巧旋转 妙解题
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强｜ 毪毒 蠢 旋转变换是全等变换，通过旋转，改变位置后重新 组合，使原来比较分散的条件相对地集中起来，然后在 新图形中分析有关图形问的关系，进而揭示条件与结论 间的内在联系，以找到解题途径． 一、比较线段大小 例１ 如图，设点Ｐ为边长是Ａ １的等边三角形ＡＢＣ内任一点，且 ２＝Ｐ４＋ＰＢ＋ＰＣ． 求证 ≤ｆ＜２． 证明将ＡＡＢＣ绕点Ｂ逆时针旋转６０。到△ ＢＡ． 则ＡＡＢＰ相应地转到△Ａ 的位置，连接 ｅ 由于Ａ Ｐ ＝ＡＰ，．’．△ＢＰ尸 为等边三角形．故 Ｐ＝ ＢＰ ＝ＰＰ ，贝０ Ａ＋尸曰４－ＰＣ＝Ｚ：Ａ Ｐ ＋ＢＰ ＋尸Ｃ当ＰＡ ＝ＰＢ＝ＰＣ时，Ａ Ｐ ＰＣ与ＡＣ重合，否则Ａ Ｐ Ｐｃ为一条 折线，因而Ａ ｃ≤ｚ＜Ａ Ｂ＋ＢＣ．故√３≤ｚ＜２． 例２如图，正方形ＡＢＣＤ，点曰 Ｅ为ＢＣ上任一点，ＡＦ为ＡＤＡＥ 的平分线，交∞于 Ｅ 求证ＡＥ＝ＢＥ＋ＦＤ。 证明将ＡＡＢＥ绕点Ａ逆时Ｃ 针旋转９Ｏ。至图中ＡＡＧＤ的位置．则ＡＧ：ＡＥ．ＤＧ＝ＢＥ， ／３＝／４，且Ｃ、Ｆ、Ｄ、Ｇ共线． ・．’ＤＣ＃ＡＳ．．・．／＿５＝／１＋／３． 又 １＝／＿２，．。．／５：／＿２＋ ４， ． ．ＡＥ：ＡＧ＝ＦＧ＝ＦＤ＋ＢＥ． 例３如图，ＡＡＢＣ为等边三角 形，ＡＢＤＣ为等腰三角形，顶角 ／＿ＢＤＣ＝１２０。．Ｍ、Ｎ为ＡＢ、ＡＣ上的 点黾 ＭＤＮ＝６ｏｏ，．￣ｊ段Ｂｅｌｌ、Ｍ Ｂ ＮＣ之间有什么关系，并加以证明． 分析本题要研究的三条线段Ｄ 不在同一个三角形中，故应设法使它们集中到一个三角 形中，从题设可知￣ＤＢＡ＝／ＤＣＡ＝９０。，ＢＤ＝ＣＤ，可考 ．－．－．－＋－◆一◆－＋ …． 蔓曼虫。 童． 掌…．妻美婆 虑将ＡＤＢＭ绕点Ｄ顺时针旋转１２０。到ＡＤＣＰ的位置， 则可得ＢＭ＝ＣＤ，ＤＨ＝ＤＰ．只需证ＭＮ＝ＮＣ＋ＣＰ就可． 解：。．’ＡＡＢＣ为等边三角形，．‘．￣ＡＢＣ＝ＬＡＣＢ＝ ６Ｏ。．又‘．’ 曰ＤＣ＝１２０。．ＤＢ：ＤＣ．．。． ＤＢＣ＝ ＤＣＢ＝ ３０。．． ． ＤＢＭ＝ＤＣＮ＝９０。． 将ＡＤＢＭ绕点Ｄ顿时针旋转１２０。到△ＤＣＪＰ的位 置，则ＢＭ＝ＣＰ，ＤＭ＝ＤＰ，／＿ＭＤＰ＝１２０。，且ＬＤＣＰ＝ ＤＢＭ＝９０。，．。．／ＤＣＰ＋ ＤＣＮ＝１８Ｏ。．．‘．点Ⅳ、Ｃ、Ｐ在 同一直线上，又’． ［＿ＭＤＮ：６０。，． ．ＬＰＤＮ＝６０。． ．‘． ，ＪＤⅣ＝ＬＭＤＮ．又 ．‘ＤＮ．７－ＤＮ．．’．ＡＭＤＮ △ｐＤＮ．．。．ＭＮ：ＮＰ＝ＮＣ＋ＣＰ． ．ＭＮ＝ＮＣ＋ＢＭ． 注从上几例中，可知旋转变换前后图形中如下性 质：对应线段（角）相等；对应点位置排列顺序相同，任意 两对应线段夹角等于旋转角． 例３ 为探究型类题，是近年来中考中屡屡出现的 题型． 二、求角的大小 例４如图，点Ｐ为等边三角形 ＡＢＣ内任一点，ＰＡ＝３，ＰＢ＝４，ＰＣ＝５． 求ＬＡＰＢ的度数． 解：将ＡＢＰＡ绕点 顺时针旋转 ６０。．到ＡＢＤＣ位置，连接肋．可证出Ｂ ＡＢＰＤ为等边三角形，．‘．ＬＢＤＰ： ６Ｏ。。ＰＤ＝ＢＰ＝４．ＤＣ＝ＡＰ＝３． 又’． ３ ＋４ ：５ ．ＡＰＤＣ为直角三角形，ＺＰＤＣ＝ ９０。．ＬＡＰＢ＝／ＢＤＣ＝９０。＋６０。＝１５０。 例５ 如图／＿ＡＢＣ＝９０。，０为Ａ 射线ＢＣ￣＇３一点，以０为圆心， ＢＯ长为半径作ＱＯ，当射线ＢＡ绕Ｂ 点Ｂ按顺时针方向旋转——或 ——度时与００相切． Ｃ 解：设ＢＭ、ＢＮ分别切（３０于Ｅ、 由题意，得在 ＾ － 垦 国 ．。． ≮ ．．＋。＋。＋。．． Ａ 致掌大世界 ９ 。． 。 臻ｖ；。＋。＋。＋。．。＋。＋。＋。＋。 ＲｔＡＢＯＥｑ￣，ＯＥ＝÷ ｏ ．ＺＭＢＣ＝３０。．￣ｌＪＺ＿ＡＢＭ＝９０。 一３０。＝６０。．同理可得ＬＡＢＮ＝９０。＋３０。＝１２０。．故射线 ＢＡ绕点Ｂ按顺时针方向旋转６０。或１２０。与００相切． 例６ 如图，四边形ＡＢＥＧ，Ａ ＧＥＦＨ，ＨＦＣＤ均为正方形． 求ＬＡＦＢ＋ＬＡＣＤ度数的和．Ｂ 解：将ＡＨＢＦ绕点 逆时针旋 转９０。到△ＨＳＤ位置，则ＡＨＳＤ为 等腰直角三角形， Ｇ Ｈ Ｄ Ｃ ／ＨＢＳ：４５。，’．‘四边形ＡＢＳＣ为平行四边形． ．。．ＬＡＣＢ＝／Ｃ ， ＝ ＨＢＦ， ． ． ＣＢＳ＋ 曰Ｃ＝４５。．．’．ＬＡＦＢ＋ＬＡＣＢ：４５。． 注应用旋转变换应注意：确定旋转中心，确定旋 转图形；确定旋转角度和方向，一般情况下，条件中有共 点且相等的线段，可考虑利用旋转变换，如等腰三角形、 正方形等． 三、求面积 例８如图，ＡＡＢＣ为等腰直角Ｇ 三角形，Ｄ为ＡＢ的中点，ＡＢ：２，扇 形ＡＤＧ、ＢＤＨ的圆心角／ＤＡＧ、 ＤＢＨ均等于９０。． Ｄ Ｂ 求：阴影部分的面积． 分析初看本题似乎图形较复杂且无序，直接证较 繁琐，若能将扇形ＡＤＧ和ＡＡＤＣ逆时针旋转１８０。，本题 即可迎刃而解． 解：连接‘∞，原图（左）中∞的右侧不，． 动，左侧部分绕着点Ｄ逆时针旋转１８０。，使 点Ａ与点 重合，经旋转后，图形对接如右ｎ １ 图，所以阴影部分的面积：ｓ 一ｓ△ ：÷ １ １ Ｃ ・肋 一÷明・曰，＝÷（竹一１） 四、证定值 例９如图，平面上有两个 边长相等的正方形ＡＢＣＤ和 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ，且正方形Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的 顶点Ａ 在正方形ＡＢＣＤ的中心， 当正方形Ａ Ｂ ｃ Ｄ 绕点 转动一 时，两个正方形的重合部分的面 Ｐ 积必定是一个定值．这个结论对吗？试证明你的判断． 分析 解此类题的基本思路是通过变量在图中的 独特位置或极限位置，先求定位，再给出一般情况下的 证明，本例通过证三角形全等即可． 证明 连接从 、Ａ 曰，’． 正方形ＡＢＣＤ与正方形 Ａ 曰 ｃ Ｄ 边长相等且正方形Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的顶点Ａ 在正方 形Ａ８ＣＤ的中心，．’．ＡＡ ＝ＢＡ ， Ａ ＡＢ：ＬＡＢＡ ＝ Ａ Ｃ＝／Ａ ＢＣ＝４５。。 朋 Ｂ＝ 曰 Ｄ ＝９０。． ．’． ＡＡ Ｂ ＝ ＢＡ Ｄ ．．‘．ＡＡＡ Ｂ ＡＡ 日Ｄ ．因 １ △ＡＡ 口的面积为正方形面积的÷，故重叠部分面积也 斗 １ 为正方形面积的－７ －，即为定值． 叶 五、判断三角形形状 例１０如图，在ＡＡＢＣ的ＡＢ边：ＡＣ上向形外作等 边三角形Ａ肋和ＡＡＣＥ，Ｇ、Ｆ分别为口Ｃ、朋的中点． 求证ＡＡＧＦ为等边三角形． 分析因ＡＡＢＤ、ＡＡＣＥ均为等Ｄ 边三角形，故ＡＡＤＣ绕点Ａ逆时针 旋转６Ｏ。与ＡＡＢＥ重合，所以ＤＣ中 点Ｇ与ＢＥ中点Ｆ重合，即可证出 ＡＡＧＦ为等边三角形． 证明提示：由ＡＡＤＧ＇￣＂ＡＡＢＦ，得ＡＧ＝ＡＦ，ＬＤＡＧ ：ＡＢＡＦ， ＧＡＦ＝ ＤＡＢ：６０。，ＡＡＧＦ为等边三角形得 证． 六、构造新图形 例１１ 如图（１），已知四边形纸片 ＡＢＣＤ，现需将该纸片剪拼成一个与它面 积相等的平行四边形纸片，如果限定裁 分析本例可通过连接四边形已 知对边中点，构造线段相等并利用四边 形内角和为３６０。，利用旋转、平移变换， 可达剪拼之目的． 解：如图（２）、（３），取四边形ＡＢＣＤ 各边的中点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ，连接 、ＧＨ，则 以ＥＦ、ＧＨ为裁剪线．ＥＦ、ＧＨ将四边形 分成１、２、３、４四个部分，拼接等．图中 的１不动，将２、４分别绕点日、Ｆ各旋转 １８０。，３进行平移，拼成的四边形满足条 件． （２） （３） 一一…一一一…～…～…一一 ’‘ ‘ 。 ’ 。 。 … … 。 。 。’。 一篱８｛§荟 ｍ 致掌大世界 。 。．１。． ．．。．。＋。．。．。＋。＋。＋。．。＋。＋。
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