2020-2021年上海市交大附中高二上期末
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2020学年交大附中高二年级上学期期末试卷
一、填空题
1. 复数21i的虚部为____________．
【答案】1
【解析】因为2121111iiiii，所以复数的虚部为1，
2. 直线121:44xtltRyt，2:30laxy，若12ll，则a____________．
【答案】12a
【解析】将直线1l的方程化为普通方程得260xy，
因为2:30laxy，且12ll，所以，210a，解得12a.
3. 已知变量,xy满足约束条件241yxyxy，则3zxy的最大值为____________．
【答案】11
【解析】由题意得，作出不等式组所表示的可行域，如图所示，由3zxy，得3yxz，
平移直线3yxz，则由图象可知当直线3yxz经过点A时，
直线3yxz的截距最大，此时z有最大值，由21yxy，
解得(3,2)A，此时max33211z．
4. 若方程2(3)40xkixk有实数根，则实数k的取值是____________．
【答案】4k
【解析】因为2(3)40xkixk有实数根，所以2430xkxkix有实根，
所以0x，所以40k，所以4k，
5. 抛物线24yx的准线方程为______.
【答案】116y
【解析】抛物线的标准方程是214xy，所以准线方程是116y.
6. 已知圆锥底面半径为1，高为3，则该圆锥的侧面积为_____．
【答案】2
【解析】由已知可得1,3rh，则圆锥的母线长132l,
所以圆锥的侧面积2Srl．
7. 已知三棱锥ABCD中，2ABCD，3ACBCADBD，则三棱锥ABCD的体积是____________．
【答案】23
【解析】取AB中点O，连接,CODO，如图所示，
因为ACBCADBD，所以,ABCOABDO，
CODOO，CO平面CDO，DO平面CDO，
所以AB⊥平面CDO，
又因为3ACBCADBD，2ABCD，
所以22210322CODO，
所以22110221222CDOS，
所以11221333ABCDCDOVABS.
8. 在北纬45°东经30°有一座城市A，在北纬45°东经120°有一座城市B，设地球半径为R，则A、B两地之间的距离是______；
【答案】3R
【解析】由已知地球半径为R，则北纬45的纬线圈半径为22R，
又因为两座城市的经度分别为东经30和东经120，
故连接两座城市的弦长222LRR，
则A，B两地与地球球心O连线的夹角3AOB，
所以A、B两地之间的距离是3R.
9. 设双曲线221916xy的焦点为1F、2F，P为该双曲线上的一点，若17PF，则2PF_________.
【答案】13
【解析】由双曲线的定义得12||26PFPFa，又17PF，
所以21PF，或213PF，经检验21PFca＜，舍去，所以213PF.
10. 设复数z，满足11z，22z，123zzi，则12zz____________．
【答案】6
【解析】设12,zz在复平面中对应的向量为12,OZOZ，12zz对应的向量为3OZ，如图所示：
因为123zzi，所以12312zz，
所以222131221cos1224OZZ，
又因为1312180OZZZOZ， 所以12131coscos4ZOZOZZ，
所以222211212122cos1416ZZOZOZOZOZZOZ，
所以216ZZ，所以12216zzZZ.
11. 已知异面直线a，b所成角为70°，过空间定点P与a，b成55°角的直线共有_______条．
【答案】
【解析】将直线,ab平移，使两直线经过点P，如图所示：
设直线,ab所成角的角平分线为c，
过点P垂直于直线,ab所在平面的直线为d，
因为,ab所成角为70，当直线l经过点P且直线l在
直线,ab所在平面内且垂直于直线c，
此时l与直线,ab所成角均为18070552；
当直线l在直线,cd所在平面内时，若l绕着P点旋转，此时l与直线,ab所成角相
等，且所成角从70=352变化到90，再从90变化到35，所以此时满足条件
的l有2条，综上所述，过空间定点P与,ab成55角的直线共有3条.
12. 三角形ABC的AB边在平面内，C在平面外，AC和BC分别与面成30和45的角，且平面ABC与平面成60的二面角，那么ABC的大小为____________．
【答案】90ACB或22arccos3.
【解析】分以下两种情况讨论：
（1）若ABC为锐角，如下图所示，过点C作平面的垂线，垂足为点D，连
接AD、BD，
过点D在平面内作DEAB，垂足为点E，连接CE， 设CDa，
则AC与平面所成的角为30CAD，
所以2ACa，223ADACCDa，
BC与平面所成的角为45CBD，
则BDCDa，222BCBDCDa，
因为CD，AB，所以ABCD，
因为DEAB，CDDED，所以AB平面CDE，
因为CE平面CDE，所以ABCE，
所以，平面ABC与平面所成二面角为60CED，
因为CD，DE，所以CDDE，tan3CDCEDDE，
所以33DEa，所以22233CECDDEa，
因为CEAB，所以22263AEACCEa，
2263BEBCCEa，
所以，6ABAEBEa，所以222ACBCAB，所以，90ACB；
（2）若ABC为钝角，如下图所示，过点C作平面的垂线，垂足为点D，连
接AD、BD，过点D在平面内作DEAB，垂足为点E，连接CE，
设CDa，
则AC与平面所成的角为30CAD，
所以2ACa，223ADACCDa，
BC与平面所成的角为45CBD， 则BDCDa，
222BCBDCDa，
因为CD，AB，所以ABCD，
因为DEAB，CDDED，所以AB平面CDE，
因为CE平面CDE，所以ABCE，
所以，平面ABC与平面所成二面角为60CED，
因为CD，DE，所以CDDE，tan3CDCEDDE，
所以33DEa，所以22233CECDDEa，
因为CEAB，所以22263AEACCEa，
2263BEBCCEa，所以63ABAEBEa，
在ABC中，AC2a，2BCa，63ABa，
由余弦定理可得22222cos23ACBCABACBACBC，
因为0180ACB，所以，22arccos3ACB.
综上所述，90ACB或22arccos3.
二、选择题
13. 设复数izab(其中abR、，i为虚数单位)，则“0a”是“z为纯虚数”的（ B ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
【答案】B. 【解析】若复数izab是纯虚数，则0a，0b≠，
则0a不能证得z为纯虚数，z为纯虚数可以证得0a，
故“0a”是“z为纯虚数”的必要非充分条件，故选B.
14. 已知111,Pab与222,Pab是直线1ykx（k为常数）上两个不同的点，则关于1l：1110axby和2l：2210axby的交点情况是（ ）
A. 存在k，1P，2P使之无交点 B. 存在k，1P，2P使之有无穷多交点
C. 无论k，1P，2P如何，总是无交点 D. 无论k，1P，2P如何，总是唯一交点
【答案】D
【解析】因为11122112211222(1)(1)0abDababakaakaaaab，
所以11221010axbyaxby有唯一解，故选D.
15. 平行六面体1111ABCDABCD的六个面都是菱形，那么点1A在面11ABD上的射影一定是11ABD的________心，点1A在面1BCD上的射影一定是11ABD的________心（ ）
A. 外心、重心 B. 内心、垂心 C. 外心、垂心 D. 内心、重心
【答案】C
【解析】三棱锥111AABD如图所示：记1A在面11ABD上的射影点为
O，连接11,,AOBODO，
因11111AAADAB，又1AO平面11ABD，
所以2222111111,AAAOAOADAOOD，
221111ABAOOB
所以11AOOBOD，所以O为11ABD的外心；
三棱锥11ABCD如图所示：记1A在面1BCD上的射影点 为1O，连接1111,,BOCODO，
因为11//BCAD，且四边形11ADDA是菱形，
所以11ADAD，所以11BCAD，
又因为11AO平面1BCD，
所以1111111,AOBCAOADA，
所以1BC平面11AOD，又因为1DO平面11AOD，
所以11DOBC，
同理可知，1111,BODCCODB，所以1O为1BCD的垂心，
故选C.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过1A的射影点去证明线段长度的关系、线段位置的关系，借助线面垂直的定义和判定定理去分析解答问题.
16. 正方体1111ABCDABCD中，M为1CC的中点，P在底面ABCD内运动，且满足1DPDCPM，则P的轨迹为（ ）
A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分
【答案】A
【解析】由1DPDCPM易知1RtDPDRtCPM∽
又M为1CC的中点，则12DDPDPCCM，所以2PDPC，
在平面ABCD内以D为原点建立平面直角坐标系，
设1DC，(,)Pxy，由2PDPC得22222(1)xyxy，
所以2244()39xy，
因为P在底面ABCD内运动，所以轨迹为圆的一部分，故选A．
