对面积的曲面积分

对面积的曲面积分公式

1. 对面积的曲面积分的概念。

- 设曲面∑是光滑的，函数f(x,y,z)在∑上有界。把∑任意分成n小块Δ S_i（Δ

S_i同时也表示第i小块曲面的面积），设(ξ_i,eta_i,ζ_i)是Δ S_i上任意取定的一点，作乘积f(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i，并作和∑_i = 1^nf(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i。

- 如果当各小块曲面的直径的最大值λto0时，这和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作∬_∑f(x,y,z)dS=limlimits_λto0∑_i = 1^nf(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i。

2. 对面积的曲面积分的计算方法。

- 一、利用曲面的方程化为二重积分计算。

- 设曲面∑的方程为z = z(x,y)，∑在xOy面上的投影区域为D_xy，函数z(x,y)在D_xy上具有连续偏导数，被积函数f(x,y,z)在∑上连续，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{xy}f[x,y,z(x,y)]√(1 + z_x)^2+z_{y^2}dxdy。

- 类似地，如果曲面∑的方程为x = x(y,z)，∑在yOz面上的投影区域为D_yz，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{yz}f[x(y,z),y,z]√(1 + x_y)^2+x_{z^2}dydz。

- 如果曲面∑的方程为y = y(z,x)，∑在zOx面上的投影区域为D_zx，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{zx}f[x,y(z,x),z]√(1 + y_z)^2+y_{x^2}dzdx。

- 二、利用曲面的参数方程计算（略高于一般要求）

- 设曲面∑的参数方程为<=ft{begin{array}{l}x = x(u,v) y = y(u,v) z =

z(u,v)end{array}right.，(u,v)∈ D，且x(u,v),y(u,v),z(u,v)在D上具有连续偏导数，(∂(x,y))/(∂(u,v)),(∂(y,z))/(∂(u,v)),(∂(z,x))/(∂(u,v))不全为零，则dS=√(EG - F^2)dudv，其中E=x_u^2+y_u^2+z_u^2，F = x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v，G=x_v^2+y_v^2+z_v^2。

数理医药学杂志　２０１３年第２６卷第２期　文章编号：１００４—４３３７（２０１３）０２—０１３３—０２　中图分类号：０１７２．２　文献标识码：Ｃ　积分曲面为圆柱面的曲面积分的计算　贺　勇　（武汉东湖学院基础课部武汉４３０２１２）　摘要：介绍积分曲面为圆柱面的曲面积分的计算方法及其应用。　关键词：第一型曲线积分；柱面坐标；　曲面积分　ｄ０ｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００４－４３３７．２０１３．０２．００３　在一般高等数学教材中，曲面积分主要转化为二重积分　的计算。这要求积分曲面在坐标面上的投影必须是区域，但　在解决与曲面积分有关的问题时会发现，对某些曲面比如柱　面，很容易求出它在坐标面上的投影，但投影为曲线。本文针　对这种情况，给出被积函数满足一定条件时，曲面积分的不同　计算方法，极大地简化曲面积分的计算。　对第一型曲面积分介绍了３种方法如下：　１利用同济６版高等数学教材中第一型曲面积分Ⅱ，（ｚ，Ｙ。　）　ｓ的计算公式计算　设Ｌ：｛（　，　）１．ｚ。＋　一Ｒ　）为ｘｏｙ面上的光滑曲线，∑　为圆柱面，　∑：｛（　，ｙ，　）ｌ（ｚ，　）ＥＬ，ｚ１（ｚ，　）≤　≤２２（ｚ，　）｝　∑被ｙｏｚ面分成前后两部分：∑前，∑　，且　∑前：ｚ一　＝　，（　，ｚ）∈Ｄ　一｛（　，ｚ）ｌ—Ｒ≤　≤Ｒ，　Ｚｌ（ｚ，　）≤２≤　２（　，　）｝　∑前：ｚ一一　一　，（　，　）∈Ｄ　一｛（　，　）ｌ—Ｒ≤　≤　Ｒ，Ｚ１（ｚ，　）≤　≤　２（ｚ，　））　其中ｚ１（ｚ，　），　（ｚ，　）在Ｌ上连续，ｆ（ｘ，Ｙ，２）在∑上连　续，则　＿厂（　，Ｙ，ｚ）ｄｓ一　ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｓ＋　ｆ（ｘ，　，ｚ）ｄｓ　ｆ（厨，ｙ，　）　研ｄｙｄｚ＋　ｆ（一　Ｒ　一　。，ｙ，　）４１＋（ｚ　）　ｄｙｄ　（１）　例１丌￣异　干—ｃ　ｌｓ干　，其中∑是介于平面　—ｏ与　—　Ｈ之间的圆柱面　。＋　一Ｒ　解　利用公式（１）得　』研ｄｓ－－２　南‘√　＋（　ｚ　１。丽Ｒ　ｄｙ出一ｚ　Ｊ　Ｒ—Ｒ丽Ｒ　ｄｙ　Ｊ　』Ｒ。、丽ｄｙ』　２￣ｒａｒｃｔａｎ　收稿日期：２０１３一Ｏ１—２２　・方法评介・　２利用第一型曲线积分计算第一型曲面积分《厂（ｚ，　，　）　，　见文献［１］　设Ｌ：｛（ｚ，　）ｌＸ　＋　一Ｒ　）为ｘｏｙ面上的光滑曲线，∑　为圆柱面，　∑：｛（　，Ｙ，　）ｌ（　，　）∈Ｌ，２１（ｚ，　）≤　≤　２（ｚ，　）｝　其中　（ｚ，　），　ｚ（ｚ，　）在Ｌ上连续，Ｓ（ｘ，Ｙ，　）在∑上连　续，则　８ｆ（ｘ，Ｙ，２）　ｓ—　（　矧ｆ（ｘ，　，ｚ）ｄｚ）ｄｓ　（２）　例２计￣异　干　ｄｓ干　，其中∑是介于平面　—ｏ与　—　Ｈ之间的圆柱面Ｘ　＋　一Ｒ２　解利用公式（２）得　』　一　１　ｑ＿ｚ￣ｄｚ　一』丽１　ａｒｃｔａｎ　Ｈ　，　—■＝＝＝＝＝＝　√ｚ２＋　令．ｚ—ＲｃｏｓＯ，　—Ｒｓｉｎ￣，０≤０≤２，ｒ，则ｄｓ一　７　＝ＲｄＯ，故　』再　一』　ａｒｃｔａｎ　Ｈ　垫　＋　＋　耳　耳　Ｊ。Ｒ　ａｒｃｔａｎ　Ｈ・ＲｄＯ－２￣ａｒｅｔａｎ　３利用柱面坐标计算第一型曲面积分Ⅱ厂（　，Ｙ，ｚ）ｄｓ　设Ｌ：｛（ｚ，　）ｌｚ。＋　。一Ｒ。｝为ｘｏｙ面上的光滑曲线，∑　为圆柱面，　∑：｛（　，Ｙ，　）ｌ（ｚ，　）∈Ｌ，　１（ｚ，　）≤　≤　２（ｚ，　）｝，　利用柱面坐标（ＪＤ，０，ｚ），则∑：｛（１０，０，ｚ）ｌｐ＝Ｒ，口≤　≤卢，　（　）　≤ｚ≤卿（　）｝，以　一常数，　一常数，分割曲面∑，设　ｓ为任　－４，块曲面，则面积元素为ｄｓ＝ＲｄＯｄｚ，且柱面坐标（ｐ，０，　）　与空间直角坐标（ｚ，ｙ，ｚ）之间变换关系为ｚ—Ｒｃｏ　，Ｙ—　Ｒｓｉｎ０，２—２，则　一』　ｓｉ　一　・　１３３　・

对面积的曲面积分教案设计

课题 对面积的曲面积分

课时 1课时

教学目的和要求 教学目的：

使学生理解对面积的曲面积分的定义，了解积分中“分割”，“近似”，“求和”和“取极限”的思想。基于第一类曲线积分的性质，理解对面积的曲面积分的性质。将对面积的曲面积分的计算概括为“一投二代三换”，使学生掌握对面积的曲面积分的计算方法。

教学要求：

1. 了解对面积的曲面积分的概念；

2. 理解对面积的曲面积分的性质；

3. 掌握对面积的曲面积分的计算方法；

重点难点 对面积的曲面积分的计算

教学方法 讲授（板书）

教学内容 一、概念的引入

前面介绍了第一类曲线积分,Lxyds，物理背景是曲线型构件的质量，在此问题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，若求曲面的质量，该怎么做？

例1 若曲面是光滑的，它的面密度为连续函数,,xyz，求它的质量。

解：“分割”：用网格线分割曲面为12,,,nSSS,

“近似”：,,iiiiS;

“求和”：,1,niiiiiS; “取极限”：,01lim,niiiiiS.

二、对面积的曲面积分

1. 定义：设曲面是光滑的，函数,,fxyz在上有界，把分成n个小块iS（iS同时也表示第个小块曲面的面积），设点,,iii为iS上任意取定的点，作乘积,,iiiifS，并作和,1,niiiiifS。如果当各小块曲面的直径的最大值0时，这和的极限总存在，则称此极限为函数,,fxyz在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记为,,fxyzdS，即

,01,,lim,niiiiifxyzdSfS

如果是闭曲面，积分号写成

2. 存在条件：,,fxyz在光滑曲面上连续。

对面积的曲面积分的计算方法(一)

对面积的曲面积分的计算方法

曲面积分是对曲面上的某个物理量的积分，计算曲面积分需要对曲面进行参数化，然后将积分变为对参数的积分。针对计算对面积的曲面积分，需要注意以下几个方面。

曲面的参数化

首先需要对曲面进行参数化，将曲面表示为一个参数方程，这样才能进行对参数的积分。对于一个光滑曲面，可以采用以下方法进行参数化。

• 隐式参数化：将曲面方程化为 𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)=0 的形式，然后通过某些手段解得一个参数方程。

• 显式参数化：即直接给出 𝑥,𝑦,𝑧 三个自变量的函数表达式。

参数变换

曲面积分需要对参数的积分，而参数变换可以将曲面积分转化为对一个标准区域 𝐷 的积分，即曲面上的每一个点都与标准区域 𝐷 上的一个点对应。这样可以帮助我们更容易地对参数进行积分。

曲面积分的计算公式

对于面积元素 𝑑𝜎，面积分的计算公式如下：

∬𝑓𝑆(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝜎=∬𝑓𝐷(𝑥(𝑢,𝑣),𝑦(𝑢,𝑣),𝑧(𝑢,𝑣))|𝐧|𝑑𝑢𝑑𝑣

其中 |𝐧| 表示 𝐧 向量在 (𝑥,𝑦,𝑧) 点的模长，也即面积元素 𝑑𝜎 的面积大小。 实例演示

以球体 𝑥2+𝑦2+𝑧2=𝑅2 为例，设 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)=𝑧，现计算 𝑓 在球体上的曲面积分。首先可以把球体用下面的参数方程表示出来：

{𝑥=𝑅sin𝜙cos𝜃𝑦=𝑅sin𝜙sin𝜃𝑧=𝑅cos𝜙

然后可以计算出 𝑑𝜎 及其对应的模长：

𝑑𝜎=𝑅2sin𝜙𝑑𝜙𝑑𝜃

|𝐧|=√(∂𝑥∂𝑢×∂𝑥∂𝑣)2+(∂𝑦∂𝑢×∂𝑦∂𝑣)2+(∂𝑧∂𝑢×∂𝑧∂𝑣)2=√2𝑅sin𝜙

所以曲面积分可以写成：

∬𝑧𝑆𝑑𝜎=∫∫(𝑅cos𝜙)𝜋02𝜋0⋅(𝑅2sin𝜙)𝑑𝜙𝑑𝜃=0