多选题测试试题及答案

一、函数的概念与基本初等函数多选题

1．若实数2a，则下列不等式中一定成立的是（ ）

A．21(1)(2)aaaa B．1log(1)log(2)aaaa

C．1log(1)aaaa D．12log(2)1aaaa

【答案】ABD

【分析】

对于选项A：原式等价于ln1ln212aaaa，对于选项C：1log(1)aaaaln11lnaaaaln1ln1aaaa，对于选项D：变形为ln2ln121aaaa，构造函数lnxfxx，通过求导判断其在,xe上的单调性即可判断；

对于选项B：利用换底公式：1log(1)log(2)aaaaln1ln2lnln1aaaa，

等价于2ln1lnln2aaa，利用基本不等式22abab，再结合放缩法即可判断；

【详解】

令lnxfxx，则21lnxfxx0在3,x上恒成立，所以函数lnxfxx在,xe上单调递减，

对于选项A：因为2a，所以21(1)(2)aaaa2ln11ln2aaaa，

即原不等式等价于ln1ln212aaaa，因为12aa，所以ln1ln212aaaa，从而可得21(1)(2)aaaa，故选项A正确；

对于选项C：1log(1)aaaaln11lnaaaaln1ln1aaaa，

由于函数lnxfxx在,e上单调递减，所以43ff，即ln4ln343，

因为ln42ln2ln2442，所以ln2ln323，取2a，则ln1ln1aaaa，故选项C错误；

对于选项D：12log(2)1aaaaln22ln11aaaaln2ln121aaaa，与选项A相同，故选项D正确.

对于选项B：1log(1)log(2)aaaaln1ln2lnln1aaaa，因为2a，

所以等价于2ln1lnln2aaa，因为2lnln2lnln22aaaa，

因为222222ln2ln21lnln2ln1222aaaaaaa，

所以不等式1log(1)log(2)aaaa成立，故选项B正确；

故选：ABD

【点睛】

本题考查利用对数的换底公式、构造函数法、利用导数判断函数的单调性、结合基本不等式和放缩法比较大小；考查逻辑推理能力、知识的综合运用能力、转化与化归能力和运算求解能力；属于综合型强、难度大型试题.

2．已知函数2ln(1),0()21,0xxfxxaxx，其中实数 a∈R ，则下列关于 x 的方程f 2 (x) − (1+

a)⋅ f (x) + a = 0的实数根的情况，说法正确的有（ ）

A．a 取任意实数时，方程最多有5个根

B．当151522a时，方程有2个根

C．当 152a时，方程有3个根

D．当 a ≤ −4时，方程有4个根

【答案】CD

【分析】

先化简方程为()1fx或()fxa，再对a进行分类讨论，结合图象来确定()1fx或()fxa分别有几个根，根据结果逐一判断选项正误即可.

【详解】

解：关于x的方程f 2 (x) − (1+ a)⋅ f (x) + a = 0，即()1()0fxfxa，故()1fx或()fxa.

函数2ln(1),0()21,0xxfxxaxx中，0,()ln1xfxx单调递增，2220,(2)11xaxfxaxxa，对称轴为xa，判别式411aa.

（1）当0a时，函数()fx图象如下：

由图象可知，方程()1fx有1个根，1a时方程()fxa有2个根，01a时，方程()fxa有1个根，故1a时已知方程有3个根，01a时，已知方程有2个根，1a时已知方程有1个根；

（2）1a时，函数()fx图象如下：

10a时，函数()fx图象如下：

由两个图象可知，10a时，方程()1fx有2个根，方程()fxa没有根，故已知方程有2个根；

（3）1a时，函数()fx图象如下：方程()1fx有两个根.

下面讨论最小值21a与a的关系，由21aa解得152a，

故当152a时，21aa，直线ya如图①，方程()fxa有2个根，故已知方程有4个根；

当152a时，21aa，直线ya如图②，方程有()fxa有1 个根，故已知方程有3个根；

当1512a时，21aa，直线ya如图③，方程()fxa没有根，故已知方程有2个根.

综上可知，a 取任意实数时，方程最多有4个根，选项A错误；1512a时方程有2个根，1a时已知方程有1个根，1a时方程有3个根，故选项B错误；当

152a时，方程有3个根，C正确；当 1542a时，方程有4个根，故D正确.

故选：CD.

【点睛】

关键点点睛：

本题的解题关键在于分类讨论确定二次函数的图象，以及其最低点处21a与a的关系，以确定方程()fxa的根的情况，才能突破难点.

3．已知函数22(2)log(1),1()2,1xxxfxx，若关于x的方程()fxm有四个不等实根1x，2x，3x，41234xxxxx，则下列结论正确的是（ ）

A．12m B．11sincos0xx C．3441xx D．2212log2mxx的最小值为10

【答案】ACD

【分析】

画出fx的图象，结合图象求得1234,,,,mxxxx的取值范围，利用特殊值确定B选项错误，利用基本不等式确定CD选项正确.

【详解】

画出fx的图象如下图所示，

由于关于x的方程()fxm有四个不等实根1x，2x，3x，41234xxxxx，

由图可知12m，故A选项正确.

由图可知12,xx关于直线2x对称，故12122,42xxxx，

由22221xx解得3x或1x，

所以1232,21xx，

3324，当134x时，12122sincos,sincos02xxxx，所以B选项错误.

令2221xmx，22log2log1xmmm，22log21mx，

222log21mx，12,xx是此方程的解，

所以211log222mx，或221log222mx，

故22221211211log2422mxxxxx

22112211112282228102222xxxx，

当且仅当211211522,222xxx时等号成立，故D选项正确.

由图象可知2324log1log1xx，

2324log1log10xx，34111xx，4433111,111xxxx，

由2log111xx，解得1x或12x，

由2log121xx，解得3x或34x， 所以3431,1342xx，

3433331144145111xxxxxx

332151141xx①.

令21134,1,1421xxxx或12x，

所以①的等号不成立，即3441xx，故C选项正确.

故选：ACD

【点睛】

求解有关方程的根、函数的零点问题，可考虑结合图象来求解.求解不等式、最值有关的问题，可考虑利用基本不等式来求解.

4．若定义在R上的函数()fx满足()()0fxfx，当0x时，23()22fxxaxa(aR)，则下列说法正确的是（ ）

A．若方程()2afxax有两个不同的实数根，则0a或48a B．若方程()2afxax有两个不同的实数根，则48a

C．若方程()2afxax有4个不同的实数根，则8a

D．若方程()2afxax有4个不同的实数根，则4a

【答案】AC

【分析】

由题知()fx是R上的奇函数，则由0x时的解析式可求出()fx在R上的解析式.先讨论特殊情况0x为方程的根，则可求出0a，此时方程化为()0fx，而函数()fx为R上的减函数，则方程仅有一个根.当0x时，由分段函数分类讨论得出0x时，1(1)2(1)axx，0x时，4242axx.利用数形结合思想，画出图象，则可得知方程()2afxax不同的实数根个数分别为2个和4时，参数a的取值范围.

【详解】

因为()()0fxfx所以()()fxfx，

所以()fx是R上的奇函数，(0)0f，

当0x时，0x，23()22fxxaxa，

所以23()()22fxfxxaxa，

综上2232,02()0,032,02xaxaxfxxxaxax，

若0x是方程()2afxax的一个根，

则0a，此时()2afxax，即()0fx，

而22,0()0,0,0xxfxxxx，在R上单调递减，

当0a时，原方程有一个实根.

当0x时，23222axaxaax，