线路测量坐标正、反算原理及卡西欧5800计算器程序说明_secret..

1 线路测量坐标正、反算计算原理

及卡西欧fx-5800P程序说明

一、计算原理

在各测量书中对于坐标正算的相关计算式均有说明，故在此不做详解，仅对正算过程中需要用到的原理及公式做一汇总。对于坐标反算，虽然都采用无限趋近原理进行计算，但计算方式各有差别，本文仅对其中一种自认为相对简单易懂并便于操作的原理进行详解。

1.1 坐标转换[1]

如图1，设XP、YP为P点在国家控制网坐标系中的坐标；xP、yP为P点在工程独立控制网坐标系中的坐标。XO、YO为工程独立坐标系原点o在国家坐标系中的坐标，Δα为两坐标系纵坐标轴的交角。如果一条边在国家坐标系中的坐标方位角为A，而在工程独立坐标系中的坐标方位角为α，则：

(1-1)

当由工程独立坐标系坐标换算至国家坐标系坐标时，换算公式为：

(1-2)

当由国家坐标系坐标换算至工程独立坐标系坐标时，也可使用式(1-2)，此时应将X、Y与x、y互换，且。

1.2 坐标方位角关系计算

1.2.1 正、反坐标方位角[2]

一条直线的坐标方位角与直线的前进方向有关，沿直线前进方向的坐标方位角称为正坐标方位角，与其相反方向的坐标方位角称为反坐标方位角。如图2，由于轴子午线之间是互相平行的，因此同一直线的正、反坐标方位角相差180°，即：

(2-1)

当时，取“+”号；当时，取“-”号。

1.2.2 坐标方位角的推算[3]

1.2.2.1 转折角为右角

如图3(a)，为已知边坐标方位角，为推算边的坐标方位角，为该两边所夹的右角，则：

(2-2)

1.2.2.2 转折角为左角

如图3(b)，为已知边坐标方位角，为推算边的坐标方位角，

(2-3)

无论用右角还是左角推算，如遇出现负数的情形，应加上。当推算出的坐标方位角超过，则应减去。

如果已知导线起始边的坐标方位角和导线各右角或左角时，可直接用以下公式计算第n边的坐标方位角：

按右角： (2-4)

按左角： (2-5)

1.3基本曲线要素及坐标计算 3 各类测量书均对曲线要素及坐标计算有详细推到过程，此处仅列出计算公式，便于程序编制说明。本编制程序适用于圆曲线两端缓和曲线不等长的基本曲线，即基本形式为：第一直线段→第一缓和曲线段→圆曲线段→第二缓和曲线段→第二直线段。曲线形式及各要素如图4所示，由于圆曲线两端的缓和曲线不等长，故曲线中点与圆曲线的中点不一致，一般取曲线交点与圆心的连线与圆曲线相交之点M作为曲线中点。

1.3.1 曲线要素计算[4]

切线角： (3-1)

内移值： (3-2)

切线增值： (3-3)

切线长： (3-4)

圆曲线长： (3-5)

曲线长： (3-6)

或者： (3-7)

(3-8) 4 (3-9)

1.3.2 切线支距坐标计算[5]

缓和曲线： (3-10)

式中：为计算点至直缓点ZH或缓直点HZ的曲线长，为缓和曲线长度。圆 曲 线： (3-11)

式中：为计算点至缓圆点HY或YH点的曲线长，为该点圆曲线部分的长度，即该点里程与HY或YH点里程之差；为弧长对应圆心角。

1.4 中桩坐标计算[6]

参见图5，分段对各曲线组成段进行坐标计算。

1.4.1 HZ点(包括路线起点)至ZH点之间的中桩坐标计算

此段为直线段，即第一直线段，计算点坐标按下式计算：

(4-1)

式中：为路线导线至的坐标方位角；为计算点至点的距离，及计算点里程与点里程之差。 5 实际计算过程中，通过换算的反方位角即至的坐标方位角来计算第一直线段中桩坐标。计算式如下：

(4-2)

式中：为计算点至的距离，及计算点里程与里程之差。

1.4.2 ZH点至YH点之间的中桩坐标计算

此段包括第一缓和曲线及圆曲线，可按式(3-10)和式(3-11)先分别计算出切线支距坐标x、y，然后通过坐标变换将其转换为测量坐标X、Y。坐标变换公式为：

(4-3)

当曲线为左转角时，应以代入；点的坐标采用(4-2)计算，在此不做计算说明。

1.4.3 YH点至HZ点之间的中桩坐标计算

此段为第二缓和曲线，仍按(3-10)计算切线支距坐标，再按下式转换为测量坐标：

(4-4)

当曲线为右转角时，应以代入。

实际编程计算过程中，应换算成与转角的关系式，即：

(4-5)

当为右偏角时取“+”号，当为左偏角时取“-”号。

1.5 中桩切线方位角计算[7]

如图5，第一直线段切线方位角即，第二直线段切线方位角即。第一缓和曲线段、圆曲线段及第二缓和曲线段切线方位角计算分别如下：

1.5.1 第一缓和曲线段切线方位角计算

(5-1) 6 式中：右转角时，左转角时；，其中为计算点至点的里程差。

1.5.2 圆曲线段切线方位角计算

(5-2)

式中：同前；按式(3-1)计算。

1.5.3 第二缓和曲线段切线方位角计算

(5-3)

式中：同前；，其中为计算点至点的里程差。

1.6 边桩坐标计算[8]

在计算出中桩坐标及中桩法线方位角后，只需给出左偏角(或右偏角)、左边距和右边距，就能求出边桩坐标。如图6所示，左、右偏角只需给出其中任一个，另一个偏角可通过求得。

偏角值输入及计算如图6所示，A为中点切线方位角，WL、WR分别为左、右边距，中桩坐标为Xi、Yi，则边桩坐标计算如下式：

(6-1)

(6-2) 7 1.7 坐标反算[9]

坐标反算即已知路线外任意点坐标，反算该点对应线路中桩里程及至中线的垂距。

如图7所示，AB为一曲线元，点P为一地面点，点P的坐标为已知或可用仪器测得。过点P作垂线PP′，lP为垂足点P′到起点A之间的弧长，DP为点P与线路中线的垂距。由图可知，点P与线路中线相对位置可由2个唯一的量lP和DP确定。由于点P可能位于中线的左边或右边，所以为了区分，DP也分正负，当P点位于线路左边时取负值，反之取正值。

直接求解DP和lP十分困难，故采用趋近原理来达到计算目的。如图7所示，已知曲线元起点A的坐标（XA，YA），过点A的切线方位角αA，地面点P的坐标（XP，YP），现求lP 和DP。

坐标反算计算原理如下：

⑴取点P到起点A法线的垂距l1的绝对值作为lP的近似值，计算该近似弧长对应里程中心桩号(即P1点里程)及中桩坐标与切线方位角；

⑵再以P点到通过P1点法线的垂距l2加上l1作为新的lP的近似值，同样计算该近似弧长对应里程中心桩号(即P2点里程)及中桩坐标与切线方位角；

⑶如此类推，直至计算P点至上一近似弧长对应里程中心桩号法线的垂距绝对值等于0或小于精度要求范围内的某一微小数值(一般取<0.001m)，则此时所得近似弧长对应里程即所求P点对应路线中心桩号(即P′点)，并计算该里程中桩坐标及切线方位角；

⑷根据P点及P′点坐标计算两点间距，即DP；为满足前面所说的当P点位于线路左边时DP取负值，反之取正值的目的，DP值用如下公式计算：

(7-1) 8 式中：即点处法线方位角。

计算过程中点到直线的垂距公式如下：

(7-2)

该公式推导原理为，分别以P点和P′点坐标及P′点切线方位角和法线方位角计算垂点坐标X或Y，详细步骤不做说明。

二、参考文献

[1] 公路施工测量手册-2版/聂让、付涛，人民交通出版社，2008.5，8-9

[2] 同上，107

[3] 同上，170-171

[4] 同上，247-248

[5] 同上，238-239

[6] 同上，252-254

[7] 公路几何设计/李绪梅，人民交通出版社，2003.10,41-42

[8] CASIO fx-5800P编程计算器：公路与铁路施工测量程序/贾辉，同济大学出版社，2009.8,45

[9] 线路测量通用公式的推导及编程/何艳维9

CASIO fx-5800P坐标正、反算计算程序

三、程序说明

坐标正、反算计算程序主要包含五个程序，程序名称及说明如下：

1、交点要素子程序：JDn(n为线路设计交点编号)，输入对应交点要素，主要包含交点里程S、交点横坐标M、交点纵坐标N、方位角A()、路线转角Z()、曲线偏转方向系数G(左偏为-1，右偏为1)、圆曲线半径R、第一缓和曲线长度C、第二缓和曲线长度D，该程序仅对各要素赋值，正对不同线路对交点编号即程序内要素赋值进行改写；

2、主程序：ZCX，计算曲线要素及加桩点中桩坐标和切线方位角，该程序仅为过程计算，不显示任何结算结果，该程序适合任何线路基本曲线要素及中桩坐标和切线方位角计算；

3、坐标计算：ZBJS，根据设计路线各交点里程划分计算段落，并引用JDn和ZCX以计算中桩及边桩坐标和方位角，该程序仅划分线路段落，并判定计算桩号处于哪一个交点计算段落，该程序需根据不同线路交点里程划分段落；

4、坐标正算：ZBZS，引用ZBJS，显示中桩坐标及切线方位角，并计算边桩坐标，该程序为结果显示及衍伸计算，适合任何线路；

5、坐标反算：ZBFS，引用ZBJS进行循环计算，并最终显示线外点对应路线中桩里程及线外距，该程序适合任何线路反算。

程序中的桩号均为大桩号，如K5+020即为5020。

四、程序使用说明

在此仅对计算结果显示程序的使用进行说明，对于过程计算程序将在程序编制过程中进行说明。

下面对程序运行过程中屏幕显示及数据输入进行说明，屏幕显示内容以“”说明。 4.1 坐标正算：ZBZS

⑴“K=？”

⑵“XO=”

“YO=”

“IO=” 输入计算点里程桩号

显示中桩横坐标

显示中桩纵坐标

显示中桩切线方位角

⑶“LR，Y=1，N=0？” 如需计算边桩坐标输入1，否则输入0

输入0则结束程序，输入1后进行边桩坐标计算，计算过程如下继续

⑷“α，L<0,R>0”

“I=？” 提示输入偏角值，左偏为负右偏为正

输入偏角值

⑸“WL=？”

“WR=？” 输入左边桩距离

输入右边桩距离

⑹“XL=”

“YL=”

“XR=”

“YR=” 显示左边桩横坐标

显示左边桩纵坐标

显示右边桩横坐标

显示右边桩纵坐标

计算完成，程序结束。

4.2 坐标反算：ZBFS

⑴“X=？”

“Y=？”

“START，K？” 输入线外点横坐标

输入线外点纵坐标

输入起算点里程桩号

说明：起算点里程桩号在本计算线路内任意点，不得超出线路计算范围；因循环引用计算，计算速度较慢，计算时间在30s左右。

⑵“K=”

“D，L<0,R>0” 显示线外点对应线路桩号

显示线外距，左侧为负右侧为正

五、程序编制说明