上海中学2023学年第二学期高一年级数学期中2023.04一、填空题（每小题3分，共36分）1.一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为______．2.角θ的终边经过点()4,P y ，且3sin 5θ=-，则tan θ=______．3.若tan 2θ=-，则2cos2sin21cos θθθ-=+______．4.已知π1πcos (0332αα⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，则()sin πα+=________________．5.函数()2sin cos y x x =+的最小正周期是________6.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其面积2221()3S a c b =+-，则tan B =________7.已知函数2()cos 2cos (0)222x x x f x ωωωω=+>的周期为23π，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k =+恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是__________.8.若函数()2sin 0y x ωω=>在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，但最大值不是2，则ω的取值范围是________.9.张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C的对边，已知b =，45A ∠=，求边c ，显然缺少条件，若他打算补充a 的大小，并使得c 只有一解，a 的可能取值是______(只需填写一个适合的答案)10.定义：关于x 的两个不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和11,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式2cos220x θ-+<与不等式224sin210x x θ++<为对偶不等式，且θ=______．11.设()202320222021f x x x =++，若不等式()()22sin cos 1cos f x a x a f x ++≥+对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是______．12.若不等式2sin sin sin 23sin sin k B A C B C +>对任意ABC 都成立，则实数k 的最小值为______．二、选择题（每小题4分，共16分）13.将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >）个单位长度得到点P'，若P'位于函数sin 2y x =的图象上，则（）A.12t =，s 的最小值为6πB.2t =，s的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3πD.2t =，s的最小值为3π14.我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制在面度制下，角θ的面度数为512π，则cos 2θ=（）A.4B.4C.14D.14-15.将函数()π2sin 34f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向下平移1个单位，得到()g x 的图像，若()()129g x g x ⋅=，其中[]12,0,4πx x ∈，则12x x 的最大值为（）．A.9B.275C.3D.1116.设函数()3sin 2cos 1f x x x =++，若实数,,a b c 使得()()1af x bf x c +-=对任意实数x 恒成立，则cos b ca的值等于A.12-B.12C.1- D.1三、解答题（本大题共5题，各题分值依次为8、8、8、12、12分，共48分）17.函数()sin()f x A x ωϕ=+（0ω>，0πϕ-<<）在一个周期内的图像经过(,0)6B π，2(,0)3C π，(,1)4D π三点，求()sin()f x A x ωϕ=+的表达式.18.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin tan 12cos CA C=-，1b =.（1）求a 的值；（2）若c =，求ABC 外接圆的面积.19.设a 为常数，函数()()sin2cos 2π21f x a x x =+-+（x ∈R ）．（1）设a =，求函数()y f x =的单调区间及周期T ；（2）若函数()y f x =为偶函数，求此函数的值域．20.已知A 、B 两地相距2R ，以AB 为直径作一个半圆，在半圆上取一点C ，连接AC 、BC ，在三角形ABC 内种草（如图），M 、N 分别为弧AC 、弧BC 的中点，在三角形AMC 、三角形BNC 上种花，其余是空地．设花坛的面积为1S ，草坪的面积为2S ，取ABC θ∠=．（1）用θ及R 表示1S 和2S ；（2）求12S S 的最小值．21.对于函数()f x （x D ∈），若存在非零常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，我们称函数()f x 为“T 函数”，若对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +>成立，则称函数()f x 为“严格T 函数”．（1）求证：()sin f x x =，x ∈R 是“T 函数”；（2）若函数()2sin f x kx x =+是“π2函数”，求k 的取值范围；（3）对于定义域为R 的函数()f x ，()00f =．函数()sin f x 是奇函数，且对任意的正实数T ，()sin f x 均是“严格T 函数”．若()π2f a =，()π2f b =-，求a b +的值上海中学2023学年第二学期高一年级数学期中2023.04一、填空题（每小题3分，共36分）1.一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为______．【答案】2rad 【解析】【分析】设扇形的半径为R ，弧长为l ，圆心角为α，根据题意，由24R l +=，112lR =求解.【详解】设扇形的半径为R ，弧长为l ，圆心角为α，则24R l +=．①由扇形的面积公式12S lR =，得112lR =．②由①②得1R =，2l =，∴2rad lRα==．∴扇形的圆心角为2rad ．故答案为：2rad2.角θ的终边经过点()4,P y ，且3sin 5θ=-，则tan θ=______．【答案】34-【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tan θ的值．【详解】解：角θ的终边经过点()4,P y ，且3sin 5θ=-=，3y ∴=-，则3tan 44y θ==-，故答案为34-．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3.若tan 2θ=-，则2cos2sin21cos θθθ-=+______．【答案】16【解析】【分析】利用正余的倍角公式，将2cos2sin21cos θθθ-+转化成齐次式即可求出结果.【详解】因为2222222cos2sin2cos sin 2sin cos 1tan 2tan 1cos 2cos sin 2tan θθθθθθθθθθθθ-----==+++，又tan 2θ=-，所以2cos2sin214411cos 246θθθ--+==++.故答案为：16.4.已知π1πcos (0332αα⎛⎫+=<<⎪⎝⎭，则()sin πα+=________________．【答案】3226-【解析】【分析】根据同角关系式，诱导公式及两角差的正弦公式即得.【详解】π02α<<，ππ5ππ,sin 03363αα⎛⎫∴<+<+> ⎪⎝⎭，所以π22sin 33α⎛⎫+==⎪⎝⎭，则()ππsin πsin sin 33ααα⎡⎤⎛⎫+=-=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦221133232⎛=-⨯-⨯= ⎝⎭3226-.故答案为：3226-.5.函数()2sin cos y x x =+的最小正周期是________【答案】π【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式可得函数sin 21y x =+，根据最小正周期等于2πω求出结果.【详解】函数()222sin cos sin cos 2sin cos sin 21y x x x x x x x =+=++=+，∴函数的最小正周期为22ππ=故答案为：π.6.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其面积2221()3S a c b =+-，则tan B =________【答案】43【解析】【分析】根据面积公式得到1sin 2S ac B =⋅,根据余弦定理得到2222cos a c b ac B +-=⋅,对等式进行整理,即可得到tan B 的值【详解】由三角形面积公式可得1sin 2S ac B =⋅,由余弦定理可得2222cos a c b ac B+-=⋅ 2221()3S a c b =+-,11sin 2cos 23ac B ac B ∴⋅=⋅⋅又0a > ,0c >,12sin cos 23B B ∴=,2sin 431cos 32B B ∴==,即4tan 3B =故答案为43【点睛】本题考查解三角形的问题,考查三角形面积公式,余弦定理的应用,考查正切公式7.已知函数2()cos 2cos (0)222x x x f x ωωωω=+>的周期为23π，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k =+恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是__________.【答案】(3,2]--【解析】【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式，结合周期为23π求得()2sin 316f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后将0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k =+恰有两个不同的零点，转化为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x k =-恰有两个不同的根，在同一坐标系中作出函数(),y f x y k ==-的图象，利用数形结合法求解.【详解】函数2()cos 2cos 222x x x f x ωωω=+，cos 1x x ωω=++，2sin 16x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的周期为，所以2323πωπ==，()2sin 316f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k =+恰有两个不同的零点，所以0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x k =-恰有两个不同的根，在同一坐标系中作出函数(),y f x y k ==-的图象如图所示：由图象可知：23k ≤-<，即2k -3<≤-，所以实数k 的取值范围是(3,2]--，故答案为：(3,2]--【点睛】方法点睛：函数零点个数问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．8.若函数()2sin 0y x ωω=>在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，但最大值不是2，则ω的取值范围是________.【答案】3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】根据x 的范围可确定x ω的范围，由正弦型函数最值可确定x ω所满足的不等关系，解不等式组可求得ω的范围.【详解】当,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，,34x ππωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，由题意可知：32223222242k k k k ππππωπππππωπ⎧-+<-≤-+⎪⎪⎨⎪-+≤<+⎪⎩，Z k ∈，解得：3966222828k k k kωω⎧-≤<-⎪⎨⎪-+≤<+⎩，Z k ∈，0ω> ，9602280k k ⎧->⎪∴⎨⎪+>⎩，解得：4143k -<<，又Z k ∈，0k ∴=，392222ωω⎧≤<⎪∴⎨⎪-≤<⎩，322ω∴≤<，即ω的取值范围为3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭.9.张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C的对边，已知b =，45A ∠= ，求边c ，显然缺少条件，若他打算补充a 的大小，并使得c 只有一解，a 的可能取值是______(只需填写一个适合的答案)【答案】【解析】【分析】由正弦定理可得{}22sin 10,2B a ⎛=∈⋃ ⎝⎦，可得a 的取值集合{})2⎡⋃+∞⎣，即可确定一个a的可能取值是【详解】解：由已知及正弦定理sin sin a b A B=22sin 2B =，可得{}22sin 10,2B a ⎛=∈⋃ ⎝⎦，可得a 的取值集合为：{})2⎡⋃+∞⎣．可得a 的可能取值是故答案为．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．10.定义：关于x 的两个不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和11,b a ⎛⎫⎪⎝⎭，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式2cos220x θ-+<与不等式224sin210x x θ++<为对偶不等式，且θ=______．【答案】()ππZ 26k k θ=-∈【解析】【分析】根据题意利用韦达定理可得,2a b ab θ+==，且112sin 2a bθ+=-，结合三角恒等变换化简可求得πsin 203θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可求得答案.【详解】依题意可知,a b 为2cos220x θ-+=的两根，11,a b为224sin210x x θ++=的两根，需满足2248cos 280,16sin 280θθ'∆=->∆=->，即215sin 226θ<<，故,2a b ab θ+==，且112sin 2a bθ+=-，故11a b a b ab++=，则2sin 22θθ-=，π2sin 202sin 20,3θθθ⎛⎫+=∴+= ⎪⎝⎭，()()πππ2πZ ,Z 326k k k k θθ+=∈∴=-∈，经验证满足215sin 226θ<<故答案为：()ππZ 26k k θ=-∈11.设()202320222021f x xx =++，若不等式()()22sin cos 1cos f x a x a f x ++≥+对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】(][),21,-∞-+∞ 【解析】【分析】构造函数，利用奇偶性、单调性将不等式转化恒成立问题，利用换元法结合二次函数的性质求解即可.【详解】令()()202320212022g x f x xx =-=+，由()g x 定义域为R ，且()()g x g x -=-，所以()g x 为奇函数，且2023222,0y x y x ==在R 单调递增，所以()g x 在R 单调递增，所以不等式()()22sin cos 1cos f x a x af x ++≥+对一切x ∈R 恒成立，()()22sin cos 20211cos 2021f x a x a f x ⇔++-≥+-，()()22sin cos 1cos g x a x a g x ⇔++≥+，22sin cos 1cos x a x a x ⇔++≥+，即221cos cos 1cos x a x a x ⇔-++≥+，()22cos 1cos 0x a x a ⇔+--≤在R 恒成立，设[]cos ,1,1t x t =∈-，则问题转化为：()2210t a t a +--≤在[]1,1t ∈-上恒成立，又因为()22Δ140a a =-+>，所以()()()()2222221110201110a a a a a a a a ⎧⎧-≥-+-⨯--≤⎪⇒⎨⎨+-≥+-⨯-≤⎪⎩⎩，解得：2a ≤-或1a ≥，所以实数a 的取值范围是：(][),21,-∞-+∞ .故答案为：(][),21,-∞-+∞ .12.若不等式2sin sin sin 23sin sin k B A C B C +>对任意ABC 都成立，则实数k 的最小值为______．【答案】144【解析】【分析】利用正弦定理角化边，可得223kb ac bc +>恒成立，化简为223bc ac k b -⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立，将223bc acb-化为二次函数性形式，结合二次函数性质即可求得答案.【详解】由2sin sin sin 23sin sin k B A C B C +>对任意ABC 都成立，可得223kb ac bc +>，即223bc ac k b -⎛⎫>⎪⎝⎭恒成立，又因为ABC 中，a b c +>，则()()()222232323b a c b a a b bc ac b b b --+-=<22222311144a a a b b b ⎛⎫⎛⎫=-+⋅+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当11a b =时，211144a b ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭取得最大值144，即223144bc ac b -<，故144k ≥，即实数k 的最小值为144，故答案为：144二、选择题（每小题4分，共16分）13.将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >）个单位长度得到点P'，若P'位于函数sin 2y x =的图象上，则（） A.12t =，s 的最小值为6πB.32t =，s的最小值为6π C.12t =，s 的最小值为3πD.32t =，s的最小值为3π【答案】A 【解析】【详解】由题意得，1sin(2)432t ππ=⨯-=，可得，因为P'位于函数sin 2y x =的图象上所以，可得，s 的最小值为，故选A.【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.14.我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制在面度制下，角θ的面度数为512π，则cos 2θ=（）A.624 B.624C.314D.314-【答案】B 【解析】【分析】设角θ所在的扇形的半径为r ，利用面度数的定义及扇形的面积公式可得θ，利用两角和的余弦公式即可求解cos2θ的值．【详解】解：设角θ所在的扇形的半径为r ，由扇形的面积公式可得21||2S r θ=⋅，则215||212S r πθ==，可得5coscos cos cos cos sin sin 212464646θπππππππ⎛⎫==+=- ⎪⎝⎭122224=-⨯=.故选：B.15.将函数()π2sin 34f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向下平移1个单位，得到()g x 的图像，若()()129g x g x ⋅=，其中[]12,0,4πx x ∈，则12x x 的最大值为（）．A.9B.275C.3D.11【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数图象的平移求得()g x 的解析式，根据已知求得1π34x +的最大值和2π34x +的最小值，即可求得1x 的最大值以及2x 的最小值，即得答案.【详解】将函数()π2sin 34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向下平移1个单位，得到()g x 的图像,即()π2sin 314g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()[3,1]g x ∈-，故由()()129g x g x ⋅=可得()()123,3g x g x =-=-，则12ππsin 31,sin 3144x x ⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为[]12,0,4πx x ∈，故12ππ49πππ49π,3,344444,4x x ⎡⎤⎡⎤+∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以需1π34x +取到最大值23π2，2π34x +取到最小值3π2，即1x 取到最大值15π4，2x 取到最小值5π12，此时12x x 取最大值，即12x x 最大值为15π95412π=，故选：A16.设函数()3sin 2cos 1f x x x =++，若实数,,a b c 使得()()1af x bf x c +-=对任意实数x 恒成立，则cos b ca的值等于A.12-B.12C.1- D.1【答案】C 【解析】【详解】解：令c=π，则对任意的x ∈R ，都有f （x ）+f （x-c ）=2，于是取a=b=12，c=π，则对任意的x ∈R ，f （x ）+f （x-c ）=1，由此得cos b ca=-1，选C 三、解答题（本大题共5题，各题分值依次为8、8、8、12、12分，共48分）17.函数()sin()f x A x ωϕ=+（0ω>，0πϕ-<<）在一个周期内的图像经过(,0)6B π，2(,0)3C π，(,1)4D π三点，求()sin()f x A x ωϕ=+的表达式.【答案】232()433f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【解析】【分析】由题意，根据,B C 是半周期内的两个相邻的零点，求得4w =，进而求得3A =和23πφ=-，即可得到函数的解析式；【详解】（1）当2,0,,063B C ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是半周期内的两个相邻的零点，则2,,2236T T w πππ=-∴=∴=0321230sin A Asin πφπφπφπφ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎪=⎧⎪⎪⎛⎫+=⇒⎨⎨⎪=-⎝⎭⎪⎪⎩⎪-<<⎪⎩所以函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）当2,0,,063B C ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是一周期内的两个不相邻的零点，则2,,4362T T w πππ=-∴=∴=()2023331203sin A Asin πφπφππφφ⎧⎛⎫+= ⎪⎧⎪⎝⎭=⎪⎪⎪⎪+=⇒⎨⎨⎪⎪-<<=-⎪⎪⎩⎪⎩所以函数()2sin 433f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，及三角函数的解析式的求解，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，合理、准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin tan 12cos CA C=-，1b =.（1）求a 的值；（2）若c =，求ABC 外接圆的面积.【答案】（1）2a =，（2）73π.【解析】【分析】（1）由2sin tan 12cos CA C=-,根据同角的三角函数的关系和两角和的正弦公式可得sin 2sin A B =，再由正弦定理可得2a b =，问题得以解决；（2）由（1）可得2a =，先由余弦定理求出cos C ，再求出C 的值，再由正弦定理求出外接圆的半径，问题得以解决.【小问1详解】因为2sin tan 12cos CA C=-，所以sin 2sin cos 12cos A CA C=-，所以sin (12cos )2cos sin A C A C -=，所以sin 2sin cos 2cos sin 2sin()A A C A C A C =+=+，因为πA C B +=-，所以sin()sin(π)sin A C B B +=-=，所以sin 2sin A B =由正弦定理得2a b =.因为1b =，所以2a =.【小问2详解】因为c =2a =，1b =，所以由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，即714212cos C =+-⨯⨯，即1cos 2C =-，因为()0,πC ∈所以2π3C =，设ABC 的外接圆半径为R，则22πsin 3R=，解得213R =，所以ABC 的外接圆面积为27ππ3R =.19.设a 为常数，函数()()sin2cos 2π21f x a x x =+-+（x ∈R ）．（1）设a =，求函数()y f x =的单调区间及周期T ；（2）若函数()y f x =为偶函数，求此函数的值域．【答案】（1）增区间ππ[π,π36Z ],k k k -+∈，减区间为 π2π[63π+,πZ k k k +∈；π（2）[0,2]【解析】【分析】（1）根据三角函数诱导公式以及辅助角公式可化简得()π2sin(216f x x =++，结合正弦函数性质即可求得答案；（2）根据函数的奇偶性求得a 的值，结合余弦函数性质可求得答案.【小问1详解】因为a =()πcos212sin(2)16f x x x x =++=++，令πππ2π22π,Z 262k x k k -≤+≤+∈，解得ππππ,Z 36k x k k -≤≤+∈，即函数()y f x =的单调增区间为ππ[π,π36],Z k k k -+∈；令ππ3π2π+22π,Z 262k x k k ≤+≤+∈，解得π2ππ+π,Z 63k x k k ≤≤+∈，函数()y f x =的单调减区间为π2π[π+,π],Z 63k k k +∈函数的周期为2ππ2T ==.【小问2详解】函数()y f x =为偶函数，则()()f x f x -=，即sin(2)cos(22)1ππsin2cos(22)1a x x a x x -+++=+-+，即sin2cos21sin2cos21a x x a x x -++=++，即sin20a x =，由于x ∈R ，则0a =，故()()cos 2π21cos 21f x x x =-+=+，由于cos 2[1,1]x ∈-，故()[0,2]f x ∈.20.已知A 、B 两地相距2R ，以AB 为直径作一个半圆，在半圆上取一点C ，连接AC 、BC ，在三角形ABC 内种草（如图），M 、N 分别为弧AC 、弧BC 的中点，在三角形AMC 、三角形BNC 上种花，其余是空地．设花坛的面积为1S ，草坪的面积为2S ，取ABC θ∠=．（1）用θ及R 表示1S 和2S ；（2）求12S S 的最小值．【答案】（1）()21sin cos 2sin cos S R θθθθ=+-，22sin 2S R θ=；（21-【解析】【分析】（1）先利用θ及R 表示出,AC BC 的长，即可表示出2S ，进而设AB 的中点为O ，连接,MO NO ，表示出ME 的长，结合三角形面积公式即可表示出1S ；（2）利用（1）的结论可得12S S 的表达式，结合三角函数sin cos ,sin cos θθθθ+之间的关系化简，并利用函数单调性，即可求得答案.【小问1详解】因为π,(0,]2ABC θθ∠=∈，故2sin 2cos ,AC R BC R θθ==，所以22212sin cos sin 22S AC BC R R θθθ=⋅==，设AB 的中点为O ，连接,MO NO ，则,MO AC NO BC ⊥⊥,设MO 交AC 于点E ，则()cos 1cos 2BCME MO OE R R R R θθ=-=-=-=-，则()21||||sin 1cos 2AMC S AC ME R θθ=⋅=- ，同理求得()2cos 1sin BNC S R θθ=- ，故()()()2221sin 1cos cos 1sin sin cos 2sin cos S R R Rθθθθθθθθ=-+-=+-.【小问2详解】由（1）的结论可得()2122sin cos 2sin cos sin cos 12sin cos 2sin cos R S S R θθθθθθθθθθ+-+==-，令πsin cos ,0,2t θθθ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则(π)4t θ=+∈，故22sin cos 1t θθ=-，所以12211111S t S t t t=-=---，由于(t ∈，1y t t =-在(上单调递增，则12(0,]2t t-∈，故1111t t-≥-，即12S S1-.21.对于函数()f x （x D ∈），若存在非零常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，我们称函数()f x 为“T 函数”，若对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +>成立，则称函数()f x 为“严格T 函数”．（1）求证：()sin f x x =，x ∈R 是“T 函数”；（2）若函数()2sin f x kx x =+是“π2函数”，求k 的取值范围；（3）对于定义域为R 的函数()f x ，()00f =．函数()sin f x 是奇函数，且对任意的正实数T ，()sin f x 均是“严格T 函数”．若()π2f a =，()π2f b =-，求a b +的值【答案】（1）证明见解析（2）[2,)π+∞（3）0【解析】【分析】（1）取非零常数2πT =，证明函数满足()()f x T f x +≥即可；（2）根据函数()2sin f x kx x =+是“π2函数”，可推出22ππsin sin 22k x x kx x ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，化简为cos 22πk x ≥-，结合余弦函数性质可得答案；（3）由“严格T 函数”的定义可知函数为单调递增函数，再结合()sin f x 是奇函数，利用其对称性即可求得答案.【小问1详解】证明：取非零常数2πT =，则对任意的x ∈R ，都有()2πsin(2π)sinx f x x +=+=，因为sin sin x x ≥，即()()f x T f x +≥成立，故()sin f x x =，x ∈R 是“T 函数”.【小问2详解】函数()2sin f x kx x =+是“π2函数”，R D =，则()π2f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，即22ππsin sin 22k x x kx x ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得cos 22πk x ≥-，而cos 2[1,1]x ∈-，故π21,2πk k ≥∴≥，即k 的取值范围为[2,)π+∞；【小问3详解】因为对于任意x ∈R ，对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +>成立，则()f x 在R 上为单调增函数，令()()sin g x f x =，x ∈R ，由题意知()()sin g x f x =为奇函数，因为()π2f a =，()π2f b =-，所以()sin(())1,()sin(())1g a f a g b f b ====-，所以()()0g a g b +=，则0a b +=.【点睛】关键点睛：本题是给出新的函数定义，然后根据该定义解决问题，解答此类题目的关键是理解新定义，明确其含义，根据其含义明确函数的性质，继而解决问题.。
