高一数学竞赛第七讲周期、对称性

高一数学竞赛第七讲函数性质（2）
一、主要知识点梳理
1．周期性 对于函数)(x f ，如果存在一个不为零的正数T ，使得当x 取定义域中每个数时，)()(x f T x f =+总成立，那么称)(x f 是周期函数，T 称为这个周期函数的周期.如果函数)(x f 的所有周期中存在最小值 T ,则称 T 为周期函数)(x f 的最小正周期.
函数)(x f y =满足如下之一关系，则T x f 2)(的周期为
A.)()(x f T x f -=+
B.)
(1)()(1)(x f T x f x f T x f -=+=+或 C.)
(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或)(1)(1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立） 2．对称性
(1)偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =-
(2)奇函数关于坐标（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f
推广：
（1）若)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=
对称 (2)若c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2
,2(
c b a + 对称 二、典型例题分析
1．如果函数2(),f x x bx c =++对于任意实数t 都有(2)(2)f t f t +=-，那么 )4(),2(),1(f f f 之间的大小关系是 .
2．定义在实数集上的函数)(x f ，对一切实数x 都有(1)(2)f x f x +=-成立，若)(x f ＝0 仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为 .
3．设)(x f 是R 上的奇函数，且(3)()f x f x +=-，当0≤x ≤2
3时，()f x x =，则 (2008)f =__________.
4．若函数(),y f x x R =∈满足)()2(x f x f =+，且]1,1(-∈x 时，||)(x x f =，则函 )(x f y =的图象与函数||log 3x y =的图象的交点的个数是_______ .
5．函数()f x 的定义域为R ，对任意实数x 满足(1)(3)f x f x -=-，且(1)f x -＝(3)f x -， 当12x ≤≤时，()f x ＝2x ，则()f x 的单调减区间是（ ）
A.[2k ，2k +1](k Z ∈)
B.[2k -1，2k ](k Z ∈)
C.[2k ，2k +2] (k Z ∈)
D.[2k -2，2k ](k Z ∈)
6.设奇函数)(x f 的定义域为R ，最小正周期为3=T ，若1
32)2(,1)1(+-=
≥a a f f ，则a 的 取值范围是 7.已知偶函数 ()y f x = 定义域为R ，且恒满足(2)(2)f x f x +=- ，若方程 ()0f x = 在 []0,4上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间(]8,10-中的根．
9.已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T=5，函数()(11)y f x x =-≤≤是奇函数又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值5-.
①证明：(1)(4)0f f +=；②求(),[1,4]y f x x =∈的解析式；③求()y f x =在[4,9]上的解析式.
10.已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (
12)=－1,当且仅当0<x <1时f (x )<0,且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (xy y x ++1), 试证明: (1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减.
三、巩固练习
1.设f （x ）是定义在R 上以6为周期的函数，f （x ）在(0,3)内单调递减，且y=f （x ）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是（ ）
A ()()()1.5 3.5 6.5f f f <<
B ()()()3.5 1.5 6.5f f f <<
C ()()()6.5 3.5 1.5f f f <<
D ()()()3.5 6.5 1.5f f f <<
2.已知()113x f x x
+=-，()()1f x f f x =⎡⎤⎣⎦，()()21f x f f x =⎡⎤⎣⎦，…，()()1n n f x f f x +=⎡⎤⎣⎦，
则()20042f -=（ ）. A.17- B. 17 C. 35- D.3
3．已知函数f ()x 是定义域为R 的偶函数，且f ()x ＋2＝f ()x ，若f ()x 在[]－1，0上是减函数，那么f ()x 在
[]2，3上是( )
A ．增函数
B ．减函数
C ．先增后减的函数
D ．先减后增的函数
4．已知定义为R 的函数()x f 满足()()4+-=-x f x f ，且函数
()x f 在区间()+∞,2上单调递增.如果212x x <<，且421<+x x ，则()()21x f x f +的值（ ）.
A ．恒小于0
B ．恒大于0
C ．可能为0
D ．可正可负.
5.定义在R 上的函数f (x )是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f (1)＋f (4)＋f (7)等于( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．4
6．已知函数)(x f y =是一个以4为最小正周期的奇函数，则=)2(f
（ ）
A ．0
B ．－4
C ．4
D ．不能确定 7．f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(－6,6)内解的个数的最小值是( )
A ．10
B ．8
C ．6
D ．4
8.设f (x )＝1＋x 1－x
，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f [f k (x )]，k ＝1,2，…，则f 2009(x )＝( ) A ．－1x B ．x C.x －1x ＋1 D.1＋x 1－x
9.已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)
B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)
C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)
D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)
10.定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为（ ）
A.0
B.1
C.3
D.5
11.已知()f x 是定义在R 上的函数，(10)(10)f x f x +=-且(20)(20)f x f x -=-+，则()f x 是（ ）A. 周期为20的奇函数 B. 周期为20的偶函数
C. 周期为40的奇函数
D. 周期为40的偶函数
12.()()()()39821583214f x f x f x f x =-=-=-，则()0f ，()1f ，()2f ，…，()999f 中最多有（ ） 个不同的值. A.165 B.177 C.183 D.199
14.已知函数()y f x = 满足()(2)0f x f x +-= ，则 ()y f x = 图象关于_______对称。

15.设()f x 是定义在R 上的奇函数，(4)()f x f x +=－且(3)f =5，则(21)f =－______________，(2005)f =______________
16.设()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足1(2)()
f x f x +=，当0≤x ≤1，()f x =2x ，则(7.5)f =______________
17.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)(2)f x f x -=+， (1)f =2，则
(2)(7)
f f +=______________ 18．已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，并且)
(1)2(x f x f -=+，当32≤≤x 时，x x f =)(，
则=)5.105(f ___________．
19．若函数2(2)3,[,]y x a x x a b =+++∈的图象关于直线1x =对称，则b =_________.
20.函数)(x f 在R 上有定义，且满足)(x f 是偶函数，且()02005f =，()()1g x f x =-是奇函数，则()2005f 的值为 .
21.已知()f x 是偶函数，且(1)f =993，()g x =(1)f x -是奇函数，则(2005)f =
22.已知定义在R 上的函数()f x 是以2为周期的奇函数，则方程()0f x =在[2,2]-上至少有__________个实数根
23.已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.
24．设函数f (x )在(－∞，＋∞)上满足f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )，且在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0.
(1)试判断函数y ＝f (x )的奇偶性；
(2)试求方程f (x )＝0在闭区间[－2009,2009]上的根的个数，并证明你的结论．。