=S(π3 ，PM =-2| |6 max 61+4k2 2此时，AB =AO==)|=4(1+k)cosπ6 2即开发的三角形区域PAO 面积最大时，绕城公路AB 的长为16km ．…………14 分k∴k =11+ 4k21+ 4k 2⎧c⎪11直线AB 的方程为y =(11或y =(3)⎪ b218．解：（1）由已知，得⎨2⋅ =1综上：直线AB 的方程为y = 1 (或y = 1 (或y =0. (16)⎪ a⎪⎧a2 =4解得⎨⎪⎩b2 =1⎪a2 =b2+c2⎩19.解：（1）f '(x)＝1－m－ln x, 令f'(x)＝0 得：x＝e1－m,x2所以f(x)在(0，e1－m)单调增，在(e1－m，＋∞)单调减.2 1－m 1∴椭圆E 的标准方程为：x+y2 = 1．…………………4 分所以f(x)＝f(e)＝＝1, 得m＝1. ……………3 分－＋x0)e x0x0e x0(ⅱ)直线AB 与y 轴垂直，AB = 4 ，P 为或(0, -2) ，适合题意。