北京市届高考数学理科仿真模拟卷及答案
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北京市2018届高考数学理科仿真模拟卷 10
第一部分选择题（40分）
一、选择题（每小题 5分，共40分）
1.若 p: —x •二 R,sinx^1，则（ ）
A .一 p: x R, si nx . 1 B. —p :-x R,si nx . 1
C. _p: x R, sin x _ 1 D.
2." a=2”是"直线ax+2y=0与直线x+y=1平行”的（ ）
A .充分不必要条件 B .必要不充分条件
C .充要条件 D .既不充分也不必要条件
4.甲校有3600名学生。乙校有 5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生 某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为 90人的样本，则应在
()
A. 120 B . 105 C . 90 D . 75
6. 已知两个不重合的平面 a和B ,下面给出四个条件:
① a内有无穷多条直线均与平面 B平行；
② 平面a , B均与平面丫平行；
③ 平面a , B与平面丫都相交，且其交线平行;
④ 平面a , B与直线I所成的角相等.
其中能推出a // B的是（ ）
A .① B ，② C .①和③ D .③和④
2 2 7. 设P是双曲线x- y .=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为 a2 9 ■
分别是双曲线的左、右焦点，若 | PR | = 3，则|PF2 |=（）
A. 1 或 5 B. 6 C. 7 D. 9
8. 如图，设点 A是单位圆上的一定点，动点 P从点A出发在圆上
按逆时针方向旋转一周，点 P所旋转过的弧 AP的长为I，弦 这三校分别抽取学生（ )
A . 30 人，30 人，30 人 B .30 人， 45人， 15人 C . 20 人，30 人，10 人 D. 30 人， 50人， 10人
5.设a ［是公差为正数的等差数列，若 3.如图，在半径为 R的圆内随机撤一粒芝麻， 它落在阴影部分 （圆内接正三角形）上的概率是（ ）
A . ) B. 4 343 C. 43 D- 3.3
4 二
日1 “■
a? ■' a3 -2 - / 9 A. B. C. D. AP的长为d,则函数d=f（l）的图像大致是（ ） -3 - / 9
第二部分非选择题（110分）
二、填空题（每小题 5分，共30分）
9•在某项测量中，测量结果 ■服从正态分布N（1,；「2）（匚.0）.若■在（0,1）内取值的概
率为0.4，贝U •在(0 , 2)内取值的概率为 __________________
2
10. 0 (2—11 —x|)dx=
5 3
11. 若（ax-1） 的展开式中x的系数是80 ,则实数a的值
12. 已知数列 也［中，a1=1, an+i=an+n，利用如图所示的程序框图计算该数
列的第10项，
则判断框中应填的语句是 ____________________ .
13 .甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的 5天中参加
某项志愿者活动，要求每人参加一天旦每天至多安排一 人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共 有 （用数字作答）
21.选做题（14〜15题，考生只能从中选做一题，两题都做记第 一题的得分）
14. （坐标系与参数方程）在平面直角坐标系下，曲线
G ‘X =2t +2a（t为参数），曲线
=-t
（a为参数）.若曲线 0、C2有公共点，则实数 a的取值范围
15. （几何证明选讲）如图，已知△ ABC内接于圆O,点D在OC
的延长线上，AD是O 0的切线，若/ B=30°, AC=2贝U OD的长为 _________________
三、解答题（共6大题，共80分）
16. （本题满分12分）
已知 a=（sinx,-cosx）, b=lcosx, 3cosx，函数 f x 二 a b —3
2
（1） 求f（x）的最小正周期；
（2） 当0空x"；；上时，求函数f（x）的值域.
2 x =2cos 日 C2 :丿
y =2 +2si n 日
A -4 - / 9
17. （本题满分12分）
甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场.每场比赛胜者得
3-5 - / 9
分，负者得0分，没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为
1 1
，乙胜丙的概率为
4 5
(1) 求甲获第一名且丙获第二名的概率：
(2) 设在该次比赛中，甲得分为 E,求E的分布列和数学期
望。
18. (本题满分14分)
已知矩形 ABCD AD=2AB=2点E是AD的中点，将△ DEC 沿CE折起到△ D' EC的位置，使二面角 D'-EC -B是直二面角。 (I )证明：BEX CD ;
(n )求二面角D'-BC -E的余弦值，
19. (本题满分14分)
i1 an + n, n为奇数
2
an「2n, n为偶数
(1) 求 a2, a3;
⑵ 设bn =a2n -2, n • N *，求证 b ［是等比数列，并求其通项公式;
⑶ 在⑵ 条件下，求数列 0 ［前100项中的所有偶数项的和 S。
20. (本题满分14分)
已知椭圆C的中心在原点，焦点在 x轴上，左右焦点分别为 F1, F2;且|尸店2|=2
点U 3 |在椭圆C上. 1,2
(1) 求椭圆C的方程；
⑵ 过F1的直线I与椭圆C相交于A、B两点，且△ AF2B的面积为，求以F2为圆
7
心且与直线l相切的圆的方程. 2，甲胜丙的概率为
3
己知数列沧瀟足: -6 - / 9
21 .(本题满分14分)
已知函数f (x) =ax3 • bx2 _3x(a,b • R)，在点(1, f(1))处的切线方程为 y+2=0.
(1) 求函数f(x )的解读式；
(2) 若对于区间［一 2,2］上任意两个自变量的值 X1, X2,都有| f (xj - f (x2)|辽C，求实
数c的最小值；
(3) 若过点M(2,m)(m丰2)，可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数 m的取值范围，-7 - / 9
参考答案
一、选择题： ACDB BACC
二、填空题： 9. 0.8 , 10.3 11.a=2 , 12. n <9,
13. 20 ,14 . [2 丿5,2 ..5] 15.4
三、解答题：
16•解：（1） f (x)二sin xcosx - .3 cos X 2 .................... 2分
1 3 3 1 3 二 sin 2x (cos2x 1) sin 2x cos2x =sin(2x )-
2 2 2 2 2 3
所以f(x )的最小正周期为n , .............. 6分.
2：；
（2） 0_x •.- ：：2x —：：：—— .................. 8 分
2 3 3 3
.--2^
17. 解：（1）甲获第一，则甲胜乙且甲胜丙,
2 ■ 1 1
2 11
2分
3. 4 6
丙获第二，则丙胜乙，其概率为 1—1/
…4分
5 5
甲获第一名且丙获第二名的概率为 1 4 —X —= 2
…6分
6 5 15
（2） E可能取的值为O 3、6 .................................... 7分
甲两场比赛皆输的概率为
2 11
甲两场只胜一场的概率为
2 1 1 2 7
P( ~3“3 (1一4)4 (1一3“12 ………9分甲两场皆胜的概率为
P( =6)= 2 1 = 1
3 4 6 E的分布列为
E 0 3 6
P 1
4
疋 1 E =0 - 3 —6 1
_ 4 12 6 ................. 1O分
7 1
12 .6
11
4 ............ 12 分
18.（本题满分14分）
解：（I ） •/ AD=2AB=2 E 是 AD的中点,
•••△ BAE △ CDE是等腰直角三角形，/ BEC=90，即-8 - / 9
又•••平面 D'EC 丄平面 BEC；面 D'EC nW BEC=EC
••• BE丄面 D'EC,「. BE! CD . ..........
分
( n )法一：设 M是线段EC的中点，过 M作MF丄BC 垂足为F,连接
D' M D'F,则D'M丄EC.
•••平面 D'EC丄平面 BEC • D'M丄平面 EBC
• MF是 D'F在平面BEC上的射影，由三垂线定理得： D'F丄BC
•••/ D'FM是二面 D'-BC-E的平面角. ........ 8分
设平面BEC的法向量为m =(0,0,1);平面D'BC的法向量为n =(刈，『2,乙)
_ _ . 2 4
在 Rt △ D'MF 中，D ' M 2 ,MF 2 JAB」
2
tan ZD'FM D'M =■■ 2 cos._ D' FM
= ,3
MF 3
• 二面 角 D ' -BC — E 的 余 弦 值为
屈'
14 分，
B(、2,0,0),C(0, 2,0),D'(0,#，¥) ............
BC D'
3
法二：如图，以 EB, EC为x轴、y轴，过 E垂直于平面 BEC 的射线为z轴，建立空间直角坐标系.
则
