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《运筹学》习题集汇总

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第一章线性规划1．1 将下述线性规划问题化成标准形式 1 min z ＝－3x 1 ＋ 4x 2 － 2x 3 ＋ 5 x 4st.4x 1 － x 2 ＋ 2x 3 － x 4 ＝－2 x 1 ＋ x 2 － x 3 ＋2 x4 ≤ 14 －2x 1 ＋ 3x 2 ＋x 3 －x 4 ≥ 2 x 1 ，x 2 ，x 3 ≥ 0，x 4 无约束2 min z ＝ 2x 1 －2x 2 ＋3x 3－ x 1 ＋ x 2 ＋ x 3 ＝ 4 －2x 1 ＋ x 2 －x 3 ≤ 6 x 1≤0 ，x 2 ≥ 0，x 3无约束st.1．2用图解法求解LP 问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。

1 min z ＝2x 1＋3x 24x 1＋6x 2≥6st 2x 1＋2x 2≥4 x 1，x 2≥02 max z ＝3x 1＋2x 2 2x 1＋x 2≤2 st 3x 1＋4x 2≥12x 1，x 2≥03 max z ＝3x 1＋5x 2 6x 1＋10x 2≤120 st 5≤x 1≤103≤x 2≤84 max z ＝5x 1＋6x 2 2x 1－x 2≥21．3 找出下述LP 问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解（1）min z ＝5x 1－2x 2＋3x 3＋2x 41st －2x 1＋3x 2≤2 x 1，x 2≥0x 1＋2x 2＋3x 3＋4x 4＝7 st 2x 1＋2x 2＋x 3 ＋2x 4＝3x 1，x 2，x 3，x 4≥01．4 分别用图解法与单纯形法求解下列LP 问题，并对照指出最优解所对应的顶点。

1 maxz ＝10x 1＋5x 23x 1＋4x 2≤9 st 5x 1＋2x 2≤8 x 1，x 2≥02 maxz ＝2x 1＋x 23x 1＋5x 2≤15 st 6x 1＋2x 2≤24x 1，x 2≥01．5 分别用大M 法与两阶段法求解下列LP 问题。

1 minz ＝2x 1＋3x 2＋x 3 x 1＋4x 2＋2x 3≥8st 3x 1＋2x 2 ≥6 x 1，x 2 ，x 3≥02 max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3. 3x 1＋2x 2＋x 3≥18St. 2x 1＋x 2 ≤4x 1＋ x 2－ x 3＝53 maxz ＝ 5x 1＋3x 2 +6x3 x 1＋2x 2 －x 3 ≤ 18 st 2x 1＋x 2 －3 x3 ≤ 16 x 1＋x 2 －x 3＝10 x 1，x 2 ，x 3≥04 max z =10x 1+15x 2+12x 3≤9⎧5x 1+3x 2+x 3⎪-5x +6x +15x ≤15⎪123st . ⎨x 3≥5⎪2x 1+x 2+⎪x , x , x ≥0⎩1231．621.7某班有男生30人，女生20人，周日去植树。

根据经验，一天男生平均每人挖坑20个，或栽树30棵，或给25棵树浇水；女生平均每人挖坑10个，或栽树20棵，或给15棵树浇水。

问应怎样安排，才能使植树（包括挖坑、栽树、浇水）最多？请建立此问题的线性规划模型，不必求解。

1.8某糖果厂用原料A 、B 、C 加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。

已知各种牌号糖果中A 、B 、C 含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如下表所示。

问该厂每月应生产这三种牌号糖果各多少千克，使该厂获利最大？试建立此问题的线性规划的数学模型。

甲乙丙原料成本(元/千克每月限量（千克）A ≥60≥15 2.00 2000B 1.50 2500C ≤20≤60≤50 1.00 1200 加工费（元/千克 0.500.40 0.30 售价 3.40 2.85 2.251.9某商店制定7－12月进货售货计划，已知商店仓库容量不得超过500件，6月底已存货200件，以后每月初进货一次，假设各月份此商品买进售出单价如下表所示，问各月进货售货各多少，才能使总收入最多？请建立此问题的线性规划模型。

月份 7 8 9 10 11 12 买进单价 28 24 25 27 23 231.10某厂接到生产A 、B 两种产品的合同，产品A 需200件，产品B 需300件。

这两种产品的生产都经过毛坯制造与机械加工两个工艺阶段。

在毛坯制造阶段，产品A 每件需要2小时，产品B 每件需要4小时。

机械加工阶段又分粗加工和精加工两道工序，每件产品A 需粗加工4小时，精加工10小时；每件产品B 需粗加工7小时，精加工12小时。

若毛坯生产阶段能力为1700小时，粗加工设备拥有能力为1000小时，精加工设备拥有能力为3000小时。

又加工费用在毛坯、粗加工、精加工时分别为每小时3元、3元、2元。

此外在粗加工阶段允许设备可进行500小时的加班生产，但加班生产时间内每小时增加额外成本4.,5元。

试根据以上资料，为该厂制订一个成本最低的生产计划。

1.11某公司有三项工作需分别招收技工和力工来完成。

第一项工作可由一个技工单独完成，或由一个技工和两个力工组成的小组来完成。

第二项工作可由一个技工或一个力工单独去完成。

第三项工作可由五个力工组成的小组完成，或由一个技工领着三个力工来完成。

已知技工和力工每周工资分别为100元和80元，他们每周都工作48小时，但他们每人实际的有效工作小时数分别为42和36。

为完成这三项工作任务，该公司需要每周总有效工作小时数为：第一项工作10000小时。

第二项工作20000小时，第三项工作30000小时。

又能招收到的工人数为技工不超过400人，力工不超过800人。

试建立数学模型，确定招收技工和力工各多少人。

使总的工资支出为最少(3第二章对偶与灵敏度分析2．1 写出以下线性规划问题的DLP 1 minz ＝2x 1＋2x 2＋4x 3stx 1＋3x 2＋4x 3 ≥2 2x 1＋ x 2＋3x 3 ≤3 x 1＋4x 2＋3x 3 ＝5 x 1，x 2≥0，x 3无约束 x 1＋2x 2＋2x 3 ＝5 －x 1＋5x 2－x 3 ≥3 4x 1＋7x 2＋3x 3 ≤8 x 1无约束，x2≥0，x 3≤02 max z ＝5x 1＋6x 2＋3x 3st3 max z ＝c 1x 1＋c 2x 2＋c 3x 3sta 11x 1＋a 12x 2＋a 13x 3 ≤b 1a 21x 1＋a 22x 2＋a 23x 3 ＝b 2 a 31x 1＋a 32x 2＋a 33x 3 ≥b 3 x 1≥0，x 2≤0，x 3无约束2．2 st对于给出的LP ：minz ＝2x 1＋3x 2＋5x 3＋6x 4 x 1＋2x 2＋3x 3＋x 4 ≥2 －2x 1＋x 2－x 3＋3x 4 ≤－3x j ≥0 （j=1,2,3,4） 1 写出DLP ；2 用图解法求解DLP ；3 利用2）的结果及根据对偶性质写出原问题的最优解。

2．3 对于给出LP ： maxz ＝x 1＋2x 2＋x 3stx 1＋ x 2－x 3 ≤2 x 1－ x 2＋ x 3 ＝1 2x 1＋ x 2＋x 3 ≥2 x 1≥0，x 2≤0，x 3无约束1 写出DLP ；2 利用对偶问题性质证明原问题目标函数值Z ≤12．4 已知LP ： max z ＝x 1＋x 2st －x 1＋ x 2＋x 3 ≤2－2x 1＋ x 2－x 3 ≤1 x j ≥04试根据对偶问题性质证明上述线性问题目标函数值无界。

2．5 给出LP ： maxz ＝2x 1＋4x 2＋x 3＋x 4 x 1＋ 3x 2 ＋x 4 ≤82x 1＋x 2 ≤6 st. x 2 ＋ x 3＋x 4≤6x 1＋ x 2 ＋x 3 ≤9 x j ≥01 写出DLP ；2 已知原问题最优解X ＝（2,2，4,0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。

2．6 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题 1 minz ＝4x 1＋12x 2＋18x 3stx 1 ＋3x 3 ≥32 x2＋2x3 ≥5 x j ≥0 (j=1,2,32 min z =5x 1+2x 2+4x 3⎧3x 1+x 2+2x 3≥4⎪st . ⎨6x 1+3x 2+5x 3≥10⎪x , x , x ≥0⎩1232．7 考虑如下线性规划问题minz ＝60x 1＋40x 2＋80x 3 3x 1＋2x 2＋x 3 ≥2st4x 1＋ x 2＋3x 3 ≥42x 1＋2x 2＋2x 3 ≥3 x j ≥01 写出DLP ；2 用对偶单纯形法求解原问题；3 用单纯形法求解其对偶问题；4 对比以上两题计算结果。

2．8 已知LP ：maxz ＝2x 1－x 2＋x 3 x 1＋ x 2＋x 3≤6st －x 1＋2x 2 ≤4 x 1，x 2，x 3≥01 用单纯形法求最优解2 分析当目标函数变为maxz ＝2x 1＋3x 2＋x 3时最优解的变化；3 分析第一个约束条件右端系数变为3时最优解的变化。

52．9 给出线性规划问题 maxz ＝2x 1＋3x 2＋x 31/3x1＋1/3x2＋1/3x3≤1 st 1/3x1＋4/3x2＋7/3x3≤3 x j ≥01 目标函数中变量x 3的系数变为6；2 分别确定目标函数中变量x 1和x 2的系数C 1、C 2在什么范围内变动时最优解不变；3 约束条件的右端由 1 变为 2 ； 3 32.10 某厂生产甲、乙两种产品，需要A 、B 两种原料，生产消耗等参数如下表（表中的消耗系数为千克/件）。

（2）原料A 、B 的影子价格各为多少。

（3）现有新产品丙，每件消耗3千克原料A 和4千克原料B ，问该产品的销售价格至少为多少时才值得投产。

（4）工厂可在市场上买到原料A 。

工厂是否应该购买该原料以扩大生产？在保持原问题最优基的不变的情况下，最多应购入多少？可增加多少利润？3. 5 某玩具公司分别生产三种新型玩具，每月可供量分别为1000、2000、2000件，它们分别被送到甲、乙、丙三个百货商店销售。

已知每月百货商店各类玩具预期销售量均为1500件，由于经营方面原因，各商店销售不同玩具的盈利额不同, 见下表。

又知丙百货商店要求至少供应C 玩具1000件，而拒绝进A 玩具。

求满足上述条件下使总盈利额最大的供销分配方案。

甲乙丙可供量A 5 4 － 1000B 16 8 9 2000C 12 10 11 2000第三章运输问题3．13．23．33.4 某市有三个面粉厂，他们供给三个面食加工厂所需的面粉，各面粉厂的产量、各面食加工厂加工面粉的能力、各面食加工厂和各面粉厂之间的单位运价，均式于下表。

假定在第1，2和3面食加工厂制作单位面粉食品的利润分别为12元、16元和11元，试确定使总效益最大的面粉分配计划（假定面粉厂和面食加工厂都属于同一个主管单位）。

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最全运筹学习题及答案运筹学习题答案第⼀章（39页）1.1⽤图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯⼀最优解、⽆穷多最优解、⽆界解还是⽆可⾏解。

（1）max 12z x x =+ 51x +102x ≤501x +2x ≥1 2x ≤4 1x ，2x ≥0（2）min z=1x +1.52x1x +32x ≥3 1x +2x ≥2 1x ，2x ≥0（3）max z=21x +22x1x -2x ≥-1-0.51x +2x ≤21x ，2x ≥0（4）max z=1x +2x1x -2x ≥031x -2x ≤-31x ，2x ≥0解：（1）（图略）有唯⼀可⾏解，max z=14 （2）（图略）有唯⼀可⾏解，min z=9/4 （3）（图略）⽆界解（4）（图略）⽆可⾏解1.2将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。

（1）min z=-31x +42x -23x +54x 41x -2x +23x -4x =-21x +2x +33x -4x ≤14-21x +32x -3x +24x ≥21x ，2x ，3x ≥0，4x ⽆约束（2）k i z =1mk x=-∑ik x ≥（1Max s. t .-41x x 1x ,2x(2)解：加⼊⼈⼯变量1x ，2x ，3x ，…n x ，得： Max s=(1/k p )1ni =∑mk =∑ik αik x -M 1x -M 2x -…..-M n xs.t.m（1）max z=21x +32x +43x +74x 21x +32x -3x -44x =8 1x -22x +63x -74x =-31x ,2x ,3x ,4x ≥0(2)max z=51x -22x +33x -64x1x +22x +33x +44x =721x +2x +3x +24x =31x 2x 3x 4x ≥0（1）解：系数矩阵A 是：23141267----?? 令A=(1P ，2P ，3P ，4P )1P 与2P 线形⽆关，以（1P ，2P ）为基，1x ，2x 为基变量。

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第一章线性规划1．1将下述线性规划问题化成标准形式1)min z＝－3x1＋4x2－2x3＋5 x4－x2＋2x3－x4＝－24xst. x1＋x2－x3＋2 x4 ≤14－2x1＋3x2＋x3－x4 ≥ 2x1，x2，x3≥0，x4无约束2)min z ＝2x1－2x2＋3x3＋x2＋x3＝4－xst. －2x1＋x2－x3≤6x1≤0 ，x2≥0，x3无约束1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。

1)min z＝2x1＋3x24x1＋6x2≥6st2x1＋2x2≥4x1，x2≥02)max z＝3x1＋2x22x1＋x2≤2st3x1＋4x2≥12x1，x2≥03)max z＝3x1＋5x26x1＋10x2≤120st5≤x1≤103≤x2≤84)max z＝5x1＋6x22x1－x2≥2st－2x1＋3x2≤2x1，x2≥01．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解（1）min z＝5x1－2x2＋3x3＋2x4x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7st2x1＋2x2＋x3 ＋2x4＝3x1，x2，x3，x4≥01．4 分别用图解法与单纯形法求解下列LP 问题，并对照指出最优解所对应的顶点。

1) maxz ＝10x 1＋5x 23x 1＋4x 2≤9 st 5x 1＋2x 2≤8 x 1，x 2≥02) maxz ＝2x 1＋x 2 3x 1＋5x 2≤15 st 6x 1＋2x 2≤24x 1，x 2≥01．5 分别用大M 法与两阶段法求解下列LP 问题。

1) minz ＝2x 1＋3x 2＋x 3 x 1＋4x 2＋2x 3≥8 st 3x 1＋2x 2 ≥6x 1，x 2 ，x 3≥02) max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3. 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18St. 2x 1＋ x 2 ≤4x 1＋ x 2－ x 3＝53) maxz ＝ 5x 1＋3x 2 +6x 3 x 1＋2x 2 －x 3 ≤ 18 st 2x 1＋x 2 －3 x 3 ≤ 16 x 1＋x 2 －x 3＝10 x 1，x 2 ，x 3≥01231231231231234)m ax 101512539561515.25,,0z x x x x x x x x x st x x x x x x =++++≤⎧⎪-++≤⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩1．61.7某班有男生30人，女生20人，周日去植树。

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第一章线性规划1．1将下述线性规划问题化成标准形式1)min z＝－3x1＋4x2－2x3＋5 x4－x2＋2x3－x4＝－24xst. x1＋x2－x3＋2 x4 ≤14－2x1＋3x2＋x3－x4 ≥2x1，x2，x3≥0，x4无约束2)min z ＝2x1－2x2＋3x3＋x2＋x3＝4－xst. －2x1＋x2－x3≤6x1≤0 ，x2≥0，x3无约束1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。

1)min z＝2x1＋3x24x1＋6x2≥6st2x1＋2x2≥4x1，x2≥02)max z＝3x1＋2x22x1＋x2≤2st3x1＋4x2≥12x1，x2≥03)max z＝3x1＋5x26x1＋10x2≤120st5≤x1≤103≤x2≤84)max z＝5x1＋6x22x1－x2≥2st－2x1＋3x2≤2x1，x2≥01．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解（1）min z＝5x1－2x2＋3x3＋2x4x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7st2x1＋2x2＋x3 ＋2x4＝3x1，x2，x3，x4≥01．4 分别用图解法与单纯形法求解下列LP 问题，并对照指出最优解所对应的顶点。

1) maxz ＝10x 1＋5x 23x 1＋4x 2≤9 st 5x 1＋2x 2≤8 x 1，x 2≥02) maxz ＝2x 1＋x 2 3x 1＋5x 2≤15 st 6x 1＋2x 2≤24 x 1，x 2≥01．5 分别用大M 法与两阶段法求解下列LP 问题。

1) minz ＝2x 1＋3x 2＋x 3 x 1＋4x 2＋2x 3≥8 st 3x 1＋2x 2 ≥6 x 1，x 2 ，x 3≥02) max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3. 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18 St. 2x 1＋ x 2 ≤4x 1＋ x 2－ x 3＝53) maxz ＝ 5x 1＋3x 2 +6x 3 x 1＋2x 2 －x 3 ≤ 18 st 2x 1＋x 2 －3 x 3 ≤ 16 x 1＋x 2 －x 3＝10 x 1，x 2 ，x 3≥01231231231231234)max 101512539561515.25,,0z x x x x x x x x x st x x x x x x =++++≤⎧⎪-++≤⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩1．61.7某班有男生30人，女生20人，周日去植树。

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表3-3
销地
产地
1
2
3
产量
1
5
1
8
12
2
2
4
1
14
3
3
6
7
4
销量
9
10
11
表3-4
销地
产地
1
2
3
4
5
产量
1
10
2
3
15
9
25
2
5
20
15
2
4
30
3
15
5
14
7
15
20
4
20
15
13
M
8
30
销量
20
20
30
10
25
解：
（1）在表3-3中分别计算出各行和各列的次最小运费和最小运费的差额，填入该表的最右列和最下列。得到：
+ = + +
+ =
建立数学模型：
Max z=(1.25-0.25)*( + )+(2-0.35)*( + )+(2.8-0.5) -(5 +10 )300/6000-(7 +9 +12 )321/10000-(6 +8 )250/4000-(4 +11 )783/7000-7 *200/4000
s.t
2.确定 的范围,使最优解不变;取 ,求最优解;
3.确定 的范围,使最优基不变,取 求最优解;
4.引入 求最优解;
解1.由单纯形方法得
即,原问题的最优解为
例求下面运输问题的最小值解：
1