高中数学人教A版必修五 章末综合测评1 Word版含答案
- 格式：doc
- 大小：198.50 KB
- 文档页数：10
章末综合测评(一)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，若sin A＋cos A＝712，则这个三角形是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
【解析】 若A≤90°，则sin A＋cos A≥1>712，∴A>90°.
【答案】 A
2．在△ABC中，内角A满足sin A＋cos A>0，且tan A－sin A<0，则A的取值范围是( )
A.0，π4 B.π4，π2
C.π2，3π4 D．π4，3π4
【解析】 由sin A＋cos A>0得2sinA＋π4>0.
∵A是△ABC的内角，∴0
又tan A
由①②得，π2
【答案】 C
3．已知锐角三角形的三边长分别为1,3，a，那么a的取值范围为( ) 【导学号：05920080】
A．(8,10) B．(22，10)
C．(22，10) D．(10，8)
【解析】 设1,3，a所对的角分别为∠C、∠B、∠A，由余弦定理知a2＝12＋32－2×3cos A<12＋32＝10，
32＝1＋a2－2×acos B<1＋a2，
∴22
【答案】 B
4．已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝162，则三角形的面积为( )
A．22 B．82
C.2 D．22
【解析】 ∵asin A＝bsin B＝csin C＝2R＝8，
∴sin C＝c8，∴S△ABC＝12absin C＝abc16＝16216＝2.
【答案】 C
5．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为( )
A.π6 B.π3 C.π2 D．2π3
【解析】 p∥q⇒(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，
即c2－a2－b2＋ab＝0⇒a2＋b2－c22ab＝12＝cos C.
∴C＝π3.
【答案】 B
6．在△ABC中，若sin Bsin C＝cos2A2，则下面等式一定成立的是( )
A．A＝B B．A＝C
C．B＝C D．A＝B＝C
【解析】 由sin Bsin C＝cos2A2＝1＋cos A2⇒2sin Bsin C＝1＋cos A⇒cos(B－C)－cos(B＋C)＝1＋cos A.
又cos(B＋C)＝－cos A⇒cos(B－C)＝1，∴B－C＝0，即B＝C.
【答案】 C 7．一角槽的横断面如图1所示，四边形ADEB是矩形，且α＝50°，β＝70°，AC＝90 mm，BC＝150 mm，则DE的长等于(
)
图1
A．210 mm B．200 mm
C．198 mm D．171 mm
【解析】 ∠ACB＝70°＋50°＝120°，在△ABC中应用余弦定理可以求出AB的长，即为DE的长．
【答案】 A
8．(2014·江西高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积是( )
A．3 B.932 C.332 D．33
【解析】 ∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①
∵C＝π3，∴c2＝a2＋b2－2abcosπ3＝a2＋b2－ab.②
由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.
∴S△ABC＝12absin C＝12×6×32＝332.
【答案】 C
9．(2015·山东省实验中学期末考试)已知在△ABC中，sin A＋sin B＝sin C(cos
A＋cos B)，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
【解析】 由正弦定理和余弦定理得a＋b＝cb2＋c2－a22bc＋a2＋c2－b22ac，即2a2b＋2ab2＝ab2＋ac2－a3＋a2b＋bc2－b3，∴a2b＋ab2＋a3＋b3＝ac2＋bc2，∴(a＋b)(a2＋b2)＝(a＋b)c2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形，故选D.
【答案】 D
10．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin Bsin C＋sin2C，则A＝( ) A．30° B．60°
C．120° D．150°
【解析】 由已知得a2＝b2＋bc＋c2，
∴b2＋c2－a2＝－bc，∴cos A＝b2＋c2－a22bc＝－12，
又0°
【答案】 C
11．在△ABC中，A∶B＝1∶2，∠ACB的平分线CD把△ABC的面积分成3∶2两部分，则cos A等于( )
A.13 B.12 C.34 D．0
【解析】 ∵CD为∠ACB的平分线，
∴D到AC与D到BC的距离相等．
∴△ACD中AC边上的高与△BCD中BC边上的高相等．
∵S△ACD∶S△BCD＝3∶2，∴ACBC＝32.
由正弦定理sin Bsin A＝32，又∵B＝2A，
∴sin 2Asin A＝32，即2sin Acos Asin A＝32，∴cos A＝34.
【答案】 C
12.如图2，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B后，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ(
)
图2
A．23＋1 B．23－1
C.3－1 D．3＋1
【解析】 在△ABC中，BC＝ABsin∠BACsin∠ACB ＝100sin 15°sin45°－15°＝50(6－2)，
在△BCD中，sin∠BDC＝BCsin∠CBDCD
＝506－2sin 45°50＝3－1，
又∵cos θ＝sin∠BDC，∴cos θ＝3－1.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．(2015·黄冈高级中学高二期中测试)△ABC为钝角三角形，且∠C为钝角，则a2＋b2与c2的大小关系为 ．
【解析】 ∵cos C＝a2＋b2－c22ab，且∠C为钝角．
∴cos C<0，∴a2＋b2－c2<0.故a2＋b2
【答案】 a2＋b2
14．(2013·安徽高考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝ .
【解析】 由3sin A＝5sin B，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，
所以a＝53b，c＝73b，
所以cos C＝a2＋b2－c22ab＝53b2＋b2－73b22×53b×b＝－12.因为C∈(0，π)，所以C＝2π3.
【答案】 2π3
15．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则ACcos A的值等于
，AC的取值范围为 ．
【解析】 设A＝θ⇒B＝2θ.
由正弦定理得ACsin 2θ＝BCsin θ， ∴AC2cos θ＝1⇒ACcos θ＝2.
由锐角△ABC得0°<2θ<90°⇒0°
又0°<180°－3θ<90°⇒30°
故30°
∴AC＝2cos θ∈(2，3)．
【答案】 2 (2，3)
16．(2014·全国卷Ⅰ)如图3，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝
m.
图3
【解析】 根据图示，AC＝1002 m.
在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.
由正弦定理得ACsin 45°＝AMsin 60°⇒AM＝1003 m.
在△AMN中，MNAM＝sin 60°，
∴MN＝1003×32＝150(m)．
【答案】 150
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝2a.
(1)求ba；
(2)若c2＝b2＋3a2，求B. 【解】 (1)由正弦定理得，sin2Asin B＋sin Bcos2A＝2sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝2sin A.
故sin B＝2sin A，所以ba＝2.
(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2，
得cos B＝1＋3a2c.
由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.
可得cos2B＝12，又cos B>0，
故cos B＝22，所以B＝45°.
18．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos B＝35.
(1)若b＝4，求sin A的值；
(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．
【解】 (1)∵cos B＝35>0，且0
∴sin B＝1－cos2B＝45.
由正弦定理得asin A＝bsin
B，
sin A＝asin Bb＝2×454＝25.
(2)∵S△ABC＝12acsin B＝4，
∴12×2×c×45＝4，∴c＝5.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b＝17.
19．(本小题满分12分)(2015·安徽高考)在△ABC中，∠A＝3π4，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．
